時間：2022-07-30 00:17:42
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角函數(shù)，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
1. “[tanα=34]”是“[sinα=-35]”的（ ）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
2. 已知[cos（π2+α）=35]，且[α∈（π2，3π2）]，則[tanα=]（ ）
A. [43] B. [34]
C. [-34] D. [±34]
3. 已知[tanθ=2]，則[sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ][=]（ ）
A. [-43] B. [54]
C. [-34] D. [45]
4. 已知[sin（π+θ）=45]，則[θ]角的終邊在（ ）
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第一、四象限 D. 第三、四象限
5. 已知[α∈（0，2π）]，且[α]的終邊上一點的坐標(biāo)為[（sinπ6，cos5π6）]，則[α]等于（ ）
A. [2π3] B. [5π3]
C. [5π6] D. [7π6]
6. 若[0
A. [sinx3xπ]
C. [sinx4x2π2]
7. [sin256π+cos253π-tan（-254）π=]（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. -2
8. 若[α]是第四象限角，[tanα=-512]，則[sinα=]（ ）
A. [15] B. [-15]
C. [513] D. [-513]
9. 已知sin[（76π+α）=13]，則sin[（2α-76π）=]（ ）
A. [79] B. [-79]
C. [19] D. [-19]
10. 已知點[P（sinα-cosα，tanα）]在第一象限，則在[0，2π]內(nèi)[α]的取值范圍是（ ）
A. （[π4]，[π2]） B. （π，[54]π）
C. （[3π4]，[54]π） D. （[π4]，[π2]）[?]（π，[54]π）
二、填空題（每小題4分，共16分）
11. 若角[β]的終邊與[60°]角的終邊相同，則在[[0°]，[360°）]內(nèi)，終邊與角[β3]的終邊相同的角為 .
12. 若角[α]的終邊落在直線[y=-x]上，則[sinα1-sin2α+1-cos2αcosα]的值等于 .
13. 若[α]是第一象限角，則[sin2α]，[cos2α]，[sinα2]，[cosα2]，[tanα2]中一定為正值的有 個.
14. 若[α]是銳角，且[sin（α-π6）=13]，則[cosα]的值是 .
三、解答題（共4小題，44分）
15. （10分）設(shè)[α]為第四象限角，其終邊上的一個點是[P（x，-5）]，且[cosα=24x]，求[sinα]和[tanα].
16. （10分）已知扇形[OAB]的圓心角[α]為[120°]，半徑長為6，求：
（1）求[AB]的弧長；
（2）求弓形[OAB]的面積.
17. （12分）[A，B]是單位圓[O]上的動點，且[A，B]分別在第一、二象限. [C]是圓[O]與[x]軸正半軸的交點，[AOB]為正三角形. 記[∠AOC=α].
（1）若[A]點的坐標(biāo)為（[35]，[45]）. 求[sin2α+sin2αcos2α+cos2α]的值；
（2）求[|BC|2]的取值范圍.
18. （12分）求值：
1、三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是以角度（數(shù)學(xué)上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。也可以等價地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時有重要作用，也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。在數(shù)學(xué)分析中，三角函數(shù)也被定義為無窮級數(shù)或特定微分方程的解，允許它們的取值擴(kuò)展到任意實數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。
2、常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)（SinX）、余弦函數(shù)（Cosx）和正切函數(shù)（tanx）.在航海學(xué)、測繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中,還會用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、半正矢函數(shù)等其他的三角函數(shù).不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計算得出,稱為三角恒等式.
（來源：文章屋網(wǎng) ）
早期對于三角函數(shù)的研究可以追溯到古代。古希臘三角術(shù)的奠基人是公元前2世紀(jì)的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度，與現(xiàn)代的弧度制不同）。對于給定的弧度，他給出了對應(yīng)的弦的長度數(shù)值，這個記法和現(xiàn)代的正弦函數(shù)是等價的。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數(shù)數(shù)值表。
然而古希臘的三角學(xué)基本是球面三角學(xué)。這與古希臘人研究的主體是天文學(xué)有關(guān)。梅涅勞斯在他的著作《球面學(xué)》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學(xué)與其天文學(xué)的應(yīng)用在埃及的托勒密時代達(dá)到了高峰
（來源：文章屋網(wǎng) ）
命題者常常結(jié)合其他知識點來考查三角函數(shù)，運用多個知識點之間的交叉、滲透和組合出題，具有基礎(chǔ)性和綜合性，題型可大可小，難易程度忽高忽低.
■
解答這種類型的綜合題不僅需要同學(xué)們熟練掌握好三角函數(shù)中的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，而且還要熟練掌握相關(guān)結(jié)合知識點的內(nèi)容，然后分別考慮題目中三角函數(shù)的特點與其他知識點，采取各個突破的策略.
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■ 命題“若α=■，則tanα=1”的逆否命題是（ ）
A. 若α≠■，則tanα≠1
B. 若α=■，則tanα≠1
C. 若tanα≠1，則α≠■
D. 若tanα≠1，則α=■
破解思路 本題屬于容易題，命題“若p，則q”的逆否命題的格式是“若？劭q，則？劭p”，故可寫出命題“若α=■，則tanα=1”的逆否命題.
經(jīng)典答案 因為“若p，則q”的逆否命題為“若？劭p，則？劭q”，所以“若α=■，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠■”. 選C.
■ 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).
①sin213°-sin13°cos17°+cos217°；
②sin215°-sin15°cos15°+cos215°；
③sin218°-sin18°cos12°+cos212°；
④sin2（-18°）-sin2（-18°）cos48°+cos248°；
⑤sin2（-25°）-sin2（-25°）cos55°+cos255°.
（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.
破解思路 （1）選擇一個容易求解的式子求出常數(shù)即可.
（2）推廣，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.
證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結(jié)果.
證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為■+■-sinα?（cos30°cosα+sin30°sinα），即1-■+■cos2α+■sin2α-■sin2α-■，化簡可得結(jié)果.
經(jīng)典答案 選擇②，計算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-■?sin30°=■，故這個常數(shù)為■.
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.
法1：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=sin2α+■cosα+■sinα■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+■cos2α+■sin2α+■sinαcosα-■sinα?cosα-■sin2α=■sin2α+■cos2α=■.
法2：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■+■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1-■+■cos2α+■sin2α-■?sin2α-■= 1-■-■+■=■.
■
運用物理中矢量運算及向量坐標(biāo)表示與運算，我們知道：若兩點等分單位圓時，有相應(yīng)關(guān)系為：sinα+sin（π+α）=0，cosα+cos（π+α）=0. 由此可以推知：
【授課年級】高一年級
【教學(xué)目標(biāo)】
知識目標(biāo)：使學(xué)生在理解任意角三角函數(shù)定義和銳角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的基礎(chǔ)上，能夠類推――發(fā)現(xiàn)――猜想――推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能夠靈活運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解決三角函數(shù)中已知一個角的某一三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的問題。
能力目標(biāo)：啟發(fā)學(xué)生主動參與，培養(yǎng)學(xué)生類推、發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想、推導(dǎo)、整理的能力
情感目標(biāo)：讓學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于研究的求知精神及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。
【教學(xué)重點】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的理解與在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值問題中的靈活應(yīng)用
【教學(xué)難點】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在求值問題中的靈活應(yīng)用
【教學(xué)方法】引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法
【教具準(zhǔn)備】三角板
【課堂構(gòu)思】課堂結(jié)構(gòu)分為三部分，其一，創(chuàng)設(shè)情景，以實例引出已知一個角的某一個三角函數(shù)值，求其余五個三角函數(shù)值的問題，發(fā)現(xiàn)這六個三角函數(shù)值之間具有某種關(guān)系，激發(fā)學(xué)生興趣；其二、引導(dǎo)學(xué)生通過觀察任意角三角函數(shù)的定義，尋找同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式，這是主體部分；其三，實際應(yīng)用。
【教學(xué)過程】
I.引入新課
（1）引例：已知α為銳角且sinα= 4-5 ，求cosα，tanα，
（2）學(xué)生活動：學(xué)生回憶所學(xué)方法探求。
（3）預(yù)期成果：學(xué)生構(gòu)造直角三角形用定義求出。
（4）問題1：請學(xué)生觀察它們之間的關(guān)系。
（5）預(yù)期答案：
（6）問題2：判斷上述關(guān)系是否對任意銳角成立
（7）預(yù)期答案：利用勾股定理證明
（8）復(fù)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義
II.講授新課
（1）學(xué)生類推探求公式：等
（2）學(xué)生類比證明公式：等
（3）師生共同歸納整理所求公式：平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系
（4）教師指出所用公式的注意事項：同角的含義、角的范圍、公式的變形
①注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如sin24α+cos24α=1等；
②注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，如沒有意義
③對這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：，等
（5）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的簡單應(yīng)用
例1：（1）已知sinα= 12-13，并且α是第二象限角，求cosα，tanα，cotα.
（2）已知cosα=- 4-5，求sinα，tanα，cotα.
分析：
問題（3）：例1中兩問有沒有區(qū)別？
預(yù)期答案：第（1）問中的角α給出了范圍，而第（2）問沒有。
問題（4）：這些問題與α的范圍有無關(guān)系？若有，在什么時候用到這個關(guān)系？怎么處理這個問題？
預(yù)期答案：有，在用平方關(guān)系時開方用到，要分類討論。
III 課堂練習(xí)
教材P29 1（1），（2）
IV 課堂小結(jié)
四個公式（）
一種題型（運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解決三角函數(shù)中已知一個角的某一三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的問題）
V 課后作業(yè)
教材習(xí)題4.4 1（1），（2），（3），
Ⅵ 板書設(shè)計
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
注意： 例1 學(xué)生板演
【教學(xué)后記】
在本節(jié)學(xué)習(xí)中，課堂上學(xué)生整體配合很好，課后作業(yè)學(xué)生完成較好，但在課堂教學(xué)中反映出了三個問題：
（1）學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的公式很多超出了要求，如：
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；銳角三角函數(shù)；分析
當(dāng)前階段，我國相關(guān)教育部門對初中數(shù)學(xué)中的銳角三角函數(shù)這一部分內(nèi)容作出了全面的要求，要求初中生需要具備熟練掌控在銳角范圍內(nèi)的正、余弦以及正切函數(shù)的相關(guān)數(shù)學(xué)概念及其特殊性質(zhì)，對于一些30°、45°以及60°等一系列特殊角的三角函數(shù)，必須可以對其進(jìn)行熟練的解析；在此基礎(chǔ)上可以運用銳角三角函數(shù)來進(jìn)行直角三角形的求解問題等。
一、江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社初中數(shù)學(xué)“銳角三角函數(shù)”教材內(nèi)容
初中教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)活動中，有關(guān)“銳角三角函數(shù)”的數(shù)學(xué)定義是建立于直角三角形的基礎(chǔ)上的。為此，在初中教育階段，銳角的函數(shù)值的解答方法大多數(shù)都是由直角三角形的計算得出的。教材的主要教學(xué)內(nèi)容包括：首先，細(xì)致的講解了與“銳角三角函數(shù)”相關(guān)的數(shù)學(xué)知識概念，如：余切的定義、正弦的定義、正切的定義等；其次，以一個特殊角為實際案例，如30°或45°或60°，充分展示了三角函數(shù)的具體計算流程與解析技巧；最后，對直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行了深入的探討。
二、深入探究初中教育階段數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的內(nèi)容
當(dāng)前階段，大多數(shù)有關(guān)銳角三角函數(shù)的內(nèi)容，都是被應(yīng)用于解決實際問題的。例如，銳角三角函數(shù)其中的一條性質(zhì)為：在其銳角的范圍內(nèi)，同角或者等角的三角函數(shù)數(shù)值是完全相同的。”教師需要利用這一特殊性質(zhì)，解決實際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題。為此，筆者針對上面所提出的銳角三角函數(shù)特殊性質(zhì)，列舉出一道典型的教學(xué)例題進(jìn)行充分論述。
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點O為原點，以A點為圓心的圓與坐標(biāo)軸交與點E（0，4）和點C（6，0），點B為弧EOC上一動點，求tan∠OBE=？
顯而易見，此題的主要考點為：學(xué)生面對三角函數(shù)中有關(guān)同角或等角的三角函數(shù)值相等的問題。經(jīng)過分析學(xué)生的答案后，得知大部分的學(xué)生被題目的表層數(shù)學(xué)條件所迷惑，進(jìn)一步導(dǎo)致學(xué)生不會解答或者解答錯誤的問題。此題目充分表現(xiàn)了上文中提及的三角函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)。其實，此題目是完全可以借助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)條件的轉(zhuǎn)化來解決。此題的解答方法僅僅需要將EC進(jìn)行連接即可，如圖2所示。
這樣進(jìn)行連接后就很接近最終的答案了。在實際解題過程中，學(xué)生在分析問題時要對學(xué)生進(jìn)行一定的引導(dǎo)，因為三角形OBE并不是直角三角形，不利于問題的解決，因此應(yīng)當(dāng)將所求的問題放在直角三角形中來解決。而實際學(xué)生自己進(jìn)行解題時，由于對三角函數(shù)的內(nèi)涵還理解得不夠深刻，導(dǎo)致不能將三角函數(shù)中的這一性質(zhì)進(jìn)行靈活應(yīng)用，所以在實際三角函數(shù)的教學(xué)中對于其內(nèi)涵的掌握是極其重要的。
三、科學(xué)進(jìn)行延伸其學(xué)習(xí)內(nèi)容
從全局性的角度進(jìn)行分析，教師有必要在教學(xué)課堂中對三角函數(shù)這一教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行延伸。由于其內(nèi)容在高中教育階段及學(xué)生日后的諸多學(xué)習(xí)探索中都有所涉及，為此，教師需要在初中教育這一階段為其后續(xù)發(fā)展進(jìn)行良好的教學(xué)鋪墊。但是，在進(jìn)行實際教學(xué)的過程中，尤其需要注意的是，教師要著重指出其學(xué)習(xí)問題是建立在學(xué)生自身已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識上的。只有這樣，才可以更為高效地進(jìn)行擴(kuò)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，為學(xué)生日后的學(xué)習(xí)奠定堅實的物質(zhì)基礎(chǔ)。為此，筆者在文中借助一個教學(xué)事例，進(jìn)行具體闡述如何有效地進(jìn)行知識拓展。
根據(jù)數(shù)學(xué)定理“等腰三角形頂角角平分線三線合一”，我們可以推出兩腰之比等于兩底邊線段的比，那么一個普通的三角形是否也適用這一內(nèi)容呢？如圖3所示：AD平分∠A，問此時AB/AC=BD/DC是否真正成立。
對于這一數(shù)學(xué)問題，大量的教學(xué)專家對其進(jìn)行研究調(diào)查，要求九年級的學(xué)生自主進(jìn)行解答其問題，但是其結(jié)果卻顯示班級中多一半的學(xué)生表示無法解答出答案。在進(jìn)行解答過程中，對于班級中一些有解題思路的學(xué)生而言，普遍都會運用角平分線的性質(zhì)，通過連接輔助線結(jié)合角平分線的相關(guān)特性，與三角形其他的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行科學(xué)的對比，進(jìn)而得出最終的答案。但是，此種解題思路對初中生而言復(fù)雜繁瑣。教師可以嘗試性地對三角函數(shù)進(jìn)行一部分相關(guān)知識的擴(kuò)展，但是需要注意把握好尺度，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行教學(xué)擴(kuò)展，不僅可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時還有助于開發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力。
綜上所述，初中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行實際教學(xué)過程中，不僅需要時刻注意對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法方面的教學(xué)，還需要在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。初中數(shù)學(xué)“銳角三角函數(shù)”這一教學(xué)內(nèi)容則是一個比較好的教學(xué)切入點，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)能力具有很大的幫助。為此，教師必須要教好“銳角三角函數(shù)”這一內(nèi)容。
參考文獻(xiàn)：
一、構(gòu)造函數(shù)表達(dá)式
利用函數(shù)自身的特性，及函數(shù)的奇偶性、增減性等來解題。
例1.已知x、y∈［-，］，a∈R，且x3+sinx-2a=04y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）
思路分析：由x3+sinx與2（4y3+sinycosy）這兩部分形式完全類似，由此可構(gòu)造函數(shù)形式.設(shè)f（t）=t3+sint，t∈［-，］，易證f（t）在［-，］上為單調(diào)遞增。又題中條件變?yōu)閒（x）-2a=0f（-2y）-2a=0，得f（x）=f（-2y），x=-2y。所以cos（x+2y）=0.
二、構(gòu)造一元二次方程
利用一元二次方程解的特點及根的判別式來解題。
例2.已知A、B、C是ABC的三個內(nèi)角，sinA≠sinB，且（sinC-sinA）2-4（sinA-sinB）（sinB-sinC）=0.求證：0
思路分析：題中所給等式是b2-4ac的形式，故可構(gòu)造一元二次方程。又sinA－sinB≠0，故可構(gòu)造方程（sinC-sinA）x2+（sinA-sinB）x+（sinB-sinC）=0.方程各項的系數(shù)之和為0，所以1是方程的一個根。由已知b2-4ac＝0，知此方程加一個根也是1，根據(jù)韋達(dá)定理得，=1，2sincos=sincos，cos=sin≠0，
2sin=cos≤1，sin≤，0
三、構(gòu)造二元一次方程
利用方程解的特點來解題。
例3.已知f（x）=asinx+bcosx，a、b為常數(shù)，又存在x1、x2，使f（x1）=f（x2）=0，且x1-x2≠kπ，k∈Z，求證：對一切實數(shù)x，f（x）恒等于0.
思路分析：由題設(shè)可得asinx1+bcosx1=0asinx2+bcosx2=0，視a、b為未知數(shù)，則構(gòu)造出一個二元一次方程，再利用方程組特點去證之.由消元法得sinx1cosx2-sinx2cosx1=sin（x1-x2）≠0，故方程組只有零解，即a=b=0，f（x）=0?sinx+0?cosx=0.所以對一切實數(shù)x，f（x）恒等于0.
四、構(gòu)造直角三角形
三角函數(shù)來自三角形，回到三角形中去，利用三角形的性質(zhì)來解題。
例4.設(shè)x∈［，］，求證：cscx-cotx≥-1.
思路分析：由、1聯(lián)想等腰直角三角形，不仿構(gòu)造一個等腰直角三角形來研究。作RtABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一點D，記∠CDB＝x，則BD＝cscx，CD＝cotx，AD＝1-cotx，利用AD＋DB≥AB＝，可得cscx-cotx≥-1，等號僅在x＝時成立.
五、構(gòu)造單位圓
利用三角函數(shù)的特點，構(gòu)造單位圓，用正弦線、余弦線、正切線的大小來解題。
例5.若0
思路分析：構(gòu)造單位圓，借助三角函數(shù)線與三角函數(shù)式的關(guān)系，把數(shù)的比較轉(zhuǎn)化為幾何圖形面積的比較。作單位圓O，AP1=β，AP2=α，P1P2=α-β，
AT1=tanβ，AT2=tanα，SATO=tanα，SAPO=tanβ，由于S扇形OAP=α，S扇形OAP =β。S扇形OPP=（α-β），SOTT=tanα－tanβ。則SOTT>S扇形OPP，即（α-β）
六、構(gòu)造長方體
利用立體幾何中長方形的基本性質(zhì)來解題。
例6.若銳角α、β、γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值.
思路分析：銳角α、β、γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1形式滿足長方體的三度平方和等于對角線的平方，故可構(gòu)造長方體。使三棱長分別為a、b、c，對角線為1，對角線與三條棱所成的角分別為α、β、γ，
則tanα＝，tanβ＝，tanγ＝所以tanαtanβtanγ≥＝2，故tanαtanβtanγ的最小值是2.
構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是一種比較重要、靈活的思維方式，它沒有固定的模式。在解題中要想用好它，需要有敏銳的觀察、豐富的聯(lián)想、靈活的構(gòu)思、創(chuàng)造性的思維等能力。上述所列舉的各類思維構(gòu)造，僅是就構(gòu)造形式的區(qū)分，旨在方便通過揭示構(gòu)造法思維方式教會學(xué)生如何去構(gòu)造。
關(guān)鍵詞：直角三角形；邊角關(guān)系
中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的邊角關(guān)系，在現(xiàn)實世界中應(yīng)用非常廣泛。而銳角的三角函數(shù)在解決實際問題中有著重要的作用，如測量距離、角度、高度等問題，特殊角30度、45度、60度角的三角函數(shù)值也是經(jīng)常用到的，但許多學(xué)生在應(yīng)用這些特殊角的三角函數(shù)值解決問題時，卻總是出現(xiàn)記憶不牢靠或者張冠李戴的現(xiàn)象，如何讓學(xué)生牢固并熟練掌握這些特殊角的三角函數(shù)值呢？我覺得可以從以下幾個方面去加強(qiáng)。
一、引入圖形，讓學(xué)生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三邊之間有著特殊比例關(guān)系，因此，教學(xué)時為了便于學(xué)生理解和記憶，可以根據(jù)含這些特殊角的三角形的邊角之間的關(guān)系，畫出相應(yīng)的圖形，如30度角所對的直角邊，所臨的直角邊，斜邊之比為1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三邊之比為1∶1∶√2，讓學(xué)生自己獨立完成這幾個特殊角的三角函數(shù)值的求值過程，學(xué)生根據(jù)定義，便可得到各角的三角函數(shù)值，學(xué)生經(jīng)歷了特殊角的三角函數(shù)值的求值過程，由于圖形的直觀作用，必然會產(chǎn)生清晰的第一印象，方便了記憶。
二、利用三角函數(shù)的增減規(guī)律進(jìn)行記憶
在直角三角形中，當(dāng)銳角的度數(shù)一旦確定，它對應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值也隨之確定，當(dāng)銳角的度數(shù)發(fā)生變化，它的正弦值、余弦值、正切值也隨之發(fā)生變化，為了幫助學(xué)生探索并理解隨著銳角度數(shù)的增大或減小，它對應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值變化的規(guī)律，可設(shè)計有公共銳角頂點且一直角邊有重疊，以及斜邊相等的一系列直角三角形，通過圖形，學(xué)生會直觀的感受到，當(dāng)銳角的度數(shù)逐漸增大，它所對的直角邊也隨之增大，它所鄰的直角邊則隨之減小，所以會很自然地得出結(jié)論，正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小，正切值隨銳角的增大而增大，用銳角三角函數(shù)的增減性，學(xué)生記憶這幾個特殊角的三角函數(shù)值就會容易許多。
三、尋找數(shù)字規(guī)律巧妙記憶
在記憶30度、45度、60度角的三角函數(shù)值時，可引導(dǎo)學(xué)生通過比較，尋找數(shù)字規(guī)律，巧妙記憶，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次對應(yīng)為：1即√1，√2，√3，而余弦值分子則分別是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余兩角正弦和余弦之間的關(guān)系，及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，通過比較與聯(lián)系記憶。
例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值
策略：要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發(fā)，將α的某一三角函數(shù)值求出，即可獲解。
解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26
cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)
1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26
2.給角求值要求熟練掌握兩角和與差的三角函數(shù)的基本公式、二倍角公式，特別要注意逆向使用和差角公式與二倍角公式，以此將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)。
例1
求值：sec50°+tan10°
解析：sec50°+tan10°
=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°
=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°
=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°
=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3
總結(jié)評述：本題的解題思路是：變角切割化弦化異角為同角轉(zhuǎn)化為特殊角約去非特殊角的三角函數(shù)。
解此類問題的方法是，轉(zhuǎn)化為特殊角，同時能消去非特殊角的三角函數(shù)。
3.給值求角
給出三角函數(shù)值求角的關(guān)鍵有二：
（1）求出要求角的某一三角函數(shù)值（通常以正弦或余弦為目標(biāo)函數(shù)）。
（2）確定所求角在（已求該角的函數(shù)值）相應(yīng)函數(shù)的哪一個單調(diào)區(qū)間上（注意已知條件和中間所求函數(shù)值的正負(fù)符號）。
例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。
解析：由已知不難求出tanα與tan2β的值，這就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷α+2β的范圍。
cosα=－750且α∈（0，π）
sinα=150,tanα=－17
又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34
tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα
=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)
β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)
2β∈（π,2π），tan2β=－34<0
3π2<2β<2π
α+2β∈（2π，3π）.
而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4
關(guān)鍵詞:三角函數(shù);典型題型;解題應(yīng)用
中圖分類號:G630 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1003-2851(2012)-08-0128-02
一、高考三角函數(shù)考點分析
近幾年高考對三角函數(shù)部分的考查主要有兩個方面:一是三角函數(shù)的變換,二是三角函數(shù)圖像和性質(zhì)。考查的知識點:
1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是考查的重點。2.三角函數(shù)的化簡求值是常考題型。3.考應(yīng)用,建立三角模型。4.考綜合,突出三角的函數(shù)性質(zhì)。
二、高考三角函數(shù)典型題型解析
1.三角函數(shù)圖像變換
圖像變換是三角函數(shù)的考察的重要內(nèi)容,解決此類問題的關(guān)鍵是理解A,?棕,?漬的意義,特別是?棕的判定,以及伸縮變換對?漬的影響。
例如:將函數(shù)y=sin4x的圖象向左平移■個單位,得到y(tǒng)=sin(4x+φ)的圖象,則φ等于( )
A、-■ B、-■ C、■ D、■
考點:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換
分析:利用函數(shù)圖象的平移,求出函數(shù)的解析式,與已知解析式比較,即可得到φ的值.
解答:解:函數(shù)y=sin4x的圖象向左平移■個單位,得到y(tǒng)=sin4(?仔+■)的圖象,就是y=sin(4x+φ)的圖象,故選C
2.常見的幾種三角函數(shù)求值題型。
(1)y=asinx+b、(或y=acosx+b)型
基本思路:利用sinx≤1(或cosx≤1)即可求解,但必須注意字母a的符號對最值的影響。
例:求函數(shù)y=asinx+b(a≤0)的最大值。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,且a≤0,從而函數(shù) y=asinx+b(a≤0)的最大值為-a+b。
(2)y=asin2x+bsinx+c(或y=cos2x+cosx+c)型
基本思路:可令t=sinx(或t=cosx)t≤1化歸為閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題。
例:求函數(shù)y=sin2x+2cosx-3的值域。
分析:此類題目可以轉(zhuǎn)化為型y=cos2x+cosx+c的三角函數(shù)的最值問題。
解:由于y=sin2x+2cosx-3
=1-cos2x+2cosx-3
=-cos2x+2cosx-2,
令t=cosx t≤1則原式轉(zhuǎn)化為:y=-t2+2t-2 t≤1
對上式配方得:y=-(t-1)2-1 t≤1
從而當(dāng)t=-1時,ymin=-5;當(dāng)時t=1時,ymax=-1。
所求函數(shù)的值域為[-5,-1]。
(3)y=■(或y=■)型
基本思路:可化歸為sin(x+?漬)=g(y)去處理;或用萬能公式換元后利用判別式法去處理,特別a=c時,還可以利用數(shù)形結(jié)合法去處理。
例:求y=■的值域。
分析:此題我們采用化歸為sin(x+?漬)=g(y)去處理。
解:由y=■得:ycosx-sinx=-2-3y,
■sin(x+?漬)=-2-3y,
sin(x+?漬)=-■
又由于csin(x+?漬)=■≤1
解得:y∈[■,■]。
(4)含有sinx?芄cosx,sinxcosx的函數(shù)最值問題
基本思路:可令t=sinx?芄cosx,t≤■將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的關(guān)系式,從而化歸為二次函數(shù)的最值問題。
例:求函數(shù)y=(sinx+1)(cosx+1)的值域。
分析:由于上式展開后為:y=sinxcosx+sinx+cosx+1恰好為上述形式的三角函數(shù)的最值問題。所以可令t=sinx+cosx,t≤■去求解。
解:由y=(sinx+1)(cosx+1)展開得:y=sinxcosx+sinx+cosx+1,
設(shè)t=sinx+cosx,t≤■,則sinxcosx=■,
此時:y=■+t+■=■(t+1)2
y∈[0,■]。
(5)含參數(shù)型的三角函數(shù)的最值問題
基本思路:需要對參數(shù)進(jìn)行討論。
例:求函數(shù)yasinx+b的最大值。
分析:由于a的符號不確定,所以要對參數(shù)a的符號加以討論。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,
當(dāng)a≥0時,函數(shù)y=asinx+b(a≤0)的最大值為a+b;
當(dāng)a
3.三角函數(shù)的單調(diào)性綜合運用
三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的七類基本初等函數(shù)之一,具有比較完備的函數(shù)性質(zhì),又因系統(tǒng)的三角公式及其變換,使三角函數(shù)問題豐富多彩、層次分明、變化多端,常與函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何等結(jié)合考查。
例:已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應(yīng)的x的值;
命題意圖:本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識,還考查計算變形能力,綜合運用知識的能力。
知識依托:熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識。
技巧與方法:等價轉(zhuǎn)化,逆向思維。
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos■+cosxsin■)-■sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+■cos2x=2sin(2x+■)
f(x)的最小正周期T=π
方法歸納:
本難點所涉及的問題及解決的方法主要有:
1.考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目,此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運用。
2.三角函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合題目,此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力。在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點,并可以逐漸加強(qiáng)。
3.三角函數(shù)與實際問題的綜合應(yīng)用
此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力,要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用。
(2)當(dāng)2x+■=2kπ-■,即x=kπ-■(k∈Z)時,f(x)取得最小值-2.
三、高考中三角函數(shù)的解題應(yīng)用
高考試題中的三角函數(shù)題注重三角知識的基礎(chǔ)性,突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)。
(一)知識整合
1.熟練掌握三角變換的所有公式,理解每個公式的意義,應(yīng)用特點,常規(guī)使用方法等。2.熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì),并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)。
(二)方法技巧
1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略
(1)常值代換.(2)項的分拆與角的配湊。(3)降次與升次。(4)化弦(切)法。
2.證明三角等式的思路和方法
(1)思路:利用三角公式進(jìn)行化名,化角,改變運算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式。(2)證明方法:綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。
3.證明三角不等式的方法:比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。
1、初三上冊（9年級上冊）,介紹銳角三角函數(shù),以及簡單的計算。
2、然后是高中，高一下冊（10年級下冊）,介紹任意角三角函數(shù),并提供大量三角函數(shù)公式和正余弦定理，高三時總復(fù)習(xí)自然會復(fù)習(xí)到,但高三的課本上沒有三角函數(shù)。
3、三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是以角度（數(shù)學(xué)上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。也可以等價地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時有重要作用，也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。在數(shù)學(xué)分析中，三角函數(shù)也被定義為無窮級數(shù)或特定微分方程的解，允許它們的取值擴(kuò)展到任意實數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
關(guān)鍵詞：三角函數(shù)最值 配方轉(zhuǎn)化 有界性轉(zhuǎn)化 單調(diào)性轉(zhuǎn)化
三角函數(shù)這一章節(jié)，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數(shù)最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，難度不大.
下面介紹幾種常見的三角函數(shù)最值的求解策略.
1.配方轉(zhuǎn)化
經(jīng)轉(zhuǎn)化，最后化歸為二次函數(shù)的三角函數(shù)最值問題，稱為二次函數(shù)型.閉區(qū)間上的二次函數(shù)一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數(shù)型三角最值得主要依據(jù).對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數(shù)最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題，常常利用配方轉(zhuǎn)化策略來解決.
二次函數(shù)的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內(nèi)，且二次項系數(shù)a>0，其圖象開口向上，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知當(dāng)t=-1，ymin=-6；當(dāng)t=1，ymax=4.
感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數(shù)準(zhǔn)確變形為sinx或cosx的二次函數(shù)的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運用二次函數(shù)配方的技巧正確配方，易錯在二次項系數(shù)，如本題中二次項系數(shù)是-2，對應(yīng)二次函數(shù)開口向下，配方過程中要先提出負(fù)號；其三要把握三角函數(shù)sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數(shù)對稱軸與換元后變量的范圍的關(guān)系.值得注意的是，當(dāng)變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.
2.有界性轉(zhuǎn)化
三角函數(shù)尤其正弦、余弦是一種有界函數(shù)，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數(shù)能夠通過三角恒等變換，結(jié)合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函數(shù)的有界性，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域為[-A，A]求解其最值.這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一.
感悟：求解這類問題的關(guān)鍵是先將所給的三角函數(shù)化為一個角的三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個角的三角函數(shù)關(guān)系式，這也是高考的重點.由此題可見，靈活運用三角函數(shù)的有界性，能使問題的求解直接明了！
