時間：2023-05-29 17:47:02
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角形三邊關系，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、深入理解教材，創新學具
探究材料的準備是教師設計探究性學習活動的重要內容。探究本身要有利于學生操作，有利于學生探索、發現。教材是給三根小棒，由學生擺一擺看發現了什么。教學“三角形的特性”時，教師應該深入理解教材，創新學具：
學具選擇方案一：準備5厘米、8厘米、10厘米、13厘米、18厘米的小棒各一根。
提出問題：“你們能用小棒擺三角形嗎？”學生異口同聲說“能”。老師補充問題：“一定能嗎？”“現在我們就來一起試一試”。然后出示活動要求：
1.合作探究，每擺一次，就記錄一次。
2.說一說，你是怎么擺成三角形的？什么樣的圖形是三角形？
本案例中，學習材料的價值不在于材料本身，而在于小棒長度是精心設計的。小棒的根數不多，但便于探究，而且這個長度在學生圍三角形時各種情況都能出現。特別是5厘米、8厘米和13厘米這三根起到了突破易錯點的作用。通過操作這樣的學具，學生明白了三角形三邊之間的關系。
學具選擇方案二：每人準備3至5根長10厘米的塑料小棒，每次把一根10厘米長的小棒剪成三段（每段剪成整厘米數），再把3段圍起來，看能不能圍成一個三角形？
1.動手剪，再擺一擺；
2.小組匯報一下各自的剪法，并積極討論長度為多少厘米的三根小棒能圍成三角形？
3.指名說一說，你是怎么擺成三角形的？什么樣的圖形是三角形？
本案例中，學習的材料是10厘米長的塑料小棒，學生可以自主操作，在親自剪拼的過程中初步領會什么樣的三根小棒能圍成三角形，繼而引出本節課的教學難點：當三根小棒分別長2厘米、3厘米、5厘米時，能圍成三角形嗎？最終讓學生透徹地理解三角形三邊之間的關系。
二、利用“錯誤資源”，成就精彩課堂
1.試錯――誘導明理。
最好的學習就是在錯誤中學習。錯誤可以促進學生的探究性學習，讓學生經歷錯誤、認識錯誤、糾正錯誤，才能更好地防止錯誤。有些錯誤可以引起我們的思考，怎樣讓錯誤變得有價值呢？這正是我們需要思考的問題。
“兩邊之和等于第三邊，圍不成三角形”是教學的難點。學生在嘗試錯誤的過程中自己發現、自己判斷，不斷思考、討論，在現實面前學會透過現象思考數學的本質。這種在錯誤中反思，在反思中探究，在探究中最終發現的數學學習經歷，是形成正確認識的重要途徑。
案例及簡析：
眼睛欺騙了我們：
在教學“三角形三邊關系”時，教師在學生自主活動的基礎上，故意制造錯誤讓學生嘗試：把10厘米的線段剪成2厘米、3厘米、5厘米，能不能圍成一個三角形？
多數學生不加思考地大聲喊：“能！”
教師非常認真地問：“能嗎？還是讓我們親自嘗試一下吧！”
一位躍躍欲試的同學怎么也圍不成，不禁有些猶豫。
下面的同學也有些著急，紛紛支招：“再往下按就成了！”見此情景，教師馬上對一位支招的同學說：“你快來幫幫他。”小男生立即跑上來幫助，終于看似接上去了，他松了一口氣。
這時教師用實物投影儀放大看似圍成的三角形，問同學們：“你們看到了什么，有什么想說的嗎？”
這時有的學生會發現：“這三條線段根本圍不成三角形！”有的學生會發現：“3+2=5，5和5重合了，圍不成三角形的。”
有的同學恍然大悟：“3+2=5，5和5相等，那還能拱得起來嗎？”
這時多數學生醒悟了：“當然拱不起來了！”教師繼續說：“原來眼睛也會欺騙我們，數據3厘米、2厘米、5厘米是圍不成三角形的。”
教師有意制造一些錯誤，目的是讓學生在經歷錯誤數的過程中體會正確認知的形成過程，讓學生學會辨析，學會比較與判斷。引導學生透過現象看本質，在修正已有認知、克服某些經驗負遷移、克服某些思維定式的過程中，將實踐與數學原理很好地結合起來。
2.將錯就錯――悟中求。
教師要學會把學生課堂上的錯誤放大、再放大，不急于定論，讓學生充分暴露自己的觀點，在“光天化日”之下，將錯誤的原因一一昭示，對錯誤認識得越深刻、越全面，越能促進對真理的掌握。
案例及簡析：
能圍成三角形嗎？
教學“三角形三邊關系”后，教師出示了這樣一道判斷題：“2、3、8這三條線段能不能圍成三角形？”學生很快就回答不能。教師聽后話鋒一轉：“這三條線段不能圍成三角形，是因為2厘米太短了，現在老師把它換成x，想象一下，x是多少的時候就能圍成三角形了？”
這時，有同學隨口說出“比5大就成”。
教師肯定地說道：“好！那我們就數一數都有哪些比5大的數。”學生數：“6、7、8、9、10、11、12、13、14、……”
忽然出現了一個不同的聲音：“老師，x不能比10大！”接著傳來另一個聲音：“不能大于11。”教師詫異地問：“哎，11+3不是大于8嗎？怎么不成了？他說不能大于10，你說不能大于11，怎么回事呀？”
說不能大于11的學生理直氣壯地說：“當x不斷變大，超過8時，3+8就得比x大。當x是10時，3+8=11比10大可以。”
教師引導他們：“你們舉一個例子來說明一下，讓大家聽聽看。”
不大于11的學生說：“x=10.9行不行呀？”不大于10的學生小聲地嘟囔：“3+8=11大于10.9，可以。”
教師啟發大家：“咦，原來x是會變的，不斷變大，它搖身變成了長邊，這時候我們考慮問題就要換個角度了。那么這個x究竟有沒有限制？應該怎樣限制呢？”
……
受思維習慣影響，學生經常會不深入思考就得出結論。教師在教學時應抓住錯誤引發學生的爭議，引導學生全面比較，因條件的變化，辯出其所以然。
因“錯”制宜，充分利用錯誤中合理的、可利用的因素，給學生創設良好的思維空間，引導學生多角度、全方位地審視條件、問題、結論之間的內在聯系，是深化認識、培養學生創造性思維的有效辦法。要讓學生通過“將錯就錯”的學習體驗，對自己的認識進行回顧和分析，從而既激發思維，又做到讓意外殊途同歸，實現有效引導。
當課堂上出現這樣那樣的問題時，教師的處理方式直接影響著學生的學習過程，教師應該抓住這些資源并“化腐朽為神奇”。
三、利用想象和推理來幫助完成圖形與幾何的抽象
圖形的認識需要經歷抽象的過程，有時這樣的過程還是較為困難的，經歷的過程也是漫長的，因為學生往往因為生活經歷或年齡特點，難以打破固有的認識，或是難以一次性地真正完成抽象，那么就需要教師引導學生進行一定程度的推理，使抽象的過程得以順利完成。我們不妨來看一個教學片段。
教學片段：
背景：當學生利用3厘米、5厘米、8厘米的三根小棒拼擺三角形時，一部分學生說能夠擺成，一部分學生說不能。由此可見，不通過學生動手操作，我們是無法說服學生“當兩邊之和與第三邊相等時，不可以擺成三角形的”。
師：我們先來看屏幕，如果我們把3厘米和5厘米的小棒連接起來是幾厘米？
生：8厘米。
師：好，如果我們把這條連接好的線段與第三條線段的一端對齊，那么，另一端怎么樣了？
生：兩端都對齊了。
師：請大家閉上眼睛想象一下，如果左端不動，我提起中間的端點會怎么樣呢？
生：右邊的端點會靠左，對不齊了。
師：如果右邊不動，我們提起中間的端點會怎么樣？
生：左邊的端點就向右走了，對不齊了。
師：孩子們通過想象進行推理，你們認為兩邊之和等于第三邊時能夠拼成三角形嗎？
生：不能。如果兩邊之和多那么一點點就可以拼成了。
例1已知ABC的三邊長a、b、c滿足b+2c≤3a，c+2a≤3b，則ba的取值范圍為.
分析從題目中的結果出發，利用三角形的三邊關系，消去變量c.
解因為b+2c≤3a，所以2c≤3a-b.
因為兩邊之差小于第三邊，
所以c>a-b，c>b-a，
即3a-b>2（a-b），
3a-b>2（a-b），解得a+b>0，
5a>3b.
所以ba
因為c+2a≤3b，所以c≤3b-2a.
因為c>a-b，c>b-a，
所以3b-2a>a-b，
3b-2a>b-a，解得4b-3a>0，
2b-a>0.
即ba>34.又由于ba
評注本題可以用題目中兩個條件和三角形三邊關系，同時除以a后，再換元，用線性規劃方法處理.
例2已知三角形ABC的三邊長為a，b，c，滿足b+c≤2a，c+a≤2b，求ca的取值范圍.
分析從題目中的結果出發，利用三角形的三邊關系，消去變量b.
解由題意知
b+c≤2a，
c+a≤2b，
a+b>c，
a+c>b，
b+c>a，同時除以a，得到ba+ca≤2，
ca+1≤2（ba），
1+ba>ca，
1+ca>ba，
ba+ca>1.
令ca=x （x>0）， ba=y （y>0），
所以x+y≤2，
x+1≤2y，
1+y>x，
1+x>y，
x+y>1.
其可行性區域如圖1所示，
所以0
即0
例3已知三角形ABC的三邊a，b，c成等差數列且a2+b2+c2=84，求b的取值范圍.
分析三角形三邊成等差數列，想到三個數成等差數列的常用設法，設公差大于等于0，簡化計算.
解令a=b-d，c=b+d （d≥0），
由于a2+b2+c2=84，
則（b-d）2+b2+（b+d）2=84，
所以3b2+2d2=84，即2d2=84-3b2.
由于d2≥0，所以0
因為任意兩邊之和大于第三邊，c為最大邊，
所以a+b>c，即2b-d>b+d，即b>2d，即b2>4d2，
所以b2>2（84-3b2），即b2>24，b>26.
又因為0
評注不少學生的答案是0
例4在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b2=ac，求sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC的取值范圍.
分析從結果出發，遇切化弦，根據條件轉化成邊，利用三角形三邊關系求解.
解sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC=sinA+cosAsinCcosCsinB+cosBsinCcosC
=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sin（A+C）sin（B+C）=sinBsinA=ba.
由三角形三邊關系得到b2=ac，
a+b>c，
a+c>b，
b+c>a，
a>0，b>0，c>0，
所以b2
b2>a（a-b），②
b2>a（b-a）.③
由①得（ba）2-ba-1
由②得（ba）2+ba-1>0，則ba>5-12，
由③得（ba）2-ba-1>0，則ba∈R，
【教材呈現】
原題1：下面哪組線段可以圍成一個三角形？為什么？
原題2：一個三角形，兩邊的長分別是12厘米和18厘米，第三條邊的長可能是多少厘米？在合適的答案下面畫“√”。
原題3：先量出下面兩根小棒的長度，再想一想，能和它們圍成三角形的第三根小棒的長可能是多少厘米？
原題4：從學校到少年宮有幾條路線？走哪一條路最近？
在實際教學中，逐一解決以上習題固然能鞏固“三角形任意三邊之和大于第三邊”這一知識點，加深對三角形三邊關系的理解。但是，總是以小棒為載體，運用結論進行判斷和選擇，學生始終感覺在進行數學訓練，興趣淡然，體會不到這一知識內涵的豐富性以及在生活中的廣泛應用。為此，我對練習進行了重新設計。
【教學片段】
師：這節課我們一起研究了三角形的三邊關系，知道了三角形任意兩邊之和都是大于第三邊的。這個知識在生活中用處可大著呢！不信，你看！
第一組：
師：木匠王師傅要找三根木料做一個三角形，他挑出了這樣三根，能做出來嗎？出示：
生：不能，因為第二根加第三根小于第一根。
師：只判斷這兩根就確定啦？
生：我覺得只要有兩條邊的和小于第三邊就肯定不行了。
師：那你為什么不先判斷第一根加第二根，或者第一根加第三根呢？
生：第一根最長，再加一根更長，肯定大于第三根。
師：那能不能圍成，最關鍵是看什么？
生：兩條短一些的邊加起來大于最長的邊。
師：哦！難怪你們這么快，原來還有這個竅門啊！
第二組：
師：王師傅試了試，果然做不成三角形。無奈之下，換了一根。這回，能做起來嗎？
出示：
生：還是不能，因為第二根加第三根的和等于第一根，還是圍不成。
師：為什么選7+3來判斷？
生：因為7和3是較短的。這一組如果符合要求，其余的也一定符合要求！
師：說得真棒！
第三組：
師：王師傅兩次都沒做起來，有些不高興了，他拿起鋸子，把最長的一根鋸掉了一段！這回，他成功了嗎？
出示：
生（很失望）：還是沒有！
師：怎么又失敗了呢？這最長的一根已經被鋸短了呀！
生：不對，因為這一鋸，讓第二根成為最長的了，3厘米加3厘米小于7厘米，兩條短邊加起來小于最長的邊，還是做不成！
第四組：
師：王師傅一氣之下，把這根鋸短的扔掉了，他決心重新尋找！你們能給王師傅一些建議？（取整數）
出示4：
生：5厘米。
師：可以嗎？
生判斷：3厘米+5厘米>7厘米，能圍成三角形。
生：8厘米也可以。
師：行嗎？其他學生判斷。
……
師：大家你一言我一語，都有道理！王師傅想，你們要是能給我個范圍就好了！
生交流，匯報。
生：我認為只要大于4厘米小于10厘米都可以。
師：為什么？
生：如果正好是4厘米，那么3+4=7，圍不成，所以要比4厘米多;如果正好是10厘米，那么3+7=10，也圍不成，所以要比10厘米少。
師：看來，第三根的長度除了要比兩根之和短，還有什么要求？
生：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
師：有了大家的建議，王師傅終于找到了合適的木料！
生不禁歡呼……
第五組：
師：王師傅完成了任務！一看時間，不早了，得趕緊回家！
出示：
師：王師傅從木料場回家，有幾條路可走？他會選擇哪一條路呢？
生：中間一條。
師：為什么？
生：兩邊的路是彎曲的，中間的是直的，兩點之間線段最短。
師：用我們今天學的知識能解釋嗎？
生：中間一條路和兩邊的路合在一起，可以看作兩個三角形。每個三角形中，兩邊之和又是大于第三邊的，所以中間的路最近。
【設計思考】
特級教師吳正憲提出，要讓孩子享受既有“營養”又“好吃”的數學學習，單調的練習題如何烹飪成適合孩子的美味？本節課，主要做了以下思考：
有“營養”，要有明確的目標定位。課前，我首先對教材中安排的4道習題進行了研究。題1是根據每組中3條線段的長度判斷它們是否能圍成三角形，鞏固對三角形三邊關系的認識，強化對三角形特征的認知。題2引導學生根據給定的三角形的兩條邊，討論第三邊的長度所在的區間，并選擇合適的第三邊的長度，使學生更深刻地理解三角形的三邊關系，培養思維的條理性和嚴密性，發展空間觀念。題3要求先測量長度，再判斷能與之圍成三角形的第三根小棒的長度。促使學生在尋求第三根小棒長度的過程中，初步形成三角形兩邊長度的差小于第三邊的認識，進而加深對三角形三邊關系的認識與理解。題4則是讓學生應用三角形的三邊關系解決簡單的實際問題，使學生在解決問題的過程中不斷加深對三角形三邊關系的理解。
以上習題的訓練目標成為我練習設計的首要定位，即：無論以何種形式呈現，內在的達成目標應該是既定不變予以落實的。
有“營養”，要有助于提升思維能力。
教材習題是通過不同的要求，達成學習目標的，但每道題在獨立練習時，目標指向性比較單一，一道題解決一個問題。而關于三邊關系的知識，內在聯系是非常緊密的，三條邊中任意一條邊長度的改變都有可能引起整體的變化。是否可以通過“變式”來溝通知識的聯系，讓學生在不斷的思維轉換中加深對三邊關系的理解？這一想法成為練習設計的落腳點。于是梳理不同類型三角形的特點并有機串聯，第一組是兩邊之和小于第三邊的類型，通過追問，引導學生得出判斷的簡便方法，只要判斷兩條短邊之和大于第三邊即可。第二組呈現兩邊之和等于第三邊的情形，用于鞏固。第三組則在第二組的基礎上，將最長的變為最短的，此舉，從形式上來看，只是改變了一根小棒的長度，但從本質上講，此時三角形三邊的長短關系則發生了變化，較短邊不再是前兩組的7和3，而是3和3，這就促使學生重新審視三邊長度整體把握后再作判斷。第四組只給定兩根小棒的長度，思考第三根小棒的長度區間，不僅考慮兩根之和大于第三邊，還要考慮兩邊之差小于第三邊。最后一組將知識應用于生活。此環節沒有出示過多的習題與要求，只是在一組練習的基礎上通過不斷地變式，由淺入深，逐步提升思維含量，培養學生的思維能力。
“好吃”，要能激發兒童興趣。
很多學生抱怨數學冰冷、枯燥、無趣，那往往是因為我們將原本鮮活的內容生硬地呈現在了學生面前。課堂上，學生為了做題而做題，數學與生活成了兩張皮，學生絲毫體會不到所學的數學知識離開了課本在生活中能有何應用？兒童的心理特征決定了只有有趣的，才是他們愿意學的。激發學習興趣，理應成為教師課堂教學的重要任務。上述案例中，筆者反復思量，尋找與三邊關系緊密結合的生活原型，創造性地設置出木匠王師傅做三角形的情境，學生在幫助王師傅尋找合適木料的過程中，積極性被充分調動起來，體會到了問題解決后的愉悅之情。
“好吃”，要站在兒童立場解決問題。
[關鍵詞]以學為中心；探究學習；以學定教
以學為中心是對課堂實質言簡意賅的表達。在踐行過程中，教師要努力促使學生向文本、同伴和老師學習，同時根據進程調整應對，評價成果。四年級《三角形三邊關系》一課，意圖讓學生經歷數學探究活動了解三邊關系，發展觀察操作對比抽象等能力，并滲透分類集合對應等數學思想方法。幾年間，筆者三次同課異構，讓學生成為學習的主人是始終不變的努力方向。
第一次實踐：小組合作，探究學習
首次執教《三角形三邊關系》時關注課堂從形式到內容的變更，嘗試教與學的雙向變化。學生六人一組開展三項操作活動，他們嘗試自主、合作、探究的新型學習方式，通過動手、動眼、動口、動腦主動獲取知識。
活動一：研究不能圍成三角形的情況
測量三根小棒的長度并記錄數據，看能否圍成三角形，想想為什么（課堂上提供了兩組不同長度的小棒，分別是2cm、5cm、8cm和4cm、4cm、8cm。每一組學生都只能接觸到其中一組數據。）學生用“2+5
活動二：研究能圍成三角形的情況
學生提出猜想：也許兩根較短小棒的和大于第三根小棒，就能圍成三角形。他們各自想辦法，有人指出可以換掉不合適的那根小棒。他決定選擇一根替換三根小棒中的一根再試試看能否圍成三角形，并用式子表述理由。學生充分操作之后匯總數據總結出“只要兩根較短小棒的和大于第三根小棒，就能圍成三角形”，并驗證了猜想。
【反思】師生的角色轉變是一種覺醒。教師原來是把持話語權的主角，現在退而組織學生的數學活動，盡管探究行動在事先設定的框架內開展，但學生分工合作分享交流，課堂效果很好。同時我也考慮兩個問題：第一，將不能圍成三角形的兩種情況剝離出來探究，這一安排是否合適？第二，活動的設置是不是可以多考慮學生可能的思路和需要重新設計？
第二次實踐：問題導學，活動導思
再次琢磨時，我圍繞發展學生的空間觀念和推理能力的主旨，以問題導學、活動導思為主線組織教學，從量到擺再到算逐步推進。
問題一：我們可以用什么方法研究三角形的三邊關系？
學生如預設中表示或量或擺，教師因勢利導設置兩層活動：
第一層：測量三角形邊的長度，觀察有否規律？（單單觀察數字，學生發現不了隱含的關系，只能借助擺小棒進一步求解。）
第二層：從四根小棒（3cm、3cm、6cm、7cm）中選擇三根擺一擺，看看能否圍成三角形，并記錄。
學生在討論中得到“3+3=6，3+37”三個式子，慢慢靠近“必須兩根小棒長度和大于第三根小棒時，才可以擺成三角形”的結論。
問題二：從小棒長度關系來看，三角形的三邊可能存在什么關系？
學生回到之前測量過的三角形去尋找答案，逐漸梳理出幾個不等式，并得出：三角形任意兩邊之和大于第三邊。
問題三：三條長度分別是3cm、6cm、2cm的線段能不能圍成三角形？
通過計算發現只要滿足“兩條較短邊之和大于第三邊”即可圍成三角形。探究活動從直觀小棒至抽象式子，知識建構向符號化的方向縱深行進。
【反思】縱觀全課，課堂更多考慮了學情因素，三個問題在層層遞進中邏輯嚴密。學生主動操作、辯論解疑，既培養了推理能力，又發展了空間觀念。在活動開展過程中，教師用問題掌控課堂，學生量擺算時少了主觀能動性。
第三次實踐：任務驅動，以學定教
第三次設計此課恰逢教材改編，我選擇完全回歸文本，讓學生帶著任務自學，基于經歷而積累經驗，在課堂交流中基于需要，著力幫助學生完成自主建構。
一、布置自學
1.自學課本62頁例3，小明家到學校有幾條路？哪條路最近？為什么？
2.參照例4提供的數據（單位：cm） ，剪出四組紙條分別擺三角形。思考為什么有的數據可以擺成三角形，有的卻不能？
A.6、7、8 B.4、5、9 C.3、6、10 D.8、11、11
二、匯報交流
課始，學生引用文本“兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫做兩點間的距離”作答第一個問題。當給三段路賦長度值后，他們用“500+ 800>1000”加以解釋，還用“1000+ 800>500”和“500+ 1000>800”說明小明從家去郵局和從郵局到學校的最短路程，表示可以用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”闡述兩點間直線距離最短的原因。
自學問題二分三個階段展開匯報：
1.作品展示
首先展示的是用“6、7、8”和“8、11、11”圍成的三角形，引導學生認識三條線段首尾相接視為圍成三角形。大家一致認為因為3+6
2.數據分析
至此，課堂交流自然鎖定“到底是什么因素決定三條線段可以圍成三角形”，學生意識到“是線段之間的長度關系決定的”，學生整理出四組式子進行對比分析，發現當兩條短邊之和不能大于第三條邊時，就圍不成三角形。
3.解釋應用
一道開放式問題用以拓展提升：改變3cm、6cm、10cm一組中的10cm紙條的長度（取整厘米數），再與3M、6M的紙條圍成一個三角形，有幾種修改方案（可剪可擺可算）？學生計算得出長度取值范圍是8cm到4cm。教師借助工具繪圖，讓學生感受到當數據改成5cm、4cm時，原有6cm長的線段就變成了三角形里的最長邊了，用以判斷的長度關系也要隨之修正。
【反思】在自學任務驅動下，呈現更多學的行動和思的較量。教師總是擔心學生看書之后都懂了教師還怎么教，其實很簡單，真懂了就不用教，沒真懂就好好琢磨如何以學定教，一知半解比蒙昧無知起點更高，終點更遠。
行走在以學為中心的課堂邊上，不同思考有不同收獲，讓學生立于課堂是首要考量，離于課堂仍有力后續發展是核心任務。
參考文獻：
一、 考查圖形平移的要素
例1 （2013?廣東廣州）在6×6方格中，將圖1-①中的圖形N平移后位置如圖1-②所示，則圖形N的平移方法中，正確的是（ ）.
A. 向下移動1格
B. 向上移動1格
C. 向上移動2格
D. 向下移動2格
【解析】結合圖形可以看出，將圖1-①中的圖形N向下平移2格后，就到達了位置如圖1-②所示，故答案選D.
【點評】圖形的平移包含兩個要素，一是平移的方向，二是平移的距離. 因此，判斷平移的時候，只需要沿平移的“路徑”進行平移便可確定其兩要素.
二、 考查圖形平移的性質
例2 （2012?浙江義烏）如圖2，將周長為8的ABC沿BC方向平移1個單位得到DEF，則四邊形ABFD的周長為（ ）.
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【分析】根據平移的基本性質，得出四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC，即可得出答案.
解：根據題意，將周長為8個單位的ABC沿邊BC向右平移1個單位得到DEF，
AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC.
又AB+BC+AC=8，四邊形ABFD的周長=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10. 故選C.
【點評】平移的基本性質主要有：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所連的線段平行（或共線）且相等，對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等. 由性質得到CF=AD，DF=AC是解題的關鍵.
三、 考查三角形的三邊不等關系
例3 （2013?湖北宜昌）下列每組數分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（ ）.
A. 1，2，6 B. 2，2，4
C. 1，2，3 D. 2，3，4
【解析】根據三角形的三邊關系：三角形兩邊之和大于第三邊，實際計算時，只需求出兩個較小邊的和，看看是否大于第三邊即可. 對于A，1+24，能組成三角形，故此選項正確. 故選D.
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，應用好三角形的三邊關系定理是解題的關鍵.
四、 考查三角形的內角和
例4 （2013?四川達州）如圖3，在ABC中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；…；∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點A2013，則∠A2013=______°.
【解析】如圖4，在A1BC中，根據三角形內角和定理，有∠A1=180°-∠A1BC-∠1-∠2，
又因為A1B和A1C是兩條角平分線，
故∠A1=180°-∠ABC-∠1-（180°-∠1）=180°-∠ABC-∠1-90°=90°-（∠ABC+∠1）=90°-（180°-m°）=.
同理，∠A2=∠A1=，∠A3 =，…，∠A2013=.
故答案為.
【點評】在找規律之前，發現∠A1與∠A不在同一個三角形中，故在它們所在的兩個三角形中分別應用三角形內角和定理.
五、 考查多邊形的內角和公式
例5 （2013?江蘇揚州）一個多邊形的每個內角均為108°，則這個多邊形是（ ）.
A. 七邊形 B. 六邊形
C. 五邊形 D. 四邊形
【解析】根據多邊形的內角和公式可知，這個n邊形滿足：（n-2）×180=108n. 解得n=5. 所以應選C.
關鍵詞：初中數學;雙邊互動;方式運用
一、抓住新知內涵要義，實施雙邊互動，實現初中生知識素養的有效提升
新知教學是學科教學活動的重要組成部分，也是學生學習素養培樹的基礎階段.初中生新知內涵的有效掌握，有助于學生問題解答、思維評析活動的有效開展.傳統的“教師講、學生聽”的單向性教學形式，嚴重壓制了學生的學習潛能，壓抑了學生學習新知主動性.教學實踐證明，學生參與的教學活動，才是“真正”的教學活動.因此，在新知教學活動中，教師在認真研析教材內容，掌握教學目標要求，確定教學重難點等內容的基礎上，與學生開展雙邊互動交流活動，引導學生一起進行新知概念、性質、定理等內容的學習活動，使學生“知其然，更知其所以然”，逐步積淀數學知識經驗，提升數學學習素養.
如,在“三角形三邊關系性質”教學活動中，教師在研析教材內容及目標要求等基礎上，認識到該節課的教學重點是：“三角形三邊關系的定理和推論”，學習難點是：“三角形按邊分類關系的原則”. 因此，在三角形三邊關系教學活動中，教師設計以下教學過程：
師生動手實驗，研究三角形三邊的關系
1.實驗操作，深入理解三角形的定義
（1）用三支木棍動手拼成三角形，并回答三角形的定義
（2）引導學生思考：不在同一直線上的三條線段一定能“首尾相接”？
把一支短木棍截得足夠短，看是否能組成三角形？得出：當較短的兩條線段之和小于或等于較長線段長時不能首尾相接.不在同一直線上的三條線段一定能組成三角形是有條件的，其中任意兩邊線段的長度之和必須要大于第三條線段.
2.猜想并證明三角形的三邊關系定理
繼續剛才的問題構成三角形后，三角形的三邊滿足什么關系？
學生得出猜想定理：三角形兩邊之和大于第三邊.
引導學生用“兩點間線段最短”來推導，并寫出符號表示方法：
AB+AC＞BC AC+BC＞AB AB+BC＞AC
3.演繹推理，發現推論.
師問：那么兩邊之差？
學生：由上面式子 移項可得出推論：三角形兩邊之差小于第三邊.
通過對上述教學過程的分析，可以發現，教師引導學生，并與學生進行有效互動，使學生能抓住和領悟三角形三邊關系性質要義，從而實現了初中生對該節課內容精髓的有效掌握，推進了教學活動進程.
二、注重解題策略傳授，實施雙邊互動，實現初中生探究思維的有效鍛煉
學習能力培養，是新課改下初中數學教師有效教學活動的根本任務和要求.在教學活動中，教師在初中生學習能力的培養上，抓住數學問題的發展特性，設置實踐探究舞臺，提供探析、思考時機，注重解題過程引導和指導，讓初中生在師生有效互動中，實現探究思維的有效鍛煉.圖1
問題：如圖1所示，BD是ABCD的對角線，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F．求證：ABE≌CDF．
在該問題教學中，教者實施探究式教學策略，將師生之間的雙邊互動滲透其中，先讓學生進行自主探析活動，并經過小組探析，掌握條件內容和要求，學生分析得出：根據角平分線性質與平行線性質證明∠ABD=∠CDB，再根據平行四邊形性質證出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定ABE≌CDF.
接著教師要求找出該問題的解答策略，學生此時經過小組探析認為：“”，學生得出如下解題過程：
證明：ABCD中，AB=CD，∠A=∠C， AB∥CD ，
∠ABD=∠CDB.∠ABE= ∠ABD，
∠CDF=12∠CDB， ∠ABE=∠CDF.
在ABE與CDF中∠A-∠C
AB=CD，
ABE≌CDF（ASA）.
最后，教師與學生進行問題案例解題規律方法的歸納總結活動.
三、開展多樣評價活動，實施雙邊互動，實現初中生學習習慣的有效養成
傳統教學活動中，教師在總結提升階段，不注重對學生學習活動過程的評價和分析，導致學生對自身學習活動及表現不能有及時、客觀、全面的認識，在一定程度上降低了初中生學習效能提升，阻礙了初中生學習習慣的養成.而總結提升階段師生互動評價性教學活動的有效開展，能夠為教師對學生的及時指導以及學生對自身學習實際的全面認識提供了時機.因此，在教學活動中，教師在評價性教學策略的運用上，要改變教師“一言堂”的模式，采用師生評價、生生互評的多樣評價形式，讓學生雙邊互動的多樣性評價活動中，既評析出他人的解題不足，又認識到自身的改進之處，從而使初中生群體在雙邊互動評價活動中樹立良好學習習慣.
?案例呈現?
片段一：課前談話，激發興趣
師：同學們，你們認識我嗎？(板書：認識)要想認識一個人，通常要了解這個人的什么呢？（根據學生的回答板書：名字、外形、特征）
【導引1】認識圖形正如認識人一樣，一般要知道它的姓名、相貌、性格特征等。三角形的名稱和形狀，學生已經認識，本課重點在是認識三角形的特征。課前活動，教師把“人”和“物”相聯系，有助于學生明白本課的學習重點。
片段二：聯系實際，引入課題
師：同學們，今天趙老師要看看誰的眼睛最亮，誰的記性最好？（教師課件顯示長方形、三角形、正方形、三角形、圓，2秒后隱去）
師：剛才出現的圖形中哪種圖形最多？
生：（猶豫）好像是三角形。
師：看來呀，好多同學看得不準哦。再來看一遍。（課件重新顯示）
師：對了，果然是三角形最多。我們繼續看。（課件顯示“長方形、正方形、圓”，2秒后隱去）
師：這次少了什么圖形？
生：（斬釘截鐵）三角形。
師：這次大家都看清楚了，的確少了三角形。（在“認識”前補充板書：三角形的）
【導引2】教師設計“比眼力”和“比記性”的游戲活動，既讓學生集中了注意力，又巧妙地在“多”與“少”的比較中一下子推出了主人公――三角形，非常自然地連接上了學生原有的認知基礎。
師：是啊，我們對三角形并不陌生，因為我們在以前的學習中已經初步認識了三角形。（出示教材情景圖，如圖1）你能在圖中找到三角形嗎？
第一個學生到大屏幕上指出一個三角形后，教師沿著學生所指三角形的三條邊邊指畫邊數“1、2、3”。接著學生也上臺邊指邊數指認圖中的三角形。
師：在我們身邊你能找到三角形嗎？
學生找到三角尺、紅領巾等實物后，自覺采用邊指邊數的方式指認和描畫三角形。
【導引3】從游戲中、照片上和自己身邊找三角形，強化了學生對三角形的視覺印象。教師讓學生指三角形時，邊沿著三角形的邊指畫口數“1，2，3”，讓學生對三角形邊的特征感覺更充分。
片段三：動手操作，探索新知
師：剛才同學們在生活中找到了許多的三角形，那你能用老師提供的材料想辦法做出一個三角形嗎？（小組活動結束后，分別上臺展示）
生：我是用小棒擺的。
師：你用了幾根小棒？（板書：3根）
學生上臺用實物投影演示圍三角形的過程，教師提醒學生要注意首尾相接。
生：我是在釘子板上圍的。
師：你把橡皮筋分成了幾段？（板書：3段）
生：我是沿三角尺的邊畫的。
師：你畫了幾條線段？（板書：3條）
生：我是用紙折的三角形，折出了三條邊。
師：（畫一個角）這個圖形你們認識嗎？請說出它各部分的名稱。（學生回答，教師板書，如圖2）
師：你會把角變成一個三角形嗎？由角的各部分名稱，你能說說三角形各部分的名稱嗎？（板書如圖3）
師：通過剛才的做一做和現在的變一變，你知道些什么？（根據學生的回答板書：三角形有三條邊，三個角，三個頂點）
師：誰知道，三角形是根據什么來取名的呢？
生：三角形是根據“三角形有三個角”這個特征來取名的。
師：對啊！那你認為還可以給它取個什么樣的名字呢？并說說你的理由。
生：我想，根據“三角形有三條邊”這個特征，三角形可能還可以叫做三邊形。對嗎？
師：你說的不錯，確實我們也可以把三角形稱為三邊形。
教師指著“3根小棒”“3段橡皮筋”“3條線段”的板書：為什么這里的數據都是“3”？
生：因為三角形有三條邊。
【導引4】教師讓學生在匯報做三角形的過程中關注三角形的構造。然后，教師讓學生把以前學過的角變成三角形，溝通了知識間的聯系，更重要的是，從角過渡到三角形，學生很容易得到三角形各部分的名稱。另外，教師還讓學生思考三角形名稱的由來，不僅擴大了學生的知識面，而且進一步強化了三角形的邊角特征。
師：（出示教材“想想做做”第1題的點子圖）你會畫三角形嗎？請你在點子圖中畫出兩個不同的三角形。
師：（展示學生作品后）你發現了什么？
生：三個點可以畫出一個三角形。
師：是嗎？（指著直線上的三個點）這三個點可以畫出一個三角形嗎？
生：不能。因為三條邊重合在一起了。
生：不在一條直線上的三點才能畫出三角形。
師：剛才我們知道了不在同一直線上的三個點可以確定一個三角形。那么是不是任意三條線段都能圍成三角形呢？請從10cm、6cm、5cm、4cm四根小棒中任選三根圍一圍，看看能否圍成三角形。
學生匯報了6cm、5cm和10cm，4cm、5cm和6cm，。6cm、4cm和10cm這三組小棒，認為能圍成三角形。
生：反對！我認為6cm、4cm、10cm這三根小棒不能圍成三角形。
師：到底能不能呢？我們待會兒研究，再看看有沒有其他情況？
生：我選擇了4cm、5cm、10cm三根小棒，不能圍成三角形。
師：這一情況大家沒有異議吧？（學生意見統一）那好，請同學們仔細觀察一下，這三根小棒圍不成三角形是什么原因造成的？
生：是4cm和5cm這兩根小棒長度的和小于10cm這根小棒的長度。
師：也就是說三角形的兩邊之和不能小于第三邊，是這樣嗎？（學生又產生爭議）
師：你們在爭論什么呢？
生：就是剛才出現了兩邊之和正好等于第三邊的情況。
師：好，就問題辯論一下。支持能圍成的正方和否定能圍成的反方，來說說各自的理由。
正方：我認為，只要把6cm、4cm兩根小棒的兩頭往下壓一壓，就能圍成一個扁扁的小三角形。
反方：反對，我認為6cm、4cm兩根小棒的兩頭壓下去后，仍然不能圍成三角形。
師：看來，小棒太粗了，有誤差，小棒也太圓了，難重疊，我們還是請電腦來演示一下。
電腦演示：6cm的小棒與4cm的小棒“碰頭”后的長度與10cm的小棒正好相等，與10cm的小棒重合一起，這樣就形成一直線上的三個點，與剛才“不在直線上的三個點可以確定一個三角形”的結論相同。至此，學生都同意“6cm、4cm、10cm三根小棒不能圍成三角形”的觀點。
【導引5】教師通過組織學生畫點子圖、現場擺小棒、根據同學回答進行辯論和觀看電腦動畫演示等活動，充分地讓學生從多個角度體驗、認識、分析、歸納三角形邊的特征，正確得出“不在同一直線上的三個點可以確定一個三角形”結論。同時，教師預設了用小棒擺三角形可能會出現問題的細節，采用辯論的形式激起了學生思維的。
師：研究了這么多，你們認為要能圍成三角形，三角形三條邊的長度要符合什么樣的條件？
生：三角形的兩邊之和要大于第三邊。
師：是不是三角形每兩條邊的和都要大于第三邊呢？
學生一一列舉出能圍成三角形以及不能圍成三角形四種情況中的三邊關系，發現結論成立。
師：那么，在判斷能不能圍成三角形時，是不是一定要把所有的兩邊之和都算出來和第三邊作比較？
生：不必。我發現，只需要看其中兩條較短邊的長度和是不是大于最長邊就行。
【導引6】在研究三角形的三邊關系時，教師采用了從反例切入，讓學生一下子找到了圍不成三角形的癥結所在，由此想到把三角形的兩條邊的長度和與第三邊的長度進行比較這一研究思路。然后，由點及面，擴展到三角形每兩邊的長度和與第三邊長度的比較，由反到正，把在反例中得到的猜想擴展到在正例中進行驗證，最后在正例與反例的比較中，發現了線段圍成三角形的快捷判斷方法。
?專家導引?
在日常學習中，學生對于一個知識點更多地是關注它是什么，往往忽視它為什么是這樣。也就是說，學生很少過問這一個知識為什么它一定要以這種方式存在而非其他的形式。如果我們引導學生明白其中的道理后，他們就能夠把知識看清、看明、看透。可以說，只有學生“入木三分”地理解知識，對知識的掌握才能夠達到“入骨三分”。
一、給知識找到出身的理由
知識并不是獨立存在的，我們總能找到它存在的理由。知識的存在價值有兩種取向，一種是為人們更好地生活而存在，這是知識的實用價值；另一種是為人們更好地學習而存在，這是知識的基礎價值。
“三角形”知識同樣跳不出這樣的存在理由。所以，在教學中，教師應該組織學生在兩個領域中尋找“三角形”，一是在身邊的事物中尋找“三角形”，二是在學過的書本中尋找“三角形”。對前者，教師在教學設計中一般都能體現，對后者，教師往往不太關注。而本課的教學設計，教者不僅注重了從生活實例中引出“三角形”，而且添加了從以前學過的舊知識“角”中引出“三角形”。這樣在知識淵源上找到新舊知識的生長點，將更有利于學生抓住知識的生長的關鍵，實現知識的“芝麻開花節節高”。
二、給知識找到取名的理由
知識的取名也不是無緣無故的，很多情況下我們也能夠找到給它取名的理由。例如“三角形”的取名就反映了“三角形有三個角”這一特征，“等腰三角形”和“等邊三角形”的取名還反映了“三角形有兩條邊相等”和“三角形三條邊都相等”這一性質。在其他領域的知識中，這樣“名”符其“實”的例子普遍存在。所以，在教學中，有時對概念名稱進行咬文嚼字，會有利于學生對知識的理解和掌握。
在本課中，教學三角形的特征后，回過來讓學生想想三角形的取名，能夠讓學生明白“三角形”這一名稱存在的理由，然后教師順勢再讓學生根據“三角形有三條邊”這一特征猜想三角形的另一個名稱――“三邊形”，既開闊了學生的知識視野，又加深了學生的知識理解。
三、給知識找到結論的理由
在教學中，教師大多會注意規律性知識形成的過程和結果，不僅讓學生摘得“結論”的“果實”，而且讓學生看到“結”論的過程。除此，我們還應該注意的是，讓學生看到“結”論的理由。
在本課教學中，三角形的三邊關系這一知識結論采用的是讓學生通過探究實驗這種不完全歸納法得到的。但不完全歸納法本身存在著難以讓學生信服的“缺陷”，所以，在教學中，教師應該想方設法讓學生為確信知識找到更多更好的理由支持。例如教師不妨把探究活動開放一些，讓學生任意選擇材料圍三角形，這樣得到的結論可以更“完全”一些；又如在探究“三角形的兩邊之和等于第三邊”時，由于操作的誤差，學生難以得到精確的結論，此時教師利用之前“在點子圖中畫三角形”活動中得到的“不在同一直線上的三個點可以確定一個三角形”結論，從理論上給“當三角形兩邊之和等于第三邊時，圍不成三角形”找到讓學生確信的理由。
關鍵詞：數學；活動；基本經驗
在新課程改革背景下，《義務教育數學課程標準（2011年版）》從課程目標上對數學活動經驗提出了要求，即在“雙基”的基礎上提出了“四基”：基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。也就是說，我們在平常的小學數學教學中，要在保證以往“雙基”的基礎上，還必須啟發學生領會數學的基本思想，積累數學活動的基本經驗。
所謂數學活動基本經驗是指學習主體（即學生）通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗。我認為，數學活動基本經驗的積累，要與教學內容相結合，要與學生已有的知識和生活實際相聯系，這樣才能有更好的效果。
一、引導學生在教學活動中獲得數學基本經驗
課堂教學是我們教師傳授知識的主要途徑，也是學生獲得知識的主要渠道。因此，要充分利用平時上課的時間，在有限的課堂時間內，不但要達到完成教學任務的目標，也要達到傳授數學活動基本經驗的目的。這就要求我們在上課之前要充分做好備課工作，結合具體內容讓學生在數學學習活動中去“經歷過程”，在“做”數學中體驗數學，感悟數學，讓學生充分經歷直觀感知、觀察發現、實踐探索、空間想象、歸納類比、猜想驗證、演繹證明等數學活動的過程，積累一定的數學活動經驗。下面，我以教學《三角形三邊關系》為例說明。
在課堂上，我布置給學生三個任務：一是進行選擇：4根小棒選3，動手圍三角形；二是進行交流：到底怎樣的3根小棒才能圍成三角形？三是進行實踐：給你2根，你能配第3根小棒來圍成三角形嗎？經過一段時間的動手操作，學生通過比選材料，在“用小棒圍三角形”的過程中，呈現出較大的思維空間。學生在操作實踐的基礎上，通過觀察、比較、概括、抽象等一系列的思維活動，從“與三邊長度有關―其中兩邊的長度和與第三邊長度關系―任意兩邊的長度和大于第三邊”等多個層面不斷探索能圍成三角形的條件，教師也不時地在關鍵處加以引導、啟發，讓學生的認識從直觀走向抽象層面，從而在更深層次上理解了三角形三邊關系的本質特點。這樣，為學生創設多樣化的、開放性的探究情境，引領學生在廣闊的數學背景下自由馳騁，學生在這樣的數學活動中產生了積極的情感體驗，獲取了對三角形的三邊關系概念的感覺，把握了數學過程的本質，豐富、積累了對這一知識的活動經驗，潛移默化地提升學生的數學素養，學生所積累的探究經驗將更科學、更豐富。
二、引導學生在自我感悟中獲得數學基本經驗
學生是學習的主體，是數學活動基本經驗的獲取者。我們在教學中一定要發揮學生的主觀能動性，引導學生通過自己的探索、思考、發現從而獲得數學知識，進一步從中積累數學經驗。
如，在《角的認識》中，我們可以創設這樣一個情境：給每個學生一個口袋，口袋里面放了一些物品，讓學生從中摸出一個角。在學生紛紛舉著自己摸出的角之后，老師說：“看著你們摸得這么好，我也想摸摸。你們能給我說說是怎么摸出來的嗎？”孩子們說：“角有一個尖點，扎得慌。”教師伸手摸出一個圖釘；孩子們又說：“角還有兩邊。”教師伸手摸出的是一支削得很尖的鉛筆；孩子們急忙又補充說：“角是平的。”教師摸出一片樹葉，“尖尖的，平平的，怎么沒有角？”孩子們回答說：“兩條邊應該是直的。”這回教師摸出了一個三角板，教師真誠地對學生說：“謝謝你們幫助我找到了摸角的感覺。”教師有意識引導學生進行體驗，使學生認識并抓住角的關鍵特征。在教學活動中，我們還可以把探索物體長度的測量和長度單位的建立過程，探究不同的樹葉長寬之比，探索小數點的移動使數值發生變化，探索三角形的三邊關系等設計成數學活動。通過引導學生操作、猜測、驗證，發現問題、研究問題和解決問題，引導學生在自我感悟中獲得數學基本經驗。在這個過程中，學生獲得的不僅僅是認識相關的知識，得出相應的結論，而且積累了如何去探索、發現，如何去研究的經驗。
三、引導學生在總結提高中獲得數學基本經驗
知識并不是一個孤立的存在，而是一個完整的體系。要引導學生在學過的舊知識與剛學的新知識之間尋找聯系點，梳理出知識脈絡，整理出知識框架，從而鞏固已掌握的知識，并從中得到數學經驗。
考點一三角形三條邊之間的關系
例1（2015?崇左）如果一個三角形的兩邊長分別為2和5，則第三邊長可能是（）
A.2B.3
C.5D.8
分析：設ABC的三邊長滿足分別為a，b，c且a>b，則a-b
解：這個三角形的第三邊c的長滿足5-2
點評：已知三角形的兩條邊長，求第三邊，根據“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”，可得“三角形的第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和”，從而先求出第三邊的范圍，然后作出選擇.
例2（2015?南通）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）
A.5，6，10B.5，6，11
C.3，4，8D.4a，4a，8a（a>0）
分析：根據三角形的三邊關系對各選項進行逐一分析即可.
解：10-5
11-5=6，三條線段不能構成三角形.故選項B錯誤.
3+4=7
4a+4a=8a，三條線段不能構成三角形.故選項D錯誤.故選A.
點評：本題考查的是三角形的三邊關系，熟知“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”是解答此題的關鍵.
例3（2015?巴中）若a，b，c為三角形的三邊，且a，b滿足a2-9+（b-2）2=0，則第三邊c的取值范圍是.
分析：根據非負數的性質列式，求出a，b，再根據“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”求解即可.
解：由題意，得a2-9=0，b-2=0.解得a=±3，b=2.a>0，a=3.3-2=1，3+2=5，1
點評：本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時這幾個非負數都為0.本題還考查了三角形的三邊之間的關系.
考點二三角形的內角和外角
例4（2015?濱州）在ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，則∠C等于（）
A.45°B.60°
C.75°D.90°
分析：首先根據∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，求出∠C的度數占三角形的內角和的幾分之幾，然后根據分數乘法的意義，求出∠C等于多少度即可.
解：180°×53+4+5=180°×512=75°，即∠C等于75°.故選C.
點評：此題主要考查了三角形的內角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是三角形的內角和是180°.
例5（2015?昆明）如圖1，在ABC中，∠B=40°，過點C作CD∥AB，∠ACD=65°，則∠ACB的度數為（）
A.60°B.65°
C.70°D.75°
分析：首先根據CD∥AB，可得∠A=∠ACD=65°；然后在ABC中，根據三角形的內角和定理，求出∠ACB的度數為多少即可.
解：CD∥AB，∠A=∠ACD=65°.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-65°-40°=75°，即∠ACB的度數為75°.故選D.
點評：此題主要考查了平行線的性質和應用，要熟練掌握.解答此題的關鍵是要明確：（1）定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.（2）定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.（3）定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.此題還考查了三角形的內角和定理.
例6（2015?桂林）如圖2，在ABC中，∠A=50°，∠C=70°，則外角∠ABD的度數是（）
A.110°B.120°
C.130°D.140°
分析：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解.
解：由三角形的外角性質，得∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°.故選B.
點評：本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，比較簡單.
例7（2015?棗莊）如圖3，平面上直線a，b分別經過線段OK兩端點，則a，b相交所成的銳角是.
分析：構造三角形，根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”得出結論.
解：如圖4，延長a，b交于點A.由三角形的外角性質，得a，b相交所成的銳角的度數是100°-70°=30°.故答案為30°.
點評：本題考查了“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”的性質，熟記性質是解題的關鍵.
考點三三角形中的重要線段
例8（2015?永州）如圖5，在四邊形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延長線交于點E，若點P使得SPAB=SPCD，則滿足此條件的點P（）
A.有且只有1個
點評：本題考查了三角形中位線定理以及直角三角形斜邊上的中線等知識，用到的知識點為：（1）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；（2）三角形的中位線等于對應邊的一半.
例14（2015?鹽城）如圖11，點D，E，F分別是ABC各邊的中點，連接DE，EF，DF.若ABC的周長為10，則DEF的周長為.
分析：由于D，E分別是AB，BC的中點，則DE是ABC的中位線，那么DE=12AC，同理EF=12AB，DF=12BC，于是易求DEF的周長.
解：如圖11，D，E分別是AB，BC的中點，DE是ABC的中位線.DE=12AC.同理有EF=12AB，DF=12BC.DEF的周長=12（AC+BC+AB）=12×10=5.故答案為5.
點評：本題考查了三角形的中位線定理.解題的關鍵是根據中位線定理得出邊之間的數量關系.
考點五等腰三角形和等邊三角形
例15（2015?湖北）如圖12，在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D，CE平分∠ACB.若BE=2，則AE的長為（）
A.3B.1
C.2D.2
分析：先根據線段垂直平分線的性質得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分線定義得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形內角和定理求出∠A=180°-∠B-∠ACB=90°，然后在RtCAE中根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE=12CE=1.
解：在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，BE=2，CE=BE=2.
∠B=∠DCE=30°.CE平分∠ACB，∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°.
∠A=180°-∠B-∠ACB=90°.
在RtCAE中，∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
AE=12CE=1.故選B.
點評：本題考查的是含30度角的直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，角平分線定義及三角形內角和定理.
例16（2015?濱州）若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2，則其內切圓半徑的長為（）
A.2B.22-2
C.2-2D.2-2
分析：由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長，進而可求得兩條直角邊的長，然后根據直角三角形內切圓半徑公式求出內切圓半徑的長.
解：等腰直角三角形外接圓半徑為2，此直角三角形的斜邊長為4，兩條直角邊分別為22.它的內切圓半徑為r=12（22+22-4）=22-2.故選B.
點評：本題考查了三角形的外接圓和三角形的內切圓，等腰直角三角形的性質，要注意直角三角形內切圓半徑與外接圓半徑的區別.直角三角形的內切圓半徑r=12（a+b-c）（a，b為直角邊，c為斜邊），直角三角形的外接圓半徑R=12c.
例17（2015?溫州）如圖13，點A的坐標是（2，0），ABO是等邊三角形，點B在第一象限.若反比例函數y=kx的圖象經過點B，則k的值是（）
A.1B.2
C.3D.23
分析：首先過點B作BCOA于C.根據AO=2，ABO是等邊三角形，得出點B的坐標，進而求出反比例函數解析式.
解：過點A作BCOA于C.點A的坐標是（2，0），AO=2.ABO是等邊三角形，OC=1，BC=3.點B的坐標是（1，3）.把B（1，3）代入y=kx，得k=3.故選C.
點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用、等邊三角形的性質以及圖象上點的坐標特點等知識，根據已知表示出點B的坐標是解題的關鍵.
例18（2015?營口）如圖14，點P是∠AOB內任意一點，OP=5cm，點M和N分別是射線OA和射線OB上的動點，PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數是（）
A.25°B.30°
C.35°D.40°
分析：分別作點P關于OA，OB的對稱點D，C，連接CD，分別交OA，OB于點M，N，連接OC，OD，PM，PN.由對稱的性質得出PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB.進而得出∠AOB=12∠COD.再證OCD是等邊三角形，可得∠COD=60°，即可得出結果.
解：如圖15，分別作點P關于OA，OB的對稱點D，C，連接CD，分別交OA，OB于點M，N，連接OC，OD，PM，PN.點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA.點P關于OB的對稱點為C，PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB.OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD.PMN周長的最小值是5cm，PM+PN+MN=5cm.DM+CN+MN=5cm，即CD=OP=5cm.OC=OD=CD，即OCD是等邊三角形.∠COD=60°.∠AOB=30°.故選B.
點評：本題考查了軸對稱的性質、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質.熟練掌握軸對稱的性質，證明三角形是等邊三角形是解決本題的關鍵.
例19（2015?昆明）如圖16，ABC是等邊三角形，高AD，BE相交于點H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊GEF，則ABH與GEF重疊（陰影）部分的面積為.
分析：根據等邊三角形的性質，得AD的長，∠ABG=∠HBD=30°；根據等邊三角形的判定，得MEH的形狀；根據直角三角形的判定，可得FIN的形狀；根據面積的和差，求出答案.
解：如圖16，ABC是等邊三角形，高AD，BE相交于點H，BC=43，AD=BE=32BC=6，∠ABG=∠HBD=30°.∠BHD=90°-∠HBD=60°.∠MHE=∠BHD=60°.BG=2，EG=BE-BG=6-2=4.以GE為邊作等邊GEF分別交AD，AB于M，I，N，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，MHE是等邊三角形.SABC=12AC?BE=12AC×3EH，EH=13BE=13×6=2.∠BIG=∠FGE-∠IBG=60°-30°=30°，∠IBG=∠BIG=30°.IG=BG=2.IF=FG-IG=4-2=2.∠FIN+∠F=90°，∠FNI=90°.又∠FIN=∠BIG=30°.FN=1，IN=3.S五邊形NIGHM=SEFG-SEMH-SFIN=34×42-34×22-12×3×1=532.故答案為532.
點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質，直角三角形的判定.利用圖形的割補法是求面積的關鍵.
考點六中考多解題
例20（2015?營口）【問題探究】
（1）如圖17，銳角ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由；
【深入探究】
（2）如圖18，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長；
（3）如圖19，在（2）的條件下，當ACD在線段AC的左側時，求BD的長.
分析：（1）首先根據等式的性質證明∠EAC=∠BAD，則根據“SAS”即可證EAC≌BAD，根據全等三角形的性質即可證明；（2）在ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA，EB，EC，證明EAC≌BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在線段AC的右側過點A作AEAB于A，交BC的延長線于E，證明EAC≌BAD，可得BD=CE，即可求解.
解：（1）BD=CE.理由如下：∠BAE=∠CAD，∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，
AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
AC=AD，EAC≌BAD.BD=CE.
（2）如圖20，在ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA，EB，EC.∠ACD=∠ADC=45°，AC=AD，∠CAD=90°.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
AC=AD，
EAC≌BAD.BD=CE.AE=AB=7BE=72+72=72，∠AEC=∠AEB=45°.又∠ABC=45°，∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°.EC=BE2+BC2=（72）2+32=107.BD=CE=107.
（3）如圖21，在線段AC的右側過點A作AEAB于A，交BC的延長線于點E，連接BE.AEAB，∠BAE=90°.又∠ABC=45°，∠E=∠ABC=45°.AE=AB=7，BE=72+72=72.又∠ACD=∠ADC=45°，∠BAE=∠DAC=90°.∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
Ⅰ引入師：前面我們學習了三角形，講課之前我們先來回顧一下三角形哪些元素與“三”有關 生：三個頂點，三個角，三條邊 師：幾何里我們通常研究物體的形狀、位置還有大小，今天我們來學習三角形三條邊的大小關系。大家把書翻到64頁
（引入不能太長，又不能和要講的內容無關）
Ⅱ新課 一、發現定理
師：三角形的三條邊有什么樣的大小關系呢？我們一起通過畫圖來研究
活動：任意畫ABC，測量其三邊，并填空AB+BC___AC，AB+AC____BC，AC+BC____AB（先讓學生們說他們的發現，教師再展示自己的）發現：任意兩邊之和大于第三邊。
一、證明定理
師：我們每個人畫的三角形不一樣，但結果卻是一樣的，說明我們的發現具有一定普遍性。該如可為我們的發現尋找一個理論上的依據呢？（這個問題比較困難，需要教師給一點提示） 師：從A經過B到C是一條什么樣的路線？
生：折線
師：從A直接到C是一條什么路線？
生：直線
二、得到定理
1.三角形任意兩邊之和大于第三邊
四、簡單運用定理、引出做題捷徑
例1 有三根木棒長度分別為
（1）3cm，4cm，5cm
（2）3 cm，4cm，9cm
這三根木棒能否構成三角形？（讓學生嚴格按照定理，說出兩問過程，教師記錄在黑板上）師：三條邊能否構成三角形，命運是由誰來決定的？
生：較短兩邊之和大于最長邊，可以構成三角形較短兩邊之和小于最長邊，不能構成三角形
三、完善做題捷徑
師：如果較短兩邊之和等于最長邊，能否構成三角形呢？
活動：拿三根木棒2cm，4cm，6cm擺三角形（學生動手，教師用課件展示）
師：較短兩邊之和等于最長邊時，同樣不能構成三角形
四、總結做題捷徑
2捷徑 ①較短兩邊之和大于最長邊，可以構成三角形②較短兩邊之和小于或等于最長邊，不能構成三角形
Ⅲ 鞏固、提高
一、基礎知識關
1. 有四根木棒長度分別為1cm，2cm，3cm，4cm
（1）從中任選三根有幾種選法 （2）哪些可以構成三角形
二、綜合運用關
2.①等腰三角形一邊長5cm，一邊長8cm，求其周長
②等腰三角形一邊長4cm，一邊長8cm，求其周長
三、鞏固提高關
3.一條長18cm的繩子能否圍成一個一邊長4cm的等腰三角形
Ⅳ小結
師：我們來回顧一下今天學了哪些
內容
生：（定理、捷徑內容）
Ⅴ作業 課本P65 1、2
一、動手操作，激發學生的學習興趣
興趣是最好的老師，有了興趣，學生的學習效率會有明顯地提高。一堂課應做到課伊始，趣已生；課繼續，情更深；課已完，余未盡。在設計教學方案時，教師應將傳統課堂上教師單一操作演示、學生簡單地模仿操作的模式轉化為具有探索性、創造性的實踐活動，讓學生通過動手操作去發現事物的奧秘，體會學習的快樂。
案例一：三角形的三邊關系
課前讓學生準備五根長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的小紙條。
師：我們知道三角形具有穩定性，這節課請同學們自己動手擺擺，看這些紙條能擺出多少種不同的三角形。
師：是否任意三條線段都能圍成三角形呢？哪些不能圍成三角形？
生：不是。例如：（1）2cm，3cm，5cm；（2）2cm，3cm，6cm；（3）2cm，4cm，6cm都不能圍成三角形。
師：能圍成三角形的三條邊間有什么關系呢？
師生共同討論后得出結論：三角形任意兩邊之和大于第三邊。
二、動手操作，體會知識形成過程
從建構主義來看，數學學習是學生自已建構數學知識的活動。在數學活動過程中，學生與教材及教師間產生交互作用，從而形成數學知識。在教學的過程中，教師要注意引導學生加深對知識形成過程的體驗，讓他們在充分的體驗中有所感悟和發現。
案例二：等腰三角形的性質
教師拿出一張長方形紙，先將它對折，再沿著直線一刀剪下去，剪出一個三角形，最后將其展開，并要求學生照做。
師：這個三角形是我們剛學習的什么特殊圖形？
生：軸對稱圖形。
師：除此之外這個三角形的邊有什么特征？
生：兩邊相等（折疊后完全重合）。
師：找找看在此三角形中是否還有其它相等的邊或角？
師：同學們相互討論一下，然后用幾句話來概括等腰三角形的性質。
經過教師的引導，學生的討論與總結，最后得出等腰三角形的性質。
三、動手操作，理解公式、概念
在數學公式、概念的教學中，教與學雙方都存在一個誤區，那就是以為公式、概念是前人作出的定義，學生的學習只是為了了解概念的內涵。因此，教師在教學中常常是直接讓學生知道結論，而忽略了讓學生學習概念的過程。筆者認為教師應利用創設情境的方法，讓學生參與學習概念的形成過程，這不但有利于學生理解概念，還有利于學生學習能力的提高。
案例三：勾股定理（課前讓學生準備四個全等的直角三角形）
提問之后教師再引導學生描述直角三角形三邊關系，然后提出勾股定理。
四、動手操作，感受空間圖形
“空間與圖形”教學的目的是為了培養學生的形象思維和抽象思維能力，發展學生的空間觀念。動手操作能調動學生的多種感官，使學生的認識由感性上升為理性，能有效地促進學生思維，對“空間與圖形”的教學有著極為重要的作用。
案例四：正方體的展開圖
1.通過動手操作，將學生剪的各種不同的正方體展開圖進行展示。
師：大家沿著正方體的棱把正方體剪開，會得到什么樣的圖形。請你動手剪一剪，注意不能剪散。
學生動手操作，教師巡視指導。然后學生展示作品，并通過旋轉、翻折，區別不同的展開圖。
2.動手折一折，看看展開圖能否折成正方體。
師：很高興大家能通力合作，得出如此多的展開圖。那么正方體的展開圖是否只有這幾種呢？其實正方體的展開圖共有11種不同的結果，想知道其余的圖形嗎？
師：請你用手中的展開圖折一折，看看這些展開圖能否折成正方體。
3.總結展開圖的規律。
小學數學
【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A
【文章編號】0450-9889（2015）12A-
0031-01
在小學數學課堂教學中，教師的教和學生的學是基于探究這一活動載體而展開的，最終目的是將感性的現實抽象為數學問題。這是一個帶領學生解決數學問題的過程，此時教師所要扮演的角色不是灌輸者，而是引導者，引導學生充分發揮主體性，積極投入數學探究，激發思考潛力，發展數學能力。但事實上，教師在實踐操作環節往往過分注重引導學生解決生活中的數學問題，而忽略對數學本質的把握，導致學生只知其一不知其二，遇到問題不知道靈活處理。如何設置數學活動發展學生的數學思考力呢？筆者認為，把握好數學本質是關鍵。
一、創設生活情境，培養思考意識
在小學數學教學中，有經驗的教師常常會將生活中的數學引入課堂，并整合教材內容進行教學，營造學生熟悉的數學情境，幫助學生將生活實際和數學問題建立聯系，同時設置一些數學問題，打破學生的已有認知，激發學生的求知欲望，培養學生的問題意識。
例如，在教學北師大版六年級數學下冊《長方體的表面積》時，筆者將生活和數學問題結合起來，設計了這樣的教學活動：首先出示一個長方體木塊，讓學生將這個木塊涂漆，然后引導學生獨立思考，提出自己的想法。有學生問：是要將每一個面都涂上油漆嗎？學生的這個問題讓筆者產生了新的思路，于是展開追問：你認為現實生活中使用長方體的面有哪幾種情況？學生結合生活實際，認為有的是需要計算3個面的，有的是需要計算4個面或5個面的，也有計算2個面的。筆者讓學生舉例說明。學生指出，長方體的魚缸就是需要計算5個面的，底面不用計算；在粉刷教室的四面和頂部時只粉刷5個面，底面也不用計算。那么，該如何計算表面積呢？需要注意什么問題？學生很快理解了表面積的計算原則：首先要確定實際應用中使用了幾個面，然后再進行計算。這樣不斷引發學生的思維沖突，讓學生積極投入數學探究的情境之中，有效培養了學生的問題意識。
二、提供操作空間，訓練思考層次
建構主義理念認為，學生在學習新知的過程中，教師的強加灌輸毫無用處，因為學生的學習并不是從一無所有開始的，每一個學生在學習之初就已經有了基礎：一方面是潛在的數學認知，另一方面是隱性的數學經驗。因此，在教學時，教師要給學生提供足夠的操作空間讓學生充分實踐和體驗，促進學生對數學本質的理解，建構數學概念。
例如，在教學北師大版四年級數學下冊《三角形的三邊關系》時，筆者設計了這樣的教學過程：先讓學生動手操作，將一根吸管剪成三段不同長度的吸管，然后將這三段吸管連接起來，看看能否圍成一個三角形。學生操作后發現有三種情況：一是兩邊之和大于第三邊；二是兩邊之和小于第三邊；三是兩邊之和等于第三邊。究竟哪一種情況能夠圍成三角形呢？筆者引導學生展開操作，并猜想和思考：如果將兩邊固定，讓第三條邊變得越來越長，會發生什么變化？學生先進行猜想，然后再實際操作，最終驗證后認為，只要最短的兩條邊之和大于第三邊就可以圍成一個三角形，但如果第三邊變長到大于兩邊之和，那么就不能圍成三角形。也就是說，要將這三根吸管圍成三角形，必須要能滿足一個條件，即最短的兩邊之和大于第三邊。這樣學生對三角形的三邊關系有了深刻的理解，經歷了一個從表象到內化的過程，讓數學思維步步深入，有效建構了三角形三邊關系的數學概念。
三、建構模型，提升思考維度
在小學數學教學中，學生探究的本質是要理解數學模型的建構過程，從理解到掌握，再到內化運用，這是數學學習的關鍵，也是教學的難點。為此，教師要設計多層次的數學探究活動，幫助學生從感性認識逐步過渡到理性認知，建構數學模型，提升思考維度。
例如，在教學北師大版五年級數學上冊《平行四邊形的面積》時，為了讓學生建立平行四邊形的面積模型，筆者展開了四個層次的引導設計。層次一：你認為可以將平行四邊形和長方形建立聯系嗎？如何求平行四邊形的面積？學生認為，可以將平行四邊形轉化為長方形。層次二：如何讓平行四邊形轉化為和它面積相等的長方形？學生動手操作，將長方形的側邊剪開拼到另一邊，這樣就形成了一個面積相等的長方形。層次三：平行四邊形的底邊、高與長方形的長、寬有什么關系？如何求平行四邊形的面積？學生通過推理，得到平行四邊形的面積為底邊乘高。層次四：我們采用什么方法求出平行四邊形的面積？學生經過反思后指出，是將平行四邊形轉化為長方形，而后進行歸納推理得到的面積公式。由此，學生一步步推導出了面積計算公式的數學模型，從不同的維度提升自己的思維能力，為下一步學習三角形、梯形的面積做足了準備。
