開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高等數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論文，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。

第1篇

關(guān)鍵詞：極限思想；發(fā)展；符號(hào)表達(dá)

極限是高等數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用的概念，在某程度上可以說(shuō)高等數(shù)學(xué)的整個(gè)體系都建立在這一概念的基礎(chǔ)之上. 而極限思想則是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想作為一種數(shù)學(xué)思想，從其遠(yuǎn)古的思想萌芽，發(fā)展到現(xiàn)在完整的極限理論，其發(fā)展道路上布滿(mǎn)了歷代數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)、孜孜以求的奮斗足跡。也是數(shù)千年來(lái)人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過(guò)程中的一個(gè)側(cè)面反應(yīng)，亦是人類(lèi)追求真理、追求理想、創(chuàng)新求實(shí)的生動(dòng)寫(xiě)照。極限思想的產(chǎn)生與完善是社會(huì)實(shí)踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動(dòng)力，成為了近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。

極限思想是微積分學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都需要借助于極限來(lái)加以定義。 微積分則是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，要學(xué)好微積分，就應(yīng)該了解極限思想，學(xué)會(huì)用極限思想來(lái)理解這些概念，進(jìn)而把微積分學(xué)知識(shí)應(yīng)用于日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)實(shí)踐，服務(wù)于生產(chǎn)實(shí)踐的事實(shí)。但是，極限思想較為晦澀，一向被視為是一難于理解的數(shù)學(xué)概念，若在教學(xué)中，加入一些涉及極限思想的故事及發(fā)展歷程，則會(huì)有利于學(xué)生了解極限思想與微積分學(xué)之間的關(guān)系，從而加深對(duì)其概念的理解。

極限思想的發(fā)展，總數(shù)起來(lái)可認(rèn)為有三個(gè)階段：

階段一，小荷才露尖尖角，樸素極限思想的出現(xiàn)。與所有的科學(xué)思想方法相同，極限思想同樣是社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐的產(chǎn)物。追溯到古代，戰(zhàn)國(guó)時(shí)莊子與其弟子所著的《莊子》一書(shū)中的《莊子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭?！?即：若取一根一尺長(zhǎng)的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永遠(yuǎn)也不能取盡。此說(shuō)法認(rèn)為物質(zhì)是可以無(wú)限分割的，其中蘊(yùn)含了樸實(shí)的極限思想，具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值，但卻偏重于哲學(xué)的角度，與數(shù)學(xué)的聯(lián)系還沒(méi)有建立。而三世紀(jì)的劉徽的 “割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，公元五世紀(jì)祖沖之計(jì)算圓周率的方法、公元前五世紀(jì)希臘學(xué)者德漠克利特為解決不可公度問(wèn)題創(chuàng)立的“原子論”、公元前三世紀(jì)古希臘詭辯學(xué)家安提豐在求圓面積過(guò)程中提出的“窮竭法”等等問(wèn)題中，在蘊(yùn)含了最原始的樸素的極限思想的同時(shí)，開(kāi)始從數(shù)學(xué)角度思考問(wèn)題。

16世紀(jì)時(shí)，荷蘭的數(shù)學(xué)家斯泰文在三角形重心的研究中，改進(jìn)了由歐道克斯提出的“窮竭法”，借助幾何圖形的直觀性，利用極限思想考慮問(wèn)題，并在無(wú)意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”，但卻沒(méi)有脫離當(dāng)時(shí)的社會(huì)實(shí)際。

階段二，極限思想在數(shù)學(xué)上的正式提出，改善和發(fā)展階段。極限思想的進(jìn)一步發(fā)展與微積分的建立緊密相聯(lián)。16世紀(jì)的歐洲，資本主義正處于萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展。隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中出現(xiàn)了大量的問(wèn)題，只用初等數(shù)學(xué)的方法根本無(wú)法解決，例如描述和研究變速直線的過(guò)程、曲邊梯形的面積等等。這些問(wèn)題的解決需要數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，這些是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景。

當(dāng)牛頓和萊布尼茨以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分時(shí)，遇到了邏輯困難。牛頓在描述作變速運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)速率時(shí)，用路程的改變量S與時(shí)間的改變量Δt的比值ΔS/Δt表示運(yùn)動(dòng)物體的平均速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于零，該比值無(wú)限趨近于一與Δt無(wú)關(guān)的常數(shù)，該常數(shù)即物體在時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)的基本理論。在敘述瞬時(shí)速率時(shí)，他已意識(shí)到了極限概念的重要性，也想以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，初步提出了極限的直觀性定義：“如果當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí)，如果an無(wú)限接近于常數(shù)A，那么就說(shuō)an以A為極限?！钡ｎD給出的極限觀念與荷蘭斯泰文同樣也是建立在幾何直觀上的，這種直觀的定性解釋并沒(méi)有給出極限的嚴(yán)格表述，也沒(méi)有解決當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)危機(jī)，因此在此基礎(chǔ)上，同時(shí)代及后起許多數(shù)學(xué)家對(duì)極限的概念進(jìn)行了完善。

也是因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才會(huì)在那個(gè)時(shí)代受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時(shí)速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果說(shuō)是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，卻又不能把包含著Δt的項(xiàng)去掉。這就是數(shù)學(xué)史上所說(shuō)的無(wú)窮小悖論。在攻擊微積分學(xué)的大家中，英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊的攻擊最為激烈，他認(rèn)為微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。

貝克萊激烈攻擊微積分的原因有兩個(gè)，首先他要為宗教服務(wù)，其次也是因?yàn)楫?dāng)時(shí)的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，即使牛頓自己也無(wú)法清楚地解釋極限概念中的混亂。事實(shí)證明，嚴(yán)格極限的概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，既是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需求，也有認(rèn)識(shí)論上的重大意義。

階段三，極限概念的定量化和數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)階段。這階段主要指由柯西精確定義，維爾斯特拉斯用符號(hào)精確表達(dá)極限的階段。

19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無(wú)限地減小使之收斂到極限0，就說(shuō)這個(gè)變量成為無(wú)窮小”。盡管這個(gè)定義是建筑在前人工作的基礎(chǔ)上，但還是相對(duì)完整地闡述了極限概念及其理論。但是這個(gè)定義仍然欠粗糙，說(shuō)用語(yǔ)句中的“無(wú)限接近”、“要多小就有多小”等都只能給人一種模糊的直覺(jué)，并沒(méi)有徹底擺脫殘存在頭腦中的幾何直觀印象。

19世紀(jì)后半葉，德國(guó)的維爾特拉斯則提出了關(guān)于極限的純算數(shù)定義，并給出了沿用至今所用的極限的符號(hào)。

極限的定義經(jīng)過(guò)幾代人的不斷完善、嚴(yán)格，最終解決了微積分理論發(fā)展期所面臨的強(qiáng)大邏輯質(zhì)疑，給微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。也正是如此，數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)正式進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，極限的數(shù)學(xué)定義，沿用至今，成了微積分發(fā)展的重要里程碑。

極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用，這也是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。極限又是微積分的基本概念，是微積分學(xué)的直接基礎(chǔ)，也是微積分學(xué)區(qū)別于常量數(shù)學(xué)的重要工具，二者是相輔相成、密不可分的。極限思想擴(kuò)展了數(shù)學(xué)能夠分析研究的范圍，促進(jìn)了微積分的發(fā)展和完善，而微積分學(xué)在各個(gè)學(xué)科中的應(yīng)用也是源于極限思想這個(gè)堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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[3]錢(qián)佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1999：319

第2篇

一、數(shù)學(xué)知識(shí)研究

傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識(shí)。班級(jí)授課制成熟后，人們開(kāi)始同意這樣一個(gè)原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識(shí)。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)、本畢業(yè)論文由整理提供概念、命題、法則等知識(shí)是不夠的。…除此之外，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個(gè)方式是句法性地(syntactically)，另一個(gè)方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來(lái)的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無(wú)理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個(gè)論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對(duì)這三個(gè)概念含義的理解，只能通過(guò)產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識(shí)稱(chēng)為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。它是指知識(shí)從哪里來(lái)，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。

主要有三個(gè)維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒(méi)有定義或者任意一個(gè)數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問(wèn)的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動(dòng)：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究，拓寬了人們對(duì)教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是很復(fù)雜的，除了術(shù)語(yǔ)、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)。這些知識(shí)對(duì)于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會(huì)產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會(huì)有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來(lái)的，為什么要定義這個(gè)概念，怎樣定義，它會(huì)有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒(méi)有這些必要。但是，有效地?cái)?shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識(shí)還不夠。它缺少對(duì)學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過(guò)推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對(duì)有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過(guò)度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識(shí)與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜性要求更精致的框架來(lái)描述。

二、教材分析研究

有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識(shí)和知識(shí)呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識(shí)包(Knowledgepackage)是國(guó)際上較為典型的此類(lèi)研究。知識(shí)包是圍繞著一個(gè)中心概念而組織起來(lái)的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個(gè)領(lǐng)域的縱向過(guò)程。(n知識(shí)包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點(diǎn)，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以?xún)?nèi)數(shù)的加減法的知識(shí)包。在這個(gè)知識(shí)包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。

馬力平的知識(shí)包實(shí)際上是我國(guó)內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類(lèi)研究結(jié)果是教學(xué)參考書(shū)的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識(shí)，是教師對(duì)課程的分析，比對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)。它最多是教師對(duì)教學(xué)的考慮，沒(méi)有考慮師生互動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時(shí)，能夠動(dòng)員起來(lái)的知識(shí)不一定符合教學(xué)情境的需要。本畢業(yè)論文由整理提供比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動(dòng)中沒(méi)有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識(shí)就沒(méi)有了用武之地。馬力平概括出的知識(shí)包，與教師在課堂教學(xué)時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)還有一段距離，教師在教學(xué)時(shí)可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時(shí)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。

三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究

Ball開(kāi)創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)研究。她通過(guò)分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其影響。下面以Ball的一個(gè)課例來(lái)說(shuō)明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級(jí)多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問(wèn)Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過(guò)程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開(kāi)始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對(duì)，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒(méi)有配對(duì)的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動(dòng)是處理數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識(shí)的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號(hào)的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征、Betsy的配對(duì)比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋?zhuān)苿?dòng)正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問(wèn)題的方法。比如擱置Riba的說(shuō)法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來(lái)證明Sean的結(jié)論超過(guò)了三年級(jí)學(xué)生的理解能力。

Ball對(duì)這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號(hào)算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識(shí)。首先需要知道問(wèn)題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價(jià)的。其次，還要知道此問(wèn)題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者M(jìn)ei的從32里拿走l6個(gè)等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識(shí)。

通過(guò)上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)中才能得到。

四、啟示

1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是有效教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識(shí)、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識(shí)是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對(duì)特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識(shí)進(jìn)一步組織，促進(jìn)學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。

2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)知識(shí)，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級(jí)的兩位數(shù)退位減法，但是，通過(guò)對(duì)課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動(dòng)的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價(jià)、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價(jià)的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進(jìn)學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實(shí)，數(shù)學(xué)專(zhuān)家參與的教研活動(dòng)，能提升課堂教學(xué)的有效性。

3．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)存在一定的結(jié)構(gòu)。首先是學(xué)生理解的知識(shí)。像Ball的課例所展示的，學(xué)生對(duì)退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識(shí)是教師教學(xué)的起點(diǎn)。以學(xué)生已有的知識(shí)為起點(diǎn)自下而上的講授使知識(shí)加以擴(kuò)充，把新知識(shí)與學(xué)生已經(jīng)構(gòu)成內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)的概念和方法聯(lián)系起來(lái)，這是提高教學(xué)效率的奧妙；其次是教學(xué)策略。像Ball的課例所展示的，學(xué)生的理解各種各樣，需要教師使用相應(yīng)的策略來(lái)控制課堂討論，協(xié)調(diào)不同的方法，促進(jìn)正確的方法發(fā)展，擱置有問(wèn)題的方法，這是提高課堂教學(xué)效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識(shí)。教師需要提供線索和解釋?zhuān)C正學(xué)生的誤解，促進(jìn)學(xué)生自我評(píng)價(jià)的參與，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步精簡(jiǎn)合理化知識(shí)；第四，課程知識(shí)。像馬力平的知識(shí)包概念所揭示的，特定課題呈現(xiàn)的最佳序列，它的來(lái)龍去脈及與其它學(xué)科的橫向聯(lián)系，是教師用來(lái)教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門(mén)學(xué)科各知識(shí)點(diǎn)的固著關(guān)系及其潛在距離，構(gòu)建適合學(xué)生特點(diǎn)的、具有合適梯度的結(jié)構(gòu)序列，是提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)；最后是教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行精簡(jiǎn)合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解、信念數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論以及對(duì)特定學(xué)生最有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)的判斷。當(dāng)然，這些成分是從不同的維度來(lái)說(shuō)明教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的屬性，它們之間的關(guān)系及提高課題教學(xué)效率的機(jī)制還需從課堂教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)進(jìn)一步的概念化。超級(jí)秘書(shū)網(wǎng)