時(shí)間：2023-05-29 17:47:02
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角形三邊關(guān)系，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
一、深入理解教材，創(chuàng)新學(xué)具
探究材料的準(zhǔn)備是教師設(shè)計(jì)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要內(nèi)容。探究本身要有利于學(xué)生操作，有利于學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)。教材是給三根小棒，由學(xué)生擺一擺看發(fā)現(xiàn)了什么。教學(xué)“三角形的特性”時(shí)，教師應(yīng)該深入理解教材，創(chuàng)新學(xué)具：
學(xué)具選擇方案一：準(zhǔn)備5厘米、8厘米、10厘米、13厘米、18厘米的小棒各一根。
提出問題：“你們能用小棒擺三角形嗎？”學(xué)生異口同聲說“能”。老師補(bǔ)充問題：“一定能嗎？”“現(xiàn)在我們就來一起試一試”。然后出示活動(dòng)要求：
1.合作探究，每擺一次，就記錄一次。
2.說一說，你是怎么擺成三角形的？什么樣的圖形是三角形？
本案例中，學(xué)習(xí)材料的價(jià)值不在于材料本身，而在于小棒長度是精心設(shè)計(jì)的。小棒的根數(shù)不多，但便于探究，而且這個(gè)長度在學(xué)生圍三角形時(shí)各種情況都能出現(xiàn)。特別是5厘米、8厘米和13厘米這三根起到了突破易錯(cuò)點(diǎn)的作用。通過操作這樣的學(xué)具，學(xué)生明白了三角形三邊之間的關(guān)系。
學(xué)具選擇方案二：每人準(zhǔn)備3至5根長10厘米的塑料小棒，每次把一根10厘米長的小棒剪成三段（每段剪成整厘米數(shù)），再把3段圍起來，看能不能圍成一個(gè)三角形？
1.動(dòng)手剪，再擺一擺；
2.小組匯報(bào)一下各自的剪法，并積極討論長度為多少厘米的三根小棒能圍成三角形？
3.指名說一說，你是怎么擺成三角形的？什么樣的圖形是三角形？
本案例中，學(xué)習(xí)的材料是10厘米長的塑料小棒，學(xué)生可以自主操作，在親自剪拼的過程中初步領(lǐng)會(huì)什么樣的三根小棒能圍成三角形，繼而引出本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：當(dāng)三根小棒分別長2厘米、3厘米、5厘米時(shí)，能圍成三角形嗎？最終讓學(xué)生透徹地理解三角形三邊之間的關(guān)系。
二、利用“錯(cuò)誤資源”，成就精彩課堂
1.試錯(cuò)――誘導(dǎo)明理。
最好的學(xué)習(xí)就是在錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)。錯(cuò)誤可以促進(jìn)學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷錯(cuò)誤、認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤，才能更好地防止錯(cuò)誤。有些錯(cuò)誤可以引起我們的思考，怎樣讓錯(cuò)誤變得有價(jià)值呢？這正是我們需要思考的問題。
“兩邊之和等于第三邊，圍不成三角形”是教學(xué)的難點(diǎn)。學(xué)生在嘗試錯(cuò)誤的過程中自己發(fā)現(xiàn)、自己判斷，不斷思考、討論，在現(xiàn)實(shí)面前學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)。這種在錯(cuò)誤中反思，在反思中探究，在探究中最終發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，是形成正確認(rèn)識(shí)的重要途徑。
案例及簡析：
眼睛欺騙了我們：
在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，教師在學(xué)生自主活動(dòng)的基礎(chǔ)上，故意制造錯(cuò)誤讓學(xué)生嘗試：把10厘米的線段剪成2厘米、3厘米、5厘米，能不能圍成一個(gè)三角形？
多數(shù)學(xué)生不加思考地大聲喊：“能！”
教師非常認(rèn)真地問：“能嗎？還是讓我們親自嘗試一下吧！”
一位躍躍欲試的同學(xué)怎么也圍不成，不禁有些猶豫。
下面的同學(xué)也有些著急，紛紛支招：“再往下按就成了！”見此情景，教師馬上對(duì)一位支招的同學(xué)說：“你快來幫幫他。”小男生立即跑上來幫助，終于看似接上去了，他松了一口氣。
這時(shí)教師用實(shí)物投影儀放大看似圍成的三角形，問同學(xué)們：“你們看到了什么，有什么想說的嗎？”
這時(shí)有的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：“這三條線段根本圍不成三角形！”有的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：“3+2=5，5和5重合了，圍不成三角形的。”
有的同學(xué)恍然大悟：“3+2=5，5和5相等，那還能拱得起來嗎？”
這時(shí)多數(shù)學(xué)生醒悟了：“當(dāng)然拱不起來了！”教師繼續(xù)說：“原來眼睛也會(huì)欺騙我們，數(shù)據(jù)3厘米、2厘米、5厘米是圍不成三角形的。”
教師有意制造一些錯(cuò)誤，目的是讓學(xué)生在經(jīng)歷錯(cuò)誤數(shù)的過程中體會(huì)正確認(rèn)知的形成過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辨析，學(xué)會(huì)比較與判斷。引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在修正已有認(rèn)知、克服某些經(jīng)驗(yàn)負(fù)遷移、克服某些思維定式的過程中，將實(shí)踐與數(shù)學(xué)原理很好地結(jié)合起來。
2.將錯(cuò)就錯(cuò)――悟中求。
教師要學(xué)會(huì)把學(xué)生課堂上的錯(cuò)誤放大、再放大，不急于定論，讓學(xué)生充分暴露自己的觀點(diǎn)，在“光天化日”之下，將錯(cuò)誤的原因一一昭示，對(duì)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)得越深刻、越全面，越能促進(jìn)對(duì)真理的掌握。
案例及簡析：
能圍成三角形嗎？
教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”后，教師出示了這樣一道判斷題：“2、3、8這三條線段能不能圍成三角形？”學(xué)生很快就回答不能。教師聽后話鋒一轉(zhuǎn)：“這三條線段不能圍成三角形，是因?yàn)?厘米太短了，現(xiàn)在老師把它換成x，想象一下，x是多少的時(shí)候就能圍成三角形了？”
這時(shí)，有同學(xué)隨口說出“比5大就成”。
教師肯定地說道：“好！那我們就數(shù)一數(shù)都有哪些比5大的數(shù)。”學(xué)生數(shù)：“6、7、8、9、10、11、12、13、14、……”
忽然出現(xiàn)了一個(gè)不同的聲音：“老師，x不能比10大！”接著傳來另一個(gè)聲音：“不能大于11。”教師詫異地問：“哎，11+3不是大于8嗎？怎么不成了？他說不能大于10，你說不能大于11，怎么回事呀？”
說不能大于11的學(xué)生理直氣壯地說：“當(dāng)x不斷變大，超過8時(shí)，3+8就得比x大。當(dāng)x是10時(shí)，3+8=11比10大可以。”
教師引導(dǎo)他們：“你們舉一個(gè)例子來說明一下，讓大家聽聽看。”
不大于11的學(xué)生說：“x=10.9行不行呀？”不大于10的學(xué)生小聲地嘟囔：“3+8=11大于10.9，可以。”
教師啟發(fā)大家：“咦，原來x是會(huì)變的，不斷變大，它搖身變成了長邊，這時(shí)候我們考慮問題就要換個(gè)角度了。那么這個(gè)x究竟有沒有限制？應(yīng)該怎樣限制呢？”
……
受思維習(xí)慣影響，學(xué)生經(jīng)常會(huì)不深入思考就得出結(jié)論。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)抓住錯(cuò)誤引發(fā)學(xué)生的爭議，引導(dǎo)學(xué)生全面比較，因條件的變化，辯出其所以然。
因“錯(cuò)”制宜，充分利用錯(cuò)誤中合理的、可利用的因素，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的思維空間，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地審視條件、問題、結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，是深化認(rèn)識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的有效辦法。要讓學(xué)生通過“將錯(cuò)就錯(cuò)”的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，對(duì)自己的認(rèn)識(shí)進(jìn)行回顧和分析，從而既激發(fā)思維，又做到讓意外殊途同歸，實(shí)現(xiàn)有效引導(dǎo)。
當(dāng)課堂上出現(xiàn)這樣那樣的問題時(shí)，教師的處理方式直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，教師應(yīng)該抓住這些資源并“化腐朽為神奇”。
三、利用想象和推理來幫助完成圖形與幾何的抽象
圖形的認(rèn)識(shí)需要經(jīng)歷抽象的過程，有時(shí)這樣的過程還是較為困難的，經(jīng)歷的過程也是漫長的，因?yàn)閷W(xué)生往往因?yàn)樯罱?jīng)歷或年齡特點(diǎn)，難以打破固有的認(rèn)識(shí)，或是難以一次性地真正完成抽象，那么就需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一定程度的推理，使抽象的過程得以順利完成。我們不妨來看一個(gè)教學(xué)片段。
教學(xué)片段：
背景：當(dāng)學(xué)生利用3厘米、5厘米、8厘米的三根小棒拼擺三角形時(shí)，一部分學(xué)生說能夠擺成，一部分學(xué)生說不能。由此可見，不通過學(xué)生動(dòng)手操作，我們是無法說服學(xué)生“當(dāng)兩邊之和與第三邊相等時(shí)，不可以擺成三角形的”。
師：我們先來看屏幕，如果我們把3厘米和5厘米的小棒連接起來是幾厘米？
生：8厘米。
師：好，如果我們把這條連接好的線段與第三條線段的一端對(duì)齊，那么，另一端怎么樣了？
生：兩端都對(duì)齊了。
師：請(qǐng)大家閉上眼睛想象一下，如果左端不動(dòng)，我提起中間的端點(diǎn)會(huì)怎么樣呢？
生：右邊的端點(diǎn)會(huì)靠左，對(duì)不齊了。
師：如果右邊不動(dòng)，我們提起中間的端點(diǎn)會(huì)怎么樣？
生：左邊的端點(diǎn)就向右走了，對(duì)不齊了。
師：孩子們通過想象進(jìn)行推理，你們認(rèn)為兩邊之和等于第三邊時(shí)能夠拼成三角形嗎？
生：不能。如果兩邊之和多那么一點(diǎn)點(diǎn)就可以拼成了。
例1已知ABC的三邊長a、b、c滿足b+2c≤3a，c+2a≤3b，則ba的取值范圍為.
分析從題目中的結(jié)果出發(fā)，利用三角形的三邊關(guān)系，消去變量c.
解因?yàn)閎+2c≤3a，所以2c≤3a-b.
因?yàn)閮蛇呏钚∮诘谌叄?/p>
所以c>a-b，c>b-a，
即3a-b>2（a-b），
3a-b>2（a-b），解得a+b>0，
5a>3b.
所以ba
因?yàn)閏+2a≤3b，所以c≤3b-2a.
因?yàn)閏>a-b，c>b-a，
所以3b-2a>a-b，
3b-2a>b-a，解得4b-3a>0，
2b-a>0.
即ba>34.又由于ba
評(píng)注本題可以用題目中兩個(gè)條件和三角形三邊關(guān)系，同時(shí)除以a后，再換元，用線性規(guī)劃方法處理.
例2已知三角形ABC的三邊長為a，b，c，滿足b+c≤2a，c+a≤2b，求ca的取值范圍.
分析從題目中的結(jié)果出發(fā)，利用三角形的三邊關(guān)系，消去變量b.
解由題意知
b+c≤2a，
c+a≤2b，
a+b>c，
a+c>b，
b+c>a，同時(shí)除以a，得到ba+ca≤2，
ca+1≤2（ba），
1+ba>ca，
1+ca>ba，
ba+ca>1.
令ca=x （x>0）， ba=y （y>0），
所以x+y≤2，
x+1≤2y，
1+y>x，
1+x>y，
x+y>1.
其可行性區(qū)域如圖1所示，
所以0
即0
例3已知三角形ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列且a2+b2+c2=84，求b的取值范圍.
分析三角形三邊成等差數(shù)列，想到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的常用設(shè)法，設(shè)公差大于等于0，簡化計(jì)算.
解令a=b-d，c=b+d （d≥0），
由于a2+b2+c2=84，
則（b-d）2+b2+（b+d）2=84，
所以3b2+2d2=84，即2d2=84-3b2.
由于d2≥0，所以0
因?yàn)槿我鈨蛇呏痛笥诘谌叄琧為最大邊，
所以a+b>c，即2b-d>b+d，即b>2d，即b2>4d2，
所以b2>2（84-3b2），即b2>24，b>26.
又因?yàn)?
評(píng)注不少學(xué)生的答案是0
例4在三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2=ac，求sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC的取值范圍.
分析從結(jié)果出發(fā)，遇切化弦，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化成邊，利用三角形三邊關(guān)系求解.
解sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC=sinA+cosAsinCcosCsinB+cosBsinCcosC
=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sin（A+C）sin（B+C）=sinBsinA=ba.
由三角形三邊關(guān)系得到b2=ac，
a+b>c，
a+c>b，
b+c>a，
a>0，b>0，c>0，
所以b2
b2>a（a-b），②
b2>a（b-a）.③
由①得（ba）2-ba-1
由②得（ba）2+ba-1>0，則ba>5-12，
由③得（ba）2-ba-1>0，則ba∈R，
【教材呈現(xiàn)】
原題1：下面哪組線段可以圍成一個(gè)三角形？為什么？
原題2：一個(gè)三角形，兩邊的長分別是12厘米和18厘米，第三條邊的長可能是多少厘米？在合適的答案下面畫“√”。
原題3：先量出下面兩根小棒的長度，再想一想，能和它們圍成三角形的第三根小棒的長可能是多少厘米？
原題4：從學(xué)校到少年宮有幾條路線？走哪一條路最近？
在實(shí)際教學(xué)中，逐一解決以上習(xí)題固然能鞏固“三角形任意三邊之和大于第三邊”這一知識(shí)點(diǎn)，加深對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解。但是，總是以小棒為載體，運(yùn)用結(jié)論進(jìn)行判斷和選擇，學(xué)生始終感覺在進(jìn)行數(shù)學(xué)訓(xùn)練，興趣淡然，體會(huì)不到這一知識(shí)內(nèi)涵的豐富性以及在生活中的廣泛應(yīng)用。為此，我對(duì)練習(xí)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)。
【教學(xué)片段】
師：這節(jié)課我們一起研究了三角形的三邊關(guān)系，知道了三角形任意兩邊之和都是大于第三邊的。這個(gè)知識(shí)在生活中用處可大著呢！不信，你看！
第一組：
師：木匠王師傅要找三根木料做一個(gè)三角形，他挑出了這樣三根，能做出來嗎？出示：
生：不能，因?yàn)榈诙拥谌∮诘谝桓?nbsp;
師：只判斷這兩根就確定啦？
生：我覺得只要有兩條邊的和小于第三邊就肯定不行了。
師：那你為什么不先判斷第一根加第二根，或者第一根加第三根呢？
生：第一根最長，再加一根更長，肯定大于第三根。
師：那能不能圍成，最關(guān)鍵是看什么？
生：兩條短一些的邊加起來大于最長的邊。
師：哦！難怪你們這么快，原來還有這個(gè)竅門啊！
第二組：
師：王師傅試了試，果然做不成三角形。無奈之下，換了一根。這回，能做起來嗎？
出示：
生：還是不能，因?yàn)榈诙拥谌暮偷扔诘谝桓€是圍不成。
師：為什么選7+3來判斷？
生：因?yàn)?和3是較短的。這一組如果符合要求，其余的也一定符合要求！
師：說得真棒！
第三組：
師：王師傅兩次都沒做起來，有些不高興了，他拿起鋸子，把最長的一根鋸掉了一段！這回，他成功了嗎？
出示：
生（很失望）：還是沒有！
師：怎么又失敗了呢？這最長的一根已經(jīng)被鋸短了呀！
生：不對(duì)，因?yàn)檫@一鋸，讓第二根成為最長的了，3厘米加3厘米小于7厘米，兩條短邊加起來小于最長的邊，還是做不成！
第四組：
師：王師傅一氣之下，把這根鋸短的扔掉了，他決心重新尋找！你們能給王師傅一些建議？（取整數(shù)）
出示4：
生：5厘米。
師：可以嗎？
生判斷：3厘米+5厘米>7厘米，能圍成三角形。
生：8厘米也可以。
師：行嗎？其他學(xué)生判斷。
……
師：大家你一言我一語，都有道理！王師傅想，你們要是能給我個(gè)范圍就好了！
生交流，匯報(bào)。
生：我認(rèn)為只要大于4厘米小于10厘米都可以。
師：為什么？
生：如果正好是4厘米，那么3+4=7，圍不成，所以要比4厘米多;如果正好是10厘米，那么3+7=10，也圍不成，所以要比10厘米少。
師：看來，第三根的長度除了要比兩根之和短，還有什么要求？
生：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
師：有了大家的建議，王師傅終于找到了合適的木料！
生不禁歡呼……
第五組：
師：王師傅完成了任務(wù)！一看時(shí)間，不早了，得趕緊回家！
出示：
師：王師傅從木料場回家，有幾條路可走？他會(huì)選擇哪一條路呢？
生：中間一條。
師：為什么？
生：兩邊的路是彎曲的，中間的是直的，兩點(diǎn)之間線段最短。
師：用我們今天學(xué)的知識(shí)能解釋嗎？
生：中間一條路和兩邊的路合在一起，可以看作兩個(gè)三角形。每個(gè)三角形中，兩邊之和又是大于第三邊的，所以中間的路最近。
【設(shè)計(jì)思考】
特級(jí)教師吳正憲提出，要讓孩子享受既有“營養(yǎng)”又“好吃”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，單調(diào)的練習(xí)題如何烹飪成適合孩子的美味？本節(jié)課，主要做了以下思考：
有“營養(yǎng)”，要有明確的目標(biāo)定位。課前，我首先對(duì)教材中安排的4道習(xí)題進(jìn)行了研究。題1是根據(jù)每組中3條線段的長度判斷它們是否能圍成三角形，鞏固對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化對(duì)三角形特征的認(rèn)知。題2引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)給定的三角形的兩條邊，討論第三邊的長度所在的區(qū)間，并選擇合適的第三邊的長度，使學(xué)生更深刻地理解三角形的三邊關(guān)系，培養(yǎng)思維的條理性和嚴(yán)密性，發(fā)展空間觀念。題3要求先測量長度，再判斷能與之圍成三角形的第三根小棒的長度。促使學(xué)生在尋求第三根小棒長度的過程中，初步形成三角形兩邊長度的差小于第三邊的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而加深對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解。題4則是讓學(xué)生應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決簡單的實(shí)際問題，使學(xué)生在解決問題的過程中不斷加深對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解。
以上習(xí)題的訓(xùn)練目標(biāo)成為我練習(xí)設(shè)計(jì)的首要定位，即：無論以何種形式呈現(xiàn)，內(nèi)在的達(dá)成目標(biāo)應(yīng)該是既定不變予以落實(shí)的。
有“營養(yǎng)”，要有助于提升思維能力。
教材習(xí)題是通過不同的要求，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)的，但每道題在獨(dú)立練習(xí)時(shí)，目標(biāo)指向性比較單一，一道題解決一個(gè)問題。而關(guān)于三邊關(guān)系的知識(shí)，內(nèi)在聯(lián)系是非常緊密的，三條邊中任意一條邊長度的改變都有可能引起整體的變化。是否可以通過“變式”來溝通知識(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生在不斷的思維轉(zhuǎn)換中加深對(duì)三邊關(guān)系的理解？這一想法成為練習(xí)設(shè)計(jì)的落腳點(diǎn)。于是梳理不同類型三角形的特點(diǎn)并有機(jī)串聯(lián)，第一組是兩邊之和小于第三邊的類型，通過追問，引導(dǎo)學(xué)生得出判斷的簡便方法，只要判斷兩條短邊之和大于第三邊即可。第二組呈現(xiàn)兩邊之和等于第三邊的情形，用于鞏固。第三組則在第二組的基礎(chǔ)上，將最長的變?yōu)樽疃痰模伺e，從形式上來看，只是改變了一根小棒的長度，但從本質(zhì)上講，此時(shí)三角形三邊的長短關(guān)系則發(fā)生了變化，較短邊不再是前兩組的7和3，而是3和3，這就促使學(xué)生重新審視三邊長度整體把握后再作判斷。第四組只給定兩根小棒的長度，思考第三根小棒的長度區(qū)間，不僅考慮兩根之和大于第三邊，還要考慮兩邊之差小于第三邊。最后一組將知識(shí)應(yīng)用于生活。此環(huán)節(jié)沒有出示過多的習(xí)題與要求，只是在一組練習(xí)的基礎(chǔ)上通過不斷地變式，由淺入深，逐步提升思維含量，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
“好吃”，要能激發(fā)兒童興趣。
很多學(xué)生抱怨數(shù)學(xué)冰冷、枯燥、無趣，那往往是因?yàn)槲覀儗⒃觉r活的內(nèi)容生硬地呈現(xiàn)在了學(xué)生面前。課堂上，學(xué)生為了做題而做題，數(shù)學(xué)與生活成了兩張皮，學(xué)生絲毫體會(huì)不到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)離開了課本在生活中能有何應(yīng)用？兒童的心理特征決定了只有有趣的，才是他們愿意學(xué)的。激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，理應(yīng)成為教師課堂教學(xué)的重要任務(wù)。上述案例中，筆者反復(fù)思量，尋找與三邊關(guān)系緊密結(jié)合的生活原型，創(chuàng)造性地設(shè)置出木匠王師傅做三角形的情境，學(xué)生在幫助王師傅尋找合適木料的過程中，積極性被充分調(diào)動(dòng)起來，體會(huì)到了問題解決后的愉悅之情。
“好吃”，要站在兒童立場解決問題。
[關(guān)鍵詞]以學(xué)為中心；探究學(xué)習(xí)；以學(xué)定教
以學(xué)為中心是對(duì)課堂實(shí)質(zhì)言簡意賅的表達(dá)。在踐行過程中，教師要努力促使學(xué)生向文本、同伴和老師學(xué)習(xí)，同時(shí)根據(jù)進(jìn)程調(diào)整應(yīng)對(duì)，評(píng)價(jià)成果。四年級(jí)《三角形三邊關(guān)系》一課，意圖讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)了解三邊關(guān)系，發(fā)展觀察操作對(duì)比抽象等能力，并滲透分類集合對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法。幾年間，筆者三次同課異構(gòu)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人是始終不變的努力方向。
第一次實(shí)踐：小組合作，探究學(xué)習(xí)
首次執(zhí)教《三角形三邊關(guān)系》時(shí)關(guān)注課堂從形式到內(nèi)容的變更，嘗試教與學(xué)的雙向變化。學(xué)生六人一組開展三項(xiàng)操作活動(dòng)，他們嘗試自主、合作、探究的新型學(xué)習(xí)方式，通過動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)口、動(dòng)腦主動(dòng)獲取知識(shí)。
活動(dòng)一：研究不能圍成三角形的情況
測量三根小棒的長度并記錄數(shù)據(jù)，看能否圍成三角形，想想為什么（課堂上提供了兩組不同長度的小棒，分別是2cm、5cm、8cm和4cm、4cm、8cm。每一組學(xué)生都只能接觸到其中一組數(shù)據(jù)。）學(xué)生用“2+5
活動(dòng)二：研究能圍成三角形的情況
學(xué)生提出猜想：也許兩根較短小棒的和大于第三根小棒，就能圍成三角形。他們各自想辦法，有人指出可以換掉不合適的那根小棒。他決定選擇一根替換三根小棒中的一根再試試看能否圍成三角形，并用式子表述理由。學(xué)生充分操作之后匯總數(shù)據(jù)總結(jié)出“只要兩根較短小棒的和大于第三根小棒，就能圍成三角形”，并驗(yàn)證了猜想。
【反思】師生的角色轉(zhuǎn)變是一種覺醒。教師原來是把持話語權(quán)的主角，現(xiàn)在退而組織學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，盡管探究行動(dòng)在事先設(shè)定的框架內(nèi)開展，但學(xué)生分工合作分享交流，課堂效果很好。同時(shí)我也考慮兩個(gè)問題：第一，將不能圍成三角形的兩種情況剝離出來探究，這一安排是否合適？第二，活動(dòng)的設(shè)置是不是可以多考慮學(xué)生可能的思路和需要重新設(shè)計(jì)？
第二次實(shí)踐：問題導(dǎo)學(xué)，活動(dòng)導(dǎo)思
再次琢磨時(shí)，我圍繞發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力的主旨，以問題導(dǎo)學(xué)、活動(dòng)導(dǎo)思為主線組織教學(xué)，從量到擺再到算逐步推進(jìn)。
問題一：我們可以用什么方法研究三角形的三邊關(guān)系？
學(xué)生如預(yù)設(shè)中表示或量或擺，教師因勢利導(dǎo)設(shè)置兩層活動(dòng)：
第一層：測量三角形邊的長度，觀察有否規(guī)律？（單單觀察數(shù)字，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了隱含的關(guān)系，只能借助擺小棒進(jìn)一步求解。）
第二層：從四根小棒（3cm、3cm、6cm、7cm）中選擇三根擺一擺，看看能否圍成三角形，并記錄。
學(xué)生在討論中得到“3+3=6，3+37”三個(gè)式子，慢慢靠近“必須兩根小棒長度和大于第三根小棒時(shí)，才可以擺成三角形”的結(jié)論。
問題二：從小棒長度關(guān)系來看，三角形的三邊可能存在什么關(guān)系？
學(xué)生回到之前測量過的三角形去尋找答案，逐漸梳理出幾個(gè)不等式，并得出：三角形任意兩邊之和大于第三邊。
問題三：三條長度分別是3cm、6cm、2cm的線段能不能圍成三角形？
通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)只要滿足“兩條較短邊之和大于第三邊”即可圍成三角形。探究活動(dòng)從直觀小棒至抽象式子，知識(shí)建構(gòu)向符號(hào)化的方向縱深行進(jìn)。
【反思】縱觀全課，課堂更多考慮了學(xué)情因素，三個(gè)問題在層層遞進(jìn)中邏輯嚴(yán)密。學(xué)生主動(dòng)操作、辯論解疑，既培養(yǎng)了推理能力，又發(fā)展了空間觀念。在活動(dòng)開展過程中，教師用問題掌控課堂，學(xué)生量擺算時(shí)少了主觀能動(dòng)性。
第三次實(shí)踐：任務(wù)驅(qū)動(dòng)，以學(xué)定教
第三次設(shè)計(jì)此課恰逢教材改編，我選擇完全回歸文本，讓學(xué)生帶著任務(wù)自學(xué)，基于經(jīng)歷而積累經(jīng)驗(yàn)，在課堂交流中基于需要，著力幫助學(xué)生完成自主建構(gòu)。
一、布置自學(xué)
1.自學(xué)課本62頁例3，小明家到學(xué)校有幾條路？哪條路最近？為什么？
2.參照例4提供的數(shù)據(jù)（單位：cm） ，剪出四組紙條分別擺三角形。思考為什么有的數(shù)據(jù)可以擺成三角形，有的卻不能？
A.6、7、8 B.4、5、9 C.3、6、10 D.8、11、11
二、匯報(bào)交流
課始，學(xué)生引用文本“兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離”作答第一個(gè)問題。當(dāng)給三段路賦長度值后，他們用“500+ 800>1000”加以解釋，還用“1000+ 800>500”和“500+ 1000>800”說明小明從家去郵局和從郵局到學(xué)校的最短路程，表示可以用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”闡述兩點(diǎn)間直線距離最短的原因。
自學(xué)問題二分三個(gè)階段展開匯報(bào)：
1.作品展示
首先展示的是用“6、7、8”和“8、11、11”圍成的三角形，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)三條線段首尾相接視為圍成三角形。大家一致認(rèn)為因?yàn)?+6
2.數(shù)據(jù)分析
至此，課堂交流自然鎖定“到底是什么因素決定三條線段可以圍成三角形”，學(xué)生意識(shí)到“是線段之間的長度關(guān)系決定的”，學(xué)生整理出四組式子進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩條短邊之和不能大于第三條邊時(shí)，就圍不成三角形。
3.解釋應(yīng)用
一道開放式問題用以拓展提升：改變3cm、6cm、10cm一組中的10cm紙條的長度（取整厘米數(shù)），再與3M、6M的紙條圍成一個(gè)三角形，有幾種修改方案（可剪可擺可算）？學(xué)生計(jì)算得出長度取值范圍是8cm到4cm。教師借助工具繪圖，讓學(xué)生感受到當(dāng)數(shù)據(jù)改成5cm、4cm時(shí)，原有6cm長的線段就變成了三角形里的最長邊了，用以判斷的長度關(guān)系也要隨之修正。
【反思】在自學(xué)任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，呈現(xiàn)更多學(xué)的行動(dòng)和思的較量。教師總是擔(dān)心學(xué)生看書之后都懂了教師還怎么教，其實(shí)很簡單，真懂了就不用教，沒真懂就好好琢磨如何以學(xué)定教，一知半解比蒙昧無知起點(diǎn)更高，終點(diǎn)更遠(yuǎn)。
行走在以學(xué)為中心的課堂邊上，不同思考有不同收獲，讓學(xué)生立于課堂是首要考量，離于課堂仍有力后續(xù)發(fā)展是核心任務(wù)。
參考文獻(xiàn)：
一、 考查圖形平移的要素
例1 （2013?廣東廣州）在6×6方格中，將圖1-①中的圖形N平移后位置如圖1-②所示，則圖形N的平移方法中，正確的是（ ）.
A. 向下移動(dòng)1格
B. 向上移動(dòng)1格
C. 向上移動(dòng)2格
D. 向下移動(dòng)2格
【解析】結(jié)合圖形可以看出，將圖1-①中的圖形N向下平移2格后，就到達(dá)了位置如圖1-②所示，故答案選D.
【點(diǎn)評(píng)】圖形的平移包含兩個(gè)要素，一是平移的方向，二是平移的距離. 因此，判斷平移的時(shí)候，只需要沿平移的“路徑”進(jìn)行平移便可確定其兩要素.
二、 考查圖形平移的性質(zhì)
例2 （2012?浙江義烏）如圖2，將周長為8的ABC沿BC方向平移1個(gè)單位得到DEF，則四邊形ABFD的周長為（ ）.
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【分析】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，得出四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC，即可得出答案.
解：根據(jù)題意，將周長為8個(gè)單位的ABC沿邊BC向右平移1個(gè)單位得到DEF，
AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC.
又AB+BC+AC=8，四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10. 故選C.
【點(diǎn)評(píng)】平移的基本性質(zhì)主要有：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)角相等. 由性質(zhì)得到CF=AD，DF=AC是解題的關(guān)鍵.
三、 考查三角形的三邊不等關(guān)系
例3 （2013?湖北宜昌）下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（ ）.
A. 1，2，6 B. 2，2，4
C. 1，2，3 D. 2，3，4
【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，實(shí)際計(jì)算時(shí)，只需求出兩個(gè)較小邊的和，看看是否大于第三邊即可. 對(duì)于A，1+24，能組成三角形，故此選項(xiàng)正確. 故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)用好三角形的三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵.
四、 考查三角形的內(nèi)角和
例4 （2013?四川達(dá)州）如圖3，在ABC中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…；∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點(diǎn)A2013，則∠A2013=______°.
【解析】如圖4，在A1BC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，有∠A1=180°-∠A1BC-∠1-∠2，
又因?yàn)锳1B和A1C是兩條角平分線，
故∠A1=180°-∠ABC-∠1-（180°-∠1）=180°-∠ABC-∠1-90°=90°-（∠ABC+∠1）=90°-（180°-m°）=.
同理，∠A2=∠A1=，∠A3 =，…，∠A2013=.
故答案為.
【點(diǎn)評(píng)】在找規(guī)律之前，發(fā)現(xiàn)∠A1與∠A不在同一個(gè)三角形中，故在它們所在的兩個(gè)三角形中分別應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理.
五、 考查多邊形的內(nèi)角和公式
例5 （2013?江蘇揚(yáng)州）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為108°，則這個(gè)多邊形是（ ）.
A. 七邊形 B. 六邊形
C. 五邊形 D. 四邊形
【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可知，這個(gè)n邊形滿足：（n-2）×180=108n. 解得n=5. 所以應(yīng)選C.
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);雙邊互動(dòng);方式運(yùn)用
一、抓住新知內(nèi)涵要義，實(shí)施雙邊互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)初中生知識(shí)素養(yǎng)的有效提升
新知教學(xué)是學(xué)科教學(xué)活動(dòng)的重要組成部分，也是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)培樹的基礎(chǔ)階段.初中生新知內(nèi)涵的有效掌握，有助于學(xué)生問題解答、思維評(píng)析活動(dòng)的有效開展.傳統(tǒng)的“教師講、學(xué)生聽”的單向性教學(xué)形式，嚴(yán)重壓制了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，壓抑了學(xué)生學(xué)習(xí)新知主動(dòng)性.教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生參與的教學(xué)活動(dòng)，才是“真正”的教學(xué)活動(dòng).因此，在新知教學(xué)活動(dòng)中，教師在認(rèn)真研析教材內(nèi)容，掌握教學(xué)目標(biāo)要求，確定教學(xué)重難點(diǎn)等內(nèi)容的基礎(chǔ)上，與學(xué)生開展雙邊互動(dòng)交流活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生一起進(jìn)行新知概念、性質(zhì)、定理等內(nèi)容的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生“知其然，更知其所以然”，逐步積淀數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng).
如,在“三角形三邊關(guān)系性質(zhì)”教學(xué)活動(dòng)中，教師在研析教材內(nèi)容及目標(biāo)要求等基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)到該節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：“三角形三邊關(guān)系的定理和推論”，學(xué)習(xí)難點(diǎn)是：“三角形按邊分類關(guān)系的原則”. 因此，在三角形三邊關(guān)系教學(xué)活動(dòng)中，教師設(shè)計(jì)以下教學(xué)過程：
師生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，研究三角形三邊的關(guān)系
1.實(shí)驗(yàn)操作，深入理解三角形的定義
（1）用三支木棍動(dòng)手拼成三角形，并回答三角形的定義
（2）引導(dǎo)學(xué)生思考：不在同一直線上的三條線段一定能“首尾相接”？
把一支短木棍截得足夠短，看是否能組成三角形？得出：當(dāng)較短的兩條線段之和小于或等于較長線段長時(shí)不能首尾相接.不在同一直線上的三條線段一定能組成三角形是有條件的，其中任意兩邊線段的長度之和必須要大于第三條線段.
2.猜想并證明三角形的三邊關(guān)系定理
繼續(xù)剛才的問題構(gòu)成三角形后，三角形的三邊滿足什么關(guān)系？
學(xué)生得出猜想定理：三角形兩邊之和大于第三邊.
引導(dǎo)學(xué)生用“兩點(diǎn)間線段最短”來推導(dǎo)，并寫出符號(hào)表示方法：
AB+AC＞BC AC+BC＞AB AB+BC＞AC
3.演繹推理，發(fā)現(xiàn)推論.
師問：那么兩邊之差？
學(xué)生：由上面式子 移項(xiàng)可得出推論：三角形兩邊之差小于第三邊.
通過對(duì)上述教學(xué)過程的分析，可以發(fā)現(xiàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生，并與學(xué)生進(jìn)行有效互動(dòng)，使學(xué)生能抓住和領(lǐng)悟三角形三邊關(guān)系性質(zhì)要義，從而實(shí)現(xiàn)了初中生對(duì)該節(jié)課內(nèi)容精髓的有效掌握，推進(jìn)了教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程.
二、注重解題策略傳授，實(shí)施雙邊互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)初中生探究思維的有效鍛煉
學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)，是新課改下初中數(shù)學(xué)教師有效教學(xué)活動(dòng)的根本任務(wù)和要求.在教學(xué)活動(dòng)中，教師在初中生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)上，抓住數(shù)學(xué)問題的發(fā)展特性，設(shè)置實(shí)踐探究舞臺(tái)，提供探析、思考時(shí)機(jī)，注重解題過程引導(dǎo)和指導(dǎo)，讓初中生在師生有效互動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)探究思維的有效鍛煉.圖1
問題：如圖1所示，BD是ABCD的對(duì)角線，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F．求證：ABE≌CDF．
在該問題教學(xué)中，教者實(shí)施探究式教學(xué)策略，將師生之間的雙邊互動(dòng)滲透其中，先讓學(xué)生進(jìn)行自主探析活動(dòng)，并經(jīng)過小組探析，掌握條件內(nèi)容和要求，學(xué)生分析得出：根據(jù)角平分線性質(zhì)與平行線性質(zhì)證明∠ABD=∠CDB，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定ABE≌CDF.
接著教師要求找出該問題的解答策略，學(xué)生此時(shí)經(jīng)過小組探析認(rèn)為：“”，學(xué)生得出如下解題過程：
證明：ABCD中，AB=CD，∠A=∠C， AB∥CD ，
∠ABD=∠CDB.∠ABE= ∠ABD，
∠CDF=12∠CDB， ∠ABE=∠CDF.
在ABE與CDF中∠A-∠C
AB=CD，
ABE≌CDF（ASA）.
最后，教師與學(xué)生進(jìn)行問題案例解題規(guī)律方法的歸納總結(jié)活動(dòng).
三、開展多樣評(píng)價(jià)活動(dòng)，實(shí)施雙邊互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)初中生學(xué)習(xí)習(xí)慣的有效養(yǎng)成
傳統(tǒng)教學(xué)活動(dòng)中，教師在總結(jié)提升階段，不注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)過程的評(píng)價(jià)和分析，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)自身學(xué)習(xí)活動(dòng)及表現(xiàn)不能有及時(shí)、客觀、全面的認(rèn)識(shí)，在一定程度上降低了初中生學(xué)習(xí)效能提升，阻礙了初中生學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.而總結(jié)提升階段師生互動(dòng)評(píng)價(jià)性教學(xué)活動(dòng)的有效開展，能夠?yàn)榻處煂?duì)學(xué)生的及時(shí)指導(dǎo)以及學(xué)生對(duì)自身學(xué)習(xí)實(shí)際的全面認(rèn)識(shí)提供了時(shí)機(jī).因此，在教學(xué)活動(dòng)中，教師在評(píng)價(jià)性教學(xué)策略的運(yùn)用上，要改變教師“一言堂”的模式，采用師生評(píng)價(jià)、生生互評(píng)的多樣評(píng)價(jià)形式，讓學(xué)生雙邊互動(dòng)的多樣性評(píng)價(jià)活動(dòng)中，既評(píng)析出他人的解題不足，又認(rèn)識(shí)到自身的改進(jìn)之處，從而使初中生群體在雙邊互動(dòng)評(píng)價(jià)活動(dòng)中樹立良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.
?案例呈現(xiàn)?
片段一：課前談話，激發(fā)興趣
師：同學(xué)們，你們認(rèn)識(shí)我嗎？(板書：認(rèn)識(shí))要想認(rèn)識(shí)一個(gè)人，通常要了解這個(gè)人的什么呢？（根據(jù)學(xué)生的回答板書：名字、外形、特征）
【導(dǎo)引1】認(rèn)識(shí)圖形正如認(rèn)識(shí)人一樣，一般要知道它的姓名、相貌、性格特征等。三角形的名稱和形狀，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)，本課重點(diǎn)在是認(rèn)識(shí)三角形的特征。課前活動(dòng)，教師把“人”和“物”相聯(lián)系，有助于學(xué)生明白本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。
片段二：聯(lián)系實(shí)際，引入課題
師：同學(xué)們，今天趙老師要看看誰的眼睛最亮，誰的記性最好？（教師課件顯示長方形、三角形、正方形、三角形、圓，2秒后隱去）
師：剛才出現(xiàn)的圖形中哪種圖形最多？
生：（猶豫）好像是三角形。
師：看來呀，好多同學(xué)看得不準(zhǔn)哦。再來看一遍。（課件重新顯示）
師：對(duì)了，果然是三角形最多。我們繼續(xù)看。（課件顯示“長方形、正方形、圓”，2秒后隱去）
師：這次少了什么圖形？
生：（斬釘截鐵）三角形。
師：這次大家都看清楚了，的確少了三角形。（在“認(rèn)識(shí)”前補(bǔ)充板書：三角形的）
【導(dǎo)引2】教師設(shè)計(jì)“比眼力”和“比記性”的游戲活動(dòng)，既讓學(xué)生集中了注意力，又巧妙地在“多”與“少”的比較中一下子推出了主人公――三角形，非常自然地連接上了學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)。
師：是啊，我們對(duì)三角形并不陌生，因?yàn)槲覀冊谝郧暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了三角形。（出示教材情景圖，如圖1）你能在圖中找到三角形嗎？
第一個(gè)學(xué)生到大屏幕上指出一個(gè)三角形后，教師沿著學(xué)生所指三角形的三條邊邊指畫邊數(shù)“1、2、3”。接著學(xué)生也上臺(tái)邊指邊數(shù)指認(rèn)圖中的三角形。
師：在我們身邊你能找到三角形嗎？
學(xué)生找到三角尺、紅領(lǐng)巾等實(shí)物后，自覺采用邊指邊數(shù)的方式指認(rèn)和描畫三角形。
【導(dǎo)引3】從游戲中、照片上和自己身邊找三角形，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)三角形的視覺印象。教師讓學(xué)生指三角形時(shí)，邊沿著三角形的邊指畫口數(shù)“1，2，3”，讓學(xué)生對(duì)三角形邊的特征感覺更充分。
片段三：動(dòng)手操作，探索新知
師：剛才同學(xué)們在生活中找到了許多的三角形，那你能用老師提供的材料想辦法做出一個(gè)三角形嗎？（小組活動(dòng)結(jié)束后，分別上臺(tái)展示）
生：我是用小棒擺的。
師：你用了幾根小棒？（板書：3根）
學(xué)生上臺(tái)用實(shí)物投影演示圍三角形的過程，教師提醒學(xué)生要注意首尾相接。
生：我是在釘子板上圍的。
師：你把橡皮筋分成了幾段？（板書：3段）
生：我是沿三角尺的邊畫的。
師：你畫了幾條線段？（板書：3條）
生：我是用紙折的三角形，折出了三條邊。
師：（畫一個(gè)角）這個(gè)圖形你們認(rèn)識(shí)嗎？請(qǐng)說出它各部分的名稱。（學(xué)生回答，教師板書，如圖2）
師：你會(huì)把角變成一個(gè)三角形嗎？由角的各部分名稱，你能說說三角形各部分的名稱嗎？（板書如圖3）
師：通過剛才的做一做和現(xiàn)在的變一變，你知道些什么？（根據(jù)學(xué)生的回答板書：三角形有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)）
師：誰知道，三角形是根據(jù)什么來取名的呢？
生：三角形是根據(jù)“三角形有三個(gè)角”這個(gè)特征來取名的。
師：對(duì)啊！那你認(rèn)為還可以給它取個(gè)什么樣的名字呢？并說說你的理由。
生：我想，根據(jù)“三角形有三條邊”這個(gè)特征，三角形可能還可以叫做三邊形。對(duì)嗎？
師：你說的不錯(cuò)，確實(shí)我們也可以把三角形稱為三邊形。
教師指著“3根小棒”“3段橡皮筋”“3條線段”的板書：為什么這里的數(shù)據(jù)都是“3”？
生：因?yàn)槿切斡腥龡l邊。
【導(dǎo)引4】教師讓學(xué)生在匯報(bào)做三角形的過程中關(guān)注三角形的構(gòu)造。然后，教師讓學(xué)生把以前學(xué)過的角變成三角形，溝通了知識(shí)間的聯(lián)系，更重要的是，從角過渡到三角形，學(xué)生很容易得到三角形各部分的名稱。另外，教師還讓學(xué)生思考三角形名稱的由來，不僅擴(kuò)大了學(xué)生的知識(shí)面，而且進(jìn)一步強(qiáng)化了三角形的邊角特征。
師：（出示教材“想想做做”第1題的點(diǎn)子圖）你會(huì)畫三角形嗎？請(qǐng)你在點(diǎn)子圖中畫出兩個(gè)不同的三角形。
師：（展示學(xué)生作品后）你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：三個(gè)點(diǎn)可以畫出一個(gè)三角形。
師：是嗎？（指著直線上的三個(gè)點(diǎn)）這三個(gè)點(diǎn)可以畫出一個(gè)三角形嗎？
生：不能。因?yàn)槿龡l邊重合在一起了。
生：不在一條直線上的三點(diǎn)才能畫出三角形。
師：剛才我們知道了不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形。那么是不是任意三條線段都能圍成三角形呢？請(qǐng)從10cm、6cm、5cm、4cm四根小棒中任選三根圍一圍，看看能否圍成三角形。
學(xué)生匯報(bào)了6cm、5cm和10cm，4cm、5cm和6cm，。6cm、4cm和10cm這三組小棒，認(rèn)為能圍成三角形。
生：反對(duì)！我認(rèn)為6cm、4cm、10cm這三根小棒不能圍成三角形。
師：到底能不能呢？我們待會(huì)兒研究，再看看有沒有其他情況？
生：我選擇了4cm、5cm、10cm三根小棒，不能圍成三角形。
師：這一情況大家沒有異議吧？（學(xué)生意見統(tǒng)一）那好，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，這三根小棒圍不成三角形是什么原因造成的？
生：是4cm和5cm這兩根小棒長度的和小于10cm這根小棒的長度。
師：也就是說三角形的兩邊之和不能小于第三邊，是這樣嗎？（學(xué)生又產(chǎn)生爭議）
師：你們在爭論什么呢？
生：就是剛才出現(xiàn)了兩邊之和正好等于第三邊的情況。
師：好，就問題辯論一下。支持能圍成的正方和否定能圍成的反方，來說說各自的理由。
正方：我認(rèn)為，只要把6cm、4cm兩根小棒的兩頭往下壓一壓，就能圍成一個(gè)扁扁的小三角形。
反方：反對(duì)，我認(rèn)為6cm、4cm兩根小棒的兩頭壓下去后，仍然不能圍成三角形。
師：看來，小棒太粗了，有誤差，小棒也太圓了，難重疊，我們還是請(qǐng)電腦來演示一下。
電腦演示：6cm的小棒與4cm的小棒“碰頭”后的長度與10cm的小棒正好相等，與10cm的小棒重合一起，這樣就形成一直線上的三個(gè)點(diǎn)，與剛才“不在直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形”的結(jié)論相同。至此，學(xué)生都同意“6cm、4cm、10cm三根小棒不能圍成三角形”的觀點(diǎn)。
【導(dǎo)引5】教師通過組織學(xué)生畫點(diǎn)子圖、現(xiàn)場擺小棒、根據(jù)同學(xué)回答進(jìn)行辯論和觀看電腦動(dòng)畫演示等活動(dòng)，充分地讓學(xué)生從多個(gè)角度體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)、分析、歸納三角形邊的特征，正確得出“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形”結(jié)論。同時(shí)，教師預(yù)設(shè)了用小棒擺三角形可能會(huì)出現(xiàn)問題的細(xì)節(jié)，采用辯論的形式激起了學(xué)生思維的。
師：研究了這么多，你們認(rèn)為要能圍成三角形，三角形三條邊的長度要符合什么樣的條件？
生：三角形的兩邊之和要大于第三邊。
師：是不是三角形每兩條邊的和都要大于第三邊呢？
學(xué)生一一列舉出能圍成三角形以及不能圍成三角形四種情況中的三邊關(guān)系，發(fā)現(xiàn)結(jié)論成立。
師：那么，在判斷能不能圍成三角形時(shí)，是不是一定要把所有的兩邊之和都算出來和第三邊作比較？
生：不必。我發(fā)現(xiàn)，只需要看其中兩條較短邊的長度和是不是大于最長邊就行。
【導(dǎo)引6】在研究三角形的三邊關(guān)系時(shí)，教師采用了從反例切入，讓學(xué)生一下子找到了圍不成三角形的癥結(jié)所在，由此想到把三角形的兩條邊的長度和與第三邊的長度進(jìn)行比較這一研究思路。然后，由點(diǎn)及面，擴(kuò)展到三角形每兩邊的長度和與第三邊長度的比較，由反到正，把在反例中得到的猜想擴(kuò)展到在正例中進(jìn)行驗(yàn)證，最后在正例與反例的比較中，發(fā)現(xiàn)了線段圍成三角形的快捷判斷方法。
?專家導(dǎo)引?
在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于一個(gè)知識(shí)點(diǎn)更多地是關(guān)注它是什么，往往忽視它為什么是這樣。也就是說，學(xué)生很少過問這一個(gè)知識(shí)為什么它一定要以這種方式存在而非其他的形式。如果我們引導(dǎo)學(xué)生明白其中的道理后，他們就能夠把知識(shí)看清、看明、看透。可以說，只有學(xué)生“入木三分”地理解知識(shí)，對(duì)知識(shí)的掌握才能夠達(dá)到“入骨三分”。
一、給知識(shí)找到出身的理由
知識(shí)并不是獨(dú)立存在的，我們總能找到它存在的理由。知識(shí)的存在價(jià)值有兩種取向，一種是為人們更好地生活而存在，這是知識(shí)的實(shí)用價(jià)值；另一種是為人們更好地學(xué)習(xí)而存在，這是知識(shí)的基礎(chǔ)價(jià)值。
“三角形”知識(shí)同樣跳不出這樣的存在理由。所以，在教學(xué)中，教師應(yīng)該組織學(xué)生在兩個(gè)領(lǐng)域中尋找“三角形”，一是在身邊的事物中尋找“三角形”，二是在學(xué)過的書本中尋找“三角形”。對(duì)前者，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中一般都能體現(xiàn)，對(duì)后者，教師往往不太關(guān)注。而本課的教學(xué)設(shè)計(jì)，教者不僅注重了從生活實(shí)例中引出“三角形”，而且添加了從以前學(xué)過的舊知識(shí)“角”中引出“三角形”。這樣在知識(shí)淵源上找到新舊知識(shí)的生長點(diǎn)，將更有利于學(xué)生抓住知識(shí)的生長的關(guān)鍵，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“芝麻開花節(jié)節(jié)高”。
二、給知識(shí)找到取名的理由
知識(shí)的取名也不是無緣無故的，很多情況下我們也能夠找到給它取名的理由。例如“三角形”的取名就反映了“三角形有三個(gè)角”這一特征，“等腰三角形”和“等邊三角形”的取名還反映了“三角形有兩條邊相等”和“三角形三條邊都相等”這一性質(zhì)。在其他領(lǐng)域的知識(shí)中，這樣“名”符其“實(shí)”的例子普遍存在。所以，在教學(xué)中，有時(shí)對(duì)概念名稱進(jìn)行咬文嚼字，會(huì)有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握。
在本課中，教學(xué)三角形的特征后，回過來讓學(xué)生想想三角形的取名，能夠讓學(xué)生明白“三角形”這一名稱存在的理由，然后教師順勢再讓學(xué)生根據(jù)“三角形有三條邊”這一特征猜想三角形的另一個(gè)名稱――“三邊形”，既開闊了學(xué)生的知識(shí)視野，又加深了學(xué)生的知識(shí)理解。
三、給知識(shí)找到結(jié)論的理由
在教學(xué)中，教師大多會(huì)注意規(guī)律性知識(shí)形成的過程和結(jié)果，不僅讓學(xué)生摘得“結(jié)論”的“果實(shí)”，而且讓學(xué)生看到“結(jié)”論的過程。除此，我們還應(yīng)該注意的是，讓學(xué)生看到“結(jié)”論的理由。
在本課教學(xué)中，三角形的三邊關(guān)系這一知識(shí)結(jié)論采用的是讓學(xué)生通過探究實(shí)驗(yàn)這種不完全歸納法得到的。但不完全歸納法本身存在著難以讓學(xué)生信服的“缺陷”，所以，在教學(xué)中，教師應(yīng)該想方設(shè)法讓學(xué)生為確信知識(shí)找到更多更好的理由支持。例如教師不妨把探究活動(dòng)開放一些，讓學(xué)生任意選擇材料圍三角形，這樣得到的結(jié)論可以更“完全”一些；又如在探究“三角形的兩邊之和等于第三邊”時(shí)，由于操作的誤差，學(xué)生難以得到精確的結(jié)論，此時(shí)教師利用之前“在點(diǎn)子圖中畫三角形”活動(dòng)中得到的“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形”結(jié)論，從理論上給“當(dāng)三角形兩邊之和等于第三邊時(shí)，圍不成三角形”找到讓學(xué)生確信的理由。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；活動(dòng)；基本經(jīng)驗(yàn)
在新課程改革背景下，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》從課程目標(biāo)上對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提出了要求，即在“雙基”的基礎(chǔ)上提出了“四基”：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。也就是說，我們在平常的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要在保證以往“雙基”的基礎(chǔ)上，還必須啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)。
所謂數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)習(xí)主體（即學(xué)生）通過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程所獲得的具有個(gè)性特征的經(jīng)驗(yàn)。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)的積累，要與教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，要與學(xué)生已有的知識(shí)和生活實(shí)際相聯(lián)系，這樣才能有更好的效果。
一、引導(dǎo)學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中獲得數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)
課堂教學(xué)是我們教師傳授知識(shí)的主要途徑，也是學(xué)生獲得知識(shí)的主要渠道。因此，要充分利用平時(shí)上課的時(shí)間，在有限的課堂時(shí)間內(nèi)，不但要達(dá)到完成教學(xué)任務(wù)的目標(biāo)，也要達(dá)到傳授數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)的目的。這就要求我們在上課之前要充分做好備課工作，結(jié)合具體內(nèi)容讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中去“經(jīng)歷過程”，在“做”數(shù)學(xué)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、實(shí)踐探索、空間想象、歸納類比、猜想驗(yàn)證、演繹證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。下面，我以教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》為例說明。
在課堂上，我布置給學(xué)生三個(gè)任務(wù)：一是進(jìn)行選擇：4根小棒選3，動(dòng)手圍三角形；二是進(jìn)行交流：到底怎樣的3根小棒才能圍成三角形？三是進(jìn)行實(shí)踐：給你2根，你能配第3根小棒來圍成三角形嗎？經(jīng)過一段時(shí)間的動(dòng)手操作，學(xué)生通過比選材料，在“用小棒圍三角形”的過程中，呈現(xiàn)出較大的思維空間。學(xué)生在操作實(shí)踐的基礎(chǔ)上，通過觀察、比較、概括、抽象等一系列的思維活動(dòng)，從“與三邊長度有關(guān)―其中兩邊的長度和與第三邊長度關(guān)系―任意兩邊的長度和大于第三邊”等多個(gè)層面不斷探索能圍成三角形的條件，教師也不時(shí)地在關(guān)鍵處加以引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從直觀走向抽象層面，從而在更深層次上理解了三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)特點(diǎn)。這樣，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)多樣化的、開放性的探究情境，引領(lǐng)學(xué)生在廣闊的數(shù)學(xué)背景下自由馳騁，學(xué)生在這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中產(chǎn)生了積極的情感體驗(yàn)，獲取了對(duì)三角形的三邊關(guān)系概念的感覺，把握了數(shù)學(xué)過程的本質(zhì)，豐富、積累了對(duì)這一知識(shí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，潛移默化地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生所積累的探究經(jīng)驗(yàn)將更科學(xué)、更豐富。
二、引導(dǎo)學(xué)生在自我感悟中獲得數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)
學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)的獲取者。我們在教學(xué)中一定要發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的探索、思考、發(fā)現(xiàn)從而獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步從中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。
如，在《角的認(rèn)識(shí)》中，我們可以創(chuàng)設(shè)這樣一個(gè)情境：給每個(gè)學(xué)生一個(gè)口袋，口袋里面放了一些物品，讓學(xué)生從中摸出一個(gè)角。在學(xué)生紛紛舉著自己摸出的角之后，老師說：“看著你們摸得這么好，我也想摸摸。你們能給我說說是怎么摸出來的嗎？”孩子們說：“角有一個(gè)尖點(diǎn)，扎得慌。”教師伸手摸出一個(gè)圖釘；孩子們又說：“角還有兩邊。”教師伸手摸出的是一支削得很尖的鉛筆；孩子們急忙又補(bǔ)充說：“角是平的。”教師摸出一片樹葉，“尖尖的，平平的，怎么沒有角？”孩子們回答說：“兩條邊應(yīng)該是直的。”這回教師摸出了一個(gè)三角板，教師真誠地對(duì)學(xué)生說：“謝謝你們幫助我找到了摸角的感覺。”教師有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行體驗(yàn)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)并抓住角的關(guān)鍵特征。在教學(xué)活動(dòng)中，我們還可以把探索物體長度的測量和長度單位的建立過程，探究不同的樹葉長寬之比，探索小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)使數(shù)值發(fā)生變化，探索三角形的三邊關(guān)系等設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)活動(dòng)。通過引導(dǎo)學(xué)生操作、猜測、驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題，引導(dǎo)學(xué)生在自我感悟中獲得數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)。在這個(gè)過程中，學(xué)生獲得的不僅僅是認(rèn)識(shí)相關(guān)的知識(shí)，得出相應(yīng)的結(jié)論，而且積累了如何去探索、發(fā)現(xiàn)，如何去研究的經(jīng)驗(yàn)。
三、引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)提高中獲得數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)
知識(shí)并不是一個(gè)孤立的存在，而是一個(gè)完整的體系。要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)過的舊知識(shí)與剛學(xué)的新知識(shí)之間尋找聯(lián)系點(diǎn)，梳理出知識(shí)脈絡(luò)，整理出知識(shí)框架，從而鞏固已掌握的知識(shí)，并從中得到數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。
考點(diǎn)一三角形三條邊之間的關(guān)系
例1（2015?崇左）如果一個(gè)三角形的兩邊長分別為2和5，則第三邊長可能是（）
A.2B.3
C.5D.8
分析：設(shè)ABC的三邊長滿足分別為a，b，c且a>b，則a-b
解：這個(gè)三角形的第三邊c的長滿足5-2
點(diǎn)評(píng)：已知三角形的兩條邊長，求第三邊，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”，可得“三角形的第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和”，從而先求出第三邊的范圍，然后作出選擇.
例2（2015?南通）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）
A.5，6，10B.5，6，11
C.3，4，8D.4a，4a，8a（a>0）
分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.
解：10-5
11-5=6，三條線段不能構(gòu)成三角形.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
3+4=7
4a+4a=8a，三條線段不能構(gòu)成三角形.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”是解答此題的關(guān)鍵.
例3（2015?巴中）若a，b，c為三角形的三邊，且a，b滿足a2-9+（b-2）2=0，則第三邊c的取值范圍是.
分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式，求出a，b，再根據(jù)“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”求解即可.
解：由題意，得a2-9=0，b-2=0.解得a=±3，b=2.a>0，a=3.3-2=1，3+2=5，1
點(diǎn)評(píng)：本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.本題還考查了三角形的三邊之間的關(guān)系.
考點(diǎn)二三角形的內(nèi)角和外角
例4（2015?濱州）在ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，則∠C等于（）
A.45°B.60°
C.75°D.90°
分析：首先根據(jù)∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，求出∠C的度數(shù)占三角形的內(nèi)角和的幾分之幾，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，求出∠C等于多少度即可.
解：180°×53+4+5=180°×512=75°，即∠C等于75°.故選C.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是三角形的內(nèi)角和是180°.
例5（2015?昆明）如圖1，在ABC中，∠B=40°，過點(diǎn)C作CD∥AB，∠ACD=65°，則∠ACB的度數(shù)為（）
A.60°B.65°
C.70°D.75°
分析：首先根據(jù)CD∥AB，可得∠A=∠ACD=65°；然后在ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠ACB的度數(shù)為多少即可.
解：CD∥AB，∠A=∠ACD=65°.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-65°-40°=75°，即∠ACB的度數(shù)為75°.故選D.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握.解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.（2）定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).（3）定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.此題還考查了三角形的內(nèi)角和定理.
例6（2015?桂林）如圖2，在ABC中，∠A=50°，∠C=70°，則外角∠ABD的度數(shù)是（）
A.110°B.120°
C.130°D.140°
分析：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
解：由三角形的外角性質(zhì)，得∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°.故選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，比較簡單.
例7（2015?棗莊）如圖3，平面上直線a，b分別經(jīng)過線段OK兩端點(diǎn)，則a，b相交所成的銳角是.
分析：構(gòu)造三角形，根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”得出結(jié)論.
解：如圖4，延長a，b交于點(diǎn)A.由三角形的外角性質(zhì)，得a，b相交所成的銳角的度數(shù)是100°-70°=30°.故答案為30°.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)三三角形中的重要線段
例8（2015?永州）如圖5，在四邊形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延長線交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P使得SPAB=SPCD，則滿足此條件的點(diǎn)P（）
A.有且只有1個(gè)
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線定理以及直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：（1）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；（2）三角形的中位線等于對(duì)應(yīng)邊的一半.
例14（2015?鹽城）如圖11，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE，EF，DF.若ABC的周長為10，則DEF的周長為.
分析：由于D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，則DE是ABC的中位線，那么DE=12AC，同理EF=12AB，DF=12BC，于是易求DEF的周長.
解：如圖11，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線.DE=12AC.同理有EF=12AB，DF=12BC.DEF的周長=12（AC+BC+AB）=12×10=5.故答案為5.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理.解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線定理得出邊之間的數(shù)量關(guān)系.
考點(diǎn)五等腰三角形和等邊三角形
例15（2015?湖北）如圖12，在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為D，CE平分∠ACB.若BE=2，則AE的長為（）
A.3B.1
C.2D.2
分析：先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分線定義得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A=180°-∠B-∠ACB=90°，然后在RtCAE中根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出AE=12CE=1.
解：在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，BE=2，CE=BE=2.
∠B=∠DCE=30°.CE平分∠ACB，∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°.
∠A=180°-∠B-∠ACB=90°.
在RtCAE中，∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
AE=12CE=1.故選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理.
例16（2015?濱州）若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2，則其內(nèi)切圓半徑的長為（）
A.2B.22-2
C.2-2D.2-2
分析：由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長，進(jìn)而可求得兩條直角邊的長，然后根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出內(nèi)切圓半徑的長.
解：等腰直角三角形外接圓半徑為2，此直角三角形的斜邊長為4，兩條直角邊分別為22.它的內(nèi)切圓半徑為r=12（22+22-4）=22-2.故選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，要注意直角三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的區(qū)別.直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=12（a+b-c）（a，b為直角邊，c為斜邊），直角三角形的外接圓半徑R=12c.
例17（2015?溫州）如圖13，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），ABO是等邊三角形，點(diǎn)B在第一象限.若反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則k的值是（）
A.1B.2
C.3D.23
分析：首先過點(diǎn)B作BCOA于C.根據(jù)AO=2，ABO是等邊三角形，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)解析式.
解：過點(diǎn)A作BCOA于C.點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），AO=2.ABO是等邊三角形，OC=1，BC=3.點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3）.把B（1，3）代入y=kx，得k=3.故選C.
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，根據(jù)已知表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
例18（2015?營口）如圖14，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（）
A.25°B.30°
C.35°D.40°
分析：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)D，C，連接CD，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，連接OC，OD，PM，PN.由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB.進(jìn)而得出∠AOB=12∠COD.再證OCD是等邊三角形，可得∠COD=60°，即可得出結(jié)果.
解：如圖15，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)D，C，連接CD，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，連接OC，OD，PM，PN.點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA.點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB.OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD.PMN周長的最小值是5cm，PM+PN+MN=5cm.DM+CN+MN=5cm，即CD=OP=5cm.OC=OD=CD，即OCD是等邊三角形.∠COD=60°.∠AOB=30°.故選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決本題的關(guān)鍵.
例19（2015?昆明）如圖16，ABC是等邊三角形，高AD，BE相交于點(diǎn)H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊GEF，則ABH與GEF重疊（陰影）部分的面積為.
分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得AD的長，∠ABG=∠HBD=30°；根據(jù)等邊三角形的判定，得MEH的形狀；根據(jù)直角三角形的判定，可得FIN的形狀；根據(jù)面積的和差，求出答案.
解：如圖16，ABC是等邊三角形，高AD，BE相交于點(diǎn)H，BC=43，AD=BE=32BC=6，∠ABG=∠HBD=30°.∠BHD=90°-∠HBD=60°.∠MHE=∠BHD=60°.BG=2，EG=BE-BG=6-2=4.以GE為邊作等邊GEF分別交AD，AB于M，I，N，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，MHE是等邊三角形.SABC=12AC?BE=12AC×3EH，EH=13BE=13×6=2.∠BIG=∠FGE-∠IBG=60°-30°=30°，∠IBG=∠BIG=30°.IG=BG=2.IF=FG-IG=4-2=2.∠FIN+∠F=90°，∠FNI=90°.又∠FIN=∠BIG=30°.FN=1，IN=3.S五邊形NIGHM=SEFG-SEMH-SFIN=34×42-34×22-12×3×1=532.故答案為532.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定.利用圖形的割補(bǔ)法是求面積的關(guān)鍵.
考點(diǎn)六中考多解題
例20（2015?營口）【問題探究】
（1）如圖17，銳角ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由；
【深入探究】
（2）如圖18，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長；
（3）如圖19，在（2）的條件下，當(dāng)ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長.
分析：（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)“SAS”即可證EAC≌BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA，EB，EC，證明EAC≌BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AEAB于A，交BC的延長線于E，證明EAC≌BAD，可得BD=CE，即可求解.
解：（1）BD=CE.理由如下：∠BAE=∠CAD，∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，
AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
AC=AD，EAC≌BAD.BD=CE.
（2）如圖20，在ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA，EB，EC.∠ACD=∠ADC=45°，AC=AD，∠CAD=90°.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
AC=AD，
EAC≌BAD.BD=CE.AE=AB=7BE=72+72=72，∠AEC=∠AEB=45°.又∠ABC=45°，∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°.EC=BE2+BC2=（72）2+32=107.BD=CE=107.
（3）如圖21，在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AEAB于A，交BC的延長線于點(diǎn)E，連接BE.AEAB，∠BAE=90°.又∠ABC=45°，∠E=∠ABC=45°.AE=AB=7，BE=72+72=72.又∠ACD=∠ADC=45°，∠BAE=∠DAC=90°.∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
Ⅰ引入師：前面我們學(xué)習(xí)了三角形，講課之前我們先來回顧一下三角形哪些元素與“三”有關(guān) 生：三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)角，三條邊 師：幾何里我們通常研究物體的形狀、位置還有大小，今天我們來學(xué)習(xí)三角形三條邊的大小關(guān)系。大家把書翻到64頁
（引入不能太長，又不能和要講的內(nèi)容無關(guān)）
Ⅱ新課 一、發(fā)現(xiàn)定理
師：三角形的三條邊有什么樣的大小關(guān)系呢？我們一起通過畫圖來研究
活動(dòng)：任意畫ABC，測量其三邊，并填空AB+BC___AC，AB+AC____BC，AC+BC____AB（先讓學(xué)生們說他們的發(fā)現(xiàn)，教師再展示自己的）發(fā)現(xiàn)：任意兩邊之和大于第三邊。
一、證明定理
師：我們每個(gè)人畫的三角形不一樣，但結(jié)果卻是一樣的，說明我們的發(fā)現(xiàn)具有一定普遍性。該如可為我們的發(fā)現(xiàn)尋找一個(gè)理論上的依據(jù)呢？（這個(gè)問題比較困難，需要教師給一點(diǎn)提示） 師：從A經(jīng)過B到C是一條什么樣的路線？
生：折線
師：從A直接到C是一條什么路線？
生：直線
二、得到定理
1.三角形任意兩邊之和大于第三邊
四、簡單運(yùn)用定理、引出做題捷徑
例1 有三根木棒長度分別為
（1）3cm，4cm，5cm
（2）3 cm，4cm，9cm
這三根木棒能否構(gòu)成三角形？（讓學(xué)生嚴(yán)格按照定理，說出兩問過程，教師記錄在黑板上）師：三條邊能否構(gòu)成三角形，命運(yùn)是由誰來決定的？
生：較短兩邊之和大于最長邊，可以構(gòu)成三角形較短兩邊之和小于最長邊，不能構(gòu)成三角形
三、完善做題捷徑
師：如果較短兩邊之和等于最長邊，能否構(gòu)成三角形呢？
活動(dòng)：拿三根木棒2cm，4cm，6cm擺三角形（學(xué)生動(dòng)手，教師用課件展示）
師：較短兩邊之和等于最長邊時(shí)，同樣不能構(gòu)成三角形
四、總結(jié)做題捷徑
2捷徑 ①較短兩邊之和大于最長邊，可以構(gòu)成三角形②較短兩邊之和小于或等于最長邊，不能構(gòu)成三角形
Ⅲ 鞏固、提高
一、基礎(chǔ)知識(shí)關(guān)
1. 有四根木棒長度分別為1cm，2cm，3cm，4cm
（1）從中任選三根有幾種選法 （2）哪些可以構(gòu)成三角形
二、綜合運(yùn)用關(guān)
2.①等腰三角形一邊長5cm，一邊長8cm，求其周長
②等腰三角形一邊長4cm，一邊長8cm，求其周長
三、鞏固提高關(guān)
3.一條長18cm的繩子能否圍成一個(gè)一邊長4cm的等腰三角形
Ⅳ小結(jié)
師：我們來回顧一下今天學(xué)了哪些
內(nèi)容
生：（定理、捷徑內(nèi)容）
Ⅴ作業(yè) 課本P65 1、2
一、動(dòng)手操作，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
興趣是最好的老師，有了興趣，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率會(huì)有明顯地提高。一堂課應(yīng)做到課伊始，趣已生；課繼續(xù)，情更深；課已完，余未盡。在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)，教師應(yīng)將傳統(tǒng)課堂上教師單一操作演示、學(xué)生簡單地模仿操作的模式轉(zhuǎn)化為具有探索性、創(chuàng)造性的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生通過動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)事物的奧秘，體會(huì)學(xué)習(xí)的快樂。
案例一：三角形的三邊關(guān)系
課前讓學(xué)生準(zhǔn)備五根長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的小紙條。
師：我們知道三角形具有穩(wěn)定性，這節(jié)課請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手?jǐn)[擺，看這些紙條能擺出多少種不同的三角形。
師：是否任意三條線段都能圍成三角形呢？哪些不能圍成三角形？
生：不是。例如：（1）2cm，3cm，5cm；（2）2cm，3cm，6cm；（3）2cm，4cm，6cm都不能圍成三角形。
師：能圍成三角形的三條邊間有什么關(guān)系呢？
師生共同討論后得出結(jié)論：三角形任意兩邊之和大于第三邊。
二、動(dòng)手操作，體會(huì)知識(shí)形成過程
從建構(gòu)主義來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自已建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)。在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，學(xué)生與教材及教師間產(chǎn)生交互作用，從而形成數(shù)學(xué)知識(shí)。在教學(xué)的過程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)知識(shí)形成過程的體驗(yàn)，讓他們在充分的體驗(yàn)中有所感悟和發(fā)現(xiàn)。
案例二：等腰三角形的性質(zhì)
教師拿出一張長方形紙，先將它對(duì)折，再沿著直線一刀剪下去，剪出一個(gè)三角形，最后將其展開，并要求學(xué)生照做。
師：這個(gè)三角形是我們剛學(xué)習(xí)的什么特殊圖形？
生：軸對(duì)稱圖形。
師：除此之外這個(gè)三角形的邊有什么特征？
生：兩邊相等（折疊后完全重合）。
師：找找看在此三角形中是否還有其它相等的邊或角？
師：同學(xué)們相互討論一下，然后用幾句話來概括等腰三角形的性質(zhì)。
經(jīng)過教師的引導(dǎo)，學(xué)生的討論與總結(jié)，最后得出等腰三角形的性質(zhì)。
三、動(dòng)手操作，理解公式、概念
在數(shù)學(xué)公式、概念的教學(xué)中，教與學(xué)雙方都存在一個(gè)誤區(qū)，那就是以為公式、概念是前人作出的定義，學(xué)生的學(xué)習(xí)只是為了了解概念的內(nèi)涵。因此，教師在教學(xué)中常常是直接讓學(xué)生知道結(jié)論，而忽略了讓學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過程。筆者認(rèn)為教師應(yīng)利用創(chuàng)設(shè)情境的方法，讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)概念的形成過程，這不但有利于學(xué)生理解概念，還有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高。
案例三：勾股定理（課前讓學(xué)生準(zhǔn)備四個(gè)全等的直角三角形）
提問之后教師再引導(dǎo)學(xué)生描述直角三角形三邊關(guān)系，然后提出勾股定理。
四、動(dòng)手操作，感受空間圖形
“空間與圖形”教學(xué)的目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和抽象思維能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。動(dòng)手操作能調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)由感性上升為理性，能有效地促進(jìn)學(xué)生思維，對(duì)“空間與圖形”的教學(xué)有著極為重要的作用。
案例四：正方體的展開圖
1.通過動(dòng)手操作，將學(xué)生剪的各種不同的正方體展開圖進(jìn)行展示。
師：大家沿著正方體的棱把正方體剪開，會(huì)得到什么樣的圖形。請(qǐng)你動(dòng)手剪一剪，注意不能剪散。
學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視指導(dǎo)。然后學(xué)生展示作品，并通過旋轉(zhuǎn)、翻折，區(qū)別不同的展開圖。
2.動(dòng)手折一折，看看展開圖能否折成正方體。
師：很高興大家能通力合作，得出如此多的展開圖。那么正方體的展開圖是否只有這幾種呢？其實(shí)正方體的展開圖共有11種不同的結(jié)果，想知道其余的圖形嗎？
師：請(qǐng)你用手中的展開圖折一折，看看這些展開圖能否折成正方體。
3.總結(jié)展開圖的規(guī)律。
小學(xué)數(shù)學(xué)
【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A
【文章編號(hào)】0450-9889（2015）12A-
0031-01
在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師的教和學(xué)生的學(xué)是基于探究這一活動(dòng)載體而展開的，最終目的是將感性的現(xiàn)實(shí)抽象為數(shù)學(xué)問題。這是一個(gè)帶領(lǐng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的過程，此時(shí)教師所要扮演的角色不是灌輸者，而是引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮主體性，積極投入數(shù)學(xué)探究，激發(fā)思考潛力，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。但事實(shí)上，教師在實(shí)踐操作環(huán)節(jié)往往過分注重引導(dǎo)學(xué)生解決生活中的數(shù)學(xué)問題，而忽略對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，導(dǎo)致學(xué)生只知其一不知其二，遇到問題不知道靈活處理。如何設(shè)置數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力呢？筆者認(rèn)為，把握好數(shù)學(xué)本質(zhì)是關(guān)鍵。
一、創(chuàng)設(shè)生活情境，培養(yǎng)思考意識(shí)
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有經(jīng)驗(yàn)的教師常常會(huì)將生活中的數(shù)學(xué)引入課堂，并整合教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，營造學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)情境，幫助學(xué)生將生活實(shí)際和數(shù)學(xué)問題建立聯(lián)系，同時(shí)設(shè)置一些數(shù)學(xué)問題，打破學(xué)生的已有認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)。
例如，在教學(xué)北師大版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊《長方體的表面積》時(shí)，筆者將生活和數(shù)學(xué)問題結(jié)合起來，設(shè)計(jì)了這樣的教學(xué)活動(dòng)：首先出示一個(gè)長方體木塊，讓學(xué)生將這個(gè)木塊涂漆，然后引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，提出自己的想法。有學(xué)生問：是要將每一個(gè)面都涂上油漆嗎？學(xué)生的這個(gè)問題讓筆者產(chǎn)生了新的思路，于是展開追問：你認(rèn)為現(xiàn)實(shí)生活中使用長方體的面有哪幾種情況？學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際，認(rèn)為有的是需要計(jì)算3個(gè)面的，有的是需要計(jì)算4個(gè)面或5個(gè)面的，也有計(jì)算2個(gè)面的。筆者讓學(xué)生舉例說明。學(xué)生指出，長方體的魚缸就是需要計(jì)算5個(gè)面的，底面不用計(jì)算；在粉刷教室的四面和頂部時(shí)只粉刷5個(gè)面，底面也不用計(jì)算。那么，該如何計(jì)算表面積呢？需要注意什么問題？學(xué)生很快理解了表面積的計(jì)算原則：首先要確定實(shí)際應(yīng)用中使用了幾個(gè)面，然后再進(jìn)行計(jì)算。這樣不斷引發(fā)學(xué)生的思維沖突，讓學(xué)生積極投入數(shù)學(xué)探究的情境之中，有效培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識(shí)。
二、提供操作空間，訓(xùn)練思考層次
建構(gòu)主義理念認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過程中，教師的強(qiáng)加灌輸毫無用處，因?yàn)閷W(xué)生的學(xué)習(xí)并不是從一無所有開始的，每一個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)之初就已經(jīng)有了基礎(chǔ)：一方面是潛在的數(shù)學(xué)認(rèn)知，另一方面是隱性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。因此，在教學(xué)時(shí)，教師要給學(xué)生提供足夠的操作空間讓學(xué)生充分實(shí)踐和體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。
例如，在教學(xué)北師大版四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊《三角形的三邊關(guān)系》時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣的教學(xué)過程：先讓學(xué)生動(dòng)手操作，將一根吸管剪成三段不同長度的吸管，然后將這三段吸管連接起來，看看能否圍成一個(gè)三角形。學(xué)生操作后發(fā)現(xiàn)有三種情況：一是兩邊之和大于第三邊；二是兩邊之和小于第三邊；三是兩邊之和等于第三邊。究竟哪一種情況能夠圍成三角形呢？筆者引導(dǎo)學(xué)生展開操作，并猜想和思考：如果將兩邊固定，讓第三條邊變得越來越長，會(huì)發(fā)生什么變化？學(xué)生先進(jìn)行猜想，然后再實(shí)際操作，最終驗(yàn)證后認(rèn)為，只要最短的兩條邊之和大于第三邊就可以圍成一個(gè)三角形，但如果第三邊變長到大于兩邊之和，那么就不能圍成三角形。也就是說，要將這三根吸管圍成三角形，必須要能滿足一個(gè)條件，即最短的兩邊之和大于第三邊。這樣學(xué)生對(duì)三角形的三邊關(guān)系有了深刻的理解，經(jīng)歷了一個(gè)從表象到內(nèi)化的過程，讓數(shù)學(xué)思維步步深入，有效建構(gòu)了三角形三邊關(guān)系的數(shù)學(xué)概念。
三、建構(gòu)模型，提升思考維度
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生探究的本質(zhì)是要理解數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，從理解到掌握，再到內(nèi)化運(yùn)用，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，也是教學(xué)的難點(diǎn)。為此，教師要設(shè)計(jì)多層次的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，幫助學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)逐步過渡到理性認(rèn)知，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，提升思考維度。
例如，在教學(xué)北師大版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊《平行四邊形的面積》時(shí)，為了讓學(xué)生建立平行四邊形的面積模型，筆者展開了四個(gè)層次的引導(dǎo)設(shè)計(jì)。層次一：你認(rèn)為可以將平行四邊形和長方形建立聯(lián)系嗎？如何求平行四邊形的面積？學(xué)生認(rèn)為，可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形。層次二：如何讓平行四邊形轉(zhuǎn)化為和它面積相等的長方形？學(xué)生動(dòng)手操作，將長方形的側(cè)邊剪開拼到另一邊，這樣就形成了一個(gè)面積相等的長方形。層次三：平行四邊形的底邊、高與長方形的長、寬有什么關(guān)系？如何求平行四邊形的面積？學(xué)生通過推理，得到平行四邊形的面積為底邊乘高。層次四：我們采用什么方法求出平行四邊形的面積？學(xué)生經(jīng)過反思后指出，是將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，而后進(jìn)行歸納推理得到的面積公式。由此，學(xué)生一步步推導(dǎo)出了面積計(jì)算公式的數(shù)學(xué)模型，從不同的維度提升自己的思維能力，為下一步學(xué)習(xí)三角形、梯形的面積做足了準(zhǔn)備。
