時間：2022-12-16 19:47:52
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學例題教學，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
例題教學是初中數學課堂教學的重要環節。不但為學生提供解決數學問題的范例，揭示數學方法，規范思考過程，而且為其數學方法體系的構建提供了基石。那么，如何進行初中數學的例題教學呢？
一、初中數學例題的作用和地位
例題在教材中所占的地位是由它的功能與作用所決定的.數學教材是由數學知識、例題、習題三個有機部分所組成，例題在教材中具有替代的結構性和作用。
例題的作用，主要體現在以下兩個方面：
1、從結構上看，例題是把知識、技能、思想和方法聯系起來的一條紐帶。
知識的價值，技能的操作、思想與方法的作用都是通過例題來體現的。例題的講解與示范是教學中傳授知識，培養技能必不可少的一個環節。學習知識的最終目的是要轉化為能力，例題作為學以致用的重要環節，在教學過程中擔負著把知識轉化為能力的重要使命，這是它的首要作用。
2、從功能上看，教學例題具有知識功能、教育功能、發展功能與示范功能。
在教學過程中，主要是通過例題和習題，使學生獲得系統的數學知識，形成必要的數學技能技巧。例題的思路分析、解題方法與書寫格式幫學生掌握分析的方法，了解書寫格式與規范，熟悉適用的解題方法，使學生在思想上和行為上都受到數學熏陶，對學生的思維及解題行為起著潛移默化的作用，啟迪學生掌握解各類數學問題的鑰匙，通過數學例題，還可以向學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。
二、初中數學例題教學的策略
1、恰當選題，幫助學生減負增效
例題選擇恰當與否，直接關系著學生對知識的理解和掌握，切不可盲目選擇例題進行“滿堂灌”。例題的選擇不能過多、過雜、過難，必須要有一定的基礎性和代表性，遵循從易到難。恰當選擇例題，不能一味追求解題的難度和技巧，要選擇典型的，能體現現階段教學目標，能蘊含數學基本思想和方法的例題，必要時可以根據學生的實際情況更換課本例題或補充課外例題。另外，例題的精選能在很大程度上避免“題海戰”，使學生減負增效，提高教學的有效性。一般說，填空題重概念辨析，選擇題重方法，解答題重思維，證明題重演繹，綜合題重邏輯。教師應根據不同的教學目的而選擇不同的題型，使學生從不同的途徑和角度去加深理解并鞏固知識。
2、例題教學需懂得逐層遞進。
初中數學例題教學，首先是要讓學生能夠聽懂教師教學所講的內容，只有當學生聽懂之后，學生才能夠接受知識進行消化，也就是所謂的逐層遞進。想要做到這一點，教師需要從兩個方面入手：其一，將例題吃透，也就是抓住例題本質，懂得將前后知識點相互的結合在一起，對于難易程度也能夠了熟于心；其二，將學生吃透，掌握學生知識水平與理解能力，能夠針對學生不同的年齡段而給予不同的解題技巧教學。如果部分例題難度較大，學生很難接受，就需要教師進行鋪路搭橋，將難度降低到適合學生的高度，也就是要讓學生懂得這一題就像樹上的桃子，伸伸手不一定能夠碰得到，但是如果自己跳一下，就能夠將桃子摘下來。
3、講解到位，全面呈現發現過程
數學教學不僅僅要讓學生看到數學結果，最重要的是讓學生看到數學結果是如何獲得的。學習解題最好的途徑是學生自己發現，倘若教師沒有全面呈現解法的發現過程，學生通常只知其然，而不知其所以然，解題時只能機械地模仿。“授之以魚不如授之以漁”，例題講解要重視思維過程的指導，要全面呈現發現過程，暴露如何想，揭示怎樣做。例如解題的關鍵條件是什么？解法是如何想到的？思路是怎樣打通的？如果出現解題困難，是否需要重新審視條件和結論，該引發什么新的思考，思維上的差距何在，等等。某些特殊情況下，教師還應“稚化”自己的思維，有意識地退回到與學生相仿的思維態勢，或者假裝遭受挫折，一籌莫展，讓學生獨立分析原因再繼續探索等等。
4、拓展例題的知識范圍，觸類旁通，舉一反三
有的例題僅僅針對一個知識點，解決一個問題，但在實際教學時有時可能會根據實際情況，需要“借題發揮”，對例題的知識范圍進行拓展。例如在學習方程、不等式和函數知識，如何理解三者之間的關系，可以結合具體的例題，配合圖像讓學生理解函數的對應的本質，函數是整個過程中的對應，不等式是某個范圍內的對應，而方程式是某個瞬間的對應，加深學生對三者之間的關系的理解。
5、錯題辨析、改正
在教學中我們發現講解題目的正確解法有時達不到教學目的，因為學生不知道自己為什么錯，錯在哪里，無法對癥下藥。錯誤是正確的先導，正如哲學家波普爾所說：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素”。課堂例題教學時，根據學生學習過程中會感到疑難或者易發生認知偏差的問題，設置錯題辨析、改正，讓學生發現錯解及產生錯解的原因，從錯題中體會到知識的關鍵點和易錯點，辨析出知識的異同，加深對知識的理解，讓學生經歷“數學化”和“再創造”的過程，找到正確的解法和結論，有效地知錯、改錯、防錯
鑒于此，本人認為在小學數學例題教學中可以從以下幾個方面著手：
一、將例題生活情景化
生活是數學的源泉，數學知識的獲得離不開生活。倘若將例題轉變生活情景，不僅可以激發學生的參與熱情，還能發揮學生的創新意識和創造能力。例如，教學兩位數加兩位數（進位加）時，我先復習百以內的進位加法，如：27+41=？接著學習例題56+18=?我結合生活實際設計了學生喜歡的玩具圖片并展示在黑板上：小汽車28元，飛機56元，手槍5元，狗熊34元，洋娃娃25元。先讓學生提出加法問題，并嘗試計算，接著請學生對列出的算式進行分類，抽取其中進位加法一例展開討論，思考算法，哪種方法最簡便。這樣把學習內容融入生活情景中，不但激發了學生的學習興趣，還調動了學習的積極性和主動性。
二、讓學生動手，在實踐中獲得知識
學生的積極思維往往是由問題開始，又在解決問題的過程中得到發展。
教師若能結合例題特征，把問題拓展、加深、變活，便可獲得良好的效果。如：在教學長方形的周長時，引導學生動手測量教室、課桌面和數學書四周的長度，引出周長的概念和計算方法。通過學生親手實踐，發現規律，從而獲取新知。
三、拓展例題，培養思維能力
拓展是指例題教學后，教師引導學生通過對例題的回問，巧妙地改變問題、情節和方法，組織變式練習。數學的各知識點間是相互依存、不斷變化的。只有把課本知識融會貫通，拓展延伸，才會增強學生思維的發散性和創造性。
四、細讀教材，總結規律，培養自學能力
【摘 要】初中數學的例題及習題是把數學理論、數學思維及數學方法鏈接在一起的重要紐帶。隨著新課程改革的不斷深入，初中數學例題及習題的教學也取得了一系列的實質性成果。文章就如何充分挖例題及習題的教學優勢，以有效提升初中數學教學質量，從三大方面進行了粗淺探討。
【關鍵詞】初中數學 例題及習題 教學策略
例題及習題是初中數學課堂教學的重要環節之一。學生對于數學理論、數學思維及數學方法等知識的掌握離不開教師對相關例題及習題的解析。當前，隨著新課程改革的不斷深入，初中數學例題及習題的教學也取得了一系列的實質性成果。下面筆者結合多年教學經驗，就如何充分挖例題及習題的教學優勢，有效提升初中數學教學質量M行探討。
一、結合實際情況，選擇難度適中的例題及習題
初中數學教材所選的例題及習題雖然都是經過嚴格精選的，基本符合普通學生的智力發育水平，但結合筆者多年的教學實踐來看，因學生學習接受能力不同，同樣的教材內所得到的教學效果也不盡相同。如一些班級中大部分學生的數學基礎較差，那么教材內容中所涉及的例題內容有可能就會超出其一段時間內的知識接受范圍；反之，學生則會感覺例題內容相對簡單。因此，教師在進行日常的例題、習題教學時，要從學生的角度出發，合理選擇例題內容，并以學生以往課堂知識的學習反饋為依據，對例題內容進行適當選擇，切忌不顧實際地將教師自身的理念和主觀意識強加于學生。
一般而言，數學中針對一個知識點的例題會有兩三個，且其知識側重點和學習難度均不一樣。對此，教師可以根據大多數學生的實際學習情況進行合理挑選：一道簡單的例題要緊扣基礎知識，以兼顧各方面學習基礎的學生，一道難度較大的例題，起到一定的拔高作用。同時，在習題布置尤其是隨堂習題的布置方面，也要針對性地選擇。
對學生而言，要打下良好的數學基礎，一定的習題練習量是必需的。但相對于隨堂練習時間而言，每個知識章節后面的練習題量很大，且其中有相當部分習題是同類型的。因此，在隨堂練習中，教師同樣要結合學生的實際聽課情況，尤其要根據重點和難點來布置課后習題，盡可能地貼近考試題型，力求做到每道習題都具有一定的典型性、代表性，從而提高學生的課堂練習質量和效率。
二、掌握教學技巧，用好用活例題及習題
數學知識千變萬化，題型也千差萬別，但萬變不離其宗，無論如何變化，其都要遵循著一定的原理。從歷年中考試題來看，絕大部分題目源于教材的例題和習題，即使是綜合題也大多是課本例習題的組合、加工與拓展。可見教材的例題及習題具有明顯的基礎和示范作用。因此教師在平時的數學教學中，要立足于教材，采取多種教學手段，用好用活例題及習題，切實做課程理念倡導的“從教教材，到用教材”。
比如，可以在教學過程中將學生熟悉的事物融入于例題及習題課堂教學當中，讓學生在趣味性的教學過程中增強學習興趣，開拓數學思維。如在教學人教版七年級上冊《有理數的乘法》時，教師可先利用多媒體設備播放一系列反映水位上升及下降的短片，激發學生的學習興趣，再將學生引入相關教學情境。教師將水位下降計為負，水位上升計為正，以此將有理數的乘法概念帶入到生活化的教學場景中，再設計一系列問題：以每小時水位下降2米的速度將游泳池中的水排出，2小時后水位下降多少米？以每小時水位上漲2米的速度往游泳池中放水，2小時后水位上漲多少米？此類生活化的例題，不但能大大激發學生的學習興趣，還使學生在類似的反復鍛煉過程中掌握了解題規律，從而將該規律靈活運用在其他題目的解題過程中。
又如，加強變式教學，一題多解，以一推百。筆者在教學中發現，很多學生在日常的習題訓練中思維比較僵化，往往只習慣于套用教材例題的固定模式來進行解題分析，不利于提高解題效率。對此，教師可通過變式教學對學生進行引導，使學生學會對一個定義或問題舉一反三。以人教版七年級下冊《三角形》知識體系為例，此類知識基本上以三角形的內角和來出題。學生在練習中對于一般的題型能很好地解出答案，但在題型變化情況下往往無從下手。對此，筆者在課堂上使用了變式教學法對學生進行引導：“已知三角形的內角和是180°，誰能舉出幾種方法進行求證呢？”學生經過思考得到如下幾種答案：（1）借助量角器等幾何工具進行測量，通過對三角形內角的測量，學生很快得出了三角形的內角和；（2）學生親自動手將三角形的內角進行剪切再組合拼接，發現三角形的內角組合在一起正好是一個平角；（3）通過圖形的變形推算，學生將四個角都是直角的四邊形進行對折，再根據圖形進行推理，可以得到三角形的內角和為180°。如此通過變式引導，既讓學生的思維得到了進一步拓展，又讓學生學會了在今后的學習中可利用各種方法進行求證，提高了學生的做題速度，降低了錯誤率。
此外，教師還應該重視課堂上的例題解答過程和做完習題之后的總結概括，以充分發揮課堂習題對學生知識點掌握的強化作用。以人教版七年級下冊《不等式的性質》為例，其中例l為：“利用不等式的性質解下列不等式：（1）x-726；（2）-4x3.”在學生對不等式性質及概念有了了解后，可通過如下訓練對該知識點進行強化：（1）若ab，則3a__3b，-2a__-2b；（2）若xy，則ayax中的a應滿足___，若xy，則axay中的a應滿足____。如上習題的設置均為由淺入深，層層遞進，符合數學教學由簡到難的學習步驟，既讓學生參與到了思考解題的過程中，又培養了學生舉一反三的能力。
三、創造性地使用教材，積極開發例題及習題活動素材
《義務教育數學課程標準》提出：“讓學生獲得廣泛的數學活動經驗。”在初中數學教學中，教師要從這一要求出發，在尊重理解教材的基礎上，結合教學目標及學生實際情況，創造性地使用教材，積極開發例題及習題活動素材，以激發學生的數學學習興趣，提高學生課堂參與度。
以人教版九年級上冊《圓》的教學為例，教師在進行例題解析時，若只一味地進行例題講解，學生往往覺得枯燥乏味。因此，教師可以多多挖掘例題中隱藏的一些趣味性，如讓學生發揮想象，探討三角形、方形或橢圓形的車輪會發生的各種怪異情形來了解車輪為圓形的原因，激發學生學習圓的興趣，同時還可以讓學生動手操作，制作車輪等圓形的物體，并標出圓心、半徑和周長等。如此生動活潑的課堂教學，不僅符合初中學生的心理，還培養了學生的動手能力。
又如，將一枚一元硬幣放在同樣大小的另一枚硬幣上，無滑動地滾動一周，問學生該硬幣自轉了幾周，并讓學生通過獨立動手嘗試找出答案。學生給出回答：“因兩枚硬幣周長相等，故自轉了一周。”教師繼續提問是否有不同答案。有學生回答兩圈，原因是前面回答的學生只關注硬幣本身轉了幾圈，沒有關注周長是否相等。通過數學實驗很容易解決此題。問題到此，教師還應做一步深化：“我們再來看這樣一個問題。如圖1，一個半徑為1的圓，在邊長為2π的等邊三角形的邊上滾動一周后回到起點，則這個圓自轉了幾周？”有學生很快回答3周。但有學生發現在三個頂點處是需要拐個彎過來的，因此肯定超過3周，繼續深入發現三個頂點處都拐了120°，因此自轉了4周……
通過如上的活動教學，教師引導學生發現本質：不論在平面還是曲面上，圓滾動后自轉幾周的問題，其實就是看圓自身前進的距離等于幾個周長，因此關鍵是看圓心，圓心走的距離就是圓前進的距離。如此，學生既對所學知識有了深刻的認識，又在活動教學中體驗到了探究的過程及方法，大大促進了學生生成性知識的形成。
總之，初中數學的例題及習題教學對于提高學生的數學學習能力，提升數學教學效果有積極意義。在今后的教學中，我們應繼續加強這方面的探索和研究，不斷總結經驗并反思，以期更好地發揮出例題及習題教學的教學優勢，打造初中數學高效課堂。
【參考文獻】
[1]王雨.初中數學例題教學和習題教學的研究[J].新課程導學，2015（35）：89.
例題教學的主要任務是使學生能通過具體例題的教學理解和鞏固數學基礎知識，形成數學的基本技能，把數學理論與實踐相結合，掌握數學基礎知識理論的用途和方法，從而達到提高分析問題和解決問題的能力. 所以，在例題教學之前，必須明確例題的任務：具體體現了哪些基礎，用來解決怎樣的實際問題，用怎樣的數學方法等.
二、弄清例題的類型和功能
數學教材中的例題按功能來分，無非有兩大類：一類是引入新知識的實際問題或具體事例，另一類是為加深對概念、命題的理解和鞏固，熟悉其用途和用法的. 對于不同類型的例題，要選擇適當的教法. 前一類例題內容較簡單，為了引入新概念，大都是用學生較熟悉或易于理解，易于接受的生活實例，這類例題大都給學生以感性材料，如平行線的教學中，引用鐵道上某一段的兩條鐵軌、黑板的兩組對邊等，通過具體事例引申到的數學理論. 后一類例題在中學數學教材中占有很大的比重，教學時，一般都在學生接受了數學的基本概念、原理后出示，所以必須在講解例題前點明例題的意義和作用，以激發學生的積極性，使學生在心里覺得學習了基礎還可以解決某一類問題，然后引導學生去分析“已知”和“未知”，以分析法為主為學生尋求解題思路，以綜合法為主表述解題過程，因而在進行該類型例題的教學時，應注意以下幾點：
1. 例題特點
基礎知識和教材中的例題是有機的結合，對于多個例題的章節，一般都是從具體到抽象，從特殊到一般，從易到難，從單一性到綜合性，所以為了加強例題教學的針對性，發揮教材所提供該例題的典型示范作用，教學時必須深挖例題的特點，是屬于加深理解和鞏固新知的，還是用來闡明新知的用途和用法的，或是為學生形成解題基本技巧，解題方法等，這樣才能使學生在學習完例題后，深知這一例題的目的何在，才能使學生明確例題與習題的關系，才易于著手下筆.
2. 注意習題的類化作用
教材中引用例題的目的，絕不是為了使學生會做例題，會做習題，而是使學生通過學習一個例題而知一類習題，由一個題的思路、解法而知這一類題的思路和解法. 因此，在加強例題教學的同時，或在例題講解完之后，向學生進行歸納總結這一類問題的思路、解法、技巧等，這樣學生學完一個例題后就能夠舉一反三，觸類旁通，從而達到由“不會”到“學會”，再由“學會”到“學活”.
3. 強化例題的應用
總結了例題的類化后，還必須附加一些鞏固習題進行強化訓練，在練習中，還要強調例題與習題的關系，強化后，對原題的條件或結論做適當的改變，然后去學會變化這一類題的解法，這樣，既可以不至于使學生機械地套用例題，又可以提高學生對例題的靈活性，也拓寬了某一個例題的范圍，從而提高學生解題的技巧性和靈活性.
關鍵詞：初中數學；教學現狀；具體策略
現有初中數學教材中，例題教學是幫助學生將課本知識高效轉化為現實應用的一個媒介。因此，教師需要在實際課堂教學活動中充分發揮例題教學的功能，使初中生可以借助例題解析教材中抽象的數學知識，進而全面提升自我數學學習能力。
一、初中數學例題教學現狀
（一）初中數學例題缺乏針對性
眾所周知，數學教材中例題的主要功能是導入數學概念，幫助學生解析例題中隱含的數學條件，分析學習重點，相同數學題目中也可能存在完全不同的解題思路。因此，初中數學例題教學內容的選擇必須要具備針對性。但是從現階段初中數學例題教學的實際發展情況來看，大部分教師在選擇例題過程中嚴重缺乏針對性。所選的數學例題沒有側重突出學習重點，無法培養學生的數學解題概念，學生也不理解例題中隱含的數學條件，進而導致數學教學質量嚴重下滑。
（二）初中數學例題應用存在不足
初中數學課堂教學需要以學生為學習主體，教師作為課堂教學的組織者與引導者。有效利用數學例題可以增進師生間的情感關系，對強化初中生自主學習能力具有較大幫助。但是當下大部分初中數學教師對例題教學的應用存在不足，課堂教學手法過于單一，只是一味地講述教材中的數學概念，或者是運用簡單的數學例題將重要的數學概念一筆帶過。數學教師此種數學例題應用不足的問題，若是不能及時進行解決，必定會嚴重影響學生的數學學習。
二、初中數學例題有效教學的具體策略
（一）強化數學例題的應用性
人教版初中數學教材中例題素材，全部來自于現實生活。教師在實際開展數學例題教學過程中，需要及時認清例題教學的本質。通過不斷加強其與學生現實生活的聯系，在實際教學過程中有效滲透相關生活實例，強化例題教學趣味性的同時，進一步激發學生的學習興趣。
如，教師在教學人教版初中七年級上冊數學“正數與負數”這一課時，負數是一個比較抽象的概念，為了讓學生比較容易理解負數，數學例題從學生的生活實際出發，有效強化學生的學習理解。如，以班級中籃球比賽為例，在上半場籃球比賽中本班同學共計贏球6個，在下半場時贏球4個，比賽結束后共計贏球10個；而在與其他班級進行比賽的過程中，本班學生在上半場輸球6個，下半場贏球3個，比賽結束后共計輸球3個。教師此時需要引導學生將兩場比賽的贏輸球運用“+”“-”進行表示。學生在討論后得出列式為（+6）+（+4）=+10，（-6）+（+3）=-3。此種借助數學實際案例進行形象展示正數與負數概念，有效激發學生學習興趣的同時，進一步使學生深刻體會數學知識與現實生活間的關聯。
（二）以生為本，因材施教
初中數學教師在實際開展課堂教學工作前，需要深入了解班級中學生的實際學習情況及學習基礎。只有充分掌握學生的學習情況，結合學生的學習興趣，才能有效創設激發學生學習興趣的學習情景，進而充分提高課堂教學質量，開展例題教學活動也是同樣的道理。在實際開展例題教學時，教師需要站在學生的視角分析數學知識，盡可能避免將自我主觀學習感受強加到學生的學習思維上，進而嚴重導致課堂教學效率的低下。
例如，教師在教學人教版八年級下“平行四邊形的判定”這一課時。
已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，求證：BE=DF。
若是想要證明BE=DF，可以證明兩個三角形全等，也可以證明？四邊形BEDF是平行四邊形，在進行比較方法后，學生得出簡單方法。
證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD∥CB，AD=CD， E、F分別是AD、BC的中點，DE∥BF，且DE=21AD，BF=21BC。
DE=BF，四邊形BEDF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形）。BE=DF。
此題綜合運用了平行四邊形的性質和判定，先運用平行四邊形的性質得到判定另一個四邊形是平行四邊形的條件，再應用平行四邊形的性質得出結論；題目雖不復雜，但層次有三，且利用知識較多，在學生樹立清晰的證明思路的同時，進一步深化學生的學習印象。
再如，在下列給出的l件中，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ ）。
A.AB∥CD，AD=BC
B.∠A=∠B，∠C=∠D
C.AB=CD，AD=BC
D.AB=AD，CB=CD
通過有效教學數學例題，旨在讓學生可以充分掌握平行四邊形的第三種判定方法和綜合運用平行四邊形的判定方法和性質來解決問題。同時適當給學生補充一些題目，進而全面培養學生分析問題，尋找最佳解題途徑的能力。
綜上所述，初中數學教師在實際開展例題教學過程中，需要事先對例題進行充分的分析與利用，結合班級中學生的實際學習情況，自主創新例題教學模式。通過有效激發學生的學習興趣，引導學生參與到學習活動中，進而全面激發學生的學習潛能，從根本上提高課堂教學質量與效率。
參考文獻：
【關鍵詞】高中數學；例題教學；策略
我們常有這樣的困惑：不僅是講了，而且是講了多遍，可是學生的解題能力就是得不到提高！也常聽見學生這樣的埋怨：鞏固題做了千萬遍，數學成績卻遲遲得不到提高！誠然，出現上述情況涉及方方面面，但其中的例題教學值得反思，例題是教材的重要組成部分，這些例題是編者從茫茫題海中經過反復篩選、精心選擇出來的，是學生掌握雙基的重要來源，也是教師傳授知識的紐帶，它蘊含著豐富的教學功能，處理好例題的教學，對教學質量大面積的提高、學生智力的發展、思維品質的培養都是至關重要.然而很多時候只是例題繼例題，因而學生的學習也就停留在例題表層，出現上述情況也就不奇怪了。
事實上，解后反思是一個知識小結、方法提煉的過程；是一個吸取教訓、逐步提高的過程；是一個收獲希望的過程。從這個角度上講，例題教學的解后反思應該成為例題教學的一個重要內容。本文擬從以下三個方面作些探究。
一、引申拓廣，培養數學思維的發散性
教學中，若對一些典型的例、習題進行變式處理，如改變原題的條件、結論、方法或逆向思維、反例分析等，即可以在演變多解過程中，使得學生在知識及方法的縱橫方向分別得以拓廣和延伸，培養學生的發散性思維。
例1數學必修⑷P122第3題證明：對任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2） （1）
對于⑴式能否有更深刻的變化呢？將不等式⑴字母分別排序，得（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2 （5）
通過分析知道，可以按字母增加的方向演變。
[變4]設a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，
求證：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2 （6）
此時，利用學生的連續思維所產生的思維慣性，教師因勢利導，把問題推廣。
推廣 設ai，bi∈R（i=1，2……n），則
（a12+a22+……+an2）（b12+b22+……+bn2）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2
（當且僅當ai=kbi時，取“=”號）
這是一個重要的定理，叫柯西不等式。不等式（5）、（6）即柯西不等式當n=2和n=3時的特例。
如此層層推進，使結論更加完美，更具有普遍性。
上述對原題從不同角度進行演變和多解，這樣從一題多變到一題多解，使知識橫向聯系，縱向深入，拓寬了學生的思路，培養了學生的發散思維。
二、揭示規律，培養思維的深刻性
善于作解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的。
例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6；求周長。我們可以將此例題進行一題多變。
變式1 已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。（這是考查逆向思維能力）
變式2 已等腰三角形一邊長為4；另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）
變式3已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養學生思維嚴密性）
變式4 已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。
變式5 已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14。請先寫出二者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出二者的圖象。
通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成思維定勢，而又打破思維定勢；有利于培養思維的變通性和深刻性。
三、聯想轉化，促進知識的遷移
方程sinx=lgx的解有（ ）個。（A）1（B）2（C）3（D）4
學生習慣于通過解方程求解，而此方程無法求解常令學生手足無進。若能運用靈活的思維換一個角度思考：此題的本質為求方程組y=sinxy=lgx的公共解。運用數形結合思想轉化為求函數圖家交點問題，尋求幾何性質與代數方程之間的內在聯系。通過知識串聯、橫向溝通牢牢抓住事物的本質，在思維深刻性的基礎上，思維靈活性才有了用武之地。
綜上所述，課本是教學之本，深挖教材的潛力，充分發揮教材的自身作用，處理好課本例、習題的教學十分重要.立足課本，對課本典型例、習題進行演變、探究、引申、拓廣、應用，由點到面，由題及類，解剖一例，帶活一串，注意數學思想方法的滲透，這樣教學，深化了基礎知識，培養了思維品質，發展了思維能力，這正是我們所要追求的目標。
【參考文獻】
一、例題的選擇必須能實現課堂教學目標
每一堂課都有一個明確的教學目標，例題的選取自然離不開這一目標。圍繞教學目標，精選例題，合理安排，才能使學生更好地掌握所學知識。教師制訂教學目標，必須緊扣教學大綱，加強學生解決實際問題的能力，使之形成創新意識，促進情感、價值觀的養成，例題的選擇要時刻體現這一點。例如：高中數學中的解析幾何教學，許多教師選擇的例題都是系數簡單或者湊好的整數，這樣運算起來一是方便，二又省時，但課后常常發現學生的作業很不理想。教師都知道，解析幾何相對來講運算量大，學生容易算錯，有的時候還會喪失信心。所以，在解析幾何教學中，可以多些復雜計算，以在提高學生計算能力的同時，培養學生的毅力和勇氣。
二、例題的選取要依據學生的認知水平
教師在教學的過程中，應把學生的現有認知水平作為教學的基本出發點，對教材進行創造性的處理，積極引導、適時點撥，培養學生科學的精神和科學的態度，逐漸掌握基本的科學方法，從而促進學生的思維發散，提高學生的創新意識和創新能力。學生的知識結構和認知水平是有巨大差異的，同一地區不同學校有差異，同一學校不同班級也有差異。教師要充分掌握所教班級的情況，例題的講解要能使決大部分學生理解、掌握。也可以對例題進行組合，或階梯式地對難點進行分解。運用題組教學，可以幫助學生正確理解定義，突破教學難點，尋找解題規律，構建知識網絡。
例如：在講解映射的定義時，教師可以運用如下題組，讓學生思考和練習。試觀察下列從集合到集合的對應法則：
（1）A={30°，45°，60°，90°}，B={■，■，■，1}對應法則：求正弦。
（2）A={1，2，3，-1，-2，-3}，B={1，4，9}，對應法則：求平方。
（3）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，對應法則：乘以2。
（4）A={x|x∈且x≠0}，B=Q，對應法則：f：xy=■。
通過思考和提示，教師可提問學生這些從集合A到集合B的對應法則有何共同點，讓學生歸納總結，從而正確理解映射的定義。
三、例題必須具有代表性與典型性
例題是在課堂上講解給學生聽的，課堂時間有限，就必須要求例題少而精，一道例題要代表一類問題，解題方法具有廣泛性，稱得上是通法。學生通過這一個例題，聯想到一系列相似問題，并能較好地利用通法解決。例如：已知圓的方程是x2+y2=r2（r>0），求經過圓上一點M（x0，y0）的切線方程。在解析幾何中，直線與圓的位置關系屬于典型試題。教師在講解時一般有兩種方法：1.通過切線與垂直關系先求切線斜率。2.通過圓心到切線距離等于半徑立方程求斜率。兩種方法都具有代表性，都用到了幾何性質。但后者更具廣泛性，若求過圓外一點的切線，或有關直線與圓相交相離問題，第一種方法就不適用了。
四、題目追求簡潔，盡量用數學語言，不冗長，無歧義
愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”數學例題自然要有數學特色，新編數學教科書更新了傳統內容的講法和部分數學語言，例如比較廣泛地使用集合語言、邏輯聯結詞、國家標準計量符號。在高中階段，學生將接觸很多的數學符號，把題目條件或命題結論都可以用數學的符號語言表示，這也是課程標準提出的要求。所以，例題的給出要使學生不經意間感受到數學的簡潔美，培養學生的數學修養。同時，冗長、繁復的題目會影響學生的理解，體現不出數學的美，降低學生學習數學的興趣。
五、背景要貼近生活
問題來源生活，把實際問題轉化為數學問題，學生就會對數學產生興趣。重視數學知識的應用，是近年來數學教改的一個熱點，也是課程標準強調的重點之一，新編教材在加強用數學的意識方面也做了改進，理論聯系實際是編寫教材的重要原則之一。而聯系實際的目的就是為了使學生更好地掌握基礎知識，增強用數學的意識，培養分析問題和解決問題的能力。新編教材把培養學生用數學的意識貫穿在教材編寫的始終，教材的正文一般都注意從實際引入概念，從實際提出問題，例題、習題中增加了一些聯系實際的內容，例如數列中聯系經濟生活中的儲蓄，函數中聯系增長率的變化，直線和圓的方程中增加線性規劃初步知識，圓錐曲線中聯系行星、衛星運行軌道等。概率本身就是與實際問題聯系非常密切的內容。各章的章頭圖或閱讀材料中，也注意提供有實際背景的問題。教材中還注意把數學知識應用到相關學科和生活、生產實際中去，引導學生在解決實際問題過程中提高分析問題和解決問題的能力。但并不是要一味地讓學生做應用題，適當地穿插有實際背景的例題，會活躍整個課堂教學氣氛。
六、處理好書本例題與課外例題的關系
我們要充分、科學地利用課本例題，為學生創設有益于發展的探究情境，并對課本例題進行適當的提升，推廣。例如，已知：如圖四邊形ABCD是空間四邊形（四個頂點不共面的四邊形），E、H分別是AB、AD的中點，F、G分別是邊CB、CD上的點，■=■=■，求證：四邊形EFGH是梯形。如果按課本例題的顯性內容就題講題，也似乎能完成學習任務，甚至有的人認為這道題過于簡單而忽略處理。這種做法是不恰當的。這是由于有些教材上的例、習題，看似平淡無奇，仔細琢磨卻蘊涵著豐富的教學、教育價值。教師若能結合學生認知水平的實際，對課本的例題、習題加以科學、創造性的利用，則會對學生的思維發展、獨立建構認知結構能力的提高均有益處，這道例題就具有相當豐富的教學、教育價值。其次，現在的課堂教學任務已不是以講得是否清楚為標準，而是以對學生的探究學習能力以及創新能力的形成與提高是否有幫助為標準。簡單地處理例題，不利于學生思維的發展和能力的提高。就題論題的簡單處理，學生解決問題的能力只局限于這一道題的解決。
若再遇到類似于“已知四邊形ABCD是空間四邊形（四個頂點不共面的四邊形），E、H分別是AB、AD的三等份點，F、G分別是邊CB、CD上的點，■=■=■，求證EF、GH、AC交于一點”的題，大部分學生還是需要進行“從猿到猴”的審題，甚至學習能力差的學生還會對此題束手無策。若遇到類似抽象一點，如“E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD各邊上的一點，若EF、GH交于一點P，求點P”的題目與類似開放性較強“E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD各邊上的一點，則在什么條件下，有EG=FH成立”的題目，大部分學生仍覺得束手無策。
例題（人教版選修2-1第41頁例2） 如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作軸x的垂線段PD，D為垂足. 當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？
背景：本例安排在課本上的“橢圓及其標準方程”一節，前一例是用橢圓的定義和待定系數法求解橢圓的標準方程. 本例繼續探討求橢圓的標準方程和橢圓與圓之間的關系.
一、講“到”目標
每一個數學例題在選取或設計時都應有與其功能相匹配的目標游離于既定教學目標之外的例題教學是不可取的. 因此，教師講好例題要緊扣目標. 有些例題的目標是顯性的，但有些例題的目標是隱性的，并不清楚或明顯，需要教師給予解讀，將隱性目標顯性化，最好就是對目標給予說明，這樣學生就會有針對性和重點地參與例題的教學. 對例題目標給予說明往往在展示例題之時，并且很簡短. 教師的語言類似于如下：接下來，為了……，我們一起來看這樣一個問題；下面，我們一起來解決這些例題，通過這些例題，同學們要理解（掌握）……由此看出，教師對例題的目標的“講到”，并非多講，只需點到、提到即可.
【案例片段1】
師：同學們，通過例1我們知道了求橢圓的標準方程的關鍵是要求a，b，c三者之二，一般采用待定系數法來求.但是，有些情形我們并不知道所求的曲線方程就是橢圓的方程，就不能用這種方法.此時，我們就要先求出曲線方程，如果能化為橢圓的標準方程，那么我們可以再來斷定這個曲線就是橢圓，下面，我們來看看這樣的情形.
（展示新例題，開展本例教學）
點評：在總結上例的基礎上，教師講到了學習下例的目標，自然過渡到了下例的學習.學生對接下來要做的事情有方向感，會自覺地關注求曲線的方程的方法和進一步認識橢圓的標準方程.
二、講“清”題意
順利解決例題的第一步是理清題意，即通常所說的審題. 通常的時機就是在給出例題之后的最短時間內，教師要面對全體，引導學生思考并講清題意. 這里的“講”就包括教師的“講”和學生的“講”，而所謂“清”，即清楚、清晰而不含混. 講清的要點包含：（1）題目的條件是什么，一共有幾個，其數學含義如何；（2）題目的結論是什么，一共有幾個，其數學含義如何；（3）題目的條件與結論有哪些數學聯系，是一種什么樣的結構. [3]
【案例片段2】
教師引導學生講清例題題意：
師：同學們首先看看這道例題的內容. 都來說說已知條件有幾個？哪幾個？所求結論是什么？
生：例中已知條件有4個，分別是：圓的方程x2+y2=4；點P在圓上，且為動點；線段PD垂直于x軸；M是線段PD的中點.
（在學生講已知條件的過程中，教師輔以幾何畫板作圖，呈現圖形的構成過程）
生：所求的是“當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？”
師：如果求出了點M的軌跡方程，那么能不能得到結論？
生：能.
師：“點M的軌跡是什么”和“為什么”，這兩個問題的本質是一個，即按照嚴格的方法，求出點M的軌跡方程，根據方程判斷軌跡. 根據圖形，同學們能不能猜猜點M的軌跡是什么呢？
生：是橢圓. （教師通過幾何畫板動畫演示，發現點的軌跡就是橢圓）
師：點M的軌跡就是橢圓. 但是為什么是橢圓呢？我們必須要嚴格地推證它是橢圓. 因此，需要求出該曲線的方程，并判斷它是否是橢圓的標準方程，對吧？那么，所求的曲線的方程跟已知條件有什么聯系呢？
生：點M的運動由點P引起的，點M的坐標由點P和點D決定，點P的坐標關系滿足圓的方程.
師：對，這三點非常重要，要求點M的軌跡還得從這三個條件出發.
點評：片段中教師引導學生從三個要點（“已知條件”、“所求結論”、“條件與結論的聯系”）初步分析清楚了題意，為具體求解過程奠定了基礎. 其間，學生也猜想出了點M的軌跡是橢圓. 為了便于學生把握題目的實質，揭示相關題目的解題規律，有時通過改變呈現方式來講“清”題意[4]，這一點很重要. 教師借助幾何畫板工具將點P，M，D動起來，很容易驗證了學生的猜想，為學生認識橢圓與圓之間的關系建立了感性基礎.
三、講“出”方法
在例題的教學中，找出問題解決的方法是關鍵，然而找方法的過程非常藝術化. 教師首先要聽學生的講，然后才是講給學生聽. 在教師與學生的“聽”、“講”交替過程中，方法得以呈現.一般來講，教師對方法的“講”主要是對學生的“啟”和“導”，即采用啟發性和引導性的語言，講出學生的后續之音、弦外之音和合理之言，而學生的“講”包括講出思考中的困惑，講出錯誤處的原因，講出精彩點的道理.這里講“出”方法就是要將方法呈現、凸現，講到位.
【案例片段3】
師：我們怎么來求點M的軌跡方程呢？
生1：用前邊學的“求曲線的方程”的步驟.
師：主要有哪些步驟呢？
生1：“建”（建立坐標系）、“設”（設定點坐標）、“限”（限制條件列式）、“代”（代入式子）、“化”（化簡方程）.
師：本題中又如何應用呢？
生1：坐標系已有了，不用建，點M的坐標可以假設為（x，y），現在主要看后三步.
生2：用點M坐標滿足的條件是“M是線段PD的中點”，用它列出式子.
師：對，用我們剛才分析的已知條件.列出什么式子呢？
生2：用中點公式，好像沒有直接的……不好表達.
師：有式子，但是還要進行處理，可以把點P的坐標假設出來嗎？
……
點評：此處已能看出，本題求解的方法已非常明確，學生很容易想起求曲線“建”、“設”、“限”、“代”、“化”的步驟，說明學生在解題的方法上有基本認識，關鍵就是如何應用了.
四、講“通”思路
學生對例題的理解除了方法外，更為細致的是疏通解決問題的思路. 而這一點正是學生實現知識生長、能力提升的關鍵點. 當學生的解題思路出現各種問題時，教師要不失時機地把握關鍵點來講解，使之暢通. 一般來講，學生思路匱乏時教師要“引”，學生思路混雜時教師要“理”，學生思路受阻時教師要“疏”，學生思路短缺時教師要 “續”，學生思路狹窄時教師要“拓”，當學生思路繞彎時教師要“改”.
在案例片段3中，生2的思路略微受阻，教師可以繼續引導生2，可以請其他學生來解決，也可以由教師自己來講.
【案例片段4】
師：假設點P的坐標為（x0，y0），現在點M的坐標滿足的關系式能寫出來了嗎？
生：能.
（學生寫出：x=x0，y=）.
師：但是現在點P的坐標包含有x0，y0兩個未知變量. 求的方程中能有這兩個變量嗎？
生：不能，要消去.
師：怎么消？
生：點P在圓上，代入方程x2+y2=4.
師：很好，這樣就能求出點M的軌跡方程了. 我再請一個同學來把整個題的思路講一下.
生：首先，按照步驟，把點M和P的坐標假設出來，然后利用中點公式寫出點M和P的關系式，接著把利用點P的坐標滿足圓的方程建立方程，最后化簡.
師：說得很好，現在，按照剛才的思路，我們一起來寫出求解過程.
……
點評：本例的思路因有“求曲線的方程”的步驟這個“路標”指引而較為暢通，教師要做的就是引導學生講出“路標”，把各個路標所指的內容串聯起來.
五、講“明”收獲
例題教學中不可忽視的一個過程就是反思評價. 在這個過程中教師或學生一定要講明收獲. 這個收獲包括與目標對應的預期收獲，也包含生成性的意外收獲. 這些收獲中可能有知識、方法、技巧、經驗、情感等中的某些方面. 值得一提的是，我們有時可能并沒有獲得什么明顯的東西，僅僅是一種體驗，但它也是教學中的一種經驗或情感類營養成分；有時例題中發現的新問題并沒有徹底解決，為后續的學習播下一粒“種子”，這也是很有價值的收獲.
【案例片段5】
師：剛才，我們求出了點M的軌跡方程，點M的軌跡是一個橢圓. 求曲線的方程的步驟還管用吧！大家要注意當所求動點的坐標不能直接建立關系式時，要嘗試找中間變量搭橋，比如這里點P的坐標x0，y0就是中間變量（參數），然后利用中間變量滿足的條件再代入另一個關系式達到消參的目的，從而得到所求的軌跡方程.這是解析幾何中常用的一種方法.
師：通過剛才的例2，大家發現橢圓與圓之間有什么關系嗎？請你們嘗試把點M為線段PD的中點改成分點或其他比例的分點，點M的軌跡又是如何呢？（如圖2，教師利用幾何畫板動畫演示，得出結論. 略）
點評：教師通過本例強化了求曲線方程的步驟，加深了橢圓的標準方程的認識. 在達到本例的基本目標后再以此例為切入點實施變式探究，探索出橢圓與圓的關系，這也是本例的一個重要收獲.
講好數學例題的關鍵在于恰當地調控好“講什么？”“誰來講？”“何時講？”“怎么講？”幾個問題. 如果我們把握好了例題講的內容、講的主體、講的時機和講的技巧，將教師單方面的“講”變成教師與學生之間對話性的“講”，那么這種“講”的普通“招式”同樣也是“絕招”，照樣能充分發揮例題的功效，有效推進教學. 因此，在例題教學中沒必要去刻意追求各種教育理念“沖擊”下多種高效教學方式的“變”用，而是應該多一份心思留意于某些教學方式的“活”用.
參考文獻：
[1] 吳立寶.數學教科書例題功能的分析[J]. 數學通報，2013，52（3）：18-20，23.
[2] 程新展.例題教學應該做到“三好”[J]. 中國數學教育（高中版），2011（6）：8-9.
關鍵詞 假懂 理解 思維 理性
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）15-0036-03
一、從一個教學片斷說起
教師：回顧上述解題思路，數列求和型的不等式，要向有利于求和的方向進行轉化（不少同學似有所悟，微微點頭回應）。
教師：下面請看下一題。
課后，筆者問坐在教室后排的兩位同學：“懂了嗎？”他們說：“懂了！”筆者接著問：“答案蓋住，自己做下試試看。”兩位同學想了想，試著寫了一下，放縮還是無法完成。
可見，學生的“懂”是“假懂”，而非“真懂”。
二、學生“假懂”的原因分析
1.從數學的角度看
上文的例題，其解答的思維過程包括一下兩個方面：
一是要熟知高中數列常見的求和方法，如：常數列求和，周期數列求和，等差數列求和，等比數列求和，倒序相加求和，錯位相減求和，裂項相消求和法等，解題時要能從題目信息中聯想到已知的求和方法。從求和式Tn=++++…+的結構特征可以提示我們應采用的是裂項相消求和法，這是后續推理活動的鋪墊，是題意理解的一個關鍵。
二是通項bn2（n≥2）本事不具有裂項求和法的結構特征，從目標分析，需要適當的轉化放大，而“適當”說的輕松做起并不容易，這也是本題的一個難點所在。通過以上分析，解題時的目標是明確的，即需要尋找這樣一個等差數cn，能夠使得，當n≥2時，bn2≤成立，而后式能用裂項相消求和，但注意不要放得過度。
2.從學生的角度來看
面對上文的例題，學生的困難主要來自以下三個方面：
一是兩個小題相互關聯，前面小題是為后面小題做鋪墊的，因此對部分學生而言，第（1）小題結構形式復雜，一下子難以找到突破口， 找尋到突破口還要謹小慎微，細致討論下才能得到正確結論，這已經就是一只攔路虎。在沒有能全面解對情況下，第（2）小題對他來說沒有任何意義；
二是看到求和型的不等式時，學生心理上不適應。首先司空見慣的是求數列的前n項的和問題，學習的都是具體而相對簡單的數列求和問題，基本思維還希望數列本身能是上述求和類型的。而現在要求和的數列既不是等差也不是等比的，哪怕是等差乘以等比的通項公式也可以，理想很豐滿，現實很骨感，這樣對于題設中的求和與目標中的不等式內在邏輯聯系存在困惑。其次，這與學生接觸不等式問題少密切相關，現行高中課本必修部分不等式問題獨立成章的，主要內容是解不等式和二元的均值不等式為主。從這個方面分析，學生不能將數列求和與不等式聯系起來。
三是在以上兩個問題在思維層面都解決了，想到向裂項相消求和轉化，但在放縮時卻遇到一個更大的攔路虎。放縮法是說起來容易操作起來困難，始終感覺到放縮很神秘，高不可攀，一步小心就放縮過頭，實屬不易。要在課堂和考試的有限時間內獨立完成，也許需要的是技巧和好運氣了，但好運氣不是時時會有的。
3.從教學的角度來看
上文的例題教學中，教師的講解思路清晰，邏輯準確，表述簡潔規范，可謂“一氣呵成”。那么造成學生“假懂”的原因，除了前面已述及的例題本身與學生的知識經驗、認知發展的局限性，難道就沒有教學上的原因？筆者以為：沒有正視學生的思維水平現實，放低教學的思維起點。
新課改以來，一直強調學生是教學的主體，教師是教學的主導，作為主導的教師，從哪里開始導， 導向哪里，怎么導， 是作為教師必須思考的問題。
第一個問題從哪里開始導？筆者的想法是從學生的原有知識基礎和現有思維水平開始，本題的原有知識基礎最基本的是裂項相消法的一般結構模式，擴展起來還有數列求和的一般方法等。現有的思維水平，就是學生想到哪里了，還有那些地方沒想到。這些問題清楚后， 又要注意正視學生的思維水平現實，放低教學的思維起點，這些可作為解此題的出發點。
第二個問題導向哪里？這是一個目標分析的問題，要有大局觀，要求的是學生和教師對試題總體方向的把握，也需要解題經驗的積累。對于本題直接求和在學生現有的水平上已是不能完成的任務的情況下，就要考慮其向已有的求和方法上轉化，轉化到那種求和方法需要根據求和式的結構特征分析。
第三個問題是怎么導，順應學生的思維方式是最為有效的。這是最為關鍵的問題，前面有了引導的基礎和方向，具體落實時就是怎么樣過渡過去，基礎是此岸，目標是彼岸，采取什么方式渡過中間的河流呢？該式
三、為促進學生的理解而教
以放縮方法的本身技巧性強的特性而采用“告訴式”“結果式”的教學方式，客觀上是一種教師逃避責任的行為，事實上，正是由于在學生看來放縮法艱澀難懂，變化靈活，才為教師開展創造性教學提供了巨大的空間。通過上面例題的教學，教師完全可以達到深化學生對放縮方向和尺度的把握，提升數列與不等式綜合題的解題和理解能力的目的，為學生后來更好的學習和研究數列奠定基礎。
1.目標引領思維，順勢而為達到水到渠成
康托爾說過：“在數學的領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要。”在例題講解過程中，教師要密切關注學生的學習動態，并不失時機地提出問題，通過引導、啟發、指導、點撥、評價矯正，拓展思路，開闊視野，提煉精要，升華情感化，繁為簡作用，讓師生對話得以持續，將學生單一的思維系統化，使教學目標迅速達成。經過教師的適時提問，學生的自主、合作、探究才能順暢，學生的思維才有可能從懵懂走向頓悟，內心才有可能從迷惘變得敞亮。
本例可以嘗試從以下問題引領思維：
問題1：我們常見的數列求和方法有那些？本題數列求和與哪種相似度大？
問題2：裂項相消求和方法有什么結構特征？
對于這兩個問題，作為剛剛復習過數列的學生而言，都易解決，屬于知識層面，其設計意圖是在已有知識和未知問題直接建立起跨越的橋梁，為學生繼續思考打下基礎。這時學生可以發現我們現在需要找到這樣的一個等差數列{cn}，能滿足當n≥2時，bn2≤成立，也就是
即
最后說明的一點是 和式沒有初等的解析表達式。
關鍵詞： 初中數學 例題教學 思維能力
例題是數學課堂教學過程中極其重要的一環，它對以堂課的成敗起著橋梁和杠桿作用。例題教學不僅可以讓學生在掌握舊知識的基礎上構建新的認知結構，而且能加深新知識的理解，還能啟迪學生的思維、培養學生的思維，這在邏輯性很強的例題教學中顯得尤為重要。尤其是對例題的教學方面，要充分發揮例題教學的作用，并著眼于培養學生的創新意識，讓學生掌握學習的主動權，激發求知欲望，提高課堂教學的效益。通過例題的教學，調動學生積極思維，提高學生的學習效率。依我之見，例題教學應從以下幾方面入手。
一、舉例，引出概念，公式，引導學生發現新知識的能力
數學中的有些概念，往往難以直觀表述。如近似數、準確數等，但它們與舊知識都有內在聯系。我就充分運用舉例來引出新概念。在備課時要分析這個新概念有哪些舊知識與它有內在的聯系。利用學生已掌握的舊知識講授新概念，學生是容易接受的。例如我講同底數冪的乘法，就從冪的意義引入，邊板書、邊提問：以下這些算式是什么意思？
數學概念對學生來講是抽象、難懂的，也是數學教師在教學中遇到的比較棘手的問題。然而，全面、透徹地理解概念又是非常重要的，它是學生學習數學知識的基礎和正確解題的關鍵所在。因此，為了適應快速掌握的要求，應設計具有前后知識的連續性的例題，這樣學生能節省學習的時間，提高了課堂的效率。另外，根據奧蘇•伯爾的同化理論可知，用舊知識促成新知識的學是比較容易的，例題的引入能促進學生對數學概念的全面掌握。
二、選擇題，填空題的設計，加深對新知識理解和掌握
選擇題、填空題主要考查學生對基礎知識的理解，基本技能的熟練程度、基本計算的準確性、基本方法的運用、考查問題的嚴謹、解題速度的快捷等方面，教完新知識后，為了讓學生領悟新知識或矯正學習中存在的某些缺陷與障礙，而應當選擇一些有針對性的選擇題、填空題進行練習，已達到突出重點、突破難點之功效。
在學習了圓周角這節課時，當概念教學結束后，可以安排下面的選擇題。
下列圖形中，∠BAC是圓周角的圖形是（ ）
則后可以出下列填空題，以加深學生對法則的理解。
通過設計以上的選擇題和填空題，考查學生對教學內容的理解和對新知識的掌握情況。
三、注意例題的一題多解或例題的變式，培養解題思維能力
“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的。善于作解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的。
例如：（原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6，求周長．我們可以將此例題進行一題多變．
變式1：已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長．（這是考查逆向思維能力）
變式2：已知等腰三角形一邊長為4，另一邊長為6，求周長．（與前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）
變式3：已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長．（顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養學生思維嚴密性）
變式4：已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍．
變式5：已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14．請先寫出二者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出二者的圖像．（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0＜y＜2x的理解運用，是完成此問的關鍵）
通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養學生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生打破思維定勢；使學生的直覺思維和發散思維得到綜合訓練，更有利于培養思維的變通性和靈活性。
四、通過綜合性例題，解釋知識間的縱橫聯系，提高解題能力
讓學生應用已經理解的公理、定理、公式、概念、數學方法和知識去解決一些復雜的綜合練習題，教師在組織綜合練習時要有明確的目的，要精選題目，使其具有典型性、代表性、綜合性。
例如在學次函數后，為了使學生理解二次函數與一元二次方程、一元二次不等式間的聯系，特設計一道綜合題：
已知函線y=x-3x-4，
（1）求此函數圖像的開口方向，對稱軸，頂點坐標，并畫出圖像.
（2）求圖像與x軸y軸的交點坐標，并求出以這三點為頂點的三角形的面積.
（3）x為何值時，有y＞0，y＜0，y=0？
（4）當x?搖 ?搖?搖?搖時，y的值隨著x的值增大而增大；當x?搖 ?搖?搖?搖時，y的值隨著x的值增大而減小.
（5）求函數圖像向左平移3個單位，再向上平移2個單位后，所得的圖像的函數解析式。這道綜合題由幾個不同類型的基礎題組成，通過對它的解決學生可以舉一反三，觸類旁通，使知識間的縱橫聯系得到體現，課堂容量增大，且減輕了學生的課業負擔，教學效果顯著。
五、有目的列舉反例，以鞏固和深化概念
所謂數學反例即指否定的數學例證，是為了防止或否定學生對于數學知識的錯誤認識而列舉的一些數學事例。它是數學課堂上的“調節器”。運用數學反例對學生的智力活動能起定向糾錯、提煉升華的作用，并維持數學課堂教學按既定的路線進行。數學概念的教學，不僅要運用正面的例子加以深刻闡明，而且要通過合適的反例，從另一個側面抓住概念的本質，使學生對所學概念進一步反思，從而達到深刻理解和掌握該概念的目的。學生在解題中經常出現差錯且不易發現、糾正。對此，可以引入反例，讓學生學習、討論，幫助他們發現問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法。學生在學習一個新的定理、性質時，往往會忽略定理、性質中的關鍵詞語，從而造成解題的錯誤。為了克服這一現象，教學中要善于構造反例，幫助學生牢記關鍵詞語，達到正確理解并掌握定理、性質的目的。
例如，垂徑定理的推論1“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”，學生常會忽略括號中的限制條件，誤記為“平分弦的直徑垂直于弦”。教學時可以構造反例，列舉圓中任意兩條直徑，雖然它們互相平分，但不一定互相垂直，由此來糾正這一錯誤認識，可加深學生對限制條件的理解。又如在教學“三角形全等的判定定理”時，學生在掌握基本的幾個判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS）后，教師可讓學生判斷:三個角對應全等的三角形是否全等;有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形是否全等。三角對應相等的三角形全等的反例比較容易列舉，例如三角板中的兩個三角形。但是有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等的反例卻較難構建。為了解決這個問題，教師可以先固定某些邊或者某些角對應相等以后再讓學生構建反例。可以先固定∠A=∠A′，AC=A′C′，在此基礎上引導學生進一步思考：若BC=B′C′=a，說明BC或B′C′。可以通過以下作圖方法來畫出:以C或者C′為圓心，a為半徑畫弧，a只要滿足一定的條件，此時所畫的弧就很可能與AB或者A′B′所在的直線有兩個交點，這時再構造不全等的三角形就容易多了。從而說明有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等不能成立。利用反例教學，可使學生加深對知識的理解和記憶，從而達到掌握知識、培養能力的要求。
精煉的例題蘊藏著豐富的數學知識、方法和思想，有利于學生去領悟、吸收、深化和探索。因此，深化例題教學發揮例題的功效，是教學的關鍵。例題教學可培養學生數學能力和良好的思維素質，從而讓學生對數學的認識有一個質的飛躍。
參考文獻：
［1］陳國新.例題教學中的四點“反思”.中國教育研究論叢，2006，（00）.
［2］方鎮軍.挖掘例題的教學功能，培養學生的創新思維能力.數理化解題指導研究.
決定新課程改順利實施的最關鍵因素就是師資水平，而在這兩年中我們最大的成果之一就是體現新課程改精神的教師的教育教學水平的提高，教師的成長，觀念的更新是前提，專業化成長是基礎。新課程的制定是基于許多新的觀念基礎上的。因此，能否理解、認同、內化這些新的觀念，是關系到新課程能否順利實施的最基本條件[1]。
教學方式的轉變作為本次課程改革的重要任務之一就是要堅定不移地推進教師教學方式的轉變，先進的教育觀念要通過先進的教育方式體現出來，而教育觀念轉變本身也要在教育教學中進行，二者是相輔相成的關系。觀念不轉變，方式轉變就沒有了方向，沒有了基礎；方式不轉變，觀念就失去了歸宿，失去了落腳點。教學方法除了受觀念的影響外，還與教學內容密不可分，當科學技術和社會政治經濟文化等方面的發展變化使得教學內容不得不做相應的調整與改革的時候，教學方法也面臨必須變革和創新的時代要求。從上世紀初步教育遠動針對普遍存在的“學校中心”、“課本中心”、“教師中心”的傳統教學模式進行革命性改造以來，教學法方面的改革從未中斷。現在，我們面臨著同樣的問題，要實現教學方式的轉變，有必要弄清歷史上教學方法的演變，從中是否可以看到我們現行教學的影子，弄清哪些是落后的，明確為什么要改，改哪些，怎么改。
2.新課程改中中學數學例題教學方法
正如前面所說的，新課程改革中倡導了許多的教育理念，其中，“一切為了每一位學生的發展”是新課程改革中的最高宗旨和核心理念，要將這一核心理念真正地轉化為教師的行動[2]。教師要建立現代的課程觀。首先要弄清楚課程、教材、教科書三者之間的關系現代教育觀念認為：教科書是根據課程標準編寫的系統反映了學科內容的教學用書。它是最具代表性的核心教材。而新課程改中的例題又是怎么教學的呢？
例1：化簡sin50°（1+■tan10°）
分析探求：師：這道題給我們的感覺是有些無從下手，很難看出有什么公式可以直接使用，兩個角10°與50°似乎還有一線希望。但由于受函數名稱的限制難以發揮它的作用。大家都來想想看，有什么辦法可以打破這一僵局（請同學們討論一下）？
生：在同角三角函數的化簡中，如果一個式子有弦、有切，我們可以把切化弦。
師：好的，我們嘗試一下：
解：sin50°（1+■tan10°）
=sin（1+■■）
=sin50°■
=sin50°+■
=2sin50°■
=2cos40°?■
=■
=■=1
反思研究：本題在嘗試把正切化為弦后果然獲得成功。其實把正切化為弦就是一條重要思想。請同學們切記“遇切、割化弦”這一規律。另外，本題的解答過程還反映了逆用和角公式的重要性。在實際教學中，教師要避免直接肯定或否定信息的有用與否或重要與否，讓學生在思考與交流中證實或否定。
3.如何使數學例題教學方法更好地適應于新課改
對于新課程改中數學例題教學我們可以看出：發展學生的思維，一題多解，讓學生自己提問、相互交流、相互分享、解決問題。下面我們看看下面一題.
例2：設數列{a■}的前n項和S■=2a■-1（n=1，2，3，…），數列{b■}滿足b■=3，b■=a■+b■（k=1，2，3，…）求數列{b■}的前n項和。
解：本題可以依托S■=2a■-1（n=1，2，3，…）運用a■=S■ （n=1）S■-S■（n≥2）
探求a■與a■的關系，繼而求出b■，也可求出S■再求b■。
方法一：S■=2a■-1=2（S■-S■）-1（n≥2）
S■+1=2（S■-S■）
即S■=2（S■+1）（n≥2）
由此得S■=（S■+1）2■
因S■=a■，故a■=2?a■-1，得a■=1.
于是S■=2■-1，設{b■}的前n項和為T■.
由于b■=a■+b■（k=1，2，3，…）
故b■=a■+b■
b■=a■+b■
……
b■=a■+b■諸式累加可得
b■=S■+b■=2■-1+b■
b■=3，故b■=2+2■.
數列{b■}的前n項和為T■=2n+■2■
=2n+■
=2■+2n-1
方法二：因S■=2a■-1（n=1，2，3，…），
故當n=1時，a■=S■=2a■-1，得a■=1，
當n≥2時，a■=S■-S■=（2a■-1）-（2a■-1），
得：a■=2a■.所以數列{a■}是首項為1，公比為2的等比數列a■=2■.
因為b■=a■+b■，故b■-b■=a■=2■
則b■-b■=1，b■-b■=2，…，b■-b■=2■
以上這（n-1）式子相加得：
b■-b■=■=2■-1故b■=2■+2
所以數列{b■}的前n項和T■=（1+2■+2■+…+2■）+2n=2■+2n+1.
由此例題我們可以知道，一題多解，教學過程中；教師與學生間的交往、互動，意味著師生之間的相互交流，相互溝通，相互啟發，相互補充。
關鍵詞：淺談 初中數學 例題教學 有效性
例題教學是數學教學的重要組成部分和環節。通過例題教學，讓學生學會運用所學數學知識去解答數學問題，從而達到鞏固所學知識之目的。同時，例題教學也是學生學習數學的一個重要途徑，它直接影響到學生數學解題能力和數學思維能力的培養。因此，探討數學例題教學很有意義。
一、課堂例題教學存在的誤區
一方面是不考慮學生的實際，盲目選題。盲目選擇一些怪題、難題、偏題，收效甚微，導致學生恐懼、厭惡數學，適得其反；二是教法單一、刻板，缺乏變通、創新。例題教學有時教法單一，照本宣科，講解刻板，缺乏變通、創新。例題簡單時，認為沒什么好講的，將解題過程直接板書，讓學生自己看解題過程，或者逐字逐句念給學生。講解例題有時會一股腦地把自己的解題方法灌輸給學生，學生缺乏思考，只是單純地接受，逐漸養成“你講我聽”的接受式學習，沒有得到一定的思維訓練，遇到類似的問題有時勉強可以應付，但條件稍微有所變化，就難以獨立解決問題；三是就題講題，缺乏題后反思。我國教育家葉圣陶先生說過:“什么是教育？簡單地說教育就是培養習慣。”然而，教師常常把例題解答完就了事，不對例題進一步挖掘，題后不引導學生對例題題型、思想方法、表述等進行反思，學生得不到解題反思的熏陶，沒有題后反思的意識，無法養成題后反思的習慣。
二、如何做到初中例題教學的有效性
1、講好例題是學習數學的基礎。所謂講好例題，就是教學上課通過師生、生生積極的互動和一些數學活動，把例題分析清楚、透徹，讓學生明白為何這樣解，解答該如何表述等等。《標準》強調:“有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。”在例題教學中，教師重點要教給學生分析問題的思想和方法，讓學生學會用演繹和歸納去探討問題。東北師大校長史寧中教授在《數學與數學教育》一書中指出:“現在我們來思考數學基礎教育，思考除了知識之外還能給學生些什么。我想這就是演繹和歸納。中國50年來的數學基礎教育，一直是重演繹、輕歸納，即給出已知條件，求證一個結論，這是演繹的方法。但沒有讓學生試著去推導出什么結論，也就是沒有教歸納的方法。這不利于培養創新型的人才，如果在數學學科教學中教會了學生這兩種方法，那就體現了數學教學中的素質教育。”
2、改編例題是數學知識的運用。改編例題的方式很多，例如教材中有些例題的背景一般比較抽象，缺乏生活氣息，如果將例題改編成與學生密切相關的生活情境，不僅可以激發學生的參與熱情，還能發揮學生的創新意識和創造能力。或者將例題的條件、結論進行改編，由表及里，揭示知識間的內在聯系，前后貫通，引伸拓寬，形成一條較為完整的知識鏈，讓學生通過典型范例的思路剖析，牢固掌握基本題型及解題規律。如在教學有理數加減法則時,設置這樣一道題：在一條南北走向的公路旁有一售貨中心，規定售貨中心向南為正，向北為負，某同學家住售貨中心南200米處，因有事外出，需經過售貨中心辦一件事，現在先向南走450米完成一件事后再折轉準備北行730米做事，問該同學能經過售貨中心辦事嗎？走完730米后最后位置在售貨中心的哪一側？由學生通過議論、列式計算，在興趣中頓悟有理數的加減法則。這樣，首先是學生能看到實際問題，引起解決問題的懸念，開動腦筋，積極猜想，憑直覺想象，生活經驗等等均可一試，感覺數學來自生活，從而也增強學生學習的興趣。
3、設置規律性例題促進數學能力的提升。為了使學生在解題時有較敏銳的觀察能力和較豐富的聯想能力，舉一反三，觸類旁通，提高解題能力，規律型的題目正是考察學生以上這些能力。由于規律型題目的規律性和普通性，我們教師在舉這樣的例題應注意歸納綜合，俗語說：“換湯不換藥，萬變不離其宗”。這話用在數學上正好反映數學知識的規律性。例如，二次函數中有這樣一類題目，給出拋物線中、b、c的符號，要求判斷拋物線的開口方向，拋物線與y軸交點的位置，對稱軸在y軸的左側還是右側，拋物線與χ軸有無交點，并畫出草圖，象這樣的問題，要先歸納綜合它的規律性：(1)>0開口向上； 0與y 軸交點在χ軸上方；C0與x軸兩個交點；
4、講清數學例題中蘊含的方法是學數學的關鍵。新課程強調要引導學生學會觀察，學會思考，學會如何學習，培養終身學習的能力。也就是說授之以魚不如授之以漁。在例題講解中重要的是讓學生真正領悟隱含于數學問題中的數學思維方法，使學生從中掌握關于數學思想方法方面的知識，并把這些知識消化吸收成具有“個性”的數學思想。逐步形成用數學思想方法指導思維活動，這樣在遇到同類問題時才能胸有成竹，從容對待。另外，在例題教學中要充分發揮學生參與活動的主動性。在課堂上，要給學生充分的思維活動空間，盡可能多地靠學生自己發現解題思路和動手作答。例題的講解不在于老師講了多少，更重要的是在于學生領悟了多少。數學題目是講不完的，但只要我們講解的方法得當，還是可以通過有限的例題的的本質分析、講解，讓學生真正領悟解決無限數學問題的數學奧妙。
參考文獻：
