時間：2023-05-29 18:18:57
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇乘法分配律練習(xí)題，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
教學(xué)目標(biāo)：通過試卷講評，使學(xué)生在集錯、析錯、評錯、改錯、省錯的過程中提升分析問題和解決問題的能力；對學(xué)生集中出現(xiàn)的問題進(jìn)行重點(diǎn)講評，達(dá)到評重講難的目的。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：糾正“湊整”的錯誤思想；解決學(xué)生在簡算中出現(xiàn)的“混淆乘法結(jié)合律和乘法分配律”問題。
教學(xué)準(zhǔn)備：試卷、課件、自習(xí)本、錯題本。
教學(xué)過程：
師：有請今天的小老師。（一生走到臺前，其他生鼓掌歡迎）
小老師：大家好！首先進(jìn)行口算練習(xí)（引領(lǐng)全體學(xué)生喊出口算口號）：口算天天練，步步我當(dāng)先！快樂無限組起立。（小老師課件出示10道簡算題）
快樂無限組開火車計算練習(xí)，隨后同學(xué)對本小組的表現(xiàn)進(jìn)行評價。
小老師：感謝各位同學(xué)對快樂無限組的評價，請老師進(jìn)行點(diǎn)評。
師：快樂無限組的表現(xiàn)非常出色，百分之百的正確率讓他們?yōu)楸窘M贏得了榮譽(yù)，希望今后能夠繼續(xù)保持。今天這節(jié)課，我們要對運(yùn)算定律和簡便運(yùn)算的測驗(yàn)試卷進(jìn)行講評。
一、引導(dǎo)檢查
師板書：測驗(yàn)試卷講評。
小老師：（課件出示學(xué)習(xí)目標(biāo)、檢查提示）請某同學(xué)讀一讀學(xué)習(xí)目標(biāo)和檢查提示。
小老師：下面請小組長分發(fā)試卷，開始。
各小組長分發(fā)試卷，學(xué)生檢查開始。（學(xué)生填寫統(tǒng)計表，自行或在同學(xué)、組長的幫助下改正錯題；組長統(tǒng)計全組錯題情況；結(jié)束后組長宣布統(tǒng)計完畢。）
二、指導(dǎo)展示
（全部統(tǒng)計完畢，小老師出場）：哪個小組想來展示？（小組長舉手）某某，請你來展示。
一小組長拿著統(tǒng)計表上臺：（介紹自己組名、人數(shù)及整體考試情況，從集錯、析錯、改錯、評錯和省錯這五個環(huán)節(jié)逐一分析）。第一大題考的是運(yùn)算定律公式和定義，我們組做得比較好，全部過關(guān)；第二大題中的第3小題是我們組錯得最多的一道題，我想請做錯的同學(xué)親自來分析一下。一生拿卷兒上臺展示134-75+25=134-（75+25）。
師：我們認(rèn)真觀察這道題，不止是這個小組，其他小組的錯誤率也比較高。
該生在幻燈下指卷分析：這道題是134減75加25，當(dāng)時給我的感覺就是減25，因?yàn)?5和25，加在一起正好是100，然后134減100這樣好計算，所以就把這道題判斷對了。
師：那你現(xiàn)在知道是哪錯了嗎？
生：知道。只注意數(shù)字，沒注意符號。如果是加的話就不能用減法性質(zhì)來做。
師：很明顯，同學(xué)們做錯的原因主要是把注意力集中到湊整上，全然不顧算理是否正確；然而在判卷的過程中，老師還發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)雖然注意到了算理，但受到思維定式的影響，把不該湊整的也進(jìn)行了湊整，課件展示：480÷（24×5）=4.8。
師：這是第四題計算中的一道小題，出了什么問題？
生：他把24乘5當(dāng)成25乘4，24乘5等于120，答案應(yīng)該是4.
師：（課件出示兩種算式）老師希望大家今后遇到這兩種算式時，一定要加以區(qū)分，不能因?yàn)檎俚臄?shù)計算起來簡便就急于求成，從而出錯。
師：下面，我們運(yùn)用乘法結(jié)合律來做一道題。（課件出示48×25，生完成，小組長繼續(xù)分析完剩下的題。）
小老師：請其他小組繼續(xù)補(bǔ)充。
另一小組長：（補(bǔ)充說明錯的不同的題目，依舊從五個環(huán)節(jié)進(jìn)行分析…）我們組錯得最多的是簡便計算的第5題。
師：這道題是咱們班丟分最多的一道題，我們來認(rèn)真分析一下。
小組長：（拿試卷進(jìn)行分析32×25×125）。首先把32分成4乘8 的形式是正確的，但是他做到這里時把運(yùn)算符號寫錯了，應(yīng)該繼續(xù)根據(jù)乘法結(jié)合律來做，中間用乘號連接。錯誤的主要原因還是把乘法結(jié)合律和乘法分配律弄混，見到四個數(shù)就想到用乘法分配律。其實(shí)前面這一步就是連乘法，根本就沒有乘法分配律里出現(xiàn)的加號或減號，所以也只能用乘法結(jié)合律來做。
師：這位同學(xué)分析得非常到位，其實(shí)這種問題還有一個需要同學(xué)們注意的地方。（課件出示）
生：應(yīng)該把4和25還有8和125用小括號括上。如果不括上，后面的運(yùn)算順序就得變，就不簡便了。
師：（課件出示正確答案）所以，今后遇到類似的問題一定要從這兩個方面引起注意。還有哪個小組想來補(bǔ)充？（沒有組長再舉手）
師小結(jié)：通過大家的展示，老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們檢查得都比較認(rèn)真。我這里也有一張統(tǒng)計表，把你們出現(xiàn)的問題大致歸為兩類。一類是受思維定勢影響，看到有特殊數(shù)據(jù)可以“湊整”，就把注意力集中到“湊整”上，從而導(dǎo)致出錯，以判斷題的第3題和計算題的第7題最為突出。還有一種就是把乘法分配律和結(jié)合律運(yùn)用混淆，集中體現(xiàn)在簡便運(yùn)算的第1題和第5題上。同學(xué)們今后應(yīng)深入理解乘法結(jié)合律及分配律的意義，從而靈活運(yùn)用，正確計算。下面我們就通過練習(xí)鞏固一下這部分知識。（組長分發(fā)練習(xí)題）。
三、輔導(dǎo)檢測
1.生做練習(xí)題：（組長完成后下地檢查指導(dǎo)直至全部完成，課件出示答案，各組長匯報本組練習(xí)情況。）
師：通過匯報，老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對這部分知識掌握得還不錯，讓我們乘勝追擊，進(jìn)行達(dá)標(biāo)檢測。
關(guān)鍵詞:去括號法則;分配律;試驗(yàn)
中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:文章編號:1003-2851(2010)08-0148-01
一、問題的提出
我國各種版本的初中數(shù)學(xué)教材都有 “去括號法則” 一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。而學(xué)生在學(xué)習(xí)“去括號法則”時經(jīng)常會出現(xiàn)不能正確使用法則解題的錯誤,雖然通過教師多次糾正但仍不能徹底矯正。“能不能用其它去括號的方法來代替這一法則呢?”
我到一個學(xué)校調(diào)研聽課,內(nèi)容為“去括號法則”。(教材:義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材(北師大版))。教師講完法則后出了一組練習(xí)題。坐在我旁邊有三個學(xué)生在做練習(xí):“去括號 -3(5m-2mn+4)”。他們分別出現(xiàn)了以下解題過程:
生1:-3(5m-2mn+4)= -5m+2mn-4;
生2 :-3(5m-2mn+4) = -15m+2mn-4 ;
生3 :-3(5m-2mn+4)= ―(15m-6mn+12)= -15m+6mn-12.
顯然生1和生2的解都是錯誤的,而生3才正確。課后我問生1和生2, “你們?yōu)槭裁匆@樣解?”,“你們解法的依據(jù)是什么?”他倆都說“我們是用去括號法則來解。根據(jù)去括號法則,括號前面是負(fù)號,應(yīng)將括號和它前面的符號去掉,括號里面的各項(xiàng)改變符號即可”。生3說“去括號法則是在括號前只有負(fù)號時才能用,這里出現(xiàn)了-3,要用法則必須先變?yōu)槔ㄌ柷爸挥胸?fù)號才行”。看來他們都是記住了法則的,但理解的深度不同。生1和生2只是表面上記住了法則而機(jī)械地套用,生3是真正理解了法則且正確地運(yùn)用了法則解題,結(jié)果也正確,但解題長度增加了。而這觸發(fā)了我的如下思考:由于去括號法則的理論依據(jù)是乘法分配律,能否不講去括號法則,而只用乘法分配律直接去括號呢?如果這一想法成立,則既可以避免學(xué)生的上述錯誤,又可縮短解題長度,節(jié)約了學(xué)生的學(xué)習(xí)時間和減少了教材的篇幅。因此,它既對學(xué)生的學(xué)習(xí)有利而且對中數(shù)學(xué)教材的建設(shè)也很有價值。
二、研究的過程與方法
在實(shí)驗(yàn)研究階段,我們在本校七年級兩個班分別采用 “用去括號法則” 去括號和“用乘法分配律” 去括號的教學(xué)實(shí)驗(yàn)。前者我們稱之為“對比班”,后者稱之為“實(shí)驗(yàn)班”。在“對比班”則完全按課本上的內(nèi)容和要求教學(xué),并講明去括號法則的依據(jù)是乘法分配律。“實(shí)驗(yàn)班”則不講去括號法則,直接用乘法分配律去括號。對于形如“-(x-2y)”的情況,去括號時把括號前的符號看成“-1”再用分配律。在結(jié)束新課后我們編制了14道只涉及去括號內(nèi)容的題對這兩個班進(jìn)行測試。目的是通過測試比較兩種方法對學(xué)生解題正確率和解題速度兩個方面所產(chǎn)生的影響。
在調(diào)查研究階段,我們選擇另一所完全按教材編寫要求進(jìn)行“去括號法則”教學(xué)的學(xué)校進(jìn)行測試。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)去括號法則時已明確了法則的理論依據(jù)就是乘法分配律,因此學(xué)生對兩種方法都了解。我們這次測試的目的是調(diào)查了解學(xué)生在學(xué)了“去括號法則”一段時間后到底愿意選用那種方法進(jìn)行去括號。測試時間選在學(xué)生學(xué)完“去括號法則”結(jié)束2個月后,測試對象為該校初2010級七年級1、2、兩個班共90名學(xué)生。這次我們編制了10道涉及綜合運(yùn)用去括號內(nèi)容的習(xí)題。
三、研究結(jié)果的統(tǒng)計分析
對“去括號法則”掌握的程度,我們根據(jù)學(xué)生作對題的個數(shù)分為成四類:
(1)作對試題1到3個題的學(xué)生為掌握較差(差);(2)作對4 到7 個題的學(xué)生為基本掌握(中);(3)作對8 到11 個題的學(xué)生為較好掌握(良);(4)作對 12到14 個題的學(xué)生為熟練掌握(優(yōu))。
統(tǒng)計對比如下:
用去括號法則所用時間為9到14分鐘;用乘法分配律解題所用時間為7到10分鐘。
由統(tǒng)計結(jié)果得,做對1到3個題(差)和4到7個題(中)兩種程度的學(xué)生,實(shí)驗(yàn)班與對比班(均以9%比10%)差距不大,但做對8到11個題(良)和作對12到14個題(優(yōu))的兩類學(xué)生,則實(shí)驗(yàn)班明顯優(yōu)于對比班。(37%比33%和49%比43%)。在解題的時間上,實(shí)驗(yàn)班最快的要比對比班快2分鐘,而最慢的則更顯出優(yōu)勢,實(shí)驗(yàn)班比對比班少用4分鐘。
[關(guān)鍵詞]乘法分配律；難點(diǎn)；策略
[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）17-0020-03
笛Э緯癱曜賈賦觶骸霸謔學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。”其中， 運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。
乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個非常重要的運(yùn)算定律，合理使用乘法分配律可使計算簡便，大大提高學(xué)生的計算效率，提升學(xué)生的計算能力。由于乘法分配律的變式很多，一直都是學(xué)生掌握不好的內(nèi)容。
【錯例1】概念理解不清，造成丟三落四。
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【錯例2】為了湊整而湊整，生搬硬套。
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【錯例3】對乘法分配律理解錯誤，造成計算錯誤。
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【錯例4】混淆乘法分配律和乘法結(jié)合律。
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在課堂上幾乎所有的學(xué)生都表現(xiàn)出能夠理解和運(yùn)用乘法分配律，獨(dú)立作業(yè)時怎么會出現(xiàn)這五花八門的錯誤呢？我陷入了思考：
①乘法分配律到底難在哪？如何突破這些難點(diǎn)呢？
②是我的教學(xué)存在問題嗎？
③如何在教學(xué)之初改進(jìn)，并在錯誤發(fā)生之后進(jìn)行矯正呢？
基于此，我對自己以往的教學(xué)經(jīng)歷及學(xué)生各種類型的錯誤進(jìn)行一一分析，同時深入研究教材的編排和知識的結(jié)構(gòu)，得出學(xué)生在乘法分配律應(yīng)用計算過程出現(xiàn)錯誤的原因有以下幾方面。
第一，復(fù)雜。乘法分配律不但符號復(fù)雜，形式也復(fù)雜。乘法交換律“a×b=b×a”和乘法結(jié)合律“（a×b）×c=a×（b×c）”都只有一種乘號運(yùn)算符號，不管怎么變，運(yùn)算符號始終不會變，而且等式兩邊的數(shù)字個數(shù)都不變。乘法分配律“（a+b） ×c=a×c+b×c”含有加號和乘號兩種運(yùn)算符號，且等號兩邊的符號、數(shù)字的個數(shù)及運(yùn)算順序也不完全一致。這樣，形式上的復(fù)雜多樣，給學(xué)生的理解和記憶增添了難度。
第二，抽象。乘法交換律和乘法結(jié)合律直觀而形象，學(xué)生幾乎看著公式就能準(zhǔn)確描述出定律。乘法分配律文字語言表述為“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加。”既是“分別相乘”，又是“再相加”等關(guān)鍵詞語，學(xué)生覺得抽象又復(fù)雜，難以歸納，造成記憶負(fù)擔(dān)。
第三，多變。乘法交換律和乘法結(jié)合律在應(yīng)用中模式固定，最多是交換一下位置，改變一下運(yùn)算順序。如25×7×4×9=（25×4）×（7×9）=100×63=6300。乘法分配律在應(yīng)用上變化多樣，有基本應(yīng)用的，如36×55+64×55=（36+64）×55、（125+41）×8=125×8+41×8；還有各種變式應(yīng)用的，如99×35、38×99+38、26×36+13×28……這樣在“變”中找“不變”，又在“不變”中找“變”，對學(xué)生提出了很高的要求。
如何才能讓學(xué)生更好地掌握和運(yùn)用乘法分配律，為學(xué)生將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)呢？
一、在比較中贏得探究
探究學(xué)習(xí)是學(xué)生不斷經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、思辨的過程。在探究學(xué)習(xí)時，教師提供的探究學(xué)習(xí)材料是學(xué)生進(jìn)行有效探究的前提和基礎(chǔ)。
以往的教學(xué)都是從一道題目入手（如學(xué)校購買校服，上衣每件35元，褲子每條25元，買3套，一共需要多少元？），引導(dǎo)學(xué)生得到35×3+25×3和（35+25）×3，進(jìn)而讓學(xué)生觀察、舉例、總結(jié)、應(yīng)用。這樣的教學(xué)素材缺少了對內(nèi)在運(yùn)算意義的引導(dǎo)，忽視了對乘法分配律和結(jié)合律的聯(lián)系和比較，使得學(xué)生的注意力只放在算式的形式結(jié)構(gòu)變化上，而這樣的記憶猶如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干擾就立刻散架，甚至無法復(fù)原。為此，我重新設(shè)計學(xué)習(xí)材料。
1.引入
題目：城西文具店有練習(xí)本2箱，每箱4包，每包有25本，一共有多少本練習(xí)本？
（1）學(xué)生列式后計算：（2×4）×25或2×（4×25）。
（2）這里運(yùn)用了什么運(yùn)算定律？
（3）乘法結(jié)合律中，什么變了，什么沒變？
（4）括號中的乘法能不能變成加號？為什么？
引導(dǎo)學(xué)生明確：“2”表示“2箱”，“4”表示“4包”，“25”表示“每包25本”，單位不同，不能相加；乘法結(jié)合律中的乘號不能變成加號。
2.展開
題目：城西文具店有練習(xí)本2包，每包25本。又采購了同樣的練習(xí)本4包，現(xiàn)在一共有多少本練習(xí)本？
（1）學(xué)生列式后計算：25×（2+4）或25×2+25×4。
（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2+4）這個算式中加號能否改成乘號？為什么？
引導(dǎo)學(xué)生明白：“2”表示“2包”，“4”表示“4包”，單位相同，可以相加。“2+4”表示一共有6包練習(xí)本；這里的加號不能變成乘號。
小結(jié)：2×4和2+4雖然只是一個小小的運(yùn)算符號不同，但代表的是2和4之間完全不同的兩種關(guān)系。“2×4”表示“2箱一共8包”，“2+4”表示“2包加上4包，一共有6包”。
（3）如果把25×（2+4）中的括號去掉，得到25×2+4，這里發(fā)生了什么變化？結(jié)合每個數(shù)表示的意義和數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解釋。
小結(jié)：要正確解答這道題，括號不能去掉。
3.進(jìn)一步討論
（1）25×（2+4）要去掉括號應(yīng)該寫成什么？寫一寫并解釋為什么。
（2）同樣是去括號，為什么25×（2+4）=25×2+25×4中，“25”出現(xiàn)了兩次，而2×（4×25）=2×4×25中，“25”只出現(xiàn)了一次？
（3）比較2×4×25和25×（2+4），每個數(shù)表示的意義是什么？2×4和2+4表示的意義相同嗎？
4.歸納總結(jié)
（1）25×（2+4）=25×2+25×4算式的左右什么變了，什么沒變？為什么可以這樣變？
（2）用自己的話說說算式的特點(diǎn)，再用自己喜歡的符號表示出來。
（3）揭示概念：這個運(yùn)算定律叫作“乘法分配律”。
……
兩組探究材料的設(shè)計，注重數(shù)學(xué)材料內(nèi)在的層次性和邏輯性，由學(xué)生已經(jīng)掌握的乘法結(jié)合律的特點(diǎn)和內(nèi)在意義引出乘法分配律，再將兩種運(yùn)算定律結(jié)合具體事例進(jìn)行了解釋和反復(fù)對比，最后在形式結(jié)構(gòu)上進(jìn)行比較。比起以往的教學(xué)，雖然沒有過多地強(qiáng)調(diào)外在形式的簡單記憶，但無論算式的外在形式怎樣變化，學(xué)生的思維始終圍繞運(yùn)算的意義進(jìn)行理解。
二、在理解中掌握內(nèi)涵
很多學(xué)生能熟記公式，但不會靈活運(yùn)用。因此，乘法分配律的教學(xué)既要注重外形結(jié)構(gòu)，更要注重內(nèi)涵本質(zhì)：a×（b+c）=a×b+a×c中，為什么等式兩邊是相等的？
1.從解決問題的角度
根據(jù)以上問題情境可知，25×（2+4）是先求練習(xí)本的總包數(shù)，再求練習(xí)本的總本數(shù)；而25×2+25×4是分別求原來2包和又采購了4包的本數(shù)，再求總本數(shù)，因此得出25×（2+4）=25×2+25×4。
2.從乘法意義的角度
以25×（2+4）=25×2+25×4為例，左邊表示6個25，右邊表示2個25加4個25，一共是6個25，因此等式兩邊是相等的。
3.從數(shù)形結(jié)合的角度
如圖1，求大長方形的面積，既可直接用“長×寬”，也可分別求出兩個小長方形的面積后再相加，因此可得25×（2+4）=25×2+25×4。
■
圖1
4.從乘法豎式計算的角度
兩位數(shù)乘兩位數(shù)，如24×12，即求12個24是多少，等于10個24與2個24的和，列式為24×（10+2）=24×10+24×2=240+48=288。（如圖2）
■
圖2
讓學(xué)生思考：三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式是不是也符合這個乘法分配律？如150×12，學(xué)生會順著前面的思路，很快得出150×12就是求12個150是多少，就是等于10個150加上2個150，即150×12=150×10+150×2=1500+300=1800。這樣，通過乘法豎式計算就能幫助學(xué)生有效鞏固乘法分配律的算理和算法。
三、在多變中更易鞏固
利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡單計算時，由于題目形式多樣，學(xué)生出現(xiàn)計算錯誤是在所難免的，尤其是在學(xué)習(xí)乘法分配律之后，如何靈活使用運(yùn)算定律，常常讓許多學(xué)生苦惱。為此，引入“一題多解”題型，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的`活性。要注意的是，練習(xí)題要少而精，要富有思維含量，從而點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，達(dá)到鞏固知識的目的。
題目：簡便計算：25× 。你能將題目補(bǔ)充完整嗎？
生1： 25×44=25×4×11=1100。
生2： 25×44=25×（40+4）=25×40+25×4=1000+100=1100。
生3： 25×99=25×（100-1）=25×100-25×1=2475。
生4： 25×102=25×（100+2）=25×100+25×2=2525。
生5：25×4+75×4=4×（25+75）=4×100=400。
生6：25×32×125=（25×4）×（8×125）=100×1000=100000。
生7：25×56+50×22
=25×56+（50÷2）×（22×2）
=25×56+25×44
=2500。
……
不同的學(xué)生就有不同的補(bǔ)充方法。接著，要求學(xué)生給這些題分一分類，并說一說是根據(jù)什么分類的。
在這一環(huán)節(jié)中，不同層次的學(xué)生可以量力而為，即使是學(xué)困生也能寫出一兩題。由于題目是學(xué)生自己設(shè)計的，這使得他們在計算時更加投入，應(yīng)用運(yùn)算定律也更加仔細(xì)，教學(xué)效果顯著。
四、在練習(xí)中拓展延伸
要讓學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題。教師就需要對教材的內(nèi)容進(jìn)行再加工，從而加深學(xué)生對知識的理解，拓寬學(xué)生的思路，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。
1.初步拓展
出示：57×102-57×2。
引導(dǎo)： 57×102與57×2各表示什么意思？57×102-57×2又表示什么意思？ 100個57是怎樣得到的？
這樣，學(xué)生很快就明白此題怎樣算才比較簡便，很快就解答出來了。在此基礎(chǔ)上教師可繼續(xù)提問：“這一個題目與我們前面學(xué)的有什么不一樣？你準(zhǔn)備怎么辦？”
學(xué)生在練習(xí)本上舉例驗(yàn)證，并相互交流，最后提煉出a×b-a×c =a×（b-c）。
2.總結(jié)延伸
出示：79×67+79×31+79×2。
有了前面的基礎(chǔ)，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)a×m+b×m+c×m= （a+b+c） ×m。
引導(dǎo)：難道只限于三個數(shù)嗎？四個數(shù)、五個數(shù)，或者更多呢？
學(xué)生紛紛動手嘗試，通過激烈的討論，得出了：
a×m+b×m = （a+b） ×m
a×m+b×m+c×m= （a+b+c） ×m
a×m+b×m+c×m+d×m= （a+b+c+d） ×m
……
通過這樣的引申，學(xué)生在深刻理解乘法分配律內(nèi)涵與外延的同時，感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力，從而產(chǎn)生了濃厚的求知欲。
五、在堅持中培養(yǎng)習(xí)慣
學(xué)生在作業(yè)中常出現(xiàn)各種錯誤，如125×25×8×4=（125×8）+（25×4）=1000+100=1100。學(xué)生看到紅紅的大叉后往往會說：“我為什么把‘×’寫成了‘+’呢？”
可見，要提高作業(yè)的正確率，良好的作業(yè)習(xí)慣是保障。教師除了要求學(xué)生認(rèn)真審題、書寫規(guī)范之外，還要培養(yǎng)學(xué)生在進(jìn)行簡算時，結(jié)合遞等式“每一步都相等”的特點(diǎn)，一步一回頭，每做一步都要思考變化的依據(jù)是什么，前后是否相等，這樣做有沒有道理，等等。通過這樣的習(xí)慣培養(yǎng)，學(xué)生的解題思路以及自我審查、自我反思等能力都會得到不斷提高。長此以往，不僅學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣得到培養(yǎng)，學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性及邏輯性也會得到發(fā)展。
一、培養(yǎng)思維能力要在教學(xué)環(huán)節(jié)點(diǎn)上下功夫
培養(yǎng)思維能力要體現(xiàn)在教學(xué)環(huán)節(jié)點(diǎn)上，不論是教學(xué)新知識，還是復(fù)習(xí)，組織學(xué)生練習(xí)，都要注意結(jié)合具體的內(nèi)容有意識地進(jìn)行培養(yǎng)。數(shù)學(xué)課上，組織游戲趣味型數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生思維的自主性。例如學(xué)習(xí)“人民幣的認(rèn)識”這一課，可以通過創(chuàng)設(shè)模擬的商場，讓學(xué)生在組內(nèi)進(jìn)行買賣活動，在充滿趣味性的自主活動中，學(xué)生不僅認(rèn)識了人民幣，而且也學(xué)會了簡單的兌換。這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)中有著更顯著的自主性。學(xué)生實(shí)實(shí)在在地體會到生活中的數(shù)學(xué)，切實(shí)感受數(shù)學(xué)與自己學(xué)習(xí)生活的密切聯(lián)系，使他們學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察身邊的事物。
在教學(xué)新知識時，通過設(shè)疑創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置一些似是而非的知識障礙，讓學(xué)生陷入“圈套”造成學(xué)生的知識沖突、矛盾，產(chǎn)生不足之感，激起思維，喚起求知欲，于是就會動腦筋尋思，引導(dǎo)學(xué)生去分析、推理，最后歸納出正確的結(jié)論。例如，教學(xué)兩位數(shù)乘法，關(guān)鍵是通過直觀引導(dǎo)學(xué)生把它分解為用一位數(shù)乘和用整十?dāng)?shù)乘，重點(diǎn)要引導(dǎo)學(xué)生弄清整十?dāng)?shù)乘所得的部分積寫在什么位置，最后概括出用兩位數(shù)乘的步驟。學(xué)生懂得算理，自己從直觀的例子中抽象、概括出計算方法，不僅印象深刻，同時發(fā)展了思維能力。
在組織練習(xí)時，要突出關(guān)鍵，抓好本質(zhì)。在教學(xué)中看到，有的老師也注意發(fā)展學(xué)生思維能力，但不是貫穿在一節(jié)課的始終，而是在一節(jié)課最后出一兩道稍難的題目來作為訓(xùn)練思維的活動，或者專上一節(jié)思維訓(xùn)練課。這種把培養(yǎng)思維能力只局限在某一節(jié)課內(nèi)或者一節(jié)課的某個環(huán)節(jié)內(nèi)，是值得研究的。當(dāng)然，在教學(xué)全過程始終注意培養(yǎng)思維能力的前提下，為了掌握某一特殊內(nèi)容或特殊方法進(jìn)行這種特殊的思維訓(xùn)練是可以的，但是不能以此來代替教學(xué)全過程發(fā)展思維的任務(wù)。培養(yǎng)學(xué)生思維能力要體現(xiàn)在年級教學(xué)上首先要明確各年級都擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生思維能力的任務(wù)。學(xué)數(shù)學(xué)就如魚和網(wǎng)，這里魚就是知識，網(wǎng)就是方法，有了這張網(wǎng)就能捕抓到更多的魚，所以“授人以漁”一直是我教學(xué)中的主旋律。
二、培養(yǎng)學(xué)生思維能力從設(shè)計好練習(xí)題中下功夫
培養(yǎng)思維能力的最有效辦法是通過解題的練習(xí)來實(shí)現(xiàn)。因此設(shè)計好練習(xí)題就成為能否促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展的重要一環(huán)。一般地說，課本中都安排了一定數(shù)量的有助于發(fā)展學(xué)生思維能力的練習(xí)題。但是不一定都能滿足教學(xué)的需要，而且由于班級的情況不同，課本中的練習(xí)題也很難做到完全適應(yīng)各種情況的需要。因此教學(xué)時往往要根據(jù)具體情況做一些調(diào)整或補(bǔ)充。
設(shè)計練習(xí)題要有針對性，要根據(jù)培養(yǎng)目標(biāo)來進(jìn)行設(shè)計。例如，為了了解學(xué)生對數(shù)學(xué)概念是否清楚，同時也為了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行判斷的能力，可以出一些判斷對錯或選擇正確答案的練習(xí)題。舉個具體例子：“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。”如要作出正確判斷，學(xué)生就要分析偶數(shù)里面有沒有質(zhì)數(shù)。而要弄清這一點(diǎn)，要明確什么叫做偶數(shù)，什么叫做質(zhì)數(shù)，然后應(yīng)用這兩個概念的定義去分析能被2整除的數(shù)里面有沒有一個數(shù)，它的約數(shù)只1和它自身。想到了2是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，這樣就可以斷定上面的判斷是錯誤的。
設(shè)計多種練習(xí)形式。通過多種練習(xí)形式，不僅有助于加深理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，而且有助于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，并激發(fā)學(xué)生思考問題的興趣。例如，講過乘法分配律，除了像課本中的練習(xí)題，給出兩個數(shù)相加再乘以一個數(shù)，要求學(xué)生應(yīng)用運(yùn)算定律寫出與它相等的式子以外，還可以給出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，讓學(xué)生判斷哪個是錯誤的；或者用3種圖形代替具體的數(shù)，寫成兩個式子，如（+）×和×+×，讓學(xué)生判斷它們是不是相等，并說明根據(jù)。這些練習(xí)都有助于培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力。
設(shè)計一些有不同解法和有多個答案的練習(xí)題，對于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性有很大益處。但是，做有不同解法的練習(xí)題時，不宜讓學(xué)生片面追求解法的數(shù)量，而要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同的思路，或運(yùn)用不同的知識去解決，并且要找出簡便的解法。
設(shè)計的練習(xí)題的難度要適當(dāng)，要是大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過努力思考運(yùn)用所學(xué)知識能夠正確解答出來的。在教學(xué)中為了發(fā)展學(xué)生思維，往往出一些超過大綱課本范圍的題目，這樣不僅會增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，而且由于難度太大，不利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也不能有效地發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和思維的靈活性。
三、培養(yǎng)思維能力從培養(yǎng)語言表達(dá)能力下功夫
人們的思維與語言是密不可分的。語言是思維的工具。心理學(xué)認(rèn)為，借助語言人們把獲得的感覺、知覺、表象加以概括，形成概念、判斷，進(jìn)行推理。通過語言表達(dá)還有助于調(diào)節(jié)自己的思維活動，使之逐步完善。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要發(fā)展學(xué)生思維能力，就要引導(dǎo)學(xué)生去分析、比較、綜合、抽象、概括、判斷、推理，而教師要了解學(xué)生這些思維活動的情況，也需要讓學(xué)生用語言表達(dá)出來，然后對學(xué)生思維的過程給予肯定或糾正。有經(jīng)驗(yàn)的教師總是注意讓學(xué)生用語言表達(dá)自己的計算過程和解題思路，結(jié)果學(xué)生思維能力有較快的提高。由于課堂教學(xué)時間有限，為了使學(xué)生都有用語言表達(dá)他們思維的訓(xùn)練機(jī)會，可以把指名發(fā)言、集體討論和同桌兩人對講等不同方式結(jié)合起來。教師還應(yīng)有意識有計劃地注意幫助差生，鼓勵差生發(fā)言，推動他們積極思維，以便促使他們的數(shù)學(xué)成績和思維能力都取得較大的進(jìn)步。
四（下）計算專練
四則運(yùn)算（-）
班級
姓名
1、口算：
11×70=
0×536=
34×5=
84×2=
35×30=
180×4=
19×6=
24÷12=
99÷11=
36÷18=
96÷6=
60÷12=
91÷13=
85÷17=
51÷17=
2、用遞等式計算：
17+83-25
41×3-76÷2
8×（54-49）-33
284-27
×4
73-6×12+34
81÷（21-12）×13
四（下）計算專練
四則運(yùn)算（二）
班級
姓名
1、口算：
15×80=
80×60=
101×40=
48×50=
17×20=
130×7=
75×2=
25×4=
52÷13=
74÷37=
54÷27=
100÷4=
86÷43=
60÷2÷5=
45×2÷9=
12÷3×4=
111×40≈
208×20≈
197×50≈
93×21≈
2、用遞等式計算：
145÷5×6
27+（18
-12）
×7
52-18×2+31
125-15÷5
（75+25）×（43-36）
120÷4-360÷4
四（下）計算專練
四則運(yùn)算（三）
班級
姓名
1、口算：
25×40=
104×4=
200×8=
12×50=
300×20=
21×7=
15×6=
13×4=
48÷12=
90÷30=
54÷27=
320÷4=
420÷21=
48÷2÷3=
30×2÷1=
12×3÷6=
482×20≈
751÷3≈
99×33≈
604÷60≈
2、用遞等式計算：
6×（4×25）
43×4-65×2
960÷5+56×20
69÷3×（85-65）
（76+54）÷5
168÷4+17×6
四（下）計算專練
四則運(yùn)算（四）
班級
姓名
1、口算：
15×80=
80×60=
101×40=
48×50=
17×20=
130×7=
75×2=
25×4=
52÷13=
74÷37=
54÷27=
100÷4=
86÷43=
60÷2÷5=
45×2÷9=
12÷3×4=
111×40≈
208×20≈
197×50≈
93×21≈
2、用遞等式計算：
13×24÷12
（119-8）÷3
（32-14）÷（36÷6）
43×4-65×2
0×54+84÷3
20+30×0-6
四（下）計算專練
四則運(yùn)算（五）
班級
姓名
1、遞等式計算：
29×（3+9）
36×13-552÷8
125－54÷9
56÷（102-94）+126
0×（35÷7）+86
（18-18）÷（18+18）
179-4×9÷6
63+24÷8-2×3=75
2、把合適的數(shù)填在里。
÷（54÷6）=8
÷3-15=4
50+×8=250
420-7×=0
四（下）計算專練
四則運(yùn)算（6）
班級
姓名
1、遞等式計算：
（75+25）×（43-36）
12×（78-69）
43×4-64÷8
78÷3+（120-95）
69÷3×（85-65）
35+24×2÷8
49÷7×（81-72）
（78-29）÷7×12
2、在算式中合適的地方添上小括號，使算式成立。
63+24÷8-2×3=66
63+24÷8-2×3=75
四（下）計算專練
四則運(yùn)算（七）
班級
姓名
1、遞等式計算：
5×80-30÷6
214÷2×3+42
200-26+480÷60
37+9×（36-12）
246÷（26+15）×2
（466-25×4）÷6
（35+46）÷（356-347）
（50-25×2）×16
2、計算109-2×（12÷4-0×8）+12×（0+3）
四（下）計算專練
四則運(yùn)算（八）
班級
姓名
1、遞等式計算：
（585-235）÷14×6
18×（79-79）÷27
510-（48+48÷6）
（395+26×5）÷23
3200÷（1208-72×14）
41×（32-14）÷6
63+（24÷8）-2×3
35+24×（24÷8）
2、在下面各算式中添上運(yùn)算符號和括號，使等號兩邊相等。
9
9
9
9
9=10
9
9
9
9
9=0
四（下）計算專練
（一）加法運(yùn)算定律
班級
姓名
計算下面各題，怎樣簡便就怎樣計算。
362+233+138
526+327+274
182+765+108
24+128+476+572
368+2649+1351
89+101+111
999+99+9
728+598
挑戰(zhàn)題：
1、用簡便方法計算：
256+249+251+246+253
2、計算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-……+1990
四（下）計算專練
（二）乘法運(yùn)算定律
班級
姓名
1、口算：
25×2=
125×2=
4×25=
25×8=
4×125=
75×4=
25×5=
125×8=
2、運(yùn)用乘法運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計算：
25×18×4
35×103
125×4×8×25
4×7×5×8
8×（125×9）
（25+12）×4
67×99+67
37×28+63×28
3、計算：
25×32×125
四（下）計算專練
簡便計算（一）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
848-172-228???????????????????????????????????????457-188-157
45+65-45+65
812-47-153-112
6×7×5×8
（13+50）×20
201×12
226×99+226
2、簡便計算：5498-1928-387-1072-1613
四（下）計算專練
簡便計算（二）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
698-432+502-368
462+74+138+126
25×16
125×72
48×35+52×35
19×37+81×37+43
25×64×125
125×48
2、請用兩種簡便算法計算125×64
四（下）計算專練
簡便計算（三）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
618-（352-272）
576-（176+280）
75+43-75+43
78×99+78
125×25×8×4
99×28
24×9-24×7
150÷25÷2
2、用簡便算法計算37×15+37×10×6+37×25
四（下）計算專練
簡便計算（四）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
398-305
694-36+42
45×405
85×32-85×28
25×34×40
60×（13+45）
750÷5÷2
1280÷5÷128
2、計算28×11111+99999×8
四（下）計算專練
簡便計算（五）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
25×24
125×24
125×32×25
42×35+58×35+67
54×47-54×37-38
125×（8+80）
3200÷4÷25
350÷14
2、計算19999+9999×9999
四（下）計算專練
簡便計算（六）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
25×（4×8）
（25+18）×4
39+52+161+42
89×101
2000÷125÷8
68×12-68×2
9+99+999+9999
（18+18+18+18）×25
2、計算111×2+222×3+333×4
小學(xué)數(shù)學(xué)計算分層專項(xiàng)練習(xí)
——四年級（下）怎樣簡便怎樣算（1）
姓名
班級
座號
等第
計算過關(guān)：怎樣簡便就怎樣算。
48×37＋63×48
99×21＋21
573－（173＋85）
125×23×8
288÷48＋12×48
3800－568÷8×10
挑戰(zhàn)聰明：怎樣簡便就怎樣計算。
11111×44＋22222×28
1－2＋3－4＋5－6＋……＋99
小學(xué)數(shù)學(xué)計算分層專項(xiàng)練習(xí)
——四年級（下）怎樣簡便怎樣算（2）
姓名
班級
座號
等第
計算過關(guān)：怎樣簡便就怎樣算。
573－174－126
53＋99×53
32×25
400＋612÷12×4
102×17
480－（32＋32÷4）
挑戰(zhàn)聰明：怎樣簡便就怎樣計算。
125×32×25
55×83＋44×83＋83
小學(xué)數(shù)學(xué)計算分層專項(xiàng)練習(xí)
——四年級（下）怎樣簡便怎樣算（3）
姓名
班級
座號
等第
計算過關(guān)：怎樣簡便就怎樣算。
79×25－39×25
101×27－27
716－（216＋45）
125×24
（650－180）×5＋560
1843－45÷9×24
挑戰(zhàn)聰明：怎樣簡便就怎樣計算。
1999＋999×999
111×2＋222×3＋333×4
小學(xué)數(shù)學(xué)計算分層專項(xiàng)練習(xí)
——四年級（下）怎樣簡便怎樣算（4）
姓名
班級
座號
等第
計算過關(guān)：怎樣簡便就怎樣算。
89×101
99×23＋23
456－（156＋120）
25×48
74×25÷74×25
（664＋68）÷（37－33）
挑戰(zhàn)聰明：怎樣簡便就怎樣計算。
（23＋23＋23＋23）×25
37×15＋66×15－3×15
小學(xué)數(shù)學(xué)計算分層專項(xiàng)練習(xí)
——四年級（上）豎式計算（除法1）
姓名
班級
計算過關(guān)：請你在規(guī)定的時間內(nèi)完成過關(guān)題目。
48×160=
319×26=
408×25=
97÷3=
272÷36=
495÷45=
972÷47=
420÷60=
380÷70=
576÷18=
930÷31=
小學(xué)數(shù)學(xué)計算分層專項(xiàng)練習(xí)
——四年級（上）豎式計算（除法2）
姓名
班級
座號
等第
計算過關(guān)：請你在規(guī)定的時間內(nèi)完成過關(guān)題目。
176×47=
25×360=
409×23=
164÷5=
158÷25=
287÷43=
590÷27=
3600÷90=
345÷23=
252÷25=
3276÷84=
小學(xué)數(shù)學(xué)計算分層專項(xiàng)練習(xí)
——四年級（上）豎式計算（除法3）
姓名
班級
座號
等第
計算過關(guān)：請你在規(guī)定的時間內(nèi)完成過關(guān)題目。
322×27=
25×679=
209×30=
264÷8=
349÷35=
587÷34=
680÷25=
8100÷90=
445÷32=
258÷38=
776÷84=
挑戰(zhàn)聰明：請你積極開動腦筋，展示你的智慧。
1
3800÷400=（
）
×
4
5
A、9……2
B、9……200
8
C、90……2
D、900……200
乘法分配律練習(xí)題
姓名：
類型一：（注意：一定要括號外的數(shù)分別乘括號里的兩個數(shù)，再把積相加）
（40＋8）×25
125×（8+80）
36×（100+50）
24×（2＋10）
86×（1000－2）
15×（40－8）
類型二：（注意：兩個積中相同的因數(shù)只能寫一次）
36×34＋36×66
75×23＋25×23
63×43＋57×63
93×6＋93×4
325×113－325×13
28×18－8×28
類型三：（提示：把102看作100＋1；81看作80＋1，再用乘法分配律）
78×102
69×102
56×101
52×102
125×81
25×41
類型四：（提示：把99看作100－1；39看作40－1，再用乘法分配律）
31×99
42×98
29×99
85×98
125×79
25×39
類型五：（提示：把83看作83×1，再用乘法分配律）
83＋83×99
56＋56×99
99×99＋99
75×101－75
125×81－125
91×31－91
乘法運(yùn)算定律綜合練習(xí)
姓名
班級
38×62+38×38
75×14—70×14
101×38
12×98
55×99+55
55×99
12×29+12
58×199+58
42×79+42
52×89
69×101—69
55×21—55
125×（80+8）
125×（80×8）
125×32×25
99×99+99
38×7+31×14
25×46+50×27
79×25+22×25—25
9999×2222+3333×3334
運(yùn)算定律與簡便計算練習(xí)題
一、判斷題。
1、27+33+67=27+100
（
）
2、125×16=125×8×2
（
）
3、134-75+25=134-（75+25）
（
）
4、先乘前兩個數(shù)，或者先乘后兩個數(shù)，積不變，這是乘法結(jié)合律。（
）
5、1250÷（25×5）=1250÷25×5
（
）
二、選擇（把正確答案的序號填入括號內(nèi)）（8分）
1、56+72+28=56+（72+28）運(yùn)用了
（
）
A、加法交換律B、加法結(jié)合律C、乘法結(jié)合律D、加法交換律和結(jié)合律
2、25×（8+4）=（
）
A、25×8×25×4
B、25×8+25×4
C、25×4×8
D、25×8+4
3、3×8×4×5=（3×4）×（8×5）運(yùn)用了
（
）
A、乘法交換律B、乘法結(jié)合律C、乘法分配律D、乘法交換律和結(jié)合律
4、101×125=
（
）
A、100×125+1
B、125×100+125
C、125×100×1
D、100×125×1×125
三、怎樣簡便就怎樣計算（35分）。
355+260+140+245
102×99
2×125
645-180-245
382×101-382
4×60×50×8
35×8+35×6-4×35
四、應(yīng)用題。
（14分）
1、雄城商場1—4季度分別售出冰箱269臺、67臺、331臺和233臺。雄城商場全年共售出冰箱多少臺？
2、第三小組六個隊(duì)員的身高分別是128厘米、136厘米、140厘米、132厘米、124厘米、127厘米。他們的平均身高是多少？
簡便計算練習(xí)
姓名：
班級：
527＋199
735－198
105×99
865－198
75×98
68×99＋68
63×88＋88×37
58×99＋58
25×49＋75×49
575－78－22
48×89＋48
367－199
56×102
75×48＋75×52
（20＋4）×25
99×11
32×（200＋3）
68×39＋68
239×101
38×25×4
42×125×8
（25×125）×8×4
78×125×8×3
（125×25）×4
（125＋25）×4
127+352+73+4
89+276+135+33
5+204+335+96
25+71+75+29
+88
243+89+111+57
399＋（154＋201）
480＋325＋75
78+53+47+2291＋89＋11
36+18+64
168＋250＋32
85＋41＋15＋59
78＋46＋154
130-46-34
263－96－104
970－132－68
400－185－15
472－126－124
168－28－72
437－137－63
244+182+56
200－173－27
124+68+76
263－96－104
970－132－68
400－185－15
472－126－124
603+421
745-305
951-395
19+199+1999
34+304+3004
798+321
325-156+675-144
8+98+998+9998
99999+9999+999+99+9+4
44＋37＋56
163＋49＋261
74＋（137＋326）
249＋402
189＋35＋211＋165
483－236－64
582－157－182
65×5×2
15×23×4
36×25
25×125×32
35×22
5×（63×2）
540÷45÷2
540÷36
216＋305
25×32
47＋236＋64
6×（15×9）
402＋359
43＋78＋122＋257
25×（26×4）
25×44
354＋（229＋46）
25×（4×12）
25×（4+12）
64×64＋36×64
99×99+99
49×99+49
49×99+49
⑴??a＋b
＝b＋a
88＋56＋12
178＋350＋22
56＋208＋144
⑵??(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
（23＋56）＋47
286＋54＋46＋4
582＋456＋544
⑶??a×b＝b×a
25×37×4
75×39×4
65×11×4
125×39×1
⑷??(a×b)×c＝a×(b×c)
19×75×8
62×8×25
43×15×6
41×35×2
⑸??a×(b＋c)
＝a×b＋a×c
136×406＋406×64
702×123＋877×702
246×32＋34×492
⑹??a×(b－c)
＝a×b－a×c
102×59－59×2
456×25－25×56
43×126－86×13
101×897－897
⑺??a－b－c＝a－(b＋c)
458－45—155
2354－456－544
68547－457－123－420
⑻??a－b＋c＝a＋c－b
4235－4067＋765
3569＋526－1569
45682－7538＋14318
⑼??a÷b÷c＝a÷(b×c)
4500÷4÷75
16800÷8÷25
248000÷8÷125
5200÷4÷6
⑽??a÷b×c＝a×c÷b
4500×102÷90
3600÷80×2
125÷20×8
250÷75×30
⑾??a－b＝a－(b＋c)＋c
429－293
1587－689
8904－1297
87905－388
⑿??a－b＝a－(b－c)－c
2564－302
25478－9006
5024－502
1251－409
⒀??a＋b＝a＋(b＋c)－c
254＋489
5021＋897
654＋793
654＋4999
⒁??a＋b＝a＋(b－c)＋c
124＋4005
1235＋607
248＋803
2005＋45687
⒂??254＋246＋744＋1054
5897＋568－897＋432
45627－258－742－1627
⒃??321×46－92×27－67×46
75×32×125
65×16×125
加法交換律：a＋b＝b＋a
加法結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
乘法交換律：a×b＝b×a
乘法結(jié)合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c
或a×（b＋c）＝a×b＋a×c
加
加
因??加
因??加
因
的性質(zhì)：a－b－c＝a－（b＋c）
帶著加減號搬家：a－b－c＝a－c－b
a－b＋c＝a＋c－b??a＋b－c＝a－c＋b
怎么簡便怎么算：
（23＋56）＋47
25×277×4
125×（3＋8）
462－83－117
8×（30×125）
3200÷25÷4
??425－38＋75
5246－（246＋694）
25×6＋25×4
360÷（18×
4）
32×105
598＋735
99×38＋38
98×34
25＋75－25＋75
48×125
一、培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維的積極性
在教學(xué)中，教師要十分注意激起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，使他們能帶著一種高漲的情緒從事學(xué)習(xí)和思考.
1.通過直觀的教具，激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維的積極性.通過具體的教學(xué)實(shí)物，能夠沖擊學(xué)生的視覺，激發(fā)他們的興趣.例如，一年級下冊《認(rèn)識圖形》單元中《認(rèn)識長方形、正方形和圓》.在課前，讓學(xué)生把自己喜歡玩的積木帶來，通過積木來認(rèn)識、學(xué)習(xí)這節(jié)課的內(nèi)容.一年級的學(xué)生，仍處在好動、好奇都特別強(qiáng)烈的階段，情緒容易調(diào)動，而積木又是他們喜歡玩的游戲，那節(jié)課的內(nèi)容一直圍繞著積木向主題展開，感覺是邊玩邊學(xué).這樣學(xué)生就處在一個想學(xué)的階段，情緒高漲，思維敏捷，思考問題的思維當(dāng)然也就開闊.
2.通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生思維的積極性.情緒是影響積極性的一個導(dǎo)火線，創(chuàng)設(shè)愉快的教學(xué)情境，也可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是學(xué)生的情緒高漲，誘發(fā)出學(xué)生創(chuàng)新的思維活動.例如，在教學(xué)《年、月、日》的認(rèn)識時，一上課可以設(shè)置一個使學(xué)生感到非常意外的問題：小明前幾天剛過了第18個生日，而他爺爺卻剛剛過了第16個生日.為什么呢？學(xué)生就會想：怎么可能呢？爺爺怎么比孫子過的生日還少呢？學(xué)生的求知欲馬上就被調(diào)動起來，很快就進(jìn)入主題的探究.
3.通過多媒體教學(xué)，激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維的積極性.除了創(chuàng)設(shè)出來的愉快情境外，也可以利用多媒體輔助教學(xué)，因?yàn)槎嗝襟w是集聲、光、動畫為一體，化抽象為具體，變枯燥為有趣，化靜為動，這些對學(xué)生思維的發(fā)展，提供了良好的環(huán)境.例如，在教學(xué)《兩位數(shù)減一位的退位減法》中的“23-8”時，計算機(jī)畫面上首先出現(xiàn)小棒，兩捆加三根怎樣減去八根，學(xué)生可以先自己先動手操作，試一試怎樣減，探求方法.然后，按一下正確答案，出現(xiàn)的畫面就會是兩捆零三根小棒和一只小熊，按照學(xué)生擺的方法，小熊把一捆小棒拆開，然后和三根小棒放在一起，去掉八根小棒，等于十五根小棒.小熊邊做邊說，再加上適當(dāng)音響和音樂.在這個過程學(xué)生可以親自操作，可以親眼目睹這個過程，認(rèn)識兩位數(shù)減一位數(shù)退位減法的關(guān)鍵就是不夠減的向前一位借一，在個位上加十再減.這一系列的動態(tài)過程中，學(xué)生可以反復(fù)操作，抓住重點(diǎn)，從而得到正確的結(jié)論，學(xué)會知識，完成教學(xué)任務(wù).這一環(huán)節(jié)，借助多媒體的色彩、聲音、動畫演示，不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還可以啟發(fā)學(xué)生的思維，提高教學(xué)質(zhì)量.
二、設(shè)計好練習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力
培養(yǎng)學(xué)生的思維能力同學(xué)習(xí)計算方法、掌握解題方法一樣，也必須通過練習(xí).而且思維與解題過程是密切聯(lián)系著的.培養(yǎng)思維能力的最有效辦法是通過解題的練習(xí)來實(shí)現(xiàn).設(shè)計好練習(xí)題就成為能否促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展的重要一環(huán).一般的說，課本中都安排了一定數(shù)量的有助于發(fā)展學(xué)生思維能力的練習(xí)題.但是，不一定都能滿足教學(xué)的需要，而且由于班級的情況不同，課本中的練習(xí)題也很難做到完全適應(yīng)各種情況的需要.因此教學(xué)時往往要根據(jù)具體情況做一些調(diào)整或補(bǔ)充.
1.設(shè)計練習(xí)題要有針對性.要根據(jù)培養(yǎng)目標(biāo)來進(jìn)行設(shè)計.例如，為了了解學(xué)生對數(shù)學(xué)概念是否清楚，同時也為了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行判斷的能力，可以出一些判斷對錯或選擇正確答案的練習(xí)題.舉個具體例子：“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).”如要作出正確判斷，學(xué)生就要分析偶數(shù)里面有沒有質(zhì)數(shù).而要弄清這一點(diǎn)，要明確什么叫做偶數(shù)，什么叫做質(zhì)數(shù)，然后應(yīng)用這兩個概念的定義去分析能被2整除的數(shù)里面有沒有一個數(shù)，它的約數(shù)只1和它自身.想到了2是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，這樣就可以斷定上面的判斷是錯誤的.
2.設(shè)計多種練習(xí)形式.通過多種練習(xí)形式，不僅有助于加深理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，而且有助于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，并激發(fā)學(xué)生思考問題的興趣.例如，講過乘法分配律，除了像課本中的練習(xí)題，給出兩個數(shù)相加再乘以一個數(shù)，要求學(xué)生應(yīng)用運(yùn)算定律寫出與它相等的式子以外，還可以給出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，讓學(xué)生判斷哪個是錯誤的；或者用3種圖形代替具體的數(shù)，寫成兩個式子，如（+）×和×+×，讓學(xué)生判斷它們是不是相等，并說明根據(jù).這些練習(xí)都有助于培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力.
一、巧變教材，分解難點(diǎn)，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)
教材是傳播知識的載體，是落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源，但是即使是新教材，因?yàn)樗摹捌毡樾浴焙汀耙话阈浴钡奶攸c(diǎn)，決定了我們在具體的教學(xué)過程中必須要根據(jù)教學(xué)對象的不同，靈活有效地處理好教材。
案例一：等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”的教學(xué)：對于等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”這一節(jié)課的教學(xué)，按教材處理是通過教具讓學(xué)生掌握等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高所在的直線都是三角形的對稱軸的知識，亦即等腰三角形的“三線合一”，然后再用全等的知識進(jìn)行幾何的推理論證，最后進(jìn)行性質(zhì)的運(yùn)用。但是筆者發(fā)現(xiàn)采用該方法后，很多學(xué)生不會應(yīng)用“三線合一”的性質(zhì)解決問題，于是筆者改變策略，一開始讓每個學(xué)生任意作一個三角形，然后再在你所作的三角形的同一邊上作角平分線、中線和高，隨后，找出下面三個學(xué)生的結(jié)果讓大家觀察和比較，并提出問題：為什么第三個同學(xué)的三角形的三條重要線段會重合呢？第三個同學(xué)所畫的三角形是什么三角形呢？然后老師和同學(xué)共同總結(jié)出：等腰三角形的“三線合一”。最后用三角形全等的知識進(jìn)行幾何推理。
這節(jié)課經(jīng)過這樣改動后，對“三線合一”的理解更深刻了，知道在等腰三角形的前提下，只要知道其中一線，就可以推導(dǎo)出其他兩線的結(jié)論，在作業(yè)中也會應(yīng)用“三線合一”解決問題了。
二、靈活地處理教材，讓學(xué)生學(xué)得更自然
教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，創(chuàng)造性地處理、駕馭教材，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，通過更換素材，增加編排，改變編排等方式，對教材進(jìn)行有效再加工，進(jìn)一步發(fā)揮教材的示范作用和例題的示范作用。
案例二：去括號法則的教學(xué)：筆者曾到一個學(xué)校聽課，內(nèi)容為“去括號法則”。教師講完法則后出了一組練習(xí)題，坐在旁邊有三個學(xué)生在做練習(xí)：“去括號-3（2a-3ab+6）”。他們分別出現(xiàn)了以下解題過程：
學(xué)生甲：-3（2a-3ab+6）= -2a+3ab-6；
學(xué)生乙：-3（2a-3ab+6）= -32a+3ab-6；
學(xué)生丙：-3（2a-3ab+6）= -（6a-9ab+18）= -6a+9ab-18.
顯然學(xué)生甲和學(xué)生乙的解法都是錯誤的，而學(xué)生丙的解法才正確，為了應(yīng)對甲、乙同學(xué)這樣的思維誤區(qū)，筆者采用了對比實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行研究。在所教的兩個班分別采用“用去括號法則”去括號和“用乘法分配律”去括號的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，用乘法分配律去括號比用去括號法則去括號正確率高而且解題速度快。
去括號法則本質(zhì)上是乘法分配律的應(yīng)用，因而直接用乘法分配律去括號是回歸到本質(zhì)。用乘法分配律去括號時沒有中間轉(zhuǎn)化的環(huán)節(jié)，可直達(dá)結(jié)果，從而減少了出現(xiàn)錯誤的機(jī)會，提高運(yùn)算的正確率。
三、創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識
目前教材正在進(jìn)行改革中，需要我們的教師建設(shè)性、創(chuàng)造性的使用教材，創(chuàng)設(shè)出適合學(xué)生開展有效學(xué)習(xí)的問題情境。情境創(chuàng)設(shè)中，我們要把社會中心的“用”，學(xué)科中心的“序”和兒童中心的“趣”很好的結(jié)合起來。
案例三：“平方差公式”的教學(xué)：在學(xué)習(xí)“平方差公式”一課時，可以創(chuàng)設(shè)如下的問題情境：從前，有一個莊園主，把一塊邊長為米的正方形土地租給老王種植，第二年，他對老王說：“我把這塊地的一邊減少3米，相鄰的另一邊增加3米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”老王一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)道：“好吧。”回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說：“老王，你吃虧了！”老王非常吃驚。聰明的你知道老王吃虧了嗎？在學(xué)生被生活化的問題所級引，而又感到疑惑，并爭先恐后地表達(dá)自己的見解時，自然地引入新課――平方差公式。
問題情境要符合學(xué)生的認(rèn)知情況，問題不能太難，也不能太易，要做到直觀鮮明，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和求知欲，從而調(diào)動學(xué)生思維的積極性。
四、巧變課本習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)靈活性
思維的靈活性是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)，在課堂練習(xí)時，如果教師的訓(xùn)練方式單一，習(xí)題的形式雷同，就會使孩子的思維趨于僵化，形成負(fù)遷移。
案例四：在學(xué)習(xí)“全等三角形”時，教師出示題目。
如圖，在ABC中∠BAC=90°，AB=AC，過點(diǎn)A任意作一條直線l（l不與邊BC相交），并作BDl，CEl，垂足分別為D、E，試說明線段DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系。因?yàn)閷D形很熟悉，學(xué)生很快得出“DE=BD+CE”。此時教師不能認(rèn)為此題已解決，應(yīng)設(shè)置如下變式訓(xùn)練：
（1）如果條件中的三個90°都改為60°，這三條線段之間的關(guān)系還成立嗎？學(xué)生仿照前面找相等角的方法，同樣可證出DAB≌ECA，進(jìn)而得出這三條線段的關(guān)系。
（2）如果把60°改為140°呢，是否也有相同結(jié)論？學(xué)生思考片刻后，易得到肯定回答。
（3）結(jié)合（1）、（2），你有何發(fā)現(xiàn)？此時，學(xué)生豁然開朗，很自信地回答：“當(dāng)∠BDA=∠BAC=∠AEC時，DE=BD+CE都是成立的。”
教師從一道例題出發(fā)，營造了一個生動、動態(tài)的探究情境，通過變式訓(xùn)練和提問，學(xué)生不僅熟悉了圖形的特征，掌握了方法，而且對所學(xué)知識達(dá)到“知其然，又知其所以然”的境界。
教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的資源，是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的橋梁，但教材只是一個文化中介，不是唯一的教學(xué)依據(jù)，所以，教師教學(xué)的重點(diǎn)不應(yīng)是教材內(nèi)容的完成，而應(yīng)充分利用教材，整合資源，為學(xué)生提供合適的學(xué)習(xí)素材，合理的想象空間，積極探索的情境，以便使學(xué)生由能學(xué)習(xí)真正轉(zhuǎn)為會學(xué)習(xí)。
參考文獻(xiàn)：
[1]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編：初級中學(xué)課本《代數(shù)》第一冊[M].人民教育出版社，1989年10月第二版
[2]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編：九年義務(wù)教育三年制初級中學(xué)教科書《代數(shù)》第一冊[M].人民教育出版社，1993年10月第一版
[3]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編：義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)試驗(yàn)課本《代數(shù)》第一冊 [M].人民教育出版社，1994年10月第一版
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)；分層復(fù)習(xí)
六年級數(shù)學(xué)期末總復(fù)習(xí)是一學(xué)期教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)，是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握、鞏固和運(yùn)用所學(xué)知識的系統(tǒng)化過程。這個過程對學(xué)生來說，知識容量多、跨度大、知識的綜合性強(qiáng)，再加上進(jìn)入總復(fù)習(xí)階段后，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之間的差異越來越大，如何應(yīng)對這種差異，面向全體學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，成為我們探討的重點(diǎn)。在我們看來，學(xué)生沒有優(yōu)差區(qū)別，差會變優(yōu)，優(yōu)會變更優(yōu)，只是他們的能力還沒有充分發(fā)揮出來。針對學(xué)生的特點(diǎn)，我根據(jù)學(xué)生的差異性，實(shí)行因材施教，采取分層復(fù)習(xí)。現(xiàn)在簡述如下：
一、實(shí)施分層復(fù)習(xí)的原則
（一）差異性原則。
分層復(fù)習(xí)的目的是尊重學(xué)生間的差異。根據(jù)現(xiàn)代心理學(xué)研究把學(xué)生的差異分為可變差異和不變差異。可變差異就是指學(xué)生在知識儲備、學(xué)習(xí)策略、態(tài)度與技能等方面的差異，這種差異是習(xí)得的，是可以改變的。不變差異是指學(xué)生在個性特征、興趣愛好等方面的差異。相對于可變差異而言，他們在短時間內(nèi)不可改變，這些差異是學(xué)生的優(yōu)勢差異，我們要利用學(xué)生的這些特質(zhì)促進(jìn)學(xué)生個體優(yōu)勢的發(fā)展，做到學(xué)有專長。基于這些認(rèn)識，我采用了“正視差異、利用差異、發(fā)展差異”的原則。
（二）主體性原則。
在實(shí)施分層復(fù)習(xí)的各個環(huán)節(jié)，要充分落實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。實(shí)施分層復(fù)習(xí)、照顧學(xué)生差異的目的就是為了更好地體現(xiàn)和發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)習(xí)成為學(xué)生“我愿意、我能夠、我深信”能做好的事情，也只有使分層復(fù)習(xí)真正體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，分層復(fù)習(xí)的效果才能到得明顯地提高。
二、實(shí)施分層復(fù)習(xí)的一些粗淺做法
（一）回顧整理，準(zhǔn)確分層。
六年級數(shù)學(xué)知識具有很強(qiáng)的邏輯性、系統(tǒng)性，它們之間往往都是縱向發(fā)展。橫向聯(lián)系著的，復(fù)習(xí)時，我根據(jù)知識本身的邏輯順序和內(nèi)在聯(lián)系，把這本書中的知識體系砍成四大塊：概念性的基礎(chǔ)類、計算類、解決問題類、能力挑戰(zhàn)類。明確知識結(jié)構(gòu)，從而給學(xué)生更好的分層，使每一層學(xué)生都能深刻地理解和掌握應(yīng)該學(xué)會的知識。
為了準(zhǔn)確地把握學(xué)生層次，我根據(jù)一學(xué)期來，全班每一個學(xué)生的智力和非智力兩個方面不同層次的學(xué)習(xí)情況，把全班學(xué)生相對分成A、B、C三個層次。而學(xué)生所處的層次不是一成不變的，不同類的知識分層也要相應(yīng)的調(diào)整，采用了動態(tài)的觀點(diǎn)、發(fā)展的眼光觀察學(xué)生，隨時注意學(xué)生的考試成績、課堂表現(xiàn)、課后作業(yè)等，合理進(jìn)行調(diào)整，以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。
（二）突出比較，目標(biāo)分層。
我把每個單元的知識要點(diǎn)穿線整理，把典型題列成表格。一題多問、一題多改、一題多解等各種形式編排復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)時，我除了要精心設(shè)計問題，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生把教材直接給出的知識內(nèi)容進(jìn)行比較，如：《運(yùn)算定律與簡便計算》中的運(yùn)算定律整理后，例出多種題型進(jìn)行對比，便與掌握，在乘法分配律的復(fù)習(xí)中我就是這樣做的。因?yàn)槌朔ǚ峙渎傻淖冃晤}非常多，學(xué)生往往因?yàn)槔斫獠煌福霈F(xiàn)一些錯誤。在這個知識點(diǎn)上我整理出了這些題型：①a×c+b×c=（a+b）×c；②（a+b）×c=a×c+b×c；③47×201=47×（200+1）；④47×199=47×（200-1）；⑤47×99+47；⑥47×2+47×5+47×3=47×（2+5+3）；⑦47×18-47×5-47×3=47×（18-5-3）。還把教材中那些以文字作提示的內(nèi)容也進(jìn)行了比較，并且對復(fù)習(xí)中的一些例題或習(xí)題也應(yīng)有意識地要求學(xué)生進(jìn)行變換條件和問題的練習(xí)，讓學(xué)生在同中求異、異中求同的過程中，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，提高學(xué)生的辨析能力。
在對知識進(jìn)行比較中，方便了對知識目標(biāo)的分層，就是將原來統(tǒng)得過死的單一性教學(xué)目標(biāo)改為因人而異的彈性目標(biāo)。復(fù)習(xí)時，要以學(xué)困生“吃得了”，中等生“吃得好”，優(yōu)秀生“吃得飽”為原則。對不同層次的學(xué)生，提出不同的學(xué)習(xí)要求，讓“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，這是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的新理念。就拿剛才的乘法分配律的教學(xué)來說吧，C層學(xué)生只要求把基本的題型①、②兩種掌握了就可以，掌握準(zhǔn)確，練習(xí)扎實(shí)；B層學(xué)生要求掌握的不但有①、②基本題型，還要掌握③、④、⑤三種變形題；A層學(xué)生就已經(jīng)有能力完全掌握①-⑦的所有題型，對比其中的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，把知識學(xué)透徹。在以前的復(fù)習(xí)課堂上，學(xué)生進(jìn)行練習(xí)時，經(jīng)常會看到這樣的情況，學(xué)困生反應(yīng)遲鈍，解題速度慢，難以在規(guī)定的時間內(nèi)把題做完。而優(yōu)等生則反應(yīng)靈敏，解題速度快，完成之后無事可干，浪費(fèi)了不少學(xué)習(xí)時間。我根據(jù)這一實(shí)際，對學(xué)困生只提出一般要求，用一種基本的方法解答可以了，只要求完成必做題。而對于優(yōu)等生則要求能用多種方法解答的，盡量要用多種方法，還要求找出最佳方法。我在實(shí)際的復(fù)習(xí)中，以前存在的一些問題的確得到了有效地解決。
（三）知識綜合，方法分層。
復(fù)習(xí)中使學(xué)生提高綜合運(yùn)用知識和靈活使用解題方法的能力，是復(fù)習(xí)的最終目的，因此，既要有一定數(shù)量的基本練習(xí)題和稍作變化的習(xí)題，又要有一些綜合性練習(xí)題和富有思考性的習(xí)題，做到有層次，有坡度，具有一定的彈性，以適應(yīng)不同層次學(xué)生發(fā)展的需要。如：①0.7中有（ ）個0.1。②0.7中有（ ）個0.01。③0.7在（ ）和（ ）兩個整數(shù)之間。④在0.7與0.9之間有（ ）個一位小數(shù)。⑤在0.7與0.9之間有（ ）個小數(shù)。把知識綜合起來復(fù)習(xí)，難度加大，方法的分層由為重要了。優(yōu)等生的復(fù)習(xí)以自主梳理結(jié)合教師的點(diǎn)撥；中等生的復(fù)習(xí)以小組合作進(jìn)行梳理結(jié)合教師的講解；學(xué)困生則是以教師的輔導(dǎo)梳理回憶再現(xiàn)學(xué)過的知識，并結(jié)合優(yōu)生的幫助進(jìn)行復(fù)習(xí)。
（四）因材施教，評價分層。
【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)
我國小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展存在一些問題，不少學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力未得到充分開發(fā)，或發(fā)展緩慢，這既有學(xué)生自己的原因，也有教師教學(xué)方面的原因。而學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)、發(fā)展不僅關(guān)系到學(xué)生今后人生的命運(yùn)，更是關(guān)系到一個民族、國家的命運(yùn)。因而，筆者就此問題進(jìn)行了分析、探究。
一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)生思維能力培養(yǎng)的重要性
學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)、發(fā)展是社會發(fā)展的需要，也是一個民族、國家發(fā)展的需要，正因如此，我國教育大綱將數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)、發(fā)展作為最重要的教育目標(biāo)之一，它也是數(shù)學(xué)課程最重要的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)課程的核心，也是數(shù)學(xué)能力中的核心能力，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必須具備的能力。這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中高度重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與發(fā)展，使他們的數(shù)學(xué)思維具有靈活性、邏輯性、多向性、深刻性。
二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)生思維能力培養(yǎng)
（一）培養(yǎng)數(shù)學(xué)比較思維能力
俄國教育家烏申斯基說“比較是一切理解和思維的基矗”。比較也是唯物辯證法的重要思維意識，一切事物因比較而存在，有好才有壞，有大才有小，有新才有舊……比較在數(shù)學(xué)思維能力中同樣很重要。通過比較，才能使一些相似的概念、法則原理、推理、研究對象等被區(qū)分得清清楚楚，學(xué)生才能把握各自的本質(zhì)屬性，理解才更深刻，邏輯思維才更嚴(yán)密與清晰。
如在認(rèn)識毫米、厘米、分米、米這幾個長度單位時，我讓學(xué)生用尺親自測量自己頭發(fā)的粗細(xì)、數(shù)學(xué)教材的長與寬、自己的身高，通過不同長度單位在實(shí)際物體上的展示，即通過實(shí)際物體的長短，使學(xué)生深刻認(rèn)識了這幾個長度單位所代表的數(shù)量，做填寫長度單位的題目時正確率也很高。
我在教學(xué)位置與方向知識點(diǎn)時，一些學(xué)生總把畫在紙上的“上北下南左西右東”與實(shí)際生活中辯論方向的方法弄混。為此，我專門把這個題目拿出來在全班討論，讓學(xué)生自己找出在實(shí)際生活中怎樣正確辯認(rèn)方向的方法，并把它畫在紙上變成地圖。在學(xué)生遇到困難時，我適度點(diǎn)撥，告訴學(xué)生可利用太陽從東邊升起，在西方落下的意識來尋找實(shí)際生活中怎么正確辯認(rèn)方向的方法，而不告訴他們答案。學(xué)生最終自己弄出了正確答案，并深刻地理解了畫在紙上的地理位置方向規(guī)則與實(shí)際生活中正確辨認(rèn)方向的方法的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也得到了很好的培養(yǎng)、發(fā)展。
（二）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力
創(chuàng)新思維是一個民族、國家在當(dāng)今競爭日益激烈的環(huán)境中立于不敗之地的法寶，非常重要，創(chuàng)新思維也屬于數(shù)學(xué)思維能力的一個極重要的方面，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力，能極大推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，同時培養(yǎng)了學(xué)生的探索、創(chuàng)新精神。
一次，在講了乘法分配律后，我在黑板上出相關(guān)練習(xí)題時故意板書錯誤“（9+6）÷3”，目的是解決許多同學(xué)在做相關(guān)題時不自覺地運(yùn)用乘法分配律變換的“除法分配律”問題。結(jié)果，一個學(xué)生興沖沖地說我把符號弄錯了，應(yīng)是乘號；另一個學(xué)生則胸有成竹地說“老師，我能很快計算出結(jié)果”。我讓后者上黑板演述。他很快搞定：
（9+6）÷3
=9÷3+6÷3
=3+2
=5
我再讓同學(xué)們按運(yùn)算的正常順序計算一遍，看結(jié)果是否一樣。結(jié)果是一樣的。學(xué)生爭相說發(fā)現(xiàn)了一個新規(guī)律――除法分配律。我沒立即否定他們，也沒立即打擊他們，而是再給學(xué)生出了一道類似的題目。學(xué)生也很快用這兩種方法計算出來，計算結(jié)果完全一樣。之后我連著出了另外類似兩題“9÷（1+3）”“15÷（3+5）”，學(xué)生仍按上述方法做，卻發(fā)現(xiàn)兩種算法結(jié)果不一樣。我順勢啟發(fā)學(xué)生“我們剛學(xué)了乘法分配律，除法分配律存在嗎？”并讓學(xué)生自己討論找出原因。每個班上都有聰明的學(xué)生，他們找到了答案，除法是乘法的逆運(yùn)算，除法不存在分配律，只有當(dāng)除數(shù)相同時，才能運(yùn)用類似乘法的分配律。
（三）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力
發(fā)散思維是產(chǎn)生創(chuàng)新思維的一種極重要途徑，它也是創(chuàng)新思維能力的重要組成部分，同時是數(shù)學(xué)思維能力極重要的一個方面，而且創(chuàng)新思維也屬于數(shù)學(xué)思維能力的一個極重要的方面。一個數(shù)學(xué)問題，可能有多種解決方案，通過發(fā)散思維從不同角度、不同途徑找到不同的解決方案，從而找出與他人不同的解決方案，在這個過程中，會有新發(fā)現(xiàn)，若在人生中，可能會發(fā)現(xiàn)人生成功的機(jī)會從而成就人生。這樣做，也會使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力從橫向、縱向兩方面拓展，即拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的廣度與深度。
如，一次課堂上，我給學(xué)生出了這樣一道應(yīng)用題“一個人騎一輛自行車上午3小時行駛了90千米，照這樣的行駛速度，下午他再騎自行車行駛2小時，這天他騎自行車一共行駛了多少千米？”大多數(shù)學(xué)生用了這兩種解法“90÷3×（3+2）=150”“90÷3×2+90=150”。我激勵學(xué)生找出第三種解法，聰明學(xué)生在班上總有的，他上黑板寫了出來“90×2-90÷3”。我再次讓學(xué)生討論這三種解法哪種最簡便最不易出錯，學(xué)生答第一種，我問學(xué)生第三種方法的可取之處是什么，學(xué)生說創(chuàng)新性，比較隱秘，能開發(fā)人的創(chuàng)新思維，產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，取得人生成功的機(jī)會。
通過這堂課，我使學(xué)生明白了發(fā)散思維的意義所在，學(xué)生也學(xué)會了如何運(yùn)用發(fā)散思維。
小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)、發(fā)展事關(guān)學(xué)生今后學(xué)業(yè)與人生的命運(yùn)，事關(guān)我國的各方面發(fā)展，教師必須在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中把它作為數(shù)學(xué)的核心能力來探索、研究最佳解決方案。
【參考文獻(xiàn)】
一、求新——提供新鮮的東西引起興趣
興趣是學(xué)習(xí)的動力。當(dāng)學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣時，學(xué)生的心理活動就會處于激活狀態(tài)，富有滿足感和愉悅感 ，從而積極性高漲，思維活躍，注意力集中，“我要學(xué)”的意識增強(qiáng)。這時，學(xué)生的被動學(xué)習(xí)將會轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃忧笾瑓拰W(xué)情緒將會轉(zhuǎn)變?yōu)闃穼W(xué)欲望。因此，從學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣入手，創(chuàng)設(shè)新型的教學(xué)情境，正是“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者”教育思想在教學(xué)學(xué)科中的具體體現(xiàn)。我們要積極探索，大力倡導(dǎo)。在練習(xí)中也要體現(xiàn)一個“新”字。
（一）題型新
教材中的題型設(shè)計，雖然具有一定的科學(xué)性，但就習(xí)題本身而言，練習(xí)形式比較單調(diào)。因此，在挖掘快樂因素上主要應(yīng)在組織完成練習(xí)的形式和對習(xí)題處理方法上下功夫。可以根據(jù)兒童的好動、好勝、好表現(xiàn)的天性，讓學(xué)生“動”，使學(xué)生在活動中學(xué)，在活動中得到快樂；讓學(xué)生“比”，使學(xué)生在競爭中不斷前進(jìn)；讓學(xué)生“炫”，使學(xué)生在考別人中進(jìn)步；讓學(xué)生“用”，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價值。所以在創(chuàng)設(shè)題型時，要關(guān)注學(xué)生，讓他們快樂學(xué)習(xí)。如有些問題可以引入競爭機(jī)制，有些習(xí)題用討論、爭議的方法更適合學(xué)生的口味，除此之外，在練習(xí)中根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況還可以創(chuàng)設(shè)游戲性，娛樂性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)游藝宮，腦筋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)彎、數(shù)學(xué)燈謎會，幸運(yùn)大抽獎，看誰中狀元等練習(xí)。在一節(jié)課里，根據(jù)教學(xué)需要如果給學(xué)生恰到好處的創(chuàng)設(shè)一兩處快樂學(xué)習(xí)的激發(fā)點(diǎn)，就能克服學(xué)生厭學(xué)的心理障礙，使單調(diào)的數(shù)學(xué)習(xí)題趣味化和多樣化，真正起到優(yōu)化教學(xué)的目的。這不僅有助于加深理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，而且有助于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，并激發(fā)學(xué)生思考問題的興趣。例如，講過乘法分配律，除了像課本中的練習(xí)題，給出兩個數(shù)相加再乘以一個數(shù)，要求學(xué)生應(yīng)用運(yùn)算定律寫出與它相等的式子以外，還可以給出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，讓學(xué)生判斷那個是錯誤的；或者用3種圖形代替具體的數(shù)，寫成兩個式子，如（＋）×和×＋×，讓學(xué)生判斷它們是不是相等，并說明根據(jù)。這些練習(xí)都有助于培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力。真正做到讓每一個學(xué)生“動”起來，讓學(xué)生的思維“飛”起來，讓我們的課堂“活”起來，充分體現(xiàn)在現(xiàn)代課堂教學(xué)活動中教學(xué)要開放，課堂要開放，學(xué)生思維要開放。
（二）題材新
數(shù)學(xué)是一門學(xué)科，更是一種文化。因此，數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計要走出數(shù)學(xué)學(xué)科，讓學(xué)生去領(lǐng)略另外學(xué)科的精彩。設(shè)計時綜合學(xué)生所學(xué)科目，確立了以學(xué)科知識為基礎(chǔ)，以情景主題為背景，適時的穿插另外學(xué)科知識，豐富發(fā)展數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科以外的知識，從而領(lǐng)略數(shù)學(xué)的精彩。如學(xué)習(xí)《百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題》時，設(shè)計這樣兩道練習(xí)：①春池春水滿，春時春草生。春人飲春酒，春鳥戲春風(fēng)。這首詩中“春”字比全詩總字?jǐn)?shù)少（ ）%。②請用百分?jǐn)?shù)表示下列成語:百里挑一（ ）；百發(fā)百中（）。這兩題都融合了語文知識，在解決數(shù)學(xué)問題的同時，也學(xué)到了古詩和成語的知識，學(xué)生的興趣更為濃厚。
（三）方式新
素質(zhì)教育的一個重要特點(diǎn)是面向全體學(xué)生。在我們平時的練習(xí)過程中，練習(xí)形式一般有四種即一問一答、板演、筆頭和操作。這樣的形式不能讓全體學(xué)生一起思考，一起練習(xí)。如果我們精心設(shè)計，讓全體學(xué)生都加入到這樣的練習(xí)形式中，就能體現(xiàn)出教學(xué)的全體性。
二、求活——挖掘習(xí)題本身的內(nèi)在力量保持興趣
數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維能力。靈活的思維能力表現(xiàn)在能從不同角度，運(yùn)用不同的方法，對題目進(jìn)行分析推理，從而獲得不同的結(jié)果。這種思維能力的培養(yǎng)，需要開放式的課堂結(jié)構(gòu)，需要教師設(shè)計出靈活性較大的練習(xí)題。
（一）空間的靈活性
我們課堂教學(xué)可以讓學(xué)生離開座位，教室的每個角落，每個同學(xué)都可以作為學(xué)生的練習(xí)場地與合作伙伴，也可以讓學(xué)生走出教室，走向生活與社會。作為自然科學(xué)基礎(chǔ)課的數(shù)學(xué)只有實(shí)現(xiàn)回歸自然，融入生活，教育的多向性目標(biāo)才能實(shí)現(xiàn)。
一、三心――“用心”、“耐心”、“花心”
1.學(xué)會“用心”----用心創(chuàng)設(shè)互動的思維情境
眾所周知，人的思維在現(xiàn)成的知識結(jié)論中不活躍，而在形成結(jié)論的整個探索過程中較活躍。因此，教師要巧設(shè)各種有效的思維情境，誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的思維，調(diào)動起學(xué)生自主地參與知識的獲得過程、問題的解決過程，從而對問題深入地理解。
案例：《圓的認(rèn)識》教學(xué)片斷
師：大家都知道畫圓有種特定工具
生：圓規(guī)。
師：同學(xué)們都準(zhǔn)備了一把圓規(guī)，你能試著用它在白紙上畫出一個圓嗎？
生：能。
學(xué)生嘗試用圓規(guī)畫圓，交流，明確圓規(guī)畫圓的基本方法。
師：如果老師今天忘記帶圓規(guī)卻需要畫一個圓？你能幫我想一個好辦法嗎？
師：雖然忘記帶圓規(guī)，但老師身邊有很多其他的材料。你能利用這些材料，試著畫出一個圓嗎？
學(xué)生以小組為單位，利用手中的工具和材料畫圓。
……
2.學(xué)會“耐心”----耐心培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣
所謂思維習(xí)慣，是指人的思維活動在不斷的發(fā)展過程中逐步形成的一種自覺性、習(xí)慣性思維方式，是思維品質(zhì)的重要組成部分。我們都知道學(xué)生的思維習(xí)慣，不是靠一天兩天就能培養(yǎng)出來的，需要長期的努力與堅持。思維訓(xùn)練的最佳途徑是由學(xué)生自己主動去思考，因?yàn)閷W(xué)生主動思考過的理解最深，也最容易掌握知識的內(nèi)容、規(guī)律和聯(lián)系。做為教師，我們不可能代替學(xué)生去思維。我們能做的是耐心的引導(dǎo)學(xué)生慢慢養(yǎng)成思維的習(xí)慣。
3.學(xué)會“花心”----公平公正的對待每個孩子
由于學(xué)生的生理發(fā)展、心理發(fā)展的差異，以及環(huán)境教育的影響，學(xué)生之間在思維能力上勢必存在著一定的差異。我們發(fā)現(xiàn)每一個學(xué)生的思維培養(yǎng)過程是一個漸變的過程，都要經(jīng)過“自我認(rèn)識――獨(dú)立思考――求進(jìn)”的過程，因此教師要耐心地對待思維能力暫時落后的學(xué)生，并經(jīng)常鼓勵他們。賞識+嘗試=成功。只要我們對學(xué)生有信心，有耐心，持之以恒，循循善誘，任何學(xué)生的思維總有“發(fā)光”的時候。教師的“花心”，其實(shí)是對學(xué)生的一種公正的喜愛。
二、二意――“有意”、“創(chuàng)意”
1.學(xué)會“有意”――有意識的去訓(xùn)練學(xué)生的思維能力
嬰兒需要在大人的有意訓(xùn)練下才能真正學(xué)會自己走路。思維能力的訓(xùn)練也應(yīng)該是一種有目的、有計劃、有系統(tǒng)的教育活動。教師要結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)過程有意識地搭建一些能促進(jìn)思維發(fā)展的“腳手架”，讓學(xué)生在思維活動中掌握思維方法，促使思維能力不斷上“臺階”。
①讓學(xué)生在獨(dú)特見解的訴說中思考
特級教師常說的一句話就是：教師的施教之功，貴在引路，妙在使學(xué)生主動思考。作為一名普通的數(shù)學(xué)教師也要學(xué)會在數(shù)學(xué)課堂中精心設(shè)計能激發(fā)學(xué)生思維火花和求知欲望的懸念，讓每個層次的學(xué)生在積極思考后用自己的語言敘述思考的過程和結(jié)果。學(xué)生對獨(dú)特見解的訴說過程對教師來說是獲取學(xué)生思維的最佳方式，對學(xué)生來說則是思維能力提高的最佳途徑。這樣的過程看似要花些時間，但它常常可以使學(xué)生的思維在不斷交叉、撞擊中，生成新的火花。
案例：《圓的認(rèn)識》一課中的“畫圓”環(huán)節(jié)
教師要求學(xué)生在紙上嘗試用圓規(guī)畫一個圓。結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)了如下一些問題：起點(diǎn)和終點(diǎn)不能重合；畫出的圓成了橢圓；將弧線畫得時隱時現(xiàn)，粗細(xì)不勻。
教師將學(xué)生的作品投影后，質(zhì)疑：為什么會出現(xiàn)這樣的情況呢？請仔細(xì)思考后，和你的同桌交流一下你認(rèn)為出錯的原因是什么。
生1：我認(rèn)為畫圓時，起點(diǎn)和終點(diǎn)不能重合，可能是因?yàn)閳A心沒有固定好。畫圓時，圓規(guī)的一腳離開了圓心。
生2：我認(rèn)為將圓畫成了橢圓肯定是因?yàn)榘霃桨l(fā)生了變化。畫圓時，圓規(guī)兩腳的夾角一定要固定好。
生3：我認(rèn)為出現(xiàn)第三種情況是因?yàn)楫媹A時手腕的用力不均勻，圓規(guī)的使用方法不正確引起的。
師：怎樣才能畫一個正確的圓？我們在畫圓時應(yīng)該注意哪些問題呢？
學(xué)生通過討論交流，很快總結(jié)出了畫圓的方法和注意點(diǎn)。
……
②讓學(xué)生在開放性的解題過程中思考
學(xué)生在解答開放性的鞏固練習(xí)題中能提高思維的敏捷性、靈活性和深刻性。因?yàn)殚_放性的數(shù)學(xué)題目比較容易打破解題常規(guī)，克服思維定勢，拓展思維領(lǐng)域，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性、創(chuàng)造性。
案例：《乘法分配律》一課中的拓展練習(xí)環(huán)節(jié)
師：出示一道開放性的鞏固練習(xí)題：
將下面的算式補(bǔ)充成可以利用乘法分配律進(jìn)行簡便計算的算式后進(jìn)行計算。
35×49+（ ）×（ ）
先讓學(xué)生獨(dú)立思考計算后進(jìn)行交流、討論。
生1：35×49+（ 35 ）×（ 51 ）
師：這道題可以用乘法分配律進(jìn)行簡便計算嗎？誰能來算一算。
生2：35×49+ 35×5135×（49+51）=35×100=3500
師：你們還有不同的填法嗎？
生3： 35×49+ 65×4949×（35+65）=49×100=4900
生4：35×49+（ 35 ）×（ 1 ）35×（49+1）=35×50=1750
生5：35×49+（ 49 ）×（ 5 ）49×（35+5）=49×40=6190
……
2.學(xué)會“創(chuàng)意”――用有創(chuàng)意的評價語言去評價學(xué)生的思維過程
思維是一個動態(tài)的過程，因此評價學(xué)生的思維不能僅僅是基于他們思維的結(jié)果。教師評價學(xué)生思維能力的發(fā)展?fàn)顩r，要關(guān)注學(xué)生差異，動態(tài)評價，喚醒學(xué)生的求知欲望，觸及學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，激活思維。
比如“你能開動腦筋想出這么有特色的方法，你是小神童嗎？”
“你們小組能夠在這么短的時間內(nèi)一題多解，思維的能力快超過電腦了！”
“你很會抓住重點(diǎn)，抓住重點(diǎn)問題就解決了！”
“你真善于總結(jié)方法，很會學(xué)習(xí)。”
……
錯解：是.
評析： 受分?jǐn)?shù)線的影響，誤以為 是分?jǐn)?shù).是不是分?jǐn)?shù)，不能光看形式，而要看結(jié)果.如果假設(shè)它是分?jǐn)?shù)，則它必是有理數(shù)，與它是無理數(shù)相矛盾！所以它不是分?jǐn)?shù).
正解：不是.
例2 計算： .
錯解：原式＝ + =1 .
評析： 誤以為存在結(jié)論“ = + （a≥0，b≥0）”，其實(shí)，一般情況下“ ≠ + （a≥0，b≥0）”.
正解：原式＝ = =1 .
例3 化簡： .
錯解：原式＝ =m+n .
評析： 解答有兩個錯誤：一是m＋n是一個整體，必須加括號；二是并不知道m(xù)+n是正是負(fù)，因此要加絕對值.
正解：原式＝ =｜m+n｜ .
例4 把式子a 中根號外的因式適當(dāng)改變后移到根號內(nèi)，并使原式的值不變.
錯解：原式＝= .
評析： 利用公式a= （a≥0）時，前提是a≥0.根號外的負(fù)因式（數(shù)）不能移進(jìn)根號內(nèi)，如-2≠ .因此，在將根號外的因式（數(shù)）移進(jìn)根號內(nèi)前，一定要先判斷所移因式（數(shù)）是否非負(fù).
正解：由題意可知- ≥0，得a0.
原式＝-（-a） =-=- =- .
例5 化簡： .
錯解：原式＝ + = + = =2 .
評析： 在a≥0，b≥0時，有 = • ，但一般情況下 ≠ ± .
正解：原式＝ = .
例6 化簡： .
錯解：原式＝ = .
評析： 解答忽視了“m
正解：由題意得m
原式＝ = =- .
例7 計算： ÷ × .
錯解：原式＝ ÷1= .
評析： 乘、除是同級運(yùn)算，應(yīng)按照從左到右的順序做，不應(yīng)先算后面的乘法.
正解：原式＝ × × = .
例8 計算： ÷2 .
錯解：原式＝ ×==m.
評析： 這里把除法變?yōu)槌朔〞r，把2 的倒數(shù)誤認(rèn)為.
正解：原式＝ ×==2.
例9 計算： ÷（ + ）.
錯解：原式＝ ÷ + ÷ = + .
評析： 受“乘法分配律”的影響，誤以為存在“a÷（b+c）=a÷b+a÷c”這一結(jié)論.
正解：原式＝ = =3 -2 .
例10 已知0
錯解：原式＝（m-1）－（m＋1）＝－2.
評析： 這里忽視了“0
正解：由0
原式＝｜m-1｜-｜m+1｜=1-m-（m+1）=-2m.
例11 化簡： .
錯解：原式＝ = - .
評析： 當(dāng)x＝y(tǒng)>0時， - =0，錯解是將原式分子分母都乘以一個可能等于0的式子，所以這種方法是錯誤的.
正解1：（1） 當(dāng)x＝y(tǒng)時，代入原式，得原式＝0.
（2） 當(dāng)x≠y時， - ≠0，解法同錯解.
綜合（1）（2），得原式＝ - .
正解2：顯然x，y均為非負(fù)數(shù).
原式＝ = - .
練習(xí)題
已知方程x2+3x+1=0的兩個根為α，β，求 + 的值.
解：由Δ=32-4×1×1=5≠0，可得α≠β.
由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得α+β=-3，α β=1.
原式＝ + = = =-3.
