時間：2023-06-12 14:44:44
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇探索平行線的條件，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
本節課是人教版義務教育課程標準實驗教科書七年級數學（下冊）第五章第3節內容第一課時――探索平行線的性質，它是直線平行的繼續，是后面研究平移等內容的基礎，是“空間與圖形”的重要組成部分。
《數學課程標準》強調：數學教學是數學活動的教學，是師生之間、生生之間交往互動與共同發展的過程；動手實踐，自主探索，合作交流是孩子學習數學的重要方式；合作交流的學習形式是培養孩子積極參與、自主學習的有效途徑。本節課將以“生活?數學”、“活動?思考”、“表達?應用”為主線開展課堂教學，以學生看得到、感受得到的基本素材創設問題情境，引導學生活動，并在活動中激發學生認真思考、積極探索，主動獲取數學知識，從而促進學生研究性學習方式的形成，同時通過小組內學生相互協作研究，培養學生合作性學習精神。
二、案例教學目標
1.知識與技能：掌握平行線的性質，能應用性質解決相關問題。
2.過程與方法： 在平行線的性質的探究過程中，讓學生經歷觀察、比較、聯想、分析、歸納、猜想、概括的全過程。通過探究平行線的性質，使學生形成數形結合的數學思想方法，以及建模能力、創新意識和創新精神。
3.情感態度與價值觀：在探究活動中，讓學生獲得親自參與研究的情感體驗，從而增強學生學習數學的熱情和團結合作、勇于探索、鍥而不舍的精神。
三、案例教學重、難點
1.重點：對平行線性質的掌握與應用
2.難點：對平行線性質1的探究
四、案例教學用具
1.教具：多媒體平臺及多媒體課件
2.學具：三角尺、量角器、剪刀
五、案例教學過程
（一）創設情境，設疑激思
1.播放一組幻燈片。
內容： ①供火車行駛的鐵軌上；
②游泳池中的泳道隔欄；
③橫格紙中的線。
2.提問溫故：日常生活中我們經常會遇到平行線，你能說出直線平行的條件嗎？
3.學生活動：針對問題，學生思考后回答――① 同位角相等兩直線平行； ② 內錯角相等兩直線平行； ③ 同旁內角互補兩直線平行；
4、教師肯定學生的回答并提出新問題：若兩直線平行，那么同位角、內錯角、同旁內角各有什么關系呢？從而引出課題：7.2探索平行線的性質（板書）
（二）數形結合，探究性質
1、畫圖探究，歸納猜想
教師提要求，學生實踐操作：任意畫出兩條平行線（ a ∥ b），畫一條截線c與這兩條平行線相交，標出8個角。（統一采用阿拉伯數字標角）
教師提出研究性問題一：
指出圖中的同位角，并度量這些角，把結果填入下表：
教師提出研究性問題二：
將畫出圖中的同位角任先一組剪下后疊合。
學生活動一：畫圖―度量―填表
――猜想
學生活動二：畫圖―剪圖―疊合
讓學生根據活動得出的數據與操作得出的結果歸納猜想：兩直線平行，同位角相等。
教師提出研究性問題三：
再畫出一條截線 d，看你的猜想結論是否仍然成立？
學生活動：探究、按小組討論，最后得出結論：仍然成立。
2.教師用《幾何畫板》課件驗證猜想，讓學生直觀感受猜想
3.教師展示：
平行線性質1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）
（三）引申思考，培養創新
教師提出研究性問題四：
請判斷兩條平行線被第三條直線所截，內錯角、同旁內角各有什么關系？
學生活動：獨立探究―小組討論―成果展示。
教師活動：評價學生的研究成果，并引導學生說理
因為a ∥ b （已知）
所以∠ 1= ∠ 2（兩直線平行，同位角相等）
又 ∠ 1= ∠ 3（對頂角相等）
∠ 1+ ∠ 4=180°（鄰補角的定義）
所以∠ 2= ∠ 3（等量代換）
∠ 2+ ∠ 4=180°（等量代換）
教師展示：
平行線性質2：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。（兩直線平行，內錯角相等）
平行線性質3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。（兩直線平行，同旁內角互補）
（四）實際應用，優勢互補
1.（搶答）課本P13 練一練 1、2及習題7.2 1、5
2.（討論解答）課本P13 習題7.2 2、3、4
（五）課堂總結
這節課你有哪些收獲？
1.學生總結：平行線的性質1、2、3
2.教師補充總結：
⑴ 用“運動”的觀點觀察數學問題；（如我們前面將同位角剪下
疊合后分析問題）
⑵ 用數形結合的方法來解決問題；（如我們前面將同位角測量后分析問題）
⑶ 用準確的語言來表達問題；（如平行線的性質1、2、3的表述）
⑷用邏輯推理的形式來論證問題。（如我們前面對性質2和3的說理過程）
（六）作業
課本P5 1、2、3
六、教學反思
數學課要注重引導學生探索與獲取知識的過程而不單注重學生對知識內容的認識，因為“過程”不僅能引導學生更好地理解知識，還能夠引導學生在活動中思考，更好地感受知識的價值，增強應用數學知識解決問題的意識；感受生活與數學的聯系，獲得“情感、態度、價值觀”方面的體驗。
這節課的教學實現了三個方面的轉變：
① 教的轉變：本節課教師的角色從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。教師成為了學生的導師、伙伴、甚至成為了學生的學生，在課堂上除了導引學生活動外，還要認真聆聽學生“教”你他們活動的過程和通過活動所得的知識或方法。
② 學的轉變：學生的角色從學會轉變為會學，跟老師學轉變為自主去學。本節課學生不是停留在學會課本知識的層面上，而是站在研究者的角度深入其境，不是簡單地“學”數學，而是深入地“做”數學。
關鍵詞：教學案例；教材分析；學情分析
一、教材分析
“平行線的特征”是北師大版七年級數學（下冊）第二章第三節的內容。它是在學生已經初步了解并且學習了平行線的概念、平行線的判定等內容的基礎上進行教學的。它是直線平行的繼續，是空間與圖形領域的基礎知識，是后面學習和研究平移、三角形內角、三角形全等、三角形相似以及平行四邊形等知識的基礎，所以學好這部分內容至關重要。
二、學情分析
1.學生的知識技能基礎
通常，平行線的基礎學習在小學階段已經開始，因此，學生對其特征有一定的了解，只是還不夠深入。在學習“平行線的特征”之前，學生已經學習了平行線的判定方法，并能夠利用其解決一些問題，讓學生對同位角、內錯角和同旁內角的概念及應用有了一定的了解，這些知識儲備為學生接下來的平行線特征學習奠定了良好的知識技能基礎。
2.學生的活動經驗基礎
在前面知識的學習過程中，學生已經經歷了一系列的數學活動，積累了初步的數學活動經驗，具備了一定的圖形認識能力、借助圖形分析能力和解決實際問題的能力，并且初步掌握了在直觀認識的基礎上進行合情說理和直觀與簡單說理相結合的方法，初步感受到推理說明的必要性與作用。同時，在以往的數學教學中，學生已經經歷了多次合作學習的過程，具備了與同學溝通交流的能力，積累了相當多的合作學習經驗。
三、教學目標
從整體上看，數學課程教學目標包括結果目標和過程目標。結果目標使用“了解、理解、掌握、運用”等術語表述，過程目標使用“經歷、體驗、探索”等術語表述。
1.知識與技能
通過本章節的學習，要讓學生充分掌握平行線的特征，能利用其特征解決相關數學問題。
2.過程與方法
在平行線的特征教學過程中，要讓學生經歷觀察、猜想、比較、聯想、分析、歸納、概括的全過程。通過對平行線的特征的學習，使學生逐漸形成數形結合的數學思想，以及提高學生的建模能力、創新意識和創新精神。
3.情感態度與價值觀
在探究活動中，讓學生獲得親自參與研究的情感體驗，增強學生學習數學的興趣和熱情，培養學生團結協作的精神，激發學生探索未知知識的欲望。
四、教學重點和難點
本章節的教學重點是平行線特征的探索及應用。教學難點是平行線特征的探究和平行線的判定與特征的區分以及綜合應用。
五、教學設計
《義務教育數學課程標準》強調：“數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程；動手實踐，自主探索，合作交流是孩子學習數學的重要方式；合作交流的學習形式是培養孩子積極參與、自主學習的有效途徑。”本課堂將以“生活?數學”“活動?思考”“表達?應用”為主線開展課堂教學，以學生看得見、感受得到的基本素材創設問題情境，引導學生活動，并在活動中激發學生認真思考、積極探索，主動獲取數學知識，同時通過小組內學生相互協作探討，培養學生的合作性學習精神。
六、教法和學法
為了避免傳統的單向灌輸式教學帶來的不良后果，教師要注意轉變觀念、轉換角色，讓學生真正成為課堂的主人，在課堂中選用引導探索、自主探究、合作交流等教學方法，希望通過這些教學方法，讓學生形成自主學習、合作學習的良好習慣。
在學習方法上，教師要注意引導。俗話說：“老師引進門，修行靠個人。”因此，學生要主動動手畫圖、測量、對比，主動動腦猜想、討論、分析、思考，在自主探索的活動過程中形成自己獨有的觀點，逐步培養學生勤于動手、樂于思考、勇于表達的學習習慣，提高學生的學習能力。
七、教學設備和教輔用具
在數學教學前，必要的工具準備是必須的，比如，多媒體、相關課件、三角尺、量角器、剪刀以及其他紙質模型等。
八、教學過程
1.創設情境，設疑激思
（1）提問導入
首先，教師可以在教授知識前，設置一個導入性的問題。譬如：“日常生活中我們經常會遇到平行線？能說出直線平行的條件嗎？”學生思考后回答時可能說出以下答案：①同位角相等，兩直線平行；②內錯角相等，兩直線平行；③同旁內角互補，兩直線平行。如果學生不能完整地回答，教師應當做一些適當的補充。
（2）深入再問
這是導入問題后的第二個步驟，在第一個問題的基礎上再一次提出問題。接下來，可以結合圖形提問，例如，“如圖1是在三星堆考古工作中發掘出的一個殘缺玉片，工作人員復原后發現其形狀是梯形（如圖2），并且已經量得∠A=115°，∠D=100°。你能不能求出另外兩個角的度數？”帶著這個問題，教師就可以引出本課堂的內容，即平行線的特征（板書在黑板上），由此引出課題。
設計意圖：通過復習平行線的判定和生活中的實例來引入新課程，一是溫故知新，促使學生實現知識思維的正遷移；二是提高學生的學習興趣，激發學生探索知識的熱情，使學生認識到數學來源于生活，又服務于生活。
2.數形結合，探究特征
（1）畫圖探究，歸納猜想
教師提要求，讓學生實踐操作。比如，讓學生任意畫出兩條平行線（a∥b），畫一條截線c與這兩條平行線相交，標出8個角（注：統一采用阿拉伯數字標角）。接著教師可以提出研究性問題一：請指出圖中的同位角，并度量這些角，把結果填入下表：
緊接著教師提出研究性問題二：將圖中的任意一對同位角剪下后疊合。
學生活動一：畫圖―度量―填表―猜想
學生活動二：畫圖―剪圖―疊合
讓學生根據活動得出的數據與操作得出的結果歸納猜想，如兩直線平行，同位角相等。
最后，再提出研究性問題三：再畫出一條截線d，看你的猜想結論是否仍然成立？
學生活動：探究并進行小組討論，從而得出結論仍然成立。
（2）展示平行線的特征
兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡記為：兩直線平行，同位角相等。
設計意圖：此環節為本課堂的重點內容，所以給學生留有充分的操作和探索空間，讓學生通過測量、剪拼、猜想、討論、歸納概括出平行線的特征，讓學生在充分的活動中能發揮自己的聰明才智，用不同的方法來驗證結論，開拓學生的思維，培養學生的創新能力，也讓學生體會從特殊到一般的數學思想。當然，最重要的是培養學生的操作能力，為以后探究更多更復雜的圖形性質打好基礎，積累經驗。
3.合作探究，歸納結論
教師提出研究性問題四：請判斷兩條平行線被第三條直線所截，內錯角、同旁內角各有什么關系？
學生活動：獨立探究―小組討論―成果展示。
教師活動：評價學生的研究成果，并引導學生進行簡單的
說理。
如圖3，因為a∥b（已知）
所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）
又因為∠1=∠3（對頂角相等）
所以∠2=∠3（等量代換）
又因為∠1+∠4=180°（鄰補角的定義）
所以∠2+∠4=180°（等量代換）
教師展示：
平行線的特征2：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相
等。簡記為：兩直線平行，內錯角相等。
平行線的特征3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡記為：兩直線平行，同旁內角互補。
設計意圖：通過學生的自主探究和師生之間的合作交流，讓
學生體會與他人合作的重要性，體會轉化、歸納的數學思想。在說理和歸納的過程中，鼓勵學生大膽發表自己的見解，培養學生的推理能力和語言表達能力。
4.辨析關系，加深理解
教師提出研究性問題五：平行線的判定與平行線的特征有什么區別和聯系？
學生活動：獨立思考―填寫下表―成果展示。
教師活動：歸納總結――證平行，用判定；知平行，用特征。
設計意圖：通過表格的填寫，讓學生從結構特征上明晰平行線的判定和特征的區別與聯系，加深對結論的理解，明確在解決具體問題時如何選擇運用判定和特征。
5.實際應用，深化理解
為了深化和鞏固所學知識，教師應當舉一些典型的例子進行講解。
例1.如圖4，已知AD∥BC，AB∥DC，∠1=100°，求∠2，∠3的度數。
例2.如圖5，一束平行光線AB與DE射向一個水平鏡面后被反射，此時∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1，∠3的大小有什么關系？∠2與∠4呢？（2）反射光線BC與EF也平行嗎？
設計意圖：例1是特征的直接應用，例2是判定與特征的綜合應用，題目的難度都不大，主要是讓學生體會知識的應用和推理論證過程，感悟推理的依據和結論之間的關系，養成合情推理的習慣。例2要求學生進行小組討論、綜合分析、自主提高，使學生能夠靈活應用平行線的判定和特征來解決問題。
6.練習鞏固，應用提高
課后教師應當布置一些練習題目，比如，1.解答本課堂前面提出的“殘缺玉片”問題；2.課本隨堂練習。
設計意圖：通過布置練習題的方式，既鞏固了新知，又訓練了學生思維的靈活性與開闊性，還能讓教師及時發現問題，做好評講糾正工作。
7.梳理反思，感悟收獲
最后教師可以進行總結性的提問，如：談談本課堂你的收獲？
（1）學生總結：a.平行線的特征；b.平行線的判定與特征的
異同。
（2）教師補充總結：a.用“運動”的觀點觀察數學問題（如我們前面將同位角剪下疊合后分析問題）；b.用數形結合的方法來解決問題（如我們前面將同位角測量后分析問題）；c.用準確的語言來表達問題（如平行線的特征表述）；d.用邏輯推理的形式來論證問題（如我們前面對特征2和3的說理過程及例題的解答過程）。
設計意圖：引導學生對知識進行再回顧，加強理解，形成知識體系，為運用打牢基礎。
8.分層作業，培養能力
進行總結性發問后，教師還要布置適量的作業，并把作業分成必做題、選做題以及實習作業等，這就是檢驗學生是否將知識消化的措施。
設計意圖：學生可以根據自己的學習水平去自行選擇選做
題，減少不必要的作業負擔，使不同層次的學生得到不同的發展。通過作業進一步鞏固所學知識，使之學有所用。
數學教學要注重引導學生探索與獲取知識的過程，而不僅僅是注重學生對知識內容的汲取，因為“過程”不僅能引導學生更好地理解知識，還能夠引導學生在活動中思考，更好地感受知識的價值，增強應用數學知識解決問題的能力；能夠感受生活與數學的聯系，獲得“情感、態度、價值觀”方面的體驗，讓學生親身體驗到數學知識來源于實踐，從而激發學生的學習積極性。同時，課堂設計為學生提供了大量操作、思考和交流的機會，學生通過“操作―思考―交流”的過程層層深入，最終得出了平行線的三個特征。通過這樣的過程，學生逐步體會到數學知識的產生、形成、發展與應用的過程。另外，在教學過程中還需要注重引導學生在具體操作活動中進行獨立思考，鼓勵學生發表自己的見解。通過自主發現問題、探索問題、獲得結論的學習方式，還有利于培養學生獨立思考的能力。當然，筆者的教學方式也有一些不足之處，駕馭課堂的能力還有待加強。
參考文獻：
[1]董彩君.初中數學“情境―問題―討論―反思”教學模式的實踐研究[D].華東師范大學，2008.
[2]孫雅琴.滲透數學基本思想的初中數學課堂教學實踐研究[D].重慶師范大學，2012.
[3]耿巖.初中數學課堂情境探究式教學模式的應用探索[D].揚州大學，2011.
[4]牟麗華.幾何畫板優化初中數學教學的案例研究[D].重慶師范大學，2012.
[5]張力瓊.初中數學教學中滲透數學思想方法的教學策略研究[D].西北師范大學，2007.
[6]尤如龍.從一次課堂上的教學案例來認識初中數學教學[J].數學學習與研究，2011（6）：80.
[7]聶芬.初中數學教學中“支架式”教學模式的應用研究[D].西北師范大學，2012.
關鍵字：初中數學；問題主導；自主學習
學生自主學習能力的培養是新課改的重點之一，初中數學作為基礎教育的重要組成部分，在學生自主學習能力培養中發揮著重要的推動作用。筆者認為，引導學生自主學習的重點在于調動學生的積極性和參與度，讓學生無論是在課堂還是在課外都能夠有章可循，實踐自主學習，因此，筆者倡導以問題為主導建立自主學習模式，讓科學的引導和有效提問幫助學習提升學習能力。本文以“探索平行線的性質”一節內容的學習為例，對問題主導模式下學生自主學習進行詳細分析和探究。
一 從課前啟迪入手，動手動腦探思路
即便是新課程改革的熱潮中，很多教師也都輕視甚至是忽略了課前預習這一步，多數教師只是草草將該部分帶過，由于沒有恰當的指示和引導，學生并不知道預習的重點在哪里，只能盲目粗讀一遍教材，走馬觀花一般，難得實效。
筆者認為，預習階段是問題主導模式下自主學習的第一步，它是引導學生自主學習的開始，更是課堂有效進行的保障。有效的課前預習應該充分體現自主學習的精髓，以教師的科學指導為主線，融教材內容和學生的實際生活為一體，以發揮學生的主動性為主要目的，指導學生實踐預習實效。教師要以問題來誘導學生展開課堂預習，讓學生既能夠充分熟悉課堂內容，還要發揮學習主動性，動手尋找相關資料，并且在這個過程中有意識地提出一些問題，發現數學學習的樂趣所在。
教學實錄
課前，我提了這樣幾個問題以便給學生的預習提供思路：
（1） 通過閱讀課本，你是否能明白什么是平行線？
（2） 在生活中，你能發現哪些地方利用了平行線？
（3） 想一想，我們怎樣進一步了解平行線？
這些問題層層深入，給學生進行預習指明了方向，讓課前預習不再是蜻蜓點水，為接下來的課題學習做好了準備。
二 以課堂教學為重，層層深入巧引導
傳統的數學教學模式過于強調數學的抽象性、完美性和唯一性，無形中束縛了學生的思維，也在一定程度上打擊了學生積極性和主動性。然而，自主學習模式下的數學課堂卻強調學生探索和創新能力的培養，鼓勵學生在教師的引導下大膽想、主動做，實現思維和行動的雙向突破。筆者認為，教師要放開教學思路，在把握好教學內容和課堂進度的基礎上，大膽引進新穎多變的教學方式，提出探究性的問題，搭起討論大舞臺，為自主學習有效引路。
1關注個體差異，合作教學先行
初中生理性思維仍在發展之中，往往很難獨立完成探索的全過程，所以合作教學極為必要。每個學生對數學的理解和感知能力都不同，有的學生善于思考，有的學生精于觀察，有的學生動手操作能力強，這些差異正是合作教學的基礎，教師要充分關注學生間的差異，以優勢互補的原則將全班學生分為幾個合作小組，以小組為單位進行自主學習的探索，每個人都能在小組中揚長避短，找到自己的定位，相互合作，共同進步。由于初中生的好勝心多半很強，合作學習還給不同小組間創造了競爭的條件，能夠有效激發學生的競爭意識，從另一個方面促使自主學習的動態生成。值得一提的是，這樣的學習小組最好是相對穩定的，固定的合作關系能夠培養學生之間的相互默契，幾次合作后學生就會輕車熟路，無需教師再多加指導便能夠自覺和同伴一起進行課堂探索。
2 課堂教學“趣”當前，鋪開自主學習路
“興趣是最好的老師”，在課堂上引導學生自主學習的關鍵就是要引起學生無限的學習興趣，只有在興趣的引領下學生才能夠有欲望進行課堂探索。所以教師要利用課堂導入和問題的提出進行巧妙誘趣，為自主探索做好鋪墊。
根據多年的教學經驗，筆者總結出幾條有效的誘趣方法：（1）創設問題情境融趣。問題情境能夠將數學問題植入生動、具體、有趣的環境中，將抽象的數學語言轉化成學生容易理解的文字、圖像、符號等，降低理解難度，有效引起學生對數學問題的關心；（2）巧用學科特性引趣。數學學科的生活特性是一大潛在的興趣因素，教師要迎合學生的心理，從生活中找尋學生所感興趣的問題并將其與課堂內容巧妙銜接，在真實還原數學生活本質的同時，讓學生感受到數學知識的趣味性，吊起他們對數學學習的“胃口”，實現自主學習能力的有效提升；（3）多媒體教學釀趣。多媒體教學具有圖文并茂、聲色俱佳的特點，大大降低了數學的抽象性，符合學生的認知規律。在教學過程中教師不妨適當利用多媒體教學，將課堂變得生動活潑，讓學生在輕松愉悅的環境中習得知識。
教學實錄
（為了引起學生對平行線學習的興趣，在課堂伊始，我首先提出問題）
教師：經過課前的調查和研究，你們發現了生活中存在哪些平行線現象？
（由于課前做好了充分的準備，學生紛紛踴躍回答）
生1：供地鐵行駛的鐵軌。
生2：游泳池中的泳道隔欄。
生3：作業本中的橫格線。
生4：書架上的隔板。
。。。。。。
教師：同學們回答得非常好，這些都是生活中的平行線現象，那么大家想一想為什么平行線的應用這么廣泛呢？如果沒有平行線，生活中的這些現象會是什么樣的景象呢？
（學生開始饒有興趣地小聲討論，想象著會發生什么有趣的現象）
教師：老師也和你們一樣想象著沒有平行線我們的生活該是什么樣，而且還在課前制作了一條1分鐘的動畫，現在就請大家觀看動畫。
（教師利用多媒體播放動畫，學生看得津津有味）
（由于動畫生動、具體并且幽默地表現了生活中的各種平行線現象并且假想了一些沒有平行線的情況，讓學生直觀地感受到平行線永不相交的重要特性，在歡聲笑語中燃起了繼續學習探索的興趣）
3教師睿智引導，動手探究促學習
濃厚的探索興趣只是自主學習的開始，卻遠不是重點，引導學生自主動手、動腦探索才是自主學習的心臟。問題主導模式下的自主學習要求教師能夠提出有效的問題幫助學生開拓思路，更要采用有效方法引導學生自主探索。
在進行探索的過程中，教師要引導學生從不同的角度進行觀察、比較，教會學生正確運用猜想和驗證的方法，全面分析和探索的同時產生對知識間的聯想，加深對知識的理解，在探究的過程中全面提升學生的數學能力。與此同時，還要幫助學生在全面參與探索的過程中獲得親自參與研究的情感體驗，感受到成功的樂趣，并讓學生形成合作學習、勇于探索的習慣，進一步增強學習的熱情。
教學實錄
教師：現在請大家用你們手中工具畫出兩條平行線，然后畫出一條截線，同學們可以看到這條截線與兩條平行線交出八個小于平角的角，請同學們動手量一量這八個角的角度，看看發現了什么。
（學生動手操作，教師也在黑板上畫出平行線，跟學生一起探索）
生1：有些角的角度相同，有些互補。
生2：是呀，老師你看，這邊的∠1和∠3和∠5都相同，但∠2和∠4互補。
生3：那么重新畫一條截線會不會也有同樣的結論呢？
教師：看來大家已經發現了一些東西，你們提出來的質疑也很好，那么現在就請你們再畫另外一條截線，看是不是也有同樣的結論？
（學生再次動手操作，開始驗證，發現結論一致）
教師：我們剛才的出來的結論是不是正確的呢？用一種方法可不行，請同學們想一想還有沒有另外一種方法來證明剛才的結論？
生1：能不能把角減下來拼湊一下呢？記得我們當初學習角的時候就是這么做的。
生2：我也記起來了，這方法應該是可行嗎？
教師：你們的想法可真好。到底能不能行試一下不就知道了么？
（學生再次動手探索，將角剪下來，同位角、內錯角相拼重合，得到同樣的結論，經過此番探索，學生深刻理解了平行線的性質，無需教師再多費口舌，費心講解，課堂效果格外好）
三 讓課后延拓繼續，自主學習不間斷
課后延拓是完整的課堂自主學習的深化和拓展。課堂上學生接受了大量的信息，有些并不能立刻就領會其中的深意，還需要課后細細琢磨，方能融會貫通。
布置具有針對性的作業是幫助學生課后自主學習的有效方法，作業從不在多，只在乎精，教師不能照搬課本上的習題，而是要結合教材習題，并參考輔導書，再在準確把握學生的具體學情和教學內容的基礎上親自為學生設計作業，著眼于數學方法的積累和應用，讓學生在復習課堂內容的同時，加深對知識的理解，并樹立起應用意識。
教學實錄
在課堂即將結束之際，我再次提出問題：通過今天的學習，我們了解了平行線的特征，那么我們該怎樣利用這些特征來解決實際問題呢？從今天的學習中你得到了什么啟示？今后我們該如何進行數學知識的探索？
這些問題具有很大的開放性，學生可以根據自己的情況在課后自由發揮，自主尋求突破點，由自己感興趣的地方出發，更深層探尋數學的奧秘，讓數學學習由課堂延續到課外，不斷加強自主學習能力。
總之，問題主導模式下的自主學習以科學的數學問題為主線，以學生主動參與為特點，兼顧課堂內外，將課前預習、課內學習與課后延拓巧妙銜接起來，全面調動學生的參與意識，提高學生的自主學習能力。
一、優化教學過程，采用多種教學組織形式
數學教學的組織形式是多種多樣的，既可以是教師講授分析來完成教學任務；也可以是學生自主探究、合作交流、實踐研究等來實現教學目標；還可以是師生討論、師生自制教具等來完成教學要求；或是引入生活實例、數學模型、圖片資料等開展課堂教學；亦或利用多媒體課件、幾何畫板、交互白板等現代化手段進行輔助教學。選擇這些組織形式，需要根據教學內容、學生實際、教學條件而定，并優化組合，以增強數學教學趣味性，讓學生在愉悅的氛圍中主動思考，輕松學習，深刻理解數學知識，學會應用實踐。
如教學“探索平行線的性質”這一內容時，教師可基于“生活·數學”、“活動·思考”以及“表達·應用”的主線進行新課的教學，選用同學們熟悉的基本素材，結合多媒體技術，設置問題情境，組織學生進行學習活動，同時巧用這些活動來培養學生積極思考與主動探究的良好學習習慣，使他們自主地獲得數學知識，養成研究性學習的習慣。另外，利用小組互相協作研究，促進學生形成合作意識。
具體實施如下：1.巧設情景，設疑引思：展示幻燈片，如橫格紙中的線；游泳池中的泳道隔欄；火車鐵軌等。提問：在日常生活中，平行線是十分常見的，那么直線平行有什么樣的條件呢？學生思考后回答各異。對于學生的各種答案，教師予以肯定，但不直接告知學生結果，而是繼續引導：如果兩條直線平行，猜猜同旁內角、內錯角、同位角分別有著怎樣的關系？于是將學生引入新知探究活動中。2.數形結合，探索性質：（1）畫圖探究，歸納猜想：先隨意畫兩條直線平行a與b，再畫一條截線c和a、b相交，并用阿拉伯數字標出各個角。然后提出研究性問題：①指出同位角，并度量角的大小，填寫結果。
②從所畫的圖形中任意剪下一組同位角，然后加以疊合。學生活動1：先畫圖，再度量，而后填表；學生活動2：先畫圖，再剪圖，然后疊合。然后引導學生依照活動而得的數據以及操作而得的結果，進行猜想：若兩條直線平行，那么同位角相等。
③作出另一條截線d，驗證猜想是否依舊成立？學生通過小組討論與探究后，可看出結論依舊成立。（2）借助“幾何畫板”來驗證猜想，幫助學生更直觀地體會猜想，加深知識理解，把握平行線性質1：兩直線平行，同位角相等。3.拓展與思考。研究性問題④：若兩平行線被第三條直線所截，同旁內角、內錯角又分別有著怎樣的關系呢？要求學生先獨立思考、自主探究，然后小組討論交流，最后展示小組研究成果。而教師則對學生研究成果加以評價，引導學生說理，并總結歸納，得出平行線的另外兩條性質。4.實際應用，優勢互補：呈現相關的習題，要求學生搶答或者討論解答。
二、強化知識體驗，引導學生進行探究活動
初中生具有爭強好勝、好動好玩的個性。因此，在初中數學教學中，教師可設計豐富多彩的探究實踐活動，以調動學生的參與積極性，使他們動手操作，自主探究。同時，在探究過程中，體會成敗，體驗探究與實踐的樂趣，為今后的數學學習奠定良好的心理基礎，使其敢于應對各種學習困難，學會靈活運用所學的數學知識來解決問題，從而增強學習信心。
如教學“展開與折疊”這一知識時，教師可設計多種學生活動，引導學生自主探究新知。探究活動1：要求學生拿出準備好的正方體，然后在其表面沿幾條棱剪開，展開使之成平面圖形。小組討論：可以獲得哪幾種平面圖形？學生實踐活動，教師則注意巡視指導，關注學生活動情況，鼓勵各組學生展示本組的制作成功，比比哪組的剪法，并整理學生作品，獲得更多的展開平面圖形。探究活動2：你們是否可以展開正方體，使之變為如下圖所示的圖形？
作為數學教師要有這樣一種認識，完善學生的素質和提高學生的成績，是一種相輔相成的關系。教師要舍得花時間來完善學生的綜合素質，這不僅不會降低學生的成績，反而會大大提高學生的成績。而數學學科的大部分時間都是在講題做題，所以在做題中提升學生的素質是使單元教學目標和課程目標相統一的很好的一個途徑。
例如，在講解“三角形內角和定理”時，傳統上很多教師是按書中例題的證法進行證明之后，馬上讓學生練習定理的應用。如果只是這樣，不和其他知識相互聯系，這一知識就成為了孤立的知識，就不能使學生多方面的素質得到提升。
可以從以下幾個方面對學生的綜合素質進行提升。
1 聯想能力
從啟發學生尋找證明思路上，訓練學生聯想能力。要證明內角和是180。，要讓學生知道應該聯想所學過的與180°相關的知識。通過聯想可知目前學生所學過的與180°相關的知識只有兩個：①平角，②兩平行線間的同旁內角。這種聯想能力和意識非常重要，幾乎在每一道題中都會用到，聯想是解決問題的突破口。要告訴學生這種數學聯想方式，在解決生活中的問題時同樣適用，這樣就把數學思維和生活緊密地結合起來。
2 創造能力
雖然聯想到了平角和同旁內角，但這三個內角的位置既不是平角，也不是同旁內角，這時就需要創造條件，引導學生用“運動的思想”，想辦法搬動角使三個角構成平角或同旁內角，而我們學過的可以通過構造等角使角“運動”的方法，只有兩直線平行內錯角或同位角相等，這樣學生就逐漸地想到了以下的方法(生活中也是這樣通過創造條件縮小理想和現實之間的差距)：
通過探究，可以得出以下幾種輔助線的作法：
①如圖1，延長BC得到一平角∠BCD，然后以CA為一邊，在ABC的外部畫∠1=∠A。
②如圖1，延長BC，過C作CE∥AB。
④如圖3，過C作CD∥AB。
⑤如圖4，在BC邊上任取一點P，作PF∥AB，PE∥AC，
學生可能還有其他畫法。
通過以上分析、研究，讓不同做法的學生講解依據。
①根據平行線的判定及性質，利用同位角把三角形三內角轉化為一個平角。
②根據平行線的性質，利用內錯角和同位角，把三角形三內角轉化為一個平角。
③根據平行線的性質，利用內錯角，把三角形三內角轉化為一個平角。
④根據平行線的性質，利用內錯角，把三角形三內角轉化為兩平行線間的同旁內角。
⑤根據平行線的性質，利用內錯角、同位角或同旁內角把三角形三內角轉化為一個平角。
3 思想提升
探索到這里就結束這節課應該說上得也不錯，但如果到此為止學生的思路和思維還遠遠沒有得到充分的提升，我們還應從探索的過程中繼續尋找教育的契機。通過觀察探索可以向學生講解“廣義對稱的思想”(機會均等、利益均沾)：因為對三角形的三個頂點和三條邊來說所處的地位和擁有機會是一樣的，因此在點A能辦到的事，在點B、C也一定能辦到，在邊AB能辦到的事情是其余兩邊也能辦到，這樣輔助線的添加位置還可以找到很多。在繼續深入換角度聯想，在頂點能辦到的事，在邊上是否可以做到，在邊上可以做到，在邊外可不可以做到，在三角形內可以做到的事，在三角形外是否可以做到。有了這樣的思考，這道題還可以找到很多平移角的方法。關鍵是通過這樣的探索打開學生的思維，學習分析問題的方法，使學生的思想認識得到提升。
4 廣泛聯系
這道題還可以用特殊化或極限的思想來探索三角形內角和的趨勢走向。比如在幾何畫板上拖動三角形一頂點A，使其接近對邊，會發現當角A接近180°時另兩個角的度數將近于0°，由此可猜測三角形內角和的度數可能為180°。有了這樣的思想，在探索三角形的外角和多邊形的外角和定理時，不少學生會用這種思想很好地猜測出多邊形的外角和是360°，這為今后的學習奠定了非常好的基礎，也為高中的學習做了鋪墊。
5 多解歸一、多題歸一
那么如何尋找合適學生學習數學概念的切入點，讓學生更輕松地學習新概念，更容易理解新概念，下面就談談本人的一些做法。
一、通過生活的感性材料，給學生直觀形象地引出新概念
我們的日常生活處處有數學，在進行數學概念教學時，要善于把日常生活中熟悉的事物作為感性材料，引導學生通過對這些感性材料進行認真觀察、仔細比較、深入分析并且總結歸納，從而去獲取新概念。
如，要指導學生學習“平行線”的概念，首先可以讓學生觀察生活中的牛奶盒、食品袋、窗戶、桌子、椅子等帶有對應的兩條邊的“平行線”生活用品。這些生活用品其實就藏著關于“平行線”的數學信息，這些數學信息或分散或隱蔽，但都切切實實存在于我們身邊，需要我們在進行“平行線”概念教學時引導學生去觀察、去比較。在比較分析了牛奶盒、窗戶、桌子、椅子上下邊的屬性的基礎上，引導學生找到這些物品上下邊存在的關系：兩條直線，在同一個平面內，兩條邊可以無限延長，永不相交，等等。在師生的共同比較分析總結中讓學生發現它們的共同屬性：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點；等等。最后抽象出本質屬性，得到平行線的定義。
通過感性材料入手歸納新概念，是建立在學生已有的生活經驗的基礎上開始概念教學的，教師要善于從生活中的感性材料入手，引導學生從表到里進行觀察并分析，這樣就能讓學生輕松地從熟悉的事物中找出事物的共同本質屬性，從而幫助學生形成概念。
二、運用舊知識，引導學生歸納總結新概念
在進行數學概念教學時，要善于運用學生已經掌握的一些相關的舊知識來講授將要學習的新概念，這樣學生是比較容易接受的。數學知識不是獨立存在的，它們是相互聯系的，教師就要充分運用學生已學的舊知識來引出新概念。
例如，從求幾個數的“倍數”引出與舊知識“倍數”有關的“公倍數”、“最小公倍數”等新概念。上課初始，給出“分別求出2、4、8、16這幾個數的倍數”，讓學生把這些數的倍數列出來：2的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18……4的倍數有4、8、12、16、32……8的倍數有8、16、24……16的倍數有16、32、48……列出數據后，再讓學生通過對這些數據的分析，談談自己的發現，從而讓學生在已有概念“倍數”的基礎上，歸納總結出“公倍數”、“最小公倍數”的概念。這種體驗過程是學生鍛煉自己的觀察能力、分析比較能力、歸納概括能力的過程，也是學生從已有的知識出發，在舊知識的基礎上學習新知識的過程，這是建立數學概念的一種很有效的教學方法。
因此在進行新概念的教學時，教師就要在備課上下工夫，先分析要學習的新概念與學生已掌握的哪些舊知識有著內在的聯系，再運用這些內在的聯系進行從舊概念引出新概念的教學。把已有的舊知識作為學生學習新知識的基礎，用舊引新，再化新為舊，循環往復，促使學生明確了概念，又掌握了新舊概念間的聯系。
三、通過學生的動手實踐，揭示新概念
概念是思維的基本形式之一，數學概念是構成數學知識的基礎，是對客觀事物的數量關系、空間形式或結構關系的特征概括，是對一類數學對象本質屬性的真實反映，讓學生形成概念，最好能讓學生動手實踐后再揭示新概念。
讓學生動手實踐是小學數學教學中最常見的教學形式，對學生學習新知識起著很大的作用。動手實踐能使學生積極主動參與教學過程，能讓學生自己通過觀察、實踐、探索發現新學知識的規律，揭示新概念的本質。
例如在進行“梯形的面積計算公式”的講解時，教材在編排上不同于平行四邊形和三角形面積的計算，沒有用數方格的方法來求出梯形的面積，而是直接給出了一個梯形，引發學生思考怎樣用求三角形面積的方法把梯形轉化為已學過的圖形來計算面積。在教學中，我鼓勵學生大膽地動手操作，允許學生把自己手中的2個梯形任意剪拼、擺拼，通過動手實踐，探索梯形面積的計算。回顧操作過程，師生共同總結出：根據長方形、正方形是平行四邊形的特例，兩個完全一樣的梯形可以拼成平行四邊形。所拼成的平行四邊形的底＝梯形上底＋梯形下底，所拼成的平行四邊形的高＝原梯形的高。因為平行四邊形的面積＝底×高，而它又是所拼的等腰梯形面積的2倍，所以等腰梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2。
這樣的教學方法為學生提供了一個更大的創新思維空間，使學生的創造力得以發展，不僅學生理解了所學的新概念，而且動手操作能力也得以提高。
四、重視概念中字詞的教學，讓學生準確理解新概念
在數學概念中，重要的字、詞就是一個條件，教師在教學中應從多個層次、多個角度去引導學生分析概念，從而幫助學生準確地去理解概念。
如何重視概念教學中的重要字、詞？教師在教學時，應盡可能使用平實的語言去分析關鍵詞語。例如，在指導學生理解平行線概念的教學中，我就注意抓住課本中“像這里的幾組在同一平面內永不相交的兩條直線互相平行”這句話，利用這句話對平行線描述的關鍵詞“同一平面，兩條直線，不相交，互相平行”進行教學。首先運用教學課件出示不相交的情況的圖形，然后教師講述“像圖中的幾組在同一平面內永不相交的兩條直線互相平行。”，著板書：“同一個平面內，不相交的兩條直線互相平行。”結合板書提問：“為什么要說互相平行呢？”讓學生理解互相平行的意思：平行是相對的，是同一平面內，一條直線與另一條直線的相對位置關系。接著提問：“我們能把一條直線叫做平行線嗎？”引導學生說出：其中一條直線是另一條直線的平行線。根據前面學生的理解，教師繼續緊抓概念中的關鍵詞語不放，追問：“你認為平行線這個定義中，哪些詞是關鍵詞，缺少某個關鍵詞行嗎？為什么？”從而再次強化了關鍵詞：同一平面、兩條直線、不相交、互相平行。這樣，學生對平行線概念的理解也就更清楚準確了。
實踐證明，把概念逐層解剖，抓住概念中的關鍵詞進行引導，才能讓學生認清概念的本質屬性，對概念有清晰、準確的認識。
關鍵詞：新課程；溝通；自主探究；合作學習
新課程標準中指出，數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。課堂教學作為教師活動的主陣地，是學生學習科學文化知識的主渠道，也是學生獲得知識與技能的主要途徑。怎樣才能較好地提高數學課堂教學質量?筆者根據多年的教學經驗認為：關注學生的學習狀況，激發學生的學習興趣，增進師生之間和生生之間的良好溝通，讓數學課堂煥發生命的活力，是提高數學課堂教學質量的關鍵所在。
一、創設問題情境。增進師生和生生之間的多向溝通
問題是數學的心臟，問題是思維的起點。創設有助于學生自主探索的問題情境，是學生課堂溝通探究的首要條件。教師要根據教學內容的特點，結合課堂教學實際，精心設計能激發學生的好奇心和求知欲的問題，使學生積極思維與探究。
例如，引入“探索三角形全等的條件(一)”時，教師設計問題情境：為了創建文明和諧的校園環境，學校決定在進行校園綠化時，在道路兩旁增設兩個全等的三角形草坪。施工單位已經完工，校方想驗證這兩個草坪是否符合要求，你認為該如何檢驗呢?談談你的想法。問題一提出，立刻引起了學生的討論、猜測，使學生產生濃厚的興趣，這就激起了學生已有的認知結構和當前研究課題的認知沖突，促使學生從不同角度探索解決問題的辦法。
問題的創設可從實際生活中取材，數學來源于生活，又服務于生活，實際問題與學生生活密不可分，學生面對這些問題往往躍躍欲試，想學以致用；問題的創設也可以從趣味問題、數學家的故事、典故等引出，這樣可加強對學生科學精神的培養，激勵學生堅持真理，勇于創新；問題的創設還可從鞏固舊知識上引發新問題，用知識的聯系來啟發思維，培養學生轉化、類比等數學思想……問題的創設應注意從學生生活實際出發，與教學的內容緊密聯系，并且還應有適當的難度，否則就不能激發學生溝通的興趣。
二、營造動手實踐、自主探究與合作交流的氛圍。為學生溝通創造有利條件
新課程標準中指出數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會、技能、數學思想與方法，獲得廣泛的數學活動經驗。而且事實上學生通過在做一做中探索發現規律并與同伴溝通交流，達到學習經驗共享，長期堅持可以培養學生的合作意識與交流能力，在交流中鍛煉自己，把思想表達清楚，并聽懂、理解同伴的描述，提高表達能力和理解接受能力。
例如在七年級上冊的第三章“字母能表示什么”中，先給出圖形。
(1)按照圖1所給的方式，搭1個正方形需要幾根火柴棒?搭2個和3個正方形各需幾根?
(2)搭10個這樣的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100個這樣的正方形需要多少根火柴棒?你是怎樣得到答案的?
(4)如果用x表示所搭正方形的個數，那么搭x個這樣的正方形需要多少根火柴棒?
讓學生通過動手搭正方形，通過親身操作與思考找出正確答案，讓每個學生都有成功的體驗。同時，在經歷探索正方形的個數與火柴棒的根數之間的規律的過程中，通過小組合作交流使學生運用自己的語言表達自己的方法，讓學生體會探索一般規律的必要性，最終形成符號表達式，形成初步的符號感。在這一過程中，每個學生都有機會發表自己的觀點和看法，無論這看法正確與否。其次在設計小組合作學習的步驟時，應由易到難，讓不同層次的學生都有所思、有所得。
三、構建以學生為中心的數學課堂教學活動，讓學生在溝通中發展
學生是課堂的主體，教師是數學學習活動的組織者、引導者和合作者。數學新課程提倡在課堂上生與生、師與生之間溝通互動、共同發展。教師的教學活動過程大致是：(1)精心設計教學過程，完善課程設計，積累教育素材，提高教育水平；(2)提供背景材料，引導、布置探索內容，參與討論；(3)協調學生之間的交流；(4)完善評價體系和實施評價。學生應進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。在這些過程中，數學教育從“文本教學”回歸到“人本教育”，教師不再是真理的化身、絕對的權威，而是學生的朋友和伙伴，是智慧的指路人。教師主動走進學生的心靈，一方面要“尊重”、“保護”、“關愛”學生，另一方面又要“喚醒”、“激勵”、“發展”學生。教師要像對待荷葉上的露珠一樣，小心翼翼地保護學生幼小的心靈、智慧的火花。
在北師大版九年級上冊“池塘里有多少條魚”的教學中，教師引導學生進行模擬實驗：
問題1：一個口袋里裝有8顆黑棋，20顆白棋，任意摸出1顆，摸到黑棋的概率有多大?若任意摸出l0顆，你能推斷這l0顆中可能有幾顆黑棋嗎?為什么?(教師演示后，學生順利作答。)
問題2：一個裝有若干圍棋子的口袋里，只知道有8顆黑棋，那么有沒有辦法估計口袋里的白棋數?(關鍵條件：其中已知有8顆黑棋，其余均為白棋。學生分組討論。)
師提示：根據規則，棋子不能全部摸出來數，也就是說，棋子可以摸一顆后放回，也可以摸一部分后放回(教師可以做一些動作演示)。
(由學生分組討論，確定一名中心發言人交流。)
經過各組的討論總共有三種方法：
生1：可以從口袋中每次任意摸出一顆棋子，記下顏色后放回，多摸幾次后，以黑白次數比估計全體黑棋與全體白棋的數目比，從而推斷口袋中的白棋數目。
生2：可以從口袋中每次任意摸出一把棋子，記下黑白數目比后放回，以黑棋或白棋出現的數目與總實驗次數的比來估計全體黑棋或白棋與總棋子的數目比，從而推斷口袋中的白棋數目。
生3：取8顆棋，稱一下其重量，放回后，再稱一下棋的總重量，根據其比例關系就可估計出白棋的數量。師：三個組的同學的回答都非常精彩，請大家思考一下，這三組同學分別用了什么樣的思想方法來解決問題。
把學生的結論上升到理論高度，讓學生知道方法正確與否必須有理論的支持。最后大家得出結論：生l組的方法是利用頻率來估計概率的方法；而生2組是利用抽樣，即通過抽取樣本進行分析來估計全體的方法；生3組是對重量估計也屬于抽樣的方法，該方法在物理和化學實驗中應用比較廣泛，在摸棋子實驗中可行，但換作其他重量不等的實物時，該方法有一定的局限性，不屬于本節課研究的方法，但對學生能融會貫通各科知識要加以肯定。
師：為了鼓勵他們，我們就用他們的名字命名這兩種方案，分別稱為“生1法”和“生2法”，大家說好不好?
生齊答：好。
師：那大家想不想分別用這兩種方法試驗試驗?
生：(躍躍欲試)
師：那好。首先我們試試“生1法”(實驗一)再試試“生2法”(實驗-)
因此，要把學生作為課堂學習的主體，把理解學生的學習過程的基本規律作為教學策略的基礎，把師生的和諧溝通作為引領和促進學生學習的基本過程，讓學生在溝通中發展。
四、合理調控活動過程
合理調控活動過程，對學生探究性學習至關重要。例如在教學北師大版數學七年級上“平行”一課時，教師在創設問題情景引入后引導學生討論理解平行的定義，可以進行如下設計和課堂調控：
生：在同一個平面內永不相交的直線叫做平行線(其他學生補充)
師：“不相交的兩條直線叫做平行線”，這一句話是否正確?(或者問：去掉“在同一平面內”是否可以?)引導學生思考，小組合作交流。
生：小組討論，并回答，用兩只筆演示直線既不相交也不平行的圖形。
最后教師強調說明“在同一平面內”，因為在空間里存在既不平行也不相交的直線，同時強調平行線定義包含的三層含義：(1)“在同一平面內”是前提條件；(2)“不相交”就是說兩條直線沒有交點；(3)平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或兩條線段。
教師板書：“平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。”
生：(體會記憶)
師：在空間里存在既不相交也不平行的兩條直線——異面直線。
反饋調控預設：若反饋出學生對定義中“在同一平面內”的理解仍不夠透徹，可使用多媒體直觀展示正方體、立交橋等實物圖形引導學生理解空間里既不相交也不平行的直線的存在方式。
師生總結：在同一平面內，兩直線的位置關系是：相交或平行。
反饋調控預設：如有學生提出重合或垂直的位置關系，教師應及時指正。并舉例說明在同一平面內，兩直線重合應看作是一條直線；兩直線垂直是兩直線相交的特殊情況。
教師的指導與調控指的是數學課堂上的師生互動。
人教版數學四年級上冊第四單元“垂直與平行”。
教學目標
1.認識同一個平面內兩條直線的兩種特殊位置關系，初步認識垂線和平行線
2.通過學生自主探究、合作交流，感知平行與垂直的特點，培養學生的空間觀念和空間想象能力，以及抽象概括的能力
3.培養學生合作探究意識，感受數學與生活的密切聯系
教學重點
正確理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。
教學難點
理解“同一平面內”“不相交”。
教學準備
三角板、磁釘、白紙、塑料棒、直尺。
教學過程
一、復習舊知，引發新知
師：同學們已經認識了直線，誰能說說直線的特點？
生：直線能無限延長。（出示課件演示直線無限延長）
二、畫圖感知，激發興趣
1.感知平面
師：大家拿張紙平放桌上摸一摸。我們是不是摸到一個平平的面？（感知平面）
2.學生畫圖
師：同學們我們現在把紙張輕輕地捧在手中，閉上眼睛，想象一下，這張紙放大，再放大直到無窮。紙張上出現了一條直線，又出現了一條直線，他們將會是怎樣的關系？請大家睜開眼，用彩筆把你所想象的兩條直線的位置關系畫在這張紙上。
三、觀察分類，自主探索
1.學生動手畫圖
師：畫完的同學舉起來互相看看，相同嗎？（不相同）
師：誰把自己畫的兩條直線展示給大家？
2.作品展示
師：同學們的想象可真豐富，想出了這么多不同的畫法，現在我們選幾組有代表性的直線來分析。
教師選出幾幅有代表性的作品展示在黑板上。
師：你能根據黑板上每幅作品中兩條直線的位置關系將他們分類嗎？
3.學生上臺嘗試給作品進行分類，并說出這樣分的原因
師：你能根據直線的位置關系把這些作品分類嗎？（為了方
便，我們給他們編上序號后，指名上臺分）
師：你能說說這樣分的原因嗎？
師：剛才老師聽到一個詞“交叉”，兩條直線“交叉”了，用數學語言應表述為兩條直線“相交”了，我們一起來說一遍“相交”這個詞。（板書：相交不相交）
4.引導學生分類
師：大家對他的分法有不同意見嗎？
（1）學生質疑，教師引導驗證
重點：①對于看似不相交的，這兩條直線無限延長后真的會相交嗎？
②學生動手驗證。
師：這兩條直線無限延長后真的相交了，可以和相交的分為一類。
③小結：這種看似相交，實際不相交的情形，在判斷的時候，要注意把它延長后再判斷。
5.展示課件
師：在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種情況，相交和不相交。
四、動手驗證，揭示概念
1.平行線
（1）教師指著不相交的一類，質疑：這兩條直線是暫時不相交，還是永遠不相交？你能用手中的工具驗證一下嗎？
（2）動手驗證。
指名上臺量，說出結果。引導學生說出：兩端的寬度相同。
（3）揭示平行線的概念。
師：像這種在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線。（板書：互相平行）。
師：知道為什么要加“互相”嗎？
生：必須有2條或2條以上的直線，才說互相，一條直線不能說互相平行。
①強調：在同一平面內。
（出示模型）師：同學們，這是什么？有幾個面？這條直線在哪個面上？這條呢？這兩條直線會相交嗎？為什么？那么平行嗎？看來，平行線必須在同一平面內，并且不相交（板書：在同一平面內）
師：誰能說一說什么是互相平行呢？
②指著黑板上的作品和關鍵字引導描述。
③出示課件：指名讀，齊讀。
師：兩條直線互相平行必須具備哪些條件？
生1：直線。
生2：同一平面。
生3：不相交。
2.垂線
師：我們已經研究了兩條直線不相交的情況，現在我們來研究兩條直線相交的情況。
（1）師指著相交的一類，質疑：在同一平面內，兩條直線相交形成了什么？（角）都形成了哪些角？
（2）動手驗證。
師：太棒了。同學們這么快就判斷出這四個角是直角，但是數學很嚴謹，我們不能憑眼睛就認定是直角。那有什么辦法能讓我們可以很肯定地說這四個角是直角呢？
生4：（作思考狀）對了，可以用上直角三角板。
師：（作好奇狀）怎么用上直角三角板？你能給大家演示一
下嗎？
學生拿著三角板量角，確定四個角中的一個角是直角。
師：老師發現還有同學舉起了小手，他一定還有話要說。那我們請這位同學說說他的想法吧。
生：還可以用量角器量。
師：同學們真不簡單！（板書：成直角不成直角）
（3）揭示垂線的概念。
師：像這樣的兩條直線，我們就說它們互相垂直。（板書：互相垂直）。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。
①指著黑板上的作品和關鍵字引導描述。
師：用自己的語言說說什么是互相垂直（學生試說后指名回答）
②課件出示互相垂直的概念
師：像這種在同一平面內，相交成直角的兩條直線叫做互相垂直，兩條直線互相垂直必須具備哪些條件呢？
生1：直線。
生2：相交成直角。
生3：同一平面。
3.聯系實際，找一找
（1）在教室中找出平行與垂直的例子，交流。
（2）（出示課件）師：你能在操場上找到平行與垂直嗎？（學生思考，相互交流。）
（3）生活中的垂直與平行（出示課件）。
五、鞏固練習，深化理解
游戲：我說你擺
師：拿出一根綠色的小棒，再拿出兩根紅色的小棒，把它們都擺成和綠色小棒平行，這兩根紅色小棒是什么關系？
小結：如果兩條直線僅都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
（課件演示）
師：拿出一根綠色的小棒，再拿出兩根紅色的小棒，把它們都擺成和綠色小棒垂直，看看這兩根小棒是什么關系？
小結：如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行。
（課件演示）
六、欣賞圖片，暢談收獲
師：生活中垂直與平行無處不在，它裝點著我們美麗的世界，讓我們共同去感受平行與垂直的美，出示生活中蘊含的垂直與
平行。
七、全課總結
1.揭示課題并板書（垂直與平行）
師：今天我們研究了同一平面內兩條直線的什么關系呀？（板書：垂直與平行）
2.談收獲
一、 學會看書，帶著求知思考
特別是七年級的新生，在小學時沒養成看書的好習慣，或看書很馬虎，只會按照原有的知識來想。如初中的整數，有很多的學生對整數的理解還停留在小學階段，只記住正整數，忘了還有負整數。這時我們應提示學生看書時讓他們帶著求知思考、比較，這樣學生才能真正掌握知識。思考就是要求學生在理解數學各種定義、定理的基礎上，對于比較類似的概念加以類比、區分。如“半徑”和“直徑”，“圓心距”和“連心線”等概念。通過文字、圖形的區別，類比加深對概念的理解，運用自如，這一系列的活動就是思考。有意識（或有目的性）的思維比無意識的思維所達到的效果要好很多，記得更牢。教師通過平時在課堂上經常性的點撥、啟發、引導學生形成這些思維活動的模式，養成會思考的習慣。
二、學會審題，帶著問題思考
這一點相信每個老師都很有感觸吧，我們經常會在考試后就聽到學生在說：“糟了…某道題又看錯啦”“我對應用題也理解錯了”。平時教師就應該培養學生的審題能力，讓學生帶著問題思考。如新教材中一例題：小張從位于南北方向路上的學校出發，先走了50米，又走了80米，問這時小張在學校的什么位置？（內容有稍改）這題看似簡單，有的學生立即回答道：北面130米。馬上有學生反駁說：不一定，還有其它答案。關鍵在于審題，首先問題中的位置包括方向與距離，再者“先走了…又走了…”沒有指明方向，因而有兩種情況。對于這種情況，教師應在平常就要有意引導學生在審題時，要注意一些字、詞、句的意思，認真分析題目可能出現的情況，或者是題目（圖形）所隱含的條件，養成帶著問題思考的習慣。
三、學會發現，帶著疑惑思考
這是課改中要求學生要會分析，加強動手操作能力，從實踐中發現其內在聯系，找到規律。通過啟發學生對數學問題的觀察、分析、綜合、抽象和概括，歸納出一般性結論，使知識達到條理化、系統化，形成 “試驗——猜想——歸納——論證”的學習模式。如觀察下列等式：
2=2=1×2
2+4=6=2×3
2+4+6=12=3×4
2+4+6+8=20=4×5
…
①可以猜想，從2開始一直加到2n(n為自然數)，這n個連續偶數的和是多少？
②當n=10時，從2開始加到第10個連續偶數的和是多少？
教學中首先應讓學生思考：從上面這些算式中你能發現什么？讓學生經歷觀察（每個算式和與積的特點）、比較（不同算式之間的異同）、歸納（可能具有的規律）、提出猜想的過程。教學中，不要僅注重學生是否找到了規律，更應關注學生是否進行了思考。如果學生一時未能獨立發現其中的規律，教師可以鼓勵學生相互合作交流，進一步探索，教師也可以提供一些幫助，以使學生從數與形的聯系中發現規律，進而鼓勵學生推測出一般的情形：1+3+5+7+9+…+19=102；2+4+6+8+…+20=10×11；1+3+5+7+…+（2n-1）=n2；2+4+6+8+…+2n=n×（n+1）.當然要發現規律，學會自己分析、歸納，這將是一個長期的過程。在平常要多相信學生，多多鼓勵他（她）們說出自己的想法，大膽猜想，由淺入深，循序漸進，再慢慢加強，完善。
四、學會總結反思，自我檢驗
課堂提問的方式很多。只有對提問巧妙運用，才能產生積極作用，達到良好的效果。下面就如何對課堂進行提問，淺談幾點：
一、激趣性提問
數學課不可避免地存在著一些缺乏趣味性的內容。若教師有意識地提出問題，激發學生的學習興趣，以創造愉悅的情境，則能使學生帶著濃厚的興趣去積極思考。
二、發散性提問
發散思維是一種創造性思維。教師若能在授課中提出激發學生發散思維的問題，引導學生縱橫聯想所學知識溝通不同部分的數學知識和方法，對提高學生思維能力和探索能力是大有好處的。
三、啟發性提問
有的教師往往把啟發式誤認為提問式，認為問題提得越多越好，其實問題并不在多少，而在于是否具有啟發性，是否是關鍵性的問題，是否能夠觸及問題的本質，并引導學生深入思考。
四、懸念猜想式提問
在數學教學中，培養學生的猜想能力是提高學生創造能力的一條有效途徑。因此，我們應鼓勵學生敢于猜想。教師提出問題后，可先不作答復，而是留給學生一個懸念，以此來激發學生的求知欲望。
五、鋪墊性提問
在講授新知識之前，教師可以提問課本所聯系到的舊知識，為新知識的傳授鋪平道路，以達到順利完成教學任務的目的，為學生積極思維創造條件，同時又能降低思維的難度。
六、設疑性提問
一、證明線面平行
在教材中，我們證明線面平行需要三個要素：兩線一面。線面平行的定理是：平面外一直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。因此在證明上學生就會直觀地以正面思維的方法找取直線.
例：如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F 分別是PB，PC的中點，證明：EF∥平面PAD。
分析：根據定理的證明，要證明EF∥平面PAD，應在平面PAD上找一直線與EF平行，可以得出，EF∥BC∥AD，而CD是平面PAD上的直線，則證明成立。
但我們知道，要證明線面平行，必須在平面內找一直線與平面外直線平行，但有時平面內那條直線沒有直接給出，需要自己選取，很多學生在選取這條直線有些困難。因此，在教學中讓學生用逆向思維方式思考是必要的。主要方式有兩種：
（1）把結論當已知的逆向思維思考方式：要證明a∥α，如果a∥α成立，由線面平行的性質定理得：如果過直線a作一個平面，與平面α交于直線b，則有a∥b。可得直線b必是我們所找的直線。那么如何恰當地過直線a作平面與平面α相交呢？有代表性的作法有兩種：1. 一點一線確定一個面：在平面上找確定的點與已知直線構造平面，延伸與已知平面相交；2. 兩平行線確定一個面：過已知直線中的兩點作兩條平行線確定一平面，與已知面相交。下面根據兩種作法舉例論證：
例：如圖，已知平行四邊形ABCD與平行四邊形ABEF共邊于AB，M、N分別在對角線AC、BF上，且BN:NF=CM:MA．求證：MN∥平面ADF。
方法一：
分析：無法直接在平面ADF內找一直線平行于MN。可根據把結論當已知逆向思維方式，用性質定理確定直線。用代表性作法一確定平面，如，F點和MN確定一平面，延伸FH交B點，連接BM交AD于P點（如下圖）。則平面BFP與平面ADF相交于FP，可確定直線FP∥MN。根據推理可簡單證明：
因為BC∥AD，所以BM:MP=CM:MA；又因為BN:NF=CM:MA，所以BM:MP=BN:NF，則MN∥FP，得 MN∥平面ADF。
方法二：
分析：無法直接在平面ADF內找一直線平行于MN。可根據把結論當已知逆向思維方式，用性質定理確定直線。用代表性作法二確定平面，如，過M、N兩點分別作平行線確定一平面，作NG∥AB，MH∥AB，則平面ADF與平面MNGH相交于GH，可確定直線GH∥MN。根據推理可簡單證明：
因為NG∥AB，所以NG:AB=FM:FB；同理，MH:CD=AM:AC；又因為BN:NF=CM:MA，所以FM:FB=AM:AC；所以NG:AB=AM:AC；又因為AB∥CD，AB=CD，所以NG∥AM，NG=AM，所以四邊形NGHM為平行四邊形，所以MN∥GH，得MN∥平面ADF。
（2）運用面面平行性質定理的逆向思維思考：要證明a∥α，根據面面平行的性質定理得：如果過直線a的一個平面β與平面α平行，則a∥α。可有時直線a所在的平面卻沒有直接給出，需要我們自己去構造，如何構造面面平行呢？主要作法是：兩相交線確定一個面，過已知直線的一點作已知平面的平行線（若結論成立，構造一直線平行已知平面，則構造的平面必然與已知平面平行）。
方法三：
分析：過點M作AD平行線，即MQ∥AD，連接NQ（如圖），則要證明MN∥平面ADF，即證明平面MNQ∥平面ADF。簡單證明如下：
因為MQ∥AD∥BC，所以BQ:AQ=CM:MA；又因為BN:NF=CM:MA，所以BQ:AQ= BN:NF，所以NQ∥AF，所以平面MNQ∥平面ADF，所以MN∥平面ADF。
二、證明線線垂直
在教材中，證明線線垂直，直接證明這兩條直線垂直，角度證明或是勾股定理的條件往往不足，令證明存在困難，甚至于無法直接證明。因此，在教學中讓學生根據證明線面垂直的判定定理（一直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直），以及運用線面垂直的定義（直線與此平面垂直，則該直線垂直于平面上的任何直線），解題中考慮把結論當條件逆向思維方式去思考，推導條件，這樣比較容易解決問題。
例：如圖所示，已知矩形ABCD，過A作SA平面ABCD，再過A作AESB交SB于E，過E作EFSC交SC于F，求證：AFSC。
分析：要證明AFSC，直接證明無法解決，換個思維方式思考，若結論AFSC成立，而從條件中發現EFSC，可得出SC平面AEF，則由線面垂直的定義可得結論成立。即證明線線垂直，可先證線面垂直，再由線面垂直可推得線線垂直。
因此可從結論逆用推導結論，簡單分析證明如下：要證明AFSC?坩（即證）SC平面AEF?坩已知條件EFSC，結論只作思考，但證明的必須是另一直線AE，即證明AESC?坩AE平面SCB?坩已知條件AESB，結論AESC只作思考，但證明的必須是另一直線BC，即證明AEBC?坩BC平面SAB(AE所在的平面) ?坩條件矩形ABCD可得BCAB，SA平面ABCD可得BCSA。
由上面的分析證明，我們知道直接得到AFSC存在困難，也無法直接一步解決問題，而必須運用結論的思考，根據垂直判定定理和垂直定義的逆向思維運用與結合：線線垂直?圳線面垂直，從而得出結論，難以直接解決問題，用逆向思維的思考方式顯得簡單明了。
一、添置輔助線及其作用
學生在思維時要做到概念明確、判斷恰當、推理有邏輯性、論證有說服力,這是最起碼的要求。因此在教學中,教師必須加強學生邏輯思維能力的培養,使學生發揮想象能力,正確地添置輔助線;學生必須準確牢固地掌握概念及定理的來龍去脈,同時還要理解添置輔助線的作用。
輔助線起著連接推理步驟的橋梁作用,使思維借助直觀而增加其形象性。其作用具體可歸納為四個方面:
(一)變位
將已知線段、直線或角改變原來位置,便于找出圖形間的內在聯系。
例1:求證對角線相等的梯形是等腰梯形。
如圖1,我們可作DE∥AC交BC的延長線E。
(二)轉換
將已知條件轉換為輔助線的性質,從而建立圖形間的新聯系。
例2:已知AD、BC為平行線,AB為其間的斜線,AC為BC的垂線,引直線BED交AC于E,交AD于D,且ED=2AB,如圖2。
求證:∠DBC=∠ABC。
分析:O是ED的中點,連結AO。
AO=ED
OA=AB
∠3=2∠4,∠2=∠3
∠2=2∠4
∠ABC=3∠DBC。
(三)關聯
將分散的條件集中起來,以輔助線為媒介,取得聯系,從而發現圖形間的內在聯系。
例3:已知四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點,延長BA、CD與直線EF交成∠1與∠2,如圖3。
求證:∠1=∠2。
分析:可連結AC,G為AC的中點,再連結FG、EG,
∠2=∠3,∠1=∠4,∠3=∠4
∠1=∠2。
(四)構形
通過輔助線將已知圖形構成新的圖形,從而可以利用新的圖的性質進行推證。
例4:已知ABC的內角平分線AD延長后,交外接圓于E,如圖4。
求證:AB∶AD=AE∶AC。
分析:連結CE,
∠E=∠B,∠1=∠2
ABC∽AEC
=
=
即=。
二、輔助線的作法及其尋求方法
在教學中,教師要使學生對所學知識的應用形成技能和技巧。就是在教師的指導下,學生能運用所學的知識自覺地完成某種活動,這就形成了相應的技能,而技能再經過系統、反復的練習,達到熟練的程度,便形成了技巧。學生只有掌握應用的技能和技巧,才能進一步學得知識。因此,學生還要掌握輔助線的作法類型和輔助線的尋求方法。
(一)輔助線的作法類型
1.連結法(包括先取點再連結)
例如,三角形的中線、中位線,四邊形的對角線,圓的半徑和弦相交,兩圓的公共弦等。
2.延截法
有關中線的問題多用此法。例如,延長一線段與已知直線相交,得到新圖形,或者延長并截取一線段等于已知線段等。
3.過線外一點作平行線
如平行移動一線段構成三角形或平行四邊形,梯形的對角線或腰,作平行線形成比例線段或相似形等。
4.作垂線
如作三角形的高,由角平分線上的點向邊作垂線,或作角平分線的垂線,作梯形的高,圓的弦心距,過半徑的外端作切線等。
5.作角的平分線
利用其對稱性質。
6.作一個角等于已知角
如已知直線為一邊作一角等于已知角,在圓弧上取一點作圓周角或弦切角。
7.作兩圓的公切線
(二)輔助線的尋求方法
在掌握輔助線的基本作法后,輔助線的尋求就基本有法可循了。思維方法一般有三種情況:
1.綜合法
從已知條件出發,根據給出的圖形的基本性質選擇輔助線。
例5:已知ABC的兩高是BD、CE,外接圓中心是O,如圖5。
求證:AODE。
分析:過A作O的切線。
AFOA,只要DE∥AF即可。
從圖上可知B、C、D、E四點共圓。
∠2=∠BCD,且∠1=∠BCA
∠2=∠1
AF∥ED
AOED。
2.分析法
從結論出發尋求證題思路,相應地作出需要的輔助線,如上面的圖4的題目。
3.利用圖形的變換尋求輔助線
(1)平移
將已知線段平移構成平行四邊形。如圖1的題目。
(2)對稱變換
軸對稱(反射),中心對稱。角平分線的問題很多時候都會用到反射的知識。
例6:在直線的同旁有兩點,如圖6,求在直線上一點到這兩點的距離最小。就是選出A的對稱點A,連結AB就得到與直線相交的點P。
(3)旋轉。特別適用于正方形、正三角形一類有關的題目。
例7:已知P為正ABC外接圓劣弧BC上一點,如圖7。
求證:PB+PC=PA。
分析:若ABP以A為中心旋轉60°即可證明。
