時間：2022-06-23 21:32:24
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇角的度量教學設計，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
教學設計一：
1.感受角的大小
師（出示活動角）：要把這個角變大一些，可以怎樣做？變小呢？
師：角是有大有小的。角的大小和邊的長短無關，和角的兩邊張開的大小有關，張開越大，角就越大；反之，張開越小，角就越小。那么，角的大小可以怎樣計量呢？今天我們就來學習——角的度量。
2.提出問題
（學生用三角尺上的角量課前印制的角，交流測量結果后發現每人量得的大小不同）
師：同一個角，為什么大家量得的結果不同？你覺得計量角的大小要如何？（要有統一的計量單位和測量工具）
3.認識量角器。
師（出示量角器）：測量角的工具是量角器。請同學們觀察自己的量角器，看到了什么？（結合學生的交流，對照量角器，說明量角器的結構、計量單位“度”，并觀察1°角的大小，同時特別說明內圈刻度和外圈刻度，讓學生分別沿內圈和外圈指一指、讀一讀刻度，依次找一找指定度數的刻度）
4.讓學生用量角器測量指定的角
師：大學測量指定的角的度數是多少？（讓學生交流結果，并說說是怎樣量的）
5.總結量角的步驟和方法
師（小結）：用量角器量角，先把量角器的中心與角的頂點重合，0°刻度線和角的一條邊重合，再看角的另一條邊所對的刻度線是多少度，就是這個角的度數。
6.組織量角練習
師：兩塊三角尺上的角有什么共同的特點？你發現每塊三角尺上三個角的度數的和各是多少？
教學設計二：
1.感受角的大小
課件演示：一個角的兩條邊叉開得大一些，角就大一些；叉開得小一些，角就小一些。
師：角的大小和邊的長短無關，和兩邊張開的大小有關。
2.提出問題
師（出示角1和角2）：有什么辦法比較它們的大小？
生1：用三角板上的角去量。
生2：用量角器量。
師：今天我們將要制作量角器，還要學會用量角器量角。（板書課題：角的度量）
3.制作半圓量角工具
師：老師這兒帶來了一些小角（都是10°），你們能用這些小角擺一擺、量一量角1和角2嗎？（一個小組在黑板上擺，其他小組利用老師提供的材料動手操作）
師：哪一個角大，為什么？
生3：角2比角1大1個小角。
師：擺小角量時要注意什么？
生4：頂點對齊，邊也要重合。
師：擺這些小角量角時，每次都要一個緊靠一個去擺，挺麻煩的。有什么辦法用小角去量角時，能既準確又快速方便呢？
生5：將它們串起來，粘起來。
師（課件演示18個10°角拼疊累加）：先數一數半圓里有18個小角，再找一找這些小角的頂點。
4.用透明半圓工具量角
生6：角1有4個小角，角2有12個小角。
師：用這個工具量角時應注意什么？怎么量？
5.制作有刻度的量角工具
師（出示角3）：你有什么辦法知道角3比兩個小角多多少嗎？
生7：將小角再分一分。
師（課件演示1個小角平均分成10份）：1個小角平均分成10份，其中1個小小角就是1°。（介紹讀法和寫法）
師（課件演示所有小角都平均分成10份）：半圓被平均分成多少份？（引導學生將其整理成帶有刻度線的半圓量角工具）
師：每一次都要靠數才能知道角的大小，有沒有辦法一眼看出來？
生8：寫上數字。
（電腦演示呈現有一圈刻度的量角工具）
（1）學生試讀電腦上3個角的度數。
（2）練習量角后交流匯報。
6.了解外圈刻度
師：角3有多少度？（學生有兩種答案：40°和140°）
師：哪一個正確？請同學演示測量過程。（介紹完整的量角器，并介紹內圈刻度和外圈刻度，然后用量角器練習量角）
7.拓展延伸
師（電腦演示只有一條邊對準內圈120°刻度線）：猜一猜，這個角可能是多少度？
生9：120°。
生10：60°。
師：還有一條邊在哪？（電腦演示還有一條邊對準的是內圈50°的刻度線）
……
課后思考：
聽了這兩節課后，我們從知識技能的角度來觀察學生學習的效果。兩節課學生都了解了量角器的功能和結構，并學會運用量角器量角。第一種教學設計，教師能輕松從容地完成教學任務，學生也能按照教師預設的路徑，扎實地、熟練地掌握了知識和技能。第二種教學設計，明顯覺得預設學生實踐操作活動的時間不夠，究其原因是涉及不同的學生和小組，很難統一，這樣就導致后面技能練習的時間不多，因此部分學生在用量角器量角時熟練程度不高。大家認為，兩節課下來，如果立即對學生基礎知識和技能進行測試的話，第一種教學的效果可能要高于后者。
從情感態度的角度來看，第一種教學設計，學生在探索和親身體驗學習的過程中學得不夠主動、不夠積極，學生的實踐能力和創新精神難以得到切實的培養與發展。第二種教學設計，當給學生提供思考和解決問題的空間時，學生學得積極主動，體驗比較深刻，不僅能在理解和思考的基礎上習得數學知識與技能，還能感悟到數學知識的實質和其中蘊含的數學思想。
一、問題
“角的度量”是一節有關圖形測量的課，其主要目標在于培養學生使用量角器量角的技能。本課中，學生在已有認識角、知道角有大小的基礎上，開始定量研究角的大小：先建立1°的概念，再學會用測量工具——量角器量角。角的大小是許多平面圖形分類的依據。同時，在現實生活中也有很多問題與角的大小有關。因此，會量角顯得尤為重要。所謂“會量角”，具體來說，就是知道一套對應的量角操作程序：把量角器的中心點對準角的頂點，根據角開口方向的不同，確定一條邊為0刻度線，選擇量角器內圈（或外圈）數據，按正確的方向讀出另一條邊所指的度數。
1.教學實踐中的問題
但凡教學過此內容的老師，都有這樣的體會：看似簡單的內容認認真真地教，教學效果卻往往差強人意，甚至還總能找到個別學完后連量角器都不會擺的學生。針對這些問題，我們將從教與學兩個維度加以分析，以期通過研究這些問題，改善教學效果。
教之困：
⑴我們讓學生度量各種各樣的角，學生感受到了量角的用處嗎？量角的大小是“屠龍之技”，還是生活中必不可少的技能？
⑵角的度量一課教學的難點是什么？為什么會有這樣的難點？量角器的結構很復雜，量角之前先要認識量角器，那認識量角器的什么呢？怎么認識量角器？教學中簡要概括出了“二合一看”等要點，為什么學生還是不會量角？
⑶關于量角的方法，是老師先帶著學生一起學習，再總結，最后學生按照方法不斷地練習，還是教師先不教方法，給學生充分的時間獨立或合作探究，在量角中積累一些活動經驗，總結出量角的方法？
⑷為了讓每位孩子都能掌握操作技能，我們該如何有效地組織操作活動，以促使每位孩子積極主動地參與，而不使活動流于形式？活動后的反饋與評價如何進行？怎樣使學習有困難的學生在課堂上學會操作量角器，學會量角？
⑸我們的教學有三個層次：教知識，教方法，教思想。以往的教學，我們只是教了量角的知識和技能。這節課可以教給學生什么方法和思想呢？怎樣讓學生在學習角的度量時能夠聯想到曾經學過的舊知：長度的測量、面積的測量、質量的測量等，逐漸形成類比的數學思想方法？
學之難：
通過對多個教學過此內容的教師的訪談，查看學生的練習冊和檢測卷，我們發現學生的錯誤集中在以下幾方面——
⑴不會擺量角器，不知道怎樣去實現“兩個對齊”，特別是當被測角兩條邊均未處于水平方向時，擺量角器的難度更是大大增加。
⑵無法準確辨別讀數的起始點，60度常會讀成120度，25度會讀成155度。就算是反復強調該怎么量，該怎么讀數，甚至啟用朗朗上口的口訣：“中心對頂點，底邊對0線，他邊看度數，分清內外圈。”都不能完全解決問題。
2.對問題的分析
面對這一事倍功半的教學現狀，我們分析其原因，大致有如下三個。
⑴不了解量角器的構造原理。
正規的量角器上都有兩圈刻度，且順序相反。學生之所以分不清該讀哪圈刻度、往哪邊讀數，是因為他不知道為什么會有這兩圈刻度，以及讀數順序與角的開口方向之間的關聯。尤其是那些非整十度的角，當超過整十度數或差幾度未到整十度數時，學生的錯誤就更加明顯。作為使用工具進行測量的學習，學生并非全無經驗。用直尺度量線段的長度就是本課的基礎，兩者在本質上是一致的。但操作起來，量線段時學生只要對好了0刻度，觀察線段另一端的刻度就行了，并且都是從左往右數的，這一經驗容易對本節課的學習造成負遷移。
⑵無法還原角的形成過程。
學生在測量角的度數時，只將被測量的角看做是靜止的圖形而非動態的過程——將角的兩邊孤立地量度，就像量線段、看鐘表一樣，認為只要把一條邊對準0刻度線，另一條邊指著幾就讀幾。不論是何種開口方向的角，都應當能還原成以其中任一條邊作為起點，慢慢打開，而度數隨之增加的動態過程。如果能體會這樣一個過程，操作程序的原理自當迎刃而解。
⑶缺乏對角的大小的整體認識。
我們描述和刻畫一個物體的特征時，常常需要作比較。例如分析一個3歲兒童是否屬于肥胖兒，就要對照兒童生長發育表進行比對。量角也是如此。學生在二年級認識直角的基礎上建立了銳角、鈍角的概念，知道銳角比直角小，鈍角比直角大。而這些都是學生對所量的角的度數進行判斷的重要依據。缺乏這樣的判斷與認識，將60°角讀成120°，也就不足為奇了。
二、實踐
1.針對“不了解量角器的構造原理”所進行的教學嘗試。
片段目標：在簡易量角器中畫角，了解兩圈刻度的必要性。
師：你能在半圓形上畫一個60°的角嗎？
學生自由嘗試畫，畫完后展示交流。
展示生1的作品：一個開口朝右的角。
師：這個角是60°嗎？
生：是。
師：我們從哪兒數起呢？
生1：從右往左數，數了6個10°，就是60°。
師：是這樣數嗎？那伸出你的手，咱們跟著他一起數一數。
師帶領學生伸出右手，從右往左數。
師：10°、10°地數真麻煩，有沒有什么辦法一眼就能看出角的大小？
生2：給它標上數字。
師：你們覺得這個方法怎么樣？（好）我們一起來標上數字。剛才我們是從哪里數起的？（生指）這個地方表示開始，我們就標上——（0），以此類推在內圈標上0～180（課件同步演示），這條邊指著60，所以這個角就是60°。
展示生2的作品：一個開口朝左的角。
師：這個角是60°嗎？（是）
師：可這條邊明明不是指著60，為什么它也是60°？
生3：因為它的開口朝這邊，應該從這邊數起。（生指）
師：那我們伸出左手一起跟著你數一數。（手勢從左到右）
生：10°、20°、30°、40°、50°、60°。
師：開口朝左的角，是不是也能不數就知道大小呢？
生4：我們可以在這邊也標上數字。
師：從哪里標起？
生指，師根據學生回答，利用課件標示外圈刻度。
師：為了區分，我們把這圈叫做“內圈刻度”，把這圈叫做“外圈刻度”。（師指）內圈的0°就叫做內圈零刻度線，外圈的0°就叫做外圈零刻度線，它們統稱為零刻度線。（邊演示課件邊介紹名稱）
師：讀哪圈刻度是由什么決定的？
生5：看角的開口方向。
生6：如果開口朝右，我們就讀內圈刻度，如果開口朝左，我們就讀外圈刻度。
師：對，不同的開口方向決定了不同的起始位置，讀哪圈數字由角的起始位置決定。
設計意圖：在課前調研中，有50％的學生不知道量角器刻度線的作用，甚至有8.33％的學生認為是表示面積、長度。量角器的本質是單位小角的集合，但由于量角的基本單位1°的角太小，在量角器上難以完整反映，量角器上1°的分割線去掉了大部分，只在圓周上留下一些刻度；再加上為了使用的方便，量角器設計了內外兩圈刻度，面對如此繁多的數據，學生無所適從。為了突破“看內圈刻度還是外圈刻度”的難點，教學時首先將量角器簡化，避免繁雜數據的干擾，讓學生在只有整十度的簡易量角器中畫60°的角，制造讀度數的困難，產生標記刻度的必要性；展示不同開口方向的角，產生標記兩圈刻度的必要性，同時借助肢體語言，讓孩子利用手臂運動有效描述，將角動態化，有效地突破了難點。
后測效果：“我聽見了就忘記了，我看見了就記住了，我做了就理解了。”華盛頓圖書館墻壁上的三句話字字珠璣。通過“兩制造、兩產生”的體驗過程，學生對于量角時讀內圈刻度還是外圈刻度掌握得比較到位，能比較迅速地選擇讀哪圈刻度。在讀刻度時，學生依據肢體動作的記憶，會潛意識里從零刻度線開始沿著角的展開方向去讀刻度，為讀非整十度數的角打下了基礎。
2.針對“缺乏對角的大小的整體認識”所進行的教學嘗試。
片段目標：樹立標桿，對角的大小形成整體認識。
師：其實，在量角器上有許許多多的角，并且任何一個角，我們都可以看成是以中心點為頂點，0刻度線為一條邊，其他刻度線為另一條邊。（課件演示）這1小格對應的就是1°的角，那2°的角在什么位置呢？
生1：在1°這里再上去1小格。（再演示）
生2：3°。
生3：4°、5°。
師：這時再觀察，每5°又分了1格，10°又分了1大格。你還能從量角器中找出一些角嗎？找的時候先想想它們大概是多少度。（再演示20°、30°、40°、45°、46°、60°、90°、120°等角）
師：這個角我們見過嗎？是什么角？（找出90°角時，提示仔細觀察）
生：是直角。
師：比較60°、90°、120°，它們的大小和兩邊叉開的位置有什么特征？
生：60°的角在直角的內側，120°的角在直角的外側。
設計意圖：學生的學習都是一個循序漸進、螺旋上升的過程，都應建立在已有的知識經驗基礎之上，因此設計教學環節時，應基于學生二年級認識直角、初步建立了銳角、鈍角的概念，進一步引導學生深刻認識銳角和鈍角。此時，我們還不用教給學生銳角和鈍角的概念，但要在學生心中建立這樣的標桿：小于直角和大于直角，充分整體感知角的大小。學生如果能真正領會這一點，就可以避免將60°的角誤讀成120°了。在這個環節中，教師建立了90°直角這個標桿，引導學生觀察和比較直角內側和外側的角的大小與形狀。學生用直角這個已學知識整體感知角的大小。在具體的練習中，教師還特意設計了先讓學生估計這個角的大小并寫出來，再測量和記錄數據，以此避免將60°的角誤讀成120°的情況，而在實際測量中，大多數學生都能正確測量其角度。當然還是有個別學生出現了將45°的角誤讀成135°，說明個別學生還沒有真正理解其方法，也許，教學時應該把這兩個環節反過來，先讓學生測量。肯定有學生會測量，也會有學生碰壁，出現剛才的錯誤，我們再將90°這個標桿拿出來，讓學生思考，測量時可以先考慮其大小可能是多少，再來測量，也許學生理解得會更深刻。其實，這個環節除了讓學生整體認知角的大小之外，還基于其他兩點考慮：想方設法還原量角器中不同的角，以及角的動態形成過程，讓學生認識量角器中有很多大小不同的角。我們也就是用這些角比對被測量的角，以得知被測量的角的大小，并且將看似靜態的角讓它由小到大在一個動態的過程中產生：1°、2°、3°、5°、10°、20°、30°、40°、45°、46°、60°、90°、120°等。從教學效果來看，這樣的考慮還是不夠周全，我們應該動態地演示每一個角從0刻度線開始展開的過程，這樣將更加生動，學生對角的動態認識也會更加清晰。
3.針對“無法還原角的形成過程”所進行的教學嘗試。
片段目標：讓學生直觀感受到“射線繞端點旋轉”與相應的角的大小的關系。
⑴利用課件演示，將半圓均分成180份，每份所對應的角就是1°，給學生以視覺的沖擊和直觀的感受。
師：感覺一下，1°的角大不大？半圓上有多少個這樣1°的角？（180個）
師：如果我想找一個10°的角，要找幾個這樣1°的角？
生：10個。
師：請大家跟著老師一起在這個半圓上找到10°的角。（在課件上從右邊0刻度線開始數出10個1°）你能利用2根手指或兩個手臂做成一個大約10°的角嗎？
師和學生一起把兩手臂伸開當角的兩條邊，把身體當角的頂點。從兩臂重合開始，一臂不動，另一臂慢慢展開，并一起讀：0度、10度。
師：這個角還能大點嗎？我們繼續邊做角邊說角的度數。
師和學生繼續邊做角邊說度數：20度、30度、40度、……、到90度時停下來感受一下。然后繼續：100度、110度、……、180度、……、360度。然后引導學生發現：所有的角都可以看成是從0刻度線慢慢打開的。
設計意圖：通過實踐，我們發現學生對這個活動很感興趣。學生通過自己的肢體語言感受到角從0刻度線張開的過程，雖然所指度數并不精確，但為后面在量角器上想象角的動態變化奠定了最直觀的基礎。
⑵在屏幕上呈現一個靜態的角，還原想象成動態的角。
師：屏幕上的這個角，你能想象出它是怎樣展開的嗎？
生1：可以看成是從右邊往左邊慢慢張開，也就是把右面的邊視為0刻度線慢慢展開。
生2：還可以把左面的邊視為0刻度線慢慢展開。
按照學生所答，課件演示將角移至量角器上，讓其中一邊分別與左右兩邊的0刻度線重合，并出現一支筆，讓筆尖順著數據增加的方向慢慢移動，邊移動邊顯示出整十、整五的數，直到接近角的另一條邊，將度數準確讀出。
師：通過剛才的量角，你發現量角的時候要特別注意什么？
生3：一定要從0刻度線開始順著數下去。
生4：其實我從量角器上任何一個度數開始數也是可以的。就像剛才50°的角，我將左邊的邊對齊90°再往右數，數到40°的位置，就是90°減40°等于50°了。
師：剛才這種新方法好不好？
生5：雖然可以算出度數，但還是很麻煩，因為要通過計算才能得出角的度數。
生6：我覺得有道理，只是他將90°的邊當成了0刻度線。
師：是的，這正是量角的關鍵，選準了起始邊，確定了張開的方向，讀出度數就是件容易的事了。
設計意圖：在上述每一個活動中，學生都把角從0刻度線展開，這就幫助了學生確定了0度的邊，也就找到了度量的起點和標準。再者，學生按照開口方向讀數，不管0刻度線在左還是在右，也不管是內圈刻度還是外圈刻度，只要從0刻度線開始，從小到大地順著往下讀，就一定不會錯。這其實是在把復雜問題簡單化、本質化，有利于學生對量角方法的掌握。通過實踐發現，要讓學生正確度量，必須建立刻度增加的動態表象，而動態的表象又有賴于直觀的感受，因此從最直觀的肢體語言到半抽象的角，最后到完全幾何化的角，應當是一個遞進的過程。由于符合了學生的認知規律，學生學起來自然輕松、清楚。
三、討論
1.課堂與思考——如何練“技”，如何達“能”
在本次研討過程中，我們選取了三位老師分別執教這一內容。從三位執教老師的教學流程中可以發現，他們都是從比較角的大小入手，引出度量的必要性，繼而認識度量工具，認識度量單位，再了解度量方法，最后實際操作。從下圖我們可以看出執教老師對課堂的整體建構。
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角的度量一課的教學，一方面要提高對量角器本身的認識。這既可以從直接觀察量角器入手建構自己的教學，也可以把對量角器的認識放到一個更高的層次，就是經歷量角器的完善過程。另一方面是要進行有效操作，在活動、操作時，讓動手的價值在動口、動腦中提升。所以，角的度量，我們要從“技”上做到：點對點，邊對邊，看對圈，正確讀數；從“能”上達到：技在手，能在身，思在腦，從容操作。
⑴不簡單練“技”
角的度量一課，很多時候是教師教得辛苦，學生學得辛苦，講解示范已經很清楚了，教學效果卻仍不佳。由此可知，量角這一數學操作技能不是簡單的模仿、機械的訓練可練就的。畢竟，量角器不像直尺隨時伴在學生左右，構造也更復雜。所以，量角之前有必要先熟其器。預習可行，課中教師引導學生認識或者由學生自己發現，也可以加深對量角器量角的原理的認識和了解。但要控制好時間，在短時間內有效地落實知識技能目標。
為了讓學生準確量角，量角前在量角器上找角、畫角也是有必要的。但是，這一操作活動與量角的聯系也要清晰，兩者不能脫節。學生畫是畫了，卻不會想到與量角有什么關系，那么看似參與度高的活動，只會變成低效的簡單練技。
⑵有效達“能”
操作課，操作成分多，學生活動量大，參與度高。有時教學中學生都參與了活動，興趣很高，然而練習反饋卻發現問題很多，后測結果相對欠佳。操作需要時間，但課堂教學時間是一個常數，所以在設計操作活動時，一定要考慮活動的有效性，以及對達成教學目標的影響度。認識量角器、用量角器量角兩方面，毋庸置疑，量角器的使用在課堂上的比重相對應該占得更大，但也要留給學生充分的時間觀察交流、辨析糾錯。操作活動要帶著問題、有目的地進行，不能變成在教師指令下的“千手觀音”，既要有操作的廣度，也要有思維的深度。我們要在參與度與準確度之間找到平衡點，讓學生既積極參與課堂，又能提高測量的正確率，形成技能，達成目標。
2.問題與爭鳴
關鍵詞：數學；探究式教學；教學實踐；失敗；啟示
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2012）31-0076-02
探究式教學與傳統教學方式相比，不僅更有助于學生主體性的發揮，還能讓學生體驗數學發現的過程，對學生知識遷移能力、問題解決能力和創造性的培養都是有益的。但對教學而言，方法固然重要但更重要的是如何恰當使用這種方法。實施探究式教學不僅要注重探究內容和方式方法的選擇、問題情境的創設、教師角色的轉變等問題，還要注重教學細節，善用課堂中的生成性資源促進教學。下面以《弧度制》概念的探究教學為例就數學探究式教學談一些自己的看法。
一、教學設計與教學實際
1.教學設計。
《弧度制》的概念是學習任意角的三角函數的重要基礎，如何使慣用“角度制”度量角的學生自然地接受“弧度制”，完善其知識結構是教學的一個難點。在備課時筆者進行了案例學習，同時考慮任教班級為年級重點班，學生基礎較好且思維活躍，同時為使弧度制的定義更自然，在參考優秀案例的基礎上設計了如下教學流程：類比引入弧度制提問復習1°角的概念弧度概念探究角度制與弧度制的比較弧度與角度換算、弧長公式探究練習小結。其中的探究設計如下：
探究一：弧度概念。
問題1：請在圓O中以OA為始邊作出大小為30°的圓心角，你能想到幾種做法？說明你的作圖過程。
這個問題學生可以通過三種途徑完成：①用量角器，或30°三角板；②借助銳角三角函數，利用30°角的正弦值為1/2；③三等分弧AB。
設計分析：學生已掌握的1°角的定義是通過劃分周角完成的。對周角的劃分事實上也是對圓周的劃分，這與弧度制劃分圓的思想是一致的，希望通過這個探究讓學生自主發現劃分圓周，用弧長度量角的這種方法。
問題2：試分析c/r=2？仔的意義。
設計分析：角度與弧度都是通過劃分圓周定義的，不同在于劃分標準的確定。角度制以確定的份數（360份）為標準，而弧度制以每份弧長（與半徑等長）為標準。通過這一步希望學生們能自己找到弧度制劃分的標準并體會圓心角的弧度數與半徑無關。
探究二：弧度制與角度制的換算。
針對這一部分內容教師將教材中的探究分為三步：第一步，學生自主研究特殊角并填表；第二步，首先小組討論然后全班交流從表中得到的結論；第三步，在教師問題引導下概括相關公式。
2.教學實際。
《弧度制》的教學進行了兩個課時，引入與復習回顧階段都很順利，課堂氣氛也比較活躍，但弧度概念的探究開始后課堂陷入尷尬的氛圍，實際探究過程與預想大相徑庭。
問題1提出后幾乎所有學生都很快想到了做法一但沒有其他思路，于是教師提示其他可能出現30°角的情況讓學生再次思考。約一分鐘后組織前后討論，在近十分鐘的討論后只有一組學生找到了做法二，沒有學生完成三等分圓弧的做法。考慮到教學目標和時間限制，請學生簡單介紹做法二后，教師給出了做法三，并揭示了通過劃分圓周度量角的思想。回顧圓周長公式后，教師提出問題2。學生們顯得不知所措，于是教師給出關于除法意義的提示，但學生們最終還是沒能得出教師所期待的：以半徑長為單位度量圓周，則無論半徑多長圓周都會被分為2？仔份的結論，最終教師只能再一次自己給出答案。
進入公式的探究后情況好轉，學生完成表格后很快找出了半圓和整圓這兩個特殊圓弧所對的圓心角的弧度數以及課本中關于正角、負角、零角的弧度特征的結論。最后在教師引導下順利完成了弧長、面積公式的推導，但由于概念部分花費時間過多，對公式的應用只進行了兩個基本練習。此外，與課堂中活躍的表現不同，在課后練習中學生對利用弧度制下的弧長、扇形面積公式解題仍感到困難。
二、失敗原因分析
這節花費了兩個課時的探究課在匆忙中結束，就知識學習而言無論是學生課堂探究活動還是教學效果都不理想，練習反映出的解題能力還不如教師用講授法進行教學的普通班學生。反思這次教學實踐，筆者認為導致了教學失敗的主要原因是學情分析不深入。首先，以學生“應該”會什么取代了學生“實際”會什么，因此課前預測失誤導致準備不足，學生缺乏相關知識導致探究擱淺時教師不能有效地進行引導、啟發，缺乏應對策略。
三、教學啟示
1.深入的學情分析是探究活動的可行性和價值性分析依據之一。充分發揮學生自主性是探究式教學的重要特征和作用。若探究中涉及大量學生原有認知結構中欠缺的知識或方法則探究活動無法順利開展；若探究問題結論顯著，或不能引發學生的認知沖突則探究活動缺乏必要意義。
2.采用探究式教學應更加注重課堂小結。探究式教學實踐的一個常見現象是：課堂氣氛熱烈，教學推進順利，但教學效果不佳，學生們興高采烈的探討后卻不知道為什么要探究，這節課究竟學了什么。這是因為在探究式教學過程中學生作為課堂教學的主體，而其注意力大都集中在探究活動，關注的是探究過程中局部、具體問題的解決，很難自發地領會課堂的重點容易忽略根本問題。因此在探究教學過程中教師更要注重主導作用的發揮，對課堂的發展進行全局性把握。
3.善用探究過程中生成的資源促進課堂教學。探究式教學以學生為課堂主體，但教師的引導和協助也至關重要，當學生探究沒有按教師的預設進行時，教師如何在不破壞學生積極性的情況下進行教學引導，實現指導者的作用呢？筆者認為，一個有效的方法就是抓住課堂中生成的教學資源。探究課中，教師提供問題情境而問題解決的主體工作是由學生完成的。因為這些想法源于學生，而對于同一個問題的解決其具體形式可以多種多樣但其實質總是不變的，因此如果教師能抓住這些新生資源為切入點深入分析，不僅更能吸引學生激發興趣，而且更有利于學生在分析。
參考文獻：
[1]靳玉樂.對研究性學習的再認識[J].課程教材教法，2003，（1）.
1.使學生在理解線段概念的基礎上，了解線段的長度可以用正數來表示，因而線段可以度量、比較大小以及進行一些運算.使學生對幾何圖形與數之間的聯系有一定的認識，從而初步了解數形結合的思想.
2.使學生學會線段的兩種比較方法及表示法.
3.通過本課的教學，進一步培養學生的動手能力、觀察能力.
教學重點和難點
對線段與數之間的關系的認識，掌握線段比較的正確方法，是本節的重點，也是難點.
教學過程設計
一、復習線段的概念，引出線段的長度的度量和表示
1.學生動手畫出(1)直線AB.(2)射線OA.(3)線段CD.
2.提出問題：能否量出直線、射線、線段的長度?(如果有學生將直線、射線也量出了長度，借此復習直線和射線的概念.)
3.提出數與形的問題：線段是一個幾何圖形，而線段的長度可用一個正數表示.這就是數與形的結合.
4.線段的兩種度量方法：(1)直接用刻度尺.(2)圓規和刻度尺結合使用.(教師可讓學生自己尋找這兩種方法)
5.教師再講表示法：線段AB=7cm.
二、通過實例，引導學生發現線段大小的比較方法
教師設計以下過程由學生完成.
1.怎樣比較兩個學生的身高?提出為什么要站在一起，腳底要在一個平面上?
2.怎樣比較兩座大山的高低?只要量出它們的高度.
由此引導學生發現線段大小比較的兩種比較方法：
重疊比較法將兩條線段的各一個端點對齊，看另一個端點的位置.教師為學生演示，步驟有三：
(1)將線段AB的端點A與線段CD的端點C重合.
(2)線段AB沿著線段CD的方向落下.
(3)若端點B與端點D重合，則得到線段AB等于線段CD，可以記AB=CD.
若端點B落在D上，則得到線段AB小于線段CD，可以記作AB
若端點B落在D外，則得到線段AB大于線段CD，可以記作AB>CD.
如圖1-6.
教師講授此部分時，應用幾個木條表示線段AB和線段CD，這樣可以更加直觀和形象.也可以用圓規截取線段的方法進行.
數量比較法用刻度尺分別量出線段AB和線段CD的長度，將長度進行比較.可以用推理的寫法，培養學生的推理能力.寫法如下：
因為量得AB=××cm，CD=××cm，
所以AB=CD(或ABCD).
總結：現在我們學會了比較線段的大小，還會比較什么?學生可以回答出，可以比較數的大小，進而再問：數的大小如何比較?(數軸)再問：比較線段的大小與比較數的大小有什么聯系?
引導學生得到：比較線段的大小就是比較數的大小.
三、應用實例，變式練習：
1.如圖1-7，量出以下圖形中各條線段的長度，比較它們的大小.并比較一個三角形中任意兩邊的和與第三邊的關系.可以得出什么結論?
2.如圖1-8，根據圖形填空.
AD=AB+______+______，AC=______+______，CD=AD-______.
3.如圖1-9，已知線段AB，量出它的長度并找出它的中點、三等分點、四等分點.
4.如圖1-10，根據圖形填空，(1)AB=______+______+______.(2)AB-a=______+______.
四、小結
1.教師提問：怎樣表示線段的長度?怎樣比較線段的大小?通過本節課你對圖形與數之間的關系有什么了解?
2.根據學生回答的情況，教師重點總結數與形的結合以及比較線段大小的兩種方法.
五、作業
p.18，1.2題.p21，2.3.4題.
板書設計
課堂教學設計說明
1.本課的教學時間為1課時45分鐘.
2.本課時設計的主導思想是：將數形結合的思想滲透給學生，使學生對數與形有一個初步的認識.為將來的學習打下基礎，這節課是一堂起始課，它為學生的思維開拓了一個新的天地.在傳統的教學安排中，這節課的地位沒有提到一定的高度，只是交給學生比較線段的方法，沒有從數形結合的高度去認識.實際上這節課大有可講，可以挖掘出較深的內容.在教知識的同時，交給學生一種很重要的數學思想.這一點不容忽視，在日常的教學中要時時注意.
3.學生在小學時只會用圓規畫圓，不會用圓規去度量線段的大小以及截取線段，通過這節課，學生對圓規的用法有一個新的認識.
4.在課堂練習中安排了度量一些三角形的邊的長度，目的是想通過度量使學生對“兩點之間線段最短”這一結論有一個感性的認識，并為下面的教學做一個鋪墊.
5.為避免本節課的枯燥，可以用提問的形式，出現懸念.如：開始的提問“線段是幾何圖形，它與數字有什么聯系?”“在我們學過的知識和生活中，什么東西可以比較大小?”等.這樣就會調動學生的學習的積極性，提高他們的學習興趣，積極思維，使課堂的氣氛更加活躍.
6.如果感覺課堂密度小，還可以增加一些培養動手能力的題.如：
(1)量一量老師的大三角板中的等腰三角形各邊的長，然后再量一量自己手中同樣的小三角板各邊的長，算一算相等的角所對的邊長度的比值，是否相等.(為相似三角形的內容做一些鋪墊)
(2)量一量課桌四條邊的長，再量一量課本四條邊的長，算一算長邊與長邊的比、短邊與短邊的比.(得到角相等的圖形，邊不一定成比例)
關鍵詞：空間觀念；想象和推理；猜想和驗證；操作和思考
小學數學新的課程標準關于圖形與幾何的一個關鍵的核心詞就是發展空間觀念。并明確指出空間觀念的主要表現在：能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化；能根據條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系；能描述實物或幾何圖形的運動和變化；能采用適當的方式描述物體間的位置關系；能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。
根據空間觀念的具體表現，下面談談怎樣優化教學設計，培養學生的空間觀念。
一、通過想象和推理相結合，幫助學生建立空間觀念
通過想象在頭腦中形成對圖形的直觀印象，結合推理幫助學生積累空間想象的經驗。在從平面圖形想象幾何體的活動中，學生將多次進行形如“如果……那么……”的思考，這種邊想象邊推理有助于學生空間觀念的建立。例如：有位老師設計《長方體的認識》一課。長方體有幾條棱？（12條）如果任意擦掉長方體的一條棱，根據剩下的11條棱，你還能想象出長方體有多大嗎？如果再擦掉棱，想一想，至少應剩下幾條棱才能保證我們想象出長方體的大小呢？（學生通過畫，有說剩下6條、4條、2條等，大部分說3條棱。）學生通過推理、交流，得出結論必須要有3條棱，才能夠想象長方體的大小。如果去掉豎著的棱就不能知道長方體的厚度，如果去掉斜著的棱就不知道長方體有多寬，如果去掉橫著的棱，就不知道長方體有多長，不能去掉3條中的任何一條棱。這樣的3條棱十分重要，缺一不可，給這3條棱取名長、寬、高。這樣想象和推理結合，學生對長方體的空間觀念就形成了。
二、利用猜想與驗證相結合，培養學生的空間觀念
學生通過多種活動和體驗，在多種感官的協同作用下形成鮮明的表象。再通過不斷地猜想、驗證，促進學生對知識的理解。例如《毫升和升》的教學設計，先猜猜1毫升有多少，再讓學生用針筒吸1毫升的水，驗證一下到底有多少。玩一玩1毫升的水，一滴一滴放在手里，數一數有幾滴？（大約16滴）。讓學生親身感受1毫升的水是多少。在水槽擠出10毫升的水，讓學生猜100毫升的水大概有多少，按照估計舀100毫升的水，然后用量筒驗證一下，看看誰舀的水最接近100毫升。最后把10位同學的100毫升水倒在一起，是多少毫升？（1000毫升）1升=1000毫升，這樣的教學水到渠成，自然流暢。再拿出一個2升的瓶子，讓學生猜測能裝多少升的水，再倒入水驗證。這樣在有效的活動中，學生剛剛獲得的表象在猜想、驗證過程中不斷調整、矯正、建構，在體驗中逐步內化。從而對毫升和升的度量單位到底有多大形成空間觀念。
三、利用操作和思考相結合，逐步形成空間觀念
在探索圖形性質的過程中，要留給學生實踐、思考和討論的時間，要鼓勵學生在操作中積極思考，缺乏思考的盲目操作會造成操作的無效性。培養學生邊操作、邊思考的習慣。例如：《三角形的分類》教學設計，每人分給9個形狀不同的三角形，并給出表格，表格從銳角的個數、直角的個數、鈍角的個數進行分類整理。讓學生在分類的過程中，對圖形的多方面性質有了親身的感受，并能自己思考圖形的性質得出結論：三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。這樣學生在自己的操作中，通過獨立思考掌握知識，形成空間觀念。
總之，空間觀念的培養必須根據學生的實際情況和幾何的教學特點，精心設計課堂教學，注重學生認知規律，把觀察、操作、想象、推理、表達等活動結合起來，培養學生的空間觀念。
參考文獻：
通過動手、操作、推斷、交流等活動，進一步發展空間觀念，培養識圖能力，推理能力和有條理表達能力
在具體情境中了解鄰補角、對頂角，能找出圖形中的一個角的鄰補角和對頂角，理解對頂角相等，并能運用它解決一些簡單問題
[教學重點與難點]
重點:鄰補角與對頂角的概念.對頂角性質與應用
難點:理解對頂角相等的性質的探索
[教學設計]
一.創設情境激發好奇觀察剪刀剪布的過程，引入兩條相交直線所成的角
在我們的生活的世界中，蘊涵著大量的相交線和平行線，本章要研究相交線所成的角和它的特征。
觀察剪刀剪布的過程，引入兩條相交直線所成的角。
學生觀察、思考、回答問題
教師出示一塊布和一把剪刀，表演剪布過程，提出問題：剪布時，用力握緊把手，兩個把手之間的的角發生了什么變化?剪刀張開的口又怎么變化?
教師點評：如果把剪刀的構造看作是兩條相交的直線，以上就關系到兩條直線相交所成的角的問題，
二.認識鄰補角和對頂角，探索對頂角性質
1.學生畫直線AB、CD相交于點O，并說出圖中4個角，兩兩相配
共能組成幾對角?根據不同的位置怎么將它們分類?
學生思考并在小組內交流，全班交流。
當學生直觀地感知角有“相鄰”、“對頂”關系時，教師引導學生用
幾何語言準確表達
;
有公共的頂點O，而且的兩邊分別是兩邊的反向延長線
2.學生用量角器分別量一量各角的度數，發現各類角的度數有什么關系?
(學生得出結論：相鄰關系的兩個角互補，對頂的兩個角相等)
3學生根據觀察和度量完成下表：
兩條直線相交所形成的角分類位置關系數量關系
教師提問：如果改變的大小，會改變它與其它角的位置關系和數量關系嗎?
4.概括形成鄰補角、對頂角概念和對頂角的性質
三.初步應用
練習：
下列說法對不對
鄰補角可以看成是平角被過它頂點的一條射線分成的兩個角
鄰補角是互補的兩個角，互補的兩個角是鄰補角
對頂角相等，相等的兩個角是對頂角
學生利用對頂角相等的性質解釋剪刀剪布過程中所看到的現象
四.鞏固運用例題：如圖，直線a,b相交，，求的度數。
[鞏固練習](教科書5頁練習)已知，如圖，，求：的度數
[小結]
鄰補角、對頂角.
[作業]課本P9-1，2P10-7，8
[備選題]
一判斷題：
如果兩個角有公共頂點和一條公共過，而且這兩個角互為補角，那么它們互為鄰補角()
兩條直線相交，如果它們所成的鄰補角相等，那么一對對頂角就互補()
二填空題
1如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，的對頂角是，的鄰補角是
若：=2：3，，則=
一、從教材的編排上看
1. 情景圖的創設更有深刻的數學與社會價值。
人教版舊教材中是呈現了一些學生用曲別針、尺子、木塊、三角形圖片、鉛筆等測量數學書本的長與寬的操作情境，而后用硬幣、曲別針、木塊分別測量數學書本的寬，產生認知沖突從而得出統一長度單位的必要性。新教材則利用古人用庹（成人兩臂左右伸直的長度）量巨石、用拃量布的長度以及用腳掌長量竹竿的情境，讓學生了解到很久以前人們用身體的某部分作為長度單位，初步體會到測量長度必須要有合適的長度單位。通過這樣的情境改變，教材中刪減了一些刻意安排的探究性活動，使其所呈現的內容更尊重知識的本源，顯得更加真實。學生在探究知識的過程中了解歷史上曾經存在的其他長度單位，這一過程使得枯燥的數學知識顯現出趣味性，具有深刻的數學與社會價值。
2. 教材的安排更好地體現了從抽象到具體的編排方式。
新教材把原來的“要知道物體的長度，可以用尺來量”改為“尺子是測量長度的工具，尺子上的‘厘米’就是一個統一的長度單位”，增加了“量比較短的物體，可以用‘厘米’作單位”與“量比較長的物體可以用‘米’作單位”這兩句話，讓學生更加直觀地感知兩個長度單位在不同情境下的使用。再如，線段是幾何知識中比較抽象的概念，由于學生年齡小抽象思維水平低。所以，在認識線段時，舊教材是直接呈現用尺量一量，然后就出示一些線段讓學生親自動手測量，知識間的過渡比較突兀，顯得不自然。新教材則先用“拉緊的一段線，可以看作一條線段”的描述，接著用“黑板邊、桌子邊、書邊都可以看成線段”這句話，進而出示小精靈呈現一句話“還有哪些東西的邊可以看成線段”，最后才出示語言描述“下面這些都是線段”。該部分知識一次比一次遞進，讓學生從直觀的感知——拉緊的線、黑板邊、書邊等以及示例圖，再到抽象的線段中，這樣的編排方式體現了從具體到抽象的過程，既不使學生感到突兀，又符合該年齡層次的學生的認識規律。
二、從教學目標上看
新教材的教學目標從單一性變為多樣性。傳統教材中主要的教學目標是知識技能方面的目標。傳統教材的目標體現不出教師教學的方法，以及學生的學法。而新教材的教學目標則能體現出一些具體的做法，如通過對熟悉的實際問題的解決。“長度單位”就是由教師和學生一起用拃量課桌的長，既體現了學生的學，又體現了教師的教，在經歷了這樣的教與學的過程，才使得數學活動過程始終作為重點貫穿于教學中。新教材的目標設定及教學過程，更多地體現了教學中的動態生成，寓數學思考、探究、發現于一體。
三、從教師的教學方式上看
教師的教是為了學生更好地學。當前，教師更重要的是利用各種情境以及方法引導學生更好地學習數學知識。例如，在教學“長度單位”該部分知識時，教師不再像以前一樣準備很多的教具：曲別針、小木塊、小刀、硬幣等來配合教材中的教學情境，讓學生學習長度單位。教師可以依照新教材，適當利用網絡資源搜集古人用過的各種測量方法，將分散的信息聚合，制作成課件，讓學生欣賞古人們是如何測量的。在欣賞的過程中，應使學生明白古人的測量也用到了很多丈量單位，像斗、石等的度量單位，它們都曾經在歷史上存在過并發揮了重要作用，這樣的教學設計，學生們聽得津津有味，教學過程也變得更為順利。歷史上的度量單位，以及古人們用身體的部位作為丈量工具，使學生更好地了解長度單位的產生過程與形式的多樣。通過當前的學習，只是學習了其中的一小部分，這樣的教學可以使學生感受到我們的數學知識是擁有豐富的歷史意義的。
其次，在教學中，教師可以直接讓學生用他們的一庹測量黑板的長，用一步測量教室里一塊地磚的寬，用一拃測量課桌的長等，讓學生在實際測量中初步感知長度單位的多樣化。接著教師和學生分別用一拃長一起測量講臺后發現——同樣一拃（不同年齡）為什么測量起來不同呢？使學生們通過這樣的嘗試活動，感知統一長度單位的必要性。這樣的教學，學生學習興趣高漲，他們積極主動地參與到學習新知識的過程中來，教學設計有效且高效。
四、從學生的學習興趣上看
【關鍵詞】重整教材 數學學習力 知識形成規律 認知規律 生活
數學學習是培養學生認識數學，提高其發現、理解與解決問題的能力的過程，即數學的學習力生長的過程。作為數學學習的基本材料，數學教材不應是學生數學學習的“作為事實”，而應是一種數學學習活動中“作為關系和過程”的實踐存在。數學教材是學生數學學習活動的出發點，不是最終目標。為了適應不同學生學習的需要，數學教材的編寫具有一定的彈性。隨著數學教學內容及師生關系的重新定位，數學教師必須從機械使用教材的窠臼中解放出來，成為教材的開發者、建設者和實踐者。因而，基于學生，為了學生，數學教師要對數學教材實施動態層面的再度加工，真正實現教師對于數學教材的理解提升與超越重構，從而培養學生的數學學習力。
一、依據知識形成規律，科學地分解與組合教材
一節好的小學數學課，不僅僅是數學知識的傳授，更重要的是讓學生在學習知識的同時培養思維的能力。教材中的學習內容，是一個有機的整體，這個整體由幾個互相聯系著的學習內容組成，學生通過對幾個內容的學習與組合來整體把握數學知識。教師要科學地分解教材的知識內容，找準知識形成的節點，以實現在課堂上的重構組合。
如，蘇教版四年級上冊《角的度量》一課，教材內容可以分解為：（1）通過教學使學生掌握量角的大小的方法步驟，并正確量出角的大小；（2）在學會通過量角器量角的大小的前提下，懂得角的大小與角的兩邊的長短沒有關系；（3）既然角的大小與角的兩邊的長短沒有關系，說明組成角的兩條邊可以無限長，因此，角的兩邊是射線，而不是線段；（4）量角的工具是量角器，角的計量單位是“度”，其數學符號是“°”。而對于學生的思維活動，可以分解為：（1）為什么要學習“角的度量”？（2）用什么工具度量角的大小？（3）有了量角器這個工具后，如何來度量角的大小？（4）量角器為什么可以度量角的大小？它上面到底有什么？（5）角的大小用什么單位來表示？這些問題的解決是建立在透徹認識量角器的基礎上的。因此，本課的教學設計策略是：首先，設置情境，提出問題。教師為學生提供大小不同的四個角（直角、鈍角、銳角、更小的銳角），通過比較角的大小，使學生產生問題：每個角有多大？大多少？怎樣測量角的大小？用什么測量角的大小？其次，引導學生合作認識量角器，在此基礎上，匯報自己小組的發現，互相補充，不斷豐富對量角器的認識。再次，引導學生總結概括，完善認識：一是量角器上有內外圈兩種刻度；二是外圈刻度從左到右依次是0度～180度，內圈刻度從右到左依次是0度～180度；三是對應于同一刻度的內外圈數字和為180度；四是量角器其實是把半圓平均分成了180份，其中的1份所對應的角的大小為1度，記作1°。接下來的教學就是利用量角器量角的大小，遵循由簡單到復雜、由特殊到一般的原則進行。學生測量上課伊始準備的用硬紙板做的角的大小，然后測量三角板上角的大小，有了這樣的基礎，再來測量畫在紙上的開口位置不同的角的大小。最后，引導學生總結歸納用量角器量角的大小的方法步驟。這樣的教學活動，完善了學生對量角器的整體認識并梳理了量角器的使用方法，其實質就是知識的重新組合過程。
基于學生，整合教材知識和學生思維之間的聯系可以有效地實現學生認知上的平衡，并在其數學學習過程中不斷打破這種平衡，這種上上下下的和諧節拍，一定會奏響學生進一步發現、解決問題與增強數學學習興趣的樂章。
二、依據學生的認知規律，有目的地改變教材的內容結構
數學教師不只是數學課程方案的執行者，還應對教材的設計與實施提出自己的想法，并在實踐中落實。
教材的編寫是為了更大程度地滿足不同學生的學習需求，教師有必要根據學生的需要對教材進行二次加工，必要時還要對教材進行增補。如數學教材中有的單元教學知識點多，內容類型豐富，如果按教材的編寫順序教學，可能會向學生散點式地呈現，這不可避免地會割裂知識之間的內在關聯，不利于學生從整體上把握知識，這就需要教師在單元課之前加入整體進入的教學內容，而這樣的教學內容教材中是沒有的，這就要教師自己創造。
如在教學蘇教版四年級上冊《兩步混合運算》時，教師通過四個運算符號“+、-、×、÷”組織學生選擇兩個運算符號組成算式，從而產生這樣三種類型的混合運算，同種運算（連加、連減、連乘、連除）、同級運算（加減、乘除）和不同級運算（乘加、乘減、除加、除減）。依據學生已有的知識基礎，他們對于前兩種同種、同級運算的順序是了解的，因此這兩種運算不是本單元的教學重點。重點是讓學生了解兩步混合運算產生的來龍去脈并幫助學生理解不同級運算的運算順序。如此一來，學生能從整體上把握混合運算的不同類型，以及不同類型混合運算之間的關聯，這有利于培養學生的整體感知意識，提高其數學的整體思維能力。
三、貼近學生的生活，創造性地改造教材
1.選擇教材主題情境的呈現時機，激發學生的學習興趣，提高教學效果。
在教學中，教師要深入鉆研教材，認真研究主題情境呈現的時機，選擇最有利于教學的時機呈現。帶領學生進入主題情境后，教師要引導學生的思緒向現實生活延伸，鼓勵學生走出課堂，學會用數學的眼光觀察生活事件、解決生活問題，充分體驗數學本身的魅力。這就要求教師根據教材適時創設適當的教學情境，讓學生體悟到數學是來源于生活又要應用到生活中去的，感悟數學與生活的聯系。如，在蘇教版一年級下冊《小小商店》一課中，教師臨時在教室里布置了一個小商店，讓學生參與模擬購物的活動，鼓勵學生設計多種購物方案，以獲得實際購物的經驗和策略。再如，在蘇教版一年級下冊《假日小隊》一課中，讓學生回憶自己曾經參與過的假日小隊活動，或有目的地組織一次假日小隊活動，通過活動發現數學問題及數學現象，運用數學知識解決有關的實際問題、解釋一些數學現象。這些經歷、經驗及相互間的互動可以促進學生學習的內容不斷走向他們的生活，同時獲得數學表達，甚至是數學想象。
2.理解學生數學學習的困難，學會“行教與讓學”，引導學生間的問與答，從而對教材作適當的自主建設。
一般說來，來自教材的學習困難有如下幾個方面：一是對教材所描述的情境不熟悉，因而也就不能從中捕捉信息、提煉關系；二是教材中的很多概念性知識、邏輯關系復雜，學生不適應、讀不懂、不理解。因此，降低學生閱讀、理解、分析的困難程度，顯得尤為迫切和重要，這就要求教師根據教材的客觀存在，分析學生學習中可能出現的困難，自主組織教材，引導學生想辦法運用數學方法不斷涵養自身的數學理解，提升數學學習的自信心，從而不斷提高數學學習力。如，蘇教版三年級下冊《平均數的認識》一課，教材的內容是呈現兩組不同人數（3人、4人）的男女生進行套圈比賽，引導學生通過對比兩組數據發現直接比較每組套中圈的總數是不公平的，但如何引入平均數進行比較是許多教師的困惑，是直接告訴還是等待？比較糾結。而學生對于用平均數進行比較又不能一下子明白。怎樣克服這樣的困難呢？如果這樣改編教材：先出示兩組人數相同的男女生進行比賽的成績數據，3人每人套中6個，3人每人套中5個，引導學生進行比較，學生會很自然地想到可以比總數也可以比每人套中的個數；再出示第二組成績數據，3人每人套中6個，4人每人套中5個，學生會發現比較總數是不公平的，應比較每人套中的個數，即平均數的雛形，這時再出示第三組成績數據，3人套中的個數分別是7、9、5，4人套中的個數分別是10、4、7、3，引導學生進行比較，學生會很自然地聯系前面的數據進行平均數的求解。這樣整合設計教材，降低了教材的學習難度，使得平均數的引入不那么生硬，而順理成章地鋪就了數學學習的軌道，這是教材中的教材，也是教材外的教材。
關鍵詞：數學；形式；內容
“內容決定形式，形式服從于內容”，這是教學辯證法，初中數學課堂教學也不例外。在初中數學課堂教學設計中，要注意使初中數學的教學形式服從于教學內容，為此，教師必須處理好以下幾個關系。
一、處理好數學課程改革中繼承的關系
數學課程改革不僅是“課程內容的變化”，更注重的是“新教育理念的推進”。改革不是推倒重來，而是對傳統的教學內容在繼承基礎上的發展與揚棄，我們強調學生的主體作用不是否定教師的主導作用，而是在尊重教師主導作用的同時，更加注重培養學生的主動性、開放性，鼓勵學生的創造性思維，從而把學生的學習主體與教師的主導作用統一起來。比如對于教材的使用，新課程要求教師不是教教材，而是用教材教；教材只是“藍本”，而不是唯一的標準，教師可以根據課堂教學的實際情況，對教材有針對性地進行補充、延伸、拓寬、重組，并注重做到教材、生活和學生經驗的聯系和融合，同時鼓勵教師、學生對教材的質疑和超越。只有這樣，才能提高教材的利用率，實現“用教材教”而不是“教教材”，從而提高課堂教學的質量。
二、處理好課堂學習方式與教學內容的關系
確定課堂教學方式不能一味地標新立異、求活求趣，而應從每一節特定的課堂教學內容出發來選擇最恰當的教學方式。如在教授“分式通分”這一內容時，就應設計“自學自悟―類比發現―啟發講解―強化訓練”的教學程序來引導學生進行學習；而教學“三角形中位線”的內容時，恰當的教學流程應該是：動手實踐（畫圖度量一感知新知，剪圖重組―發現新知）―自主探究（證明結論）―交流評價（達成共識，形成結論）―變式運用（鞏固新知）―自主小結（積累經驗，升華思維），這樣設定的教學方式就與教學內容相適應。
另外，心理學研究表明，不經過學生親自探索和發現，就想把已知的真理變成學生的真知是不可能的。為此，教師必須把教材中的數學知識轉化為具有探索性的數學問題，在課堂上鼓勵每個學生動手，動口，動腦，參與數學的學習過程，在數學知識的學習過程中，實施積極有效的體驗。比如，在學習數學截一個幾何體這部分內容時，我們可讓學生利用馬鈴薯做成的立方體自己來切一切，看一看，這樣在真實的體驗中學生對知識的認識會更加深刻。
初中數學形式服從內容很重要，我們要注意正確處理好其中的幾個關系，唯其如是，我們在初中數學教學設計中，才能取得好的效果。
參考文獻：
一、緣起
知識結構化成認知結構，這是由學習者的自主建構來實現的。數學教學不應由教師將一個個知識點傳授給學生，讓學生被動地來接受、理解和掌握，而是應該讓學生充分地運用自己已有的生活經驗和知識基礎，經過親身的體驗，用自己的思維方式去嘗試解決新問題、建構新知識。在學習了《射線和角》之后，教材安排了《角的度量》這一內容。仔細研究教材之后，我認為教學目標可以從兩方面來確定：（1）知識目標：①認識量角的工具——量角器以及角的度量單位“度”；②會正確使用量角器度量角的大小；③利用量角器畫規定度數的角。（2）技能目標：通過嘗試量角，在具體操作中，培養學生的動手能力、分析推理能力以及自主獲取知識的能力。雖然量角器的使用是學生第一次學習，但是在生活中，學生或多或少已經看到過甚至用過量角器，鑒于以上原因，我設計了以下幾個教學環節：一是談話引入，引出量角器，讓學生認識量角器。二是能用量角器量測量角的大小。這一環節我設計了以下三項任務：①學生各自在草稿紙上畫一個角并嘗試量角；②同桌交流測量角的過程、方法以及要注意的問題；③集體交流，歸納總結量角的過程方法，同桌檢驗。三是讓學生學會畫角。這一環節我又設計了以下兩個環節：①嘗試畫規定度數的角；②集體交流，討論總結畫角的方法以及應注意的地方。
二、實施過程
拿著準備好的教學預案，我走進了四（1）班，按著我預設的環節，開始落實教學任務。在教學過程中，我總是擔心時間可能會來不及，那樣的話，“畫角”這一內容只能放到下一節課了。可是，出乎我意料的是，四（1）班的小朋友對量角器非常熟悉，當我要小朋友們在自己的紙上畫一個任意的角，并用量角器量角時，我猜想小朋友量的方法可能會五花八門，量出來的角度與實際的角相差會很大。但是在巡視他們量角的過程中，我驚奇地發現大部分小朋友量角的方法都是比較正確的，速度也比較快，短短幾分鐘，小朋友們就完成了任務。在接下來的幾個環節中，四（1）班的小朋友表現一直很棒，短短的35分鐘，我預設的幾個教學內容和教學目標順利完成了。帶著一份欣喜，我離開了四（1）班的教室。
下午，我帶著同一個內容，走進了四（3）班的教室。有了四（1）班成功的試驗，我滿懷信心，心里覺得很輕松。根據我的了解，我認為四（3）班的小朋友上課更專注，主動性更強，理所當然這節課應該更順利、更省時。同樣的引入，同樣的環節，當我請小朋友在自己紙上畫一個任意的角，并用量角器測量時，本覺得是很輕松、很簡單的事，我也偷了點懶，沒有走到小朋友身邊巡視，靜靜地等待他們把小手舉得高高的，露出自信、自豪的笑臉。可是過了好一會兒，才看到一兩只小手，孤零零地十分膽怯地立在那里，小朋友們也緊鎖眉頭，不停地擺弄著手中的量角器，似乎遇到了困難。看著教室后面的鐘，時間一分一分的過去，我等不及了，迫不及待地走到他們身邊，看看究竟發生了什么事。我驚奇地發現大部分小朋友連最基本的量角的方法都不清楚，有的是量角器的中心沒有與角的頂點對齊，或者是角的一條邊沒有與量角器的0刻度邊對齊，就在讀度數了，這樣一來，明明是個比90度小的銳角，到了他們的手中，卻變成了一個比90度大得多的鈍角。就連我最得意的幾個弟子陳天其、姚高煒、徐穎韜也拿著量角器不知所措。看著他們一個個不知所措的表情，我心中頓時火冒三丈。怎么辦？如果再這樣下去，也是浪費時間，但如果由我在黑板上邊畫邊講解，那樣的話，我們還不是又回到以前學生被動接受知識的狀況？學生學習的主動性、主體性又體現在哪里呢？我改變了教學策略，便說：“老師發現有好多小朋友不知道怎樣量角，那么就讓我們看看書上是怎樣介紹量角的。看書以后，你認為自己會量了，再把剛才的角量一量。”因為有了剛才失敗的教訓，孩子們看書的勁頭可大了，不一會兒，孩子們就忙著在用量角器量角了，還不時地介紹比較各自的方法……由于事出意外，“畫角”這個內容只能留到下一節課了，我帶著遺憾、困惑離開了教室。
三、教學反思
本以為有了四（1）班成功的經驗，只不過是在四（3）班進行再一次的“重播”，預想著重播會更順利、更省時，但結果卻出乎我的意料。這說明即使是同一個教學內容，由于班級情況的差異，結果也會迥然不同。 因此，作為我們教師，應努力做好以下幾個方面：
首先，要尊重學生的個體差異，因材施教。
學生學習是個體的一種主觀活動，外界可以對個體施加影響，但無法代替個體活動，即使代替了個體活動，也無任何創新價值。因此，離開學生的積極參與、主動創新，即使是著名的教育專家對學生也無濟于事。《數學課程標準》總目標中要求學生：能主動進行探究性學習，在實踐中學習。而每個學生都有自己的特長，有自己發展的特點，教師不能用統一的教材、統一的教學設計、統一的標準去對待、衡量、評價處于不同發展水平的學生。學生的學習應建立在他們已有的知識背景及生活經驗基礎之上。作為教師，在設計教學思路之前，應了解學生已有的知識和生活經驗，了解他們已經知道了哪些關于角的知識，對量角器有多少了解，有幾個小朋友已經能熟練地使用量角器或有幾個小朋友對于量角器是一無所知的，根據學生的認知基礎，哪幾個知識點是難點或重點？教師要設計怎樣的幾個環節來突破？教師應根據不同的學生、不同的班級、不同的教學起點設計不同的、適合學生發展的教學過程，讓學生用自己的思維方式學習新知識，真正體現“讓不同的學生在數學上得到不同的發展”。
其次，學習是學生自主構建的活動，作為教師要善于營造寬松的教學氛圍，發揮學生的主體作用。
新課程改革也強調教師要營造寬松的課堂氛圍，使教學活動民主化、學習行為主體化。即在教學過程中要充分發揮學生的主體性，采取啟發性、探究性教學方法，避免學生被動地接受、盲目地模仿和記憶，將學生置于課堂活動中心，通過設疑、發問、探究，實現課堂教學的雙向和多向交流，使學生的個性發展有廣闊的空間。教育家波利亞也說過：“學習任何知識的最佳途徑都是自己去發現，因為這種發現，理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。”而且每個學生都有自己的生活經驗，都有自己的知識基礎，我們的教學應該讓學生從自己的數學現實出發，主動構建新知識。在上面的教學中，我首先讓學生自己在紙上畫任意的一個角，嘗試著自己用量角器量一量，教師巡視。在這個過程中，教師不僅了解了學生的認知起點，發現了學生中存在的問題，而且使學生在具體的操作加深對已有知識的理解的同時發現了問題，以便在交流討論中自主構建知識。當學生嘗試用量角器測量角度后，我組織學生進行小組交流，把自己獲取的知識或有疑問的地方提出來與小朋友一起討論交流，初步歸納出用量角器量角的方法，使學生對量角的方法得到了進一步的完善。最后通過小組匯報，集體討論交流，經過老師的引導補充，使“量角”這一過程徹底明朗，準確。在這個過程中，教師始終是組織者、引導者、合作者，創造情境，讓學生主動構建、獲取知識。這樣，不僅激發了學生學習的主動性、積極性，而且能啟發學生思維，發展學生的智力，對所學的知識印象特別深刻。
第三，教材是學習的根本，必須用好。
隨著新課程的實施，傳統的從課本出發組織教學活動，將知識機械地傳授給學生的舊教法已不多見，探究式的教學模式已成為現時最流行的教法。但是，探究式的教學并不是我們唯一的教學模式，仔細分析我們的教材、我們的孩子，培養他們如何讀書、如何從書本上自主地獲取知識也非常重要。像“射線和角”、“四則混合運算”、“角的測量”等知識，一方面沒有多少探究的價值，另一方面，這些知識的要點教材上講得很清楚，沒必要在課堂上花費太多的時間讓學生探究。我們說，作為教師不是教教材，而是用教材教。作為教師，不能完全依賴教材，也不能放棄教材，而要創造性地使用教材，這樣才能在體現教材價值的同時，培養學生主動獲取知識的能力。
[摘要]數學能力是在后天的學習、實踐中發展起來的。因此，要在初中數學階段加強對學生數學能力的培養，尤其是加強數學創新能力的培養。
[關鍵詞]數學教學 數學能力 創新性
一、初中數學的教學內容
數學課按教學內容可分為概念課、定理（包括公式）、法規及其應用課、習題課與復習課。數學課的目的是在知識的教學和技能的訓練過程中，通過數學思想的形形成和數學方法的掌握來培養、發展學生的數學能力。
二、如何在初中數學教學中培養學生的數學能力
1.利用一題多解，培養發散性思維。數學中的一題多解現象很多，對此教師要多方位、多角度的引導，指導學生尋找不同的解題思路，從而培養學生分析問題、解決問題的能力，同時也培養學生的創造性思維的能力，使學生在今后的的學習過程中能用不同的方法解決問題。歸納法、類比法、分析法、綜合法等方法都是培養學生分析能力的很好途徑，這樣的訓練能擴展學生的數學解題思路，有利于學生創新思維的培養。
2.創設情境教學，激發學生的求知欲。創設問題情境可激發學生求知欲，課堂上教師要多創設問題情境，以激勵學生解決問題的動機，使學生通過探索解決問題，獲得積極的心理滿足。只有感受真切，才能入境。例如，在對“矩形的判別”進行教學設計時，教師可以通過具體問題的解決，創設出如下的問題情境：用刻度尺度量矩形的對角線的長度，從而引出課題，引導學生分析畫法的實質，并用幾何語言概括出這個實質。接著，再引導學生根據上述實際問題的啟示，思考證明方法。除創設問題情境外，還可以創設新穎、驚愕、幽默、議論等各種教學情境，良好的情境可以使教學內容觸及學生的情緒和意志領域，讓學生深切感受學習活動的全過程，并升華為自己精神的需要。這已經成為提高課堂教學效率的重要手段。
3.加強數學能力的培養，形成創新技能。數學能力表現在掌握數學知識、技能，能用數學方法解決實際問題。其中，數學技能在解題中體現為幾個探索階段，即觀察、實驗、想像，推理、運算、表述，抽象、概括、推廣。這幾個過程包括了創新技能的全部內容。因此，在數學教學中應加強解題的教學，在教給學生學習方法和解題方法的同時，進行有意識的強化訓練：自學例題、圖解分析、推理方法、理解數學符號、歸類鑒別等，使學生在求知的過程中，掌握相應的數學技能，形成創新能力。
4.注重學生思維能力的培養，訓練創新思維。數學是思維的體操，若能對數學教材巧安排，對問題妙引導，創設一個良好的情境，對學生的思維訓練是非常有益的。尤其在新課程教學中，不能只是“教師講、學生聽”的常規教學，要讓學生在教師引導下積極探索，主動去挖掘知識、獲取知識。尤其是富有吸引力、感染力的引題，會使學生一下進人積極的思維狀態，表現出對知識的渴求，此時教師再即時引申，不斷歸納總結，學生就會積極反思，尋求知識規律。例如，在初三幾何“圓周角定理”的教學中，筆者設計了如下教學過程：①比較圓心角與圓周角的圖形，通過由一般到特殊的觀察方法，發現當弧相同時，一條弧所對的圓心角只有一個，而同一條弧所對的圓周角有無數個。②運用數學對應的思想，猜測同弧所對圓心角與圓周角之間存在某種數量上的關系。③遷移圓心角度數等于它所對的弧的度數來幫助分析圓周角的數量關系。④運用無限多個向有限多個轉化的思想以及按二分法的分類方法，經過兩次分類，把圖中的圓周角分成三類：圓心在圓周角上；圓心在圓周角內；圓心在圓周角外。⑤再根據由特殊到一般的研究規律發現：“當圓心在圓周角上時，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”。⑥在找到特殊情況下的突破口之后， 把特殊情況轉化成一般情況來分析，用特殊情況的方法得出“另外兩種一般情況下同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”的結論。
類似這樣用來培養學生邏輯思維能力、同時發展學生“創造性”數學能力的教學內容，在初中教材中還有很多。廣大教師一定要努力探索，認真研究，不斷在教學實踐中發展學生的邏輯思維能力，進而培養學生的創造性數學能力。
隨著課程改革的深入實施，教師的教學方式和學生的學習方式都發生了很大的改變，學生通過探究性學習更能發揮自己的主觀能動性，滿足自己的好奇心和求知欲，從而獲得新知。但在實際教學中，探究性學習的功效因為各種各樣的原因沒能得到充分發揮，還存在一些不盡如人意的地方。下面，筆者結合自身的教學實踐，為學生進行高效的探究性學習獻上“三招”。
一、精心遴選，注重探究材料的適切性
好奇心和求知欲是激發學生自主探究的動力。好的探究活動能讓學生在教師的指導和幫助下，通過自己的探究獲得新的知識。但在實際課堂教學中，限于學生的數學視野和知識基礎，有時候過多的信息干擾會影響學生探究的進程，讓學生“過山門而不入”。所以，在提供探究的問題和材料時，教師要精挑細選，盡可能提供便于學生探索出結果的材料。
例如，教學六年級“圖形與幾何”復習課時，教師設計了這樣一組相對照的問題：（1）用18根1分米長的小棒圍成一個長方形，面積最大是多少？（2）用18根1分米長的小棒一面靠墻圍成一個長方形，面積最大是多少？通過問題，引導學生探索等周長的長方形面積與長、寬之間關系的規律。事實證明，學生根據已學過的知識，對題（1）的探索不費勁，很快得出了“等周長的長方形，長與寬越接近，面積越大”的結論。但對題（2），各小組學生探究的程度不盡相同，有的小組直接根據規律的遷移用18除以3得到每條邊的長度為6分米；有的小組用列舉法找到了題中最大的長方形，但是不知道為什么會這樣。全班交流時，學生的話總是到了嘴邊卻又說不出來，經過教師的要再三啟發，還是不能用自己的語言表述出來，最終只能由教師來講授。研討的時候，大家一致認為這里的探究性活動安排得很貼切，只是在如何更好地發揮學生探究的主動性上要再下工夫。其實，這個問題也很好解決，如將題目中的數據由“18根小棒”換成“20根小棒”就行了，這樣可使學生輕松地探索出題（1）中的規律——當長和寬相等變成正方形時面積最大。而在探究、解決題（2）中，學生通過列舉可以發現“一面靠墻時面積最大的長方形的長等于兩條寬之和”。這樣一個小小的變化，有效降低了題目信息的干擾，給學生的探究帶來便利，為學生成功解決問題打下基礎。應該說，這樣的探究材料是我們數學教學需要的。
二、精心設計，注重探究活動的深入性
學生的探究活動不是為了探究而探究，所以在課堂教學中，教師要精心設計學生的探究活動，讓學生在有必要探究的地方進行探究，使學生在教師的引導下不知不覺地深入探究知識。這樣經過親自體驗獲得的知識，學生印象最深刻，記憶才最牢固。
例如，特級教師強震球教學“角的度量”一課，可以看作引導學生探究步步深入的典范。課堂教學中，強老師沒有走傳統演示教學的路子，而是通過激發學生的認知矛盾，先引導學生探究角的大小比較的方法，再讓學生由比角的大小探究出“知道大多少或小多少要有統一大小的角作為標準”。在學生自主探究出量角應以多大的角作為1°的標準后，強老師又引導學生探索讀出一個角的大小的方法。這些別出心裁的教學設計都讓聽課教師嘆為觀止，不住地問自己“我怎么沒想到”，并且帶給學生的思維沖擊也是震撼的，簡直就是還原量角器的發明過程。試想一下，在這樣的探究活動之后，度量角的大小的方法還需要教師去演示嗎？同時，這樣教學使“為什么要有0刻度線”“每個的大小是多少”“怎樣讀角的度數”等問題都迎刃而解了。尤其重要的是，通過不斷深入的探究，學生對這部分知識掌握的深刻程度是不言而喻的，且對培養學生學習數學的興趣、幫助學生樹立學好數學的信心起重要作用。
三、巧妙安排，注重探究成果的發散性
學生通過探究獲得的成果有多方面的作用，既是能力的展示、經驗的積累，又是知識的沉淀，但要真正發揮探究性學習的功效，教師還要想方設法讓學生的成果“保值”。要做到這一點，在學生探究之后，教師應安排相應的活動和練習讓學生進行嘗試、鞏固，使學生學有所用、學有所悟。
例如，教學“面積的變化”一課時，在學生探索出不同的長方形相拼面積會發生怎樣變化之后，教師安排了一個實踐活動，讓學生體驗自己的探究成果在生活中的應用價值，從而產生積極的學習情感。實踐活動如下：已知一盒火柴的長、寬、高分別是4厘米、3厘米和1．5厘米，火柴廠要包裝一打火柴，你打算用什么樣的方案，為什么？學生應用課上所學的知識，從節約和美觀的角度出發，設計出了各自的包裝方案。然后教師通過大屏幕展示現實生活中的火柴盒包裝方法，大部分學生發現自己設計的方案與廠家采用的方案是一致的，這就說明了知識的力量。通過這樣的練習，將課堂上所學的內容擴展到課外，促進了學生情感和能力的提升。
