時(shí)間：2023-05-29 17:49:27
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角形中線定理，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
摘 要： 解三角形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是高考考查的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)部分；而且這部分內(nèi)容往往易于和其他知識(shí)相結(jié)合，特別是和三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何、平面向量等知識(shí)相結(jié)合.為了更好地把握解三角形知識(shí)和其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，總結(jié)在解題中體現(xiàn)的函數(shù)、方程、數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法變得非常重要.高考題型是考查知識(shí)點(diǎn)為主，所以對(duì)于這幾部分知識(shí)的綜合應(yīng)用越來(lái)越多，更需要我們平時(shí)在做題中加以積累，總結(jié)題型、方法，遇到問(wèn)題才能駕輕就熟，處理問(wèn)題才能游刃有余.
關(guān)鍵詞： 解三角形 函數(shù) 方程 數(shù)形結(jié)合
解三角形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是高考考查的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)部分；而且這部分內(nèi)容往往易于和其他知識(shí)相結(jié)合，特別是和三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何、平面向量等知識(shí)相結(jié)合.為更好地說(shuō)明解三角形知識(shí)和其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，以及在解題中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，本文以一例具體說(shuō)明.
前不久在江蘇省泰州中學(xué)高三數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷中偶得一題：等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3，則ABC的面積的最大值為？搖？搖？搖.
因?yàn)轭}目的主要條件是①AB=AC；②腰AC上的中線BD的長(zhǎng)為3.如何用好腰相等、中線這個(gè)條件變得非常重要，也是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.對(duì)于應(yīng)用這兩個(gè)條件的方法不同，帶來(lái)我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法不同，就關(guān)鍵條件的運(yùn)用，具體有七種方法.
一、海倫公式與基本不等式的結(jié)合（函數(shù)的思想）
解法7.分析：根據(jù)條件等腰三角形ABC，中線BD，可聯(lián)系平面幾何的知識(shí)，作底邊上的中線，這樣中線的交點(diǎn)即為三角形的重心，三角形的重心分中線的比為1：2，利用數(shù)量關(guān)系可以把求ABC面積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BEG的面積的最值問(wèn)題.而B(niǎo)EG為直角三角形，面積相對(duì)表示，這需要有細(xì)致的觀察能力，力求以形助數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想處理問(wèn)題也很快捷.
總之，解三角形相關(guān)問(wèn)題，主要是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.正弦定理是一個(gè)關(guān)于邊角關(guān)系的連比等式，在運(yùn)用此定理時(shí)，只要知道其比值或者等量關(guān)系就可以通過(guò)約分達(dá)到解決問(wèn)題的目.運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用.對(duì)于給出條件是邊角關(guān)系混合在一起的問(wèn)題，一般地，應(yīng)運(yùn)用正弦定理和余弦定理，要么把它統(tǒng)一為邊的關(guān)系，要么把它統(tǒng)一為角的關(guān)系.再利用三角形的有關(guān)知識(shí)，三角恒等變形方法、代數(shù)恒等變形方法等進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)，從而得出結(jié)論.解決正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)注意根據(jù)具體情況引入未知數(shù)，運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題；平面向量與解三角形的交匯問(wèn)題，應(yīng)注意準(zhǔn)確運(yùn)用向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，再利用正、余弦定理求解.當(dāng)然在建立相等關(guān)系和解決具體問(wèn)題時(shí)需要用到函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合的思想方法.
一對(duì)直角三角形，有一組斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。證明：根據(jù)勾股定理，可求出第三邊對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)邊角邊證明兩三角形全等。
直角三角形斜邊中線定理是數(shù)學(xué)中關(guān)于直角三角形的一個(gè)定理，具體內(nèi)容為：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）
方法如下:
1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。
2、遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。
3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。
4、過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。
5、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。
6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答。
（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）
例1 已知直角三角形的兩邊的邊長(zhǎng)分別為3和5，求該三角形的第三邊的邊長(zhǎng)。
分析 已知直角三角形的兩邊，未指明是直角邊還是斜邊，因此邊5可能是直角邊，也有可能是斜邊，所以要進(jìn)行分類討論求解。
解 根據(jù)三角形的邊角大小關(guān)系可知，3一定是直角邊，而5可能是直角邊，也可能是斜邊，故可分類求解。
（1）當(dāng)邊5為直角邊時(shí)，三角形的第三邊為斜邊，長(zhǎng)度為==。
（2）當(dāng)邊5為斜邊時(shí)，三角形的第三邊為直角邊，長(zhǎng)度為===4。
所以這個(gè)三角形的第三邊的邊長(zhǎng)為或4。
點(diǎn)評(píng) 直角三角形的第三邊分為兩類：直角邊和斜邊。當(dāng)已知兩邊求第三邊時(shí)，要分析其邊是直角邊還是斜邊，若題目未指明，則要進(jìn)行分類討論求解。
二、方程思想
例2 如圖1所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EF的長(zhǎng)。
分析 折疊就是軸對(duì)稱，因?yàn)锳DE與AFE關(guān)于AE對(duì)稱，知AD=AF=10 cm，DE=EF。在RtABF中，根據(jù)勾股定理得BF=6 cm，所求EF在
RtECF和在RtAEF中，但都只知道一邊，不能求解。而在RtECF中，F(xiàn)C=4 cm，EF+EC=8 cm，利用勾股定理建立方程即可求得EF。
解 因?yàn)锳DE與AFE關(guān)于AE對(duì)稱，所以AD=AF，DE=EF。
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在RtABF中， AF=AD=BC=10 cm，AB=8 cm，
所以BF===6 cm。
所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。
設(shè)EC=x cm，則EF=DE=（8-x）cm。
在RtECF中，EC 2+FC 2=EF 2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3。
則EF的長(zhǎng)為5 cm。
點(diǎn)評(píng) 勾股定理只能用于已知直角三角形的兩邊求第三邊。當(dāng)在直角三角形中，只知一邊，又知另兩邊的相應(yīng)關(guān)系時(shí)，可用勾股定理建立方程（組），通過(guò)解方程（組），即可求得該三角形的邊長(zhǎng)。
三、化歸思想
例3 如圖2，已知：在ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的長(zhǎng)。
分析 題中的三角形未確定是直角三角形，不能用勾股定理，由條件∠B=60°，想到構(gòu)造含30°角的直角三角形，為此作ADBC于D（如圖3所示），則有∠BAD=30°，BD=AB=15，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)。
解 作ADBC于D，因?yàn)椤螧=60°，所以∠BAD=90°-60°=30°，所以BD=AB=15。
根據(jù)勾股定理，在RtABD中，AD===15。
根據(jù)勾股定理，在RtACD中，CD===65。
所以BC=BD+DC=65+15=80。
點(diǎn)評(píng) 利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用。當(dāng)題目中沒(méi)有垂直條件時(shí)，經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理。
四、轉(zhuǎn)化思想
例4 如圖4所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE=12，CF=5。求線段EF的長(zhǎng)。
分析 已知BE、CF，要求EF，但這3條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征以及三角形中線的特殊性質(zhì)，不妨先連接AD。
解 連接AD。
因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC。又因?yàn)锳D為ABC的中線，
所以AD=DC=DB，ADBC，且∠BAD=∠C=45°。
因?yàn)椤螮DA+∠ADF=90°。又因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°。
所以∠EDA=∠CDF。所以AED≌CFD（ASA）。
所以AE=FC=5。同理，AF=BE=12。
在RtAEF中，根據(jù)勾股定理得，
(1)知識(shí)目標(biāo)：1、掌握等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、
中線及頂角平分線三線合一的性質(zhì)，并能運(yùn)用
它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算。
2、理解等腰三角形和等邊三角形性質(zhì)定理之間
的聯(lián)系。
(2)能力目標(biāo)：1、定理的引入培養(yǎng)學(xué)生對(duì)命題的抽象概括能力，
加強(qiáng)發(fā)散思維的訓(xùn)練。
2、定理的證明培養(yǎng)大膽創(chuàng)新、敢于求異、勇于
探索的精神和能力，形成良好的思維品質(zhì)。
3、定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，提高獨(dú)
立解決問(wèn)題的能力。
(3)情感目標(biāo)：在教學(xué)過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)，激發(fā)
學(xué)生的審美情感，與現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題使
學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)于外部世界的完善與和諧，使
他們有效地獲取真知，發(fā)展理性。
教學(xué)重點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)定理及其證明。
教學(xué)難點(diǎn)用文字語(yǔ)言敘述的幾何命題的證明及輔助線的添加。
達(dá)標(biāo)進(jìn)程
教學(xué)內(nèi)容
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
一、前置診斷，開(kāi)辟道路
1、什么樣的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角。
首先教師提問(wèn)了解前置知識(shí)掌握情況。
動(dòng)腦思考、口答。
二、構(gòu)設(shè)懸念，創(chuàng)設(shè)情境
1、一般三角形有哪些性質(zhì)？
2、等腰三角形除具有一般三角形的性質(zhì)外，還有那些特殊性質(zhì)？
把問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
問(wèn)題2給學(xué)生留下懸念。
三、目標(biāo)導(dǎo)向，自然引入
本節(jié)課我們一起研究——等腰三角形的性質(zhì)。
板書(shū)課題
了解本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。
四、設(shè)問(wèn)質(zhì)疑，探究嘗試
請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的等腰三角形，與教師一起按照要求，把兩腰疊在一起。
[問(wèn)題]通過(guò)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？
[結(jié)論]等腰三角形的兩個(gè)底角相等。
板書(shū)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
[問(wèn)題]可由學(xué)生從多種途徑思考，縱橫聯(lián)想所學(xué)知識(shí)方法，為命題的證明打下基礎(chǔ)。
[辨疑]由觀察發(fā)現(xiàn)的命題不一定是真命題，需要證明，怎樣證明？
[問(wèn)題]1、此命題的題設(shè)、結(jié)論分別是什么？
2、怎樣寫(xiě)出已知、求證？
3、怎樣證明？
[電腦演示1]
[投影學(xué)生證明過(guò)程，并由其講述]
從而引出定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）
通過(guò)電腦演示，引導(dǎo)學(xué)生全面觀察，聯(lián)想，突破引輔助線的難關(guān)，并向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
引出學(xué)生探究心理，迅速集中注意力，使其帶著濃厚的興趣開(kāi)始積極探索思考。
繼續(xù)觀察圖形
[問(wèn)題]1、指出全等三角形中還有哪些
對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等？
2、等腰三角形的頂角的平分線又有什么性質(zhì)？
設(shè)問(wèn)、質(zhì)疑
小組討論，歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生概括數(shù)學(xué)材料的能力。
教學(xué)內(nèi)容
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
[辨疑]一般三角形是否具有這一性質(zhì)呢？
[電腦演示2]
從而引出推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊，并且垂直于底邊.
“三線合一”性質(zhì)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
[填空]根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理的推論，在ABC中
（1）AB=AC，ADBC，
∠＿=∠＿，＿=＿；
（2）AB=AC，AD是中線，
∠＿=∠＿，＿＿；
（3）AB=AC，AD是角平分線，
＿＿，＿=＿。
通過(guò)電腦演示，引出推論1，并引入[填空]、強(qiáng)調(diào)推論1的運(yùn)用方法。
電腦演示給學(xué)生對(duì)推掄1留下深刻印象，并通過(guò)[填空]了解推論1的運(yùn)用方法。
五、變式訓(xùn)練，鞏固提高
達(dá)標(biāo)練習(xí)一
A組：根據(jù)等腰三角的形性質(zhì)定理
(1)等腰直角三角形的每一個(gè)銳角都等于多少度？
(2)若等腰三角形的頂角為40°，
則它的底角為多少度?
(3)若等腰三角形的一個(gè)底角為40°,則它的頂角為多少度?
B組：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理
(1)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°,則它的其余各角為多少度?
(2)若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為120°,則它的其余各角為多少度?
(3)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系?各等于多少度?
從而引出推論2等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°.
題目設(shè)計(jì)遵循由易到難的原則，引導(dǎo)學(xué)生拾階而上。溝通等腰三角形的性質(zhì)定理和三角形內(nèi)角和定理的聯(lián)系，并引出推論2。
A組口答練習(xí)
B組討論后回答。
掌握等腰三角形性質(zhì)定理的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的類比思維，讓學(xué)生獲得從問(wèn)題中探索共同的屬性和規(guī)律的思維能力。
教學(xué)內(nèi)容
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
達(dá)標(biāo)練
A組：等腰三角形斜邊上的高把直角分成兩個(gè)角，求這兩個(gè)角的度數(shù)。
B組：已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=100°。求頂架上∠B、∠C、
∠BAD、∠CAD的度數(shù)。
理論聯(lián)系實(shí)際,
充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的作用,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。
A組口答
B組獨(dú)立解答.
加深理解定理及推論1，能初步靈活地運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和論證。
布置作業(yè)：1、看書(shū)：P1——P3
2、課本P5想一想
教案設(shè)計(jì)說(shuō)明
本節(jié)課是在學(xué)生掌握了一般三角形基礎(chǔ)知識(shí)和初步推論證明的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，擔(dān)負(fù)著訓(xùn)練學(xué)生會(huì)分析證明思路的任務(wù)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)是今后論證兩角相等的依據(jù)之一，等腰三角形底邊上的三條主要線段重合的性質(zhì)是今后論證兩條線段相等、兩個(gè)角相等及兩條直線垂直的重要依據(jù)。因此設(shè)計(jì)時(shí)，我分別從幾個(gè)方面作了精心策劃：
1、創(chuàng)設(shè)豐富的舊知環(huán)境，有利于幫助學(xué)生找準(zhǔn)新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，喚起與形成新知相關(guān)的舊知，從而使學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知的學(xué)習(xí)具有某種“召喚力”。
2、提供可探索性的問(wèn)題，合理的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，創(chuàng)造出良好的問(wèn)題情境，不斷地引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、思考、探索，使學(xué)生感到自己就象科學(xué)家那樣提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，證實(shí)結(jié)論。發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力、科學(xué)的研究方法、實(shí)事求是的態(tài)度。
3、在鞏固應(yīng)用時(shí)，訓(xùn)練題組的設(shè)計(jì)具有階梯性，加強(qiáng)了變式訓(xùn)練，便于及時(shí)反饋。實(shí)際應(yīng)用充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的作用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。
案例1：如圖，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分線，AE交BC、BD于點(diǎn)E、F，AC、BD相交于點(diǎn)O. 求證：OF= CE.
1. 直接利用三角形中位線定理證明
證明：過(guò)點(diǎn)O做OG∥CE，交AE于點(diǎn)G
AO=OC， OG∥CE
∴OG是ACE的中位線
∴OG= CE
又∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°
∴OG=OF
∴OF= CE
評(píng)價(jià)：學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形中位線定理后，結(jié)合此題中的“O點(diǎn)是AC的中點(diǎn)”這個(gè)條件，最容易想到構(gòu)造AEC的中位線OG，轉(zhuǎn)化為證明線段OG=OF即可.
2. 利用相似三角形的相似比證明
證明：∠OAF=∠FAB，∠AOF=∠ABE=90°
∴AOF∽ABE
∴ = = ①
又∠OAF=∠FAB，∠AFB=∠AEC=112.5°
∴ABF∽ACE
∴ = = ②
BF=BE
∴①×②得 = ，即OF= CE
評(píng)價(jià)：“a= b”型結(jié)論的等價(jià)結(jié)論是“ = ”，可以借助相似三角形的相似比來(lái)解決.尋找相似三角形或構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵.
3. 利用線段和差b=a+a證明
證明：
四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD
∠DAF=∠DFA=67.5°
∴DA=DF
同理：BF=BE
OF=DF-DO，OF=OB-BF
∴OF+OF=DF-BF
∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE
即：OF=CE
評(píng)價(jià)：“a= b”型結(jié)論的等價(jià)結(jié)論還可以是“b=a+a”，利用線段的和差關(guān)系以及線段的等量代換可以證出.
案例2：已知： 等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AF是∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)E，BF⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：AE=2BF.
思路分析：由于此題條件中沒(méi)有明顯的中點(diǎn)條件，因此利用三角形的中位線定理證明比較困難，能否想到利用相似三角形的相似比來(lái)證明呢？圖中BFE與ACE顯然相似，但BF是BFE的直角邊，而AE是ACE的斜邊，明顯不對(duì)應(yīng)，于是可以想到構(gòu)造以BF為斜邊的直角三角形，這樣就可得方法1.
1. 利用相似三角形的相似比證明
證明：過(guò)F點(diǎn)做FM∥CA交BC于L點(diǎn)，交AB于M點(diǎn).
FM∥AC ∴∠MFA=∠1
∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA
∴MF=MA
∠BFA=90° ∴MB=MF=MA
FM∥AC，MB=MA
∴BL=LC= BC= AC
∠1=∠3，∠FLB=∠C=90°
∴BFL∽AEC
∴ = = ，即AE=2BF.
2. 利用直角三角形斜中線定理證明
證明：做AE的中點(diǎn)M，連接CM.以AB為直徑做圓O，則F、C、A、B四點(diǎn)共圓.
∠ACB=90°，MA=ME
∴CM= = = AE
∠1=∠2
∴FB=FC
∴FB=FC
又∠CFM=∠FMC=45°
∴CM=CF
∴BF= AE
即AE=2BF
評(píng)價(jià)：利用AE是直角ΔACE的斜邊，聯(lián)想到斜中線定理，轉(zhuǎn)化為證明線段BF=CM即可.
3. 利用折半方法證明
證明：做AE的中垂線交AB于G，交AE于M，連接EG.
MG垂直平分AE
∴GE=GA
∴∠GEA=∠2
∠1=∠2
∴∠GEA=∠1
∴EG∥CA
∴∠BEG=∠C=90°
∠EBG=45°
∴EB=EG
∠3=∠1
∴∠3=∠GEM
又∠F=∠EGM=90°
∴BFE≌EMG
∴BF=EM= AE
即AE=2BF
評(píng)價(jià)：把較長(zhǎng)的線段AE折半，轉(zhuǎn)化為證明線段BF=EM即可.
4. 利用加倍方法證明
證明：延長(zhǎng)BF、AC交于H點(diǎn).
∠1=∠2，∠BFA=∠HFA=90°，AF=AF
∴ABF≌AHF
∴FB=FH，即BH=2BF
∠3=∠1，CB=CA，∠BCH=∠ECA=90°
∴BHC≌ΔACE
∴BH=AE
∴AE=2BF
評(píng)價(jià)：此種方法采用的是間接加倍方法，若直接加倍，則“延長(zhǎng)BF到H點(diǎn)，使BH=2BF”，此時(shí)就要證明A、C、H三點(diǎn)共線，非常棘手，所以用間接加倍方法更有利.
教學(xué)啟示
1. 解題教學(xué)時(shí)應(yīng)重視常規(guī)解題方法的教學(xué)
教師在幾何課證明教學(xué)時(shí)，應(yīng)著重于對(duì)常規(guī)思維方法的分析，努力幫助學(xué)生找到最容易想到的、最容易掌握的解題方法，以使學(xué)生能突破原有的思維障礙，使教學(xué)建立在學(xué)生通過(guò)一定努力就可能達(dá)到的智力發(fā)展水平上，并據(jù)此確定知識(shí)與方法的廣度、深度.案例1中利用三角形中位線定理來(lái)證明，而案例2則采用加倍或折半的方法更適合學(xué)生.
2. 不斷滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維
知識(shí)結(jié)構(gòu)
重難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是矩形的性質(zhì)和判定定理。矩形是在平行四邊形的前提下定義的,首先她是平行四邊形,但它是非凡的平行四邊形,非凡之處就是“有一個(gè)角是直角”,因而就增加了一些非凡的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法。矩形的這些性質(zhì)和判定定理即是平行四邊形性質(zhì)與判定的延續(xù),又是以后要學(xué)習(xí)的正方形的基礎(chǔ)。
本節(jié)的難點(diǎn)是矩形性質(zhì)的靈活應(yīng)用。由于矩形是非凡的平行四邊形,所以它不但具有平行四邊形的性質(zhì),同時(shí)還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)。假如得到一個(gè)平行四邊形是矩形,就可以得到許多關(guān)于邊、角、對(duì)角線的條件,在實(shí)際解題中,應(yīng)該應(yīng)用哪些條件,怎樣應(yīng)用這些條件,經(jīng)常讓許多學(xué)生手足無(wú)措,教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)給予足夠重視。
教法建議
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)和與平行四邊形的關(guān)系,建議教師在教學(xué)過(guò)程中注重以下問(wèn)題:
1.矩形的知識(shí),學(xué)生在小學(xué)時(shí)接觸過(guò)一些,可由小學(xué)學(xué)過(guò)的知識(shí)作為引入。
2.矩形在現(xiàn)實(shí)中的實(shí)例較多,在講解矩形的性質(zhì)和判定時(shí),教師可自行預(yù)備或由學(xué)生預(yù)備一些生活實(shí)例來(lái)進(jìn)行判別應(yīng)用了哪些性質(zhì)和判定,既增加了學(xué)生的參與感又鞏固了所學(xué)的知識(shí).
3.假如條件答應(yīng),教師在講授這節(jié)內(nèi)容前,可指導(dǎo)學(xué)生按照教材145頁(yè)圖430所示,制作一個(gè)平行四邊形作為教學(xué)過(guò)程中的道具,既增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和參與感,有在教學(xué)中有切實(shí)的體例,使學(xué)生對(duì)知識(shí)的把握更輕松些.
4.在對(duì)性質(zhì)的講解中,教師可將學(xué)生分成若干組,每個(gè)學(xué)生分別對(duì)事先預(yù)備后的圖形進(jìn)行邊、角、對(duì)角線的測(cè)量,然后在組內(nèi)進(jìn)行整理、歸納.
5.由于矩形的性質(zhì)定理證實(shí)比較簡(jiǎn)單,教師可引導(dǎo)學(xué)生分析思路,由學(xué)生來(lái)進(jìn)行具體的證實(shí).
6.在矩形性質(zhì)應(yīng)用講解中,為便于理解把握,教師要注重題目的層次安排。
矩形教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
1.知道矩形的定義和矩形與平行四邊形之間的聯(lián)系;能說(shuō)出矩形的四個(gè)角都是直角和矩形的的對(duì)角線相等的性質(zhì);能推出直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)。
2.能運(yùn)用以上性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證實(shí)和計(jì)算。
此外,從矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系中,體會(huì)非凡與一般的關(guān)系,滲透集合的思想,培養(yǎng)學(xué)生辨證唯物主義觀點(diǎn)。
引導(dǎo)性材料
想一想:一般四邊形與平行四邊形之間的相互關(guān)系?在圖4.5-l的圓圈中填上“四邊形”和“平行四邊形”的字樣來(lái)說(shuō)明這種關(guān)系:即平行四邊形是非凡的四邊形,又具有一般四邊形的一切性質(zhì);具有一些非凡的性質(zhì)。
小學(xué)里已學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形,即矩形。顯然,矩形是平行四邊形,而且矩形還具有四個(gè)角都是直角(小學(xué)里已學(xué)過(guò))等非凡性質(zhì),那么,假如在圖4.51中再畫(huà)一個(gè)圈表示矩形,這個(gè)圈應(yīng)畫(huà)在哪里?
(讓學(xué)生初步感知矩形與平行四邊形的從屬關(guān)系。)
演示:用四根木條制作一個(gè)平行四邊形教具。利用平行四邊形的不穩(wěn)定性,演示如圖4.52,當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角由銳角變?yōu)殁g角的過(guò)程中,會(huì)發(fā)生怎樣的非凡情況,這時(shí)的圖形是什么圖形(矩形)。
問(wèn)題1:從上面的演示過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn):平行四邊形具備什么條件時(shí),就成了矩形?
說(shuō)明與建議:教師的演示應(yīng)充分展現(xiàn)變化過(guò)程,從而讓學(xué)生深切地感受到短形是無(wú)數(shù)個(gè)平行四邊形中的一個(gè)特例,同時(shí),又使學(xué)生能正確地給出矩形的定義。
問(wèn)題2:矩形是非凡的平行四邊形,它除了“有一個(gè)角是直角”以外,還可能具有哪些平行四邊形所沒(méi)有的非凡性質(zhì)呢?
說(shuō)明與建議:讓學(xué)生分組探索,有必要時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生,根據(jù)研究平行四邊形獲得的經(jīng)驗(yàn),分別從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面探索矩形的特性,還可提醒學(xué)生,這種探索的基礎(chǔ)是矩形“有一個(gè)角是直角”矩形的四個(gè)角都相等(矩形性質(zhì)定理1),要學(xué)生給以證實(shí)(即課本例1后練習(xí)第1題)。
學(xué)生能探索得出“矩形的鄰邊互相垂直”的特性,教師可作說(shuō)明:這與矩形的四個(gè)角是直角本質(zhì)上是一致的,所以不必另列為一個(gè)性質(zhì)。
學(xué)生探索矩形的四條對(duì)角線的大小關(guān)系時(shí),如有困難,可引導(dǎo)學(xué)生測(cè)量并比較矩形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度,然后加以證實(shí),得出性質(zhì)定理2。
問(wèn)題3:矩形的一條對(duì)角線把矩形分成兩個(gè)直角三角形,矩形的對(duì)角線既互相平分又相等,由此,我們可以得到直角三角形的什么重要性質(zhì)?
說(shuō)明與建議:(1)讓學(xué)生先觀察圖4.53,并議論猜想,如學(xué)生有困難,教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中的一個(gè)直角三角形(如RtABC),讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)斜邊上的中線BO與斜線AC的大小關(guān)系,然后讓學(xué)生自己給出如下證實(shí):
證實(shí):在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AC=BD(矩形的對(duì)角線相等)。
,AO=CO
在RtABC中,BO是斜邊AC上的中線,且。
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
例題解析
例1:(即課本例1)
說(shuō)明:本題難度不大,又有助于學(xué)生加深對(duì)性質(zhì)定理的理解,教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索解法:
如圖4.5-4,欲求對(duì)角線BD的長(zhǎng),由于∠BAD=90°,AB=4cm,則只要再找出RtABD中一條直角邊的長(zhǎng),或一個(gè)銳角的度數(shù),再?gòu)囊阎獥l件∠AOD=120°出發(fā),應(yīng)用矩形的性質(zhì)可知,∠ADB=30°,另外,還可以引導(dǎo)學(xué)生探究AOB是什么非凡的三角形(等邊三角形),課本用了第一種解法,并給出了解幾何計(jì)算題書(shū)寫(xiě)格式的示范;第二種解法如下:
四邊形ABCD是矩形,
AC=BD(矩形的對(duì)角線相等)。
又。
OA=BO,AOB是等腰三角形,
∠AOD=120°,∠AOB=180°120°=60°
∠AOB是等邊三角形。
BO=AB=4cm,
BD=2BO=24×4cm=8cm。
例2:(補(bǔ)充例題)
已知:如圖4.5-5四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中點(diǎn),EF平分∠BED交BD于點(diǎn)F。
(l)猜想:EF與BD具有怎樣的關(guān)系?
(2)試證實(shí)你的猜想。
解:(l)EF垂直平分BD。
(2)證實(shí):∠ABC=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)。
(直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半)。
同理:。
BE=DE。
又EF平分∠BED。
EFBD,BF=DF。
說(shuō)明:本例是一道不給出“結(jié)論”,需要學(xué)生自己觀察猜想討論的幾何命題,有助于發(fā)展學(xué)生的推理(包括合情推理和邏輯推理)能力。假如學(xué)生不適應(yīng),或有困難,教師可根據(jù)實(shí)際情況加以引導(dǎo),這種練習(xí),重要的不是猜對(duì)了沒(méi)有?證實(shí)了沒(méi)有?而是讓學(xué)生經(jīng)歷這樣一種自己研究圖形性質(zhì)的過(guò)程,順便指出:求解本題的重要基礎(chǔ)是識(shí)圖技能能從復(fù)雜圖形中分解出如圖4.56所示的三個(gè)基本圖形。
課堂練習(xí)
1.課本例1后練習(xí)題第2題。
2.課本例1后練習(xí)題第4題。
小結(jié)
1.矩形的定義:
2.歸納總結(jié)矩形的性質(zhì):
對(duì)邊平行且相等
四個(gè)角都是直角
對(duì)角線平行且相等
3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
4.矩形的一條對(duì)角線把矩形分成兩個(gè)全等的直角三角形;矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)全等的等腰三角形。因此,有關(guān)矩形的問(wèn)題往往可化為直角三角形或等腰三角形的問(wèn)題來(lái)解決。
作業(yè)
我說(shuō)課的內(nèi)容是人教版八年級(jí)下冊(cè)第十二章第三節(jié)——等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)于這堂課的教材分析及教學(xué)設(shè)計(jì)，現(xiàn)從教材分析、教學(xué)目標(biāo)、教法學(xué)法分析、教學(xué)過(guò)程、幾點(diǎn)說(shuō)明五個(gè)方面給大家介紹：
1教材分析
首先是教材地位和作用分析：本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一般三角形和軸對(duì)稱的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的一種特殊的三角形，主要學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)。本節(jié)內(nèi)容既是前面知識(shí)的深化和應(yīng)用，又是今后學(xué)習(xí)等邊三角形，等腰梯形等幾何圖形的預(yù)備知識(shí)，還是證明角相等，線段相等及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。因此，本節(jié)內(nèi)容在教材中處于非常重要的位置，起著承前啟后的作用。另外，研究和學(xué)習(xí)本課，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、分析能力，養(yǎng)成在等腰三角形中添加適當(dāng)輔助線的意識(shí)，以及向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想等方面起了很大的作用。在此基礎(chǔ)上，我確立本堂課的教學(xué)重點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)是等腰三角形性質(zhì)的證明。
2教學(xué)目標(biāo)
這堂課的教學(xué)目標(biāo)確定以下三個(gè)方面：
（1）使學(xué)生掌握等腰三角形的性質(zhì)定理，并能進(jìn)行初步應(yīng)用
（2）培養(yǎng)學(xué)生在等腰三角形中添加適當(dāng)輔助線的意識(shí)，并通過(guò)添加輔助線，向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想，從而深入領(lǐng)會(huì)分析幾何證明題的方法。
（3）使學(xué)生進(jìn)一步了解追尋規(guī)律，研究問(wèn)題的方法，尤其是研究幾何對(duì)象的基本思路。
3教法與學(xué)法分析
組織學(xué)生以小組活動(dòng)為載體，交流探究為主線進(jìn)行學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極感知，大膽猜想，并引導(dǎo)他們探究，論證，努力為學(xué)生搭建一個(gè)自由交流學(xué)習(xí)的空間和平臺(tái)，促進(jìn)學(xué)生新的知識(shí)，能力生成。
4教學(xué)過(guò)程
4.1首先是興趣導(dǎo)入，復(fù)習(xí)舊知。師生共同欣賞一組軸對(duì)稱圖形的圖片，并讓學(xué)生按照軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，利用兩個(gè)三角板構(gòu)造一組圖形，要求：
（1）拼出的圖形是軸對(duì)稱圖形；（2）拼得的軸對(duì)稱圖形是三角形。
學(xué)生以小組的形式按要求拼圖，教師收集成果，并及時(shí)設(shè)問(wèn)：
你拼出了一個(gè)什么樣的三角形？并質(zhì)疑：“等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)及兩腰相等的特點(diǎn)外，還有哪些特殊的性質(zhì)？”從而引出課題。
學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手，感知等腰三角形的對(duì)稱性，有趣的活動(dòng)不但激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還對(duì)接下來(lái)的性質(zhì)探究和證明做鋪墊。
4.2設(shè)置情景，引導(dǎo)探究。首先，讓學(xué)生用直尺等工具在紙上畫(huà)一個(gè)等腰三角形，思考這樣一個(gè)問(wèn)題“如果讓你來(lái)研究等腰三角形的特殊性質(zhì)，你覺(jué)得要從哪些要素加以分析？”讓學(xué)生分成小組探討，學(xué)生在探討過(guò)程中，想到一般三角形的構(gòu)成元素：邊，角，以及三角形的重要的三種線段，得到的結(jié)論可能不唯一，有些學(xué)生會(huì)想到從等腰三角形的兩個(gè)底角出發(fā)加以研究，還有思維靈活的同學(xué)可能會(huì)想到從等腰三角形的底邊上的中線，底邊上的高和頂角的角平分線加以研究；思維更加靈活，想象空間更寬廣的學(xué)生會(huì)想到兩腰上的中線，高加以研究，對(duì)于學(xué)生的探討結(jié)果，老師進(jìn)行歸納，歸納出以下四個(gè)元素是我們這堂課研究的主要內(nèi)容：（1）兩個(gè)底角；（2）底邊上的中線；（3）底邊上的高；（4）頂角的角平分線。引導(dǎo)學(xué)生的注意力集中到這四個(gè)方面來(lái)，面對(duì)這四個(gè)元素，再追問(wèn)：“你可以用哪些方法分析這些要素？”大部分同學(xué)能想到用量角器測(cè)量，畫(huà)圖的方法。思維靈活的同學(xué)能想到利用軸對(duì)稱性質(zhì)對(duì)折等腰三角形。教師針對(duì)學(xué)生的探究方法給予肯定，并讓學(xué)生親自操作，同時(shí)設(shè)問(wèn)：“你發(fā)現(xiàn)這四個(gè)元素可能存在什么樣的關(guān)系？說(shuō)說(shuō)你猜想”學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行猜想，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)底角相等，三條線段為同一線段。老師再次歸納學(xué)生的結(jié)論，并對(duì)他們的探究成果給予肯定。通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，不僅使學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展過(guò)程，還能較好的培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。
4.3證明猜想，形成定理。老師先質(zhì)疑：“哪個(gè)同學(xué)畫(huà)出的等腰三角形沒(méi)有這兩個(gè)特點(diǎn)？”同時(shí)設(shè)問(wèn)：“所有的等腰三角形都具備這兩個(gè)特點(diǎn)嗎？”對(duì)于學(xué)生的肯定回答，老師聲明，要想加以確認(rèn)，必須進(jìn)行理論證明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
這樣用文字證明的幾何問(wèn)題，包括了證明的三個(gè)步驟，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，因此，我決定通過(guò)三個(gè)問(wèn)題的解答，幫助學(xué)生理順?biāo)悸罚怆y題。問(wèn)題一：找出命題“等腰三角形兩個(gè)底角相等”的題設(shè)，結(jié)論，并根據(jù)畫(huà)出的圖形寫(xiě)出已知，求證。這個(gè)設(shè)計(jì)，使學(xué)生體會(huì)將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，幫助學(xué)生寫(xiě)出已知，求證。問(wèn)題二：證明兩個(gè)角相等的方法有哪些？ 該問(wèn)題供給學(xué)生解決新問(wèn)題的思路，引導(dǎo)學(xué)生用舊知識(shí)，解決新問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。問(wèn)題三：怎樣把等腰三角形分成兩個(gè)全等三角形呢？本題中輔助線的添加是這堂課的一個(gè)難點(diǎn)，由此，我決定讓學(xué)生把課堂開(kāi)始拼得的等腰三角形拿出來(lái)，并讓學(xué)生回憶拼圖的過(guò)程，學(xué)生能夠很快發(fā)現(xiàn)等腰三角形是用兩個(gè)全等的三角形組成，重合的線段是對(duì)稱軸。在此基礎(chǔ)上繼續(xù)設(shè)問(wèn)：當(dāng)這條對(duì)稱軸隱藏起來(lái)了，怎樣把等腰三角形分成兩個(gè)全等的三角形？由于對(duì)知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展有了充分的了解，學(xué)生通過(guò)探討，可能會(huì)出現(xiàn)以下三種解決方法：（1）做底邊的中線（2）做底邊的高（3）做頂角的角平分線。以以做底邊上的中線為例，讓學(xué)生陳述證法，老師板書(shū)，規(guī)范書(shū)寫(xiě)。
這個(gè)過(guò)程不僅使學(xué)生了解了做證明題的三個(gè)步驟，而且使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)中化未知為以知的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的過(guò)程，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。
4.4講練結(jié)合，加深認(rèn)識(shí)。 第一題是口答練習(xí)，使學(xué)生能夠利用性質(zhì)一解決問(wèn)題，第二題是將證明的理論翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為以后解決角度相等，線段相等，線段垂直的問(wèn)題提供了新的依據(jù)和方法。并再此基礎(chǔ)上設(shè)問(wèn)：“若等腰三角形中的三線出現(xiàn)一線，你會(huì)想到什么？若等腰三角形中的三線一線未出，你應(yīng)該想到什么？”聽(tīng)過(guò)這個(gè)問(wèn)題的解答，使學(xué)生對(duì)性質(zhì)定理的認(rèn)識(shí)實(shí)現(xiàn)了飛躍。第三題源于課本，師生共同完成，目的在于培養(yǎng)學(xué)生正確應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，鞏固所學(xué)性質(zhì)。
4.5歸納小結(jié)，當(dāng)堂測(cè)試。 首先小結(jié)部分引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，思想方法上的收獲，幫助學(xué)生構(gòu)建比較完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，歸納數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的思想方法，從而提高他們自主學(xué)習(xí)，獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力。
當(dāng)一個(gè)人進(jìn)入社會(huì)之后,還要在工作中不斷學(xué)習(xí)新的知識(shí)和技能,這時(shí)候,一個(gè)人學(xué)習(xí)效率的高低則會(huì)影響他(或她)的工作成績(jī),繼而影響他的事業(yè)和前途。那么你們知道關(guān)于初三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料內(nèi)容還有哪些呢?下面是小編為大家準(zhǔn)備2021年初三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料大全，歡迎參閱。
初三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料章一1.通過(guò)猜想,驗(yàn)證,計(jì)算得到的定理：
(1)全等三角形的判定定理：
(2)與等腰三角形的相關(guān)結(jié)論:
①等腰三角形兩底角相等(等邊對(duì)等角)
②等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合(三線合一)
③有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊)
(3)與等邊三角形相關(guān)的結(jié)論：
①有一個(gè)角是60°得等腰三角形是等邊三角形
②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
③三條邊都相等的三角形是等邊三角形
(4)與直角三角形相關(guān)的結(jié)論：
①勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
②勾股定理逆定理：在一個(gè)三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形一定是直角三角形
③HL定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
④在三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半
2.兩條特殊線
(1)線段的垂直平分線
①線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩邊的距離相等
互為逆定理{
②到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
③三角形的三條垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到這三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等
(2)角平分線
①角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等
互為逆定理{
②在一個(gè)角的內(nèi)部，并且到這個(gè)角的兩邊距離相等的的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線上
3.命題的逆命題及真假
①在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論是另一個(gè)命題的結(jié)論與條件，我們就說(shuō)這兩個(gè)命題互為逆命題，其中一個(gè)是另一個(gè)的逆命題
②如果一個(gè)定理的逆命題是真命題，那么他也是一個(gè)定理，我們稱這兩個(gè)定理為互逆定理
③反正法：從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件，定理相矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，使命題獲得了證明
初三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料章二1.平行四邊形
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
性質(zhì)定理:
(1)兩組對(duì)邊分別相等
(2)平行四邊形對(duì)角相等
(3)對(duì)角線互相平分
判定定理：
(1)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
(2)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
2.等腰梯形
定義：兩腰相等的梯形叫等腰梯形
性質(zhì)定理：
(1)同一底上的兩個(gè)角相等
(2)等腰梯形的對(duì)角線相等
判定定理：
(1)同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
(2)兩條對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形
定理：夾在兩條平行線中間的平行線段相等
3.三角形和梯形的中位線：
(1)三角形的中位線
定義：三角形中任意兩邊中點(diǎn)的連線，叫三角形的中位線(三角形有三條中位線)
性質(zhì)定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半
(2)梯形的中位線
定義：梯形兩腰中點(diǎn)的連線，叫梯形的中位線，梯形的中位線平行于上底下底
性質(zhì)定理：梯形的中位線等于上，下底之和的一半
4.矩形特殊的平行四邊形
定理：一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形
性質(zhì)定理：
(1)矩形的四個(gè)角都是直角
(2)矩形的對(duì)角線相等
判定定理：
(1)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形
(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
推論：直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半
逆定理：如果一個(gè)三角形中，一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形
5.菱形特殊的平行四邊形
定義：一組鄰邊相等的的平行四邊形是菱形
性質(zhì)定理：
(1)菱形的四條邊都相等
(2)菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條線平分一組對(duì)角
判定定理：
(1)四條邊都相等的四邊形是菱形
(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形
面積計(jì)算：菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半
6正方形特殊的平行四邊形
定義：每一個(gè)角都是直角，并且鄰邊相等
性質(zhì)定理：
(1)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角
(2)對(duì)角線互相垂直，平分，相等，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
判定定理：
(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形
(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形
(3)對(duì)角線相等的菱形是正方形
(4)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
7.連接四邊形各個(gè)中點(diǎn)得到
(1)依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)能得到平行四邊形
(2)依次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)能得到平行四邊形
(3)依次連接菱形各邊中點(diǎn)能得到矩形
(4)依次連接矩形各邊中點(diǎn)能得到菱形
(5)依次連接正方形各邊中點(diǎn)能得到正方形
第四章視圖與投影
1.三視圖
主視圖左視圖
俯視圖
(1)主視圖與左視圖要高平齊
(2)主視圖與俯視圖要長(zhǎng)對(duì)正
(3)俯視圖與左視圖要寬相等
2.投影
①平行投影
②中心投影
視點(diǎn)，視線，盲區(qū)
第五章反比例函數(shù)
k
1.定義：y=-(k≠0)
x
xy=k(k≠0)
y=kx-1(y≠0)
k
2.性質(zhì)：y=-(k≠0)
x
①k>0時(shí)，圖像在一，三象限，并且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而減小
②k
3.會(huì)與一次函數(shù)相結(jié)合
一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)
性質(zhì)①k>0時(shí)，y隨x的增大而增大
②k
b:在y軸上的截距
第六章頻率與概率
1.理論概率
(1)只涉及一步試驗(yàn)概率
多次試驗(yàn)得到的試驗(yàn)頻率就等于理論概率
(2)涉及兩步試驗(yàn)
①樹(shù)狀圖
②列表法
(3)試驗(yàn)做估
初三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料章三1.一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)X的整式方程，并且可以化成aX?+bX+C=0(a≠0)形式稱它為一元二次方程
aX?+bX+C=0(a≠0)一般形式
aX?叫二次項(xiàng)bX叫一次項(xiàng)C叫常數(shù)項(xiàng)a叫二次項(xiàng)系數(shù)b叫一次項(xiàng)系數(shù)
2.一元二次方程解法：
(1)配方法：(X±a)?=b(b≥0)注：二次項(xiàng)系數(shù)必須化為1
(2)公式法：aX?+bX+C=0(a≠0)確定a,b,c的值，計(jì)算b?-4ac≥0
若b?-4ac>0則有兩個(gè)不相等的實(shí)根，若b?-4ac=0則有兩個(gè)相等的實(shí)根，若b?-4ac
若b?-4ac≥0則用公式X=-b±√b?-4ac/2a注：必須化為一般形式
(3)分解因式法
①提公因式法：ma+mb=0m(a+b)=0
平方差公式：a?-b?=0(a+b)(a-b)=0
②運(yùn)用公式法：{
完全平方公式：a?±2ab+b?=0(a±b)?=0
③十字相乘法
例題：X?-2X-3=0
1\/111
×｝X?的系數(shù)為1則可以寫(xiě)成{常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為3則可寫(xiě)成{
1/\-31-3
--------
-3+1=-2交叉相乘在相加求值，值必須等于一次項(xiàng)系數(shù)
一、教學(xué)誤區(qū)
1.數(shù)學(xué)思維的含金量不高
蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》（以下稱“蘇科版”）八年級(jí)上冊(cè)教材，在“等腰三角形的軸對(duì)稱性”這一內(nèi)容中，就探究“等腰三角形的性質(zhì)”提供了下列教學(xué)素材：把等腰三角形紙片（圖1）沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？
……
探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一內(nèi)容，又提供了下列教學(xué)素材：剪一張直角三角形紙片，如圖2（1）。
……
把紙片按圖2（2）所示的方法折疊，再把紙片展開(kāi)并連接CD（如圖2（3）），你發(fā)現(xiàn)了什么？
……
教材的編寫(xiě)意圖，顯然是要讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作來(lái)獲取等腰三角形的性質(zhì)及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”等一系列的結(jié)論。這種由操作到結(jié)論的方法，解決問(wèn)題的入口寬，操作簡(jiǎn)便，不失是一種幫助學(xué)生探究問(wèn)題的好辦法。
教學(xué)中，如果將教材中的操作原封不動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，對(duì)于基礎(chǔ)差一點(diǎn)的學(xué)生，運(yùn)用這種方法，顯然在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)也獲取了知識(shí)。而對(duì)于基礎(chǔ)好一點(diǎn)、思維能力強(qiáng)一點(diǎn)的學(xué)生，讓他們被動(dòng)地按照上述的操作指令進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，即使得到有效結(jié)論，也只是在茫然中獲取的。這種“指令性操作”，只有折疊的技術(shù)要求，沒(méi)有思維的活動(dòng)內(nèi)涵，久之，勢(shì)必削弱學(xué)生數(shù)學(xué)思維的含金量。如果只是用技術(shù)做實(shí)驗(yàn)，那么數(shù)學(xué)課與技術(shù)課、勞技課還有差別嗎？建立在“指令性操作”這一層面上的實(shí)驗(yàn)與教學(xué)中一貫反對(duì)的“告訴式”、“注入式”教學(xué)有差別嗎？這值得研究與探討。
2.實(shí)驗(yàn)價(jià)值利用率不大
“蘇科版教材”（八年級(jí)上冊(cè)），在“多邊形的內(nèi)角和與外角和”這一內(nèi)容中，提供了下列教學(xué)素材：
在小學(xué)里，我們?cè)?jīng)把一個(gè)三角形的3個(gè)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)了“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。（筆者以下稱“拼角實(shí)驗(yàn)”）
如圖3，在ABC的邊AC所在的直線繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中，直線AC與邊BC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)C1、C2、C3……
（1）在上述過(guò)程中，哪些角的大小發(fā)生了變化？
（2）度量∠BAC與∠ACB，并求它們的和;度量∠BAC1與∠AC1B、∠BAC2與∠AC2B、∠BAC3與∠AC3B……并分別求它們的和。你發(fā)現(xiàn)了什么？
（3）當(dāng)直線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AC′，使AC′∥BC′時(shí)，度量∠BAC′的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（筆者以下稱“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”）
“拼角實(shí)驗(yàn)”主要是發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，并由拼角實(shí)驗(yàn)的啟發(fā)，得到證明三角形內(nèi)角和的輔助線。而在實(shí)際教學(xué)中，老師只開(kāi)發(fā)出實(shí)驗(yàn)的發(fā)現(xiàn)價(jià)值，實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，沒(méi)有將研究的價(jià)值從拼角的過(guò)程中遷移到論證的輔助線的作法上來(lái)，這樣就喪失了這個(gè)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)價(jià)值。
同樣，在“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”中，其價(jià)值一是用“控制變量法”來(lái)研究三角形的內(nèi)角和。即控制三角形中的一個(gè)內(nèi)角∠B不變，通過(guò)變化∠BAC、∠ACB的大小，發(fā)現(xiàn)∠BAC與∠ACB的和不變，進(jìn)而得到三角形的三個(gè)內(nèi)角的和不變，是一個(gè)固定值，從而激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的探究欲望。價(jià)值二是探究三角形三個(gè)內(nèi)角和這個(gè)固定值是多少，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。價(jià)值三是從實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，尋找到證明三角形內(nèi)角和定理的輔助線的另一種作法，從而為證明三角形內(nèi)角和為180°服務(wù)。在教學(xué)過(guò)程中，教師往往將轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)單一地理解為發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理，價(jià)值一、價(jià)值三被忽視了。
3.數(shù)學(xué)本質(zhì)的遷移性不強(qiáng)
“蘇科版教材”（七年級(jí)上冊(cè)）有這樣一道習(xí)題：
桌子上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只，能否經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，能否經(jīng)過(guò)若干次翻轉(zhuǎn)使7只杯子的杯口全部朝下？
教學(xué)中有不少教師讓幾位同學(xué)拿上7個(gè)紙杯到講臺(tái)桌旁進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，或者讓學(xué)生預(yù)先準(zhǔn)備好紙杯，上課時(shí)自我實(shí)驗(yàn)。第一次，翻動(dòng)后有2只杯子口朝下，5只杯子口朝上;第二次，翻動(dòng)后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上;第三次，翻動(dòng)后有6只杯子口朝下，1只杯子口朝上;第四次，翻動(dòng)后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上……一分鐘過(guò)去了，兩分鐘過(guò)去了，四分鐘過(guò)去了……時(shí)間一分一秒的流逝了，學(xué)生卻隨著時(shí)間變得昏昏沉沉，手忙腳亂，連翻動(dòng)了幾次也數(shù)不清，怎么也想不出來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的思路。最后，教師不得不告訴學(xué)生，無(wú)論翻動(dòng)多少次，杯口朝上的都是奇數(shù)不是偶數(shù)，所以無(wú)論翻動(dòng)多少次都是不可能杯口全部朝下的，這才將本問(wèn)題勉強(qiáng)解決了。究其原因，這是教師、學(xué)生看不清問(wèn)題而造成的。
二、矯正方法
1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在價(jià)值立意上作設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值立意必須是建立在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)之上，如果離開(kāi)了數(shù)學(xué)思維，將實(shí)驗(yàn)定位在按提供的實(shí)驗(yàn)程序進(jìn)行機(jī)械的操作，那只能算是一個(gè)簡(jiǎn)單的技術(shù)活動(dòng)，這樣的活動(dòng)只有動(dòng)手沒(méi)有動(dòng)腦，已偏離數(shù)學(xué)的軌道，失去了數(shù)學(xué)味道，在數(shù)學(xué)教學(xué)上就沒(méi)有意義了。
要凸顯數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教育價(jià)值，必須讓其既具有科學(xué)實(shí)驗(yàn)的一般立意，又具有數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維魅力。即讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也遵循科學(xué)實(shí)驗(yàn)“目的――實(shí)驗(yàn)――猜想――論證――結(jié)論”的一般規(guī)律。基于這樣的認(rèn)識(shí)，可以對(duì)文中提及的“等腰三角形的性質(zhì)”的教學(xué)素材進(jìn)行如下處理。
實(shí)驗(yàn)1：探究“等腰三角形的性質(zhì)”
【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹客ㄟ^(guò)1次折疊1個(gè)等腰三角形形成2個(gè)全等的直角三角形的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)。
根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)?zāi)康模處熆梢栽O(shè)計(jì)下列活動(dòng)，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。
（1）師：今天老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了一些等腰三角形紙片和直角三角形紙片，這節(jié)課就和同學(xué)們玩玩這些紙片，同學(xué)們有沒(méi)有興趣？
設(shè)計(jì)意圖：用這樣的開(kāi)場(chǎng)白，來(lái)激發(fā)學(xué)生的積極性。
（2）師：如何將手中的1個(gè)等腰三角形紙片，通過(guò)1次折疊形成2個(gè)全等的直角三角形？
設(shè)計(jì)意圖：提出這個(gè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生弄清折疊的要求，進(jìn)而探尋折疊的方法。這個(gè)過(guò)程，就是教師層面上設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，主要由教師站在數(shù)學(xué)背景的高度來(lái)提出問(wèn)題，讓學(xué)生探尋實(shí)驗(yàn)方案。
【實(shí)驗(yàn)活動(dòng)】讓學(xué)生根據(jù)教師提出的實(shí)驗(yàn)要求，在思維場(chǎng)景中去探尋折疊與相等、對(duì)稱的關(guān)系，從而讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，而不是讓學(xué)生麻木地去折、去猜、去碰，最終形成學(xué)生層面上的實(shí)驗(yàn)方案，進(jìn)而達(dá)到教材中折疊的技術(shù)要求。
方案1：根據(jù)“相等原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數(shù)學(xué)活動(dòng)）――重合（數(shù)學(xué)觀念）――相等（數(shù)學(xué)結(jié)論）”這一“相等”的思路，進(jìn)行折疊。
方案2：根據(jù)“對(duì)稱原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數(shù)學(xué)活動(dòng)）――重合（數(shù)學(xué)觀念）――對(duì)稱（數(shù)學(xué)結(jié)論）”這一“對(duì)稱”的思路，進(jìn)行折疊。
學(xué)生經(jīng)過(guò)這個(gè)思維背景再進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（折疊），不但驗(yàn)證了自己的想法（方案）可行可用，而且還錘煉了數(shù)學(xué)思維。對(duì)于思維層次不高的學(xué)生，讓他們自主地構(gòu)建上述活動(dòng)顯然有困難，這個(gè)困難主要是怎么設(shè)計(jì)出折疊的方案，而對(duì)于折疊的技術(shù)，他們?cè)谂c其他同學(xué)討論交流中，也能完成這樣一個(gè)折疊操作，并且在這個(gè)活動(dòng)中并沒(méi)有降低課本對(duì)他們的基本要求。
【數(shù)學(xué)猜想】實(shí)驗(yàn)是表征，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論才是本源。為此，實(shí)驗(yàn)后，教師要讓學(xué)生直逼數(shù)學(xué)本質(zhì)。這個(gè)活動(dòng)一般可運(yùn)用下列方法來(lái)進(jìn)行。
師：通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，你可以得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論？
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，得到“等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角的平分線所在的直線、底邊上的高所在直線、底邊上的中線所在的直線都是它的對(duì)稱軸;等腰三角形的兩底角相等;等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角平分線重合”數(shù)學(xué)猜想。
【數(shù)學(xué)證明】實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)學(xué)猜想，是基于直覺(jué)和簡(jiǎn)單邏輯下形成的，那么就有必要對(duì)數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，因?yàn)閿?shù)學(xué)的最高境界便是證明。為了實(shí)現(xiàn)上述目的，可以設(shè)計(jì)下列問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生證明。
師：你上述的猜想一定正確嗎？
設(shè)計(jì)意圖：引發(fā)學(xué)生進(jìn)行理性證明。
【數(shù)學(xué)結(jié)論】通過(guò)折疊，輔之于觀察、抽象、歸納、簡(jiǎn)單的推理等思維活動(dòng)，形成了數(shù)學(xué)猜想;通過(guò)數(shù)學(xué)論證，即通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理、有力的數(shù)學(xué)證明，得到了絕對(duì)真理的數(shù)學(xué)結(jié)論。如何證明這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，是脫離數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，另辟蹊徑;還是回歸實(shí)驗(yàn)，探尋靈感？顯然是要讓學(xué)生透過(guò)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，探求形成現(xiàn)象的本質(zhì)，完成論證猜想的證明。所以在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，探究輔助線的作法，一定要讓學(xué)生回歸折疊的過(guò)程，不僅要讓學(xué)生正確地引出輔助線，而且還要讓學(xué)生體驗(yàn)輔助線誕生的必要性與合理性，這才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)價(jià)值。
【經(jīng)驗(yàn)積累】任何一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，都要讓學(xué)生形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)橹挥谢顒?dòng)沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，只能是一個(gè)執(zhí)行命令的過(guò)程，它永遠(yuǎn)停留在重復(fù)別人想法的過(guò)程中，所以只有通過(guò)活動(dòng)形成自己特有經(jīng)驗(yàn)，才是一個(gè)將別人的想法內(nèi)化為自己知識(shí)的過(guò)程，這才是學(xué)習(xí)的真正目的。這個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，帶給學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)主要有上述提及的“相等思維”和“對(duì)稱思維”這兩種思維方法，它既是設(shè)計(jì)折疊實(shí)驗(yàn)方案的基本思路，也是解決折疊問(wèn)題的基本方法。
完成了探究等腰三角形的性質(zhì)后，還可以用下列實(shí)驗(yàn)活動(dòng)來(lái)探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的問(wèn)題
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2：探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”
問(wèn)題1：既然1個(gè)等腰三角形紙片通過(guò)1次折疊可以形成2個(gè)全等的直角三角形，那么可不可以將一個(gè)直角三角形通過(guò)2次折疊，形成2個(gè)等腰三角形呢？
問(wèn)題2：從將1個(gè)直角三角形通過(guò)2次折疊，形成2個(gè)等腰三角形的實(shí)驗(yàn)中，你們又可以得到哪些數(shù)學(xué)猜想？
問(wèn)題3：你準(zhǔn)備如何來(lái)論證這個(gè)結(jié)論？
……
這三個(gè)問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，也是基于“目的――實(shí)驗(yàn)――猜想――論證――結(jié)論”的理念。有價(jià)值的思維永遠(yuǎn)不是建立在技巧上，而是體現(xiàn)在解決一類問(wèn)題的通法上，因?yàn)樗墙逃?guī)律在教學(xué)實(shí)踐中的具體體現(xiàn)。
2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在過(guò)程分析上作整合
在“等腰三角形的性質(zhì)”中，已提及到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在其過(guò)程中吸取養(yǎng)分，下面再根據(jù)“三角形內(nèi)角和定理”，重點(diǎn)談?wù)勥@個(gè)話題。
三角形內(nèi)角和的實(shí)驗(yàn)，其立意就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角，適當(dāng)?shù)亍鞍岚峒摇保M合變成我們熟知的180°的角。學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)，已有平角的度數(shù)是180°、鄰補(bǔ)角的度數(shù)是180°、平行線形成的同旁內(nèi)角的和是180°等知識(shí)諸備。就“拼角實(shí)驗(yàn)”而言，形成新角的過(guò)程一是形成平角，二是形成鄰補(bǔ)角。就“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”而言，形成新角的過(guò)程是平行線下的同旁內(nèi)角。這三種拼角的過(guò)程非常重要，它是形成證明三角形內(nèi)角和定理輔助線的關(guān)鍵，也是設(shè)計(jì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值所在，教學(xué)中不容忽視。
（1）拼角實(shí)驗(yàn)下產(chǎn)生的輔助線
①由拼成平角的實(shí)驗(yàn)（圖4），可以構(gòu)造出過(guò)點(diǎn)A引BC平行線DE的輔助線（圖5）的證法。
②由拼成鄰補(bǔ)角的實(shí)驗(yàn)（圖6），構(gòu)造出延長(zhǎng)BA到E，并過(guò)點(diǎn)A引BC平行線AD的輔助線（圖7）的證法。
（2）轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)下產(chǎn)生的輔助線
由拼成平行線下的同旁內(nèi)角互補(bǔ)的實(shí)驗(yàn)（圖8），可以構(gòu)造出過(guò)點(diǎn)A引BC平行線AD的輔助線（圖9）的證法。
通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可以得到三角形內(nèi)角和為180°的假設(shè)，通過(guò)證明，得到了三角形內(nèi)角和定理。看似這一過(guò)程比較圓滿，在此建議增加一個(gè)對(duì)上述思維過(guò)程的反思環(huán)節(jié)。可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述實(shí)驗(yàn)活動(dòng)進(jìn)行研究反思，正因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和是180°，我們才可以設(shè)計(jì)出“拼角實(shí)驗(yàn)”，才可以通過(guò)“拼角實(shí)驗(yàn)”順利尋找出將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角的輔助線、才可以順利尋找出將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成鄰補(bǔ)角的輔助線來(lái)證明內(nèi)角和定理;正因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和是180°，我們才可以設(shè)計(jì)出“轉(zhuǎn)角實(shí)驗(yàn)”，才可以順利尋找出通過(guò)將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平行線形成的同旁內(nèi)角的輔助線來(lái)證明此定理。
3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要在問(wèn)題本質(zhì)上作文章
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與理性思維怎么處理，一直是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)關(guān)注的問(wèn)題。物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)，常常是重過(guò)程現(xiàn)象，更重實(shí)驗(yàn)結(jié)果。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，要關(guān)注的是動(dòng)手思考的習(xí)慣，更注重的是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示。一個(gè)好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，要能引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題，在實(shí)驗(yàn)中抽象出一般的原理，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言講出數(shù)學(xué)故事。
文中所提及的“翻轉(zhuǎn)杯口”的實(shí)驗(yàn)，如果教師看不清、看不準(zhǔn)這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，只能是引導(dǎo)學(xué)生機(jī)械地進(jìn)行這個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生必然得不到深層次的思考。這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是將實(shí)驗(yàn)中的問(wèn)題抽象為通過(guò)改變乘積中因數(shù)符號(hào)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定積的符號(hào)是否發(fā)生變化這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。基于這樣的認(rèn)識(shí)，就能找到這個(gè)問(wèn)題規(guī)律化的結(jié)論。因此，可以將本問(wèn)題作如下拓展。
結(jié)合上述解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)?zhí)骄浚航o定正面向上的撲克牌m張，每次翻動(dòng)n張（m不能被n整除），試研究是否可以經(jīng)過(guò)改變一張或幾張牌的正反面，將桌面上的撲克牌全部反向。
我們不妨將正面向上的每張牌看成數(shù)+1，反面向上的每張牌看成數(shù)-1，每翻動(dòng)一張牌，則桌子上所有牌所寫(xiě)的數(shù)的積就改變一次符號(hào)（由-1變?yōu)?1）。類似于，若一次翻動(dòng)n張，就改變n次符號(hào)。因此，若n為奇數(shù)，由于奇數(shù)個(gè)-1的積為-1，桌子上所有牌所寫(xiě)的數(shù)的積就改變了符號(hào);而若n為偶數(shù)，由于偶數(shù)個(gè)-1的積為+1，桌子上所有牌所寫(xiě)的數(shù)的積仍保持原來(lái)的符號(hào)。
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，要將所有正面向上的牌最終翻動(dòng)成都反面向上，須改變積的符號(hào)。由上可見(jiàn)，若n為偶數(shù)，那是不可能做到的;而若n是奇數(shù)，則有可能做到，且翻動(dòng)的次數(shù)必須奇數(shù)次。
當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，要將所有正面向上的牌最終翻動(dòng)成都反面朝上，不須改變積的符號(hào)。由上可見(jiàn)，若n為奇數(shù)，須翻動(dòng)偶數(shù)次可達(dá)目的;若n是偶數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)（如表1）。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)隨著課程改革的深入，越發(fā)顯示出其強(qiáng)大的生命力，這是毋庸置疑的。本文提及的案例，只是在實(shí)施這一理念中教學(xué)行為上的一些偏差，我們期待更好更多的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)成果的涌現(xiàn)。
以現(xiàn)代教育思想觀念武裝頭腦，是探索數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。現(xiàn)代教育思想觀念要求，在探索研究性學(xué)習(xí)時(shí)，要以現(xiàn)代化教育思想觀念武裝自己的頭腦，要能跳出數(shù)學(xué)看數(shù)學(xué)。新課標(biāo)的教育理念認(rèn)為，創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力不是教出來(lái)的，而是通過(guò)獨(dú)立的思考和有利于創(chuàng)造性思維的環(huán)境激發(fā)出來(lái)的。要在課堂教學(xué)中合理滲透過(guò)程是探索數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的突破口。
案例：《等腰三角形性質(zhì)定理二》探討課
1.提出問(wèn)題
等腰三角形，除了兩個(gè)底角相等的性質(zhì)外，還有哪些性質(zhì)呢？
2.實(shí)驗(yàn)探索
先用一張長(zhǎng)方形紙片剪一個(gè)等腰三角形。將等腰三角形對(duì)折，使兩腰重合，然后打開(kāi)對(duì)折的三角形，觀察折痕，猜想折痕有哪些性質(zhì)，等腰三角形有哪些性質(zhì)？
3.設(shè)置問(wèn)題
（1）這個(gè)猜想是等腰三角形所特有的嗎？不等邊三角形會(huì)不會(huì)也有這些特點(diǎn)呢？
（2）是不是所有的等腰三角形都具備這個(gè)特點(diǎn)呢？
4.推理論證
（1）出示一個(gè)不等邊三角形（用《幾何畫(huà)板》），畫(huà)出同一邊上的高線、中線、角平分線，觀察三線并不重合。
（2）慢慢拖動(dòng)三角形一頂點(diǎn)，將不等邊三角形轉(zhuǎn)化為等腰三角形，發(fā)現(xiàn)底邊上的高線、中線、頂角的平分線互相重合。
（3）在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
5.得出結(jié)論
本節(jié)探討課變直接給出定理為發(fā)現(xiàn)定理，讓學(xué)生人人參與定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，活躍學(xué)生的思維。
一、數(shù)學(xué)開(kāi)放題是實(shí)施數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的載體
例如，怎樣測(cè)量學(xué)校旗桿的高度。針對(duì)各種不同的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)出不同的測(cè)量方法。
這是一道綜合開(kāi)放題，其條件、策略、結(jié)論都是開(kāi)放的。（1）條件的開(kāi)放性。可考慮的各種不同的條件大致有：旗桿的大小，旗桿周圍的地理環(huán)境和測(cè)量者能涉足的位置、測(cè)量工具。（2）策略的開(kāi)放性。可考慮的各種不同的策略大致有：直接測(cè)量、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。利用相似三角形的比例關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，利用三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算等。通過(guò)這樣的活動(dòng)不但使學(xué)生鞏固了解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，而且使學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，以及如何創(chuàng)設(shè)條件將一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。
二、注重用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法處理周圍的社會(huì)生活問(wèn)題是研究性學(xué)習(xí)的延伸
教師在注重對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能進(jìn)行教學(xué)的同時(shí)，更應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)能力的提高，要讓學(xué)生多思、多想、多探索、多領(lǐng)悟，引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)自己理解、分析、歸納等處理問(wèn)題的能力。讓學(xué)生憑借自己的智慧和能力，積極、獨(dú)立地思考問(wèn)題，主動(dòng)探索知識(shí)，創(chuàng)造性地解決社會(huì)生活實(shí)際問(wèn)題。
如，裁縫師傅要想在一塊三角形的布料上剪出一個(gè)半徑盡可能大的圓做裙子，應(yīng)該如何剪才能符合要求？這個(gè)問(wèn)題可歸納為怎樣作一個(gè)圓和三角形的三邊都相切的問(wèn)題。又如，木工把一塊直角三角形的木板加工成一張正方形桌子的臺(tái)面，方法有很多，但若要求臺(tái)面的面積最大，他應(yīng)該怎么做呢？這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為二次函數(shù)的最大值問(wèn)題。
關(guān)鍵詞：面積方法；初等幾何；面積比；等積變形
中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）21-167-01
面積方法直觀、形象，與三角形全等相比更具普遍性。面積方法幾乎可以證明初等幾何中的所有定理，它的思想依據(jù)簡(jiǎn)明、簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵卻深刻、豐富，具有特殊的幾何意義，其實(shí)際應(yīng)用高明、獨(dú)到，往往可以化難為易，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，在初等幾何問(wèn)題的解決中顯示出了強(qiáng)大的生命力，對(duì)解決某些幾何問(wèn)題有事半功倍的效果，其巧妙之處為人稱道，本文將通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明。
一、解決線段關(guān)系
證明線段的比例關(guān)系
例1.證明塞瓦定理（考慮任意點(diǎn)在三角形內(nèi)）。
如圖1，設(shè) 為 內(nèi)任意一點(diǎn)， 、 、 分別交對(duì)邊于 、 、 。
則 。
分析：直接考慮它們的比例關(guān)系很難下手，若能將線段之比轉(zhuǎn)化為相應(yīng)三角形的面積比，就會(huì)更簡(jiǎn)單。
證明：設(shè) 、 、 的面積分別為 、 、 ，
分別過(guò) 、 作 、 垂直于 ，垂足為 、 ，
則 ∽ ，
由性質(zhì)2
，
（1）
同理有
（2）
（3）
（1）×（2）×（3）得：
。
二、證明角的關(guān)系
下邊是一個(gè)很簡(jiǎn)單但很好的例子，問(wèn)題設(shè)計(jì)得非常巧妙，用面積再合適不過(guò).
例2. 如圖5， 中， 、 是 、 邊上的點(diǎn)，且 ， 、 交于G。
求證： 平分
分析：連接 、 ，已知 ，若
善于觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn) 和 的面積是相等
的，都等于 面積的一半，看出這一點(diǎn)
也就知道下一步該做什么。
證明：作 、 分別垂直于 、 ，
、 是垂足，再連接 、 ，
則則SBCF=SDCE = ABCD，
而 ，
，
≌ ，
= ，即 平分 .
本題由等面積、等底得出等高，進(jìn)而求得三角形全等，對(duì)應(yīng)角相等。
三、面積法作圖
面積方法可以作圖，下面例舉個(gè)簡(jiǎn)單例子。
例3. 已知 ， 為 上一點(diǎn)，求作一過(guò) 的直線平分 的面積。
分析：我們知道，三角形任一條中線剛好平分三角形的面積，我們考慮利用其中線和等積變形來(lái)作圖。作法：
1.如圖3，作中線 ，連接 ；
2.過(guò) 作 ∥ 交 于 ；
3.連接 ，則 即所求直線。
證明：
是中線，
，
又 ∥ ，
，
=
=
在初等幾何中幾乎到處都能見(jiàn)到面積方法的身影，面積方法的應(yīng)用變得越來(lái)越普遍，它的思想和方法也越來(lái)越完善，相信面積方法能走得更遠(yuǎn)。
參考文獻(xiàn)：
