時間：2022-10-24 06:54:46
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數(shù)學(xué)思想，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想 教學(xué)功能概念
數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是教師“主體表演”的過程，是語言、動作、板書演示、語言交流、情感交流等融于一體的過程。在這種過程中，往往既能反映出教師專業(yè)基礎(chǔ)知識的情況，又能反映出教師對教學(xué)理論的掌握情況，同時還可反映出教師的數(shù)學(xué)思想的有關(guān)情況。實踐證明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想、方法已經(jīng)越來越多地得到人們的重視，特別是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何使學(xué)生較快地理解和掌握數(shù)學(xué)思想、方法，更是我們廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師所關(guān)心的問題。
一、對中學(xué)數(shù)學(xué)思想的基本認識
“數(shù)學(xué)思想”作為數(shù)學(xué)課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內(nèi)涵與外延形成較為明確的認識。關(guān)于這個概念的內(nèi)涵，我們認為：數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學(xué)家；而認識的客體，則包括數(shù)學(xué)科學(xué)的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質(zhì)世界的實際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等。可見，這些思想是歷代與當(dāng)代數(shù)學(xué)家研究成果的結(jié)晶，它們蘊涵于數(shù)學(xué)材料之中，有著豐富的內(nèi)容。
通常認為數(shù)學(xué)思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學(xué)數(shù)學(xué)教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，還有人認為中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)運用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學(xué)材料的基礎(chǔ)上來論述數(shù)學(xué)思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中起到積極的促進作用的。
關(guān)于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。屬于宏觀的，有數(shù)學(xué)觀(數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)的本能和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的關(guān)系)，數(shù)學(xué)在科學(xué)中的文化地位，數(shù)學(xué)方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)部各個部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對立與統(tǒng)一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對各個分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認識，包括對所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。
二、數(shù)學(xué)思想的特性和作用
1、數(shù)學(xué)思想凝聚成數(shù)學(xué)概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)思想起著統(tǒng)帥的作用。
2、數(shù)學(xué)思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數(shù)學(xué)思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導(dǎo)意義的共性。它比某個具體的數(shù)學(xué)問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高?，F(xiàn)實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統(tǒng)一等“事實”，都可作為數(shù)學(xué)思想進行哲學(xué)概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學(xué)的世界觀和方法論。
3、數(shù)學(xué)思想富有創(chuàng)造性
借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。從而將一種關(guān)系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復(fù)雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。
三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能
1、數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂
從教材的構(gòu)成體系來看，整個初中數(shù)學(xué)教材所涉及的數(shù)學(xué)知識點匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數(shù)學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學(xué)概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體?？梢?，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動力和工具。教師在教學(xué)中如能抓住數(shù)學(xué)思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創(chuàng)造，才能使教學(xué)見效快，收益大。
2、數(shù)學(xué)思想是我們進行教學(xué)設(shè)計的指導(dǎo)思想
關(guān)鍵詞 中學(xué)數(shù)學(xué) 函數(shù) 函數(shù)思想
中圖分類號：G424 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052
An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School
ZHAO Sheng
（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）
Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.
Key words middle school mathematics； function； function thought
函鄧枷朧竊謔學(xué)的發(fā)展史中形成的，它是人們對函數(shù)知識的本質(zhì)性認識，來源于函數(shù)的基礎(chǔ)知識，它在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著重要的作用，是教材體系的靈魂。在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，加強函數(shù)思想教學(xué)可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)知識、形成正確的教學(xué)觀念和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)精神；它是落實素質(zhì)教育的有效途徑和重要手段；還可以提高教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)水平；有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義能力與函數(shù)應(yīng)用能力。隨著數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)思想日趨凸顯，從事數(shù)學(xué)教育以及一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者越來越認識到函數(shù)思想的重要性。函數(shù)是支撐中學(xué)數(shù)學(xué)的骨架，是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，貫穿整個中學(xué)階段。從歷年中考、高考的情況來看，以函數(shù)為核心編制的題目立意新穎，知識覆蓋面廣，靈活性較強，有比較理想的選拔功能。所以函數(shù)思想有極高的研究價值。作為數(shù)學(xué)教育工作者了解函數(shù)思想的產(chǎn)生、發(fā)展和特點，掌握函數(shù)運動的發(fā)展規(guī)律，形成正確的教學(xué)觀，從而提高對數(shù)學(xué)知識的駕馭能力。本文通過對中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)思想的研究來指導(dǎo)教育工作者更加有效地進行教學(xué)，同時也為新課改提供有力依據(jù)，給學(xué)生的學(xué)習(xí)指引正確的方向。
1 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
函數(shù)是數(shù)集之間的特殊映射，反映事物的內(nèi)部聯(lián)系，縱觀整個中學(xué)階段，函數(shù)將大部分數(shù)學(xué)知識緊扣在一起，形成一個以函數(shù)為中心向四周擴散的知識網(wǎng)絡(luò)，而函數(shù)思想則是形成這個知識網(wǎng)絡(luò)的靈魂。函數(shù)思想的應(yīng)用就是對于一些實際問題、數(shù)學(xué)問題構(gòu)建一個函數(shù)模型，應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)更快更好地解決問題，而構(gòu)造函數(shù)模型是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)。接下來筆者將從以下幾個方面闡述函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。
1.1 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的宏觀應(yīng)用
函數(shù)思想的宏觀應(yīng)用也就是函數(shù)性質(zhì)的直接應(yīng)用，即應(yīng)用初等函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域、值領(lǐng)、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、連續(xù)性、對稱性、圖像等）求解有關(guān)的值、討論參數(shù)的取值等問題，只要掌握函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，直接對其加以簡單應(yīng)用就行，直觀明了，同樣也是函數(shù)思想的簡單體現(xiàn)。
例1 函數(shù) （） = + 3 + 有極值，又在其曲線上極大和極小的點分別為、，若線段（不含端點）與曲線交于點（1，0），求的值。
分析：首先弄清已知條件，已知①一個含參數(shù)的三次函數(shù)；②函數(shù)有極值；③有極大和極小點，；④線段（不含端點）與曲線交于點（1，0）。解題目標(biāo)是求的值。
由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。
（0，），（， + ）
再由點（1，0）在曲線上以及三點共線，解得
這個結(jié)果是否正確？還是要注意題目的條件，即條件④中有一點容易被忽略，這就是點應(yīng)在線段的內(nèi)部，因此應(yīng)滿足0
1.2 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的微觀應(yīng)用
函數(shù)與方程、不等式、角、數(shù)列等均有不同程度的內(nèi)在聯(lián)系，將一些非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題、構(gòu)建函數(shù)模型就是函數(shù)思想的微觀應(yīng)用，也就是函數(shù)的間接應(yīng)用，此類題型可以鍛煉學(xué)習(xí)者的發(fā)散思維和邏輯推理能力。接下來將以幾個實例加以說明。
1.2.1 活躍在方程、不等式中的函數(shù)思想
函數(shù)與方程、不等式有著千絲萬縷的關(guān)系，絕大多數(shù)方程與不等式的研究需要依靠函數(shù)來實現(xiàn)，而函數(shù)性質(zhì)的研究則又需要依賴方程與不等式來完成，所以他們是相輔相成的。比若說求定義域、函數(shù)單調(diào)性證明都需要借助不等式來完成；而解方程又是求函數(shù)的零點。所以在解關(guān)于方程與不等式這類題的過程中應(yīng)該考慮以函數(shù)為工具，加強函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用能力，系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)各個模塊的知識。
例2 證明不等式0）。
分析：證明不等式有很多種方法，可以通過作差、作商、反證、放縮、構(gòu)造等不同方法來實現(xiàn)，根據(jù)不同題目選擇合理方法可以達到事半功倍的效果。通過觀察，本題通過構(gòu)造函數(shù)的方法來證明，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性來實現(xiàn)不等式大小，既方便又快捷。
證明：要證0），即證
令 = ，（>0）
當(dāng)>0時， = 1 / （1 + ）即
= 在（0，）上為單調(diào)遞減函數(shù)
那么就有0）
即 =
小結(jié)：本題通過構(gòu)造函數(shù)證明該不等式，是應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求解問題的典型例題，通過導(dǎo)函數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性，進而證明不等式，思路清楚，方法簡單易懂。
1.2.2 三角函數(shù)思想的呈現(xiàn)
例3 已知為銳角，且，求的值。
分析：由的構(gòu)成特點，本題的化簡變形，不宜按常規(guī)對的三角函數(shù)都采用降次的作法，而需把已知表達式中的含的三角函數(shù)升次，含的三角函數(shù)降次，即湊出和的表達式出來。
解：由（1），得3 = 2 （3）
由（2），得3 = 2 （4）
（3）鰨？），得 = （） = 0，
因為為銳角，所以0
1.2.3 實際問題中的函數(shù)模型
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們會遇到很多抽象的數(shù)學(xué)問題，如果直接求解會非常困難或者是直接解不出來，這是我們應(yīng)該充分應(yīng)用所學(xué)知識，試著應(yīng)用函數(shù)的思想去考慮，試著建立函數(shù)關(guān)系式，讓抽象、復(fù)雜的實際問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)問題，再應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)將它求解出來，這就是應(yīng)用函數(shù)思想求解數(shù)學(xué)實際問題的基本套路。
例4 （2012浙江省嘉興市）某汽車租賃公司擁有20輛汽車。據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元。設(shè)公司每日租出輛車時，日收益為元。（日收益=日租金收入平均每日各項支出）
（1）公司每日租出輛車時，每輛車的日租金為_______元（用含的代數(shù)式表示）；
分析：本題為綜合性題目，主要考查二次函數(shù)實際問題，怎樣建立函數(shù)關(guān)系式與找等量關(guān)系，函數(shù)關(guān)系建立好之后結(jié)合實際函數(shù)圖像做出解答。
解析：單輛車日租金為：50（20）+400 = 140050
2 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想的途徑
中W數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)最重要的目的就是打開學(xué)生的函數(shù)思維，提升學(xué)生們的函數(shù)素養(yǎng)，新一輪課程改革中，將函數(shù)思想作為必須掌握的教學(xué)要求，所以函數(shù)教學(xué)過程中不再一味地讓學(xué)生吸收理論知識與概念性內(nèi)容，而是讓學(xué)生獨立思考，老師引導(dǎo)，建立一定的函數(shù)思想基礎(chǔ)，從根本上提升自己的函數(shù)應(yīng)用能力。教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想的途徑很多，接下來介紹三種滲透方式。
2.1 應(yīng)用函數(shù)思想探究數(shù)學(xué)知識
新的教育背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)該注重對學(xué)生培養(yǎng)知識形成的過程，在數(shù)學(xué)知識的探索過程中（比如說一些公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)過程）就是數(shù)學(xué)思想方法的最佳體現(xiàn)時刻，因此教師在教學(xué)中，要重視公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)過程，盡量凸顯其相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生掌握基本知識的同時，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦。下面我們以函數(shù)思想為實例，演示探究數(shù)學(xué)知識的過程中滲透函數(shù)思想。
2.2 在數(shù)學(xué)解題中滲透函數(shù)思想
在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，經(jīng)常出現(xiàn)課堂上學(xué)生聽懂了，但是課后做同類型的題目是就無從下手，其原因就是在教學(xué)過程中，教師就題論題，拿到題目就草率地解答出來，遇到此類題時照葫蘆畫瓢，機械操作，學(xué)生感到厭煩，學(xué)生沒有真正認識到題目的出處，沒有領(lǐng)略到數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)解題過程中滲透函數(shù)思想也就是在數(shù)學(xué)解題過程中應(yīng)用函數(shù)的思想方法去求解繁瑣的數(shù)學(xué)問題，比如說用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等等基本性質(zhì)將其復(fù)雜問題簡單化。
例5 設(shè)不等式 + 2 + >0的解集為全體實數(shù)，求的取值范圍。
分析：題設(shè)不等式的系數(shù)比較復(fù)雜，可通過另設(shè)變元的方法，使此題解題過程簡化。
解：設(shè) = ，則 = ， = ，
而原不等式化成（） + 2>0
由題意知，
解得
“數(shù)學(xué)思想”作為數(shù)學(xué)課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內(nèi)涵與外延形成較為明確的認識。關(guān)于這個概念的內(nèi)涵，我們認為：數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名與無名的數(shù)學(xué)家；而認識的客體，則包括數(shù)學(xué)科學(xué)的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質(zhì)世界的實際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的互相關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等?？梢?，這些思想是歷代與當(dāng)代數(shù)學(xué)家研究成果的結(jié)晶，它們蘊涵于數(shù)學(xué)材料之中，有著豐富的內(nèi)容。
通常認為數(shù)學(xué)思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學(xué)數(shù)學(xué)教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，還有人認為中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)運用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學(xué)材料的基礎(chǔ)上來論述數(shù)學(xué)思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中起到積極的促進作用的。
關(guān)于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數(shù)學(xué)觀(數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)的本能和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的關(guān)系)，數(shù)學(xué)在科學(xué)中的文化地位，數(shù)學(xué)方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)部各個部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對立與統(tǒng)一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對各個分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認識，包括對所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。
從質(zhì)的方面說，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態(tài)認識與動態(tài)認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。
二、數(shù)學(xué)思想的特性和作用
數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對數(shù)學(xué)及其研究對象，對數(shù)學(xué)知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認識。它表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)對象的開拓之中，表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)概念、命題和數(shù)學(xué)模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數(shù)學(xué)思想凝聚成數(shù)學(xué)概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)思想起著統(tǒng)帥的作用。
(二)數(shù)學(xué)思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數(shù)學(xué)思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導(dǎo)意義的共性。它比某個具體的數(shù)學(xué)問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高?，F(xiàn)實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統(tǒng)一等“事實”，都可作為數(shù)學(xué)思想進行哲學(xué)概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學(xué)的世界觀和方法論。
(三)數(shù)學(xué)思想富有創(chuàng)造性
借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。從而將一種關(guān)系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復(fù)雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強奮戰(zhàn)的個性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。
三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能
我國《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須大力加強對數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)與研究。
(一)數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂
從教材的構(gòu)成體系來看，整個初中數(shù)學(xué)教材所涉及的數(shù)學(xué)知識點匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數(shù)學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學(xué)概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體?？梢?，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動力和工具。教師在教學(xué)中如能抓住數(shù)學(xué)思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創(chuàng)造，才能使教學(xué)見效快，收益大。
(二)數(shù)學(xué)思想是我們進行教學(xué)設(shè)計的指導(dǎo)思想
筆者認為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計應(yīng)分三個層次進行，這便是宏觀設(shè)計、微觀設(shè)計和情境設(shè)計。無論哪個層次上的設(shè)計，其目的都在于為了讓學(xué)生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認識的數(shù)學(xué)活動過程中去。這種設(shè)計不能只是數(shù)學(xué)認識過程中的“還原”，一定要有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個好的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)當(dāng)是歷史上數(shù)學(xué)思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關(guān)系的簡縮，也應(yīng)當(dāng)是滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、使用現(xiàn)代手段實現(xiàn)的新的認識過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關(guān)系的思想，還可以是在現(xiàn)實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的概括和延伸，這就需要搞清楚應(yīng)概括怎樣的共性，如何準(zhǔn)確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進行預(yù)測和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務(wù)，必須依靠數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)。有了深刻的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設(shè)計來，才能引發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性的思維活動來。這樣的教學(xué)設(shè)計，才能適應(yīng)瞬息萬變的技術(shù)革命的要求?？恳回炄绱嗽O(shè)計的課堂教學(xué)培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。
(三)數(shù)學(xué)思想是課堂教學(xué)質(zhì)量的重要保證
數(shù)學(xué)思想性高的教學(xué)設(shè)計，是高質(zhì)量進行教學(xué)的基本保證。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師面對的是幾十個學(xué)生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術(shù)手段的現(xiàn)代化，學(xué)生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學(xué)生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準(zhǔn)確辨別各種各樣問題的癥結(jié)，給出中肯的分析；才能恰當(dāng)適時地運用類比聯(lián)想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復(fù)雜的問題簡單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學(xué)生大膽地進行創(chuàng)造，把眾多學(xué)生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學(xué)活動中來，真正成為教學(xué)過程的主體；也才能使有一定思想的教學(xué)設(shè)計，真正變成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程。
有人把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量理解為學(xué)生思維活動的質(zhì)和量，就是學(xué)生知識結(jié)構(gòu)，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)效果?！靶隆敝笇W(xué)生的思維活動要有新意，“高”指學(xué)生通過學(xué)習(xí)能形成一定高度的數(shù)學(xué)思想，“深”則指學(xué)生參與到教學(xué)活動的程度。
關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);思想
一、方程和函數(shù)思想
在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立一個等式，把生活語言“翻譯”成代數(shù)語言的過程就是方程思想。笛卡兒曾設(shè)想將所有的問題歸為數(shù)學(xué)問題，再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成方程問題，即通過問題中的已知量和未知量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，運用數(shù)學(xué)的符號語言轉(zhuǎn)化為方程（組），這就是方程思想的由來。
在小學(xué)階段，學(xué)生在解應(yīng)用題時仍停留在小學(xué)算術(shù)的方法上，一時還不能接受方程思想，因為在算求解題時，只允許具體的已知數(shù)參加運算，算術(shù)的結(jié)果就是要求未知數(shù)的解，在算術(shù)解題過程中最大的弱點是未知數(shù)不允許作為運算對象，這也是算術(shù)的致命傷。而在代數(shù)中未知數(shù)和已知數(shù)一樣有權(quán)參加運算，用字母表示的未知數(shù)不是消極地被動地靜止在等式一邊，而是和已知數(shù)一樣，接受和執(zhí)行各種運算，可以從等式的一邊移到另一邊，使已知與未知之間的數(shù)學(xué)關(guān)系十分清晰，在小學(xué)中高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，若不滲透這種方程思想，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平就很難提高。例如稍復(fù)雜的分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題、行程問題、還原問題等，用代數(shù)方法即假設(shè)未知數(shù)來解答比較簡便，因為用字母x表示數(shù)后，要求的未知數(shù)和已知數(shù)處于平等的地位，數(shù)量關(guān)系就更加明顯，因而更容易思考，更容易找到解題思路。在近代數(shù)學(xué)中，與方程思想密切相關(guān)的是函數(shù)思想，它利用了運動和變化觀點，在集合的基礎(chǔ)上，把變量與變量之間的關(guān)系，歸納為兩集合中元素間的對應(yīng)。數(shù)學(xué)思想是現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系深入研究的必然產(chǎn)物，對于變量的重要性，恩格斯在自然辯證法一書有關(guān)“數(shù)學(xué)”的論述中已闡述得非常明確：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué);有了變數(shù)，辨證法進入了數(shù)學(xué);有了變數(shù)，微分與積分也立刻成為必要的了?！睌?shù)學(xué)思想本質(zhì)地辨證地反映了數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，是近代數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的重要基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的練習(xí)中有如下形式：
6×3= 20×5= 700×800=
60×3= 20×50= 70×800=
600×3= 20×500= 7×800=
有些老師，讓學(xué)生計算完畢，答案正確就滿足了。有經(jīng)驗的老師卻這樣來設(shè)計教學(xué)：先計算，后核對答案，接著讓學(xué)生觀察所填答案有什么特點（找規(guī)律），答案的變化是怎樣引起的？然后再出現(xiàn)下面兩組題：
45×9= 1800÷200=
15×9= 1800÷20=
5×9= 1800÷2=
通過對比，讓學(xué)生體會“當(dāng)一個數(shù)變化，另一個數(shù)不變時，得數(shù)變化是有規(guī)律的”，結(jié)論可由學(xué)生用自己的話講出來，只求體會，不求死記硬背。研究和分析具體問題中變量之間關(guān)系一般用解析式的形式來表示，這時可以把解析式理解成方程，通過對方程的研究去分析函數(shù)問題。中學(xué)階段這方面的內(nèi)容較多，有正反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪指對函數(shù)，三角函數(shù)等等，小學(xué)雖不多，但也有，如在分數(shù)應(yīng)用題中十分常見，一個具體的數(shù)量對應(yīng)于一個抽象的分率，找出數(shù)量和分率的對應(yīng)恰是解題之關(guān)鍵;在應(yīng)用題中也常見，如行程問題，客車的速度與所行時間對應(yīng)于客車所行的路程，而貨車的速度與所行時間對應(yīng)于貨車所行的路程;再如一元方程x+a=b等等。 學(xué)好這些函數(shù)是繼續(xù)深造所必需的;構(gòu)造函數(shù)，需要思維的飛躍;利用函數(shù)思想，不但能達到解題的要求，而且思路也較清晰，解法巧妙，引人入勝。
二、化歸思想
化歸思想是把一個實際問題通過某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個較簡單的問題。應(yīng)當(dāng)指出，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”。它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。
例： 狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次可向前跳4 1/2 米，黃鼠狼每次可向前跳2 3/4米。它們每秒種都只跳一次。比賽途中，從起點開始，每隔12 3/8米設(shè)有一個陷阱， 當(dāng)它們之中有一個掉進陷阱時，另 一個跳了多少米？
這是一個實際問題，但通過分析知道，當(dāng)狐貍（或黃鼠狼）第一次掉進陷阱時，它所跳過的距離即是它每 次所跳距離4 1/2（或2 3/4）米的整倍數(shù)，又是陷阱間隔12 3/8米的整倍數(shù)，也就是4 1/2和12 3/8的“ 最小公倍數(shù)”（或2 3/4和12 3/8的“最小公倍數(shù)”）。針對兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉 入陷阱，問題就基本解決了。上面的思考過程，實質(zhì)上是把一個實際問題通過分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個求“最小公倍數(shù)”的問題，即把一個實際問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，這種化歸思想正是數(shù)學(xué)能力的表現(xiàn)之一。
三、極限的思想方法
極限的思想方法是人們從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，了解它有重要意義。
【關(guān)鍵字】數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)思維；滲透；培養(yǎng)
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的過程，數(shù)學(xué)思維能力的高低關(guān)系到數(shù)學(xué)水平的高低，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在傳授知識的同時揭示數(shù)學(xué)思維過程，把數(shù)學(xué)知識的積累和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)統(tǒng)一結(jié)合起來。
一、在概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想
數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科知識理論體系的基礎(chǔ)，是反映數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的思維形式，對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)起到基礎(chǔ)性作用，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中首先學(xué)習(xí)的內(nèi)容。有些數(shù)學(xué)教師受傳統(tǒng)教學(xué)方式的影響，只注重學(xué)生對概念的理解和應(yīng)用，對概念產(chǎn)生的原因、背景、條件和形成過程不關(guān)心，這樣使數(shù)學(xué)概念成為了靜止孤立的定義，學(xué)生無法了解概念背后的精神和豐富的內(nèi)容，不利于數(shù)學(xué)知識體系的形成。“函數(shù)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，在學(xué)習(xí)“函數(shù)”的概念時，我們往往只學(xué)習(xí)函數(shù)的古典定義，即“變量說”定義，而對“函數(shù)”概念產(chǎn)生和發(fā)展的背景和過程不夠了解。自從笛卡爾創(chuàng)立《解析幾何學(xué)》開始，數(shù)學(xué)家們對“函數(shù)”的研究就一直在進行，代表人物歐拉，就給“函數(shù)”下過三次定義，直到迪里赫勒提出了我們現(xiàn)在使用的函數(shù)定義，實際上，函數(shù)的定義還有“關(guān)系說”和“對應(yīng)說”，在課堂上，教師在介紹數(shù)學(xué)概念時可以只做一點引申，在課程講解完或者課余時間，教師再對概念的背景進行講授，在對數(shù)學(xué)概念形成背景的講授中，可以讓學(xué)生明白一個道理，那就是任何數(shù)學(xué)概念的形成都是有科學(xué)根據(jù)的，并且是數(shù)學(xué)家反復(fù)推理、實踐得出的結(jié)論，在實踐中不斷完善和發(fā)展。
二、采用問題教學(xué)法培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維
學(xué)習(xí)和思考是相互促進、相互依存的關(guān)系，要想讓學(xué)生積極主動的去思考，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，合理設(shè)置問題，采用問題教學(xué)法來激發(fā)學(xué)生的思維，促使學(xué)生思考。教師設(shè)置的問題要貼近教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的日常生活，并且要合理協(xié)調(diào)問題的難易程度，教師提出了問題，就會使學(xué)生產(chǎn)生解決問題的愿望，從而促進了學(xué)生的思維活動。教師設(shè)置了問題，使學(xué)生處在問題情境之中，從而集中了學(xué)生的注意力，提高了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效率。根據(jù)創(chuàng)設(shè)問題的內(nèi)容，可以把問題教學(xué)方法分為故事法、實驗法、生活實例法、聯(lián)系舊知識法等，研究表明，學(xué)生是否愿意主動的進行思維活動，不僅在于他們對這門學(xué)科的興趣性和目的性，更在于這門學(xué)科能否幫助學(xué)生解決實際問題，也就是說學(xué)生是否感覺這門學(xué)科有實用性。在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景下，帶著問題思考，學(xué)生對教師傳授的知識和理論更容易接受，并且經(jīng)過思考后轉(zhuǎn)化成自己的知識，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
三、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
興趣是學(xué)生最好的教師，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的理論性強、難度大、推理復(fù)雜，很多學(xué)生對數(shù)學(xué)望而生畏，覺得數(shù)學(xué)是一門及其枯燥的學(xué)科，在這種的心態(tài)下，學(xué)生不可能積極主動的去學(xué)習(xí)，也感受不了學(xué)習(xí)帶來的樂趣。教師在課堂教學(xué)中，可以利用教具進行演示和操作，對于無法動手演示的推理，還可以借助多媒體教學(xué)，吸引學(xué)生的注意力，盡量把知識簡單化，讓學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時，還要鼓勵學(xué)生自己提出問題，提出問題比解決問題更能鍛煉學(xué)生的思維能力，因為解決問題只是進行機械定式的思考，而提出問題可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和創(chuàng)新思維能力。教師要創(chuàng)造一個輕松、愉快、活躍的課堂環(huán)境，在這樣的環(huán)境下，學(xué)生能夠大膽發(fā)言，敢于提出自己的問題，不至于使問題越積越多，也緩解了緊張的教學(xué)氣氛。教師可以嘗試新的教學(xué)方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。例如在學(xué)習(xí)數(shù)列時，教師可以從生活中常玩的游戲――象棋入手，很多學(xué)生都會象棋都興趣，教師在指出象棋和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有聯(lián)系后，學(xué)生會產(chǎn)生極大的好奇心，想去探求聯(lián)系，在探求中學(xué)習(xí)了知識。
四、利用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)解題與復(fù)習(xí)
在對已學(xué)知識進行復(fù)習(xí)時，教師要結(jié)合知識形成發(fā)展的過程，揭示知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想，比如在學(xué)習(xí)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時，可以采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，使知識變的簡單明了，同時要注重知識的內(nèi)在聯(lián)系，比如函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想把數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來。利用數(shù)學(xué)思想解題，在解題的過程中培養(yǎng)學(xué)生獨立運用數(shù)學(xué)思想解題的意識，解題的過程就是數(shù)學(xué)思想運用的過程，比如求二面角的大小，就是運用把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題的數(shù)學(xué)思想，三垂線定理的運用也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想。運用數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，使思維變得更加靈活、敏捷，學(xué)生采用多種數(shù)學(xué)方法，是對數(shù)學(xué)知識靈活運用的一種表現(xiàn)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
五、利用數(shù)學(xué)思維的特征培養(yǎng)學(xué)生能力
數(shù)學(xué)思維的最基本特征就是概括性，對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和運用實際上就是概括的過程。數(shù)學(xué)概念的形成需要概括，有了概括，學(xué)生才能真正理解數(shù)學(xué)概念，并學(xué)會運用數(shù)學(xué)知識解決問題；學(xué)生對數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的形成需要概括，有了概括，學(xué)生才能形成數(shù)學(xué)能力，因為，概括的能力是數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)能力提高的表現(xiàn)就是把生活中的問題概括成數(shù)學(xué)問題，繼而概括出數(shù)量關(guān)系，再到數(shù)學(xué)模式、數(shù)學(xué)公式上去，從而使問題得到解決。要培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，教師應(yīng)該設(shè)置教學(xué)情境，明確概括的方法，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的思考進行概括，教師在分析新舊知識聯(lián)系的基礎(chǔ)上，圍繞知識的聯(lián)系對學(xué)生加以引導(dǎo)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，可以采用多種啟發(fā)方法，讓學(xué)生鍛煉概括思維的能力，提高解決問題的效率。
數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂，是對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認識，是形成學(xué)生正確的認識結(jié)構(gòu)的紐帶，是把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的根基，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重在知識的傳授中滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
參考文獻：
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在教學(xué)實踐中，我深深地體會到:只有用數(shù)學(xué)思想武裝起來的學(xué)生解決問題才有遠見和洞察力；只有把人類知識積累的思想財富運用于課堂教學(xué)的始終，才能使人們的教學(xué)朝氣蓬勃，充滿生機，才能叩開學(xué)生思維大門，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造意識，才能把課堂變?yōu)橥瑢W(xué)們吐露才華的幸福樂園。下面就是我在教學(xué)中的初步作法。
1. 把分類討論的思想貫穿于教學(xué)之中。
中學(xué)生有個弱點，那就是害怕討論問題。雖然他們有時也把一個問題分成幾種情況加以解決，但在大多數(shù)情形下，這都是一種機械的、被動的模仿。比如我們在分析形如一元二次函數(shù)的表達式時二次項的系數(shù)為參數(shù)，要求對二次項的系數(shù)要分類討論（是否為零），當(dāng)問及為什么要那樣分類時，他們往往答不上來，或解答不全的情況時有發(fā)生。以至于遇到一個要分幾種情況討論的新問題，大多會沒有思路，束手無策。或者純機械的模仿，一看到題中有時就討論它是否為零。通過觀察，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能自己獨立地討論問題，是因為同學(xué)們不了解討論背后的思想——分類，于是無法對癥下藥。
首先講清楚人類解決任何問題，都是在一定的范圍內(nèi)進行的，這個范圍就是問題的論域。當(dāng)人們在整個論域里解決問題遇到困難時，往往先把論域劃分為若干種情況，然后對各種情況一一作答。由于劃分后的每個解決問題的范圍小了，且各自情況都有自身的特征，因此解決起來往往容易些。當(dāng)這種辦法重復(fù)使用于各類問題中后就形成了一種思想——分類思想。顯然，分類的作用就是化整為零，分而治之，各個擊破。
數(shù)學(xué)問題的論域往往表現(xiàn)為一個大集合——全集，分類就是將大集合分為一些小集合，每個小集合叫一個類，這里還必須講清楚科學(xué)分類不準(zhǔn)重復(fù)，不準(zhǔn)遺漏（即常說的不重不漏）的要求及分類要選取一定的標(biāo)準(zhǔn)(依據(jù)) ，不同的標(biāo)準(zhǔn)就產(chǎn)生了不同的分類。在教學(xué)中我們要有意識地灌輸分類的思想。如講函數(shù)的奇偶性的標(biāo)準(zhǔn)是把函數(shù)全體分為(l)奇函數(shù)，(2)偶函數(shù)，(3)非奇非偶函數(shù)，(4)既奇又偶函數(shù)四大類。又以周期性為標(biāo)準(zhǔn)把它們可分為周期函數(shù)與非周期函數(shù)兩大類。又如在研究直線與平面的位置關(guān)系時，我們選取公共點的個數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)將其分為平行、相交和直線在平面內(nèi)三大類，然后再逐步研究就順利達到了目的。
把數(shù)學(xué)問題的論域進行分類，然后逐一求解的過程叫討論。顯然分類是討論的先導(dǎo)和源泉。教學(xué)中需要討論的問題是很多的，我們在教學(xué)中，每次都站在分類思想的高度對學(xué)生解題的過程進行思維的指導(dǎo)，經(jīng)過長期的培養(yǎng)，學(xué)生的思維能力有了很大的提高，他們害怕討論問題的程度就大大降低了。
事實上，給每個事物進行一種分類而數(shù)集通常用于分類，這樣就能使學(xué)生獲得統(tǒng)一的思想認識，在以后的解題中就能化為一個自覺的指導(dǎo)。
2. 用化歸思想駕馭教材。
所謂化歸就是把面臨的問題化解開來，歸結(jié)為一個或幾個已解決了的問題或簡單易解決的問題。人們解決問題時都自覺不自覺地用到了化歸的思想，當(dāng)我們遇到一個陌生的問題時，我們總是把它與我們熟悉的模式、方式方法掛鉤。一般地說，人類知識向前演進的過程中，無不是化新知識為舊知識，化未知為已知的。從這個意義上講，化歸是一種具有廣泛的普遍性的深刻的數(shù)學(xué)思想，也是我們解決數(shù)學(xué)問題的總策略。它不但在科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)新中顯示了巨大的作用，就是在學(xué)生日常的解題過程中也有普遍的指導(dǎo)意義。
在教學(xué)中，我十分注意化歸思想的教學(xué)。在宏觀上，我們指出了解決立體幾何問題總是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再去用平面幾何已有的結(jié)論去解決(這個"平面"一般是幾何體的某一個面所在平面或是我們作的輔助平面) ；解決解析幾何問題， 又總是通過建立坐標(biāo)系把幾何問題化歸為代數(shù)問題去解決；解復(fù)數(shù)問題，總是用代數(shù)形式或三角形式把其化歸成實數(shù)問題或三角問題加以解決的。在上面的例子中作輔助平面建立坐標(biāo)系及用代數(shù)(三角)式都是在創(chuàng)造化歸的條件，由此可見，創(chuàng)造"一定條件"是實現(xiàn)化歸的技術(shù)和關(guān)鍵。
在微觀層次上，我們已十分注意對學(xué)生化歸意識的培養(yǎng)。比如我們在講"加法定理"一節(jié)時，指導(dǎo)學(xué)生用化歸思想去進行推導(dǎo)，并指出:加法定理公式系統(tǒng)中幾十個公式全是用"母"公式通過化歸的方法推導(dǎo)出來的，從而使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)思想的和諧的美。通過多次這樣的訓(xùn)練，同學(xué)思維的靈活性、變通性都有了較大的提高，且對后面的知識學(xué)習(xí)造成了深遠的影響。我們還在證明"射影的面積公式"、"過一點有且只有一條直線垂直于已知平面"等命題及求解"半圓內(nèi)最大矩形"等題目中成功地運用化歸的思想，使同學(xué)們感到化歸確實是一個應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)思想，并能自覺地把它作為一種思考新問題的思想原則。
3. 教會學(xué)生使用數(shù)學(xué)的邏輯原則。
人類在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的長期社會實踐中，總結(jié)出了許多的知識及邏輯原則，這些原則在推動數(shù)學(xué)的運行和發(fā)展方面顯示了強有力的作用。我們在教學(xué)中運用這些原則也取得了較好的效果。例如在講立體幾何時，我跟同學(xué)們講，數(shù)學(xué)中任何一個概念必須經(jīng)過嚴格的定義后才能運用，一組命題宣布為公理系統(tǒng)，必須具有完備性、獨立性與和諧性。但是有時為了教育的需要把某些直觀的結(jié)論、證明困難的命題也當(dāng)作公理，這就破壞了獨立性。這樣的公理系統(tǒng)叫"擴大的公理系統(tǒng)"。有了這些知識后，同學(xué)們自學(xué)地調(diào)整知識的結(jié)構(gòu)，并發(fā)現(xiàn)現(xiàn)行《立體幾何》教材中"平行線"概念的應(yīng)用發(fā)生在定義之前的倒置情況，并認清了教材使用的公理系統(tǒng)是擴大了的公理系統(tǒng)。
一、端正滲透思想更新教育觀念
縱觀數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，應(yīng)該看到，應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的過程中，確實有很多弄潮兒站到了波峰浪尖，但也仍有一些數(shù)學(xué)課基本上還是在應(yīng)試教育的慣性下運行，對素質(zhì)教育只是形式上的“搖旗吶喊”，而行動上卻留戀應(yīng)試教育“按兵不動”，缺乏戰(zhàn)略眼光，因而至今仍被困惑在無邊的題海之中。
究竟如何走出題海，擺脫那種勞民傷財?shù)拇筮\動量的機械訓(xùn)練呢？我們認為：堅持滲透數(shù)學(xué)思想和方法，更新教育觀念是根本。要充分發(fā)掘教材中的知識點和典型例題中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，依靠數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)思維，盡量暴露思維的全過程，展示數(shù)學(xué)方法的運用，大膽探索，會一題明一路，以少勝多，這才是走出題海誤區(qū)，真正實現(xiàn)教育轉(zhuǎn)軌的新途徑。
二、明確數(shù)學(xué)思想和方法的豐富內(nèi)涵
所謂數(shù)學(xué)思想就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識，它是數(shù)學(xué)思維的結(jié)晶和概括，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂和根本策略。而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)形式，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和重要工具。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間歷來就沒有嚴格的界限，只是在操作和運用過程中根據(jù)其特征和傾向性，分為數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。一般說來，數(shù)學(xué)思想帶有理論特征，如符號化思想，集合對應(yīng)思想，轉(zhuǎn)化思想等。而數(shù)學(xué)方法則具有實踐傾向，如消元法、換元法、配方法、待定系數(shù)法等。因此數(shù)學(xué)思想具有抽象性，數(shù)學(xué)方法具有操作性。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法合在一起，稱為數(shù)學(xué)思想方法。
不同的數(shù)學(xué)思想和方法并不是彼此孤立，互不聯(lián)系的，較低層次的數(shù)學(xué)思想和方法經(jīng)過抽象、概括便可以上升為較高層次的數(shù)學(xué)思想和方法，而較高層次的數(shù)學(xué)思想和方法則對較低層次的數(shù)學(xué)思想和方法有著指導(dǎo)意義，其往往是通過較低層次的思想方法來實現(xiàn)自身的運用價值。低層次是高層次的基礎(chǔ)，高層次是低層次的升級。
三、強化滲透意識
在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)的思想和方法應(yīng)該占有中心的地位，“占有把數(shù)學(xué)大綱中所有的、為數(shù)很多的概念，所有的題目和章節(jié)聯(lián)結(jié)成一個統(tǒng)一的學(xué)科的核心地位?！边@就是要突出數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，強化滲透意識。這既是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要，也是新時期素質(zhì)教育對每一位數(shù)學(xué)教師提出的新要求。素質(zhì)教育要求：“不僅要使學(xué)生掌握一定的知識技能，而且還要達到領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的?！倍鴶?shù)學(xué)思想和方法又常常蘊含于教材之中，這就要求教師在吃透教材的基礎(chǔ)上去領(lǐng)悟隱含于教材的字里行間的數(shù)學(xué)思想和方法。一方面要明確數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，另一方面又需要有一個全新而強烈地滲透數(shù)學(xué)思想方法的意識。
四、制定滲透目標(biāo)
依據(jù)現(xiàn)行教材內(nèi)容和教學(xué)大綱的要求，制訂不同層次的滲透目標(biāo)，是保證數(shù)學(xué)思想和方法滲透的前提?，F(xiàn)行教材中數(shù)學(xué)思想和方法，寓于知識的發(fā)生，發(fā)展和運用過程之中，而且不是每一種數(shù)學(xué)思想和方法都能象消元法、換元法、配方法那樣，達到在某一階段就能掌握運用的程度。有的數(shù)學(xué)思想方法貫穿初等數(shù)學(xué)的始終，必須分級分層制定目標(biāo)。以在方程（組）的教學(xué)中滲透化歸思想和方法為例，在初一年級時，可讓學(xué)生知道在一定條件下把未知轉(zhuǎn)化為已知，把新知識轉(zhuǎn)化為已掌握的舊知識來解決的思想和方法；到了初二年級，可根據(jù)化歸思想的導(dǎo)向功能，鼓勵學(xué)生按一定的模式去探索運用；初三年級，已基本掌握了化歸的思想和方法，并有了一定的運用基礎(chǔ)和經(jīng)驗，可鼓勵學(xué)生大膽開拓，創(chuàng)造運用。實際教學(xué)中也確實有一些學(xué)生能夠把多種數(shù)學(xué)思想和方法綜合運用于解決數(shù)學(xué)問題之中，這種水平正是我們走出題海所迫切需要的，它既是素質(zhì)教育的要求，也本文的最終目的。
五、遵循滲透原則
我們所講的滲透是把教材中的本身數(shù)學(xué)思想和方法與數(shù)學(xué)對象有機地聯(lián)系起來，在新舊知識的學(xué)習(xí)運用中滲透，而不是有意去添加思想方法的內(nèi)容，更不是片面強調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法的概念，其目的是讓學(xué)生在潛移默化中去領(lǐng)悟。運用并逐步內(nèi)化為思維品質(zhì)。因而滲透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具體、由特殊到一般的滲透原則，使認識過程返樸歸真。讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，在自覺的狀態(tài)下，參與知識的形成和規(guī)律的揭示過程。那么學(xué)生所獲取的就不僅僅是知識，更重要的是在思維探索的過程中領(lǐng)悟、運用、內(nèi)化了數(shù)學(xué)的思想和方法。
六、探索并掌握滲透的途徑
數(shù)學(xué)的思想和方法是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)、最驚彩、最具有數(shù)學(xué)價值的東西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的數(shù)學(xué)思想和方法都呈隱蔽式，需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，乃至數(shù)學(xué)課外活動中探索選擇適當(dāng)?shù)耐緩竭M行滲透。
1．在知識的形成過程中滲透
對數(shù)學(xué)而言，知識的形成過程實際上也是數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)生過程。大綱明確提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅需要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程?！边@一思維過程就是思想方法。傳授學(xué)生以數(shù)學(xué)思想，教給學(xué)生以數(shù)學(xué)方法，既是大綱的要求，也是走出題海的需要。因此必須把握教學(xué)過程中進行數(shù)學(xué)思想和方法滲透的契機。如概念的形成過程，結(jié)論的推導(dǎo)過程等，都是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法，訓(xùn)練思維，培養(yǎng)能力的極好機會。
2．在問題的解決過程中滲透
數(shù)學(xué)的思想和方法存在于問題的解決過程中，數(shù)學(xué)問題的步步轉(zhuǎn)化無不遵循著數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)的思想和方法在解決數(shù)學(xué)問題的過程中占有舉足輕重的地位。教學(xué)大綱明確指出：“要加強對解題的正確指導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想和方法上作必要的概括”，這就是新教材的新思想。其實數(shù)學(xué)問題的解決過程就是用“不變”的數(shù)學(xué)思想和方法去解決不斷“變換”的數(shù)學(xué)命題，這既是滲透的目的，也是實現(xiàn)走出題海的重要環(huán)節(jié)。滲透數(shù)學(xué)思想和方法，不僅可以加快和優(yōu)化問題解決的過程，而且還可以達到，會一題而明一路，通一類的效果，打破那種一把鑰匙開一把鎖的呆板模式，擺脫了應(yīng)試教育下題海戰(zhàn)的束縛。通過滲透，盡量讓學(xué)生達到對數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)化的境界，提高獨立獲取知識的能力和獨立解決問題的能力，此時的思維無疑具有創(chuàng)造性的品質(zhì)。如化歸的數(shù)學(xué)思想是解決問題的一種基本思路，在整個初等方程及其它知識點的教學(xué)中，可以反復(fù)滲透和運用。
3．在復(fù)習(xí)小結(jié)中滲透
小結(jié)和復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，而應(yīng)試教育下的數(shù)學(xué)小結(jié)和復(fù)習(xí)課常常是陷入無邊的題海，使得師生在枯燥的題海中進行著過量而機械的習(xí)題訓(xùn)練，其結(jié)果是精疲力盡，茫然四顧，收獲甚少。如何提高小結(jié)、復(fù)習(xí)課的效果呢？我們的做法是：遵循數(shù)學(xué)大綱的要求。緊扣教材的知識結(jié)構(gòu)，及時滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。在數(shù)學(xué)思想的科學(xué)指導(dǎo)下，靈活運用數(shù)學(xué)方法，突破題海戰(zhàn)的模式，優(yōu)化小結(jié)、復(fù)習(xí)課的教學(xué)。在章節(jié)小結(jié)、復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們注意從縱橫兩個方面，總結(jié)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想與方法，使師生都能體驗到領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，運用數(shù)學(xué)方法，提高訓(xùn)練效果，減輕師生負擔(dān)，走出題海誤區(qū)的輕松愉悅之感。
4．在數(shù)學(xué)講座等教學(xué)活動中滲透
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)素質(zhì)；模型
中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）23-069-01
在數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認識，是人們在長期的學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中，形成對數(shù)學(xué)的高度概括的理論觀點。
《九年制義務(wù)教育全日制中學(xué)大綱》指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。由此可見，數(shù)學(xué)思想方法對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及教學(xué)，全面提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，有著重要的意義。在初中數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的作用主要表現(xiàn)在以下幾個方面：是素質(zhì)教育的迫切需要。著名數(shù)學(xué)家玻利亞曾統(tǒng)計過：學(xué)生畢業(yè)后，研究數(shù)學(xué)和從事數(shù)學(xué)教育的人占1%，使用數(shù)學(xué)的人占29%，基本不用數(shù)學(xué)或很少用數(shù)學(xué)的人70%。愛因斯坦也曾說過：“當(dāng)學(xué)生畢業(yè)離開學(xué)校時，如果把老師教他的知識都忘光了，這是他所剩下的才是學(xué)校、教師在他身上教學(xué)的真正成果。”這就是說，真正的成果是知識之外的東西，是能力，更是能力之上的智力因素。而數(shù)學(xué)思想方法就是增強學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好數(shù)學(xué)素質(zhì)的關(guān)鍵。
義務(wù)教育的核心在于著重發(fā)展學(xué)生的思維能力，全面提高學(xué)生的素質(zhì)。而這一任務(wù)的具體實現(xiàn)，在很大程度上依賴于數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。在數(shù)學(xué)概念的確立，數(shù)學(xué)事實的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)理論的推導(dǎo)以及數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用中，所凝聚的思想和方法乃是數(shù)學(xué)的精髓，他會對學(xué)生的思維及整體文化素質(zhì)，產(chǎn)生深刻而持久的影響，是學(xué)生受益終身。如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中仍在苦口婆心地灌輸大量公式和呆板的例題，或魔術(shù)般的演練刁鉆難題而忽視知識與技能，淡化數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)，不盡快克服這些弊端，后果實在堪憂。
一、有助于學(xué)生深刻理解、牢固掌握數(shù)學(xué)知識
僅僅傳授知識，而缺乏數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，學(xué)生只能是被動的背誦概念、公式、法則，機械的模仿例題的解題步驟，因此出現(xiàn)學(xué)生普遍存在的課堂上聽懂了，課下又不會做的現(xiàn)象，這在很大程度上就是知識教學(xué)與思想方法教學(xué)脫節(jié)的結(jié)果。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不失時機地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生深刻理解知識，還可以使學(xué)生牢固掌握這部分知識，原因是數(shù)學(xué)教學(xué)理論和長期的實踐表明，要讓學(xué)生牢固掌握知識，唯一的方法就是讓學(xué)生了解其本質(zhì)特征，類推其內(nèi)部的規(guī)律，了解其內(nèi)涵。表面的數(shù)學(xué)概念、定義、法則等，只能是學(xué)生記憶一時，無法讓學(xué)生記憶一世。
例如在分式的教學(xué)中，通過分式與分數(shù)在結(jié)構(gòu)、運算法則的類比，可以使學(xué)生盡快理解分式的概念，掌握分式的運算法則，熟練地進行分式的運算。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳授知識與滲透數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)交錯進行，互相促進，并行駕驅(qū)，才能使學(xué)生更深刻的理解數(shù)學(xué)知識，并能靈活應(yīng)用，以至于進行數(shù)學(xué)創(chuàng)造。
二、有助于培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力
數(shù)學(xué)中的知識點都是相互關(guān)聯(lián)的，也只有在數(shù)學(xué)知識的遷移過程中，知識才能被理解、應(yīng)用?，F(xiàn)代認知理論認為，能力是知識遷移的體現(xiàn)，能力的實質(zhì)是遷移。一個人在解決問題的過程所學(xué)的知識遷移的越廣，越快，遷移的越恰當(dāng)，他的能力就越強。而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是教學(xué)大綱的明確要求，因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)善于研究、挖掘，用數(shù)學(xué)思想方法去溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生明確問題的不同形式中所含有的共同特征，認識問題的實質(zhì)，并且能使他們在運用知識的過程中，產(chǎn)生聯(lián)想，獲得知識遷移的途徑，呈現(xiàn)思維的廣闊性。
三、有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的增強
數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。
數(shù)學(xué)方法即用數(shù)學(xué)語言表述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，并加以推導(dǎo)、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預(yù)言的方法。所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式，人們通過長期的實踐，發(fā)現(xiàn)了許多運用數(shù)學(xué)思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復(fù)運用了多次，并且都達到了預(yù)期的目的，就成為數(shù)學(xué)方法。
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關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)思想 分析
一、函數(shù)思想
函數(shù)概念和函數(shù)思想的提出和運用，使得變量數(shù)學(xué)誕生了，常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué)，函數(shù)思想起了決定性作用。函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對象，函數(shù)思想就是運用函數(shù)的觀點，把常量視作變量、化靜為動、化離散為連續(xù)，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，運用函數(shù)的性質(zhì)加以解決的一種思想方法。
在數(shù)學(xué)分析中，我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個數(shù)、級數(shù)問題、數(shù)列極限等。
例1，證明：當(dāng)x>0時，x-
分析：這是一個不等式證明問題，直接證明有一定難度，但是將此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題的單調(diào)性，即可解決問題。
證明：構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=1n（1+x）-x+ ，則f`（x）= -1+x，可證當(dāng)x>0時，f`（x）>0，因此單調(diào)遞增。又因為f（0）=0，所以當(dāng)x>0時，f（x）>f（0）=0，即原不等式成立。
例2，判斷∑（-1）n 的斂散性。
分析：這是一個級數(shù)問題，該級數(shù)為交錯級數(shù)，從函數(shù)的觀點出發(fā)，化離散為連續(xù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，運用函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題。
解：該級數(shù)為交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法知，要判斷其斂散性，只需判斷通項的絕對值un= =是否單調(diào)減少且趨于為0。為此，將un連續(xù)化，設(shè)f（x）= ，由于f`（x）= ，當(dāng)x>9時，f`（x）
二、極限的思想
極限的思想方法是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來研究初等函數(shù)的一門學(xué)科。極限是研究無限的有力工具，“極限”揭示了常量與變量、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動對立統(tǒng)一的關(guān)系。極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，一方面利用極限的思想給出了連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮小（大）量、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、曲線弧長、曲面積分等的概念，數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開極限的思想。另一方面在閉區(qū)間列上的區(qū)間套定理體現(xiàn)了極限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項式函數(shù)去逼近已知函數(shù)等。學(xué)習(xí)者以”極限理論”為工具，以現(xiàn)實具體的問題為背景，從具體到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本質(zhì)，可以增強分析和解決問題的能力。
對所求量，先構(gòu)造與其相關(guān)的變量，前提是該變量無限變化的結(jié)果就是所求量，此時采用極限運算得到所求量。例如邱瞬時速度、曲面弧長、曲變形面積等問題，就是采用了極限的思想。
例3，如果物體做非勻速直線運動，其運動規(guī)律的函數(shù)是s=f（t），其中t為時間，s是距離，求它在時刻t0的瞬時速度。
解：物體從時刻到時刻這段時間內(nèi)的平均速度是：
v= = ，當(dāng)|t|很小時，時刻t0的瞬時速度v0≈v，因此當(dāng)無限趨近于0（t≠0） 時，就無限趨近于v0，即v0=1im =1im 。
三、連續(xù)的思想
在數(shù)學(xué)分析中，把函數(shù)的連續(xù)性局部化到當(dāng)函數(shù)的自變量在某點鄰域內(nèi)作微小變動時，相應(yīng)函數(shù)值也在對應(yīng)點的函數(shù)值鄰域內(nèi)作微小變動。
這種思想應(yīng)用到連續(xù)函數(shù)求極限的情形，就可以把極限的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問題，從而大大簡化了運算。如果給定的函數(shù)不連續(xù)，可以通過整理、化簡、變換等途徑將其轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)，再利用上面的方法求其極限。
例4，求1im ，（a>0，a≠1）。
解：將給定的函數(shù)變形為1oga（1+x） ，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，有1im =1im1og（1+x） =1oga[1im（1+x） ]=1ogae。
四、數(shù)形結(jié)合的思想
數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，而空間形式和數(shù)量關(guān)系之間往往存在密切的聯(lián)系，又有各自特點。數(shù)形結(jié)合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性，通過數(shù)與形的聯(lián)系轉(zhuǎn)化來研究數(shù)學(xué)對象和解決數(shù)學(xué)問題。具體包括：數(shù)轉(zhuǎn)化為形的思想；形轉(zhuǎn)化為數(shù)的思想。這種方法使得復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到最優(yōu)解決方案。
數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)分析課程中的應(yīng)用廣泛，很多抽象問題中都蘊含著某種幾何意義，借助幾何圖形，對抽象問題進行幾何解釋，使抽象問題結(jié)合圖形更容易深入理解，更容易掌握其最本質(zhì)的知識。
比如：極限、曲線的漸近線、導(dǎo)數(shù)與微分、二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分、定積分與重積分、反常積分（無窮積分與瑕積分）、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性等概念的幾何意義，對于確切理解并正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時為解決各種實際問題提供了多樣化的方法。
又比如：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì)（介值性定理、根的存在定理）、微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理）、積分中值定理、費馬定理、隱函數(shù)存在唯一性定理等幾何意義，不論對定理的深入理解，還是對啟發(fā)證明定理結(jié)論方面有很大幫助。
例5，下面僅談?wù)剮缀螆D形對拉格朗日定理的內(nèi)容的理解及證明所起的作用。
為了敘述的方便，首先將拉格朗日定理陳述如下：若函數(shù)f滿足如下：（1）f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）f在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得f`（）= 。
它的幾何意義是若一條曲線在[a，b]上連續(xù)，曲線上每一點都存在切線，則曲線上至少存在一點θ（，f（）），過點θ的切線平行于割線AB（圖1）。此定理的證明關(guān)鍵在于運用其幾何意義，考慮到這個定理比羅爾定理少了一個條件，構(gòu)造輔助函數(shù)使其滿足羅爾定理的要求，即滿足函數(shù)在端點的取值相同，最后用羅爾定理得出最后的結(jié)論。因此，想辦法構(gòu)造一個輔助函數(shù)F（x），使得在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)并且F（a）=F（b）。觀察圖1可知，割線與曲線有兩個交點A與B，要使F（a）=F（b），只需使F（x）的圖像經(jīng)過A，B兩點，F(xiàn)（x）可取為曲線縱坐標(biāo)與割線縱坐標(biāo)之差。其中，曲線的方程為y=f（x），割線AB的方程為y=f（a）+ （x-a），可見，幾何圖形在此定理的證明起到關(guān)鍵的作用。
參考文獻
數(shù)學(xué)思想方法包含的范疇有許多，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，若能根據(jù)習(xí)題需要，把數(shù)學(xué)思想方法滲透其中，可以起到化難為易，化抽象為具體，化繁為簡的作用，促進學(xué)生對習(xí)題的理解，提升數(shù)學(xué)能力。下面，就如何在解決問題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法進行研究。
一、注重轉(zhuǎn)化思想方法的滲透
所謂轉(zhuǎn)化思想，是指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，將一些陌生的、難以理解的數(shù)學(xué)問題換個角度，換個方式，轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的、相對簡單的數(shù)學(xué)問題。運用轉(zhuǎn)化思想，可以把復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，一般問題特殊化等等，從而使學(xué)生解決問題的過程顯得更加輕松。例如，“小明一分鐘跳繩150下，比小剛一分鐘少跳了28下，問小剛一分鐘跳繩多少下？”解決這個數(shù)學(xué)問題時，為了避免學(xué)生“見多加，見少減”的錯誤解題現(xiàn)象發(fā)生，教師就可以換個角度把小學(xué)生讀起來比較拗口的語言轉(zhuǎn)化為比較好理解的語言。這樣一來，學(xué)生解決問題顯得更加輕松。比如“比小剛一分鐘少跳了28下”這句話表述不太完整，可以鼓勵小學(xué)生把它換個說法。在教師的鼓勵下，有些學(xué)生轉(zhuǎn)化成“小明比小剛一分鐘少跳了28下”和“小剛一分鐘比小明多跳了28下”。這樣，小學(xué)生可以清楚地感覺到小剛跳得多，小明跳得少。求多的，用加法，求少的，用減法，這樣學(xué)生解決問題顯得相對簡單。像這樣的習(xí)題還有許多，教師要鼓勵學(xué)生善于把轉(zhuǎn)化思想運用到解題過程中，這樣不僅使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，而且在轉(zhuǎn)化過程中有效降低學(xué)生的理解難度，提高了學(xué)習(xí)效果。
二、注重對應(yīng)思想方法的滲透
對應(yīng)是指兩個集合元素之間存在的一種對應(yīng)關(guān)系，簡而言之，是指未知問題中所描述的對象，在已有知識中有著與之一一對應(yīng)的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有許滲透數(shù)學(xué)思想提升數(shù)學(xué)能力的研究
鄒彩虹
（江蘇省常州市武進區(qū)芙蓉小學(xué)，江蘇 常州 213118）
中圖分類號：G421；G623.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2016）19-0047-01多數(shù)與算式、量與量等等之間都存在著一定的對應(yīng)關(guān)系。為了幫助學(xué)生輕松解決問題，教師可以從對應(yīng)思想入手，從已知到未知，幫助學(xué)生探尋解題路徑，優(yōu)化解題方法。例如，“小華家養(yǎng)了12只黑兔，7只白兔，小華家一共養(yǎng)了多少只兔子？”在這道習(xí)題的教學(xué)中，針對低年級學(xué)生形象思維占主導(dǎo)的特點，教師就可以借助形象直觀的圖形，幫助學(xué)生建立對應(yīng)關(guān)系，從而幫助學(xué)生輕松地解決問題。比如，讓學(xué)生用黑色的圓片表示黑兔的只數(shù)，用白色的圓片表示白兔的數(shù)量，最后求出小華家一共養(yǎng)了多少只兔子？在直觀的圖示中，學(xué)生可以清楚地看到求黑兔白兔一共有多少只，也就是求黑色圓片加上白色圓片一共有多少。學(xué)生可以用數(shù)一數(shù)的方法來解決，還可以通過圖示中與之對應(yīng)的12+7來解決。這樣，在對應(yīng)思想的滲透下，學(xué)生解決問題顯得更加輕松。從上述教學(xué)課例可以看出，雖然是簡單的加法應(yīng)用題，在解決問題的策略上，教師并沒有簡單地一筆帶過，而是注重數(shù)學(xué)思想的滲透。在這里，直觀圖片與數(shù)量關(guān)系一一對應(yīng)，學(xué)生可以在潛移默化中找出數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)對應(yīng)規(guī)律，使學(xué)生從小就對數(shù)學(xué)思想有初步的認識，進而提高學(xué)習(xí)效果。
三、注重方程思想方法的滲透
所謂方程思想，是指從問題中已知量與未知量的關(guān)系出發(fā)，通過數(shù)學(xué)符號語言，幫助學(xué)生構(gòu)建出已知量與未知量之間等式的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生正向思考問題比較困難、理不清解題思路時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)建方程等式的途徑來解決。這樣的教學(xué)，很容易幫助學(xué)生理清數(shù)量之間的關(guān)系，提高解題效果。例如，“今年爸爸和兒子的年齡剛好45歲，5年后爸爸的年齡剛好是兒子的4倍，今年爸爸和兒子各幾歲？”對于這個數(shù)學(xué)問題，教師一般采取的方法是（45+5×2）÷（4+1），先求出兒子的年齡，然后再求出爸爸的年齡。這樣的方法，雖然計算起來比較方便，但學(xué)生理解起來還是具有一定難度的。為了降低學(xué)生的理解難度，根據(jù)學(xué)習(xí)需要滲透方程思想，學(xué)生理解起來就顯得簡單容易多了。在教學(xué)時，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生進行學(xué)習(xí)：當(dāng)我們不知道一個具體的量是多少，可不可以用一個特殊的數(shù)學(xué)符號來表示呢？然后，再通過符號與已知量之間的關(guān)系建立等式方程。在教師的指導(dǎo)下，結(jié)合題目要求，學(xué)生分別用x、y來代替爸爸與兒子的年齡，然后通過具體關(guān)系得出x+y=45、x+5=4（y+5）.有了這樣的等量關(guān)系，通過等量代換的方法來解決問題既簡便輕松，而且便于學(xué)生理解。由此可見，在數(shù)學(xué)解題過程中，當(dāng)學(xué)生對用算術(shù)法解決問題感到理解困難的時候，教師可以根據(jù)教學(xué)需要，把方程思想引入其中，以使學(xué)生能夠盡快找出習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系，很容易達到解決數(shù)學(xué)問題的目的。
一 實踐操作，數(shù)字思想“具體化”
教育家夸美紐斯說過：“一切知識都是從感官的感覺開始的。在感覺中的東西，在理智上也不會有。”我們應(yīng)該充分利用學(xué)生的感官，讓學(xué)生能夠利用學(xué)具來充分進行操作，大量感知，形成表象?，F(xiàn)在的電教化手段比較好，所以有的教師就用計算機演示代替了學(xué)生的動手操作，但用計算機上的模擬代替學(xué)生的實踐活動，這樣就弱化了學(xué)生的探索活動。我們要引導(dǎo)學(xué)生有步驟、有條理地去操作，這樣才能讓我們的數(shù)學(xué)具體化，明確化。
比如六年級下冊的“抽屜原理”的教學(xué)時，我們讓學(xué)生借助把筆放入筆筒的具體操作來感知：把3枝筆放入2個筆筒，會有幾種情況；把4枝筆放入3個筆筒，會有幾種情況；……學(xué)生在操作實物的過程中就可以發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：不管怎么放，總有一個筆筒里至少要放進2枝筆。這時教師一定要引導(dǎo)學(xué)生去觀察：發(fā)現(xiàn)把4枝鉛筆分配到3個文具盒中一共只有四種情況，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一種結(jié)果中，至少有一個數(shù)是不小于2的。在這4種情況中，我們只考慮存在性問題，所以在每一種情況中，都一定有一個文具盒中至少有2枝鉛筆。通過羅列實驗的所有結(jié)果，就可以讓學(xué)生感知什么是“總有一個筆筒里至少在放進2枝筆”的含義，從而把“抽屜原理”這個數(shù)學(xué)思想具體化。
通過操作，用“說理”的方式來理解“抽屜原理”的過程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形。通過這樣的方式，有助于逐步提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)習(xí)較嚴密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。
二 去表求質(zhì)，數(shù)學(xué)模型“數(shù)學(xué)化”
操作可以為學(xué)生積累很多感知，但教學(xué)的最終目的是要幫助學(xué)生把感性認識上升為理性認識，要讓學(xué)生找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，因此我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生要及時對事物進行抽象概括，這樣就能夠抓住事物的本質(zhì)特征。才能把數(shù)學(xué)模型“數(shù)學(xué)化”。
三年級上冊的“搭配”問題教學(xué)時，先讓學(xué)生自己動手去搭配衣服，再引導(dǎo)學(xué)生有順序、有條理地觀察這些情況，還可以讓學(xué)生選用文字和線段來表示。學(xué)生說出了上衣搭配出了3種情況，牛仔搭配出了3種情況時，引導(dǎo)學(xué)生：你觀察一下上身幾件衣服？下身幾件衣服？你又發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生又很快說出從上身看可以用2×3=6種表示，從下身衣服看也可以用2×3=6種來表示，所以學(xué)生又總結(jié)出了規(guī)律：用上身的衣服數(shù)×下身的衣服數(shù)=搭配的衣服數(shù)。如果只是讓學(xué)生進行了操作，不去引導(dǎo)學(xué)生對這些具體的表象進行抽象概括的話，學(xué)生在思想上的認識就還是一片混亂；沒有感受到什么“數(shù)學(xué)思想”的教育，但如果引導(dǎo)學(xué)生去表求質(zhì)的話，通過表象去思考問題的實質(zhì)，找出規(guī)律。這樣重在向?qū)W生滲透了排列、組合的數(shù)學(xué)思想，并初步培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問題的意識，這也是《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的要求：“在解決問題的過程中，使學(xué)生能進行簡單的、有條理的思考?！?/p>
所以我們要讓學(xué)生能夠把眼前的具體操作“數(shù)學(xué)化”，在頭腦中構(gòu)建出“數(shù)學(xué)模型”的基本模式。
三 靈活運用，數(shù)學(xué)思想“模型化”
相對于一種數(shù)學(xué)思想來說，它表現(xiàn)出來的外在形式是多種多樣的，所以我們應(yīng)該讓學(xué)生靈活運用，把我們的數(shù)學(xué)思想“模型化”，能夠從多種多樣的問題中找出最基本的“數(shù)學(xué)模型”，用這樣的“模型”把問題簡單化，明了化。所以我們應(yīng)該有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“模型化”思想。
