時間：2022-07-23 20:37:42
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇初中數學教案，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
同底數冪的乘法(二)
一、教學目標（
1．熟練掌握同底數冪的乘法的運算性質并能運用它進行快速計算．
2．培養學生運用公式熟練進行計算的能力．
3．培養學生善于分析問題和解決問題的能力，激發學生勇往直前的斗志．
4．滲透數學公式的結構美、和諧美．
二、學法引導
1．教學方法：講授法、練習法．
2．學生學法：勤于練習，在練習中理解同底數冪的適用條件及運算方法．
三、重點·難點及解決辦法
（一）重點
同底數冪的運算性質．
（二）難點
同底數冪運算性質的靈活運用．
（三）解決辦法
在運算中應強化對公式及性質的形式、意義的理解，同時應加強對符號的判別．
四、課時安排
一課時．
五、教具學具準備
投影儀、膠片．
六、師生互動活動設計
1．復習同底數冪的乘法法則并能正確的判斷是否合理使用了該法則，讓學生能進一步準確掌握該法則．
2．通過兩組舉例（師生可共同完成），教師應側重幫助學生分析解題的方法，并及時提醒學生注意易出錯的環節．
3．再通過三組不同形式的題型從不同的角度訓練學生的思維能力，以提高學生的辨別能力和運算能力．
七、教學步驟
（－）明確目標
本節課重點是熟練運用同底數暴的乘法運算公式．
（二）整體感知
要準確掌握同底數冪的乘法法則，并會運用它熟練靈活地進行同底數冪的乘法運算，對于運算法則，我們除了應掌握它們的正用：外，還要善于根據題目的結構特征，學會它們的逆向應用：，當然這個難度較大．在應用同底數冪乘法法則計算時，要注意防止把冪的乘法運算性質與整式加法相混淆．乘法只要求同底就可以用性質計算，而加法則不僅要求底數相同，而且指數也必須相同．
（三）教學過程
1．創設情境、復習導入
（1）敘述同底數冪乘法法則并用字母表示．
（2）指出下列運算的錯誤，并說出正確結果．
①
②
③
強調：①中的指數不為0，指數相加時不要漏加的指數．②不是同類項不能合并．③同底數冪相乘，指數相加不是相乘．
（3）填空：
①，
②，，
2．探索新知，講授新課
例1計算：
（1）（2）（3）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
例2計算：
（1）（2）
（3）（4）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）
或原式
提問：和相等嗎？
3．鞏固熟練
（1）P93練習（下）1，2．
（2）計算：
①②
③④
（3）錯誤辨析：
計算：①（是正整數）
解：
說明：化簡錯了，是正整數，是偶數，據乘方的符號法則本題結果應為0．
②
解：原式
說明：與不是同底數冪，它們相乘不能用同底數冪的乘法法則，正確結果應為
（四）總結、擴展
底數是相反數的冪相乘時，應先化為同底數冪的形式，再用同底數冪的乘法法則，轉化時要注意符號問題．
八、布置作業
P94A組3～5；P95B組1～2．
參考答案
略．
九、板書設計
投影冪
例1例2練習
教學目的
1、使學生理解同類項的意義。
2、使學生掌握合并同類項法則，并應用合并同類項。
3、通過合并同類項的學習，培養學生觀察與分類歸納能力。
教學分析
重點：同類項的概念，合并同類項的方法。
難點：多字母同類項的判別與合并。
突破：理解同類項的概念的兩個特性，合并同類項，就是合并它們的系數。
教學過程
一、復習
1、回答下列單項式的系數
-4ab2，10x2，-2x，abc，-y3z，2r
2、什么叫多項式？什么叫多項式的項？
3、列代數式：每本練習本x元，王強買5本，張華買2本，兩人一共花多少錢？王強比張華多花多少錢？
二、新授
1、引入
問：5x+2x=？5x-2x=？
5x看成是x的5倍，2x看成是x的2倍，所以和是x的7倍，也可逆向運用分配律：5x+2x=（5+2）x，后面的也是一樣。
同樣，根據分配律有，
-4ab2+3ab2=（-4+3）ab2
以上兩項，所含有的字母相同，相同字母的指數也相同。
2、給出同類項的概念
多項式中所含有的字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項，幾個常數項也是同類項。
例1（P153練習1）回答
找出多項式2x2-5x+x2+4x-3x2-2中的同類項。
有兩個特征：（1）各項中所含有的字母相同，（2）相同字母的指數分別相同。（與系數無關，與字母的順序無關。）
3、合并同類項、合并同類項法則和根據。
（1）、把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項
（2）同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變。
（3）根據：分配律
例2（P153例2）
合并多項式4x2-8x+5-3x2+6x-2的同類項。
(結果為x2-2x+3，解見P153)
例3（P153例3）
合并多項式4a2+3b2+2ab-4a2-3b2的同類項。
析：4a2與-4a2這一對同類項的系數是互為相反數，合并后這兩項就互相抵消，結果為0。
解：（見教材P154）
三、練習P153：3，4。
四、小結
要抓住同類項的特征，又要知道合并時只能合并系數。
五、作業
知識結構
本節首先給出了相似三角形的定義和表示方法，在此基礎上給出相似比的概念，并利用探究法得出三角形相似的預備定理
重難點分析
相似三角形的概念是本節的重點也是本節的難點.相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的圖形，是在全等三角形知識的基礎上的拓廣和發展，全等形是相似形的特殊情況，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性.對應邊和對應角子相似三角形中占有重要地位，學生在找對應邊及對應角時常常出現錯誤.
教法建議
1.從知識的邏輯體系出發，在知識的引入時可考慮先給出相似形的概念，在給出相似三角形的概念
2.在知識的引入上，可以從生活實例的角度出發，在生活中找幾個相似三角形的例子，在此基礎上給出相似三角形的概念
3.在知識的引入上，還可以從知識的建構模式入手，給出幾組圖形，告訴學生這幾組圖形都是相似三角形，由學生研究這些圖形的邊角關系，從而得到對相似三角形的本質認識
4.在相似三角形概念的鞏固中，應注意反例的作用，要適當給出或由學生舉出不是相似三角形的例子來加深對概念的理解
5.在概念的理解過程中，要注意給出不同層次的圖形，要求學生從中找出相似三角形，既增加學生的參與又加深學生對概念的理解
6.在本節內容中對應邊及對應角的尋找學生常常出現混淆，教師在教學過程中可設計由淺入深的一系列題組由學生尋找其中的對應邊或對應角，并說明根據，有利于知識的掌握
教學設計示例
一、教學目標
1．使學生理解并掌握相似三角形的概念，理解相似比的概念.
2．使學生掌握預備定理，并了解它的承上啟下的作用.
3．通過預備定理的條件所構成的圖形的三種情況，教給學生對一致性問題的思考方法.
4．通過學習，培養由特殊到一般的唯物辯證法觀點．
二、教學設計
類比學習、探索發現．
三、重點、難點
1．教學重點：是相似三角形的概念及預備定理，教學中要讓學生加深對相似三角形概念的本質的認識．
2．教學難點：是相似比的概念及找對應邊．
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀、膠片、常用畫圖工具．
六、教學步驟
【復習提問】
1．什么叫做全等三角形？它在形狀上、大小上有何特征？
2．兩個全等三角形的對應也和對應角有什么關系？
【講解新課】
1．相似三角形
相似三角形的本質特征是“具有相同形狀”，它們的大小不一定相等，這是和全等三角形的重要區別．為加深學生對相似三角形概念的本質的認識，教學時可預先準備幾對相似三角形，讓學生觀察或測量對應元素的關系，然后直觀地得出：兩個三角形形狀相同，就是他們的對應角相等，對應邊成比例．
定義：對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形
符號“∽”，讀作：“相似于”，記作：∽，如圖所示.
∽
反之亦然．即相似三角形對應角相等，對應邊成比例（性質）．
∽，
另外，相似三角形具有傳遞性（性質）．
注：在證兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上．
思考問題：（l）所有等腰三角形都相似嗎？所有等邊三角形呢？為什么？
（2）所有直角三角形都相似嗎？所有等腰直角三角形呢？為什么？
2．相似比的概念
相似三角形對應邊的比K，叫做相似比（或相似系數）．
注：①兩個相似三角形的相似比具有順序性．
如果與的相似比是K，那么與的相似比是.
②全等三角形的相似比為1，這也說明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．
3．預備定理：平行三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似.∽，如圖所示．
教材通過探討的方法，根據題設中有平行線的條件，結合5．2節例6定理的結論，再根據三角形的定義，從而得出了這兩個三角形相似的結論，這里要強調的是：
（1）本定理的導出不僅讓學生復習了相似三角形的定義，而且為后面的證明打下了基礎，它的重要性是顯而易見的．
（2）由本定理的題設所構成的三角形有三種可能，除教材中兩種情況外還有如左圖所示的情形，它可以看成BC截兩邊所得，其中，本質上與右圖是一致的．
（3）根據兩個三角形相似寫對應邊的比例式時，每個比的前項是同一個三角形的三邊，而比的后項是另一個三角形的三條對應邊，它們的位置不能寫錯，作題時務必要認真仔細，如本定理的比例式，防止出現的錯誤，如出現錯誤，教師要及時予以糾正．
（4）根據兩個三角形相似寫對應邊的比例式時，還應給學生強調，這兩個三角形中相等的角所對的邊就是對應邊，對應邊應寫在對應位置．
（5）建議教師在教學中經常采用一些形象性語言，如：有平行就有成比例線段，有平行就有相似三角形．
【小結】
1．本節學習了相似三角形的概念．
2．正確理解相似比的概念，為以后學習相似三角形的性質打下基礎．
3．重點學習了預備定理及注意的問題．
一、教學目標
1．使學生了解直角三角形相似定理的證明方法并會應用．
2．繼續滲透和培養學生對類比數學思想的認識和理解．
3．通過了解定理的證明方法，培養和提高學生利用已學知識證明新命題的能力．
4．通過學習，了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點．
二、教學設計
類比學習，探討發現
三、重點及難點
1．教學重點：是直角三角形相似定理的應用．
2．教學難點：是了解直角三角形相似判定定理的證題方法與思路．
四、課時安排
3課時
五、教具學具準備
多媒體、常用畫圖工具、
六、教學步驟
［復習提問］
1．我們學習了幾種判定三角形相似的方法？（5種）
2．敘述預備定理、判定定理1、2、3（也可用小紙條讓學生默寫）．
其中判定定理1、2、3的證明思路是什么？（①作相似，證全等；②作全等，證相似）
3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性質？
【講解新課】
類比判定直角三角形全等的“HL”方法，讓學生試推出：
直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．
已知：如圖，在∽中，
求證：∽
建議讓學生自己寫出“已知、求征”．
這個定理有多種證法，它同樣可以采用判定定理l、2、3那樣的證明思路與方法，即“作相似、證全等”或“作全等、證相似”，教材上采用了代數證法，利用代數法證明幾何命題的思想方法很重要，今后我們還會遇到．應讓學生對此有所了解．
定理證明過程中的“都是正數，，其中都是正數”告訴學生一定不能省略，這是因為命題“若，到”是假命題（可舉例說明），而命題“若，且、均為正數，則”是真命題．
例4已知：如圖，，，，當BD與、之間滿足怎樣的關系時∽．
解（略）
教師在講解例題時，應指出要使∽．應有點A與C，B與D，C與B成對應點，對應邊分別是斜邊和一條直角邊．
還可提問：（1）當BD與、滿足怎樣的關系時∽？（答案：）
（2）如圖，當BD與、滿足怎樣的關系式時，這兩個三角形相似？（不指明對應關系）
（答案：或兩種情況）
探索性題目是已知命題的結論，尋找使結論成立的題設，是探索充分條件，所以有一定難度，教材為了降低難度，在例4中給了探索方向，即“BD與滿足怎樣的關系式．”
這種題目體現分析問題的思維方法，對培養學生研究問題的習慣有好處，教師要給予足夠重視，但由于有一定難度，只要求學生了解這類問題的思考方法，不應提高要求或增加難度．
［小結］
1．直角三角形相似的判定除了本節定理外，前面判定任意三角形相似的方法對直角三角形同樣適用．
2．讓學生了解了用代數法證幾何命題的思想方法．
3．關于探索性題目的處理．
一、素質教育目標
（一）知識教學點：掌握一元二次方程求根公式的推導，會運用公式法解一元二次方程．
（二）能力訓練點：1．通過求根公式的推導，培養學生數學推理的嚴密性及嚴謹性．2．培養學生快速而準確的計算能力．
（三）德育滲透點：1．通過公式的引入，培養學生尋求簡便方法的探索精神及創新意識．2．通過求根公式的推導，滲透分類的思想．
二、教學重點、難點
1．教學重點：求根公式的推導及用公式法解一元二次方程．
2．教學難點：對求根公式推導過程中依據的理論的深刻理解．
3．關鍵：1．推導方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式與用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的異同．2．在求根
的簡單延續．
三、教學步驟
（一）明確目標
通過作業及練習深刻地體會到由配方法求方程的解有時計算起來很麻煩，每求一個一元二次方程的解，都要實施配方的步驟，進行較復雜的計算，這必然給方程的解的正確求出帶來困難．能不能尋求一個簡單的公式，快速而準確地求出方程的解是亟待解決的問題，公式法的產生極好地解決了這個問題．
（二）整體感知
由配方法推導出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大簡化了書寫步驟和減小了計算量，使學生能快速、準確求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，盡管配方法和公式法是解一元二次方程兩個截然不同的方法，但是這兩種方法有密切的聯系，可以說沒有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的產生，配方法是公式法的基礎，而公式法又是配方法的簡化．
求根公式的推導過程，蘊含著基本理論的應用，例如：等式的基本性質，配方的含義．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性質，同時也蘊含著一種分類的思想．
通過公式的推導，深刻理解基本理論和方法，培養學生進行數學推理的嚴密性和嚴謹性．
（三）重點、難點的學習和目標完成過程
1．復習提問：用配方法解下列方程．
（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．
通過兩題練習，使學生復習用配方法解一元二次方程的思路和步驟，為本節課求根公式的推導做第一次鋪墊．
2．用配方法解關于x的方程，x2＋2px＋q＝0．
解：移項，得x2＋2px＝-q
配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2
即（x+p）2＝p2-q．
教師板書，學生回答，此題為求根公式的推導做第二次鋪墊．
3．用配方法推導出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．
解：因為a≠0，所以方程的兩邊同除以a，
a≠0，4a2＞0當b2－4ac≥0時．
①②兩步是學生易忽略的步驟，這兩步實質上是為運用等式的基本性質和開方運算準備前提條件．①②步可培養學生有理有據的嚴謹的數學推理習慣，使學生逐步養成有條件，有根據才能有結論的推理習慣．
從上面的結論可以發現：
（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系數a、b、c確定的．
（2）在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的兩個根．
的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
4．例1解方程x2－3x＋2＝0
解：a＝1，b＝-3，c＝2．
又b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，
x1=2，x2=1．
在教師的引導下，學生回答，教師板書，提醒學生一定要先“代”后“算”．不要邊代邊算，易出錯．并引導學生總結步驟1．確定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．
練習：P．16中2（1）—（7），通過練習，熟悉公式法的步驟，訓練快速準確的計算能力．
例2不是一般形式，所以在利用公式法之前應先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有兩個相同的實數根，應寫成x1＝
由此例可以總結出一般一元二次方程求解利用公式法的步驟：1．化方程為一般形式．2．確定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．
練習：P．16中2（8）．
（四）總結、擴展
引導學生從以下幾個方面總結：
≥0）．
（2）利用公式法求一元二次方程的解的步驟：①化方程為一般式．②確定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法與配方法都是通法，前者較之后者簡單．
2．（1）在推導求根公式時，注意推導過程的嚴密性．諸如
a≠0，4a2＞0．當b2－4ac≥0時，……
（2）在推導求根公式時，注意弄清楚推導過程所運用的基本理論，如：等式的基本性質，配方的意義，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性質．
（3）求根公式是指在b2－4ac≥0對方程的解，如果b2-4ac＜0時，則在實數范圍內無實數解．滲透一種分類的思想．
（4）推導ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式與解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（用配方法）的異同．前者只求在b2－4ac≠0的情況下的解即可．后者還要研究在b2-4ac＜0的情況．
四、布置作業
教材P．14練習1
教材P．15習題12、1：4．
參考題：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（學有余力的學生做）．
五、板書設計
12．1一元二次方程的解法（四）
1．求根公式：例：用配方法推導出一元例1……
二次方程ax2+bx+c=0……
(a≠0)的根．練習……
2．公式法及其步驟解：解：…………
（1）……
（2）……
（3）
（4）
六、作業參考答案
一、素質教育目標
（一）知識教學點：掌握一元二次方程求根公式的推導，會運用公式法解一元二次方程．
（二）能力訓練點：1．通過求根公式的推導，培養學生數學推理的嚴密性及嚴謹性．2．培養學生快速而準確的計算能力．
（三）德育滲透點：1．通過公式的引入，培養學生尋求簡便方法的探索精神及創新意識．2．通過求根公式的推導，滲透分類的思想．
二、教學重點、難點
1．教學重點：求根公式的推導及用公式法解一元二次方程．
2．教學難點：對求根公式推導過程中依據的理論的深刻理解．
3．關鍵：1．推導方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式與用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的異同．2．在求根
的簡單延續．
三、教學步驟
（一）明確目標
通過作業及練習深刻地體會到由配方法求方程的解有時計算起來很麻煩，每求一個一元二次方程的解，都要實施配方的步驟，進行較復雜的計算，這必然給方程的解的正確求出帶來困難．能不能尋求一個簡單的公式，快速而準確地求出方程的解是亟待解決的問題，公式法的產生極好地解決了這個問題．
（二）整體感知
由配方法推導出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大簡化了書寫步驟和減小了計算量，使學生能快速、準確求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，盡管配方法和公式法是解一元二次方程兩個截然不同的方法，但是這兩種方法有密切的聯系，可以說沒有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的產生，配方法是公式法的基礎，而公式法又是配方法的簡化．
求根公式的推導過程，蘊含著基本理論的應用，例如：等式的基本性質，配方的含義．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性質，同時也蘊含著一種分類的思想．
通過公式的推導，深刻理解基本理論和方法，培養學生進行數學推理的嚴密性和嚴謹性．
（三）重點、難點的學習和目標完成過程
1．復習提問：用配方法解下列方程．
（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．
通過兩題練習，使學生復習用配方法解一元二次方程的思路和步驟，為本節課求根公式的推導做第一次鋪墊．
2．用配方法解關于x的方程，x2＋2px＋q＝0．
解：移項，得x2＋2px＝-q
配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2
即（x+p）2＝p2-q．
教師板書，學生回答，此題為求根公式的推導做第二次鋪墊．
3．用配方法推導出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．
解：因為a≠0，所以方程的兩邊同除以a，
a≠0，4a2＞0當b2－4ac≥0時．
①②兩步是學生易忽略的步驟，這兩步實質上是為運用等式的基本性質和開方運算準備前提條件．①②步可培養學生有理有據的嚴謹的數學推理習慣，使學生逐步養成有條件，有根據才能有結論的推理習慣．
從上面的結論可以發現：
（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系數a、b、c確定的．
（2）在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的兩個根．
的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
4．例1解方程x2－3x＋2＝0
解：a＝1，b＝-3，c＝2．
又b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，
x1=2，x2=1．
在教師的引導下，學生回答，教師板書，提醒學生一定要先“代”后“算”．不要邊代邊算，易出錯．并引導學生總結步驟1．確定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．
練習：P．16中2（1）—（7），通過練習，熟悉公式法的步驟，訓練快速準確的計算能力．
例2不是一般形式，所以在利用公式法之前應先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有兩個相同的實數根，應寫成x1＝
由此例可以總結出一般一元二次方程求解利用公式法的步驟：1．化方程為一般形式．2．確定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．
練習：P．16中2（8）．
（四）總結、擴展
引導學生從以下幾個方面總結：
≥0）．
（2）利用公式法求一元二次方程的解的步驟：①化方程為一般式．②確定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法與配方法都是通法，前者較之后者簡單．
2．（1）在推導求根公式時，注意推導過程的嚴密性．諸如
a≠0，4a2＞0．當b2－4ac≥0時，……
（2）在推導求根公式時，注意弄清楚推導過程所運用的基本理論，如：等式的基本性質，配方的意義，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性質．
（3）求根公式是指在b2－4ac≥0對方程的解，如果b2-4ac＜0時，則在實數范圍內無實數解．滲透一種分類的思想．
（4）推導ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式與解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（用配方法）的異同．前者只求在b2－4ac≠0的情況下的解即可．后者還要研究在b2-4ac＜0的情況．
四、布置作業
教材P．14練習1
教材P．15習題12、1：4．
參考題：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（學有余力的學生做）．
五、板書設計
12．1一元二次方程的解法（四）
1．求根公式：例：用配方法推導出一元例1……
二次方程ax2+bx+c=0……
(a≠0)的根．練習……
2．公式法及其步驟解：解：…………
（1）……
（2）……
（3）
（4）
六、作業參考答案
數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓，是將數學知識轉化為數學能力的橋梁。初中數學思想方法教育，是培養和提高學生素質的重要內容。新的《課程標準》突出強調：“在教學中，應當引導學生在學好概念的基礎上掌握數學的規律（包括法則、性質、公式、公理、定理、數學思想和方法）。”因此，開展數學思想方法教育應作為新課改中所必須把握的教學要求。
中學數學知識結構涵蓋了辯證思想的理念，反映出數學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數學思想方法之間的相互關系。數學實體內部各單元之間相互滲透和維系的關系，升華為具有普遍意義的一般規律，便形成相對的數學思想方法，即對數學知識整體性的理解。數學思想方法確立后，便超越了具體的數學概念和內容，只以抽象的形式而存在，控制及調整具體結論的建立、聯系和組織，并以其為指引將數學知識靈活地運用到一切適合的范疇中去解決問題。數學思想方法不僅會對數學思維活動、數學審美活動起著指導作用，而且會對個體的世界觀、方法論產生深刻影響，形成數學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數學領域向非數學領域的遷移，實現思維能力和思想素質的飛躍。
可見，良好的數學知識結構不完全取決于教材內容和知識點的數量，更應注重數學知識的聯系、結合和組織方式，把握結構的層次和程序展開后所表現的內在規律。數學思想方法能夠優化這種組織方式，使各部分數學知識融合成有機的整體，發揮其重要的指導作用。因此，新課標明確提出開展數學思想方法的教學要求，旨在引導學生去把握數學知識結構的核心和靈魂，其重要意義顯而易見。
二、對初中數學思想方法教學的幾點思考
1、結合初中數學大綱，就初中數學教材進行數學思想方法的教學研究
首先，要通過對教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關系，歸納和揭示其特殊性質和內在的一般規律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數學方法—提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數學思想方法，就能運用它們去解決成千上萬分解多項式因式的問題。又如：結合初中代數的消元、降次、配方、換元方法，以及分類、變換、歸納、抽象和數形結合等方法性思想，進一步確定數學知識與其思想方法之間的結合點，建立一整套豐富的教學范例或模型，最終形成一個活動的知識與思想互聯網絡。
2、以數學知識為載體，將數學思想方法有機地滲透入教學計劃和教案內容之中
教學計劃的制訂應體現數學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數學教案則要就每一節課的概念、命題、公式、法則以至單元結構等教學過程進行滲透思想方法的具體設計。要求通過目標設計、創設情境、程序演化、歸納總結等關鍵環節，在知識的發生和運用過程中貫徹數學思想方法，形成數學知識、方法和思想的一體化。
應充分利用數學的現實原型作為反映數學思想方法的基礎。數學思想方法是對數學問題解決或構建所做的整體性考慮，它來源于現實原型又高于現實原型，往往借助現實原型使數學思想方法得以生動地表現，有利于對其深人理解和把握。例如：分類討論的思想方法始終貫穿于整個數學教學中。在教學中要引導學生對所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級），然后逐類討論（即對各類問題詳細討論、逐步解決），最后歸納總結。教師要幫助學生掌握好分類的方法原則，形成分類思想。
數學思想方法的滲透應根據教學計劃有步驟地進行。一般在知識的概念形成階段導入概念型數學思想，如方程思想、相似思想、已知與未知互相轉化的思想、特殊與一般互相轉化的思想等等。在知識的結論、公式、法則等規律的推導階段，要強調和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數的數與形的轉化、判定兩個三角形相似有哪些常用思路等。在知識的總結階段或新舊知識結合部分，要選配結構型的數學思想，如函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化，分數討論思想體現了局部與整體的相互轉化。在所有數學建構及問題的處理方面，注意體現其根本思想，如運用同解原理解一元一次方程，應注意為簡便而采取的移項法則。
1.緊扣教學大綱
結合初中數學大綱，就初中數學教材進行數學思想方法的教學研究，要通過對教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關系，歸納和揭示其特殊性質和內在的一般規律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數學方法：提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數學思想方法，就能運用它們去解決成千上萬分解多項式因式的問題。又如：結合初中代數的消元、降次、配方、換元方法，以及分類、變換、歸納、抽象和數形結合等方法性思想，進一步確定數學知識與其思想方法之間的結合點，建立一整套豐富的教學范例或模型，最終形成一個活動的知識與思想互聯網絡。
2.滲透思想方法
以數學知識為載體，將數學思想方法有機地滲透入教學計劃和教案內容之中教學計劃的制訂應體現數學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數學教案則要就每一節課的概念、命題、公式、法則以至單元結構等教學過程進行滲透思想方法的具體設計。要求通過目標設計、創設情境、程序演化、歸納總結等關鍵環節，在知識的發生和運用過程中貫徹數學思想方法，形成數學知識、方法和思想的一體化。
應充分利用數學的現實原型作為反映數學思想方法的基礎。數學思想方法是對數學問題解決或構建所做的整體性考慮，它來源于現實原型又高于現實原型，往往借助現實原型使數學思想方法得以生動地表現，有利于對其深人理解和把握。例如：分類討論的思想方法始終貫穿于整個數學教學中。在教學中要引導學生對所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級），然后逐類討論（即對各類問題詳細討論、逐步解決），最后歸納總結。教師要幫助學生掌握好分類的方法原則，形成分類思想。
數學思想方法的滲透應根據教學計劃有步驟地進行。一般在知識的概念形成階段導入概念型數學思想，如方程思想、相似思想、已知與未知互相轉化的思想、特殊與一般互相轉化的思想等等。在知識的結論、公式、法則等規律的推導階段，要強調和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數的數與形的轉化、判定兩個三角形相似有哪些常用思路等。在知識的總結階段或新舊知識結合部分，要選配結構型的數學思想，如函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化，分數討論思想體現了局部與整體的相互轉化。在所有數學建構及問題的處理方面，注意體現其根本思想，如運用同解原理解一元一次方程，應注意為簡便而采取的移項法則。
3.重視課堂實踐
重視課堂教學實踐，在知識的引進、消化和應用過程中促使學生領悟和提煉數學思想方法數學知識發生的過程也是其思想方法產生的過程。在此過程中，要向學生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創設使認知主體與客體之間激發作用的環境和條件，通過對知識發生過程的展示，使學生的思維和經驗全部投人到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰之中，從而主動構建科學的認知結構，將數學思想方法與數學知識融匯成一體，最終形成獨立探索分析、解決問題的能力。
概念既是思維的基礎，又是思維的結果。恰當地展示其形成的過程，拉長被壓縮了的“知識鏈”，是對數學抽象與數學模型方法進行點悟的極好素材和契機。在概念的引進過程中，應注意：①解釋概念產生的背景，讓學生了解定義的合理性和必要性；②揭示概念的形成過程，讓學生綜合概念定義的本質屬性；③鞏固和加深概念理解，讓學生在變式和比較中活化思維。在規律（定理、公式、法則等）的揭示過程中，教師應注意灌輸數學思想方法，培養學生的探索性思維能力，并引導學生通過感性的直觀背景材料或已有的知識發現規律，不過早地給結論，講清抽象、概括或證明的過程，充分地向學生展現自己是如何思考的，使學生領悟蘊含其中的思想方法。
4.巧用范例教學
通過范例和解題教學，綜合運用數學思想方法。一方面要通過解題和反思活動，從具體數學問題和范例中總結歸納解題方法，并提煉和抽象成數學思想；另一方面在解題過程中，充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通，以數學思想觀點為指導，靈活運用數學知識和方法分析問題、解決問題。
范例教學通過選擇具有典型性、啟發性、創造性和審美性的例題和練習進行。要注意設計具有探索性的范例和能從中抽象一般和特殊規律的范例，在對其分析和思考的過程中展示數學思想和具有代表性的數學方法，提高學生的思維能力。例如，對某些問題，要引導學生盡可能運用多種方法，從各條途徑尋求答案，找出最優方法，培養學生的變通性；對某些問題可以進行由簡到繁、由特殊到一般的推論，讓學生大膽聯系和猜想，培養其思維的廣闊性；對某些問題可以分析其特殊性，克服慣性思維束縛，培養學生思維的靈活性；對一些條件、因素較多的問題，要引導學生全面分析、系統綜合各個條件，得出正確結論，培養其橫向思維等等。此外，還要引導學生通過解題以后的反思，優化解題過程，總結解題經驗，提煉數學思想方法。
總之，新課改初中數學課堂教學我們要做到深研教材，不斷探索，以數學思想觀點為指導，巧妙運用各種教學方法讓學生的思維得以飛揚，靈感得到激發，這樣，我們的課堂越加變得春光燦爛，精彩紛呈。
以黨的十六大精神為指導,努力實踐"三個代表"的重要思想,認真貫徹,落實國務院《關于基礎教育改革與發展的決定》和浙江省教育廳《關于實施教育部〈基礎教育課程改革綱要(試行)〉的意見》;根據省,市教研室和縣教育局2004年工作思路,圍繞"課程改革"這個中心工作,樹立以"學生發展"為本的思想,加大教學管理,教學研究和教學評價的工作力度,發揮指導職能,強化服務意識,為鞏固我縣"創強"成果,順利實施新課程而努力工作.
二,工作要點和策略:
加強學習,更新觀念,積極穩妥地做好新課程實驗工作
課程改革是一次全面的教育創新,課程改革的全過程都需要不斷的學習.我們要結合新課程的實踐活動,幫助廣大教師樹立新型的教學觀,人才觀,評價觀和課程資源觀.
1)認真組織好第三次縣級學科培訓(分兩個階段進行).調整培訓模式,增強針對性和時效性,培養一批課改骨干力量.努力探索與教研,科研及校本培訓相結合的新模式.
2)研究和改進新課程標準下的課堂教學常規和課堂教學評價.
3)召開課程改革實施工作專題研討會,組織"走進新課程,實踐新理念"的教師論壇活動.
4)試行《湖州市中小學綜合實踐活動課程實施與評價》方案.
5)積極探索和研究新課程理念下的考試內容,方式的改革和促進學生發展學業評價方案.
6)配合市,縣教育局,積極做好"省課改成果巡禮"的參展準備工作.
2,加強教學研究和教學管理工作
教學研究和教學管理是實踐性,指導性很強的工作.
1)完善一日集體調研制度.本學期在調研活動中將選擇有代表性的學校,幫助總結成功的經驗,并予以推廣
2)配合市教研室,加強對高中段教學的研究和指導工作.研究05年高考對策,收集,整理和研究新的高考信息及其措施,供學校,教師參考.
A)組織中學教研員對高中段學校進行集中教學調研(重點是昌碩高級中學);各科教研員根據各校學科的實際情況,經常到學校了解情況,指導,幫助高三教師搞好教學工作.
B)組織好高三"期末調研"考試,閱卷及分析工作.
C)重視高一,高二年級的教學指導工作.要與各校教師一起進行探討,切實加強對高一,高二年級的過程管理;組織好高一,高二"期末調研"考試,閱卷及分析工作,以保證高中段教學質量的穩步提高.
3)加強對義務教育階段教學情況的調查和研究,根據新課程理念,做好義務教育階段教學管理的指導工作.做好中,小學教學質量抽測工作.
4)加強對學科教研活動質量的管理,為學校提供高質量的服務.
A)本學期的各學科教研活動要以新課程理念為指導,以優化課堂教學結構,提高課堂教學效率為主攻方向.通過活動切實促進教師業務提高,達到互相交流,互相學習,合作探究的目的.
B)加強教研活動的策劃和運作.活動前要有充分準備,要有目的,有計劃,活動后要總結.
C)各學科教研員,要以課程改革為契機,認真組織好公開課,示范課,觀摩課,評議課和實驗課等多形式課型的交流,促進"課堂教學模式多樣化";"課堂教學內容個性化";"課堂時空拓展延伸化";"課堂教學手段現代化".
5)繼續加強初,高中學科教學質量動態評估辦法的研究和改進工作;改進音樂,美術,勞技等學科的測試辦法.配合督導室,基教科等科室做好中小學辦學水平評估工作.
6)組織中,小學教導(務)主任學習現代教育理論,研究教學管理,努力提高理論水平和業務能力.
7)繼續重視全縣各校的教研組,備課組建設.使教研組,備課組團結協作,較好地發揮群體效能.加強校本教研,校本培訓,校本課程開發等的研究,指導和服務工作.各學科要建立和建好學科教學基地;各校教學要逐步形成學科教學特色.
8)科研向教研落實,教研向科研提升.積極做好省,市,縣三級教學教研系統課題的實施工作(申報,立項,過程管理和成果推廣),在學科教學科研上有所創新,有所突破,為提高課堂教學質量服務.
9)加強對高中會考工作的領導,思想重視,操作規范,切實提高各會考學科的合格率,優良率,降低會考工作的差錯率.
3,加大教師培養的工作力度
課程改革順利進行的關鍵是有一支精良的師資隊伍.加強教師教育理論,教學業務的學習,努力提高政治素質和業務水平,以適應課改新形勢的要求.
1)配合教育局做好"名師工程"的實施工作.
2)繼續做好對新教師的業務指導和教學常規管理工作.
3)對重點培養和指導對象,要按計劃搞好培養,指導活動.
4)建立,健全學科教師業務檔案.
5)各學科在教研活動中除要抓好教師的基本功訓練工作外,更要組織教師學習現代教學理論,樹立新的教學理念.認真組織好學科的各類評比活動.
6)繼續進行各級教學明星,教學能手,教壇新秀,骨干教師的觀摩課,示范課,送教上門等活動.
7)加強學科競賽輔導教師的培訓,加強學科競賽的組織,輔導和研究,爭取更好成績.
4,加強教研室自身建設,提高教研員政治素質和業務水平
教研室不論作為一個整體,還是到學科教研員個體,都必須具有良好的素質,才能提高教研工作的水平,才能在課程改革的實踐中發揮指導作用.
1)組織教研員認真學習"十六大精神",自覺實踐"三個代表"的重要思想,努力提高政治思想素質,教育理論水平和貫徹落實黨的教育方針的自覺性.真正在學習,研究和指導服務上下力氣.
2)完善教研室內部管理制度及崗位工作目標,崗位考核等辦法,積極穩妥地進行內部管理制度的改革.本學期要完成幾個有質量的教學調研報告.
3)辦好《安吉教研》安排好每期內容,職責落實到人.
4)繼續關心和改善教研人員的工作條件,確保教研人員全身心投入教研工作.
5)加強教研室工作作風建設,密切與基層學校的聯系,強化服務意識.虛心聽取意見,進一步做好服務工作.
三,2004學年第一學期教研活動安排
(八月份)
初中語文新教材培訓
初中科學新教材培訓
初中英語教研組長會議
中學政治教師理論學習
初中政治新課改培訓及調研工作
(九月份)
初,高中語文教研大組會議
高三語文高考總結分析會議
初中學校數學教研組長會議
高中數學教研組長會議
省初中數學優秀課評比
組織高中數學競賽輔導活動
召開初中科學,高中化學大組成員會
物理教研大組長會議,高三物理競賽
高中(各完中)英語教研組長會議
10,中英語聽課教研活動
11,高一與高二英語備課活動
12,初,高中歷史與社會教研大組會議
13,各完中歷史與社會教學調查
14,市初中思想政治優質課評比
15,傳達省高中勞技信息
16,縣中小學體育教研大組成員會議
17,布置中小學體育優質課評比事宜
18,新教師聽課(職教)
19,中小學成績統計分析表下發
20,全縣教科室主任會議
21,小學高段語文大組成員活動
22,組織召開小學低段語文大組成員
23,小學低段語文"重培"組活動
24,小數(高段)教研大組活動
25,小學常識大組活動
26,縣新課程備課活動(小學思品)
27,縣小學思品大組會議
(十月份)
1,初中語文學科青年教師閱讀能力競賽
2,高一語文教研活動
3,初,高中語文優質課評比
4,全國高中數學競賽
5,高一數學教師集體備課
初中數學新教材教學情況交流
高中數學優質課評比
市級初中自然青年教師業務素質比武推薦活動
高三化學2004高考試卷分析研討會
10,高一化學課堂教學質量評比
11,初中自然中考復習分析會
12,高一物理新教師優質課評選活動
13,高二新教材(英語)聽課教研活動
14,初中新課程教案評比(歷史與社會)
15,高中歷史教學片段評比
16,市地理學科論文評比
17,高三生物教研活動
18,總結03年度體育健康標準實施情況和布置下屆……
19,課堂教學指導(職教)
20,高中電腦課教研活動
21,教科研成果推廣
22,小學語文作文序列研究活動
23,小學語文參加全國青年教師課堂教學評比活動
24,小學語文第二冊新教材第二次培訓
25,小學數學,小學常識命題競賽
26,小學數學青年教師課堂教學觀摩活動
27,小學低段數學課標交流,討論(一)
28,小學思品培養對象活動
29,1—6年級思品命題競賽
30,小學英語聽課教研活動
(十一月份)
高二語文教研活動
高三數學教學研討會
初中數學課改研究小組活動
召開高二化學教學指導研討會
高三物理研討活動,初二自然研討活動
中學生英語能力初賽
高三英語教研活動
初中社會優質課評比
體育高考研討會
10,體育青年教師教法培訓(中,小學)
11,期中高三語文教學評價(職教)
12,初中電腦課教研活動
13,教科研活動一次(課題指導)
14,小學低段語文命題競賽版權所有
15,實踐新課程的論文評比(小學低段語文)
16,小學低段數學課標交流,討論(二)
17,一年級教師上課比賽(小學思品)
18,骨干教師外地學習(小學思品)
(十二月份)
中學數學優秀教研組評比
湖州市高二數學競賽
初三數學競賽
初中科學第三批培養對象會
高中綜合理科復習研討會
初中科學新教材第二次培訓
高二物理研討活動
中學生英語能力決賽
新課改評價研討會(歷史,社會)
10,高一歷史教師縣外教研活動
11,高二生物教研活動
12,生物優秀論文評比
13,中小學體育檢查輔導
14,職教語文教師公開課
15,教科研活動一次(課題結題)
16,承辦市青年教師閱讀教學評比活動(小學語文)
17,小學高段語文第二批"重培"對象課堂教學匯報活動
18,小學4—6年級數學競賽
19,小學低段數學教案評比
20,小學電腦課教研活動
(05年一月份)
做好期末考試工作(物理)
《歷史與社會》教師教材教法競賽
數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓，是將數學知識轉化為數學能力的橋梁。初中數學思想方法教育，是培養和提高學生素質的重要內容。新的《課程標準》突出強調：“在教學中，應當引導學生在學好概念的基礎上掌握數學的規律（包括法則、性質、公式、公理、定理、數學思想和方法）。”因此，開展數學思想方法教學應作為新課改中所必須把握的教學要求。
中學數學知識結構涵蓋了辯證思想的理念，反映出數學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數學思想方法之間的相互關系。數學實體內部各單元之間相互滲透和維系的關系，升華為具有普遍意義的一般規律，便形成相對的數學思想方法，即對數學知識整體性的理解。數學思想方法確立后，便超越了具體的數學概念和內容，只以抽象的形式而存在，控制及調整具體結論的建立、聯系和組織，并以其為指引將數學知識靈活地運用到一切適合的范疇中去解決問題。數學思想方法不僅會對數學思維活動、數學審美活動起著指導作角，而且會對個體的世界觀、方法論產生深刻影響，形成數學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數學領域向非數學領域的遷移，實現思維能力和思想素質的飛躍。
可見，良好的數學知識結構不完全取決于教材內容和知識點的數量，更應注重數學知識的聯系、結合和組織方式，把握結構的層次和程序展開后所表現的內在規律。數學思想方法能夠優化這種組織方式，使各部分數學知識融合成有機的整體，發揮其重要的指導作用。因此，新課標明確提出開展數學思想方法的教學要求，旨在引導學生去把握數學知識結構的核心和靈魂，其重要意義顯而易見。
二、對初中數學思想方法教學的幾點思考
1、結合初中數學課程標準，就初中數學教材進行數學思想方法的教學研究。
首先，要通過對教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關系，歸納和揭示其特殊性質和內在的一般規律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數學方法—提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數學思想方法，就能運用它們去解決成千上萬分解多項式因式的問題。又如：結合初中代數的消元、降次、配方、換元方法，以及分類、變換、歸納、抽象和數形結合等方法性思想，進一步確定數學知識與其思想方法之間的結合點，建立一整套豐富的教學范例或模型，最終形成一個活動的知識與思想互聯網絡。
2、以數學知識為載體，將數學思想方法有機地滲透入教學計劃和教案內容之中。
教學計劃的制訂應體現數學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數學教案則要就每一節課的概念、命題、公式、法則以至單元結構等教學過程進行滲透思想方法的具體設計。要求通過目標設計、創設情境、程序演化、歸納總結等關鍵環節，在知識的發生和運用過程中貫徹數學思想方法，形成數學知識、方法和思想的一體化。
應充分利用數學的現實原型作為反映數學思想方法的基礎。數學思想方法是對數學問題解決或構建所做的整體性考慮，它來源于現實原型又高于現實原型，往往借助現實原型使數學思想方法得以生動地表現，有利于對其深人理解和把握。例如：分類討論的思想方法始終貫穿于整個數學教學中。在教學中要引導學生對所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級），然后逐類討論（即對各類問題詳細討論、逐步解決），最后歸納總結。教師要幫助學生掌握好分類的方法原則，形成分類思想。
數學思想方法的滲透應根據教學計劃有步驟地進行。一般在知識的概念形成階段導入概念型數學思想，如方程思想、相似思想、已知與未知互相轉化的思想、特殊與一般互相轉化的思想等等。在知識的結論、公式、法則等規律的推導階段，要強調和注重思維方法，如解方程的如何消元降次、函數的數與形的轉化、判定兩個三角形相似有哪些常用思路等。在知識的總結階段或新舊知識結合部分，要選配結構型的數學思想，如函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化，分數討論思想體現了局部與整體的相互轉化。在所有數學建構及問題的處理方面，注意體現其根本思想，如運用同解原理解一元一次方程，應注意為簡便而采取的移項法則。
3、重視課堂教學實踐，在知識的引進、消化和應用過程中促使學生領悟和提煉數學思想方法。
數學知識發生的過程也是其思想方法產生的過程。在此過程中，要向學生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創設使認知主體與客體之間激發作用的環境和條件，通過對知識發生過程的展示，使學生的思維和經驗全部投人到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰之中，從而主動構建科學的認知結構，將數學思想方法與數學知識融匯成一體，最終形成獨立探索分析、解決問題的能力。
概念既是思維的基礎，又是思維的結果。恰當地展示其形成的過程，拉長被壓縮了的“知識鏈”，是對數學抽象與數學模型方法進行點悟的極好素材和契機。在概念的引進過程中，應注意：①解釋概念產生的背景，讓學生了解定義的合理性和必要性；②揭示概念的形成過程，讓學生綜合概念定義的本質屬性；③鞏固和加深概念理解，讓學生在變式和比較中活化思維。
在規律（定理、公式、法則等）的揭示過程中，教師應注重數學思想方法，培養學生的探索性思維能力，并引導學生通過感性的直觀背景材料或已有的知識發現規律，不過早地給結論，講清抽象、概括或證明的過程，充分地向學生展現自己是如何思考的，使學生領悟蘊含其中的思想方法。
數學問題的化解是數學教學的核心，其最終目的要學會運用數學知識和思想方法分析和解決實際問題。例如“平行四邊形的面積求法”的問題，通過探求解決問題的思想和策略，得到以化歸思想指導將思維定向轉化成求已知矩形的面積。這樣以問題的變式教學，使學生認識到求解該問題的實質是等積變換，即要在保持面積不變的情形下實現化歸目標，而化歸的手段是“三角形位移”，由此揭示了解決問題的思維過程及其所包含的數學思想，同時提高了學生探索性思維能力。在數學知識的引進、消化和運用的過程中，要利用單元復習和階段性總結的時間，以適當集中的方式，從縱橫兩方面整理、概括和提煉出數學思想方法綱要和系統。以分散方式的滲透性教學為基礎，集中強化數學思想方法教育的形式，促使學生對數學思想方法由個別的具體感悟上升到一般的理性認識，這有利于提高教學效果。
4、通過范例和解題教學，綜合運用數學思想方法。
一方面要通過解題和反思活動，從具體數學問題和范例中總結歸納解題方法，并提煉和抽象成數學思想；另一方面在解題過程中，充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通，以數學思想觀點為指導，靈活運用數學知識和方法分析問題、解決問題。
一、 教案實驗,探究效果
實驗學校背景:所在華士實驗中學坐落無錫江陰華士鎮,作為中央教科所附屬學校,一向重視素質教育。現有教職工近200人、學生近2000人。實驗班級是初二(10)、(11)班。它們是初二十五個平行班中的兩個普通班,共有學生98人,其中女生41人,外省市學生有35人。實施時間是2009年6月上旬。
實驗教案:選取華師大版初中數學教案“勾股定理”。(該教案有一定特點,數學史教學內容豐富,教學內容與生活實際聯系密切,實施教學時能足夠激發學生學習興趣。)
教學設計意圖及目標:嘗試在數學教學中滲透德育的途徑,了解各育德形式的效果。
簡要教學流程:1. 由問題引出課題。直角三角形的內角間有何關系?直角三角形的三邊間有何關系?如果一個直角三角形的兩邊長為3和4,哪么斜邊是多少呢?2. 學生分小組合作討論問題。在網格圖中構建一個等腰直角三角形,觀察以它的兩直角邊及斜邊為邊長的三個正方形面積間有何關系?如果將‘等腰直角三角形’改為‘直角三角形的兩邊長分別為3和4的直角三角形’,則面積關系又怎樣呢?通過討論,產生結論,從而得出勾股定理。3. 利用“弦圖”(2002年在北京召開的國際數學家大會會標)用面積法證明勾股定理。4. 應用。例題:將長為5.41米的梯子斜靠在墻上,梯子下端與墻角間長為2.16米,求梯子上端到墻角間的距離。5. 鞏固練習。6. 小結。
在教學流程中設置了以下育德點:
1. 在引出勾股定理內容后,介紹勾股定理史話。在勾股定理證明教學中介紹“弦圖”早在我國古代三國時期數學家趙爽的《周髀算經》中就已出現了。培養學生對學習數學的興趣,并進行愛國主義教育。
2. 在流程2的教學中教師時刻關注學生討論的動態,及時表揚討論積極者,強調同學在學習中要互相幫助,培養學生團隊合作精神。
3. 利用教學內容的本身特點,培養學生良好的個性心理品質。① 在流程2“計算以直角邊分別是3. 4的直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積”教學中,引導學習思考:怎樣的網格圖面積較易計算?【以網格線(即網格中的水平線及豎直線)組成的圖形】。怎樣把一般圖分割成由網格線組成的圖形?【通過圖中的網格線,把原圖分割成規則圖形】。以上數學活動是高強度的腦力挑戰,需要主觀意志來支配,需要克服重重困難才能達到目的,以此培養學生的勇敢、自信、勤奮、頑強的學習和探索的心理品質。② 在探索出勾股定理內容后,立即引導學生如何證明該定理。從而強調數學上的結論必須按照規定的思維規則進行推理和論證,數學檢驗有其客觀標準,以此培養學生的誠實、正直、嚴謹和實事求是的心理品質。③ 在流程4的例題教學中,強調數學源于生活、數學又可應用生活。從而陶冶學生的思想情操,引導學生欣賞科學的美學價值。④ 在流程5訓練學生解題的教學中,及時關注他們解題的規范性、正確性,適當的作些提醒、糾錯,從而強調數學在一定的范圍內具有規范性及嚴格的邏輯性,以此培養學生嚴肅、認真、踏實、細致、一絲不茍、有條不紊的心理品質。
調查:將上述教案通過兩個平行班教學后,對該課時上育德的效果作了兩次調查問卷。第一次是教學后隔天進行的,第二次是教學兩周后進行的。調查內容是讓學生回答對教學中育德點的印象及感受。以選擇題的形式,有三個備選答案:A. 該教學內容至今記憶猶新,感觸較深。B. 該教學內容部分有印象,但感觸一般。C. 該教學內容已有點模糊,也沒什么感觸。調查結果統計見下表。(精確到1%)
二、 數據分析,找出原因
數據分析:
1. 兩次調查比較,隨著時間推移,學生對育德點的遺忘程度是明顯的。
2. 第一次調查中育德點1的遺忘程度明顯好于育德點2、3。而第二次調查中育德點2、3的遺忘程度明顯好于育德點1。
3. 每次調查,對于每個育德點,選B項的百分率都高于其它兩項。
4. 對育德點2與3之間比較,無明顯差異。
找出原因:
1. 數學教學的針對性是較強的。本實驗教案的教學重點是勾股定理及其應用。為完成教學的主要目標,教者在教學時的著重點及時間安排上應側重于教學重點,課后也不可能對育德點進行鞏固、反復。因此,隨著時間的推移,學生對它的遺忘程度明顯是必然的。
2. 在數學教學中,對數學史的教學雖不能作為重點,但它區別于一般的教學內容,受傳統教學 模式影響,目前實際教學中不可能每個課時都安排數學史教學內容,因此對學生來說數學史比較新鮮,教者在教學時如果能適當掌握好語言技巧,是可以增加學生的關注程度,達到加強學生短期記憶度的目的。
3. 育德點2、3的內容與數學教學活動關系密切,它融合于數學教學的全過程中,隨著教學內容的反復,它也可反復。它可以寓德育于數學教育。因此可以加強學生長期記憶度的目的。
4. 在德育教學過程中,從接受外界的德育信息,到內化為自己的思想行為,這是一個復雜的過程。它至少需要在記憶的前提下,再通過自覺的內化過程,對自己的心靈產生感觸后,才能逐步成為自己內在的行為準則。因此數學教學中的德育效果不可能通過一次或幾次教育就能產生的,它具有長期性、反復性。
三、 反復思考,采取對策
1. 重視數學史的教學。
在數學課程標準關于課程的基本理念中,明確指出要“體現數學的文化價值”。因此在數學教學中理應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢。受數學學科自身特點的影響,雖不能在每個課時安排數學史教育,但我們應提高認識、改變觀念,主動在合適的課時插入數學史教育。例如在“完全平方公式”教學中,可向學生介紹我國北宋時期的“賈憲三角”資料,感受古代科學家的偉大。在完成“中心對稱”教學后,可向學生介紹敦煌古建筑中的旋轉對稱圖案,感受古時候對稱圖案的美妙。在函數教學時,介紹“解析幾何的創始人笛卡爾,從小游手好閑,偶遇一次街頭數學問題懸賞解答,強烈的興趣使他對數學入了迷,那年他已經近二十歲了”。這是激發學生學習興趣、獲得學習的勇氣的良好素材。數學史是人類文明給后人留下的路標,具有其獨特的教育功能。數學史對數學人才的培養和選拔,起著其獨特的作用。
2. 從數學教學的自身特點出發,把德育融合于數學教學中。
數學教育本身具有客觀性、理智性、嚴密性、進取性等特征,在進行與數學教育自身特征相關的德育教育,才能起到事半功倍的效果。例如在正負數教學時,從一些生活實例出發,說明引進負數的必要性,強調引進負數是生產實踐的需要。在函數教學時,可先向學生介紹人們一般是用什么方法預測股市走向,使學生從實際生活中理解抽象的函數概念,讓學生知道數學知識是從實際生活中抽象出來的,同時它又可應用于生活。其實目前教材每個章節的新知識都是從生活實例引出的。只要我們仔細去品味教材,一定能讓學生在學到數學知識的同時,又能感受到‘數學源于生活,生活中處處有數學’這種辯證唯物的科學世界觀。又如在課堂設計時,當提出一些問題時,先不要急著讓學生回答,可讓他們以座位前后分小組先討論。讓他們在討論中解決問題,以培養他們互相幫助、協作進取的好品質。以上行為都是在數學教學中自然而然中進行的,無需教者另外多加‘弦外之音’。這就是數學教育對德育的一種潛移默化作用。有時,在教學中也只需要教者的一句話,就能起到點石為金的作用。例如,在解決數學難題后,如果教師能順勢說出:‘同學們,沖破重重迷霧后見到了光明是最幸福的’。相信同學們一定會露出由衷的微笑。這樣不就又一次提升了學生面對困難堅忍不拔的好品質。總之,在數學教育中對學生進行德育時,不是在課堂上進行一種簡單的說教,而是寓德育于數學教育。在實際教學中滲透德育,才是一種有效的德育教育。
3. 數學教育中的德育的功能具有長效性、深刻性。
數學的德育功能的特點是隱蔽性、深刻性、整體性,因此數學教育中的德育是潛移默化地進行的,是通過數學知識的教養,數學思維能力的培養,間接達到思想品德教育之功效。數學教育中的德育反映出一種遲效性,需要利用數學的特點,長期熏陶,方能見到效果。數學之育德,給人們提供了一種全面地、相互聯系地看問題的角度,因而可以全面提高人的素質。教師只有自覺地在每個課時中按數學教育內容設置德育的特定目標,哪怕一處或兩處,哪怕一句話或兩句話,只有進行長期的滲透,才能充分發揮其功效。
