時間：2023-05-30 09:27:29
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角形的穩定性，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、片段回放
教師在介紹三角形具有穩定性的特點后，開展讓每一位學生拉一拉自制的三角形框架、給晃動的椅子加固等學習活動，鞏固“三角形具有穩定性”的結論。在其后的教學環節中，教師讓學生找找生活中有哪些事物應用了三角形穩定性。
生2：我發現自行車車架中的三角形框具有穩定性。
……
生5：老師，紅領巾是三角形，可以任意地揉捏，容易變形，它沒有穩定性。
生6：是啊，紅領巾是三角形，它沒有穩定性，說明三角形沒有穩定性。
教師略一思考：“唉，是啊，紅領巾是布做的，我們不能用紅領巾來理解三角形的穩定性，而是要看看人字架屋頂、高壓線架框這些物體，多牢固啊。”
二、原因分析
紅領巾真的沒有穩定性嗎？難道它與材料有關嗎？作為數學概念，是不研究材料的粗細、大小、顏色等非數學本質屬性的。紅領巾是三角形毫無疑問，當然有穩定性，但是紅領巾確實又容易揉捏變形。三角形的穩定性到底指的是什么呢？根據思考和推敲，我認為三角形的穩定性從本質上說應該是它的三條邊的長短一經確定，所組成的三角形圖形是唯一確定的，穩定性實際上指的是圖形的唯一確定性。
出現上述問題的根本原因在于教師教學“三角形的穩定性”時存在一些誤區。
首先，我們可以發現教材是這樣描述三角形的穩定性的：“用三根木條釘成一個三角形，用力拉這個三角形，這個三角形的形狀不會改變，可見，三角形具有穩定性。”小學教材安排這一內容時，考慮到學生的年齡特點和認知能力，原來就沒有打算讓學生從數學的本質上去理解“三角形的穩定性”，而是只要求學生通過現實生活去感受并體驗三角形具有這種“穩定”的特性，而從本質上理解“三角形穩定性”這個概念，最具代表性的描述是“只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質叫做三角形的穩定性。”其本質就是“邊長確定，則大小、形狀唯一”更多地表現為確定性。
其次，因受教材的影響，在教學三角形的穩定性時，大部分教師都是讓學生自己用木條連接成一個三角形，然后拉一拉，發現拉不動，以此引出三角形具有穩定性。難道“拉得動、拉不動”是判斷圖形是否具有穩定性的標準嗎？如果我們用鋼管焊成一個四邊形（車架），用力拉這個四邊形，這個四邊形的形狀也不會改變，是否可以由此判斷四邊形具有穩定性呢？再如，紅領巾拉一拉就變形了，那三角形就不具有穩定性了？這當然是荒謬的。因此，“拉得動、拉不動”不能被作為判斷三角形是否具有穩定性的唯一標準。
最后，我們研究的是幾何意義上的三角形（數學屬性），然而學生面對的紅領巾、屋面等都是三角形的物體（物理屬性）。我們錯將“三角形”與“三角形物體”混為一談，也就是把數學屬性混淆了。穩定性是三角形的特性，它在某些三角形物體上表現為穩固、不易變形，但這并不說明所有三角形物體都很穩固、不易變形，更不能說明不易變形的物體就具有穩定性。所以，上述教學犯了以“物”代“形”的錯誤。同時，以“物”代“形”容易受到非本質因素的干擾，例如材料因素、學生觀察因素等。
三、對癥良方
如何突破這對矛盾？學生思維的具體、形象及認知過程不可逾越的階段性同教學自身的內在邏輯的嚴密性之間的關系到底該如何處理？如何在兩者間找到一個恰當的平衡點呢？下列案例也許能說明一些問題。
以下是一位教師教學“三角形具有穩定性”的片段：
師：剛才同學用三根牙簽圍成了一個三角形。想一想，用這三根牙簽還能圍成其他形狀的三角形嗎？
生（齊）：能。
教師請幾個學生到投影儀上演示，若干次嘗試后，大家發現，不管怎樣移動牙簽，三角形除姿勢變化外，其形狀、大小都不會改變。于是，教師順勢引導學生歸納：只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小就完全確定，三角形的這種性質叫做三角形的穩定性。
師：下面我們來做個實驗。在每一張課桌的抽屜里各藏有一個三角形和多邊形木架，請拿出來同桌之間互相拉一拉。
師：通過實驗，你發現了什么？
生：我發現三角形木架怎么拉也不變形，而多邊形木架輕輕一拉就變形了。
師：知道這是為什么嗎？
生：因為三角形只要三條邊的長度固定了，它的形狀和大小就完全確定了。
[關鍵詞]以學定教 三角形 特性 畫高
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）32-063
【教學內容】人教版四年級下冊P60～P61。
【教學目標】
1.通過觀察比較，使學生理解三角形的意義，知道三角形的各部分名稱及三角形高和底的含義，會在三角形內畫高。
2.通過實驗，使學生知道三角形的穩定性及其在生活中的應用。培養學生觀察、操作的能力，體驗數學與生活的聯系，培養學生學習數學的興趣。
【教學過程】
一、了解學情
師（出示三角形）：通過課前的自學，關于三角形你已經知道了哪些知識？你們還有不明白的地方嗎？
【設計意圖：由教學前測可知，學生對于三角形的定義、各部分名稱等知識已有所了解，自學并不困難。因此，通過兩個問題，讓學生根據自己的認知水平，充分討論、互相補充，不但發揮了學生學習的主動性，還鍛煉了學生發現問題和提出問題的能力，充分體現“學為中心”的教學思想。】
二、新課展開
1.判斷說理，理解意義
思考：下面這幾個圖形哪些是三角形？哪些不是？為什么？
生1：①③⑤是三角形，②④不是。
師（質疑）：②④為什么不是？
生2：②有一條邊是彎的。④不是封閉圖形。
師（追問）：④怎么改進一下就可以成為三角形了呢？
生3：將兩個端點相連。
師（質疑）：為什么①③⑤是三角形呢？
生4：由三條線段圍成的圖形。
【設計意圖：為學生提供了“辨數學”的平臺，通過辨別圖形是否是三角形，使學生在不同中發現相同，在辨析的過程中由具體到抽象，逐步內化三角形的概念，培養了學生分析問題和解決問題的能力。】
2.動手操作，感悟特性
（1）說說生活中哪些物體的形狀是三角形
師（課件出示生活中三角形的圖片）為什么這些物體的形狀都要做成三角形？
（2）體驗三角形的穩定性
師：你們怎么知道三角形具有穩定性呢？
生1：拉一拉三角形，拉不動。
師：是嗎？你們趕快搭一個三角形拉拉看。
師（小結）：用同樣三根的小棒搭起來的三角形形狀都是一樣的，所以三角形具有穩定性。
（3）應用三角形的穩定性
師：小兔子和小猴子分別圍了兩個籬笆，你認為哪種方法更牢固？
生：小猴子的，因為三角形具有穩定性。
師：你有什么辦法讓小兔子的籬笆更加牢固呢？
（生說理由，師結合課件展示）
【設計意圖：通過動手操作讓學生體會三角形“拉不動”及“唯一性”，從而感受三角形的穩定性，學會應用三角形的穩定性解決生活中的實際問題，做到學以致用，感受身邊處處有數學。】
3.理解定義，學習畫高
師：下面畫的是三角形的高嗎？為什么？
師：圖形①的為什么不是三角形的高？
生1：不是直角，所以不是垂線。
師：圖形②的不是與底邊垂直了嗎？應該是高了吧？
生2：它沒有從頂點出發。
師：BC這條底邊所對的頂點是哪個點？
生2：頂點A。
師：圖形③的呢？三角形的高要滿足什么條件？
生3：從頂點出發，到對邊作一條垂線。
師：誰能畫出黑板上以BC為底的高？
師：這位同學利用了三角板的哪一個角？他剛才是怎么擺放三角板的？先做什么，再做什么？
師：請畫出下面三個三角形底邊上的高。
4.追根溯源，突破難點
師：如果讓這三個三角形只剩下底和高，你們有什么發現？它與我們以前學過的什么知識很像？
生1：它就是畫點到直線的距離（垂線段）。
師：是啊，畫這些三角形底邊上的高，實際上就是畫――點到底邊的距離。這些圖形除了可以是三角形的底和高，還可以是什么圖形的底和高？
生2：平行四邊形和梯形。
師：不論是畫三角形、平行四邊形，還是梯形的高，都和畫直線外一點到直線上的距離是一樣的。
師：（如右圖）點A到這條直線的距離你們會畫嗎？怎么畫呢？
生3：先將這條線延長，再畫垂線。
師：AD是三角形ABC哪條底邊上的高？
師：你會畫以AC為底的高嗎？以AB為底呢？
師（指著BE）：這條高也是哪個點到哪條邊的距離？
師：請畫出下面三個三角形指定底上的高。（略）
【設計意圖：畫高是本節課的難點。“判斷是否是三角形的高嘗試畫一個三角形的高一題多用，溝通畫高與畫垂線的聯系再次畫三角形指定底上的高”的教學過程，環環緊扣、層層遞進，遵循學生的認知規律，使學生明白畫三角形的高其實就可以歸結為畫一個點到直線的距離，較好地突破了本節課的教學難點，也為畫鈍角三角形的高做了很好的鋪墊。】
三、全課總結
【教學反思】
“三角形的特性”一課不僅要讓學生理解三角形的定義和掌握畫高的技巧，更要讓學生經歷知識形成的過程。
一、先學后教，以學定教，突顯學為中心
“聽過了就忘記了，看過了就記住了，做過了就理解了。”只有學生親身經歷，才會留下深刻的印象。為了讓學生經歷探究過程，學生自學、嘗試判斷、動手操作、驗證應用等環節在本節課中多次運用，采用“自主嘗試合作探究重構知識結論應用”的模式，先學后教、以學定教，突出了“學為中心”，改變了以往教師先入為主的教學模式。通過比較判別是否是三角形和是否是三角形的高，加深了學生對這兩個概念的建構，讓學生在潛移默化中獲得新知。
二、求聯求通，溝通知識，關注數學思想
有人說：教育就是若干年后留在學生腦海里的。那么，留下來的又是什么呢？――是學生的素養。數學素養是什么呢？――是數學思想方法、數學意識、數學思維品質、數學觀察力及數學審美價值與人文精神。數學思想中的求聯思想也是本節課的靈魂所在。讓每個學生準確地知道高的本質屬性及畫出三角形對應底上的高，及其體驗三種不同三角形不同高之間的內在聯系，是教學的一大難點。因此，本課從知識的源頭出發，在教學中引導學生正確把握高的本質屬性（即點到直線的距離），引領學生經歷高的形成過程，從而掌握三角形高的畫法。
三、授人予漁，循序漸進，滲透學習方法
1. 探索浮于表面現象
案例：三角形的穩定性。
教師A：
（1）動手操作：學生拉一拉不易變形的三角形學具，探索三角形的穩定性。
（2）設問：生活中哪些地方應用了三角形，說說為什么。
教師B：
（1）觀察情境圖片：三角形在生活中應用非常廣泛，指出自行車上、籃球架上的三角形，用來固定新栽的樹木的三角形支架。三角形有什么特別的作用嗎？
（2）動手操作，學生拉不易變形的三角形學具，引導學生體驗理解三角形具有穩定性。
（3）深入探索。讓學生用三根小棒擺三角形。只用這三根小棒你能擺成不同的三角形嗎？（學生嘗試擺三角形，感悟只要3根小棒一定，只能擺出唯一的三角形。）
［思考］
三角形的穩定性是三角形的特性之一，是學生知道了什么是三角形、三角形的底和高等知識的基礎上認識的內容。如何掌握三角形的穩定性？教師A用讓學生拉一拉學具的方法進行了簡單處理，接著就是舉例說明了，顯然這樣的探索是浮于表面現象的，學生沒有深入理解的時間和空間，只能得到一個初淺的認識。而教師B的安排分三個層面，思路清晰，層層深入，使學生知其然，更知其所以然。三角形的穩定性在生活中有廣泛應用，學生是有一定感性認識的，教師B就抓住了這個起點，通過情境圖片讓學生根據已有經驗揣測三角形的作用；接著通過拉三角形學具進行體驗，使學生的認識更加直觀、深刻；更別出心裁安排學生用小棒擺三角形，引導學生從數學思考的角度來深入理解為什么三角形具有穩定性，提升學生的思維水平，使學生感受深刻。
2. 探索結果成為擺設
案例：平行四邊形的面積。
教師A：
（1）提供材料，讓學生嘗試求出平行四邊形的面積。反饋初步想法，出現兩種想法：鄰邊×鄰邊＝面積；底×高＝面積。
（2）拉易變形的平行四邊形，得出“鄰邊×鄰邊＝面積”的方法是錯誤的。
（3）用剪拼法證明“底×高＝平行四邊形的面積”是正確的。
教師B：
（1）出示平行四邊形，復習底和高的相關知識。
（2）提供材料，讓學生嘗試求平行四邊形的面積。反饋：出現兩種猜法：鄰邊×鄰邊＝面積，底×高＝面積，兩種答案產生矛盾沖突。
（3）驗證：提供格子圖、剪刀等輔助工具，操作驗證自己的猜想。反饋不同驗證方法：⑴數格子；⑵把平行四邊形割補成長方形。重點演示兩種割補方法，引導學生提煉學習方法：轉化。進一步驗證“鄰邊×鄰邊＝面積”和“底×高＝面積”，哪種方法合理。
（4）讓學生拉易變形的平行四邊形，再一次驗證明確“鄰邊×鄰邊＝平行四邊形的面積”的不科學性。
［思考］
平行四邊形的面積是本單元的起始課，轉化的思想是推導平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形面積計算方法的指導思想，具有重要地位。如果掌握了轉化的思想和方法，對后續學習具有重要作用。“活動、體驗、探索、建構”是再創造的學習過程。教師首先要尊重學生的學習思路，在學生已有認識基礎上加以引導。但是，教師A將不正確的探索結果僅作為擺設，只用拉易變形的平行四邊形，就輕易地把“鄰邊×鄰邊＝面積”的方法否定了，扼殺了學生探究的積極性與主動性。教師B的數學讓人眼前一亮，那就是從不輕易肯定或否定學生的探索發現：兩種不同的計算方法出來后，首先通過數格子初步驗證兩種方法是否都合理；接著引導學生把平行四邊形割補成長方形驗證兩種方法是否合理。此刻，學生雖然已基本確認“底×高＝平行四邊形的面積”是正確的，但教師還是不忙于下結論，又讓學生通過拉易變形的平行四邊形進行驗證，使學生心服口服，不僅知道了“鄰邊×鄰邊＝面積”的方法是不正確的，又鞏固了平行四邊形的面積，與底和對應的高有關系，使學生的認識提升了一個高度，一箭雙雕。
3. 探索缺乏思考性
案例：三角形的內角和。
教師A：
（1）問題引入。對于三角形內角和，你們知道些什么？
（2）教師讓學生通過自己的方法證明“三角形內角和是180°是否正確。
（3）學生有的測量，有的剪角，有的折角等，雖然方法不同，但結果都是180°。
（4）得出結論：三角形的內角和是180°。
教師B：
（1）了解學情。對于三角形內角和，你們知道些什么？
（2）設問：什么是三角形的內角？什么是內角和？（大多數學生對于這兩個問題并不清楚。）教學中首先來理解這兩個概念。
（3）設問：為什么三角形內角和是180°？你有什么辦法證明嗎？（大多數學生說不上來。）
（4）出示正方形，問正方形的內角和是幾度。當了解正方形有四個直角，內角和是360°后，啟發學生把這個正方形平均分成兩個相等的直角三角形，那么一個直角三角形的內角和是多少度？（學生積極展開探索。）其他的三角形呢？
［思考］
基于以上思考我設計了“三角形”專題內容，包括：三角形的認識（包括三角形的特性），三角形的分類，三角形的三邊關系，三角形內角和，圖形的拼組。本案例的教學中我選擇了其中的三角形的認識和三角形三邊關系兩部分內容。
教學內容：
（一）地位作用
三角形是一種常見的幾何圖形，在平面圖形中，三角形是最簡單的多邊形，也是最基本的多邊形，一切多邊形都可以分割成若干個三角形，所以三角形是學習研究其他幾何圖形的基礎，在現實生活中也有著廣泛的應用。通過本部分的學習讓學生認識三角形的特性，知道三角形任意兩邊之和大于第三邊，進一步豐富學生對三角形的認識和理解，使學生獲得有關三角形的系統知識，通過教學，促進學生空間觀念的發展。這部分知識既能為認識平行四邊形和梯形提供學習經驗，又能為五年級進一步學習三角形的面積打好基礎。
（二）實際應用
本部分內容在生活中有著廣泛的應用：可以利用三角形的穩定性及任意兩邊之和大于第三邊的特點解決建筑、橋梁、道路及圖案設計、物品維修、選擇路線等生活問題。
學情分析：
第一學段學生已經對三角形有了直觀認識，能夠從平面圖形中分辨出三角形，在四年級上冊相對集中地認識了角，認識了平行與相交等知識。
教學目標：
（一）知識技能
聯系實際并利用生活經驗，通過觀察、操作、畫圖和實驗等學習活動，感受并發現三角形的基本特征，初步形成三角形的概念，理解三角形兩邊之和大于第三邊的規律。
（二）數學思考
在由三角形實物到圖形的抽象過程中，發展模型思想；在認識三角形有關特征的活動中，體會認識多邊形特征的基本方法，發展觀察能力和比較、抽象、概括等思維能力。
（三）問題解決
發現不是任意三條長度的邊都可以圍成三角形并提出這一問題的假設；通過動手拼擺、記錄歸納什么樣的三條邊可以圍成三角形，總結三邊關系的規律。
（四）情感、態度與價值觀
體會三角形是日常生活中常見的圖形，在運用三邊關系解決拼擺三角形、制作三角形用品等實際問題的過程中，激發學習興趣和積極性，感受知識的應用價值。
教學重點：
了解三角形的基本特征，理解三角形的兩邊之和大于第三邊的特性。
教學難點：
在操作活動中探究三角形的兩邊之和大于第三邊。
教學過程：
一、激趣引題
師：通過前面的學習我們已經初步認識了三角形，老師也讓大家搜集了一些生活中的三角形，請同學們上傳到服務器上！
（學生將自己拍攝或上網搜集的圖片上傳至服務器。）
師：這些就是大家搜集的結果，好漂亮啊！（教師調取學生上傳的圖片展示。）
師：這是誰拍的？（教師選取有代表性的圖片展示。）
（學生匯報圖片是如何搜集并存儲的，有的是利用pad上網進入網站搜集并下載的，有的是利用pad拍照功能拍攝生活中三角形。）
【評析：課前引導學生利用pad上網進入網站搜集并下載圖片，利用pad拍照功能拍攝生活中發現的有關三角形的圖片。當孩子們把自己的作品上傳之后，使用電子書包展示學生搜集到的帶有三角形的圖片，在這樣的展示中一方面讓學生更加深刻地感受生活中三角形的無處不在，另一方面也讓學生在看到自己作品的時候體會成功的喜悅。】
二、認識三角形
師：看來三角形在生活中隨處可見，只要認真觀察就能發現它，老師選取了幾張圖片，已經推送到同學們的pad上，請同學們先找到這張圖片，再把圖片上的j角形畫出來。（教師利用推送功能，將圖片推送到學生的pad上。）
（學生在觀察的基礎上，利用批注功能，畫出圖片中的三角形，完成對三角形概念的初步感知。）
師：誰愿意給大家展示一下你畫出的三角形？
（學生將自己的pad畫面推送到大屏幕上展示給同學看。）
師：他找到的三角形和你找的一樣嗎？
（學生表達觀點、展示畫的過程。）
師：仔細看看這些三角形，你發現了什么？
生：老師，我發現這些三角形都有三條邊和三個角。
生：老師，我發現這些三角形不僅有三條邊三個角，還有三個頂點。
生：老師，我從鉛筆這張圖中發現了，拼成三角形的這三條線段，都是首尾相連的。
師：說得真好，看來同學們不僅善于觀察，更善于總結！三條線段圍成的圖形就是三角形，圍成指的就是每相鄰的兩條線段端點相連。
師：三角形的相關知識還有哪些呢？你們想知道嗎？請同學們點開課件中的視頻按鈕去看一看吧。
（學生利用課件中的資源自學。）
師：通過剛才的學習你知道了什么？
生：我知道了三角形的概念、高與底的相關概念和在生活中的應用。
師：很好，我們對三角形又有了更深一步的了解。
【評析：利用文件分發功能，將具有代表性的圖片推送到學生的機器上，學生在觀察的基礎上，利用批注功能，自由地畫出他們所認為的三角形，實時地監測到每個學生畫的情況，之后學生表達觀點、展示畫的過程，老師根據學生的回答要點在黑板上繪制。這種方式使學生由被接受者變成了主動的參與者，教者也能及時地掌握學生的理解情況。】
三、探索三角形特性
師：三角形除了它獨特的美感外，還有它與其他圖形不同的特性，請同學們動手體驗一下吧。
【學生動手操作課件，體驗三角形與四邊形，五邊形，六邊形的不同，體驗三角形穩定性。】
師：你發現了什么？
生：老師，我發現咱們教學樓對面的支撐熱水器的架子就是三角形的，就是利用了三角形的穩定性。
師：你真是善于思考的孩子，確實是利用了i角形的穩定性。
生：老師，我也發現剛才我們看的那些圖片中的梯子也是利用了三角形的穩定性，還有斜拉橋。老師還有我手里的這個pad的支架也是利用了三角形的穩定性。
師：看來小小的三角形用處還挺大呢！
【評析：給學生提供了仿真的多邊形，學生動手操作pad課件，體驗三角形與四邊形、五邊形、六邊形的不同，體驗三角形穩定性，對結合生活經驗進行表達與展示，老師在這個過程中只做一個傾聽者和輔助者，充分體現了學生的主體地位。】
四、探究三角形三邊關系
師：剛才我們從生活中找到了三角形，在照片上畫出了三角形，還體驗了三角形的特性，接下來老師想讓你動動手，你愿意嗎？老師為大家準備了幾根小棒，從中任意選出三根，有哪些選法？
師：很棒，你們猜猜選三根小棒我們要干嘛呢？
生：用我們選的三根小棒拼成三角形！
師：對！現在就請同學們以小組為單位，分工完成這10種情況的拼擺，并把拼擺的結果記錄下來。
【學生操作探究】
師：哪個小組愿意來展示給大家看看？
（小組匯報對10種情況進行分類，將拼擺結果推送至大屏幕展示。）
師：你們和他們組拼擺的結果一樣嗎？
師：誰能說說這幾個為什么擺不成？
（學生邊說邊操作展示。）
師：看來，任意的三根小棒真不一定就能拼成三角形。什么樣的三根小棒能夠拼成三角形呢？
生：前面兩邊長度之和大于第三條邊長度，這樣的三條線段就可以拼成三角形。
生：兩條短邊長度之和都要大于第三條邊長度，這樣的三條線段就可以拼成三角形。
師：那對于任意一個已經拼成的三角形，三條邊的長度有什么關系呢？
生：兩條短邊長度之和都要大于第三條邊長度。
生：可以說，任意兩邊長度之和都比第三條邊大。
師：咱們就利用這三邊關系再來檢驗一下這十組小棒吧！
（學生驗證、匯報。）
【評析：在總結了10種線段組合后，孩子們迫不及待地在平板上展開了協作探索，馬上拼擺不出三角形的矛盾沖突效果實現了！很多同學都在糾結：為什么不是任意三條線段就能擺成三角形呢？教者一方面引導學生通過對線段觀察、操作去發現規律，以此建立他們的幾何直觀，另一方面教者在課件中設計了拼擺記錄表格，讓那些思維斷層的孩子可以借助數據進行分析。從數的角度去發現圖形的規律。最后引導學生表達：任意的兩邊之和都要大于第三條邊，這樣的三條線段就可以拼成三角形。】
五、深化拓展
（一）鞏固三邊關系
師：老師想準備制作一個三角形教具，已經準備好了兩條木條，請你幫我想一想，第三條木條可以是多長？動手試一試，老師要求大家選整厘米數。
（學生操作課件進行拼擺、匯報。）
生：13―1厘米都可以。
生：不對，我覺得第三條邊的長度應該比14厘米小，但要比4厘米大。
師：為什么要比4厘米大呢？
生：因為如果5厘米、9厘米當做兩條短邊，那第三條邊應該是13、12、11、10、9厘米都可以，但如果把9厘米當做長邊，那第三條形最小應該是5厘米！
生：那第三條邊的長度應該是5～13厘米！
師：很好，通過這些結果，你又發現了什么規律？
生：三角形任意兩邊之差小于第三邊。
（師生小結三角形三邊關系。）
【評析：通過開放性的題目，利用課件靈活地調節與設計功能，一方面深化兩邊之和的規律理解，另一方面延伸至兩邊之差的規律，學生可以有效地實現知識的應用轉化與拓展。】
（二）鞏固應用
師：三角形的三邊關系在我們的生活中也有很多應用，一起去看看吧，看圖說說，大家的選擇和三邊關系有什么關系呢。
（學生表達，教師引申：兩點之間線段最短。）
【評析：讓學生利用規律模型解釋生活中的現象，同時將知識延伸到“兩點之間線段最短”的規律，幫助學生建立相關知識的內在聯系。】
評析：
本節課胡老師從知識體系與學習規律入手，將三角形的認識、特性、三邊關系設置為一個專題內容，為學生提供了充足的學習素材與工具，利用合理的呈現順序和關鍵問題引導學生通過觀察、操作、畫圖和實驗等學習活動，感受并發現三角形的基本特征，幫助學生有效地形成了三角形的概念，深刻地理解了三邊關系的規律，適切、高效、智慧是我在聽完這節課之后最大的感受。
1 教學安排適切
在第一學段，學生已經直觀認識了三角形、線段、角和其他一些簡單的平面圖形，這個階段學生的信息素養也因為生活環境、技術課程的影響有了很大的提升。因此，胡老師準確地把握了知識體系，結合學生的認知規律、技能素養對本節課進行了精心的設計：將三角形的認識、穩定性、三邊關系三個知識點集成為一個專題內容，利用豐富的學習素材、工具引導學生主動學習。可以說，對知識體系和學生特點的深刻理解是本節課成功的重要前提。在常規教學中這一部分內容需要2～3課時完成，在本節課就比較有效地完成了。
2 教學交互有效
教學從某種意義上說就是一項師生的互動交流活動。而這種互動是否有效便決定了教學的成敗。這節課上的交互活動主要包括：信息搜集、數據傳送、素材分發、過程推送、結果展示、操作交流、答疑指導，這些很難在常規環境下有效實施的教學活動在這節課里有了比較好的買現，我想這主要得益于信息技術的支撐，讓教師、學生、媒體之間的交互更加方便、直接、全面。
3 探究活動自主
常規環境下孩子們的學習缺乏積極的動力，探究過程沒有實用靈活的學習工具，課后也缺少拓展延伸學習的資源與條件，而電子學件與移動學習終端相結合的最大的優勢就在于：激發學生學習欲望，每個學生的學習完全處于自我控制中，這種自我調控的狀態就是自我發展的狀態。在本節課我們看到孩子利用平板拍照、上網收集素材，利用電子學件探究三邊規律，利用網絡平臺協作交流。展示思維過程與結果……這里面既有個人對知識的建構，也有集體智慧的生成，我想這樣的學習才是真正有效的學習。
4 學習方式轉變
今天，我和爸爸媽媽在南沙區欖核的農田走著。我看見一大片一大片綠綠的蔗田，每一片里都有許多根豎著橫著的竹竿搭成一個個蔗棚。我走近仔細瞧瞧，發現每一畦蔗田的兩頭棚架還斜斜地多插一兩根竹竿這些竹竿的一頭地里，另一頭則交叉扎在一起。這樣，斜著的、豎著的竹竿和地面形成了一個個三角形。
為什么蔗棚要搭成這樣？正好我看見一個阿姨在地里勞作，我好奇地問：“阿姨，為什么蔗棚的兩邊要用竹竿搭成一個三角形呢？”阿姨邊干活邊耐心地對我說：“如果不搭成三角形的話，大風一來，整片竹竿就會倒啦！”“為什么蔗棚的兩邊三角形可以防風呢？”我打破砂鍋問到?。在一旁的爸爸笑著解釋；“你知道嗎？三角形具有穩定性。這些蔗棚就是利用三角形的穩定性防風的。”哦，原來如此，我恍然大悟。“你再仔細觀察下身邊的事物，看看哪些利用了三角形的穩定性？”媽媽不忘給我布置了一項“作業”。
一路上，我留心觀察，發現還真不少這樣的蔗棚！除了蔗棚，還有瓜棚、吊機、廣告支架、自行車等，都有三角形的影子！
你看普普通通的三角形運用到生活中，這里藏著不少智慧哩！
四年級:徐穎欣
關鍵詞：數學教學 ；現代生活； 趣味教學；工具；高效課堂 創新；終身學習
數學是研究現實世界空間形式和數量關系的一門科學。分為初等數學和高等數學。它在科學發展和現代生活生產中的應用非常廣泛，是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具 。數學（漢語拼音：shù xué；希臘語：μαθηματικ；英語 ： Mathematics/Math），源自于古希臘語的μθημα（máthēma），其有學習、學問、科學之意，以及另外還有個較狹隘且技術性的意義——“數學研究”。即使在其語源內，其形容詞意義和與學習有關的，亦會被用來指數學的。其在英語的復數形式，及在法語中的復數形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數（Mathematica），由西塞羅譯自希臘文復數 τα μαθηματικ？（ta mathēmatiká）。以前中國古代把數學叫算術，又稱算學，最后才改為數學。
數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門科學。數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的邏輯推理及對完美境界的追求。雖然不同的傳統學派可以強調不同的側面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用，以及它們綜合起來的努力，才構成了數學科學的生命力、可用性和它的崇高價值。
對象，基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小 。三維立體結構圖，幅度的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。
在中學數學教學中，注重學生學習興趣的培養，主動培養學生自主學習，主動探究的能力，以及培養學生的創新精神和對學生的終生發展的綜合能力。人人學有價值的數學，用數學知識去解決生活中的實際問題，是我們課改所提倡的，然而我們聯系生活實際理解并掌握數學知識，這并不是我們學習數學的最終目標，其目標是能運用所學數學知識去解決問題，使學生真正為我們服務，從而體驗數學的真正價值。因此我在執教義務教育課程標準實驗教科書七年級下冊7.1.3三角形的穩定性時，我讓學生先思考屋頂木架如下圖：
讓學生觀察（一）圖是否具有穩定性
一、 用四根木條釘成一個四邊形木架，如果扭動它，它的形狀就會改變，再在四邊形上釘一根木根，它就變成兩個三角形，它的形狀就不會改變。（由于三角形具有穩定性）
二、 讓學生思考并判斷如下圖：哪些具有穩定性，哪些不具有穩定性。
根據上圖，請1-4名學生回答：教師點評 只有（a）具有穩定性。
三、 木工師傅在修房屋窗框時，為什么總在窗框未安好之前要斜釘一根木條？使它不變形，具有穩定性。
四、 用三根木條釘成一個三角形，如果扭動它，它的形狀不會變。
因為三角形具有穩定性。
綜上所述，三角形的穩定性在生產和生活中用途很大。如：房屋的人字梁，它就堅固和穩定、在柵欄門上斜釘一條木板，構成三角形，使柵欄門不變形。大橋鋼架，輸電線支架，索道支架等都采用這一三角形結構原理，為此教學時，讓學生通過實驗和實例加以體會。
（1） 三角形三條邊長確定后，三角形的形狀就確定了，具有穩定性。
一、準確把握教學目標，保證課堂教學有效性
教師對教材的把握直接影響到課堂教學的有效性，首先必須明確教材的教學目標，如果偏離了主導目標，而一味追求次要目標，即使教學方法再新穎，教學形式再活潑，目標的達成只能是謬之千里。
人教版“數學廣角”是教材新增內容，主要是通過生動有趣的事例來滲透一些重要的數學思想方法。例如四年級的“合理安排時間”主要目標是讓學生體會運籌思想、優化思想的應用。有位教師在這節課的鞏固練習環節設計了這樣的判斷對錯練習：1.為了節省時間，強強在乘車時認真看書。2.為了提高學習質量，紅紅邊吃飯邊看《少兒英語電視》節目。3.芳芳衣袋里裝著一本《腦筋急轉彎》，放學后在車站坐著等車時拿出來看。判斷結束之后，又讓學生用“一邊……一邊……”進行說話練習，最后伴著音樂欣賞朱自清先生優美的散文《匆匆》，讓學生談談自己的學習收獲。一個學生說：“時間很快就溜走了，我今后要做一個珍惜時間的人。”另一個學生說：“我以后要注意改掉一邊看電視，一邊吃飯的習慣。”學生的回答多集中于節約時間和糾正不良習慣的內容上。這樣的教學效果與滲透優選法數學思想的主導目標大相徑庭。因此教師只有準確把握教學目標，才能保證課堂教學的有效性。
二、細心發掘教材內容，提升課堂教學有效性
新課程要求教師根據自身的特點和風格以及學生的實際情況，有選擇地、靈活地運用教材內容，前提則是教師對教材深入鉆研與挖掘。
人教版數學四年級教材在安排三角形的穩定性這一特性時，只要求學生通過現實生活去感受并體驗三角形具有這種“穩定”的特性。教材的安排是讓學生“用力拉一拉制作的三角形，這個三角形的形狀不會改變，從而得到三角形具有穩定性。”一教師在教學時課堂出現了這樣的現象：有的學生制作三角形用的是較硬的木條，有的用的是較軟的塑料吸管;固定角時，有的用線繩綁住，有的用皮筋扎住，有的用釘子釘，等等。由于制作材料和三個角的固定方式千差萬別，學生在“拉動”時出現了邊被拉彎（教材情景提示：拉不動），角被拉開，所得到的“穩定性”大打折扣。最后教師只能結合自己的教具把“不易變形”當作“穩定性”強加給了學生。有一學生馬上提出：“如果我們用鋼管焊一個四邊形，用力拉這個四邊形，這個四邊形的形狀也不易變形。”反思這一過程，學生的質疑合情合理，問題出在哪里呢？仔細研究教材，我們會發現：三角形的穩定性指的是三角形的三條邊a、b、c確定后，三角形的形狀便固定不變了。三角形的穩定性更多地表現為“確定性”，不易變形只是穩定性的其中一種表現和應用。有了對“為什么不易變形”的挖掘，在改進教學時完全可以從穩定性的本質入手，讓學生用三根小棒圍成一個三角形，看一看能不能圍成不同的三角形。這時學生就會發現只能圍成唯一一個三角形，最后讓學生再去拉一拉從而體驗穩定性。這樣就會使學生對穩定性有了“所以然”的認識，教學效果肯定不差。
三、恰當選擇教材內容，促成課堂教學有效性
數學教材不等于教學內容，教師應根據實際需要對教材進行取舍。北師大版教材形式生動，富有童趣，但與人教版教材相比邏輯性不強，教材內容跳躍性較大，隨著年級增高，一些學生的學習能力跟不上，這就要求教師對不同的教材進行“揚長避短”的選擇整合。
比如以前使用人教版教材的教師在教學北師大版教材六年級“分數的混合運算”時，原本以為很輕松的教學卻陷入“沼澤”，原因是學生的通分能力很差，學生竟然都在用排列倍數的方法找公分母，速度很慢，有些學生甚至就用幾個分母的乘積做公分母。這是因為北師大版五年級教材刪除了 “整除”“互質數”“分解質因數”“短除法”等內容，采用“列舉法”來找公分母，從學生已有的知識和經驗出發，通過列舉兩個數的倍數、因數，探索找兩個數的最小公倍數和最大公因數的方法。這樣的安排注重在具體的學習和探索活動中，讓學生經歷數學知識的形成過程。兩者相比，人教版注重簡捷經典的短除法方法運用，北師大版注意改善學生的學習方式，讓學生享受知識形成的過程。
1、S=1/2×a2，S=1/2×ch。（其中a為直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高）。
2、等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質：穩定性，兩直角邊相等 直角邊夾一直角銳角45°，斜邊上中線角平分線垂線三線合一。
3、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一個角是直角），也是特殊的直角三角形（兩條直角邊等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性質（如三線合一、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理等）。
（來源：文章屋網 ）
1.1三角形的邊答案
基礎知識
1~4：D；C；B；B；
5、3；8、6、4和11、8、9和11、8、4
6、5；6；7
7、11或10
能力提升
8~11：B；B；C；C
12、（1）4為腰長，令一腰4，底=8，不合適則4為底，
（16-4）÷2=12÷2=6
另外兩邊為6和6
（2）6為腰長，令一腰6，底=4，或6為底，
（16-6）÷2=10÷2=5
（3）三邊長都是整數，底為偶數，且底＜2×腰長，
底＜8底=2，4，6，腰=7，6，4
所以邊長分別為：2、7、7；4、6、6；6、4、4
13、如圖，連接AC、BD，其交點即H的位置。根據兩點之間線段最短，可知到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小。
理由：如果任選H′點（如圖），由三角形三邊關系定理可知，
HA+HB+HC+HD=AC+BD＜H′A+H′B+H′C+H′D
1.2三角形的高、中線與角平分線答案
基礎知識
1~4：A；A；A；B
5、（1）AB
（2）CD
（3）FE
（4）3；3
6、∠BAE=∠EAC；BF=FC
7、②③
8、5
9、（1）因為AD是ABC的中線，也就是說D是AC的中點，所以BD=CD
ABD的周長=AB+AD+BD，ACD的周長=AC+AD+CD
所兩個三角形的周長差就是AB-AC=5-3=2cm
（2）三角形的面積=底×高÷2，因為兩個三角形共高，高長都是AE的長度。
又因為兩底有著BC=2CD的關系，所以SABC=2SACD
能力提升
10、設AB=x，BD=y
AB=AC；AD為中線
BD=CD=y（三線合一定理）
由題意可知：x+x+y+y=34
x+y+AD=30
AD=13cm
11、因為DE為中點
所以AD為ABC的中線，BE為SABD的中線
所以SABD=1/2SABC，sABE=1/2SABD
所以SABE=1/4SABC=1cm2
12、（1）∠ACB=90°，BC=12cm，AC=5cm，
SABC=1/2*AC*BC=30cm²
（2）CD是AB邊上的高，
SABC=1/2*AB*CD
AB=13cm，SABC=30cm2
CD=60/13cm
探索研究
13、如下圖，
在圖（1）中，BD＝DE＝EF＝FC
在圖（2）中，BD＝DC，AE＝BE，AF＝FD；
在圖（3）中，BD＝DC，AE＝ED，AF＝FC
在圖（4）中，AD＝DC，AE＝ED，BE＝EC；
在圖（5）中，BD＝DC，AE＝DE。
1.3三角形的穩定性答案
基礎知識
1 2 3 4 5
D C D B A
6、（1）√；
（2）√；
（3）×
能力提升
7、B
8、三角形具有穩定性
探索研究
9、四邊形木架，至少要再釘上1根木條，使四邊形變成兩個三角形；
五邊形木架，至少要再釘上2根木條，使四邊形變成3個三角形；
本節課所采用的教學方法主要有：
一、用觀察法教三角形的概念
首先，教師組織學生觀察下面一些圖形，并要求回答哪些是三角形，哪些不是三角形。附圖{圖}
學生做完練習之后，便開始討論并重點思考：什么樣的圖形叫做三角形？
學生完成討論后，教師講解時突出“圍”字，然后小結板書：用三條線段圍成的圖形叫做三角形。
評點：學生在生活中已經積累不少關于三角形的經驗。這里通過學生觀察活動，讓學生對這些經驗進行篩選，提煉和組織，使之上升為高一層次的數學知識。于是，學生既長了知識，又長了才能。
“圍”字很重要，它是“三條線段”的“結構”。三條線段一經圍成三角形，就產生了角、邊、頂點以及三角形的其他性質。因此，教師抓住“圍”字，就抓住了概念的重點。
二、用實驗法教三角形的穩定性
教師拿出一個用3根木條釘成的三角形、一個用4根木條釘成的四邊形，請兩個學生上來實驗，分別用力拉兩個圖形，說說各有什么感覺。教師再啟發學生發現問題，學生談了各自的意見后，教師搬出一張可以晃動的木椅，問學生有什么辦法使木椅不能晃動。從學生的方法中，教師引出三角形的穩定性的概念，并請學生說一說三角形穩定性在生產和生活中的用途。
評點：讓學生在“手感”的比較中初步獲得三角形穩定性的認識，再通過修椅子的活動予以證實。這樣教學，讓學生在活動中學數學，很有“后勁”功能。因為一個三角形，只要它的三條邊的長短固定了，這個三角形的形狀、大小也就固定了。這是初中要學習全等三角形判定中的“SSS公理”的“生長點”。
三、用操作法教三角形的分類
為了使每個學生都能操作，教師為每個學生設計了一張圖形（如下圖），課前組織學生將每個圖形剪下，裝入學具袋內。學生按下列程序操作：1.將袋中所有的三角形都找出來，并且按每個三角形中的序號從小到大順序排好；2.按照課本上所講內容，將這些三角形按照角的分類方法歸類。附圖{圖}
學生操作，教師巡視，了解操作情況，進行個別輔導。學生回答操作結果，教師講解并分析錯誤原因。然后，學生討論：圖8為什么是銳角三角形？圖4為什么是直角三角形？圖1為什么是鈍角三角形？并且重點討論：為什么銳角三角形必須三個角都是銳角？為什么直角三角形只要有一個角是直角？
教師講評后，學生完成下面的鞏固練習：
（1）在學具釘子板上，用橡皮筋分別圍一個直角三角形、一個銳角三角形、一個鈍角三角形。
（2）小魔術。教師拿出一本書，書中夾一個圖形，露出一角，讓學生猜一猜，書中夾的是什么圖形？附圖{圖}
學生可能都回答是三角形，教師把圖形拿出，圖形卻是四邊形。然后，組織學生討論：為什么猜錯？之后，教師再出示題目：現在書中夾的都是三角形（見下圖），猜一猜它們各是什么三角形？依據是什么？附圖{圖}
學生做完魔術，教師要求將桌上的所有三角形，按規定放入下圖圈中。附圖{圖}
評點：分類（劃分）是明確概念所反映事物的范圍的邏輯方法。分類必須有標準，這里以角的大小作為標準來分的，還可以用邊作標準來分類，因情況比較復雜，教材沒有講了。教學中，教師始終以學生活動來完成比較抽象的分類方法的學習，這就有利于學生內化知識、自我完善與發展。
鞏固練習中的游戲，寓教于樂，既鞏固了分類知識，又滲透了三角形內角的大小有一定限度的思想。
四、用測量方法教等腰三角形
教學時，按下列步驟進行：1.學生找出學具中的圖10和圖12，用直尺量出它們每一條邊的長度。2.學生討論：這兩個三角形的三條邊有什么特點？3.閱讀課本第144頁下半頁內容。4.完成下面的練習題：（1）指出下面每個等腰三角形的腰、頂角、底邊。（2）（選擇題）圖中a和B分別叫做（）。
①底和底角；②底和頂角；③腰和頂角；④腰和底角。附圖{圖}
5.分組用量角器量出圖10和圖21兩個等腰三角形兩個底角的度數，用直尺量出圖8這個三角形的邊的長度。
6.教師引導學生小結：什么樣的三角形叫等腰三角形？它有哪些特點？什么叫正三角形？它有哪些特點？小結后，要求學生找出學具中還有哪些是正三角形。
評點：通過實踐，歸納出等腰三角形知識，有助于學生對知識的掌握和唯物主義觀點的培養。
五、用操作法教畫三角形的高
首先，應復習過直線外一點畫這條直線的垂線的方法，并由學生指出垂線與垂足。其次，學生閱讀教材第145頁中“從三角形……叫做三角形的高”的內容。第三，教學中突出高的定義中的“從”、“一個頂點”、“到”、“它的對邊”等詞的含義。教師畫出一個三角形，并確定一個頂點，讓學生確定它的對邊。然后，由學生確定一個頂點，其他學生指出它的對邊。第四，教師指導學生用三角板畫三角形的高，并指明高通常畫成虛線及用直角符號在圖上標出。第五，學生練習畫高。
評點：重視學生作圖技能培養是本課設計的特點之一。培養學生既愛動腦，又愛動手，從小練就一雙靈巧的手，是素質教育應有之義。
六、課外作業
1.閱讀課本；2.完成練習三十一第4題。
總評：
本課設計體現了以下教學思想：
1.學生是學習的主人。這本來是很明白的道理，毋庸多說的。但長期以來，課堂教學中“以教師為中心”的傾向仍然存在，學生只是聽講的“受體”，他們的主動性、積極性未能得到很好的發揮，所以這個問題還有值得提出的必要。本設計中“教師怎樣教”是圍繞“學生怎樣學”來進行的。整個設計充分估計了學生學習新知識的舊經驗，學習中可能出現的困難與學習情趣，今天的學習與明天的學習之間的關系等，使“教案”變成了“學案”。所以，這種教學設計是值得稱道的。
2.學習是學生的“再創造”活動。這里的“創造”不是客觀意義上的創造，而是主觀意義上的，即從學生的觀點看是創造，所以稱為“再創造”。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中指出：“學習數學的惟一正確方法是實行‘再創造’，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。”學生通過自己的創造活動而獲得知識，才能真正掌握知識和靈活運用知識。更為重要的是，他們同時也可以獲得了“創造”的才能，誘發創造興趣，有利于創造精神的培養。
本設計體現了學生的創造活動。如從學生的生活經驗出發，通過活動，自己篩選出三角形的定義，從而使常識升華為科學（數學）；學生動手把圖形分類，以明確三角形的外延；學生動手測量而獲得等腰三角形的認識，等等。至于畫三角形的高、做游戲，當然也是活動。可以說，整堂課是學生的數學再創造活動。
新編寫的幾套小學數學實驗教材，與舊教材相比，從材料的選擇到呈現方式都發生了較大的變化。這些變化無疑為一線教師貫徹課改理念、落實課標要求、變革教學方式等提供了有力的支持，但也增加了教師研讀教材的難度。
二、 現象透視
研讀教材與其說是一種教學實踐，不如說是一種教育的理念。以冷靜的目光看待教師研讀教材的能力，就會發現許多不盡如人意的地方。
現象一：忽視對知識本質的關注
例如，筆者第一次教學“倒數”時，進行了這樣的設計。
師：在我們的漢字中，有些有一種非常特殊的現象，把上下兩個部首的位置倒一下，又可以組成新的漢字。如吞——吳，你會嗎？
生：士——干，杏——呆。
……
可以想象，這樣的引入確實會給學生帶來很大的新奇感，但其實筆者在把握倒數的教學重點上出現了問題，只注重了倒數的外形結構，并沒有觸及倒數的本意。這種只注重外在表現而不關注知識本質的課堂顯然不可取。
現象二：沒有理清整體脈絡
例如，教學三年級上冊“分數的初步認識”時，有位教師為了能夠使教學內容更豐富，進行了大量“蜻蜓點水”式的孕伏滲透，包括分數和除法的關系、單位“1”的教學、同分母異分子分數大小比較和同分子異分母分數大小比較的有關知識。
數學的知識結構是螺旋上升的。通過適度、有效的“孕伏滲透”，能夠減小數學知識的坡度，降低難度，但這必須是一個循序漸進的過程。因此教師需理清教材的整體脈絡，特別是同一內容在不同學段的呈現，更應該掌握不同年級的不同要求。
現象三：沒有進行較好的教材重組
例如，在教學“商中間或末尾有0的除法”這一部分內容時，有教師按照教材編排的3道例題依次教學，學生練習時也只參考練習七和練習八的12道練習題。
對于這一內容的教學，教材安排了兩個小題，變化不大，而12道練習題一般不能使大部分學生鞏固這一內容，況且教材還取消了例題前的復習和鋪墊內容。而這些內容對于學習有困難的學生恰恰能起到“腳手架”的作用。因此，補充恰當的練習是必不可少的。
三、 研讀策略
在教學實踐過程中，筆者發現“對比研讀”是深入讀懂教材的有效方法。現舉例說明從同一內容在新舊教材、整套教材的知識體系和不同版本教材的對比中如何進行研讀的策略作一些探索，盡量避免上述現象的發生。
策略一：在對比研讀中傳承突破
新課程背景下，教學內容在新教材中的呈現方式和學習方式雖然有了很大的突破，但這其中也有一定的傳承。對比研讀這些傳承和突破，可以讓教師更好地用教材。
現以人教版新舊教材中“百分數”的教學目標和內容編排的比較為例進行闡述。
1. 教學目標的比較
教學目標是教學活動的出發點和歸宿點。對比新舊教材的教學目標，可為有效的組織教學打好基礎。
“百分數”在新舊教材中的單元目標比較如下：
通過整理，筆者發現僅有的兩處相同點都是知識技能目標。說明重要的知識技能目標在教學時一定不能忽視。而“了解百分數在實際中的應用，知道折扣等在生活中的簡單應用”等補充修改，使筆者明白了新教材同樣重視百分數的實際應用。
2. 教材內容編排的比較
“百分數”在新舊教材中的內容編排比較如下表。從表中可見，“百分數”在新教材中編排的內容和課時增多了。為什么要增添內容？增添后對教師的教和學生的學帶來了什么影響？新教材新增添的內容在舊教材中有所體現嗎？有了對這些問題的思考，教師在教學“百分數”時，才能更好地把握教材的主線。
策略二：在對比研讀中了解知識體系
數學教材的編寫是按數學知識的邏輯結構，螺旋上升編排的。筆者認為，教師必須對教材進行整體把握。在教學時需要對比研讀相關教學內容在整套教材中的知識體系。
1. 教學內容階段定位的比較
例如，一位教師在教學二年級下冊“復式統計表”時的教學片段如下。
教師出示：籃球、跳遠、跳繩、跑步
師：四項運動中只選一項，你會選哪一項？用什么方法記錄？（有學生認為用“舉手”的方法）
師：“舉手”我們剛才已經用過了。這次我們用“畫正字”的方法吧。（全體學生很有序地上黑板前投上了“神圣”的一票）
……
本節課出現了“收集數據”的多種方式。如果教師在教學前整理了關于統計在教材中的編排體系，應該能對二年級下冊的“復式統計表”的教學有一個階段性的定位。學生在一、二年級的時候已經經歷了多次的收集數據的過程，在本節課中不需要過分強調。而應把重點放在“為什么要將兩幅同類型的單式統計表合成一張復式統計表”和“如何解讀復式統計表”上，讓學生在統計知識的每一階段學習中都獲得相應的持久發展。
2. 知識與知識連接點的比較
數學知識體系由一個個知識點串在一起形成知識線，線和線交織成知識面，面和面形成知識體系。教師在鉆研教材的過程中，既要整體把握知識的“點線面體”，還要努力尋找知識點之間的結構聯系，有利于學生認知結構的組建和完善。
例如，筆者在教學“小數的意義”時的片段。
師：老師手中的這支筆價格在3到4元之間，你能猜嗎？（板書：3.1元）
師：如果用一張紙片代表1元，那么3元需要用幾張紙片表示？
師：你能在這張紙片上用你喜歡的方式把0.1元表示出來嗎？
師：你是怎么涂的？為什么這樣涂？
生：這張紙片被平均分成了10份，我涂了其中的一份，表示十分之一，也就是0.1。
師：誰聽明白他的意思了？你也是這樣涂的嗎？能來介紹一下嗎？
……
這樣設計的依據是小學數學教材中數的發展體系。教材關于數的編排是：正整數分數的初步認識（十進分數）小數分數的意義（分數和小數互化）。這樣的編排除了考慮不同階段學生的接受能力以外，還考慮到了數的產生和發展的需要。
策略三：在對比研讀中精彩演繹
課程改革使教材呈現了“一標多本”的格局，由于不同的編寫者對課程標準理解的差異，導致了不同版本教材對同一教學內容的選擇產生了差異。這種群芳競艷的局面為課程資源的開發打開了廣闊的空間。作為一線教師，如果能遨游其中，豈不美哉？
1. 同一教學內容編排方式的比較
教師在對比研讀的過程中需要做大量收集和整理信息的工作，同時還要充分考慮自己所教學生的知識起點，讓不同版本的教材為我所用。
例如，筆者在教學“三角形”時，參考了人教版和蘇教版的編排，比較如下：
人教版：認識三角形三角形的高三角形的穩定性三角形的三邊關系三角形的分類三角形的內角和。
蘇教版：認識三角形三角形的三邊關系三角形的高三角形的穩定性三角形的分類三角形的內角和。
顯然，兩個版本對于這一內容的編排最大的不同就是蘇教版把“三角形的三邊關系”移到了“認識三角形”的后面。這樣編排的意圖是什么？
根據學生對三角形概念的理解，筆者認為“三邊關系”和“穩定性”與三角形的概念聯系更加緊密，都與“邊”有關。于是筆者重新組織了以“三角形認識”“三邊關系”“穩定性”……的流程進行教學，引領學生在質疑、猜想、驗證的過程中突破三角形概念、三邊關系和穩定性，取得了比較好的效果。
2. 同一教學內容素材呈現的比較
學習素材是學生獲得數學知識的基本載體。對比研讀不同版本的教材，可以獲取更多的學習素材。
例如，關于“三角形的三邊關系”的數學內容，人教版和蘇教版的例題素材比較如下：
通過對比發現，人教版由“上學選擇最近路線”這個實際問題引入，然后利用擺3條紙條的探究實驗得出結論；而蘇教版是提供四條長短不一的小棒，由學生任意選擇三條圍三角形，從而發現三邊關系，相對來說探索的空間比較大。這兩個素材都能很好地作為探究三邊關系的支撐材料。但是根據之前確定的以“三角形的認識”“三角形的三邊關系”“三角形的穩定性”……的流程進行教學，筆者認為直接讓學生動手操作更能使教學流程順暢。
1．適當加強簡易方程。在小學數學中適當引入一些代數初步知識，有利于學生鞏固和加深對已學過的算術知識的理解，可以使一些整數、分數、百分數的應用題（主要是逆思考的）化難為易，減輕學生學習負擔，提高學生的解題能力，有助于培養學生的抽象思維能力，有利于加強中小學的銜接。
2．本冊平面圖形的內容較多，在教學中，注意加強操作和畫圖，溝通圖形之間的內在聯系，以進一步加深學生對有關圖形的認識和面積計算公式之間的內在聯系，更好地發展學生的空間觀念。
3．加強約數和倍數中的基本概念和算理的教學。這部分內容的概念比較多，也比較抽象，知識的前后聯系也比較緊密。本冊教材在原通用教材的基礎上，又采取了加強操作和直觀，加強算理教學，加強對易混概念、計算方法的區分等手段，使學生較好地掌握這部分知識。
4．加強新舊知識的聯系和分數概念的教學。教材注意加強與已學的分數初步知識的聯系，在此基礎上加以概括，并加強商不變的性質與分數基本性質和約分、通分的內在聯系，促進學習的遷移。
5．加強學生思維能力的培養。本冊教材概念、法則多，抽象性強。考慮到學生抽象思維的發展已經有了一些基礎，教材在培養學生思維的嚴密性和靈活性方面有所加強。下面就各單元主要內容和編寫意圖做簡要說明。
一、 三角形、平行四邊形和梯形這一單元的知識是在學生初步認識了直線、線段和角、直角，初步掌握了長方形、正方形的特征的基礎上進行比較系統的教學，使學生對平面圖形中一些最基本的概念有比較清楚的認識。學生學好這部分內容，不僅能擴展學生的知識面，從形的方面加深對周圍事物的認識，提高學生解決實際問題的能力，而且可以發展學生的空間觀念和思維能力，也為后面學習一些圖形的面積計算打下較好的基矗其主要內容有4小節。
（一）角的度量
教材先講直線和線段，并在此基礎上引出射線，使學生掌握三個概念的聯系和區別，為進一步學習圖形的知識打好基矗接著利用射線的概念給角下定義，再通過操作，用運動的觀點說明角的概念，通過比較角的大小加深對角的認識。然后講角的度量，先引入量角器，指出角的計量單位是“度”，再講用量角器量角的方法。并通過實際操作說明角的大小要看兩邊叉開的大小，與角的兩邊畫出的邊的長短沒有關系。教材是通過折紙和用量角器量角來認識直角和平角，再通過測量介紹銳角和鈍角。教材是通過例題教學按給定的度數來畫角及其三個步驟，初步培養學生作圖的能力。
（二）垂直和平行
1．垂直
在同一平面內，兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種情況。因此，教材在講垂直時，從兩條直線相交組成四個角引入，然后說明讓其一條直線轉動，使∠1變成直角，觀察其它角變成了什么角。使學生看到每相鄰兩個角都是直角，在此基礎上引出垂直的概念。然后講解畫垂線的方法，分兩種情況。接著通過實際測量得出從直線外一點，與這條直線垂直的線段最短，并在此基礎上引出點到直線的距離的概念。最后講用畫垂線的方法畫長方形、正方形，這是畫垂線的一種實際應用。
2．平行
學生在學習第四冊時對平行線已有了初步認識，這里讓學生在復習的基礎上舉出具體實物中的平行線，并通過延長每組直線，揭示平行線的本質特征，進而抽象出平行線的概念。之后，教材出現在平行線間作幾條垂線，通過量它們的長度，初步認識平行線間的距離處處相等的性質。最后，教學用直尺和三角板畫平行線的具體步驟和方法。教學時要強調，畫平行線時直尺和三角板不能滑動。
（三）三角形
1．三角形的特性
教材通過觀察學生所熟悉的具有三角形形狀的實物，抽象概括出三角形的定義。接著通過實際操作讓學生認識三角形的穩定性，并舉例說明三角形的穩定性在實踐中有廣泛的應用，使學生認識到學習三角形有很重要的實際意義。
2．三角形的分類
教材首先把三角形按角進行分類，并用集合圖形象地表示出來，使學生看到三角形整個集合與這三種三角形之間是整體與部分的關系。至于按邊分類，要難一些，教材只結合具體例子，通過觀察和操作來認識等腰三角形和等邊三角形，并抽象、概括出它們的定義。然后引出三角形的底和高以及高的畫法，除此以外不作更高要求，以免加重學生負擔。
（四）平行四邊形和梯形
