時間：2023-06-15 17:27:04
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇數學拓展知識，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：試卷講評課；知識聯系；拓展
數學知識是高中知識較為困難的一部分，也是學生必須掌握的知識，如何提升學生的數學能力，是高中教師十分關注的問題之一。高三數學試卷講評課是高三復習的常見課型，內容涵蓋了整個高中的數學知識，具有一定的復雜性。本文對試卷講評課的知識聯系與拓展研究，注重分析學生對試卷講評課的認知水平，著重分析了教師如何實現知識聯系與拓展，從而促進學生數學學習能力的提升。
一、通過設置問題，為知識聯系與拓展創造契機
高三數學教學過程中，試卷講評課十分重要，是高三教學過程中較為重要的一環。在進行試卷講評過程中，教師應該注意問題的設置，讓學生通過對問題的思考，想出解決問題的辦法。在試卷講評過程中，問題的設置，就是知識聯系與拓展的一個契機，合理有效地進行問題設置，有利于提升學生對知識的理解能力，并且可以更好地促進學生解決問題能力的養成。
例如：已知ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=（a，4cosB）與n=（cosA，b），并且滿足m∥n，求cosA+cosB的取值范圍。
關于這道題的解題思路，其實大家并不陌生，這道題主要涉及向量知識、三角函數知識、正余弦定理知識等。教師在講解時，則可以詢問學生有什么樣的解題思路。在解決問題的過程中，學生可以很明確地得出a=2RsinA=2sinA，a2+b2=4這些解題步驟，那么教師就可以進行知識聯系與拓展的問題設置。例如：“同學們，你們考慮一下，這個a+b和a2+b2是否有什么聯系呢？a2+b2=4，你們又可以聯系到什么圖形呢？”經過教師的問題設置，學生就可以輕易聯想到所學的知識點，從而輕松地解決問題。
二、發揮鼓勵引導的作用，提高學生學習的積極性
如上述所說，教師在進行例題講解的過程中，要充分發揮學生的主觀能動性，注重學生學習主體地位的體現，使學生在解題過程中，能夠積極動腦，通過自己思考，最終找出解決問題的關鍵。教師在進行試題講解課時，要為學生解決問題創造良好的思維環境，將知識聯系與拓展相結合，把握學生思考問題的方向，經過合理的引導，讓學生進行自主探索。
發揮鼓勵引導作用，可以增強學生的自信心，增強學生解決困難的勇氣，使其能夠迎難而上。學生在學習知識的過程中，有時候并不是對知識不了解，而是缺少解決問題的方式和方法，缺少對理論運用的方法。所以，教師在進行試題講解的過程中，應該注意鼓勵學生，并且通過引導的方式讓學生自己找到解決問題的方法，發揮學生的主觀能動性，進行自我探索，最終解決問題。
三、注重課堂總結，將知識聯系與拓展的過程轉化為教學成果
發揮學生主觀能動性的同時，不要忘記教師在教學中的主導作用，學生在對問題進行思考之后，可以找到解決問題的方法，完成對問題的解答。在這一過程中，教師應該針對學生的問題，進行課堂總結，這樣一來，可以加深學生的印象，更好地記住問題的特征，使學生反思自己在解決問題的過程中，采取了什么樣的解決方式。例如，針對于本文中的例題，教師可以這樣總結：“同學們，其實做這道題并不難，這道題主要考查了我們對表達式Acos（wx+t）的實際應用，明確圓和三角形的關系，通過m，n的平行關系，將cosA+cosB轉化為Acos（wx+t）這種形式。這樣一來，問題就可以迎刃而解了。
高三數學是高中較為困難的學科，教師要注意總結規律，發掘問題所在，為學生提供良好的解題思路，使學生能夠舉一反三，再遇到這樣的習題，能夠正確地解答。同時，知識的聯系與拓展是密不可分的，教師在進行試題講解過程中，聯系之前所學的知識，以及對知識進行拓展，找出解題思路后，要注意進行總結，將自己如何進行聯系和拓展的過程傳授給學生，讓學生了解解題的思路，而并非是最終的結果。總結過程，就是將知識聯系與拓展過程轉化為正確答案的過程，這一點，教師在實際教學過程中必須認真把握。
總之，高中數學試卷講評課要注重以“學生”為本的發展模式，注重教師在教學過程中的主導作用，充分體現學生在學習過程中的主體地位，實現教學效果提升，更好促進學生創造性思維的發展。在進行高三數學試卷講評過程中，教師應該注重挖掘學生的學習潛能，將聯系密切的知識進行有效結合，開拓學生解題思路，促進學生數學學習成績的提升。
參考文獻：
其實在初中數學課堂中的拓展是必須的，但是必須尊重其原則性，本文就初中數學拓展的原則性進行探索，目的是為了更好地服務于數學教學的有效提升和拓展，而不是盲目地為了應試而拓展，為了競賽而延伸.
第一，目的性原則
在數學課堂教學過程中的拓展，我們必須注重這點，無論是數學的新授課還是習題課，或是復習課堂，我們的教學目標必須明確，而目標的制定要結合以下三點：
1.結合課程標準.數學教學的課程目標是為了讓學生獲取適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本數學方法.而我們的課堂拓展是為了更好的達成這個目標，比如基本技能方面，我們通過課堂拓展，在一元二次方程的解法中，我們的延伸是為了讓學生更熟練地掌握解一元二次方程的方法，并提升學生的解題速度，而在多種解法中，且能熟練辨別哪種方法是最適合最簡便的，達成有效篩選的能力.
2.結合教材設計.無論是哪種版面的數學教材，它的設計和生成都得到專家的認可和教育一線的有效實踐和理論指導.那么，在我們的課堂拓展中，我們必須結合教材的設計，因為教材的設計是適合整個教學過程的循序漸進的，而不是滿足個別學生個別知識點的需求和發展的，那么在教學過程中，我們必須充分分析教材在達成課程目標中的實施意見和重點、難點突破技巧.而后，我們要配合教材，適當提升.
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3.結合學生本位.無論要拓展到什么樣的深度和廣度，學生始終是課堂的主體，而在拓展的情況下，我們必須了解學生的原有知識基礎和基本技能的掌握情況，比如，在
“判別一元二次方程根的情況”過程中，我們學生要能從具體題目來推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情況與根的情況的關系.而具體題目的難易程度就是學生突破難點的關鍵所在，所以本處拓展的前提就是學生對具體題目的分析能力和對一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情況與根的情況辨別能力，從而才能確定我們的拓展的深度和廣度，只有確保學生的本位的前提下，我們的課堂拓展才是有意義的，有效果的.
第二，方法性原則
1.注重聯系生活.義務教育階段數學教學的目的就是為了學生更好的發展，更好的服務社會.因此，而我們的拓展必須結合學生的實際社會生活，讓學生通過課堂中教師的巧妙引導和點撥，產生進一步探究和學習的興趣，從而把相應的知識點運用到實際社會中，在解決的過程中提升學生對數學深層的興趣.
例1 學校為了美化校園，準備在一塊長32 m，寬20 m的長方形場地上修筑若干條道路，余下部分作草坪，并請全校學生參與設計，現在有兩位學生各設計了一種方案（如圖1），根據兩種設計方案各列出方程，求圖中道路的寬分別是多少，使圖甲、乙的草坪面積為540 m2 ？
在數學中，類似的例子還有很多，我們可以把這些例子在課堂中適當延伸，把相關的拓展內容留給學生去課后設計，再比如，我們學好中心對稱和軸對稱以后，我們可以讓學生去設計自己班級的班徽，班旗等，讓學生學會運用中提升自己的數學審美鑒賞能力.
2.注重方法引導.古話說“授人以魚不如授之以漁”，其實在數學課堂拓展中，我們更主要的是拓展學生的數學思想和學習數學知識解決實際問題的數學思維技巧，因而在數學課堂中，我們真正要拓展的不是更深更難的數學題目，而是延續我們所學的知識或技能去解決相應問題的總結和歸納，讓學生的逐漸形成自己的運用知識的技能，并通過適當的課堂點撥、課后鞏固訓練得到提升.
3.注重學科互通.數學是一門工具學科，數學的學習不是僅僅為了解決數學題目而學習的，我們更好的學習是為了全面落實數學的工具性，就初中數學學習而言，我們的數學對物理、化學都有很大的幫助，而我們就要讓學生在各學科中互相滲透，讓數學真正幫助其他各科的學習，讓學生在學習中體會到數學學科的重要性，并在運用解決其他學科問題的過程中，提升學生的綜合運用數學知識解決實際問題的能力.
例2 一支溫度計刻度均勻，但讀數不準，在一個標準大氣壓下，將它放入沸水中，示數為95 ℃；放在冰水混合物中，示數為5 ℃.現把該溫度計懸掛在教室墻上，其示數為32 ℃，教室內的實際氣溫是 .
一、合理把握“深與淺”——深度適“群”
既是拓展延伸，就一定有提高的要求，和基礎題目比較，挑戰性會更突出。因此，“深淺度”的把握是教師首先要考慮的。太“淺”，缺乏真正的數學味，不能體現數學學習的思考價值，如同“排排坐，分果果”，不是“跳一跳，摘果子”，失去了拓展的實際意義。太“深”，只適合于極少數的優秀學生，使得拓展延伸成為優秀學生的“專利”，后進生乃至成績一般的學生，對拓展延伸望而卻步。因此，“深度適群”是拓展教學有效的必要保證。“深度適群”的意義是指：“拓展延伸”需要的知識基礎一定要適合絕大多數學生，至少可讓絕大部分學生嘗試解決。
1. 立足群體認知水平——適當提高。如同一位優秀的歌手找準每一節的音調一樣，優秀教師在拓展環節也必定會找準全體學生的認知起點，充分考慮全體學生已有的生活知識經驗與學生當前學習水平，讓拓展的問題努力靠近維果茨基的“最近發展區”。設計的挑戰題力爭達到“趣”、“近”、“小”三個要求。“趣”就是符合學生的興趣；“近”是要和本節課的知識緊密聯系；“小”是指目標不是太高，跳一跳，能摘果。
例如，在教學長方形和正方形的面積計算這課內容，最后的拓展環節出示以下兩個問題供學生思考：
（1）一塊正方形的菜園，有一面靠墻，用長24米的籬笆圍起來，這塊菜地的面積是多少平方米？
（2）圖中每個小方格表示1平方厘米，你能計算出下面長方形的面積嗎？
在拓展延伸時，緊緊扣住長、寬、邊長與長方形、正方形的面積、周長的關系，設計了多層次、多方位的問題。這些問題的解決都建立在利用面積公式的基礎上，但又略高于簡單的運用公式；都需要學生“跳一跳”，但又遠離偏、難、怪，就在學生的最近發展區內為學生創設了一套“思維訓練操”，實實在在地讓大部分學生都得到了鍛煉，獲得了全面和諧、可持續的發展。練習1是求長方形周長的一道變式題，在解決時，要引導學生想到24米實際上并不是周長只是三邊的長度，這是解決問題的關鍵。通過這樣的練習，學生對長方形和正方形的面積計算必有了進一步的認識。如果說習題1是對生活的延伸，那么習題2就是對本節課所學的探究方法的拓展。在解決這個問題的過程中，學生要運用到本節課開始所用的操作探究的思路，然后經過分析知道1平方厘米正方形的邊長是1厘米，經過綜合知道長方形的長、寬，從而求出長方形的面積。在一系列的思維轉換中，學生對長方形、正方形的面積與長、寬、邊長的關系又有了辯證的掌握，為以后學習其他平面圖形的面積計算打下了基礎。
2. 關注群體發展需要——整體提升。尊重每一個課堂中的生命，尊重每一個生命擁有的課堂權利，所以課堂拓展環節也應該是屬于每一個學生的。從這個意義上來講，教師設計的拓展就不能是點綴，不能是形式，更不能是屬于某一部分人的“舞臺”，所以它一定不能是太深太難的，需要適合群體的發展。比如，在《能被3整除數的特征》教學中設計這樣的拓展題：比一比，賽一賽，看誰能最先判斷出下列各數是不是3的倍數。
（1）93963 （2）97263155
第（1）題，利用各數字之和的方法判斷出93963是3的倍數，適合全體學生解決。“看誰能最先判斷”就要求學生思考更簡潔的方法，“因為這個數是由9、6、3這3個數字組成的，而9、6、3這3個數字都是3的倍數，所以我判斷這個數是3的倍數”。不少善于觀察、思考的學生會站起來這樣說，在他們的啟發下，其余學生隨即會恍然大悟，欣喜地接受這個方法。第（2）題的解決，各層次的學生可以有不同的方法，可以加一加求和來判斷，可以去掉其中的9、6、3再求和判斷，最高層次的思考是：先把9、6、3去掉，因為7與2的和是9，也是3的倍數，所以也可以同時去掉，同樣也可以同時去掉1和5，只剩下一個5，5不是3的倍數，所以這個數不是3的倍數。這樣的提高練習，具有很強的基礎性、層次性、靈活性、趣味性，可以激勵全體學生積極參與、努力進取、不斷提升，從而體現“不同的人學不同的數學”的理念。
二、適度把握“寬與窄”——點面適“宜”
知識的學習過程就是一個不斷聯系的過程，有教育專家說，“課堂學習不求多但求聯”，就是強調知識學習聯通的重要性。因此，我們看到很多老師在教學的拓展環節會把知識延展開，以期學生學習的面更廣、知識的聯通更透、解題的技巧更活。那么，這個延展的“寬闊度”該如何把握？聯系太多太廣，漫無邊際，費時費力，教學效果事倍功半。聯系太少太窄，原地打轉，理解欠聯，教學效果不盡如意。因此，適度把握知識聯通的“寬”與“窄”是拓展教學有效的必要保證。
1. 注重知識體系。在把握知識“寬窄”度的時候，教師首先要明晰知識體系，根據體系在拓展環節做好“量身定裁”的設計。在一些公開課上，有些教師設計的拓展練習其實是課本接下去一課時（或后幾課時，甚至是后年級）的教學任務，就是把知識前移作為拓展，這是非常不可取的。因為學段、學年、學期、單元、學時都有其特定的教學任務，知識前移既增加教學難度也打亂教學秩序。
例如，有教師在執教《小數乘以小數》時，在拓展環節安排了這樣的兩道練習題：（1）算一算，比一比，你發現了什么？0.48×1.3= 0.48×1= 0.48×0.7= （2）巧妙計算：23.4×0.9= 3.8×10.1= 事實上，第（1）題探究積與因數的關系教材做了合理的安排，安排在練習一中呈現，而第（2）題的巧妙計算是教材接下去安排的“整數乘法運算定律推廣到小數”中的教學內容。教師安排這樣的兩道題目作為拓展，一是會占據不少課堂的時間，勢必影響小數乘以小數的基礎練習，二是給學生增加了不小的學習難度，三是打亂了教材安排的教學體系，這顯然是不可取的。
在《小數乘以小數》這一課時，其中的一個教學重難點是積的小數點處理，所以這節課的拓展可以緊扣這個知識點的縱深去思考設計。比如，可以是完成類似（ ）×（ ）=0.48這樣的練習，或者是安排一些小數點“安家”的拓展練習，讓學生進一步明晰小數乘法和整數乘法的相互關系以及積的小數位數變化規律。
2. 講究點面適宜。不同的課型，學習的目標不同，當然拓展的思路也會不同。新課學習是“點”位知識，對它的延伸應該是在順應知識脈絡的那條線上生長。如果是“面”上的知識，雖說相互知識有聯系，但知識點總是不同的，學生學來費時費力，而且對本課新知的學習也有干擾。如，本文前面的案例中，把多邊形的內角和知識作為三角形內角和知識的拓展，就是從知識“點”拓展到了知識“面”，起不到對三角形內角和知識的鞏固、深化作用，反而因為需要花費時間來研究多邊形內角和的知識，擠占了三角形內角和知識的探究時間和練習時間。如果沿著“三角形內角和180度”這個知識“點”設計這樣的問題：小明不小心把一塊三角形玻璃摔成了兩快，一塊只有原來的一個角，另一塊有原來的兩個角，他想重新買一塊，可以用什么方法配到和原來一模一樣的玻璃？這樣的拓展讓學生既有興趣，又有挑戰性，而且也是圍繞著知識“點”作縱深的挖掘，起到鞏固和發展的作用。相反的，練習課或者是復習課的拓展設計，則需要更多地把知識從“點”、“線”拓展到“面”和“體”上，以架構起知識的網狀結構。如，復習平面圖形面積，最后的拓展可以通過改變梯形“上底為0”變三角形，“上底和下底一樣”變平行四邊形，及進一步變成長方形、正方形，把各種平面圖形的面積計算統一成（上底+下底）×高÷2，幫助學生完善知識網絡的建構。
三、藝術把握“取與舍””——取舍適“需”
每一位優秀的教師，“生本”理念是他走進課堂應具有的最基本的教學思想。他們時刻意識到數學課堂教學要以生為本，以學為根，做到一切教學行為都只為教學實際需求服務。這種依實際需求而教的理念也體現在課堂拓展環節的取舍上。
1. 取舍適需。數學拓展延伸環節是課堂學習的延伸與發展，是課堂教學的補充，但它卻不是課堂的必備環節。它的存在，首先由教學內容確定，一些對后繼學習關聯大、數學思維含量高、生活聯系緊密、有利數學素養養成的內容需要拓展。例如，在學習了基本的數量關系后，可以熟悉商場的購物發票，熟悉“單價、數量、總價”，讓學生根據自己家的實際情況“當一回家”，增強學生應用數學知識解決生活中實際問題的能力等。而有些教學內容就不一定非要拓展，比如低年級中一些內容比較淺顯的，再加之學生認知較少，拓展太多太深反而會使學生學習數學的自信心受挫。還有一些初步認識的教學起始課，它的教學目標就是初步感知，后繼將進行系統的學習，也不宜太多太深的拓展等等。其次，拓展延伸環節是否需要以及所達到的程度如何要看授課班級學生的學習能力，整體能力突出，可以拓展多點深點，整體能力不是很好，抓好基礎更重要，適當提高促發展。綜言之，數學課堂拓展環節的教學應該在學生扎實掌握和落實基礎知識和基本技能的基礎上，立足文本、立足生本、立足發展，進行或知識、或文化、或實踐的拓展延伸才是需要的，才是可行的，才是有效的。
2. 學會放棄。課堂教學的時間是個常數，學生學習的歷程也不會都是一帆風順的，磕磕碰碰中時間就悄然而過了。也許，等到可以對所學的知識拓展延伸的時候，時間卻不充裕了；亦或許，根本就沒有時間了。這個時候，不要走過程，不要走形式，更不能為保證課堂的完整而讓你設計的拓展延伸“緊急上場，倉促下陣”，只留下一個“羞答答”的“身影”。比如，同樣是教學口算乘法，筆者在自己任教的班級上課，可以按教學設計順利完成，但送教下鄉到一個鄉鎮小學，由于學生的認知起點較低，在前面的算理和算法的理解中磕磕碰碰，于是，筆者果斷地放棄了后面解決問題和拓展應用環節。正因為放棄，學生有足夠的時間把口算乘法的算理和算法理解透徹，后面的計算就很順利，學生學習的積極性也被充分調動。大哲學家書格拉底說：“千鳥在林，不如一鳥在手”，這句話也讓我們感悟到有時放棄就是最明智的選擇。簡言之，數學拓展延伸環節的教學要根據課堂教學的實際做到“取舍”合理。
四、有效把握“學與用”——選材適“切”
實用主義教育家杜威曾提出“如何使學校教育與兒童的日常生活相聯系”的重要問題。因此，在拓展環節的教學中，教師要有意識地聯系學生的生活實際，設計一些貼近學生生活的拓展練習，讓學生嘗試著運用所學的知識去解決自己身邊的問題，并且指導他們如何尋找生活和數學的聯系。
1. 內容貼切。學生生活的環境不盡相同，個人的成長道路亦有差別，這就造成了學生情況的復雜性。因此，拓展延伸時，教師需要綜合考慮授課班級學生的各方面因素，比如年齡特征、生活經驗、地域特色、特長喜好等，設計的拓展練習盡量選用與學生密切相關的或直接嘗試過的數學材料，這樣學生才有學習興趣和動機，才有解決問題的基礎，才有探索的價值。比如，學習“折線統計圖”的時候，可以虛擬一個股市行情圖讓孩子模擬演示。
2. 內涵豐厚。課堂的拓展延伸可以使課堂呈現全方位的開放，可以從教材走向生活，從學習走向文化，從感悟走向哲理，這種全方位的開放既豐富了課堂的知識含量，又凸顯了數學文化的內涵。因此，課堂拓展延伸的材料選擇除了要與學生的生活實際相貼切，還需要追求內涵的豐厚。
請看經典案例——特級教師張齊華《圓的認識》。
新課程改革倡導培養學生學會學習、促進學生學習方式的轉變，《數學課程標準》指出：“學生的數學學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數學的重要方式。”在這樣的課程理念下，我們開展基于在數學拓展課中轉變學生的學習方式課題研究。
數學拓展課學生的學習方式可以是多種多樣的：課前通過網絡自主學習，課堂自主探究，小組合作交流，課下參加社會實踐等，改變了以往數學課學生被動接受為主的學習方式；同時數學拓展課的學習方式是靈活的，不同的拓展課學習方式的選取也不同。拓展課學習內容貼近學生的學習、生活，以活動、探究、實踐等多種形式將有趣的實用的數學呈現出來，具有一定的開放性，具有動腦、動手的特點，學生學習過程不再是枯燥的，而是在教師的引導下，積極探索、合作交流、主動創造，所以，數學拓展課既培養、激發和發展學生的數學興趣愛好，又有利于實現學生的學習方式從被動接受到自主探究，合作交流的轉變。
本文將通過展示數學拓展課的教學實踐，反映在“依托數學拓展課，積極引導學生學習方式的轉變”的教學理念下數學課堂中教師教學方式的變化和學生學習方式的變化。
一、構建學習小組，開展小組合作學習。
我們把班級學生分為6人一組，其中二名優等生，兩名學習困難生，二名中等生，要求小組總體水平基本一致，小組每位成員按各自能力與專長各自有明確分工和任務，組內異質為互助合作莫定了基礎，而組間同質又為保證全班各小組間展開公平競爭創造了條件。
二：網絡環境下的自主學習。
比如我在九年級上期“初中數學化歸思想”這節拓展課前，給學生布置了上網查資料的自學任務：
課前自主學習的設置幫助學生建立對化歸思想的認知，同時也為課堂合作交流打下基礎。給不同層次的學生提供“自主學習”的時間和空間，為轉變學生學習方式提供外部條件。
二、課堂展示交流，增強學生自信心，形成和激發學生自主、探究學習的原動力。
適當的小組展示不僅是對前一階段任務完成情況的檢查，更是對后一階段學習學生學習動機的無形激發。教師在落實學生自學完成情況的同時，了解到學生已有的知識經驗，找準學生的起點，創設具w的教學情，激發學生的強烈興趣，打開思維的閘門，為下一階段自主探究順利進行打下基礎。
三、課堂上的動手實踐、獨立思考、自主探究、合作交流。
還以拓展課“初中數學化歸思想”為例
四、動手創造，將數學知識應用到生活中去。
比如，我在七年級下期拓展課“利用軸對稱進行圖形設計”帶領學生衣服。
學生穿著自己親手做的衣服，真切的感受到數學在生活中的應用，感受到數學不是枯燥的，感受到數學知識還可以在“玩”中學到，轉變了學生以往學數學的方式和觀念。
五，激發興趣，拓展學生視野，鼓勵學生主動去求知。
我在七年級上期拓展課“數學中的數字黑洞現象”中，帶領學生感受課本以外的數學知識。學生在了解“123”黑洞， “水仙花”黑洞， 驗證角谷猜想之后，感受到數學的奇妙，增長了知識，同時也增強了學生的意思品質。有一位同學在做“3x+1”游戲時，選取數字25進行驗證，結果經過26次運算時，終于找到“421”黑洞，極大地增強了學生的自信心、細心、耐心。這節數學拓展還激發了學生對宇宙黑洞產生了興趣，為什么會有“黑洞”？“黑洞”是怎樣形成的？為什么黑洞的吸引力極強？學生充滿好奇。數學拓展課開闊了學生視野，激發了學生主動求知的欲望。
六、在數學拓展課中轉變學生學習方式效果明顯
【P鍵詞】數學拓展式；習題課；變式問題；教學策略
自2016年4月起，山東師范大學第二附屬中學在專家的引領下，確立了《初中數學拓展式課堂教學探索》的研究課題，現已全面進入實施探索階段.
所謂數學拓展式課堂教學，是指教師依據數學課程標準和教學目標，整合、優化數學教學內容，深入挖掘數學思想方法，對數學知識、數學思維過程和方法以及數學文化進行適度的拓展和延伸，以優化教學過程，提升學生數學素養的教學活動.
數學拓展式課堂教學旨在豐富學生的數學視野，加強對數學教學內容的深入理解，在深度和廣度上培養學生的數學探究意識和興趣，建立科學的思維方法和探究方法，在提出和發現數學問題、分析與解決問題的能力上得到提高，促進學生均衡而有個性地發展，提升學生數學素養[1].
隨著《數學課程標準》（2011年）的貫徹實施，如何全面提升學生的數學素養，已成為當前數學課堂教學改革與發展面臨的重要課題.拓展式的數學課堂教學已成為數學課堂教學的重要組成部分，它不同于傳統教學只注重知識的傳授，而是從更高的層次對教師和學生提出了要求.
在數學拓展式課堂教學理念的指引下，數學習題課的教學方法也在不斷改進、創新.數學拓展式習題課不應局限于一個狹窄的知識點的訓練，應該是讓學生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學生在學習中學會運用所學的知識舉一反三，應用數學習題“變式問題”的教學策略和方法是十分有效的手段.
所謂“變式問題”，就是指教師通過精選有價值的數學問題或精心設計問題情境，并有目的、有計劃地對問題進行合理的轉化[2].即教師可不斷更換問題中的非本質特征；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；配置實際應用的多種環境，但應保留好對象中的實質性因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性.
運用“變式問題”教學，能促進學生學習的主動性的提高，有助于培養學生的創新精神和學生思維的深刻性.變式問題教學可以讓教師有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，可以幫助學生使所學的知識點融會貫通、拓展和延伸，從而讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，體會學習數學和應用數學的樂趣.
分析根據已知易得ABM∽DCM，可得對應高BH與HD之比，易得MH∥AB，可得MDH∽ADB，利用對應邊成比例可得比例式，把相關數值代入求解即可.
解答因為AB∥CD，所以ABM∽DCM，所以BHHD=ABCD=1015=23，（相似三角形對應高的比等于相似比），因為MH∥AB，所以MDH∽ADB，所以MHAB=DHBD=35，所以MH10=35，解得MH=6.
答：點M離地面的高度MH為6m.
點評本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應邊成比例的性質，利用BHBD+DHBD=1是解題的關鍵.
此題證明三角形相似的前提條件是AB∥CD∥EF，而本題該條件的獲得是依靠AB、CD、EF都與BD垂直，所以本題的條件可以放寬為AB∥CD∥EF.于是有下面的變式練習：
圖2變式1如圖2，F在BD上，BC、AD相交于點E，且AB∥CD∥EF，若AB=2，CD=3，則EF=.
分析利用比例的性質以及相似三角形的性質進而求出BEBC=EFCD=25，求出EF即可.
解答解：因為AB∥CD∥EF，所以BFE∽BDC，AEB∽DEC.因為AB=2，CD=3，所以ABCD=BEEC=23，所以BEBC=EFCD=25，所以解得：EF=65.
故答案為：65.
點評此題主要考查了比例的性質以及相似三角形的判定與性質，正確把相似三角形的性質是解題關鍵.
題目條件放寬為AB∥CD∥EF后，圖形在變化的過程中，AB，CD，EF三條線段的長度在不斷的變化，但三條線段BF，DF，BD之間滿足關系BF+DF=BD，那么這一關系會不會導致AB，CD，EF之間產生特殊的關系呢？為了培養學生的探究精神，激發學生的學習興趣設置了下面的變式練習2：
（1）求鋼索AD和鋼索BC的交點E處離地面的高度.
（2）若兩電線桿的距離（CD的長度）發生變化，點E離地面的高度是否隨之發生變化？說明理由.
解答（1）作EFCD于F，因為ACCD，BDCD，所以AC∥BD∥EF.所以DEF∽DAC，CEF∽CBD，所以EFAC=DFDC，EFBD=CFDC.所以EFAC+EFBD=DFDC+CFDC=DF+CFDC=1.因為AC=30，BD=20，所以EF30+EF20=1，解得EF=12（m）.即鋼索AD與鋼索BC的交點E離地面的高度是12m.
（2）若兩電線桿的距離（CD的長度）發生變化，點E離地面的高度不發生變化.
因為從（1）中可知，CD為任意長時總有：EFAC+EFBD=1，EF（1AC+1BD）=1.所以EF=AC?BDAC+BD.
故EF的長度與CD的長度無關.
通過這一個變式題的練習，學生體會到EF的長度與AB與CD之間的距離無關，為了進一步的探索線段AB、CD、EF之間的本質關系設置變式練習3：
分析前面已證EFAB+EFCD=DFDB+BFDB=1.等式兩邊同時除以EF可得1AB+1CD=1EF.
解答因為AB∥CD∥EF，所以DEF∽DAB，BEF∽BCD，所以EFAB=DFDB，EFCD=BFDB，所以EFAB+EFCD=DFDB+BFDB=1.所以1AB+1CD=1EF.
通過這一變式練習，學生發現AB，CD，EF三條線段之間的數量關系，進一步深化了對三者之間關系的認識，抓住了三者之間的本質聯系.為了鞏固認識，熟練知識，設置了下面的鞏固練習：
鞏固練習
A.aba+b米B.a+bab米
C.a+b2米D.跟m的值有關
圖6綜上所述，教師通過精選一個問題，在課堂教學中合理運用三個變式，兩個鞏固練習的設計，進行拓展式教學，學生對這一問題的認識逐漸提高，思維的深度和廣度逐漸加深，既提升了對圖中線段關系的認識，又提升了數學思維的品質、領略了數學的魅力，從而激發了學生數學學習的熱情和興趣.
在數學拓展式課堂教學理念指導下，傳統的數學習題課的課堂教學也將會迎來新的變化.教師要不斷更新觀念，精心設計問題，因材施教，繼續完善好數學拓展式習題課“變式問題”的教學模式，最終達到提高習題課教學質量的目的，并為學生學好數學、用好數學，全面提升學生的數學素養打下良好的基礎.
參考文獻
[1]傅海倫，權奎，孟慶玲，刁桂蘭.數學拓展式課堂教學及案例分析[J].中學數學雜志.2016（8）：14-17.
傳統意義上的小學數學教學模式面臨著很大的不足，主要表現為生活實際與數學教學相脫離，學生的學習效果與實際應用數學的能力比較差。在生活實際中，時時處處少不了數學計算。因此，為了提高學生的學習效果與實際應用數學的能力，實現小學數學教學的生活化變得十分迫切，與此同時，這也是社會發展的要求。下面，筆者對新課改下的小學數學生活化教學的有效策略進行了簡要分析。
一、通過現代化的教學方式，實現小學數學教學的生活化
大部分的數學知識都是抽象的，倘若借助單一的教學方法，不注重教學知識的生活化，那么將難以提高教學效率與教學質
量。這就需要教師在備課的時候，認真分析每一部分的教學知識跟學生生活實際間的聯系，借助先進的現代化教學設施，設置關于學生生活實際的教學知識。例如，教師在教授“圖形的變換（軸對稱）”這部分內容的時候，通過傳統的教學方法難以使學生學習和理解這部分知識，而教師能夠結合學生實際生活中能夠看到的事物，像蝴蝶和樹葉的圖片，通過多媒體教學課件呈現給學生，且將蝴蝶和樹葉的對稱軸用虛線標注出來，這樣學生在觀察的過程中能夠將這些圖片跟自身的生活實際相統一，從而使復雜的知識變得簡單化。總之，教師在教學的過程中應當通過現代化的教學方式進行，進而實現教學結構與教學知識的調整，讓學生的數學學習跟實際生活相接近，最終實現理想的教學效果。
二、關注學生平時生活的點滴，激發學生的數學學習興趣
數學知識源自實際生活，實際生活當中到處都有數學的影
子。可以說，在實際生活當中的任何角落都少不了數學知識，并且實際生活也是數學實際價值的體現來源。數學教學注重學生的實際生活感受，倡導有效地統一生活情境與數學知識，在解決實際生活問題的基礎上，讓學生鞏固和復習數學知識，從而增強學生的數學應用技能。在平時的小學數學教學中，教師應當啟發學生對實際生活當中的一些數學問題進行觀察，體會實際生活跟數學知識之間的密切聯系。例如，教師在講解“長度單位”的時候，能夠要求學生自己動手測量教室的長度、黑板的寬度、手指的長度、課桌的高度等等，如此一來，學生可以明確在精確測量中長度單位的重大作用。并且，學生在潛移默化中能夠更加容易地學習和接受數學知識，不再感覺到數學知識是單調、乏味的，而是富有靈性、魅力的，跟實際生活不可分割，從而能夠激發學生持久的數學學習興趣與動力。同時活躍了課堂教學的氛圍，從而使小學數學教學課堂煥發生機。
三、注重小學數學教學延伸和拓展的生活化，實現數學教學的升華
除課堂教學的生活化外，教師也應當注重小學數學延伸拓展的生活化。在教學課堂上，有效地統一實際生活與數學知識，能夠促使學生真實、深刻地認識到數學知識的實用價值。而延伸拓展的生活化能夠讓學生更進一步感受到在具體生活問題中數字知識的意義，如此一來，學生不但鞏固了學到的數學內容，而且還激發了學生的思維意識。教師可以要求學生通過寫數學日記的方式記錄下買東西過程中用到的數學知識有哪些，以及應用的整個過程。這樣學生不但能夠積極主動地探究實際生活當中的數學，而且也懂得了實際生活當中時時處處都有數學知識，從而增強學生“學習數學和應用數學”的觀念。教師還可以要求學生自主地歸納學習數學的心得體會，這不但能夠讓學生系統地思考、梳理數學知識和數學問題，而且還能夠推動學生更進一步分析數學知識。除此之外，教師還可以要求學生通過《我與數學》作為題目，編寫一些小故事等。總之，借助歸納與概括性的數學課外延伸拓展練習，學生不但能夠更進一步地學習和掌握數學知識，而且還能夠切實體會到自己的身邊就有數學知識。
總而言之，對于小學生而言，小學數學教學的生活化有著十分關鍵的作用，不但可以激發學生的數學應用意識，而且可以激發學生的思維能力。教師在小學數學教學中，應當有效統一現代化教學方式與實際生活，關注學生平時生活的點滴，注重小學數學教學延伸和拓展的生活化。只有如此才可以確保小學數學教學切實實現生活化，從而激發學生持久的數學學習興趣與學習動力，提高學生的數學學習成績。
一、巧用學習工具，玩轉“三角板”的魔術
學生的學習工具有很多，三角板是其中一種。三角板上蘊含的數學知識很豐富，但教材中涉及的甚少。教師可根據學生的學習實際，把有關三角板的零碎知識點串聯起來，進行恰當的拓展。
課始，用數學猜謎的游戲引導學生將注意力聚焦到三角板上，在“用一副三角板能畫出多少度的角”的問題引領下，學生通過拼合、分割等方法將所有能畫出的角度一一列舉，從而引導學生主動發現規律：度數只要是15的倍數都能用一副三角板畫出來。然后把探究的視角拓展到“邊”，通過用兩塊一樣的三角板拼接，引導學生主動發現每個三角板的邊與邊之間的關系，利用這一重要發現緊扣學生的思維，幫助學生熟練地解決相關的實際問題。
重要的數學發現引發了學生更為強烈的探究，在接下來的動手操作環節，學生充分體驗到了三角板的魅力，他們用三角板拼接四邊形（如下圖）。在對幾種四邊形的觀察與
比較中，學生得出怎樣拼的周長最長或最短。接著，教師出示一段拓展資料介紹：“三角板從古希臘時期就有，它是對兩種基本圖形分割而成的。當把正三角形與正方形對半切割時，便得到了兩種直角三角形，這正好是我們所用的一副三角板的形式。古希臘數學家柏拉圖認為，這兩種三角形是最完美的形式。”這樣把整節課的氣氛推向了，讓學生充分體驗了三角板神奇的魅力，學生的數學素養也在這種“魔力”下悄然提升。
二、搜尋生活材料，折出“一張紙”的精彩
其實，日常生活中的許多元素像時鐘、紅綠燈、電視等都包含著非常有價值的數學信息，我們可以從中選取一些合適的素材，根據學生學習數學的實際情況，為學生量身定做“數學大餐”，這樣的拓展更具價值。
如一張白紙，首先了解這張紙的基本數學信息。以A4紙為例，讓學生主動從數學的角度來研究其周長、面積、厚度、重量等。研究中學生了解到包裝袋上標明“70GSM”的實質含義，這一發現讓學生充滿了自豪感。其次，探究的重點是“用一張紙做長方體”，要求做無蓋和無底無蓋的長方體。通過小組合作探究，學生根據要求想出了多種方法（如下圖）。
蘇霍姆林斯基說過：“兒童的智慧在手指尖上。”通過探究學生折出多種長方體，卻沒有因“折好”而停止數學探究，他們主動地用正確簡便的方法計算出每種長方體的體積，并在體積大小的比較中發現同一張紙怎樣折的體積最大。
這一生活素材所引發的數學拓展學習，給學生帶來了無窮的樂趣。學生在了解信息中拓寬了知識面，在折長方體中鍛煉了動手操作能力，更在折后的計算、比較、發現規律中提高了數學思維能力，使數學思考在生活中得以延續。
三、結合時代因素，感受“錢生錢”的魅力
時代變遷，數學學習的某些知識往往隨著時代因素的變化而變化。結合六年級教材中的利息、折扣、稅率等問題，一節“錢生錢”的課例油然而生，讓我們一起去領略它的魅力吧！
在幫助學生認識幾種投資理財方式后，教師創設情境引導學生體驗隨著時代變遷張叔叔在幾種投資理財方面的變化。首先，張叔叔開花店，他采取了多種促銷方式，如“打折”“買四送一”等，在引導學生討論哪一種方式比較合算的過程中，提高學生解決問題的能力。于是花店盈利，張叔叔不僅履行了交稅的義務，并將部分積蓄存入銀行。學生在參與儲蓄等問題的過程中，熟練地解決了納稅、利息等實際問題。接著通過對銀行利率、稅率變化資料的介紹，讓學生了解因時展而變化的社會現象。最后，適應時展，張叔叔買了一些股票，學生在計算盈虧的過程中，明白股市有風險。
這一主題的拓展，巧妙地抓住了符合時代因素的素材，借助情境將折扣、利息、炒股等投資項目中的數學問題進行提煉，引領學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維理解世界，意在讓學生能逐步達到通過數學學習生長出自己的個性思維和思想。
[關鍵詞]診斷拓展性作業 “三個維度” 體驗 數學思考
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）01-047
“學為中心，先學后教”的課堂教學改革正在我校如火如荼地開展。“以生為本”的課堂通過“獨立預習作業”“嘗試探究作業”“診斷拓展性作業”這三類作業，改變著教師“先教后學”的教學方式，力求讓學生先學、能學和會學。其中“診斷拓展性作業”既是對課堂數學學習目標是否達成的檢測，又是拓展學生思路、激發學生學習興趣的主要手段。對如何讓“診斷拓展性作業”更具科學性，我從以下三個維度進行了探索與實踐。
一、拉伸知識長度，讓學生在不斷體驗中獲得更多的知識經驗
在“先學后教”的教學實踐中，教師都有一個簡單的認識：學生自己能學會的，教師堅決不教。這樣的課堂總會讓人質疑：學生自己學的會不會僅僅是這個知識的結果？他們親身經歷過這個知識獲得的過程嗎？在獲得這個知識的過程中，他們的思維是否有提升？課程標準明確指出：“教育應由傳統的‘單一目標’轉向‘多維目標’，強調教師不應唯一地關注數學知識和技能的學習，還應幫助學生學會思維，并能逐步發展相關的情感、態度和價值觀。”在“診斷拓展性作業”這一環節中，教師設計的作業不僅要具有檢測學生是否理解知識形成過程的作用，還應具有促進學生積累數學方法和發展思維的作用。
策略一：變“以練固基”為“重溫過程”
傳統的課堂練習更多的是關注教學功能，通過對基礎知識的反復練習，達到熟練和形成技能的目的。而“先學后教”模式下的課堂練習更注重學生的體驗，讓學生在活動中經歷知識的形成過程。
例如，在“除法”的練習中，傳統的教學模式是直接出示類似“612÷3=？”這樣的算式讓學生進行練習，以達到熟練和掌握計算技能的目的。如今，在新課改的大背景下，我所在的教研組對“除法”練習做了如下設計。
出示“416÷4=104”的兩種計算豎式（如圖1），要求：（1）借助圖形或學具，說一說每個豎式的意義;（2）用筆圈一圈、連一連，來分一分小方塊;（3）說一說兩個豎式之間的區別與聯系。
這里是借助豎式這一情境，讓學生重溫分物的經歷，感受算理與算法的一致性。
策略二：變“重復練習”為“以練提思”
提升學生的數學思維能力是數學教學的重要目標之一。課堂作業既反映教師對教學目標的追求，又承載著發展學生數學思維，幫助學生積累解題方法，提升學生數學學習能力的使命。
“相差問題”的練習中，傳統的教材是這樣設計的（如圖2）;在教研組活動中，我們做了這樣的改進（如圖3）。
傳統練習呈現的是靜態的結果，學生一連線，很快就能知道多出來的數量。改進后的練習雜亂無序，讓學生覺得煩惱，產生使之有序的迫切愿望，使得學生自覺通過操作，重新排序分類。在這個過程中，學生能體會到數學的思考方式，逐漸提高思維水平。
二、拓展知識寬度，讓學生在不斷伸展中找到知識點之間的聯系
在練習與整理的過程中，“診斷拓展性作業”通過引導學生回顧、總結、提煉思考方法和解題規律，使其深入挖掘不同知識間的內在聯系，逐步完善數學知識結構。
例如，在教學“平行四邊形、三角形和梯形面積”后，教師可給出下面這道練習：
請在圖4中畫出高為4厘米、面積為20平方厘米的平行四邊形、三角形和梯形各一個。（每個小方格的面積為1平方厘米）
師：在高相等的情況下，要使面積都等于20平方厘米，你是怎樣畫它們的高的？
生：這些圖形的高都是4厘米，平行四邊形的底就等于面積除以高，得5厘米;三角形的底等于面積乘以2再除以高，得10厘米;梯形的面積乘以2再除以高就是上底和下底的和，只要保證上底與下底的和是10的就可以了。
師：它們的面積計算公式之間有什么聯系呢？
（課件演示：為使梯形保持面積20平方厘米、高4厘米不變，上底每縮短1厘米，下底就增長1厘米。當拉到上底與下底相等的時候，梯形就變成了一個平行四邊形;繼續拉動上底，當上底變成0厘米時，梯形就變成了一個三角形）
生：其實梯形面積計算公式是通用公式，三角形、平行四邊形的面積都可以用它來計算。
教師通過提問與追問，不斷挖掘各知識點之間的聯系，把散亂的知識串成了一串，激起了學生的求知欲，活躍了學生的思維，為學生理清了脈絡，便于學生理解與記憶。
三、提升知識高度，讓學生在不斷攀登中獲得學習的樂趣
研究表明，真正的學習往往來自挑戰后的成功。對于“診斷拓展性作業”的設計，教師要學會把知識“掩埋”起來，讓學生慢慢挖掘，收獲成功的。
例如，五（1）班學生參加社團活動的情況如下表所示。
（1）參加圍棋、乒乓球和足球社團的學生共占全班人數的幾分之幾？
（2）參加（ ）社團的人數最多，五（1）班至少有（ ）人。
這道題考查的是分數加減法、分數大小比較及最小公倍數等知識點，同時考查學生收集信息、處理信息的能力，問題由易到難，層次分明。尤其是最后一問，更需要學生充分聯系生活實際，結合具體情境綜合分析，才能解決問題。這樣的題型看似很難，但只要找準思考點，就會有茅塞頓開之感。
又如，教師在教學“分數乘除法”后設計這樣的練習：
在拋出“得數等于開始數的奧秘在哪里？”這個問題后，教師可繼續出示下面這兩道題，讓學生判斷對錯后說明原因。
這樣尋找迷宮出口式的題型，能激發學生的做題興趣和求知欲，使得課堂教學順利開展，并收獲顯著成效。
關鍵詞： 數學 拓展 趣味
在十幾年的數學教學生涯中，雖然無論是問題的引入，還是課題的展示、規律的認知、內涵的挖掘、方法的總結等我都層層推敲，但是學生的數學成績遠遠沒有達到預期的目的，對數學的學習興趣也幾乎沒有。究其原因，在數學教學中教師往往重知識的傳授，輕對學生興趣的培養。學生只是機械地學習數學知識，完成教師留給的大量習題，毫無興趣可言。如何激發學生的學習興趣，我認為一要讓學生參與到教學之中，二要在課下讓學生自己探究數學的趣味和魅力。為此在數學教學中我采取了一些方法，也收到了一些效果。
一、延伸適度，注重知識的聯系
數學的系統性決定了數學教學的連續性。在一節數學教學過程中，教師既要知道怎樣和前面已學過的知識聯系，又要兼顧知識的外延拓展。這說明數學前后知識聯系比較緊密。課堂上，教師可采用設置一些懸念、提一些問題等一系列措施，將前后知識聯系起來。
在教學的過程中，教師講解的內容并不都是有效知識，只有那些學生原來不懂、不知的新觀念、新材料、新思想、新方法，經過教師的講解之后有所得、有所感、有所獲的內容，才能稱為教學中的有效知識。有效知識是學生對它們有直接興趣的內容。如果一節課的有效知識的數量大，學生就會覺得收獲很大，感到滿意、充實；反之，如果一節課的有效知識量很小，學生就會覺得收獲不大，感到失望、不滿。在數學教學中，通過對具體實例的分析、綜合、比較，抽象概括出新的概念；在定理、公式、法則的講解過程中注意揭示前后知識之間的聯系，揭示蘊含在過程中的數學思想和數學方法；講解例題時注意介紹知識的類化和應用；在解決問題的過程中介紹怎樣根據問題中的條件來收集和組織有關信息，溝通條件與結論之間的邏輯聯系，等等，都能有效地提高教學中有效知識的數量，增強教學的魅力。
例如講完“邊角邊定理”之后，教師應提出一些問題，像除了利用邊角邊定理證明三角形全等外，是不是還有其它方法呢？讓學生在課后思考、探究，這可為下節課講“角邊角定理”教學做鋪墊。
必要的鋪墊是后續教育的一個必要環節，使得前后課之間的銜接自然，同時又可促使學生探索、思考。
二、拓寬加厚，開闊學生的視野
數學課外活動作為課堂教學必要的補充和完善，其功能主要體現在兩方面：（一）延伸課堂教學，（二）拓寬學生視野。因此課外活動內容的選擇必須考慮到教材實際，同時兼顧學生的發展。有一些在教材中涉及的內容，在課堂不便拓寬加厚，但為了滿足一些學生的求知欲，可在課堂上設置一些問題，提出見解，讓學有余力的學生課后讓其思考，讓其在課外活動中進行討論，并給予解答。
人教版《幾何》第二冊第159頁的習題12：求證：正方形對邊中點的連線將正方形分成四個小正方形。
分析：如圖，要證明四邊形AEOH為正方形，可先證它為矩形，再證AH=AE。學習此題，視野一定要開闊，思維要全面，可進行橫向拓展，將命題作如下變形，得出類似的正確結論。
1.平行四邊形對邊中點的連線將平行四邊形分成四個小平行四邊形。
2.矩形對邊中點的連線將矩形分成四個小矩形。
3.菱形對邊中點的連線將菱形分成四個小菱形。
對于這些問題，有余力的學生在課后可以有選擇地思考，在數學課外活動中分組討論，各抒己見，最后由教師引導得出結論。事實表明，課堂上留有余地，可激發學生興趣，激勵他們不斷追求新方法，得出新結論，是一種行之有效的手段。
三、培養學生集體討論，交流學習的習慣，提高其思維能力
課堂學習也是一種創造性的活動，在這個過程中，學生會對某些問題產生興趣并發表不同見解，產生自己探求問題答案的勇氣和激情，或是對課堂上所學知識歸納總結，或是數學思想方法和技巧的運用，或是結論的推廣、規律的探求，或是對某一問題的思考、猜測或證明等。教師應引導他們，讓他們課下做深入的分析和探求，在適當時機組織交流，讓學生真正感受到所做的工作是一項創造性活動。教師再引導學生通過小論文的形式總結自己的感受，發表自己的見解，會收到良好的效果。
四、讓學生嘗試親自動手，體驗數學的趣味
我們平時課堂教學也好，教材也好，形式化的東西太多了，以至于學生在課堂上不敢越雷池半步，總是循規蹈矩。但是單靠邏輯演義和形式化了的東西，數學是無法發展的，還會使學生望而生畏，覺得枯燥無味，因此有必要引導學生在課后采取更多更豐富的手段學習數學，體驗數學。
例如：在學過了“黃金分割”后，我們可以布置學生親自設計一件日用品或工藝品的寬和長，使其寬與長的比近似為0.618,和一般物品的寬與長比較看哪個更具有美感。在實際制作過程中，學生既熟悉了黃金分割的概念，同時又體驗到生活中處處有數學，從而將數學與生活結合起來，這樣使得數學的學習更有現實意義、更有趣味性。
隨著社會的不斷進步，科學技術的不斷發展，生活水平的不斷提高，教學輔助設施也不斷更新，教師在課后可以讓學生通過自己制作課件來演示、驗證書本上的定理及結論，如引矩形定義時，可讓學生利用幾何畫板軟件，在計算機上畫一個平行四邊形ABCD，改變∠B的大小，當且僅當∠B是直角時，才給我們以矩形的形象，通過這一操作，使學生對矩形這一定義記憶就更深刻了。這是為什么呢？有余力的學生會通過制作過程發現新的問題。
綜上所述，在課堂教學中給學生留有余地，既能促進學生自主學習意識的提高，又能拓寬其創造性學習的渠道，從而使所有學生學到更多、更好、卻又有區別的數學，讓每一個學生真正地參與數學學習，體驗數學的魅力。
參考文獻：
在高中數學教學中，有些教師抓不住教學的切入點，即不了解應從哪個方面引導學生學習數學知識.本文提出了數學綱領這一概念，即教師要圍繞數學綱領開展課堂教學活動.
一、引導學生學習數學基礎概念
數學概念知識，是學生必須要掌握的數學基礎知識.學生只有了解了一個數學新概念，才能了解這一數學知識可以應用在哪個數學領域中，它的性質是什么、演變出來的公式是什么……在數學教學中，教師要重視數學概念的教學，幫助學生打下良好的數學基礎.例如，在講“等比數列”時，教師可以引導學生填寫下表，同時引導學生思考等比數例概念.學生總結出等比數列的概念后，教師提出幾個拓展問題：假設現在數列{an}、{bn}是項數相同的等比數列，那么{an+bn}是不是等比數列？那么數列{pan+qbn}（p、q為常數）是等比數列嗎？為什么？這樣，教師引導學生通過表格看數學問題，讓學生從體驗案例的角度理解等比數列的概念；當學生結合數學體驗初步整理出等比數列的概念后，教師再通過提問引導學生完善數學概念，避免數學概念總結出現漏洞.這是經典的數學概念教學案例，取得了良好的教學效果.因此，在數學概念教學中，教師不能直接告訴學生要學習的數學概念是什么，而要為學生創設情境、引導學生體驗數學案例、從數學案例中抽象出數學知識、引導學生驗證學習的成果.教師只有這樣開展數學概念教學，才能讓學生深入理解數學概念知識.
anbnan?bn（an?bn）
是否等
比數列例3×23n-5×2n-1-10×43n-1是自選1自選2二、培養學生學習數學知識的能力
學生掌握數學概念知識后，需要應用學習的新知識來解決數學問題.有些學生表示，雖然學過很多數學知識，可是在解決數學問題時常常不知道從哪個角度來解決數學問題.實際上，這是教師沒有引導學生掌握數學思想的緣故.在高中數學教學中，教師要強化數學思想的訓練，培養學生學習數學知識的能力.例如，在講“函數”時，教師可以引導學生學習一道數學例題：求函數y=3+2-3x的值域.有的學生應用數形結合的思想先畫函數圖象，再解數學習題.教師引導學生思考：能不能根據這道數學題的特征運用更簡單的方法解數學習題呢？在教師的引導下，學生把這道題與算術平方根的特性結合起來，認為算術平方根有雙重非負性.如果結合這一特性來看待這道數學問題，就能把數學問題變得簡單.于是學生再次解這道習題：由已知可得2-3x≥0，從而可得：3+2-3x≥3，于是函數的值域為[3，+∞）.這就是類比推理思維的應用.做這道習題后，學生了解到：遇到數學問題時，要仔細觀察數學問題的特征，盡可能地找出最簡單的解題方法.
三、促使學生嘗試拓展數學知識
在高中數學教學中，教師要引導學生主動找經典的習題、開放式的習題來學習，讓學生在做習題時自主驗證知識結構的缺陷.這是教師在教學中要讓學生養成的一個學習習慣.例如，在講“向量”時，教師可以引導學生做如下的習題：已知向量OP1，OP2，OP3滿足：OP1+OP2+OP3=0，OP1=OP2=OP3=1，求證P1P2P3是正三角形.這是一道數學基礎題.只要學生熟悉了向量的概念及向量的計算方法，就能迅速解答這道題.學生解出這道題后，教師把這道數學題延伸，繼續提出問題：P1P2P3為正三角形，它的中心為點O；那么OP1+OP2+OP3=0是否成立……教師以一道數學題為基礎，延伸出數學問題時，學生就能了解到數學知識的變化，感受到學習數學知識的樂趣.因此，在高中數學教學中，教師要引導學生建立一個數學習題薄，讓學生記錄易錯題、開放題、經典題，使學生在學習中經常回顧這些習題，同時與其他學生分享這些數學習題.這種學習方法，如果變成學生的學習習慣，就能提高學生的學習興趣，促使學生嘗試拓展數學知識.
總之，所謂的綱領問題，就是一件事物最根本的問題.如果教師不能把握住數學教學的綱領，就會出現教學目標不明晰、教學方法針對性不強的問題.在高中數學教學中，教師要引導學生學習數學基礎概念，培養學生學習數學知識的能力，促使學生嘗試拓展數學知識，從而提高教學效果.
關鍵詞: 職業學校數學教學 教案設計 分組教學模式
教育家第斯多惠曾說:“一個壞的老師是奉送真理,一個好的老師是教人發現真理。”葉圣陶先生也曾說:“教,是為了不教。”這些都是我多年來的教育信條。我想,每一個教育工作者的身體里都流淌著責任的血液,都努力將教學中的每一個環節做精做細,做優做強,讓其理論化、層次化、系統化、實踐化、創新化,使自己成為學習型、研究型、育人型的教師。
一、數學教師要有大局觀,全局觀。
《數學課程標準》指出:數學教學是數學活動的教學,是師生之間、生生之間交流互動、共同發展的過程。教師要向學生提供充分的從事數學活動的機會,引導他們在自主探索與合作交流的過程中,真正理解和掌握數學知識與技能,思想與方法,思維模型,從而學習有價值的數學。以下用整章案例說明。
(一)教材使用簡介
書名:數學(第二冊);作者:《數學》編寫組;責任編輯:宋強、主編:葉惠英;出版發行:瘋狂出版傳媒集團、江蘇教育出版社;版次:2011年2月第一版;書號:ISBN978-7-5499-0439-6;電話:0515-88153008.
同時這本教材也是五年制高等職業教育21世紀課程改革規劃新教材。
(二)教案流程
1.寫好設計說明(根據教學大綱結合自己的設想,可以結合本文說明設計理念和模式等);
2.9.1向量的概念,9.2向量的坐標表示及其運算,9.3向量的數量積;
3.向量前三節復習課,拓展實踐活動課《挑戰自我熔煉團隊》(體育場進行);
4.9.4復數的概念,9.5復數的表示形式,9.6復數的運算,9.7向量與復數應用舉例;
5.第九章復習課與習題課,攝影知識講座(數學在攝影中的美)。
(三)教案設計模式
1.講授型教案:教師講授新知,啟發為主,學生分組討論學習為輔。例如,章節9.1.1向量的概念,9.3.1向量的數量積定義等概念性的內容的課型。主要目的是體現數學的精準和魅力,讓學生喜歡數學。
2.分組合作型教案:學生分組討論學習為主,教師引導,啟發為輔,教會學生學會學習,合作意識、擴展思維等。例如章節9.1.2-1向量的加法,9.5.3復數的三角形式(二)等概念與計算混合型的課型。主要目的是讓學生體驗學習的樂趣和團結的力量。
3.導學型教案:學生分組討論自學為主,教師引導,啟發精講為輔,教會學生學會思想方法,鍛煉意志品質、拓展思維、培養興趣等。例如9.1.2-1向量的減法,9.6.1復數的四則運算(代數形式)等章節帶有遷移,計算的內容的課型。主要讓學生掌握學習方法,學會學習。
4.自學型教案:以學生自主學習為主,教師因材施教,培養自學習慣,利用知識遷移,開拓學生思維。例如章節9.1.3向量的數乘,9.4.3在復數內解實系數一元二次方程等延續性、遷移性、簡單性的內容課程。主要目的是培養學生學習習慣,提高學生學習能力。
5.拓展與講座教案:增進師生、生生交流,豐富知識內涵等。如《挑戰自我熔煉團隊》拓展戶外活動,《數學在攝影中的美》講座。主要目的是增進師生情感交流,進一步拉近師生的距離,讓課堂變得豐富多彩。
二、數學教師對學生要有教學觀,育人觀。
職業高中學生是經普通高中“篩選”后才入讀職業中學的,甚至有一部分學生初中沒畢業或沒有參加中考就入學的,學生數學基礎差、厭學,大部分學生對數學無興趣。首先,學習目的不明確,學習主動性差,依賴性強。此類學生從小嬌生慣養,事事由家長包辦。因此,學習無計劃,無恒心,意志力薄弱,缺乏自制力。其次,信心不足,畏難、厭學情緒嚴重。多數學生自卑心理較強,總覺得自己學習不如別人,被人看不起,對前途不抱太大希望。有的甚至得過且過,對學習有抗拒感。這種消極心理極易形成學習障礙,對學習尤其是數學學習產生厭惡、畏難情緒。再者,上課注意力不集中,課后作業不交或遲交,知識遺漏多,知識銜接困難,久而久之,就被動地應付學習和考試,甚至放棄學習。
怎樣才能解決以上問題呢?這就要求老師們不能只教不育或只育不教。這在教案設計中已經得到解決,每種教案模型都有對應的體現,而且又都能相輔相成,只要掌握內涵,就會發揮其作用。
三、教案設計體現理念觀、思想觀。
(一)展現自我教育理念:“沒有愛就沒有教育,沒有興趣就沒有學習。”教育的愛是建立在師生相互信賴的基礎上的,教育就是要培養學生的學習興趣。
(二)體現出自我教學思想:快樂學習,學習快樂——“教中學,學中做,做中會,會中樂”,“情中思,思中悟,悟中益,益中育”。以教學內容為外線,運用適當的教學方法、學法與手段達到教學目標的要求。以情感教育為內線,通過拓展活動、勵志故事、激勵言語,豐富課堂,達到情感教育目標,讓枯燥的數字變成美麗的音符,讓學生從情感內心深處接受不一樣的數學課。
(三)采用的教學原則:主要應用的是葉圣陶先生所講的教學原則:“教,是為了不教。”教師不可能教學生一生,他們需要獨立。
(四)擁有獨特的教育技能:拓展活動訓練思維、勵志故事活躍氣氛,讓數學課堂有血有肉,豐富多彩,充滿生機。
(五)主要教學策略:思維比知識更重要。完善學生的知識結構體系,構建數學認知結構,建立學生數學思維模型;運用拓展小活動,發散思維,利用勵志小故事講道理,活躍課堂氣氛。開展室外拓展實踐活動,建立師生,生生之間更深感情基礎,進行攝影講座,豐富學習內涵,讓學生喜歡數學老師,進而喜歡數學課,培養學習興趣。
四、分組教學模式體現實用觀、創新觀。
數學分組教學中的分組設計:班級09物流47人。
1.分組:分成8組,每組六人,第八組5人,
2.規則:按照班級數學成績排名1—47,按蛇形排列成8組,每組取一個響亮且有寓意的名字。
充分發揮學生的主體作用,把自交給學生,尊重每位學生的選擇。比如分小組,也可以不按成績分組,就按照學生的興趣愛好分成“數學故事組”“數學游戲組”“數字推理組”“圖形推理組”等。每個成員還可以不定期地換到其他組去。這樣同學間相互交流合作的機會增多了,知識豐富了,活動的舞臺更寬廣了。隨著活動的深入開展,我深刻體會到只有和學生多交流,才能了解學生所需要的,才能開發出學生感興趣的課程,這樣才能真正激發他們的學習興趣。
五、結論與感悟
關鍵詞：你知道嗎；教學；思考
中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2013）06-0281-01
"你知道嗎"是介紹數學背景知識、傳播數學文化的重要載體，為學生數學素養的形成提供了一個非常好的平臺。"你知道嗎"與教學內容聯系緊密，是教材的有機組成部分，是傳承數學文化的有效載體。它的呈現形式生動活潑，圖文并茂，有利于培養學生的閱讀興趣。只有合理運用"你知道嗎"欄目提供的學習材料，才能讓學生接受數學文化熏陶，體會其豐富價值，激發學生數學學習的興趣，培養其獨立觀察、思考、解決問題的積極性和主動性。
1.準確分類――胸有成竹
"你知道嗎？"這一神秘而又充滿誘惑的話語到底包含了哪些我們急欲探求的知識，蘊藏了多少我們未曾探知的精彩呢？在通讀了數學課程標準試驗教材中"你知道嗎"部分內容后，大致將其分為以下幾個部分。
1.1 相關數學概念。例如五年級上冊介紹了"循環節"的概念，讓學生知道什么叫做循環小數的"循環節"，循環節可以怎樣表示；六年級上冊介紹了"扇形"和"圓心角"的概念，讓學生初步懂得弧、扇形和圓心角之間的關系。此外，"你知道嗎"還在很多地方介紹了諸如圖形的符號表示方法，單位、公式的字母表示方法等，如四年級上冊介紹了我國"量和單位"國家標準規定的寫多位數的方法，直線、射線和線段怎樣用字母表示，平行和垂直如何用符號表示等。學生了解這些數學概念的通用標準，有利于與中學數學學習接軌和避免在課外閱讀時造成理解障礙。
1.2 數學史內容。例如三年級講述了"+"、"-"、"×"、"÷"符號的由來；五年級介紹了"方程的由來""分數的發展史"；六年級下冊展示了"負數的發展史"等。教科書中或用文字，或用圖示向學生展現了數學發展的歷史知識。
1.3 數論的知識。例如五年級上冊中的什么是"數學黑洞"；五年級下冊中的"完全數"等，讓學生嘗試著了解神奇的數字世界。
1.4 數學家的故事。例如三年級的"曹沖稱象的故事"；四年級的"高斯的故事"等，用數學家的故事激勵學生去探尋數學中的神秘寶藏。
1.5 數學名題。五年級的"哥德巴赫猜想"，六年級的"七橋問題"，讓學生感受數學抽象中的撲朔迷離。
1.6 有趣的解題方法。例如四年級上冊提出的"格子乘法"；五年級上冊介紹的"出入相補"求面積的方法為學生提供了與眾不同的解題思路，開拓了學生的視野。
1.7 數學中的美。數學中有很多種類的美：簡潔美、對稱美、統一美、奇異美……教材中展示了黃金比，斐波那契數列等匪夷所思的數學現象，讓學生傾倒于數學的無限魅力。
2.尋找策略――有的放矢
教材中"你知道嗎"編排的知識涉及面很廣，教師要善于用好這個資源，使學生在學好數學知識的同時，激發主動學習探究的興趣，學會用數學的眼光觀察事物、從數學的角度提出問題、用數學的方法解決實際問題的能力，切實提高學生的數學素養。如何把握教材"你知道嗎"所呈現的學習內容、教學策略？僅僅是讓學生讀一讀、了解一下知識，還是精心安排活動、拓展學生的學習能力和數學文化？下面本人結合實踐，從以下幾個方面談談對"你知道嗎"這一拓展內容的教學策略。
2.1 注重閱讀，品味數學思想。數學作為文化課程還承擔著傳承文明的功能，"你知道嗎"中有關數學家的故事、數學趣聞與數學史料，可以幫助學生了解數學知識的產生與發展。我們可利用活動課開設數學閱讀，組織學生進行專題閱讀和主題交流，幫助學生系統地了解數學的悠久歷史、獨特思維和廣泛應用。數學史料有助于培養學生的動態的數學觀、數學文化價值觀，通過對歷史的了解，學生可以在心理上縮短接受某一觀念的時間，有助于學生了解數學形式化、抽象化、精確化的過程。因此在教學這一部分時，一定要讓學生充分閱讀材料，并說說自己的閱讀體會，主要是讓學生從中了解數學知識的形成過程，同時幫助學生體悟其中的數學思想，培養學生像古代數學家那樣用數學的方法解決問題的意識。
2.2 整合教學，凸顯教學價值
2.2.1 巧設情境導入，引出新知。在情境中學數學，是學生最感興趣的；貼近生活去學數學，是最能調動學生學習積極性的。因為有效教學情境的設置，有利于解決數學的高度抽象性和小學生思維的具體形象性之間的矛盾，還原知識的形成和應用的生動場景，從而使定性的知識呈現靈動的狀態。它為學生提供從事數學活動的機會，激發對數學的興趣，促使學生學好數學。而此種類型的"你知道嗎"恰恰具有這種條件。因此我們可以把一些"你知道嗎"轉化成一道情境問題，用以激發學生學習新知的興趣，來充分調動學生參與學習新知的積極性。
2.2.2 用于新課講授，加深理解。很多"你知道嗎？" 的內容具有實際使用價值，并且與新授知識聯系緊密。我就把它有機融合在新課教學中。比如我們在推導"三角形面積計算公式"時，適時介入"你知道嗎"欄目中古代數學家劉徽利用出入相補原理把一個圖形經過分割、移補，而面積保持不變，來計算出它的面積的知識和《九章算術》中的"方田章"中說的："方田術曰，廣從步數相乘得積步"、"圭田術曰，半廣以乘正從"的知識。讓學生不僅多掌握了一種推導方法，又能感受到數學發展的歷史。再比如我們在教學"雞兔同籠"時，可以在課中讓學生來閱讀"你知道嗎"中古人是怎樣解決"雞兔同籠"問題的，讓"你知道嗎"成為開啟學生另一種思維方式的鑰匙。
2.2.3 課尾需求內化契入，星火燎原。在基礎知識與基本技能的教學目的達到后，我們更應該關注知識內涵的進一步深化與拓展。
比如我們在教學完圓的面積時，可以適時引入"你知道嗎"中有關"弧、扇形、圓心角"的知識點，然后再順勢向學生拋出"那么扇形的周長、面積又該如何計算呢？"的問題。一石激起千層浪，學生需求等級會再次提高，一種躍躍欲試的感覺會瞬間彌漫全身，一種因探究成功而產生的快樂會讓他們更加清晰地感覺到數學的魅力。再如在計量單位的教學后，讓學生閱讀"你知道嗎"中有關"質量單位、長度單位、面積單位"的字母書寫方式，從而引發學生對更多用字母來表示單位的學習興趣，并在學習過程中感受數學的簡約美。
2.3 嘗試練習，綻放智慧火花。數學閱讀材料"你知道嗎"中的內容有些不僅可以讓學生去讀一讀，也可以讓學生去做一做。
2.4 積極實踐，拓展思維能力。有的"你知道嗎"內容比較深，也有一定的實用性，需要教師作為專題介紹。因此我們還可以將"你知道嗎"作為一個切入口，拋給學生一個問題，讓學生以實踐作業的形式進行研究、匯報。這樣，既拓展了學生的知識視野，也發展了學生的數學思維能力。
六年級教材中的"你知道嗎"關于稅收的介紹很簡單，我就布置學生去收集稅法的一些常識，收集生活中用到的稅收知識，如納稅、稅率、個人所得稅如何計算等。對學生而言，這樣的數學活動既是稅收知識的普及，又是一次關于稅法的公民教育。再如"比"教學后安排"黃金比"的調查，學生挖掘到了"人體中的黃金比"、"植物中的黃金比"、"建筑中的黃金比"、"攝影、繪畫、樂器制作中的黃金比"……在分享這些的同時，大家知道了0.618這個黃金數，知道了"最完美的人體：肚臍到腳底的距離/頭頂到腳底的距離=0.618"；"最漂亮的臉龐：眉毛到脖子的距離/頭頂到脖子的距離=0.618"。更由此知道了黃金分割所代表的和諧、完美與賞心悅目。此時，學生得到的不僅僅是數學知識，而且受到了數學素養、數學思想和數學文化的熏陶。
2.5 挖掘材料，發揮德育功能。在小學數學教材中，大部分思想教育內容的要求并不明顯，這就需要教師認真鉆研教材，充分發掘教材中潛在的德育因素。教材中的一些"你知道嗎"恰好蘊涵著德育教育功能。如下冊教材第82頁的"你知道嗎"中關于陳景潤的故事等，可指導學生課后去閱讀，也可要求寫一些短小的讀后感，并進行交流，這樣既可以拓展學生的知識面，又可增強學生的民族自豪感、自尊心和自信心，同時也可以培養學生不畏艱難、刻苦鉆研的精神，可以說是一舉多得。
當下，對"你知道嗎"的思考與實踐還是一片未充分開墾的領地。我們深知：對于數學文化的內容例如"你知道嗎"，現有的教材還只是作了補白性的簡介，它催生我們要進行更多的教學實踐。它呼喚作為新課程的實踐者和開發者的教師要自覺地行動起來。無論是日常課堂中
數學文化元素的有效滲人.還是數學文化課上的專題學習，首先我們自己要有豐厚的數學文化素養，為教學做好充分準備。教科書承擔著向學生傳遞數學文化的重任，我們也應承擔起向學生傳播數學文化的重任.組織多種形式的數學學習活動，讓學生充分地熏習陶冶。感受數學的文化力量，豐富他們對數學的感性認識，提高各自內里的理性精神。
參考文獻
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[2] 袁鳳珍.讓"你知道嗎"成為數學教學的亮點.教育研究（教學天地），2010.11.
[3] 袁忠."你知道嗎"不能是被遺忘的角落.江蘇教師，2012，6.
