時間：2023-02-23 01:47:49
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇小數的初步認識，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
“變教為學”倡導數學學習中進行文化滲透，文化的精髓依附在數學知識發生、發展的過程中，而不是知識的附庸，它在呈現形式上可以作為數學知識的具體情境，甚至是數學學習的具體內容，使其成為學生數學活動和數學思考的具體對象。以“小數”為例，小數是依據人的需求與主觀意愿所發明的，它所蘊含的學習內容及需要經歷的學習活動，主要包括小數發生過程中所體現的必要性、發展過程中形式的多樣性和形成過程中表達方式的統一性、與其他知識聯系的廣泛性。[2]這些學習活動體現了數學教學的“文化性”。
一、小數產生的必要性
隨著社會的發展，對數量表示的精確程度的要求逐漸提高。只用整數表示數量已不能滿足人們的需要，于是在所表示的數量的末尾附上“有余”“有奇”或“強”“弱”等字，以表示該數量與實際量之間的差異，當需要用數來較為精確地表明這種差異的時候，就慢慢地形成了兩種表示方法：一種是用分數來表示不足整數的剩余部分；另一種是發展度量衡系統，采用更小的度量衡單位來表示有關的量。[3]什么是度量衡？度量衡就是長度、容量和重量單位。起始的度量單位是比較大的，度量的結果比較粗疏，隨著社會的需要才慢慢精細起來，人們逐漸制定了一批越來越小的度量衡單位。魏晉時期數學家劉徽當時在長度記法中采用的單位名稱為：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，單位在逐漸地減小，相鄰兩單位之間的進率為10。雖然我國歷史上也有過非十進的度量衡單位，如《漢書?律歷志》載有重量單位：石、鈞、斤、兩、銖，其進制是1石=4鈞，1鈞=30斤，1斤=16兩，1兩=24銖，但十進制的度量衡單位還是占主要地位的。由于我國很早就使用十進制計數法，所以在度量衡的單位上也采用十進制，這為小數的出現奠定了基礎。
有了十進制計數法、十進制度量衡單位這樣的客觀基礎，又由于中算家研究的多為應用題，所以解題結果都是有單位名稱的數，當運算時遇到非整數問題，為使書寫形式簡潔而不提及小單位名稱，小數的概念就逐漸形成了。開始，人們在數字的后面加上小單位名稱，由于制造出太多的小單位無論在記憶上還是書寫上都較麻煩，如劉徽當時就對“忽”以下的單位不再命名，稱為“微數”，相當于現在的小數部分。實際上，只要在十進制度量衡單位中認定一個作為基本單位，那這個單位后面的數便是小數的各位數了。后來，人們逐漸用“分、厘、毫”這樣的單位來統一代表小數部分，如“分”代表小數十分位上的數，“厘”代表百分位上的數，“毫”代表千分位上的數。為進一步追求形式的簡潔，人們逐漸把“分、厘、毫”等單位舍去，想辦法來區分整數部分和小數部分，經過不斷的演變，慢慢地才使用今天的“小數點”來區分整數部分和小數部分。現在所說的小數，其完整名稱應為十進小數，小數的出現標志著十進制計數法從整數擴展到了非整數，使整數與非整數在形式上獲得了統一，所以說小數的本質是十進制數，它是整數的延伸，[4]如果以1為基本單位，向大的方向延伸就可以得到10、100、1000……向小的方向延伸就得到了0.1、0.01、0.001……因此在小數初步認識時，可溝通其與整數的聯系，而不涉及與分數的聯系。
二、小數形式的多樣性
小數的表示由產生到現在的相對統一，經歷了漫長的歷程，可以用王安石的一句詩來形容“看似平凡最崎崛，成如容易卻艱辛”。
在中國，小數的寫法主要有四種：第一種是依次給小數部分寫上名稱，一般情況下“分”代表小數十分位上的數，“厘”代表百分位上的數，“毫”代表千分位上的數。如公元400年左右《孫子算經》卷下第二題：“今有丁一千五百萬，出兵四十萬，問幾丁科一兵？答曰：三十七丁五分。”答案中的“五分”指的是0.5丁，“丁”應該是以整數計算的，不過作為數學答案，可以用小數來表示其精確計算的結果。這里是用“分”來專門表示小數的，“五分”有了明顯的小數概念。再如，古代計錢以“文”為最小單位，在《夏侯陽算經》卷中“分祿料”記有：“新官分得五貫八百八十九文二分一厘六毫，舊官分得一貫四百七十二文三分四毫”，這里出現了“文”以下的小單位“分、厘、毫”，正是為了表達運算結果的精確性，二分一厘六毫就是0.216文，三分四毫就是0.304文。
第二種是在整數的個位下面注以單位名稱，南宋數學家秦九韶就把0.5尺寫成如圖1的形式，把4.608石寫成如圖2的形式，這里的“尺”“石”就成了整數部分和小數部分的分界，實質上起到小數點的作用。
第三種是用位置來區分，南朝劉宋天文學家何承天在其編著的《宋書》律歷志部分，就已經大量敘述了像十一萬八千二百九十六二十五（118296.25）、九萬四千三百五十七（94300.57）這樣的數，他是用小數部分比整數部分小一號的字體來表示的。此外，劉瑾在《律呂成書》（約1300年）中采用小數部分比整數部分降低一位的寫法，圖3是書中對小數106368.6312的記法，這是世界上最早的小數表示法。
第四種是在整數部分和小數部分間插入字，唐中宗天文學家南宮說在其《神龍歷》（705年）中把365.2448寫為三百六十五日余二十四奇四十八，這里的“余”字有小數點的意思。此外，丁巨也曾在整數與第一位小數之間插入一個“余”字，用來表示小數點。
由于中國使用算籌和大寫數字來表示數，因此主要用單位名稱來表示小數點，要出現現代形式的小數點是不大可能的。清代由于大量翻譯西方著作，西方的小數點也隨之引進我國。康熙年間的《數理精蘊》（1723年）中已經出現了現代的小數點，但還不是現代記法，如把52.43記作五二?四三。印度―阿拉伯數字最早出現在由美國傳教士狄考文和鄒立文合譯的《筆算數學》中，后由于封建保守思想，曾一度改回用漢字一、二、三，直到后印度―阿拉伯數字才在我國正式通行。小數在當時表示的形式多樣，如12.3可表示為一二?三，一二.三，12?3，12.3。到20世紀20年代才形成今天的統一寫法，1925年出版的《數學辭典》中規定：“數字橫寫，小數點為小圓點，位置在個位右下方。”
隨著中國早期的十進小數傳入印度并漸漸在世界傳播，其他國家開始陸續創造小數的表示方法，國外對小數符號的設計種類繁多。古印度數學家將小數部分的各數分別用圓圈圈出，如42.56表示為42⑤⑥。印度人將中國用文字分厘毫的表示法改為用圓圈圈出，這可以很明顯地區別出小數部分。1530年，德國數學家Rudolff用一條直豎線來隔開整數部分和小數部分，如36.75寫成36|75，這條豎線已經蘊含著小數的概念。1585年，荷蘭工程師Stevin編寫的《論十進小數》首次系統地論述了十進小數的理論，書中開篇宣稱“本書教你如何進行所有計算，這些計算只須用全體整數而無須用分數就可以完成”，并給出小數的定義：“小數是基于十進制而發明的一種算術，它使用普通的阿拉伯數字即可記載任何數，并且在人類事務中的所有運算可以完全不用分數而只用整數來進行。”[5]Stevin創造了小數的表示方法，他首先用一個符號把整數部分和小數部分分開，然后把①②③④⑤寫在數字的后方或上方來表示整數后邊的部分，例如89①3②7③表示8.937。
1592年，瑞士數學家Burgi用一個空心小圓圈把整數部分和小數部分分開，比如把36.548表示為36。548。意大利數學家Clavius在《星盤》一書中首次使用了現代意義的小數點，即把小數點作為整數部分與小數部分分界的記號，他在后來1608年《代數學》中更明確地使用這種小數點，這就是用“點”表示小數記法的開始。1617年，英國數學家Napier在《小數計算法》中用“逗號”把整數與小數部分分開。英國數學家Briggs在1624年《對數算術》中又創立了一種小數符號，他在小數部分下面畫一條線，如把3.45寫成345，這條橫線雖然后來在歐洲小數記號中逐漸消失，但卻在中國一些財務記賬中被使用過，一般是在元以下的角分處畫上一條水平線。
現在世界上小數點的使用還沒有統一，歐洲大陸派（德、法、俄等）用逗號“，”作為小數點；英美派則用實心圓點“.”作為小數點，中國使用英美派記法。
三、小數與其他學科的聯系
小數在文學、經濟、自然科學中有著廣泛的應用性。戰國末期楚國大才子宋玉在《登徒子好色賦》中描述了一位女子：“增之一分則太長，減之一分則太短。”他并沒有直接描述這位女子的身高，而是從側面夸贊其身高恰到好處：再高一分就太高，再矮一分則又顯得太矮。那“一分”是多高呢？按照今天的度量標準，1尺≈0.333米，而1尺=100分，因此1分≈0.00333米。對于人的身高說，0.00333米的差異幾乎難以察覺，通過宋玉這番帶有夸張色彩的描述，可以想象到這個女子留給宋玉的印象很完美。俗語“一畝三分地”用小數表示是1.3畝，清朝時的皇帝為顯示對農業生產的重視，每年到先農壇耕地，其親耕的面積恰好是一畝三分。為什么定為“一畝三分”？有一種說法是中國古代把數字一三五七九看作陽數，一和三為陽數中最小的兩個數，皇帝既要親耕又不能太勞累，所以定個最小面積作為耕田。后來人們將個人利益或個人勢力范圍稱為“一畝三分地”。
在經濟生活里，小數發揮著重要作用，如商品銷售中的尾數定價策略，即制定非整數價格，以零頭數結尾。這樣給人的感覺首先是便宜，易于接受，如標價99.98元的商品和100.08元的商品，雖然僅相差0.1元，但前者使人感覺還不到100元，后者卻使人認為100多元；其次是精確，帶有尾數的定價使消費者認為商品定價是非常認真、精確的，連幾角幾分都算得如此清楚，進而產生一種信任感。
在自然科學中，小數有著舉足輕重的作用，如果不給予重視，那么重大發明也許會擦肩而過，或者造成重大損失。電話機發明者貝爾曾說，他是借助科學家萊斯的試驗而成功發明電話機的。原來，萊斯在貝爾之前已經研制出一種利用電流進行傳聲的裝置，但是這個裝置僅能單向傳送，不能雙向交談。當貝爾發現了萊斯裝置中的不足后，經過分析研究，最后只將萊斯裝置上的一顆螺絲往里擰了半圈，也就是0.0005米，話聲就能相互傳遞了。就這樣，0.0005米的細微之差，誕生了世界上第一部真正的電話機。這個結果令萊斯瞠目結舌，雖然他突破了電流傳聲技術，但卻在離成功發明電話機0.0005米的地方失敗了。
四、“小數的初步認識”學習活動單
在“變教為學”的背景下，以“改變教學單一的工具性，使數學教學呈現文化性”為出發點，設計了“小數的初步認識”學習活動單。
活動一：一袋牛奶的價格是1元9角8分，你有其他的表示方法嗎？自己試試寫出來，然后與同伴交流。
活動二：你認為哪一種方法最好？把自己的想法說給同伴聽。
活動三：請你嘗試讀一讀1.98、0.50、1.06，說一說你發現了什么？
活動四：你認為小數和整數的相同點和不同點是什么？先獨立思考，再與同伴交流。
活動五：利用小數表示“一畝三分地”（1畝=10分），讀一讀你寫的小數，并說說你對這個詞語的看法。
活動六：生活中“小數”無處不在，請你課后找一找，記錄下來，并和同伴分享。
活動設計說明：活動一的目的是讓學生用不同的方法來表示1元9角8分，從而經歷小數的產生過程，感受小數產生的必要性。活動二是讓學生對不同的小數表示方法進行理解與比較，在比較的過程中感悟小數形式的多樣性，體會現在小數表示方法的簡潔性。活動三通過讓學生自己嘗試讀小數，從中發現小數和整數在讀法上有哪些區別。活動四是歸納與概括的思考過程，使學生體會小數的本質是整數的延伸，都是十進制數。活動五是將小數與語文中的詞語建立聯系，同時將中華傳統文化也滲透到了數學教學中，學生既可以體會數學與其他學科存在著聯系，也可以領略到中華傳統文化的魅力。活動六是讓學生尋找生活中的小數，將數學與生活聯系在一起，旨在讓學生善于觀察生活，帶著問題走入課堂，帶著問題走出課堂。
參考文獻：
[1] 郜舒竹. “變教為學”的文化性[J]. 教學月刊?小學版（數學），2014（9）.
[2] 郜舒竹. “變教為學”從哪兒做起[J]. 教學月刊?小學版（數學），2013（9）.
[3] 眭秋生. 我國十進小數發展簡史[J]. 南京師大學報，1985（2）.
[4] 曾小平，韓龍淑. 小數是特殊的分數嗎？ ――小數的意義與教學探究[J]. 教學月刊?小學版（數學），2012（7～8）.
〔關鍵詞〕小數 計數器 數位 單位名數
教師教學實踐的創新之一是由教科書的被動使用者成為新課程的塑造者。展示實物（教具的使用）是一種古老而且非常有效的方法。
學習內容：人教版小學三年級數學下冊（7）小數的初步認識例1知識及相關練習某日，應三年級新老師之邀，上一節示范課，重點是復習。閱覽課本及同步精練時，發現多數同學對于小數的換算掌握較差。于是我決定把這部分知識重新納入課堂帶領同學們一同進行復習。可面臨的困難是對于例1學生都已經學過了，而單位間的進率知識又較繁雜。如何解決枯燥乏味的機械復習呢？
經過觀察我發現：米――分米――厘米，元――角――分之間的進率都是10，我靈機一動。決定借助豎式計算數來把過去的部分知識重行進行復習。上課了，我首先向同學們展示了計數器，利用讀數寫數（如：百位是3，十位是2，個位是O這個數寫作____讀作____）讓學生熟悉數位，這個內容學生在二年級就學過，現在特別容易。 然后我在把數位換為：米分米厘米（米后帶小數點）讓學生添數3米18厘米=（ ）米、3米5分米=（ ）米、2米8厘米=（ ）米、1分米3厘米=（ ）分米、7米26厘米=（ ）米、1米9分米=（ ）米。
通過老師的演示，學生的動手操作，知識很快被消化了。再此基礎上我又把名稱改為：元――角――分，讓學生自學1元3角=（ ）元、4元2分=（ ）元、5元12分=（ ）元8角9分=（ ）角、10分=（ ）元、3角9分=（ ）元。看到同學們借助計數器把所有問題都正確解答了，我又借機把豎式計數器立了起來
分（厘米）
角（分米）
元（米）出示了問題：2角5分是元。再讓學生觀察單位間的進率，在學生明白了由分到元的進率是100的基礎上，解決了2角5分=元教師帶動學生再次橫過汁數器來觀察，還得到：2角5分還可以寫成0.25元；同理23厘米=米，還可以寫成0.23米。針對學生們在頭腦中形成了“豎式理念，我隨機出了一些相關習題（用小黑板的形式展現），對知識進行了鞏固。經過同學們的搶答、筆答，可以看到準確率都達到了100%，真的出乎意料。
四十分鐘的課堂結束了，但卻給我留下了深深的思考：
1、小學數學教學是師生雙方交互作用的歷程，教師教學工作的目的是引導學生有效地建構數學知識，教師對學生建構知識和探究性的學習活動的引導可運用知識的對比、遷移等方法。此節課上，就應用了數位（百――十――個）與單位名數（元一――角――分）（米――分米――厘米）的對比、遷移學習，找到了它們之間的聯系和區別，不但加深了學生的理解，還幫助學生將多個知識建構到一個知識系統中。
教學內容
這一冊教材包括下面一些內容：除數是一位數的除法，兩位數乘兩位數，小數的初步認識，位置與方向，面積，年、月、日，簡單的數據分析和平均數，用數學解決問題，數學廣角和數學實踐活動等。
除數是一位數的除法、兩位數乘兩位數、面積以及簡單的數據分析和平均數是本冊教材的重點教學內容。
在數與計算方面，這一冊教材安排了除數是一位數的除法、兩位數乘兩位數以及小數的初步認識。這部分乘、除法計算仍然是小學生應該掌握和形成的基礎知識和基本技能，是進一步學習計算的重要基礎。例如，用兩位數除多位數，每求一位商的步驟與用一位數除的步驟基本相同；又如，兩位數乘兩位數是學習小數乘法的必要基礎。
從本冊開始引入小數的初步認識，內容比較簡單。此時學生在日常生活中經常遇到或用到有關小數的知識和問題，這部分知識的學習，可以擴大用數學解決實際問題的范圍，提高學生解決問題的能力；同時也使學生初步學會用簡單的小數進行表達和交流，進一步發展數感，并為進一步系統學習小數及小數四則運算做好鋪墊。
在空間與圖形方面，這一冊教材安排了位置與方向和面積兩個單元，這是這冊教材的另兩個重點教學內容，為發展學生的空間觀念提供了豐富的素材。通過這些內容的學習，讓學生初步形成辨認方向、表達與交流物體所在的方向的能力等。通過現實的數學活動，讓學生獲得探究學習的經歷，探索并體會引進統一的面積單位的必要性，認識面積單位，掌握長方形、正方形的面積公式，進一步促進空間觀念的發展。
在量的計量方面，這一冊進一步擴大計量知識的范圍，除了面積單位的認識外，還安排了認識較大的時間單位年、月、日及24時計時法。這些內容的教學可以進一步發展學生的空間觀念和時間觀念，并通過實際操作與具體體驗，培養學生估計面積大小和時間長短的意識和能力。
在統計知識方面，本冊教材讓學生初步學習簡單的數據分析和平均數。教材向學生介紹了兩種不同形式的條形統計圖，讓學生利用已有的知識，學習看這兩種統計圖，初步學會簡單的數據分析；通過學習平均數的含義和簡單的求平均數的方法，初步理解平均數的意義和實際應用，進一步體會統計在現實生活中的作用。
在用數學解決問題方面，教材一方面安排了一個單元，專門教學用所學的乘除法計算知識解決生活中的簡單問題；另一方面，安排了“數學廣角”的教學內容，引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動學習簡單的集合思想和等量代換思想，并能應用集合和等量代換的思想方法解決一些簡單的問題，培養學生觀察、分析及推理的能力，培養他們探索數學問題的興趣和發現、欣賞數學美的意識。
本冊教材根據學生所學習的數學知識和生活經驗，安排了兩個數學實踐活動，讓學生通過小組合作的探究活動或有現實背景的活動，運用所學知識解決問題，體會探索的樂趣和數學的實際應用，感受用數學的愉悅，培養學生的數學意識和實踐能力。
教學目標
使學生：
1．會筆算一位數除多位數的除法、兩位數乘兩位數的乘法，會進行相應的乘、除法估算和驗算。
2．會口算一位數除商是整十、整百、整千的數，整十、整百數乘整十數，兩位數乘整十、整百數（每位乘積不滿十）。
《認識小數》是三年級數學下冊的內容，這部分內容是在學生認識了萬以內的數、初步認識了分數并且學會了常用計量單位的基礎上進行學習的。學習這部分知識既可以在實際生活中應用，又能為今后系統地學習小數打下初步的基礎。為了適應兒童的年齡特征，使學生易于接受，教材結合元、角、分或常用的長度、質量單位出現，以便于學生聯系實際，來初步認識小數的含義。
1.會認、讀、寫小數，初步感知十分之幾可以用一位小數表示、百分之幾可以用兩位小數表示。
2.結合具體情境認識小數的現實意義，懂得以元為單位、以米為單位的小數的實際含義。
教學難點：結合具體情境認識小數的現實意義，懂得以元為單位、以米為單位的小數的實際含義。
本節課的教學目標定位如下：
1.結合具體情境認識小數，初步理解小數的含義，會讀寫小數。
2.知道十分之幾可以用一位小數表示、百分之幾可以用兩位小數表示。
3.通過觀察、比較等學習活動，培養學生的觀察能力、概括能力和類推能力。
4.感知數學來源于生活并用于生活，激發學生熱愛生活、熱愛數學的情感。
二、對教學方法與學生學習方法的確定
教學方法是教學過程中師生雙方為完成目標而采取的活動方式的組合，根據本課教學內容的特點和學生的思維特點，可選擇談話法、直觀演示法、啟發法、嘗試法、引導發現法等方法的優化組合，充分發揮老師的主導作用，調動學生的能動性，引導他們去發現問題、分析問題、解決問題、獲取知識，從而達到訓練思維、培養能力的目的。
小數的含義較為抽象，根據學生對概念的認知規律，教學時我創設了小動物出游的情境，并讓學生說說小動物使用食品的價格，使學生在有趣的情境中直觀地認識了小數。
三、對教學活動的安排
第一環節：創設生活情境
生動、熟悉的生活情境可以使數學由抽象變得具體，激發學生的學習思維。所以教師在第一環節中就以小動物出游的情境圖告訴學生：在三亞美麗的海底世界里，小動物們可熱鬧了，你看他們帶著自己喜歡的食物準備出游，我們去看看他們都帶了些什么。同時問：你們仔細觀察一下，標價牌的這些數和我們以前學過的數有什么不同？讓學生自主說出，并要求學生把這些商品的價格分成兩類，同時看看這些數有什么特點。然后引導學生小結，像這樣的數我們就稱之為小數。在這里通過“小動物出游”的情境引入，極大地調動了學生的好奇心，激發了學生參與的積極性，為學生探究活動的展開打下了基礎。同時，由標價牌上的價格引出小數，讓學生聯系生活實際知道小數就在生活中，引起學生對已有小數表象的回憶，從而形成原始的感性認識。
第二環節：突出數學活動，引導主動構建
建構主義的學習觀認為，學習是學生自主探索和實踐的過程，學生用自己的活動建立對人類已有數學知識的理解。數學教學是數學活動的教學，數學學習也不是單純的知識接受，而是以學生為主體的數學活動。因此，在課堂教學中，要注重向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們獲得廣泛的數學活動經驗，在具體現實背景的活動中去研究、去探索，從而培養學生的探索與創新精神，以及運用數學發現問題、解決問題、交流與處理信息的能力。所以在這一環節中，師首先設計了有趣的游戲活動，讓學生自主從生活中找出一些小數并試讀，后小結小數點的讀法：讀小數的時候，要先讀小數點左邊的整數部分，按照整數部分的讀法讀，小數點右邊要一位一位讀，每一位是幾就讀幾。接著進行有意義的實踐活動，讓學生試著“以元為單位寫出下面的價格”，最后引導學生知道小數點左邊的數表示“元”，右邊第一位表示“角”，右邊第二位表示“分”，讓學生產生對以“元”為單位的小數意義的感受。由于在四年級還要具體認識小數，所以在這里只是對小數的讀寫法做了一個簡單的介紹，讓學生初步感知該如何讀小數、寫小數。
第三環節：優化合作環境，引導自主探索
首先營造合作氛圍。課前教師要求學生回家測量自己的身高，課上讓學生自主匯報，然后與同桌試著用“米”作單位進行討論。在這里由學生的身高問題引入新知，能使學生體驗到生活與數學的密切聯系，過渡自然，很好地銜接到下一個環節的教學中。接著為學生提供合作機會，讓學生自己探索一位小數和十分之幾的關系，有助于培養學生的思維能力。通過這樣的情境圖，把學生的生活經歷與課本知識聯系起來，同時在幫助小動物解決問題的愉快氣氛中很快就理解和掌握了百分之幾可以用兩位小數這個知識重點。
第四環節：注重應用實踐，提升數學素養
學以致用是數學教學的目標之一。《標準》指出，教師應充分利用小數已有的生活經驗，引導學生把所學的數學知識應用到現實中去，以體會數學的現實意義。
每年的3月，筆者所在的學校都要舉行青年教師課堂教學比武活動，今年數學第一學段的“比武”主題是“認識小數”。為此，青年教師們可謂是“八仙過海，各顯神通”，有些認真研讀教材教參，也有些尋找著他人的課堂預設進行整合梳理。其中筆者隨堂聽了一位教師的課，頗有感想。
【教學片段一】
課件出示6個小數（5.9，15.6，0.85，36.00，2.60，18.18）
師：這些小數可以怎么分類？
生1： 按最后一位是不是0分類，可以分成兩類。
生2：按整數部分有沒有數進行分類，可以分成兩類。
……
師：今天我們學習的是小數，分類方法肯定也和“小數部分”有關系，再想一想。
（部分學生一臉茫然，部分學生苦思冥想，終于――）
生：小數點后是一個數字的分成一類，是兩個數字的分成一類。
（教師終于長舒一口氣，接著往下講）
師：像這樣小數點后只有一個數字的小數，我們把它叫做一位小數，有兩個數字的小數，就把它叫做兩位小數。
思考：花了這么長的時間對小數進行了分類，分類的結果只是為了說明“一位小數”和“兩位小數”。那是不是到了第二學段，我們還得分出“三位小數”“四位小數”？
翻閱教參可以看到這樣一段話――例1以一組同學測量身高為題材，教學一位小數、兩位小數的含義及其寫法。知道一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾。筆者認為這段話應該理解為：讓學生知道小數點后的數位可以是多位，位數不同表示的意義是不同的；讓學生理解十分之幾的分數可以用一位小數來表示，百分之幾可以用兩位小數來表示。而“一位小數”與“兩位小數”的所謂概念只需在教師心里明確就可以了，沒有必要讓學生花大量時間進行分類與概念提煉。
【教學片段二】
課件出示課本插圖。
師：讀一讀這些價格，想一想，如果要買2.60元的面包應該付多少錢？
生：應該付2元6角。
師：你怎么知道應該付2元6角？
生：因為小數點前面是2，所以應該付2元……
師：小數點前面的數表示元數，小數點后面一位數表示角數，第二位表示分數。
（學生完成表格填寫）
思考：應該這么說，實在是佩服這些學生，面對“你怎么知道應該付2元6角”這樣的問題，也能出現極其標準的答案，不得不對他們說聲“贊”。要知道我們的學生并非生活在與世隔絕的環境中，對于三年級的孩子而言，即使沒有學數學，也應該知道“2.60元”需要付2元多，這分明就是一種生活經驗的積累。
思考執教教師為什么會問這樣一個問題，筆者認為，她可能是想要著重體現課程標準所要求的“聯系生活實際”“結合元、角、分”進行教學吧。那么這樣的結合是不是太過生硬了呢？
二、觀而思索
沒有深入研讀教材，真正領會教材意圖便倉促而就的課堂，不僅教師講得累，學生學得累，作為旁聽課的筆者也覺得很累，那么如何才能正確把握“認識小數”一課的精髓？筆者認為需要通過以下幾點進行把握。
1.課標對“小數的初步認識”的要求
《義務教育數學課程標準（2011年版）》中要求：（第一學段）能結合具體情境初步認識小數，并能讀、寫小數。結合具體情境能比較兩個一位小數的大小。（第二學段）結合具體情境，理解小數和分數的意義，理解百分數的意義，會進行小數、分數和百分數的轉化（不包括將循環小數化為分數），會比較小數的大小，能分別進行簡單的小數和分數（不含帶分數）的加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。能解決小數、分數和百分數的簡單實際問題。
也就是說，課標要求小學階段的學生在第一學段初步認識小數；第二學段理解應用小數。那么“初步認識小數”需要認識哪些內容，認識到什么地步？人教版教師用書對此給出了解釋――一是本單元不要求離開現實背景和具體的量，抽象地討論小數。二是小數的認、讀、寫，限于小數部分不超過兩位的小數。三是簡單的小數加減法原則上限于一位小數，并且結合元、角進行計算。由于本課是“小數初步認識”單元的第一課時，那么這個“初步”便可以基本鎖定在“結合生活實際”進行“認、讀、寫小數部分不超過兩位的小數”。
筆者認為，只有通過對課程標準的深入學習、充分理解、嚴格把關，才能使我們的課堂教學“中心明確不偏題”。
2.對“認識小數”的教材閱讀
（1）讀懂本課知識內容。
在課堂教學之前，讀懂本課的知識內容――這一節課需要解決的知識點有哪些？這些知識點都是以怎樣的方式呈現的？知識點之間有什么樣的聯系？重點要解決什么問題？――是對教師最基本的要求。就拿“認識小數”一課為例，來解讀課本的深意。
（2）讀懂課堂學習過程。
，教材又想提示我們什么呢？圖中的這些孩子圍坐在一起，取出各自帶來的物品，尋找身邊的小數。
筆者認為這張圖給出了以下幾點提示：①在學習方法上：可以組織小組合作討論的形式進行學習，讓學生主動參與，讀讀小數；②在學習內容上：可以選擇學生身邊能夠找到的小數；③在學習目標上：討論以讀數為載體，思考小結出讀小數的一般方法。
不要小看教材中的每一幅插圖，在讀透課標的基礎上對過程性插圖進行深入解讀，會對課堂有更宏觀的掌控。
（3）讀懂學習品質培養的目標。
情感態度價值觀這種看不見、摸不到的培養目標，在以往的教學中經常處于“看起來重要，做起來不要”的尷尬境地，但是在新一輪課改別強調了這方面的培養與引導。
如本課教學中透過下面的插圖，可以清晰了解編者意圖――引導學生主動思考，提出相關問題進行展開解惑，讓學生做一個會質疑的人，這便是對學習態度的一種培養，作為教師要能夠透過文本讀懂教材深意，讀懂編者在教材中滲透的對學生學習品質培養的目標。
三、三思而動
經過反思與琢磨，筆者也對“認識小數”這一教學內容進行了片段設計實踐。
1.通過元、角、分來初識小數
師：（課件出示商品價格）知道這些是什么數嗎？
引出本課主題
師：你會讀這些小數嗎？
規范小數讀法
師：這些小數的長相有點特別，你覺得哪些地方讓你印象深刻？
引出“小數點”“整數部分”“小數部分”，并進行認識。
……
設計思路：學生對人民幣的認識和使用已經有了一定的經驗，通過元、角、分來初識小數，既是對“小數是十進分數”的一種肯定認識，也為后續第二學段學習“啟蒙代數”奠定基礎。
2.認識生活中的小數
師：橡皮每塊0.50元，可是我們沒有0.5元這樣面額的錢幣呀，那就是要付多少錢呢？鋼筆呢？尺子呢？
師：拿出你課前準備的超市購物小票，和你的同桌說說物品價格的表現方式。
學生反饋：0.1元，0.2元，0.3元，0.4元……
師：完成課本第88頁的表格填空，想一想生活中你還見過哪些小數？
學生舉例，引出長度單位：米、分米、厘米
設計思路：通過對超市小票上價格的描述，及之后的小數序列滲透，使學生感受到數學來自生活，也進一步理解十進小數的意義。
3.進一步認識小數
師：想一想，如果把一個長方形當成1元（將課前準備好的長方形紙片發給學生），購買橡皮的0.5元應該怎么在這個長方形上表示呢？你可以拿出學具折一折、畫一畫，也可以和同學們討論交流。
學生反饋：把1元（長方形紙）平均分成10份，表示這樣的5份就是0.5元。
師：剛才這個平均分，得到5份的過程在什么時候我們也用到過？
生：學分數的時候。
師：想一想，這個5份可不可以用分數來表示呢？
生：
師：噢，原來元和0.5元表示的意思是一樣的呀。（在和0.5之間畫上等號）
師：你還能找到這樣相等的分數與小數嗎？
……
我班現有學生43名。他們已經不象剛入學那樣，什么都不懂，經過一年的成長，他們初步有了自己的思想、意識，有一定的控制能力。為了激發學生的學習欲望，教師應改變教學方法，從學生感興趣的開始，初步培養學生主動學習的能力，使每個學生在自身的基礎上都有一定的提高。
二、教材分析
本冊教材包括下面一些內容：一個因數是兩位數的乘法，除數是兩位數的除法，年、月、日的認識，混合運算和應用題。
一個因數是兩位數的乘法和除數是兩位數的除法是本冊的重點。學生掌握好這兩部分計算，就為以后學習小數乘、除法打下良好基礎。
混合運算和應用題也是本冊的一個重點。這部分內容是在前一冊的基礎上，繼續學習三步式題的混合運算順序，繼續學習一些兩步計算的應用題。通過解答所學的應用題，使學生進一步理解和掌握一些數量關系，提高運用所學知識分析和解決實際問題的能力，并培養學生檢驗應用題解答的技能和習慣。
在量的計量方面，本冊教材在前一冊的基礎上進一步擴大計量知識的范圍，教學較大的時間單位年、月、日以及24時計時法。
三、教學目標要求
（一）會筆算一位數除多位數的除法、兩位數乘兩位數的乘法，會進行相應的乘除法估算和驗算。
（二）會口算一位數除商是整十、整百、整千的數，整十、整百的數乘整十數，兩位數乘整十、整百數（每位乘積不滿十）。
（三）初步認識簡單的小數（小數部分不超過兩位），初步知道小數的含義，會讀、寫小數，初步認識小數的大小，會計算一位小數的加減法。
（四）認識東、西、南、北、東北、西北、東南、西南八個方位，能夠用給定的一個方向（東、南、西或北）辨認其余的七個方向，并能用這些詞語描述物體所在的方向；會看簡單的線路圖，能描述行走的路線。
（五）認識面積的含義，能用自選單位估計和測量圖形的面積，體會并認識面積單位（平方厘米、平方分米、平方米、平方千米、公頃），會進行簡單的單位換算；掌握長方形、正方形的面積公式，會用公式正確計算長方形、正方形的面積，并能估計給定的長方形、正方形的面積。
（六）認識時間單位年、月、日，了解它們之間的關系；知道各月以及全年的天數；知道24時計時法，會用24時計時法表示時刻。
（七）了解不同形式的條形統計圖，初步學會簡單的數據分析；了解平均數的意義，會求簡單數據的平均數（結果是整數）；進一步體會統計在現實生活中的作用。
（八）經歷從實際生活中發現為題、提出問題、解決問題的過程，體會數學在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數學知識解決問題的能力。
（九）初步了解集合和等量代換的思想，形成發現生活中的數學的意識，初步形成觀察、分析及推理的能力。
（十）體會學習數學的樂趣，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心。
（十一）養成認真作業、書寫整潔的良好習慣。
四、教學措施
（一）以學生經驗為基礎，設計富有兒童情趣的學習素材和活動情境，激發學習興趣。
（二）充分利用教具和學具進行直觀教學。
（三）加強導優輔差工作，讓每個學生都得到發展。
（四）設計一些探索性操作活動，培養實踐能力和創新精神。
五、教材的重點、難點分析
本冊教材的重難點是：除數是一位數的除法、兩位數乘兩位數、面積以及簡單的數據分析和平均數。
小學數學研究的11種簡單應用題，歸納起來實際上是以下四種關系的應用題：相并關系、相差關系、份總關系、倍數關系。
下面就后兩種關系的應用題做個具體說明：
一、份總關系的應用題
馬老師非常重視概念教學，因為數學概念反映了客觀事物的空間形式和數量關系的本質屬性，只有抓住了最基本的概念與有關知識的聯系，才能使學生認識事物的本質。二年級第二學期開學后，我們便引導學生重點弄清每個數量的含義，理解數量關系。
例如：每盤有2個梨，有這樣的3盤。這兩個數量之間的關系是知道1盤是1個2，就能知道3盤是3個2，要求一共有多少個梨，也就是要求3個2的總數是多少。知道一共有6個梨，有這樣的3盤。這兩個數量的關系是3盤梨的總數是6，6是3盤梨的總數。要求一盤有幾個梨，就要把6平均分成3份。知道一共有6個梨，每2個裝在一個盤里，這兩個數量的關系是有1個2就有1盤，6里面有幾個2就有幾盤。教師在引導學生理解數量關系的同時，對應用題的條件及問題的結構應進行滲透，使學生形成初步的邏輯推理能力，為分析解答有關乘除法應用題打下堅實的基礎。通過這樣有層次、有目的的教學過程培養了學生分析、綜合、判斷、推理、抽象、概括的能力，從學生的反饋中也能看出，馬老師這種步步滲透、層層深入、抓住概念理解數量關系，在這個基礎上學習解答應用題的方法是非常科學的，是符合學生的認知規律的。正像馬老師所說：“正確解題思路的形成，決定于對數量關系的正確判斷，而正確的判斷又來源于概念的正確建立。”
二、大小數四則應用題
大小數這部分知識可分為這樣三部分：大小數的概念；大小數的關系；大小數應用題。
1.大小數的概念。
這部分又可以分為以下幾層：
第一層：認識“同樣多”。“同樣多”是研究大小數之間關系的橋梁，只有在深入理解“同樣多”的基礎上，才能很好地理解大小數之間的關系。
馬老師對“同樣多”概念的滲透，在教學第一冊教材認識數“2”的時候就已經開始了。當學生知道2朵花是由左邊的1朵花和右邊的1朵花這兩部分合并起來的時候，問學生“左邊和右邊花的朵數怎樣”，學生能夠說出“一樣多”、“一般多”，這時馬老師給了學生準確的概念，這就是“同樣多”。這是通過具體實物在學生頭腦中初步建立“同樣多”的概念。在教學“”和“=”時，先講“”，目的是為了學“=”，理解“同樣多”。這里仍然是通過實物圖讓學生理解，如3個蘋果和3個梨比較，沒有多余的蘋果，也沒有多余的梨，我們就說蘋果和梨的個數同樣多，也就是3和3同樣多。這時學生從具體的兩部分同樣多，已經認識到兩個數同樣多，同樣多可以用“=”表示，也就是“=”表示兩個數同樣多。以上所舉這些例子都是通過學習“10以內數的認識”的過程，逐步滲透“同樣多”這一重要概念的。
第二層：認識“大數、小數、同樣多”。前面所理解的“同樣多”是兩部分正好相等，這一層所要理解的是小數和大數里的一部分“同樣多”。如：3個蘋果和5個梨里的一部分同樣多，其中3個梨是5個梨里的一部分，3個蘋果又和梨的這部分同樣多，所以說蘋果的個數只相當于梨里的一部分，即小數相當于大數里的一部分。在這里“同樣多”就起到了重要的橋梁作用，同時“3”為什么是小數的問題也就迎刃而解了。
梨的“5個”為什么是大數呢？因為5個梨和3個蘋果比較，l個蘋果對1個梨，這樣一對應，再繼續比，蘋果就沒有了，梨還有兩個。通過比較，很自然地把大數分成了兩部分：一部分是和小數同樣多的，另一部分是比小數多的。那么把5個梨分成1和4，行不行呢？如果這樣分比不出誰大誰小。分成2和3行不行呢？仍然是量在變化，還是比不出誰大誰小。只有當把5個梨分成和蘋果同樣多的3個和比蘋果多的2個的時候，才能通過比較得出5是大數。所以把大數分成兩部分是在兩個具體數量比較過程中自然得出的。
第三層：通過大量實物圖鞏固大、小數和同樣多的概念。要達到這一層的目的可不是一日之功，在這一階段，馬老師要求每天用5-10分鐘的時間讓學生以不同形式、多種角度循序漸進地鞏固這部分知識。
第四層：從實物圖過渡到線段圖，進一步理解大數和小數，仍然利用每天5-10分鐘的時間進行訓練。
2.大小數的關系。
大小數的關系，也就是研究大數、小數、差這三個數量的關系。大數和小數、大數和差、小數和差，這三個數量中每兩個數量間有著密切的關系。這一部分也可以分為三個層次：
第一層：深入理解“同樣多”，初步理解大小數之間的關系。
第二層（理解“多”和“少”）：深入理解大小數的關系，初步理解解答有關應用題的思路。
第三層（理解關鍵句）：深化大小數之間的關系，理解大小數應用題的解題思路，初步培養學生的邏輯判斷推理能力。
3.大小數四則應用題。
小學數學研究的11種簡單應用題，歸納起來實際上是以下四種關系的應用題：相并關系、相差關系、份總關系、倍數關系。下面就后兩種關系的應用題做個具體說明。
馬老師非常重視概念教學。因為數學概念反映了客觀事物的空間形式和數量關系的本質屬性。只有抓住了最基本的概念與有關知識的聯系，才能使學生認識事物的本質。
這部分的概念教學是在二年級第一學期完成的。教師在教學乘法的初步認識時，就已經滲透了每份數、份數、總數的概念。如每盤有2個梨，有這樣的3盤。
其中每盤有2個梨，就是說每部分的數是2，滲透了每份數；有3盤，就是有3部分，滲透了份數，這節課不僅讓學生理解相同加數也就是每份的數，相同加數的個數是份數，更重要的是理解每個數量所表示的意義。這樣就為學生學習數量關系鋪平了道路。
教師在講除法的意義之前，要講清“平均分”這個概念。因為“平均分”是除法的核心。要通過“平均分”理解除法的意義，溝通減法和除法的關系，滲透乘法與除法的關系，同時也滲透了份總關系。
二年級第二學期開學后，我們便引導學生重點弄清每個數量的含義，理解數量關系。例如：每盤有2個梨，有這樣的3盤。這兩個數量之間的關系是知道1盤是1個2，就能知道3盤是3個2，要求一共有多少個梨，也就是要求3個2的總數是多少。知道一共有6個梨，有這樣的3盤。這兩個數量的關系是3盤梨的總數是6，6是3盤梨的總數。要求一盤有幾個梨，就要把6平均分成3份。知道一共有6個梨，每2個裝在一個盤里，這兩個數量的關系是有1個2就有1盤，6里面有幾個2就有幾盤，教師在引導學生理解數量關系的同時，對應用題條件及問題的結構進行滲透，使學生形成初步的邏輯推理能力，為分析解答有關乘除法應用題打下堅實的基矗通過這樣有層次、有目的的教學過程培養了學生分析、綜合、判斷、推理、抽象、概括的能力，從學生的反饋中也能看出，馬老師這種步步滲透、層層深入，抓住概念理解數量關系，在這個基礎上學習解答應用題的方法是非常科學的，是符合學生的認知規律的。正像馬老師所說，“正確解題思路的形成，決定于對數量關系的正確判斷，而正確的判斷又來源于概念的正確建立”。
大小數這部分知識可分為這樣三部分：大小數的概念；大小數的關系；大小數應用題。
（一）大小數的概念
這部分又可以分為以下幾層：
第一層：認識“同樣多”。
“同樣多”是研究大小數之間關系的橋梁，只有在深入理解“同樣多”的基礎上，才能很好地理解大小數之間的關系。
馬老師對“同樣多”概念的滲透，在教學第一冊教材認識數“2”的時候就已經開始了。當學生知道2朵花是由左邊的1朵花和右邊的1朵花這兩部分合并起來的時候，問學生“左邊和右邊花的朵數怎樣”，學生能夠說出“一樣多”、“一般多”，這時馬老師給學生準確的概念，這就是“同樣多”。這是通過具體實物在學生頭腦中初步建立“同樣多”的概念。在學“＜”、“＞”和“＝”符號時，先講“＜”和“＞”，目的是為了學“＝”，理解“同樣多”，這里仍然是通過實物圖讓學生理解，如3個蘋果和3個梨比較，沒有多余的蘋果，也沒有多余的梨，我們就說蘋果和梨的個數同樣多，也就是3和3同樣多。這時學生從具體的兩部分同樣多，已經認識到兩個數同樣多，同樣多可以用“＝”表示，也就是“＝”表示兩個數同樣多。
以上所舉這些例了都是通過學習“10以內數的認識”的過程中，逐步滲透“同樣多”這一重要概念的。
第二層：認識“大數、小數、同樣多”。前面所理解的“同樣多”是兩部分正好相等，這一層所要理解的是小數和大數里的一部分“同樣多”，如：3個蘋果和5個梨里的一部分同樣多，其中3個梨是5個梨里的一部分，3個蘋果又和梨的這部分同樣多，所以說蘋果的個數只相當于梨里的一部分，即小數相當于大數里的一部分，在這里“同樣多”就起到了重要的橋梁作用，同時“3”為什么是小數的問題也就迎刃而解了。
梨的“5個”為什么是大數呢？因為5個梨和3個蘋果比較，l個蘋果對1個梨，這樣一對應，再繼續比，蘋果就沒有了，梨還有兩個，通過比較，很自然地把大數分成了兩部分：一部分是和小數同樣多的，另一部分是比小數多的，那么把5個梨分成1和4，行不行呢？如果這樣分比不出誰大誰校分成2和3行不行呢？仍然是量在變化，還是比不出誰大誰校只有當把5個梨分成和蘋果同樣多的3個和比蘋果多的2個的時候，才能通過比較得出5是大數。所以把大數分成兩部分是在兩個具體數量比較過程中自然得出的。
第三層：通過大量實物圖鞏固大、小數和同樣多的概念。
要達到這一層的目的可不是一日之功，在這一階段，馬老師要求每天用5--10分鐘的時間讓學生以不同形式、多種角度循序漸進地來鞏固這部分知識。
第四層：從實物圖過渡到線段圖，進一步理解大數和小數，仍然利用每天5--10分鐘的時間進行訓練。
以上這四個層次均為大小數應用題的準備階段，通過這一過程的訓練使學生比較深入地理解了“同樣多”這一概念，初步認識了大小數之間的關系，使學生有了初步的分析能力。
（二）大小數的關系
大小數的關系，也就是研究大數、小數、差這三個數量的關系，大數和小數、大數和差、小數和差，這三個數量中每兩個數量間有著密切的關系，例如：3個蘋果和5個梨進行比較。3個蘋果和2個梨的關系：這2個梨是比3個蘋果多出來的部分。2個梨和5個梨的關系：2個梨是5個梨里的一部分。3個蘋果和5個梨的關系：3個蘋果相當于5個梨里的一部分。要研究這三個數量的關系仍然要抓裝同樣多”這個概念，以“同樣多”作橋梁，把“大小數的關系”轉化為“整體與部分的關系”去分析理解。
這一部分也可以分為三個層次：
第一層：深入理解“同樣多”，初步理解大小數之間的關系。
第二層：（理解“多”和“少”）深入理解大小數的關系，初步理解解答有關應用題的思路。
第三層：（理解關鍵句）深化大小數之間關系，理解大小數應用題的解題思路，初步培養學生邏輯判斷推理的能力。
（三）大小數四則應用題這一部分，數學教師應抓住關鍵句分析題目，目的是深入理解大小數之間的關系，掌握解答有關應用題的思路，培養學生分析推理的能力，使畫圖分析、解答成為一體。學習這部分知識時，每人早自習出兩道應用題，讓學生自己分析解答，直到現在（二年級第二學期）還練習這樣的題目。
通過每天幾分鐘的積累，使學生有了新的認識、新的效果、新的高度。
一、以高尚的師德育人
我熱愛和忠誠人民的教育事業，自覺遵守教師職業道德，全心全意為教育事業服務,關注教育改革。勤奮學習，刻苦鉆研，及時更新知識，不斷提高教育和教學能力。以認真負責的態度上好每堂課；用滿腔的愛關心學生，關心學生的學習,生活，積極做好學生的思想工作，循循善誘，既教書又育人。能主動、認真地服從和配合學校各級領導安排的工作，與同事們團結協作，相互幫助，共同完成學校交給的各項工作任務。
二、以認真的態度學習
新時代要求教師要不斷更新充實自己的學識，要有終身學習的觀念,具備淵博的知識和多方面的才能對每一位教師來說很重要。因為我們的產品會說話,會思考,他們什么問題都會提出來，而且往往“打破沙鍋問到底”。沒有廣博的知識，就不能很好地解學生之“惑”，傳為人之“道”。所以我認真參加學校組織的各種教研活動，我努力學習別人先進的教學經驗，改變舊的教學觀念，把新的教學理念運用在自己教育教學之上。
三、以滿腔的熱情教學
著名教育心理學家布魯納認為：“認知是一個過程，而不是一個結果。"因此，他強調“教一個人某門學科，不是要他把一些結果記下來，而是教他參與把知識建立起來的過程。”我在教學課堂教學中正確處理好教與學的關系，學與導的關系，把教與學的重點放在學生的學上，在教法上著眼于導，以學生發展為本，激發學生的求知欲，引導學生主動探索、主動參與構建知識的過程，促使學生樂學，會學,善學。
本期完成了兩位數乘兩位數,長方形和正方形的面積,三位數除以一位數的除法,統計,小數的初步認識軸對稱,實踐活動,總復習這七個單元的教學目標。主要達成了如下教學目標：
1．會筆算三位數除除以一位數的除法、兩位數乘兩位數的乘法，會進行相應的乘、除法估算和筆算。
2．會口算三位數除以一位數,商是整十、整百的數。會口算整十數乘整十數，兩位數乘整十數。
3．初步認識簡單的小數（小數部分不超過兩位），初步知道小數的含義，會讀、寫小數，初步認識小數的大小，會計算一位小數的加減法
4．認識面積的含義，能估計和測量圖形的面積，體會并認識面積單位（平方厘米、平方分米、平方米），會進行簡單的單位換算；掌握長方形、正方形的面積公式，會用公式正確計算長方形、正方形的面積，并能估計給定的長方形、正方形的面積,會利用公式解決簡單的實際問題。
5．了解統計圖，初步學會簡單的數據分析；能初步體會統計在現實生活中的作用。
6.初步認識軸對稱,知道生活中的對稱現象和軸對稱圖形,了解生活中的對稱美,感受數學來源于生活。
7．經歷從實際生活中發現問題、提出問題、解決問題的過程，體會數學在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數學知識解決問題的能力。
8．體會學習數學的樂趣，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心。
螺旋式上升的課程編排是相對于直線型的課程編排而言的，現行的教材編排可能存在改進的空間，因此教師并不一定要完全遵循教材，可以有自己的理解和處理。但是對于大部分人來說，改變教法不是最難的，難的是接受這種理論。只有深入探究“螺旋式上升”理論在教學中的實施，才能對其中可能存在的不合理因素進行能動地處理解決。
本文嘗試從三個層面對“螺旋式上升”理論在教學的應用實施進行探討，以期引發廣大同仁對深化“螺旋式上升”理論研究和實踐探索方面的思辨。
一、把握課程內容的螺旋上升，恰當定位教學目標
《數學課程標準》（2011年版）在“教材編寫建議”中明確提出：“教材在呈現相應的教學內容與思想時，應根據學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則。”如此安排課程內容，符合兒童由直觀到抽象、低級到高級、簡單到復雜的認知規律，體現了知識的由淺入深、由易到難、循序漸進的發展過程。教師要從知識的整體性、發展性的高度解讀教材，避免出現對教學內容設計意圖把握不清，造成教學目標定位不恰當的現象。
如對于“認識分數”內容，課標對第一、二學段提出不同要求，分別是“能結合具體情境初步認識分數”“結合具體情境，理解分數的意義”。蘇教版教材分三個教學段幫助學生逐步認識分數：第一教學段（三年級上冊）引入“認識分數”，第二教學段（三年級下冊）進一步認識分數，第二教學段（五年級下冊）學習分數的意義。內容編排如下表：
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以上三個輪次的教學體現出明顯的階段性要求。三年級上冊經歷從整數到分數的產生過程，認識一個物體（或圖形）的幾分之一和幾分之幾，但不給分數下定義。三年級下冊認識一個整體的幾分之一和幾分之幾，并應用對分數的理解，解決“求一個整體的幾分之一或幾分之幾是多少”的實際問題。五年級下冊系統認識分數的意義：先是結合實例初步理解單位“1”和分數單位的含義，引導學生歸納、概括分數的意義；接著在理解分數單位的基礎上，區分真分數、假分數，探討分數與除法的關系，拓展對分數意義的理解；然后應用分數與除法之間的關系，掌握“求一個數是另一個數的幾分之幾”的方法。
從三年級到五年級，完成了三次螺旋上升，不僅反映出數學學科知識的邏輯特點，還將學科與學習者的心智發展有機地結合起來。充分考慮到各個年齡層兒童的認知特點，每一冊的內容之間都存在著內在的聯系，由淺入深，逐級遞進，對于分數意義的認識在深度和廣度方面均有實質性的不同要求。這種課程體系對原有知識在復習的基礎上進一步發展，且隔一段時間在越來越復雜的形式中反復學習，學生對知識的理解會隨著年齡和閱歷的提升而逐漸深刻。
二、展現課堂結構的螺旋上升，呈現清晰教學脈絡
“螺旋式上升”課程設計和教材編排是需要與相應的教學形式相匹配的，即對于“螺旋上升”課程，應該設計出螺旋式的教學安排，幫助學生樹立數學的整體觀點。而精心安排教學環節并合理組合是優化課堂結構、提高教學效益的保證，教師在預設各教學環節間的學習內容時，要重視各環節知識間的相互聯系，體現承上啟下式的銜接和發展。
如蘇教版五年級上冊的《小數乘整數》一課，可以圍繞教材設計如下課堂教學結構：
1.激活經驗，初步感知
通過創設購買西瓜的情境，引出小數乘整數的計算問題：“夏天的西瓜每千克0.8元，買3千克要多少元？”
本環節結合具體情境，充分利用學生已有的小數連加知識和元角分的生活經驗探索“0.8×3”的計算結果，然后介紹怎樣用豎式計算“0.8×3”，并引導學生初步感知積的小數位數與因數中小數的位數是相同的。
2.積累認知，建立猜想
變化情境為冬天購買西瓜：“西瓜：每千克2.38元，買3千克要多少元？（先用加法計算，再用乘法計算）”
本情境教學，首先讓學生進一步積累小數與整數相乘計算方法的感性認識，接著引導學生初步建立猜想：小數與整數相乘時，因數中的小數是幾位小數，積也是幾位小數。
3.觀察聯想，歸納方法
新授之后，安排“試一試”：
用計算器計算下面各題，看看積和因數的小數位數有什么聯系。
4.76×12 2.8×53 103×0.25
執教時，教師可以先讓學生通過觀察猜一猜每道題的乘積是幾位小數，再用計算器加以驗證，并引導學生聯系例題獲得的感性認識，歸納出整數與小數相乘的計算方法。
4.獨立練習，完善建構
幫助學生通過練習鞏固初步歸納的計算方法，安排“練一練”。
5.拓展練習，升華理解
進一步鞏固“因數中的小數是幾位小數，積也是幾位小數”的認識，設計了以下練習。
根據148×23=3404填空。
14.8×23=（ ） 148×2.3=（ ）
148×（ ）=34.04 （ ）×23=340.4
讓學生在直接寫出得數的基礎上，說說思考的過程。訓練既有順向判斷，又有逆向推理，甚至可以訓練發散思維。如我們可以拓展設計（ ）×（ ）=3.404，學生不僅可以靈活運用本課知識解決，還可以大膽猜想出下階段的小數乘小數的有關知識。
以上對教學結構的處理上體現了五個小螺旋（感知—猜想—歸納—完善—拓展），教學流程脈絡清晰，循序漸進，學生聽得清楚、學得明白，思維訓練的深度逐漸提高，教學效果自然扎實、有效。
三、體現認知發展的螺旋上升，適時組織反思交流
數學中一些概念的建立、思想方法的感悟是一個系統過程，需要經歷逐步理解、掌握和內化，不斷積累與深化的過程，特別是數學思想的感悟與形成更是一個否定之否定的過程，常常需要在認知的揚棄中升華。
如蘇教版五年級下冊的《解決問題的策略》一課，策略的教學有別于傳統的應用題，其學習意義不僅是掌握具體問題的解法，更是感悟、體會內在的“逆推”的數學思想。本課的主要教學目標是：在解決具體問題的過程中，會用“倒過來推想”的策略尋求解決問題的思路，初步掌握運用這一策略解決問題的基本方法；在不斷反思解決問題的方法的過程中，感受“倒過來推想”的策略對于解決特定問題的價值，增強解決問題的策略意識。
為了達成以上教學目標，可以引導學生經歷三個層次的學習過程：第一層次，喚醒策略意識，尋求解決思路；第二層次，體驗策略價值，形成基本方法；第三層次，增強策略意識，辯證認識策略。這三個層次的教學可以引導學生經歷對“倒過來推想”的策略認知發展的三次螺旋上升。
第一個螺旋，可以借助回顧生活中常見的《參觀線路圖》，交流“原路返回時該怎樣行走”等生活現象，或者“正話倒說”等數學游戲，體會到“倒著思考也是解決問題的方法”，喚醒難以教會的策略意識，為下一環節的新課學習埋下伏筆。
第二個螺旋，解決“倒果汁”“收集郵票”等具體問題，引導學生經歷策略的形成過程：初步提煉，引出策略；逐層推進，理解策略；回顧反思，構建策略；對比練習，優化策略。其間，教師要關注引導學生體會解決問題“背后”所支撐的策略，組織學生討論“為什么選擇用倒推的策略解決這個問題”“怎樣的問題適合用倒推的策略來解決”“運用倒推的策略來解決實際問題時要注意什么”等問題。及時讓學生緩下腳步，駐足反思，令學生直覺經驗式的解題行為逐步走向有意識運用策略的自覺行為，實現倒推策略的提煉。
第三個螺旋，設計拓展練習，辯證認知策略。如在拓展環節設計“在一個面積256平方米的池塘里，放入0.5平方米的水浮蓮。如果水浮蓮日長一倍，10天正好鋪滿整個池塘”的問題情境。思考：“第9天水浮蓮的覆蓋面積有多大？”追問：“如果求第3天的覆蓋面積有多大呢？你用的是什么策略？”反思：“求第9天的面積你們覺得用倒推好，求第3天又說順推好，這里到底有什么秘訣嗎？”最后達成共識：“策略沒有最好，只有適合，需要具體情況具體分析，靈活運用。”
問題一：“數”和“數字”意思一樣嗎？
某教師執教三年級下冊《小數的初步認識》一課，在描述“小數的意義”時，語言不夠準確。
【教學片段1】
（1）出示超市商品及價格。
哈密瓜6.75元 蘋果4.89元 梨2.5元
師：仔細觀察這些商品價格上的數字，都有什么特點？
生：中間有小點。
師：像這樣帶有小點的數字，就叫做小數。
（2）引出課題：認識小數。
師：這節課，就讓我們走進小數的世界，一起來認識它們。（出示課題：小數的初步認識）
【思考】科學性是小學數學教學的生命線，不僅課堂上的知識要準確無誤，教師的數學教學語言也必須是科學的、嚴謹的、準確無誤的。“仔細觀察這些商品價格上的數字都有什么特點？”“像這樣帶有小點的數字就叫做小數。”這兩句話是錯誤的。大家知道，在小學階段，所有的數都是由“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”這10個數字組成的，或由這10個數字加上小數點組成小數，像6.75、4.89、2.5都是由0至9這10個數字中的幾個數字加上小數點組成的，所以像6.75、4.89、2.5都是數，而不是數字。數是由數字組成的，數字是組成數的元素。區分“數”與“數字”的區別：數是一個抽象的概念，數有無數個，有自然數、分數、小數、整數、無理數、有理數、實數、虛數、復數等。數有不同進制，數有大小之分，常用的數是一個值。數字只是個符號，是用來構成和表示數的元素，有限的數字可以構成無限的數。十進制數有10個元素。因此，教學時要正確使用數和數字兩個概念。在這里，教師應該說：“仔細觀察這些商品價格上的數都有什么特點？”“像這樣帶有小數點的數，叫做小數”。再如，十位上的數相加，不能說成十位上的數字相加；各個數位上的數的和，不能說成各個數位上的數字的和。數學教學講究嚴謹，多一個字或少一個字，表達的意思也許就完全不同。所以，我們每一位數學教師都應該注意這一點。
問題二：分數可以表示“掌聲的一半”嗎？
某教師執教的《認識分數》一課。
【教學片段2】
師：美羊羊生日，沸羊羊帶來了禮物與美羊羊共同慶祝生日。
禮物一：4個掌聲，平均分給美羊羊與沸羊羊，每人幾個？
生：每人2個。
師：2個掌聲，平均分給美洋洋與費洋洋，每人幾個？
生：每人一個。
師：如果一個掌聲呢？一個掌聲平均分給美洋洋與沸洋洋，每人幾個？
生：每人半個。
師：對了。一個掌聲的一半，可以用表示。今天我們就來認識一位新朋友（展示課題：分數的初步認識）。
【思考】“掌聲的一半”就是“半個掌聲”了，“半個掌聲”到底有沒有聲音呢？生活中能分的東西無數，非得分掌聲？“掌聲的一半”或“半個掌聲”都讓人聽起來覺得怪怪的。建議執教教師換一個情境創設。
問題三：這里有4個，對嗎？
某教師執教的《認識分數》一課，練習設計判斷題中有一道圖文判斷題。
這里有4個（ ），要學生判斷對還是錯。學生都認為錯，因為這個長方形并沒有平均分成4份，所以“這里有4個”是錯的。最后，教師認為學生說的正確。
[關鍵詞]學習起點；前測；建構；設計；效率
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）08-0023-03
《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”基于這一理念，教師在教學時首先要充分了解學生的認知發展水平和已有的知識經驗，并且對其進行客觀的分析。要做到這點，則需要教師在教學前對學生進行測試，了解學生的生活經驗、知識儲備、認知水平和思維狀態，從而真實全面地了解學生的現實起點和最近發展區。
一、了解學生的學習起點
1. 編擬前測試題
根據教學內容和學生實際，我在課前要求學生完成以下測試題：
（1） 你認為0.1元是幾角錢？
（2） 請用畫一畫等方式來表示你認為的0.1元。
（3）你認為 0.1米有多長？
（4）你能用畫一畫、寫一寫等方式來表示你認為的0.1米嗎？
2.匯總前測結果，分析學生的學習起點
對于第（2）題，全班42位學生，有28位學生能用畫圖的方式直觀地表示0.1元，理解0.1元是十角中的一角；有15位學生能利用長方形、圓形，甚至線段表示出抽象的十分之一；有6位學生能用分數元表示0.1元；有4位學生答錯。
對于第（4）題，全班42位學生，僅有13位學生答對。
顯然，學生對以人民幣單位為單位的小數非常熟悉，基本上能夠正確理解0.1元的實際含義，但對以長度單位為單位的小數比較陌生，有不少學生把0.1米誤認為1厘米或1毫米。可見，學生關于0.1元的經驗儲備比較豐富。
二、制定教學策略
1.以0.1元作為學生認識小數的切入點
學生的學習需要就是教師教學的起點和切入點。利用前測中學生表示0.1元的方法為教學切入點，讓學生在自主分析、互相交流中初步建構一位小數與十進分數之間的聯系。
2.借助米尺進行表征，解決小數意義構建的重點
在三年級上冊學習“分數的初步認識”時，學生已經積累了把1分米長的彩帶平均分成10份的操作經驗。所以，當學生認識0.1元后，教師可提問：“怎樣找出米尺上的0.1米？”學生運用已有的知識經驗，在積極解決問題的過程中能夠理解“零點幾米就是十分之幾米，十分之幾米也就是零點幾米”，進一步建構一位小數與十進分數間的聯系。
3.“從有量到無量”，突破小數意義構建的難點
為凸顯一位小數與十進分數間的本質聯系，教師可利用線段圖把以人民幣單位為單位的小數和以長度單位為單位的小數去單位后進行分析，得出“零點幾就是十分之幾，十分之幾也就是零點幾”的結論，溝通好十進分數與一位小數的聯系，使學生能夠輕松理解本節課的難點，從而掌握重點。
三、教學實踐
教學環節1：立足前測，構建新知識
（課件出示前測題目：請你們用畫一畫、寫一寫等方式來表示你認為的0.1元。）
師：昨天的前測練習中，有幾位同學這樣表示0.1元（如下圖），我們來看一看。
（請學生說明圖示的含義）
師：他們是用直觀的、畫圖的方式表示0.1元的，還有一部分同學這樣表示0.1元（如下圖）。
生1：用1個長方形表示1元，把這1元平均分成10份，其中的1份就是0.1元。
生2： 用一條線段表示1元，把1元平均分成10份，其中的1份就是0.1元。
師：剛才幾位同學用不同的方式表示了0.1元，他們的方法有什么相同的地方？
生3：相同點就是都把1元平均分成10份，其中的1份就是0.1元。
師：我發現有6位同學直接寫“0.1元=元”，他們這樣表示0.1元，你能看懂嗎？
生4：把1元平均分成10份，取其中的1份，用分數表示就是元，也就是0.1元。
（板書：把1元平均分成10份，取其中的1份，用分數表示就是元，也就是0.1元）
W生的認知水平層次是教師在教學中要考慮的核心因素，它直接關系著學習內容的選取以及學習“序”的安排。 進行前測，根據學生的前測情況有的放矢地制定教學策略，方能讓學生在自主分析、互相交流中初步建構一位小數與十進分數間的聯系。
教學環節2：動態生成，抽象概念本質
（1）認識0.1米
師：現在我們已經認識了0.1元，也知道了它表示的意思。那么0.1米表示什么意思？這里有一把米尺，誰能在米尺上找到0.1米？
生1：把1米平均分成10份，取其中的1份就是米，即0.1米，也就是1分米。
（板書：1分米=米=0.1米）
師：1分米用米做單位時可以寫成米，也就是0.1米。
