時間：2022-07-21 16:15:42
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分數乘法教學反思，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
本節課《分數乘分數》是人教版六年級數學第二單元的內容，重點是鞏固和進化理解分數乘法的意義，探索分數乘分數的計算法則。接下來是為大家帶來的數學分數乘分數教學反思，望大家喜歡。
數學分數乘分數教學反思范文一分數乘分數的意義是分數乘整數意義的擴展，記住分數乘法的計算法則并不困難，但讓學生理解算理難度就比較大了。本節課教學的重點，難點是鞏固和進一部理解分數乘法的意義，探索分數乘分數的計算法則。教學中我主要是采用“數形結合”的數學方法，讓學生在實際操作中，直觀體會分數乘分數的計算方法，并運用自己的語言進行歸納總結。首先在復習中，通過直觀演示，引導學生依次折出長方形紙條的1/2,再取1/2的1/4和3/4，并讓學生用乘法算式來表示這個過程，初步感受分數乘分數的意義和計算方法，接著以2/3×1/5、2/3×4/5例，讓學生先解釋算式的意義，然后用圖形表示這個意義，最后在根據圖形表示出算式的計算過程，這樣做的目的是通過“以形論數”和“以數表形”的過程是學生鞏固分數乘法的意義，體會分數乘分數的計算過程。教學中我充分借助學生已有的知識基礎，通過觀察、實驗、操作、推理等活動，通過例題的直觀操作，通過知識的遷移幫助學生理解了分數乘分數的意義，初步掌握了分數乘分數的計算方法。在探究活動中，能引導學生主動參與分析、觀察、猜想、驗證、比較、歸納的過程，進一步發展了學生初步的演繹推理和合情推理能力。
通過本課教學我有了以下幾點思考：
以形論數”和“以數表形”相結合。
分數乘法的意義和計算法則的道理比較抽象，學生理解起來不是很容易，所以利用圖形使抽象的問題直觀化，在本課教學中就顯得尤其重要了.縱觀教材，數形結合思想的滲透也有著不同的層次，例如分數乘法前兩節課中是利用具體的實物圖形，幫助學生從具體問題中抽象出數學問題;在分數乘法第三節課中是利用直觀的幾何圖形，幫助學生理解分數乘分數的計算道理;接下來的分數乘法應用中，我們還將利用線段圖幫助學生理解分數乘法應用的問題。數形結合的過程不是簡單的抽象變為直觀的過程，而是抽象變為直觀之后，再從直觀變為抽象，也就是要講“以形論數”和“以數表形”兩個方面有機的結合起來，只有完整的使學生經歷數與形之間的“互動”，才能使他們感知“數形結合”，才能使他們能在解決問題時自覺地應用“數形結合”
經歷探究過程，優化互動生成。
“新課程標準”指出：“數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。”這一新的理念說明：數學教學活動將是學生經歷一個數學化的過程，是學生自己建構數學知識的活動。因此，教學本課時力圖讓學生親自經歷學習過程。即讓學生在動手操作——探究算法——舉例驗證——交流評價——法則統整等一系列活動中經歷“分數乘分數”計算法則的形成過程。這里關注了讓學生自己去經歷、去體驗，去感悟、去創造。學習是孩子自己的事，把探究的權力真正還給學生后，學生的表現會讓你大吃一驚。在兩個班的上課中，關于分數乘分數法則都有不同的驗證和說明的方法出現，這些方法遠遠超出課前的預設。究其原因，就是學習變成了自己的事，學的更主動，潛能發揮到了極至。
數學分數乘分數教學反思范文二本節課《分數乘分數》是人教版六年級數學第二單元的內容，重點是鞏固和進化理解分數乘法的意義，探索分數乘分數的計算法則。
在教學實踐中我繼續采用“數形結合”的數學方法，幫助學生達成以上的兩個數學目標。對于課堂中的“探究活動”沒有直接放手，這是因為學生對“求一個數的幾分之幾是多少”的分數乘法意義的理解還不夠深刻，因此在整個得教學過程分為三個層次：
(1)、引導學生通過用圖形表示算式，再用算式表示圖形，深化“求一個數的幾分之幾是多少”的分數乘法意義，感知分數乘分數的計算過程。
(2)、以3/4×1/4為例，讓學生先解釋算式的意義，然后用圖形表示這個意義，最后在根據圖形表示出算式的計算過程，這樣做的目的是通過“以形論數”和“以數表形”的過程是學生鞏固分數乘法的意義，體會分數乘分數的計算過程。
(3)、學生運用數形結合的方法獨立完成教材中的試一試，進一步達成以上目標，并為總結分數乘分數的計算方法積累認知。整體教學的效果很好。
由于學生有比較堅實的整數乘法意義的基礎，所以對于探索分數乘整數的意義和計算法則的探索完全可以讓學生獨立進行。而在分數乘分數計算過程的探索中，由于學生剛剛認識“求一個數的幾分之幾是多少”的分數乘法意義，并且用圖形表征分數乘分數的計算過程比較復雜，因此采用“扶一扶，放一放”的策略就比較好。
學生在計算分數乘分數時能根據計算法則進行計算，但對于計算過程的約分，部分學生的約分意識不強，如3的倍數，7的倍數，甚至更大質數的倍數，學生不知道約分，使結果不是最簡，還要加強訓練。
數學分數乘分數教學反思范文三本節課內容是《分數乘分數》，它是建立在學生理解分數乘整數意義的基礎上進行教學的，重點在于使學生理解分數乘分數的意義及計算方法，這也是本單元的難點。教學設計中主要是突出實際操作和圖形語言，使學生在實際操作中，直觀體會分數乘分數的計算方法，并能運用自己的語言進行總結。
首先在情境中，先讓學生理解分數乘整數的意義及計算方法，然后通過直觀演示，依次折出長方形紙條的二分之一，二分之一的二分之一，并讓學生用乘法算式來表示這個過程，初步感受分數乘分數的意義和計算方法，然后讓學生猜想，由于學生已有了分數乘整數的基礎，所以不難猜出結果，接著就讓學生在實際操作中，借助圖形語言，體會分數乘分數的意義，感受分數乘分數為什么是用“分子乘分子，分母乘分母”的方法，學生在折紙的過程中，再借助教材中“討論”的問題，鼓勵學生討論算式與圖形之間的關系，通過類似幾道題的“折一折、想一想、算一算”，讓學生運用自己的語言小結分數乘分數的方法。在計算法則的發現上，因為在前面花費了許多的筆墨，到法則的形成時，就讓學生根據黑板上的五個算式讓學生觀察“積的分子、分母與兩個因數的分子、分母有什么關系?”得出分數乘分數的計算方法。
由于本節課只是初步讓學生通過折紙活動感受分數乘分數的意義及計算方法，整節課大量的時間都放在了學生“折一折、涂一涂”的直觀感受上，注重發揮學生的積極性和主動性，給于學生更多的自主學習的機會。整個教學的流程是非常清晰的，由復習到新授再到練習老師都對教材進行了很好的研究，并且非常熟練自己的教學程序。
教材分析：分式的乘除法是本章的一個重要的內容，是分式的基本性質、分式的約分的進步提高及應用。本課時包含分式的乘法、分式的除法的內容。分式的除法可以轉化為分式的乘法進行運算。分式的乘法是本課時的一個重點。分式的乘除法是建立在小學分數乘除運算的基礎上，又與數的運算有很大的不同。
教學目標：（1）知識與技能目標：使學生理解并掌握分式的乘除法運算方法，能進行簡單的分式乘除法運算，能解決一些與分式乘除有關的實際問題。（2）數學思考目標：經歷探索分式的乘除法運算方法，發展合情推理的推理能力，培養學生大膽猜想的能力。（3）解決問題能力：形成解決問題的基本策略，從特殊到一般，從分數的乘除法運算到分式的乘除法運算，也為以后學習分式的加減運算作鋪墊。（4）情感與價值目標：教學中注意滲透類比轉化思想，讓學生在大膽猜想中學到方法，培養學習數學的自信心。
教學重點：使學生掌握分式的乘除法運算。
教學難點：分子、分母為多項式的分式的乘除法運算。
教學方法：探究式、引導式、小組交流合作。
教學準備：多媒體輔助。
教學過程：問題1：一個長方體容器的容積為v底面的長為a寬為b，當容器內的水占容積的
時，水高多少？長方體容器的高為____，水高為____
問題2：大拖拉機m天耕地a公頃__，小拖拉機n天耕地b公頃，大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍？大拖拉機的工作效率是
公頃，天，小拖拉機的工作效率是__公頃，天，大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的__倍。
（1）學生小組活動：討論并填空。（2）教師提問：這是一個什么運算？怎樣計算呢？
（板書課題：16，2分式的運算1、分式的乘除法）
設計意圖：有問題1、問題2創設問題情境，在學生感到新奇而不知所措的過程中激發學生強烈的求知欲、設置懸疑、無疑為學生對本節課的學習創設了良好的情緒狀態，面從實際生活引入，體現了數學知識源于生活。
學生交流：分數乘法法則？分數除法法則？分數乘法法則：分數乘以分數，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母。分數除法法則：分數除以分數，把除數的分子、分母顛倒位置后，與被除數相乘。（1）教師敘述：通過上面分數乘除運算可先約分再相乘。但對于除法運算首先把除法化為乘法，然后約分、相乘。設計意圖：通過對舊知識的復習、引導學生從舊知識中尋找新知識的生長點，符合新事物的規律、由淺入深、同表及里、逐漸深化。（2）探索新知：你能用代數式表示上題中（（舊知再現）觀察下列運算）的計算過程中嗎？與同伴
通過類比，得出：①分式乘除法與分數乘除法類似；②“數”變為“式”后，其運算又有不同。
設計意圖：觀察、類比、遷移的方式達到自然導人的目的，培養合作交流意識。注意的是通常分式除法首先應轉化成乘法、為了方便記憶可說為“除以一個式子等于乘以這個式子的倒數或者一變一傳倒”。
一、追溯錯因，滲透數學思想
數學教學需要在讓學生理解基礎知識、掌握基本技能的前提下，感悟數學思想方法，積累豐富的數學活動經驗。在課堂教學中，對于學生存在的錯誤不能只是簡單地訂正即可，需要追溯錯誤的原因，也就是要找到錯誤的根，這樣才能促進學生真正地理解和掌握知識。在此過程中滲透數學思想至關重要，因為數學思想是對數學規律的歸納，是掌握數學知識的基礎，以數學思想為指導，學生的思維才能更廣闊，對錯誤原因的分析才能更到位，進而使數學課堂因差錯而變得更有意義。
如在學習人教版數學五年級上冊《小數乘法和除法》時，計算能力的培養是教學的關鍵，但在計算小數乘法時有的學生出現小數點位數不對、進位錯誤等問題，這時教師就要引導學生仔細觀察，先找出自己錯誤的地方，再分析產生錯誤的原因，讓學生進一步理解小數乘法的知識。但在后續做題時仍有一部分學生出現錯誤，究其原因在于這部分學生還是沒有把握住解題的根本。針對這種情況，教師將小數乘法的計算提煉為轉化思想的應用，讓學生先忽略小數點，把小數乘法當成整數乘法，計算出結果后，再根據因數的小數位數之和得出積的小數位數，點上小數點，這樣學生在計算時就能按步就班地進行計算，出錯率大大減少。
二、比較錯題，找出本質區別
比較是一切思維的基礎，在學生出現錯誤時教師可以引導學生進行相關的比較，這樣就可以從現象中發現本質，提高學生的辨別能力，從而更加扎實、有效地掌握所學知識。在教學時讓學生用比較的方法來訂正錯誤，可以實現將不同知識融合在一起，既鞏固了正確解法，又能使錯誤顯現出來，在比較中分清異同，實現舉一反三的教學效果。
如在學習人教版數學四年級上冊《運算律》時，學生在做乘法結合律和分配律的題目時總是出錯。如計算（25×6）×4，有的學生寫成（25×4）×（6×4），而在計算（25+6）×4時，有的學生又寫成25x6+4，這些錯誤反映了學生對于乘法結合律和分配律的掌握不夠透徹，在計算時錯用、亂用運算率而導致出錯。針對學生出現的錯誤，教師要引導學生重新認識乘法結合律和分配律，明確乘法結合律的前提是幾個數相乘，將其中的幾個數結合在一起使計算更加簡便；分配律則是和與積的組合，需體現出和中的每一個數都與另一個因數相乘，再求和。在比較的過程中學生把握了乘法結合律與分配律的不同，從而更好地理解了計算時先觀察判斷應該采用的運算律，確保在把握本質的同時提高計算的質量。
三、探尋方法。避免類似錯誤
錯誤是不可避免的，但是不要重復出現同樣的錯誤。將錯誤當成一種資源，既要尋根問底，更重要的是讓學生不再犯同樣的錯誤。因此，在教學時教師要探尋最佳的方法，讓學生深刻理解錯誤的原因，從而確保學習的效果。如可以通過建立錯題集的方法來將錯題摘錄下來，分析原因并訂正，并舉出類似的例子，這樣學生在復習時翻一翻、看一看，就可以降低再出錯的概率，并在有效的方法的指引下更好地學習。此外，教師還可以讓學生根據出現的錯誤寫出反思：為什么這樣做？錯在哪里？如何改正錯誤？進一步加深學生對于錯題的印象，使學習更有效。
如在學習人教版數學三年級上冊《分數的初步認識》時，有很多學生對于分數的意義理解不到位，分不清帶不帶單位名稱的區別，因此也就比較容易出現錯誤。例如：一根長5米的繩子，把它平均分成6段，則每一段是全長的幾分之幾？每段長是幾分之幾米？結果學生做得亂七八糟。由此教師進行了反思，并在講評時采用多媒體展示：分成6段、10段、100段，每段占全長的幾分之幾，也就是分成段數之一，與繩長無關；而每段的長度則與原來學習的除法有關，只需拿K長除以段數即可得出。此后，教師引導學生在將錯題整理到錯題集上，經常看一看，避免再出現類似的錯誤。
一、什么是同課異構
從字面上理解：異構――一種包含不同成分的特性。通常被用于信息技術和化學科研。與異構相對存在的就是同構，同構――兩個或兩個以上的圖形組合在一起，共同構成一個新的圖形，后者是對前者的一個超越或突變。把“構”放在教學中是指教師不同的教學設計、不同的教學構思、不同的教學方法，等等。“構”的目的是讓不同的教師面對相同的教材，結合所教學生的實際情況，根據自己的生活經歷、知識背景、情感體驗構建出不同意義的設計，呈現出不同教學風格的課堂，培養出各具個性特色的創造性。
以人教版小學數學二年級上冊教材中的《表內乘法（二）》為例，教師可以怎樣實施異構呢？
教學設計（一）
參考教師用書，把7、8、9的乘法口訣分3個課時分別進行講授。第一課時是教學7的乘法口訣，根據教材中的主題圖和表格，利用七巧板拼成的圖案，讓學生自己將表格里的數據填寫完整，再通過計算乘法算式的積，編制出7的乘法口訣，然后進行記憶和練習。教學8的乘法口訣和9的乘法口訣的設計思路與7的大體相同。
教學設計（二）
在教學7、8、9的乘法口訣之前，學生已經學過了2～6的乘法口訣，并且知道編制的方法。因此，教師把7、8、9的乘法口訣進行有效整合，以一句7的口訣“三七二十一”為突破口，讓學生自己編制7的口訣；完成后，將學生分成兩個競賽組，分別編制8、9的乘法口訣，再進行記憶和練習。
對比以上兩種教學，第二種設計更具開放性和生本特點，值得教師們嘗試。
二、同課異構的特征
同課異構是一種教學型教研。教學型教研一般以課例為載體，圍繞如何上好一節課而展開，研究過程滲透融入教學過程，貫穿備課、設計、上課、評課等教學環節之中，活動方式以同伴成員之間的溝通、交流、討論為主，研究成果的主要呈現形式是文本教案和案例式課堂教學。因此，這種教研活動在不同學科的不同學段都可以進行。同課異構又可以分成多人同課異構和一人同課異構等形式。在教學研討活動中，最經常用到的是兩人同課異構模式，兩人同課異構又俗稱為“一課兩上”。
以小學數學中高年級各個單元知識后的“整理與復習”內容為例。一種教學設計思路是：根據教材中的練習題安排，逐一對本單元的教學內容進行回憶和概括，然后做練習題加以鞏固提高。另一種教學設計模式是將一節“整理與復習”的課分成三大部分進行。第一部分是知識整理環節，由學生自主回憶起本單元的所有知識點，教師根據學生的回答進行有序的整理和板書；第二部分是學生質疑環節，由于學生已經了解本單元的所有內容，那么他們必定有自己的困惑或疑難問題，在課堂上提出，請求他人的幫助；第三部分是針對性練習環節，可以由學生和教師收集一些易錯題或綜合性較強的題目，當堂進行解答。
對比而言，第二種教學思路更好地突出了學生的自主地位，充分將孩子們的思想和問題暴露了出來，而且可以馬上找到解決問題的策略。這樣，整理與復習就能達到既查漏補缺又提升能力的雙重效果。
三、同課異構的用途
同課異構由以教材教法為中心的文本教研轉向以師生共同發展為中心的人本教研，由單一封閉的個人研究模式轉向多維互動的群體研究模式。①針對性強。它是基于幫助教師更好地理解教材、更好地完善教學方式而采取的一種具有實效的教研方式。②適用性強。它適用于各學科、各學段、各教師，它是一個認識―實踐―再認識―再實踐的認知建構過程。③參與性高。它是集體智慧的展現，資源共享可以幫助教師更好地把握教學目標，加深對課程標準的理解，同伴互助十分重要。④提升力度大。在教師的專業發展中，個人的感悟是一個十分重要的過程。
以人教版小學數學三年級上冊《分數的初步認識》為例，一般在同課異構活動中，教師們采用以下兩種設計。
教學設計（一）
以認識二分之一為起點，讓學生學會讀、寫分數，知道分數各部分名稱，初步感知分數二分之一的含義；以四分之一為操作點，讓學生通過折、畫、比較出不同分數表示的含義和呈現的不同圖案，再通過判斷、選擇等形式的練習，加深理解分數的意義和分母的含義。
教學設計（二）
以認識二分之一為起點，讓學生學會讀、寫分數，知道分數各部分名稱，初步感知分數二分之一的含義；以四分之一為操作點，讓學生通過折、畫、比較出不同的分數表示的含義和呈現的不同圖案；再通過判斷題的練習，在眾多的分數單位中，設計一個幾分之幾的分數，讓學生學習幾分之幾。
當教師通過思考、探究、集體研討之后，又有了第三種教學設計思路。
教學設計（三）
以認識幾分之幾為起點，讓學生學會讀、寫分數，知道分數各部分名稱，初步感知分數的含義；再通過判斷題練習，在眾多的幾分之幾數中，設計一個幾分之一的分數，讓學生學習。
一、有機利用，促進正遷移
1．因勢利導，喚醒舊知。
數學知識之間有著緊密的內在聯系，后續知識的學習往往是先前學習的概括或延伸。教學中教師應盡量在回憶舊知識的基礎上引出新知識，努力挖掘新舊知識的內在聯系，抓住新舊知識的共同特征啟發思維，引導學生將舊知識遷移到新知識的學習中來。如教學“比的基本性質”一課，先讓學生回憶舊知比和除法、分數的關系，使學生發現比、除法、分數有很多相似之處，再回憶商不變的規律和分數的基本性質，引導學生聯想：在除法中有商不變的規律，在分數中有分數的基本性質，那么比有沒有類似的基本性質呢？這樣使學生在回憶舊知識的過程中，自然地過渡到了新課的學習，使學生很清楚地知道知識間的內在聯系。
2．圍繞思想，以舊引新。
教師在分析、解決數學問題時，要善于將一些數學思想方法和策略在傳授知識的同時教授給學生。教師在教學過程中要喚起學生已經形成和積累的一些初步的解決問題的策略，促進這些策略的正遷移，為學生理解和掌握知識、發展思維提供支撐。如教學“梯形的面積計算”一課時，教師引導學生思考：“我們在推導平行四邊形、三角形面積計算公式的時候，都用到了什么方法和策略？”然后教師予以啟發：“我們能否也用這樣的方法和策略來推導梯形面積的計算公式呢？”這樣促使學生將梯形面積計算公式與已有認知結構中的面積計算公式建立非人為的實質性聯系，為學生對梯形面積公式的探究、研討及促進知識方法的有效遷移創造條件。
3．豐富表象，樹立意識。
教師在教學過程中要結合教學內容盡可能地創設一些生動、有趣、貼近生活的例子，經常引導學生啟發聯想，使學生眼中單調、枯燥的數學問題與頭腦中已有的知識和經驗之間建立起聯系，利用已有的生活經驗，按照一定的模式去解決數學問題，實現知識的正遷移。如在教學“圓的認識”一課時，教師創設生活情境，通過讓學生“尋找生活中的圓、欣賞生活中的圓”，由此引出數學問題，使學生感受到數學知識就在自己的身邊。課的結尾讓學生解釋“車輪為什么不做成三角形、正方形、五邊形而偏要做成圓形”的問題，把數學知識和生活再次聯系起來，進而使學生體驗到數學來源于生活，又運用于生活，促使學生學會用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，有效地促進知識的有效遷移。
二、適時運用，避免負遷移
1．加強對比，建構知識。
注重知識結構的合理建構，是避免思維定勢負遷移的前提。學習不只是新信息的簡單吸收，而是通過新舊知識經驗的相互作用實現的意義建構。學生大腦中有豐富的知識儲備，到需要時能在一大堆舊知識中甄別出科學的那一部分，重新建構和再現新知識。如在“乘法交換律和結合律”一課中，我教學例1時，始終圍繞著“乘法交換律和結合律是什么”的問題展開新知的探究。先通過把3×5和5×3這兩個算式用等號連接，讓學生初步感受乘法交換律，再通過呈現一批具有乘法交換律結構特征的等式，進一步豐富學生的感受，然后討論交流總結規律，最后像加法交換律一樣用字母來表示乘法交換律，把乘法交換律抽象到符號層面。這種對乘法交換律知識的建構，避免了對加法交換律的形式模仿。
2．比較深辯，避免定勢。
比較是避免思維定勢負遷移的有效方法之一。教師要善于指導學生運用比較的方法，通過對學習材料及已有結論的比較分析，找出異同，發現問題，使學生對知識的可利用因素和易混的因素進行辨析分化，從而加深對知識的理解。如在“乘數末尾有0的乘法”的練習課，書中第八題如下。
207×40 23×802 60×305
270×40 23×820 60×350
這是題組比較練習，是在學生學會乘數末尾有0的乘法計算以后，把它與乘數中間有0的乘法計算進行比較，讓學生體會乘數末尾有0與中間有0的乘法筆算過程的區別。同時也使學生體會三位數乘兩位數同樣可以應用乘法的運算律或依據乘法意義，使計算簡便，學生進一步熟悉乘數末尾有0的乘法的特征，避免思維定勢的產生。
3．巧設“陷阱”，深化認知。
巧設“陷阱”是避免思維定勢負遷移的有效途徑之一。在教學中，我們要注意結合教學內容，從學生的學習實際出發，巧妙設置“陷阱”，敢于讓學生出錯。設計“陷阱”的目的不是為了讓學生“上當受騙”，而是讓學生能夠認真反思出錯的原因，深化對新舊知識的理解。如教學“應用乘法分配律進行簡便計算”時，我設計了以下“陷阱題”：怎樣簡便就怎樣算。
102×45 16×29+16×21 101×62-62
99×45 （40-4）×25 56×99+65
一、 豐富背景與單一背景之間的兩難選擇
人總是以已有知識作為背景，去認識、獲取新知識，分數除法的背景較多，有整數除法的背景、除法是乘法的逆運算的背景、分數乘法的背景等。以1÷為例，它可以建立在以下背景之上：
1.包含背景：求1中有多少個，或的多少倍是1。
2.等分背景：求一個數，使得它的是1。
3.乘積背景：求乘以得乘積為1的因數。
小學數學教材所給的背景與教師選擇的背景不同，蘇教版和北師大版教材中的分數除以整數、整數除以分數都以“分物”為背景，歸納分數除法的算法。而有些教師利用“除法是乘法的逆運算”這一背景開展分數除法的教學。設：÷=，由除法是乘法的逆運算可得：×=，3×x=3，4×y=8，x=3÷3，y=8÷4，綜合起來就是÷===，如果省略過程，呈現在學生眼前的就是：÷==。接下來考慮，發現÷==這個規律依然成立，最后，通過“劃歸”的方法，探討一般分數的除法，從而得到：÷=÷==。
從上面的分析可以看出：教師和教材在分數除法算法及其含意的理解上有分歧，雙方都把這種算法引入到不同的背景中，當然這種認識上的差異是必然的，甚至是積極的，但要引導師生進行有效的對話，就不能采用有分歧的背景，而必須共同觀察相同的參考背景。分數除法教學時，應考察同一個背景――“分物”，它是除法運算的一個聯結因素，它在以前的除法和分數除法之間建立了聯系，分數除法的算法也有了合情合理的解釋。
香港地區也用類似于“分物”的背景來教學整數除以分數。在實踐活動中通過折紙發現：1（2，3，4）包含了多少個？推算：8包含了多少個？學生探究出：整數÷=整數×4。在探究活動環節，要求學生利用小組內的手工紙，找出：3張手工紙包含了多少個？
二、 知識載體與知識含義之間的兩難推理
我們都知道，在數學知識的每一次介入中存在一個基本的認識論二難推理：教師想提供新知識給學生時，他們必須使用新知識的載體（符號與圖表），當然符號與圖表之間由某些嚴密的規則相聯系。教學過程中必須使學生的注意力集中在這些知識載體上，然而，知識的含義并不包含在這些載體中，要讓學生知道知識含義，就必須要學生自己去探索。也就是說，學生不能從知識載體直接讀出知識含義，必須從中主動地重新建構。這是分數除法教學必須要面對的問題。
以蘇教版小學數學教材六年級上冊第46頁的練一練為例，闡明這個認識論難題。
我們知道，對于÷=×=2，一方面，用某些運算符號聯結起來的數學表示形成了一個小小的運算體系；另一方面，教材想借助一個幾何背景，為符號與運算提供含義。右上角的圖形以什么樣的方式賦予÷=2含義呢？對于和，其中一個分數的分母是另一分數的倍數，似乎需要預先假定某一類分數，用來表明圖形與公式之間最初的相互作用。這種相互作用還有另外的一些暗示：在右上角的長方形中，對1和單位的理解必須是可變動的。10個小方塊是單位，與的比例分別是3個長方形（每一個長方形有2個小方塊）與含3個小方塊的一個長方形的比列。解釋÷=2時，對“2”的認識論含意要根據單位的改變而改變。2可以這樣理解：將解釋為，將÷改成÷，計算÷時，可以不考慮分母10，只相當于運算就行了。
以上的分析表明，單位的解釋要改變，首先，含有10個方塊的大長方形表示單位1，接著，單獨的方塊也表示單位1。這種認識上的改變源于對的再認識，像這樣的一個分數，并非僅僅是簡單的兩個具體數字6和10的關系，而是大量這類關系如：、 、、……的一個代表。誰是其中的代表要根據幾何圖形與給定的數值符號而定。
分數除法教學中遇到的認識論難題就是，要以符號載體來傳送知識，同時又要超越這些具體載體。所以在課堂里，教師必須給學生呈現特定背景下的學習情境，從而可以在交流中分享，最后，借助于概括，創設一個消除背景的過程，幫助學生自覺重建隱藏在背景后面的數學知識的含意。
三、 邏輯標準與數學標準之間的兩難評價
我們都知道，不同的人利用不同的數學知識背景得到不同的認識結構，分數除法教學也不例外。除了通常的“顛倒法”之外，有些研究者推薦了“通分法”。如蘇教版小學數學教材六年級上冊第46頁的練一練，÷，可以這樣來計算：把通分為，再和比較，看看包含幾個，也就是：÷=÷=6÷3=2。康托就曾經這樣寫道：“數學在它自身的發展中完全是自由的，對它的概念的限制只在于：必須是無矛盾的并且和先前定義引進的概念相協調。”這是數學研究的邏輯標準。而“數學標準是關于研究工作‘數學意義’的分析。如新的研究是否有利于認識的深化以及方法論上的進步等。”
前面所講用“通分法”來解決分數除法，從邏輯標準上來評價是沒有任何問題的，可能有人還會認為若用直觀圖來解釋“通分法”的算理更能體現其優越性，歷史上也出現了一些其他類似的獨特方法。但為什么這些方法最終都被人們所拋棄，而唯獨留下“顛倒法”呢？我們是不是應該從“數學標準”的角度來評價一下“通分法”。從計算方法來講，“通分法”是把分數除法轉化為整數除法，這種方法當然可行，但是不是最簡潔、最有效的方法呢？前面我們已經學習了分數的乘法，為什么非要通過復雜的通分而計算出結果呢？轉化為剛學的分數乘法豈不更好。正如皮亞杰曾指出：“在更高的層次上對已有的東西重新進行構建，并使前者成為一個更大結構的一個部分。這樣，我們最終就獲得了一個無限豐富，而又層次分明、井然有序的數學世界。”
當然，“通分法”與“顛倒法”并不矛盾，不能否認“通分法”，因為有了這種方法，我們才能從更為廣泛的角度去理解知識。但是教師不能因為“顛倒法”難理解而抓住“通分法”不放，教師要善于從“數學標準”的角度去評價 “通分法”和“顛倒法”，讓學生真正理解“顛倒法”這種算法所體現的“數學系統的內部和諧”。
四、 理解保持與記憶結論之間的兩難平衡
數學教學中有一對矛盾――理解和記憶，分數除法教學也不例外。因為學生對分數乘法的算理――“顛倒法”難于理解，而利用“顛倒法”來計算分數除法又如此簡單。如何解決這個矛盾？不少學者提議：先記憶，再理解，先讓學生反復練習，記住算理，然后再來理解算理。他們的理由是學生的理解能力有差異，不是所有學生都能在四十分鐘內完全理解算理的，對于程序性知識，可以先知其然，然后知其所以然。我們仔細分析“先記憶，再理解”這一“緩沖”的方法，其實有時是很難實現的。教師要讓學生記憶算法，就必須通過訓練達到熟練的程度，這固然是一件好事。但有時過早、過多的訓練，學生的理解的保持會受到訓練的嚴重威脅，他們才不會努力理解這些“顯而易見”的算法。
弗賴登塔爾在《數學教育再探》一書中指出：“算法是一種完全極端的情況，它一旦被掌握，或確信被掌握，人們很可能就不理會它們的來源。的確，算法最大的優點就是它們能機械地進行。但是當它們變得無用，或甚至對數學本身的目標構成危害（即把數學和操作算法等同起來）時，它們就變成了缺點。”教師的工作不是教學生僅知道應用“顛倒法”快速得到答案，關鍵是要讓學生理解這個算法的真正意義。
【關鍵詞】思維素質；教學生產鏈；深度合作；單元整合；實例教學
一、學習運算律的意義
（一）三個階段
新北師大版教科書關于運算律的學致可以分為三個階段.第一階段也就是第一學段，學生能夠結合具體的生活實例，對運算律有所體會，在解決簡單實際問題和計算題的計算中，有的學生憑借直覺有所運用，沒有出現概念，是自然滲透、自覺運用階段.第二階段也就是本學期（四年級上冊），系統地學習5個運算律，重點是理解運算律的意義，并運用一些運算律使一些運算簡便，感受算式的等值變形，提升運算能力.第三階段在五年級下冊和六年級上冊，主要是學習運算律在小數和分數中的應用，運用運算律使一些小數和分數的混合運算簡便，提升運算能力.
（二）意義
運算律是運算中進行簡便計算的必要的理論依據，是學生正確、合理、靈活地進行計算的思維素質，掌握的好壞將直接影響學生今后的簡便計算和計算速度.這部分內容是在學生已經學過的加法及乘法計算和驗算的基礎上進一步探究，從感性上升到理性的內容.
二、本期學習的五個運算律的內容
（一）教學目標
能夠用自己的語言說出各運算律的意義，把握其特點；能運用各運算律進行簡便運算和解決相關的應用問題.
（二）內容
1.加法交換律：兩個加數相加，交換加數的位置，和不變，即a+b=b+a.
2.乘法交換律：兩個乘數相乘，交換乘數的位置，積不變，即a×b=b×a.
3.加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數所得的和，c先把后兩個數相加，再加上第一個數所得的和是相等的，即（a+b）+c=a+（b+c）.
4.乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘第三個數所得的積，與先把后兩個數相乘，再乘第一個數所得的積是相等的，即（a×b）×c=a×（b×c）.
5.乘法分配律：兩個數的和乘第三個數所得的積等于這兩個數分別與第三個數相乘所得積的和，即（a+b）×c=a×c+b×c.
三、學生學習中遇到的困難
（一）學習后恐懼，不能做題
新課講授完，教師都會利用文字和字母總結各種運算律的內容，部分學生因為之前缺乏理論性的學習，對于文字和字母感到陌生和比較抗拒，對于所學的內容不能樂于消化，進而不會做題.
（二）各種運算律混淆，計算錯誤
相對于一二年級的簡單教學，四年級的教材難度和容量上了一個臺階，在運算律學習方面，以下的錯誤是比較經常出現的：
128-37-63
=128-（63-37）
=128-26
=102 8×19×125
=（125+8）×19
=133×19
=2527 8×（125+25）
=125×8×25
=1000×25
=25000
（三）一定程度上掌握，但運用解決問題方面比較困難
學生學習運算律的目的是使一些運算簡便，在提高計算能力和速度的基礎上，會運用相關知識解決生活中的一些實際問題.但是因為對運算律的理解不到位或沒有進行歸納總結，部分學生在運用解決問題方面比較困難.
四、建議措施
（一）課前
1.教師自身學習，教前認真備課，打通小學六年的教材，做實教的生產鏈：備課―上課―作業―輔導―考試.
2.低中高學段教師科組內深度合作，有意識地為學生的系統性學習和終身發展成長負責.
（二）課中
1.建議講授的過程采用單元整合.
（1）各運算律分類：交換律（加法交換律和乘法交換律）、結合律（加法結合律和乘法結合律）、分配律（乘法分配律）.
（2）教授順序：觀察―發現―小結―公式正用鞏固和強化―公式逆用鞏固和強化―變式練習―綜合練習.
2.充分利用生活情境或生活實例教學，提供機會讓學生多想、多說、多總結，重理解和運用.比如，在講授乘法分配律的時候，可以借助之前學習過的長方形的周長=長+長+寬+寬=長×2+寬×2=（長+寬）×2，或者舉例子：馬上要到元旦表演了，全班同學54人計劃購買衣服（上衣+褲子）的場景，即（上衣單價+褲子單價）×54=上衣單價×54+褲子單價×54.
（三）課后
1.分層次練習，及時地進行試題檢測.
2.查缺補漏，盡可能做到人人清、日日清和周周清.
五、結論
好的教學設計是教學成功的一半，教師在教學中合理設計，加上老師潛移默化的指導對教學成果有著重要作用，轉變思想，積極探索，改革教學，在繼續推進“自主――創新”課堂教學模式的同時，把新課程標準的新思想、新理念和數學課堂教學的新思路、新設想結合起來，轉變思想，積極探索，改我們怎樣教數學，《國家數學課程標準》對數學的教學內容，教學方式，教學評估教育價值觀等多方面都提出了許多新的要求。無疑我們每位數學教師身置其中去迎接這種挑戰，是我們每位教師必須重新思考的問題。通過多年教學實踐，我對設計思路，課程目標，內容標準及課程實施建議有更深的了解，使教學改革躍上了一個新的臺階。
一、對教學內容的分析
這里特別強調的是對教材內容的數學核心思想的分析，就是希望教師不僅考慮本節課所教的知識，更要考慮到本節課后蘊涵的潛能。如小學數學教學中知識間的遷移：由剛開始的一位數加一位數的口算到多位數加多位數的筆算；求幾個相同加數的和可以用乘法計算（整數乘法）到小數乘法；由小數乘法到分數乘法；由分數乘法到百分數乘法。每個知識點之間都存在著緊密的聯系。假如在教學第一環節的內容時，考慮到它在今后數學教學中的地位和作用，那么教師應該深挖教材，既能使自己準確把握教材，有針對性地處理好教材，又能使自己的課堂如魚得水、游刃有余。
二、對學生情況的分析
教學設計必須是對學生已有的知識基礎，學生的生活經驗、學習經驗、學習困難、學習興趣及學習方式等進行分析的基礎上進行，否則會事倍功半或無法收到預期的效果。如：師：2012年6月16號下午18點37分神州八號發射聲控，女航天員劉洋搭載升空。你們知道劉洋向全世界展示的是什么嗎？教室內一片寂靜！
本案例中，教師及時將富有時代氣息的材料引入課堂，體現了教師具有較強的選材意識，但是，卻忽視了面對的是剛剛步入學校的一年級的兒童，他們不一定對發生的每一件大事都感興趣，他們有他們的愛好和興趣。教師不能用自己的視界來衡量學生的視界。要想真正了解學生不僅僅依靠經驗，有時還需要一定的調研。如小測驗，訪談和學生交流，側面了解，課堂觀察，作業分析等等，教師要根據不同的目的做出合理的選擇。
三、對教學目標的確定
教學目標是為學生的“學”而設計的，教師的“教”是為學生的學習目標達成而服務的。《數學課程標準》以知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等幾個方面規定了學生應達到的目標，因此，教學目標的確定也要體現數學教育的多方面價值，教學行為的主體必須是學生而不是教師，因為判斷教學有沒有效益的直接依據是學生是否獲得個體的進步，而不是教師是否完成任務。行為動詞必須是可測的，可評價的，否則就無法評價。為此教師在目標制定過程中要從三維目標入手，設計具體的的可操作性的目標。如《長方形的面積》（小學三年級下冊）教學目標：①能借助透明方格膠片或帶有方格的面積圖，說明長方形面積等于長乘寬的理由。②對給予的長方形和實物，能夠正確計算它們的面積。
四、對教學活動的設計
教師在進行教學活動設計時，要在認真分析學生的基礎上，根據學生的興趣對教學內容進行差異化處理。教學活動包括活動的內容，活動的設計意圖，活動的組織和實施，活動的時間分配等。其中活動內容是核心，活動設計意圖是導向，活動的組織實施是關鍵。活動組織實施也就是教學活動的具體形式，包括：教師活動的開展？導入、提出問題或提出任務，主題探究（包括組織學習、組織交流、講授等）；學生的學習方式？動手操作，獨立思考，合作交流，練習等；活動材料的準備？學具、教具、課件等。要注意的是教學活動是為了完成和達到教學目標而設計的，要緊緊圍繞教學目標的實現來設計。那種只關注活動過程“熱鬧”而導致教學目標的偏離，或者活動時只注重教學活動而忽視教學目標的做法，是最不可取的。
五、創新評價，激勵促進學生全面發展
把評價作為全面考察學生的學習狀況，激勵學生的學習熱情，促進學生全面發展的手段，也作為教師反思和改進教學的有力手段。
對學生的學習評價，既關注學生知識與技能的理解和掌握，更關注他們情感與態度的形成和發展；既關注學生數學學習的結果，更關注他們在學習過程中的變化和發展。抓基礎知識的掌握，抓課堂作業的堂堂清，采用定性與定量相結合，定量采用等級制，定性采用評語的形式，更多地關注學生已經掌握了什么，獲得了那些進步，具備了什么能力。使評價結果有利于樹立學生學習數學的自信心，提高學生學習數學的興趣，促進學生的發展。引一個三年級評語例子：“這幾天我們學習了較大的長度單位《千米的認識》，學生通過自己的努力，能收集、記錄較遠的路程，知道如何推測、估計較遠的距離，在這方面是班里最好的。但在語言表達方面有一定的困難，希繼續努力。等級評定，優。”這個以定性為主的評語，是學生與老師的一次情感交流，學生獲得了成功的體驗，樹立一分耕耘，一份收獲。教學工作苦樂相伴。我們將本著“勤學、善思、實干”的準則，一如既往，再接再厲，把工作搞得更好。
一、教師對解決問題教學的認識不到位，簡單地把解決問題等同于應用題
在實際教學過程中，部分教師認為解決問題就是應用題，他們會覺得例題中的內容太“散”，所以通常會把題目寫成文字應用題，再進行教學。例如，在教學三年級上冊“有余數除法”時，教師在出示了情境圖后，只是簡單地提問了學生情境圖中的內容，然后就直接把例題以文字的形式呈現在學生面前，“有23盤花，每組擺5盤，最多可以擺幾組？還多出幾盤？”這樣的教學違背了例題的本意，完全忽略了學生對解決問題的認知過程，結果部分學生在解題的時候顯得無從下手。
在教學解決問題的過程中，教師應該充分地讓學生通過自己的觀察、思考，解決自己發現的問題，并找出問題與條件之間的聯系和解決問題的方法。單純文字層面上的說明，對于剛剛學習“有余數除法”的三年級學生來說是有一定難度的。所以，教師應該結合生活情境，圖文并茂地把實際問題呈現出來，同時讓學生通過“分一分”、“擺一擺”的動手操作，使學生充分理解問題，掌握解決問題的方法與策略，為以后的學習打下堅實的基礎。
二、解決問題的教學手段單一，解題策略缺乏多樣性
在解決問題的教學中，教師為能夠更好地把問題說清楚，把問題的各個方面都展示給學生，通常會進行大量的說明和提示。這樣的教學可能會使學生容易理解，但卻剝奪了學生獨立思考，自覺發現問題、分析問題、找出解決問題的策略的學習過程，學生在學習過程中缺乏有效的交流、合作，完全處于被動位置，沒有突出自身的主體地位。例如，在教學五年級上冊32頁“解決問題（一）”的教學中，教師對例題進行了詳細的說明，通過關系式、示意圖清楚地把解題思路一一呈現出來，學生也順利地把例題解答了出來。但是在完成課本“做一做”的練習中，部分學生卻出現了嚴重的錯誤，把應該先用乘法求總數再用除法求平均數的題目也直接用了連除進行計算了事。原因是整個教學過程中基本是由教師包辦完成了例題的學習，學生沒有充分地進行探究和交流，思考不夠深入，同時受到例題是連除計算的影響，出現這樣的錯誤也就不足為奇了。
受教材的影響，部分教師認為學生只需要掌握課本中提供的方法就可以了，而沒有必要再學習其它方法，這種想法是與教材的編寫意圖和解決問題教學的目的相悖的，也不利于對學生的培養。解決問題就是要讓學生通過一系列的學習過程，找出適合自己的、容易的、合理的策略，使學生真正體會數學思維在實際中的運用，會用數學思維去解決問題。例如，在教學六年級上冊“解決問題（分數除法一）”的過程中，教師只突出了例題中用方程的解法，甚至在評課時也有教師提出簡單方程解法思路，只需要教會學生用方程解題就可以了。其實我們可以發現例題1是求“單位1的量”的一步計算題，學生完全可以通過之前學習的分數乘法中求“對應量”的關系式推導出求“單位1的量”的關系式：“對應量”÷“對應分率”=“單位1的量”，這樣的計算過程簡單、思路十分清晰。通過分析教材可知，例題中用方程的解法就是對分數乘法的一個承接，然后對分數除法的一個引入，并非是規定了某種方法更好。
從以上兩個案例可以看出，要真正體現解決問題教學的地位和作用，教師在教學中一定要大膽放手，讓學生通過自主探究、合作交流、動手操作等有效的教學手段，使學生全程參與到解決問題的每一個環節，找出解決問題的各種策略，并從中選出最優的策略進行解題，使策略來自學生解決問題的需要，從而加深學生對解決問題策略的理解。
三、在解決問題的教學過程中對問題的反思浮于形式
解決問題的過程主要有四個環節：①收集信息，②分析問題，③尋求策略，④反思問題。但在教學過程中，部分教師往往只落實了前面三個環節，卻忽視了“反思問題”這個關鍵的教學環節。每次聽課，到了還有兩三分鐘就要下課的時候，教師都會設計“談收獲”這個環節，而絕大部分學生都只是例行公事地回答，例如，“我學會了求圓的面積”“我知道了用除法求平均數”……用一句簡簡單單的話就概括了整節課的學習。這樣的反思流于形式，沒有讓學生完整地去體驗解決問題的全過程，不利于培養其良好的思維習慣。
因此，教師應該有目的地引導學生回顧整個解決問題的過程，反思“收集信息時如何找出了隱含的條件”、“學習過程中遇到了什么困難”、“運用了哪些策略，是否合理、是否簡捷？”、“其他同學用什么策略分析問題，對我有什么啟發”等問題，讓學生回味解題時用到的知識和方法，積累解決問題的經驗，通過比較不同解法各自的特點，反思哪一種解題策略更合理、更簡單，從而真正提煉出解題策略的核心，突出思維的關鍵，并延伸到解決其他問題上，同時也使學生獲得成功的情感體驗。
四、解決問題過程中忽視了數學模型的建立
數學模型是學生解決問題的有效工具，是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，簡化問題的一種強有力的數學手段。通過數學建模解決問題，可以提高學生的綜合素質，增強數學思維能力。
一、同學段計算方法、法則的整體性
小學階段有很多方法法則是相通的，比如：除法的商不變規律、分數的基本性質、比的基本性質。這三者出現在不同年級，但本質是一樣的，相互間的聯系非常緊密，在學習分數的基本性質時可借助除法的商不變規律引入，同樣學習比的基本性質時也可借助它與前兩者的聯系揭示出自身的規律。三者學完后應揭示它們之間的聯系，學會相互轉化，融會貫通。
分數乘法應用題和整數乘法應用題出現的時段相差很大，以至于很多教師把這兩者割裂開來，看成兩個截然不同的知識，其實這兩者聯系也很緊密，解題思路基本一致。比如：15千克的3倍是多少？和15千克的1/3是多少？都可看作倍數問題用乘法計算，區別是前者的倍數是整數，后者的倍數不到一倍而已。在教學分數乘法應用題時可從倍數應用題入手，最后小結：求一個數的幾分之幾是多少和求一個數的幾倍是多少是一樣的，用乘法計算。
很多學生對理解“小學美術組人數比書法組多3/5”這樣的關系句感到困難，其實這樣的數量關系和“小學美術組人數比書法組多2倍”是一樣的，學生理解了后者，對前者的理解就輕松多了。這樣兩者體現了整體性，有助于學生知識結構的完善。
二、一題目不同解答方法的整體性
在現在的數學教學過程中提倡用不同的方法來解決問題，以體現思維的求異性和靈活性，教師更看重的是方法的多樣，而往往忽視不同方法之間的整體統一。例如：34加16的進位加法教學片斷：
執教者在教學過程中依次出現小棒圖、計算器圖（如下），逐個引導學生算出得數，最后教學列豎式（如下），結束片段進入下一環節。
這三幅圖聯系非常緊密，第一幅圖右邊的單個小棒相加和第二幅圖中個位上珠子相加與第三幅圖豎式里個位相加是一致的，同理第一幅圖左邊的每捆小棒相加和第二幅圖中十位上珠子相加與第三幅圖豎式里十位相加也是一致的，進位的原理也是一樣。教師在執教時應指出這三幅圖之間的聯系，讓學生體會整體性思想，感悟數學知識的來龍去脈。
三、不同題目間解答方法的整體性
在蘇教版教材中，很多題目間看似不同，其實是有緊密聯系的，找出共同之處，形成整體，對提高學生解決問題的能力和數學素養有很大幫助。
蘇教版十二冊“解決問題的策略”有這樣幾題：
計算1/2+1/4+1/8+1/16。
有16支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制進行。數一數，一共要進行多少場比賽后才能產生冠軍？如果不畫圖，有更簡便的計算方法嗎？如果有64支球隊參加比賽，產生冠軍要多少場？
對前一題，學生大多能在教師的引導下利用數形結合的思想找到簡便方法：1-1/16，對后一題很多教師也能引導學生得出：8+4+2+1=16-1。但很多教師沒有引導學生去發現這兩題的共同點，沒能從整體出發思考，顯得零碎，不成體系。教師應在這兩題間設置過渡題：計算1/3+1/6+1/12+
一、 運用比較策略，培養學生的歸納推理能力和運算能力
歸納推理是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結論的推理，它的思維進程是從特殊到一般。在教學中可以用類比的方法。這也是教學中最經常使用的方法。
在蘇教版《分數乘法》教學中，有一位教師為了讓學生更好地理解分數乘分數的方法，用折紙的辦法形象直觀地展開教學：
1.把一張紙的■再對折，也就是■的■是多少？能用一個算式來表示嗎？
2.把余下的再對折，也就是■的■是多少？能用一個算式來表示嗎？
3.一張紙的■的■是多少？能用一個算式來表示嗎？（學生說不清，也道不明）通過引導學生動手折一折、分一分、涂一涂、猜一猜、想一想等活動得出算式。
……
質疑：像這樣既要折又要畫才能知道結果，太繁。該怎么辦呢？（教師引導學生，把中間的內容補充完整，從而由學生概括出分數乘分數的計算方法。）
在上述案例中，學生手中折的長方形紙是不變的，變化的是折紙的過程，教師先通過折紙靈動地將“形”轉化成多個算式，并把形和數緊密結合，產生多個不同的結果，學生在經歷了特殊——一般的比較過程中，通過多個不同算式的計算過程，概括出了一個共同的法則，真切感悟到了計算分數乘分數時為什么是“分子乘分子，分母乘分母”的道理。學生在比較的過程中提升了歸納推理能力。
在數與代數的學習過程中，學生要花費較多的時間和精力去學習和掌握關于各種運算的知識和技能，不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且要理解運算的算理，能夠根據題目條件尋求正確的運算途徑。在教學中，教師可以用對比的范式進行教學。教師要幫助學生區分什么是概念本身、什么與此無關，從而提升運算能力。
在蘇教版《乘法分配律》教學中，教師安排了這樣的兩題：
1.算一算，比一比，每組中哪一題的計算比較簡便。
（1）25×4+25×8 （2）25×17+25×3
（4+8）×25 25×（17+3）
通過對比有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。
2.請用手勢告訴老師你選哪一個？與25×（4×8）相等的算式是（ ）。
①25×4+25×8 ②25×4×25×8 ③25×4×8
此題是不同于乘法分配律這一概念的例子，通過對比辨析，讓學生更加清楚乘法分配律和乘法結合律的區別。
通過這兩題的對比練習，讓學生加深了對乘法分配律本身的理解，它與乘法結合律沒關系，也有效地避免了以后的計算錯誤。
二、 運用比較策略，培養學生的數據分析觀念和隨機意識
統計學是建立在數據基礎上的，本質上是通過數據進行推斷。因此，數據分析觀念的首要方面是“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析比較作出判斷，體會數據中蘊涵的信息。”
在教學《復式折線統計圖》時，教師先介紹自己暑期想去旅游，接著分別出示煙臺和吐魯番某一天氣溫變化情況的単式折線統計圖，并分別讓學生說說這一天的氣溫變化情況，然后，提出三個問題：吐魯番從幾時到幾時之間溫度下降最快？兩個城市在幾時的氣溫相差最大？從幾時到幾時之間煙臺的溫度比吐魯番的溫度高？
通過學生思考、交流，感覺后兩道問題比較麻煩，接著，教師又提出：有沒有更好的辦法，不計算也能直觀方便地解決這兩個問題呢？你們想到了什么辦法？（將兩張統計圖重疊；將兩根折線畫在一張統計圖上等。）隨即，教師動態呈現合并過程并完善復式折線統計圖。（圖略）
討論：現在能很快解決后兩個問題了嗎？你又是怎么看的？猜一猜老師會去哪里？需做怎樣的準備？
……
上述案例，教師利用比較兩個城市一天之內溫度變化的相關問題，激發學生尋求更簡便的方法的內在需求，生成了復式折線統計圖。教師通過對單式折線統計圖和復式折線統計圖的分析、區別、歸納，辨析異同，使學生體會到了復式折線統計圖對兩組數據分析的優勢，培養了他們的數據分析觀念。
在統計與概率這一內容中除了要培養學生的數據分析能力，還要培養學生的隨機意識。隨機性是一個非常重要的概念，理解它的豐富內涵不但要多做實驗，而且要多收集和分析實驗數據，幫助學生深刻體會“可能性”的含義，增強感性認識。如蘇教版三年級上冊設計了這么一個實驗：一個口袋里有3個黃球和3個紅球，從中任意摸一個，會摸到什么球？通過實驗發現：兩種球都可能摸到，每次摸到的結果是不確定的。筆者認為，為了讓學生對隨機性有更全面和更深刻的認識，實驗時要求學生把摸到的結果紀錄下來，實驗后要讓學生通過觀察、比較和分析結果，感悟到：從每個學生的實驗結果看，盡管都摸到了黃球，但不能確定其第幾次摸到黃球，而且每個學生摸球的記錄幾乎都不一樣，從中具體體會“可能性”的深刻含義，體會隨機性。
三、 運用比較策略，培養學生的幾何直觀和空間觀念
幾何直觀就是依托、利用圖形進行思考和想象，它在本質上是通過圖形所展開的想象能力。幾何直觀和空間觀念的培養，都需要有操作、觀察、想象、分析比較的基礎。在教學中，教師應為學生提供足夠的時間和空間讓學生去觀察和想象、操作和分析。
《面積和面積單位》的教學是學生認識“空間與圖形”知識的一次飛躍。為了使學生認識到統一面積單位的必要性，一位教師是這樣設計教學的：第一步，教師先出示一張畫好方格的白紙的一面，讓學生數一數包含多少個大小相同的小正方形（16個）。第二步，教師把這張白紙放進抽屜中，取出另一張白紙（其實這是一個假動作，取的是同一張白紙）。第三步，教師向學生展示白紙的另一面，讓學生數一數包含了多少個大小相同的小正方形（18個），并提出問題：“剛才的兩張白紙哪張大？”此時學生一定會認為第二張白紙大。第四步，展現白紙的兩面并告訴學生，兩次展現的其實是同一張白紙。
此案例中，教師巧用障眼法，讓學生誤解是兩張白紙，其實白紙是不變的，變化的是小正方形的大小，學生在如此強烈的對比刺激下，經歷了由迷惑到醒悟的過程，自然會理解統一面積單位的必要性。
四、 運用比較策略，培養學生的問題意識和創新意識
愛因斯坦說過：提出問題比解決問題更重要。但問題的提出不應當是教師的專利，而應以學生現有知識基礎與生活經驗為背景，隨著學習活動的不斷深入，逐步生成。對于孩子來說好奇心是天性，他們有很多很多的問題，他們對一切都感到新鮮、富于想像。由此可見，教師要注意在課堂上喚醒學生的問題意識。
在教學《解決問題的策略（假設）》時，教師在練習中設計了這樣的兩題：
1.鋼筆的單價是鉛筆的6倍，一支鋼筆和三支鉛筆的價格是10.8元，鋼筆和鉛筆的單價各是多少元？
2. CRH5型動車組，共計8節，長約206米。頭部車輛長度比中間車輛長3米，頭部車輛長度是多少米？中間車輛長度是多少米？
這兩道題主要讓學生想想、說說，在關注策略的同時著眼于解決問題以及學生思維品質的提升。顯然這兩題都可以用“假設”的策略解決，教師在處理這兩題時要善于引導學生提問：應該怎樣“假設”才能更好些？第一題把一支鋼筆假設為6支鉛筆比較好思考，第二題把頭部車輛長度假設為中間車輛長度計算更快。教師要通過比較讓學生真切體會到要根據需要恰當地選擇策略，并引導學生主動反思自己的學習過程，在反思中提升對策略的認識。
蘇霍姆林斯基認為：“教學就是教給學生借助已有的知識去獲取新知識的能力，并使學習成為一種思索的活動。”教師要善于選擇具體的問題，精細地誘導學生的求異意識，讓學生在對問題的多解追求中享受學習帶來的樂趣。
在教學《解決問題的策略（畫圖）》時，教師出示了一組變式訓練題：
1.兆豐學校有一間長方形的科技室，長增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。你知道原來科技室的面積是多少平方米嗎？
2.兆豐學校有一間長方形的科技室，長12米，寬8米。如果這間科技室長和寬都增加2米，科技室的面積增加了多少平方米？
第1題中長增加6米或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。學生容易解決。第2題學生容易把長和寬都增加2米與長或寬增加2米混淆，當學生發現錯誤后，教師不僅要求學生自己畫圖比較糾正錯誤，而且還要求學生用多種方法完成。此案例中，原來科技室的長和寬是不變的，關鍵要理清長和寬都增加2米與長或寬增加2米的區別，即使有第一題的鋪墊，多數學生一開始還會列出2×8+2×12的錯誤算式，少了其中的一小塊2×2，通過引導學生畫圖對比，有效地促進學生的學習，同時教師并不滿足一種解法，還要用其他方法進行驗證，培養了學生的創新意識。
數學素養的提高是一個長期的、不斷體驗和積累的過程。教師在教學設計時既要善于運用比較策略，又要注意與多種策略有機地結合，要用其所長，避其所短，不能生搬硬套。蘇聯的巴班斯基認為：“教學工作通常要求運用的不止一種，而是多種方法，是方法的綜合。”所以，在實際教學過程中，可以突出一兩種主要的方法，綜合利用一切有效的教學方法，組成最優化的、復合的教學法實施方案，長此以往，學生的數學素養才能得到有效提高。
參考文獻
[1] 史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.2.
【摘要】俄國著名教育家烏申斯基說：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界的一切。”在小學數學教學中，比較是經常使用的一種有效教學策略。合理使用比較策略，不僅能幫助學生深入理解數學知識，還能有效提升學生的思維品質。
關鍵詞 數學教學；比較策略；思維品質
一、比較的內涵與外延
1.同中比異，揭示本質。
小學教材中，很多知識的差異性常常被他們的相似性、相近性和相關性所掩蓋，小學生在思想上易被泛化為同類事物而發生混淆。此時組織辨異比較，有利于學生區別知識的各自內涵。如教學小數的讀法，課始要求學生讀出507.507，通過學生正誤讀法比較引導明確：整數部分要讀出計數單位；小數部分只要讀出各數位上的數就行了。接著又讓學生讀：5007.5007，再次比較明確整數部分連續兩個零只讀一個零，小數部分要把零一個個都讀出來。兩次辨異比較，學生清晰掌握整數部分和小數部分的不同讀法，從表面上的“同”辨出讀法上的“異”，輕松突破難點。
2.異中比同，深化理解。
數學知識靈活多變，對那些隱而不顯的知識共性，習慣于表面現象認識事物的小學生誤以為他們是各各獨立。此時組織異中求同的比較，則有利于挖掘知識的共性，使學生的理解深刻化、概括化。如學習了約分和通分后，學生的理解往往分割地停留在“兩種過程”、“兩種方法”的孤立認識上。如適時組織比較，讓學生悟出約分和通分盡管過程、方法不同，但都是分數基本性質的應用，只是索取角度不同，前者取“同時縮小相同的倍數”，后者取“同時擴大相同的倍數”，能把學生的理解引向深入、引向概括。
3.同中比優，促進優化。
面對相同的問題，不同的學生會產生不同的思維活動，從而產生不同的思維方法，而不同的方法是不同思維層次的體現，究竟應該選擇怎樣的方法，這就需要橫向比較，沒有比較就會固步自封。比如在探究長方形的周長時，方法有“長+長+寬+寬”，有“長×2＋寬×2，有“（長＋寬）×2”。教師應引導學生進行優劣繁簡的比較，促進學生知識理解的準確性、深刻性和概括性，實現發散思維和聚斂思維的和諧結合。
二、善用比較，提升思維品質
1.通過比較實現有效遷移，提升思維的靈活性和條理性
比如在教學《比的基本性質》時，教師可先復習商不變的規律、分數的基本性質以及除法、分數、比之間的聯系，然后引導學生大膽猜想：既然比和分數和除法之間有這么密切的關系，分數中有基本性質，除法有商不變的規律，敢不敢對比中存在某種規律進行大膽猜想？在猜想的基礎上引導學生舉例驗證，從而得出比的基本性質。
2.通過比較促進抽象概括，提升思維的抽象性和嚴密性
比如教學蘇教版五上《分數的意義》一課。為使學生建構分數的意義，教學中設計兩次比較。
師：為什么這4幅圖都可以用3/4表示？
師：比較前兩幅圖與后兩幅圖有什么不同的地方？
通過兩次比較分別讓學生明確：平均分的份數一樣，涂色的份數也一樣，就可以用同一個分數表示；單位“1”可以是單個物體或圖形，也可以是多個物體或圖形組成的一個整體。
通過比較幫助學生逐步抽象出分數的本質屬性“怎么分”和“分什么”的問題，進而概括出出“分數的意義”。這樣的比較歸納過程，是學生認識上質的飛躍，從感性到理性、逐步把握概念的本質，促進思維的深度理解和高度概括。
3.通過比較研錯糾錯，提升思維的精確性和深刻性
數學教學中，有許多知識點容易造成混淆，錯誤在所難免。為使學生能清晰地分辨知識的本質屬性，可以將錯解和正解對比，引導學生辨析反思，促進學生自主糾正。
如教學乘法分配律后，由于與乘法結合律的相互干擾，計算25×44時，錯誤極多。教學中，可呈現正解和錯解，引導學生進行“形”辨和“意”辨：25×（4+40）既有加法，又有乘法，是分配律（a+b)×c=a×c＋b×c的形式。“意”是指算理的理解：25×44表示44個25，即4個25加40個25。由此推斷前者是錯誤的。
教師可對比講評，引導學生理解各種方法的解題依據，感知方法優劣，選出適合自己的最佳解法。同時比較解法一和解法二，明確求單位“1”的問題可以方程解，也可以用除法解。比較解法二、解法三和解法四，讓學生充分理解比、分數、除法之間的內在聯系。如此多方位、多角度的比較，既有利于培養學生思維的靈活性和獨創性，又有利于知識的縱向溝通，發展思維的廣闊性和綜合性。
