時間：2023-06-05 09:55:15
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇探索勾股定理，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0087
眾所周知，勾股定理的內容非常豐富，但現行的教材（以浙教版為例）只安排兩個課時，教學受課時的限制，不能充分利用勾股定理發展學生的問題解決、人文積淀、理性思維等核心素養。本文以開發《探索勾股定理》的拓展性課程為例，展示以學校教研組為團隊如何依托數學課本開發拓展性課程，以期拋磚引玉。中國學生發展六大核心素養中有十八個基本要點，其中三個是問題解決、人文積淀、理性思維，《數學課程標準》的前言中也有類似的表述。對應三個基本要點確定三個課時的拓展性課程，在上完基礎性課程的兩個課時后進行。因篇幅所限，只展示每個課時的教學目標、學習內容及要求、課外作業。
第一課時：勾股定理在生活中的應用
設置緣由：數學課最缺的是實踐課，學生非常喜歡實踐課，開發團隊成員一致同意每學期開發一節實踐課。
教學目標：引導學生觀察生活，體驗生活中的數學，體驗用數學模型刻畫現實世界。
活動內容及要求：（1）帶學生參觀有人字梁結構的農村老宅，請當地手藝比較好的手藝人，一個木匠，一個泥水匠當講解員。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子時要先奠基，在一百多平方米的地上要設置很多個直角，選好位置打下木樁，固定好線，沿線做墻腳。怎樣使墻角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下兩個木樁，兩個木樁之間的距離為三尺，調整第三個木樁的位置，使它與前兩個木樁的距離分別為四尺與五尺。拉上線，再微調。泥水匠師傅說，這種方地基的方法是師傅們口耳相傳的好方法，若是正式造房子開工方地基的日子，儀式很隆重。（3）木匠師傅主要舉了兩個例子。一個例子是如何預算建造斜屋頂結構的房子用到的木料，特別是人字梁結構中斜線部分的木料長度的計算方法。第二個例子是如何在大塊的板材中確定直角。（4）教師作為主持人、主持師傅與學生的互動，讓學生嘗試用數學模型解釋實際應用問題。
課外作業：找一個生活中實際用到勾股定理的例子，寫心得體會交流。
第二課時：勾股定理的歷史文化
收集方法：這部分內容多而雜。動員團隊所有成員參與，從網上和書本中搜集并整理。
教學目標：在對勾股定理歷史了解的過程中，感受數學文化，感受歷代世界人民的智慧和探索精神，感受數學知識源遠流長和數學價值的偉大。
學習內容及要求：
（1）勾股定理的發現：公元前1100多年的《周髀算經》中，就有勾股定理的記載，相傳是商代商高發現的。三國時的趙爽給出了證明，2002年北京國際數學大會的徽標就是趙爽證明勾股定理用的弦圖。勾股定理被西方人稱為畢達哥拉斯定理，是古希臘數學家畢達哥拉斯于公元前550年發現的。相傳畢達哥拉斯花了很多的精力才證明了這個定理，他很高興，于是宰了百頭牛慶賀一番，不過畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。這個定理有流傳很廣，印度、希臘、巴比倫、中國、埃及等文明古國對此定理都有所研究。要求學生課前和課后整理出趙爽和畢達哥拉斯的相關成果，了解《周髀算經》等中國古代經典數學著作。
（2）勾股定理巨大輻射能力：①勾股定理是數與形結合的典范，啟發后人對函數的研究；②畢達哥拉斯學派的希帕索斯利用勾股定理導發現了根號2，引發了第一次數學危機，數從有理數擴展到實數；③勾股定理使數學在追求邏輯體系和數學美的過程中發展了現代數學；④勾股定理中的公式是一個最早的不定方程，引發了包括著名的費馬大定理。⑤勾股樹的拓展，勾股樹中的正方形可以變換為正三角形、半圓、月亮形等許多圖形。要求學生例舉數形結合的例子；能描述三次數學危機；能舉例一些現代數學；了解費馬大定理的內容及費馬的成就。
（3）勾股定理的證明方法多樣化。由于勾股定理的證明起點很低，所以千百年來下至業余數學愛好者、普通的老百姓，上至著名的數學家、國家總統都參與了勾股定理的證明。勾股定理有四百多種證明方法，目前還找不到一個定理的證明方法之多能超過勾股定理。
“總統”證法的故事：1876年一天的傍晚，美國的議員伽菲爾德由于受到了兩個小孩的追問，開始對勾股定理證明進行思考……后來他在繼承的基礎上反復思考終于找到了獨特的證法。1876年，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他的證法。由于在1881年伽菲爾德就任美國第二十任總統，人們就把這一證法稱為“總統”證法。要求學生課前和課后搜集有趣的勾股定理證明故事并交流。
第三課時：勾股定理的證明方法
證明方法選擇的標準：證法有四百多種，但不能窮盡，要選擇重要的、典型的、適合初中學生的證法。
教學目標：在勾股定理的探索過程中培養學生的理性思維和創新能力，體會深層次的數形結合；發展形象思維，體驗解決問題方法的多樣性，培養探索精神。
學習內容及要求：
（1）趙爽證法。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期的數學家趙爽。如圖1，就是趙爽創造的弦圖。以a、b（b>a）為直角邊，c為斜邊作四個全等的直角三角形拼成所示形狀，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2這是課本上的證法，不必細講。應讓學生認識到本題的證法并非嚴密的演繹推理，如圖形中的內外兩個正方形就沒有證明。
（2）鄒元治證法。如圖2，也是用面積法，證明方法略。
（3）總統證法。如圖 3， 這個證明方法是趙爽證明方法的變形，也是用面積法，證明方法略。
（4）歐幾里德證法。如圖4，以a、b、c分別為直角邊斜邊RtABC，再分別以a、b、c為邊，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，連結BF、CD，過C作CLDE，交AB于點M，交DE于點L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可證，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。應讓學生認識到本題的證法是典型演繹推理，是歐氏幾何，后面兩種證法也是如此。
（5）相似三角形性質證法。如圖5，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，過點C作CD AB，垂足為D.可證得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。
（6）切割定理證法。如圖6，RtABC中，a、b、c分別為直角邊斜邊，以B為圓心、a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD=BE=BC=a，因為∠BCA=90°，點C在B上，所以AC是B的切線。由切割線定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。
（7）證法評析。中國證法的獨到之處是善用面積法，巧妙地避開了角的性質及平行線性質的繁瑣理論，簡潔明了，吳文俊、張景中等發展的數學機械化方法深受中國古代數學思想的影響。后三個證法追求嚴謹的邏輯體系，對提升人們的理性精神，注重演繹推理的科學精神具有不可替代的地位。
一、利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀
例1：已知在三角形中，a、b、c分別是它的三邊，并且a+b=10，ab=18，c=8，判斷三角形的形狀。
分析：由于題目中涉及兩邊之和與兩邊的積，所以先結合完全平方公式得出a2+b2的值，再檢驗a2+b2與c2的大小，就可以得出相應的結論。
所以，凡是給出三角形的三邊或者邊之間的關系判斷三角形的形狀，都應考慮應用勾股定理的逆定理來進行判斷。
變式訓練：如圖l所示，已知：在ABC中，AB=13，BC=l0，BC邊上的中線AD=12。求證：ABC是等腰三角形。
二、利用勾股定理的逆定理與勾股定理結合計算圖形的面積
例2：如圖2所示，已知在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13。求四邊形ABCD的面積。
分析：由于這是不規則的四邊形，所以不能直接計算面積，可根據題目所給數據特征，聯想勾股數，先連接AC，轉化成兩個三角形的面積之差，并判斷兩個三角形的形狀，就可以實現四邊形向三角形轉化，得出相應的結論。所以，計算不規則的四邊形的面積，一般要通過構造直角三角形再利用三角形的面積的和或差進行計算。
變式訓練：如圖3所示，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。
以上我們討論了利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀以及利用勾股定理的逆定理與勾股定理結合的方式計算圖形的面積的問題，利用這種方法應該說是一種比較簡捷、有效的方法。我們在引導學生利用勾股定理的逆定理解決實際問題時，一定要讓學生進行變式訓練，并進行一題多解、一題多練，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的。同時，我們還要注意發揮學生的主體作用，讓學生主動地去發現問題、探究問題進而解決問題，從而培養學生的思維能力和創新能力。《課標》指出：“教師要處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗。”讓學生掌握基本的數學知識和基本的數學技能不是最根本的目的，最根本的目的是通過數學學習，訓練學生的思維能力，提高他們的創新性和創造性。
在學習和應用勾股定理的逆定理過程中，我們可以結合“綜合與實踐”課給學生灌輸“生活數學”的思想。《課標》指出：“‘綜合與實踐’內容設置的目的在于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。”我們要遵循《課標》的要求和教學理念，靈活地應用勾股定理的逆定理，把勾股定理的逆定理的應用同實際生活緊密地聯系在一起。我們要讓學生明白：數學知識來源于生活，但又要應用于生活。沒有生活就沒有數學知識，數學知識如果不應用于生活，也就失去了數學知識的價值。
本節內容的重點是勾股定理的逆定理及其應用.它可用邊的關系判斷一個三角形是否為直角三角形.為判斷三角形的形狀提供了一個有力的依據.
本節內容的難點是勾股定理的逆定理的應用.在用勾股定理的逆定理時，分不清哪一條邊作斜邊，因此在用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時而出錯;另外，在解決有關綜合問題時，要將給的邊的數量關系經過代數變化，最后達到一個目標式，這種“轉化”對學生來講也是一個困難的地方.
教法建議：
本節課教學模式主要采用“互動式”教學模式及“類比”的教學方法.通過前面所學的垂直平分線定理及其逆定理，做類比對象，讓學生自己提出問題并解決問題.在課堂教學中營造輕松、活潑的課堂氣氛.通過師生互動、生生互動、學生與教材之間的互動，造成“情意共鳴，溝通信息，反饋流暢，思維活躍”，達到培養學生思維能力的目的.具體說明如下：
(1)讓學生主動提出問題
利用類比的學習方法，由學生將上節課所學習的勾股定理的逆命題書寫出來.這里分別找學生口述文字;用符號、圖形的形式板書逆命題的內容.所有這些都由學生自己完成，估計學生不會感到困難.這樣設計主要是培養學生善于提出問題的習慣及能力.
(2)讓學生自己解決問題
判斷上述逆命題是否為真命題?對這一問題的解決，學生會感到有些困難，這里教師可做適當的點撥，但要盡可能的讓學生的發現和探索，找到解決問題的思路.
(3)通過實際問題的解決，培養學生的數學意識.
教學目標：
1、知識目標：
(1)理解并會證明勾股定理的逆定理;
(2)會應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形;
(3)知道什么叫勾股數，記住一些覺見的勾股數.
2、能力目標：
(1)通過勾股定理與其逆定理的比較，提高學生的辨析能力;
(2)通過勾股定理及以前的知識聯合起來綜合運用，提高綜合運用知識的能力.
3、情感目標：
(1)通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受;
(2)通過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特征.
教學重點：勾股定理的逆定理及其應用
教學難點：勾股定理的逆定理及其應用
教學用具：直尺，微機
教學方法：以學生為主體的討論探索法
教學過程：
1、新課背景知識復習(投影)
勾股定理的內容
文字敘述(投影顯示)
符號表述
圖形(畫在黑板上)
2、逆定理的獲得
(1)讓學生用文字語言將上述定理的逆命題表述出來
(2)學生自己證明
逆定理：如果三角形的三邊長有下面關系：
那么這個三角形是直角三角形
強調說明：(1)勾股定理及其逆定理的區別
勾股定理是直角三角形的性質定理，逆定理是直角三角形的判定定理.
(2)判定直角三角形的方法：
①角為、②垂直、③勾股定理的逆定理
2、定理的應用(投影顯示題目上)
例1如果一個三角形的三邊長分別為
則這三角形是直角三角形
證明：
∠C=
例2已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B=，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13求四邊形ABCD的面積
解：連結AC
∠B=，AB=3，BC=4
AC=5
∠ACD=
例3如圖，已知：CDAB于D，且有
求證：ACB為直角三角形
證明：CDAB
又
ABC為直角三角形
以上例題，分別由學生先思考，然后回答.師生共同補充完善.(教師做總結)
4、課堂小結：
(1)逆定理應用時易出現的錯誤：分不清哪一條邊作斜邊(最大邊)
(2)判定是否為直角三角形的一種方法：結合勾股定理和代數式、方程綜合運用.
5、布置作業：
a、書面作業P131#9
b、上交作業：已知：如圖，DEF中，DE=17，EF=30，EF邊上的中線DG=8
求證：DEF是等腰三角形
板書設計：
探究活動
分別以直角三角形三邊為直徑作三個半圓，這三個半圓的面積之間有什么關系?為什么?
一、“勾股定理”教學設計說明
在數學教學過程中，而是通過數學活動，讓學生渴望新知識，經歷知識的形成過程，體驗應用知識的快樂，從而使學生變被動接受為主動探究，增強學好數學的愿望和信心。為此，本節課主要設計了三個活動。活動一：喚起學生對新知識的渴望。學生為了解決現實生活中的一個樸實、可親、有趣的問題，不斷碰到困難，并不斷在發現中解決，思維探究活躍，好奇心和探索欲望被激起。活動二：學生在探索中體驗快樂。探索“勾股定理”是本節課的重點和難點。在整個探索過程中教師只是一個引導者、啟發者，引導學生動手、觀察、思考、實驗、探索與交流；學生在整個活動中切身體驗到發現“勾股定理”的快樂。從而培養了學生的探索精神和合作交流能力。活動三：學生在問題設計中鞏固勾股定理。本節課是勾股定理的第一課，知識的應用比較簡單，學生設計問題有一定的可行性。引導學生在掌握勾股定理的基礎上自己設計問題，完善問題，并從老師的高度進行變題，學生的主體性得到了充分的體現。整個教學設計遵循“重視預設、期待生成”的原則。
二、教學過程與反思
1.第一次試上，由我獨立備課，從開始備課到上課結束，始終有兩個疑問沒有得到很好解決。一是如何引出勾股定理。教學過程是讓學生在正方形網格上畫一個兩條直角邊a、b分別是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜邊長c是多少?緊接著讓學生觀察直角三角形的三條邊在大小上有什么關系。事實上，由于缺乏足夠的材料，而且量得的結果可能不一定是整數，因此很難得出正確的結論。另外，也有學生在探究時，根據兩邊和大于第三邊得出a+b>c這個結論，認為這也是直角三角形三條邊之間的關系，這便偏離了教師預先設定的學習目標。二是勾股定理的證明。解決的方案:采用教材提供的方法，即教參上所說的數形結合的方法。通過恒等變形（a+b）2=4×12ab+c2，在教師的引導下作出聯想，將四個全等的直角三角形拼在邊長為（a+b）的正方形當中，中間又是一個正方形，而它的面積正好是c2，從而得出a2+b2=c2。其中的難點在于，讓學生自己很自然地想到用拼圖證明，對于大多數學生來講，做到這一點幾乎是不可能的。教師只能帶領學生進行變形、聯想、拼圖等一系列的教學活動。教師的講授時間明顯多于學生的探究時間，盡管教師一直在講，但是其中的來龍去脈還是很難交代清楚。第一次反思：（1）教師的講授時間多于學生的探究時間原因在于：憑學生已有的知識尚無能力探究這個問題，學生“一路走來”只能回答“是”“對”，思維屢屢受阻，心智活動暴露在無所依托的危機之中。（2）備課時，教師就發現了難點所在，但直到具體實施時仍束手無策，心有余而力不足，無法引導學生進行有意義的自主探究，這與教師自身的經驗不足有很大關系。（3）教師不僅要抓住教學中的難點，更要找到化解難點的辦法。為學生向既定的探究目標邁進鋪設適當的知識階梯，當憑自己的能力無法做到時，應向專家請教，及時有效地解決教學中存在的問題，使自己在教法上能有所改進。2.第二次上課通過集體備課，大家集思廣益，針對前面兩個難點重點設計，基本上解決了原有的問題。設計方案是:將整個教學過程分成八節，每一節都清晰地展現在學生面前。（1）創設問題情境，設疑鋪墊。情景展示：小強家正在裝修新房，周日，小強家買了一批邊長為2.1米的正方形木板，想搬進寬1.5米，高2米的大門，小強橫著放，豎著放都沒能將木板搬進屋內，你能幫他解決這個問題嗎？（2）以1955年發行的畢達哥拉斯紀念郵票為背景，觀察圖形，你發現了什么？并說說你的理由。圖一圖二（3）以小方格背景，任意畫一個頂點在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向外作正方形，剛才你發現的結論還成立嗎？其中斜放的正方形面積如何求，由學生探討。（介紹割與補的方法）（圖一）（4）如圖二，任意直角三角形ABC為邊向外作正方形，上面的猜想仍成立嗎？用四個全等的直角三角形拼圖驗證。（5）介紹一些有關勾股定理的史料（趙爽的弦圖、世界數學家大會會標、華羅庚建議用“勾股定理”的圖作為與外星人聯系的信號等），讓學生感受到勾股定理的歷史之悠久，激起學生的民族自豪感。（6）應用新知，解決問題。①解決剛才“門”的問題，前后呼應；②直角三角形兩邊為3和4，則第三邊長是%%。例：一塊長約120步，寬約50步的長方形草地，被不自覺的學生沿對角線踏出了一條斜路，類似的現象時有發生，請問同學們回答：①走“斜路”的客觀原因是什么？為什么？②“斜路”比正路近多少？這么幾步近路，值得用我們的聲譽作為代價換取嗎？（7）設計問題，揭示本質。請學生概括用上述勾股定理解決問題的實質：已知兩邊求第三邊長，并請學生設計能用勾股定理解決的簡單問題。（8）感情收獲，鞏固拓展。①本節課你有哪些收獲？②本節課你最感興趣的是什么地方？③你還想進一步研究什么問題？說明:（1）通過具體的生活情景，激起了學生對本節課的學習興趣，使他們急于想知道直角三角形的三邊到底存在著怎樣的數量關系，激發了他們的好奇心和求知欲。（2）學會了在小方格的背景下，用割補法求出郵票中斜放的正方形R的面積，同時為勾股定理的引出做好了充分的準備，為學生進行有意義的探究做好了鋪墊。（3）證明方法可以說已經擺在這里，但由于前面的教學中計算強調過多，而忽略了計算原理，致使撤去小方格背景時，學生在證明時出現障礙，想不到補4個直角三角形，或割成四個直角三角形和一個正方形計算斜放的正方形面積。為了解決這個問題，本節課在定理證明時有意用拼圖的方法再次驗證勾股定理。（4）由于是勾股定理的第一課，應用較簡單，學生設計具有一定的可行。引導學生在掌握定理的基礎上自己設計問題，完善問題，并從老師的高度變題，學生的主體性得到了最好的發揮。第二次反思：（1）當猜想出直角三角形三邊數量關系時，是不足以讓學生信服的，因為猜想時直角三角形的三邊均為整數，學生可能還存在疑慮：當直角邊的長不是整數時，情況又如何呢？所以讓學生從理性上確信這個猜想是必不可少的環節。為此，設計了任意三邊的直角三角形是否存在這個問題。（2）去掉背景和具體數值，在證明字母為邊的直角三角形的勾股定理時，主要是沒有了正方形網格作背景，學生不能快速產生正確的思維遷移，不易想到用割補法證勾股定理。但是前面有了郵票問題做鋪墊，學生很自然地會聯想到用割或補的方法計算以斜邊為邊長的正方形的面積，從而得出了一般的直角三角形的情況，獲得了勾股定理。如此設計，對于執教者來講，最大的好處在于可以使學生的思維過程顯性化，有利于教師對學生進行過程性評價，有利于及時指導學生在思維過程中存在的細節問題，還有利于教師進行教學過程的改進。（3）在做勾股定理練習時，采用開放式教學法，由學生自己出題自己解決，既鞏固新知識，又提高他們的學習興趣。但由于學生在已知直角三角形的任意兩邊，求第三邊時，不知道一個數開平方這一知識，會出現第三邊不會算的情況。關于這點，我課前早有預料：如果有這種情況出現，就為下堂課做好鋪墊；如果沒出現這種情況，老師上課時也不提。（4）在課堂小結時一改先前一貫做法，三個問題結束本節課。特別是后兩個問題，當時學生是這么回答的：我最感興趣的地方是割補法證明勾股定理；畢達哥拉斯怎么會從地磚上發現勾股定理的，我們平時也要多觀察生活；我想知道勾股定理還有哪些證明方法；我想知道我的這副三角板中，如果已知一條邊，能不能求出另外兩條邊。聽課的老師們深深地被學生的這些問題感染了，情不自禁地給予了贊揚。這樣的總結設計，把所學的知識形成了一個知識鏈，為每位學生都創造了獲得成功體驗的機會，并為不同程度的學生提供了充分展示自己的機會，尊重了學生的個體差異，滿足了學生多樣化的學習需要。特別是最后一個問題，把本課知識從課內延伸到了課外，真正使不同的人得到了不同的發展。（5）學生在學習過程中舊問題解決，而新問題產生，使我真正認識到上好勾股定理這一堂課是不容易的。課改幾年來雖然理念上有所轉變，但要真正在課堂上能運用自如，還需要不斷實踐。幾個問題間的過渡語言，也是不斷地修改，甚至一個問題要怎么問，問了后學生可能會出現哪些想法都做好了預設準備，更制定了應急方案。
三、教學理念的升華
開設一堂公開課，對我來說是提升教學水平的極好機會，也可以說是完成了一次認識的飛躍。1.問題情境的創設，是引起學生興趣的關鍵。數學源于問題，源于實際問題解決的需要，學習也是如此。正如張奠宙先生所言：“沒有問題的數學教學，不會有火熱的思考。”問題是思維的起點，任何有效的數學教學必須以問題為起點，以問題為驅動，激發學生學習的欲望。2.探究式學習是教學的最高境界。傳統的教學方法是灌輸，是牽著學生的鼻子走。民族創新精神的形成，就要從青少年抓起。從這點上說，讓學生自己學會探究知識的方法，養成探究的習慣，關系重大，教育者責任重大。3.學會鋪墊是教學藝術的精華所在。對學生而言，學習是不斷地從已知到未知的過程。從已知到未知之間存在一個“潛在距離”，如何把握這個“潛在距離”，并且為學生走過這個距離設置合適的階梯，讓學生“跳一跳”就能摘到“果子”，這是教學藝術的精華所在。本堂課“郵票中正方形的面積的計算”這一情境設計，就是十分成功的鋪墊。4.教學工作是一項創造性勞動。要讓學生進行探究性學習，首先教師要有對教材的再創造意識。在第一次上課時，我雖然努力“吃透教材”“緊扣教材”，但仍然上得很別扭，很吃力。在以后的開課中，我對教材作了大膽的變革，上課一次比一次順手，效果一次比一次好。在今后教學中，我們要牢記以學生發展為本，關注學生能力的提高，在學生促進發展的同時也實現教師自身的發展。
本文作者：馬長明工作單位：蘇州高新區文昌實驗中學
在教學中許多問題是無法預設到的，因為學習活動的主體是學生，且每個學生的知識、經驗、思維、靈感、興趣都不盡相同，因此學習活動中會呈現出豐富性、多變性和復雜性，就是我們平常所說的“非預設生成”。新課程實施以來，我們深刻體會到非預設性生成是學生智慧與創造力的最佳體現，教師如果引導得當，會使教學更富有靈性。
二、案例描述
教學片段1：（課堂引入）
師：同學們，今天我們要學習一個古老的定理，古老是因為它有5000多年的歷史，它是數形結合的代表，是用數學方法來解決幾何問題的基礎橋梁。
生1：我知道，是勾股定理。
生2：a2+b2=c2，它是直角三角形三邊之間的關系。
生3：這個定理相傳是古代一個叫商高的學者發現的。
學生的小聲議論，使教師原先精心設計的各個精妙的教學環節與預先設計好的精心提問一下子全泡湯了。此時，有些不自然的我趕緊掩蓋住自己的情緒，略帶興奮地說：“對，今天老師要給你們介紹的就是勾股定理，那現在請知道勾股定理的同學舉一下手。”
結果全班有半數的學生舉起了手。接著我問道：“你們是怎么知道的呢？”“從書上看來的？”學生答道。“那么你知道書上的這個結論是怎么得出的嗎？”我接著問。“不知道。”
這時我及時肯定：“大家說的結論是正確的，你們能提前預習，這種主動學習的精神值得肯定，可是大家卻不知道這個規律是怎么得出的，大家想不想自己動手設計方案來驗證結論？”
“想！”同學們異口同聲地回答。
點評：面對學生已經預習勾股定理這一始料未及的情況，如果繼續按原來的教學預設組織教學，雖然順利地完成了教學任務，但從某種程度上來說，這樣的教學否定了事實，是對學生活力生成的阻礙、壓抑。
教學片段2：（拼圖驗證）
用4個全等的直角三角形拼圖，通過討論學生很快驗證了勾股定理：由面積計算可得（a+b）2=4（―ab）+c2，展
開得a2+2ab+b2=2ab+c2化簡得a2+b2=c2。
當我正準備過渡到第二環節時，生1：“老師，把直角三角形翻轉一下，也可驗證勾股定理。”于是我請他走上講臺展示自己的觀點，并寫上了驗證過程：由面積計算可得c2=4（―ab）+（b-a）2展開得c2=2ab+b2-2ab+a2化簡得c2=a2+b2。
生2：“還可以這樣拼。”有一個女學生清脆的聲音在教室響起，為不影響她的積極性，于是，我又請她上來。
“將兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形拼成一個梯形就可以驗證。”她也寫上了驗證過程。
此時，時間已過去了一大半，可班內這陣勢、這氣氛，真使我無法轉向第二個環節。我猛然想起，這不就是培養學生動手操作能力的好機會嗎？于是，我順水推舟：“還有別的拼法嗎？”
同學們還在熱烈地探索著，課堂氣氛達到了，不知誰叫了一聲“下課了！”我看了一下手表，已超過5分多鐘了……于是，我趕緊“急剎車”，鼓勵一番后說：“勾股定理到目前為止已有400多種驗證方法，我們本節課探索的只是幾種方法，而我國是發現勾股定理最早的國家之一。”
“勾股定理真有趣！”
“我國的古人真棒！”
點評：這的確是一堂“節外生枝”的數學探究課，教師原本準備先探索、再驗證勾股定理，接著鞏固應用。誰知學生卻發現了許多驗證勾股定理的方法，讓教師始料不及，可貴的是教師及時調整教學思路，改變教學方式，圍繞學生自己發現的問題展開探究。這樣的教學過程不僅滿足了學生的探究欲望，還讓學生體驗到學數學的樂趣，培養了學生的探究精神和動手操作能力。
三、案例反思
1.精心備課，充分預設
在第一個教學片段的課堂引入部分，如果考慮到學生的預習情況，就可預設一系列有效的課堂問題，從而提高課堂教學的有效性。課堂教學的生成性，不是意味著不需要預設或不需要改進預設，新課程改革對預設的要求不是降低而是提高了。它要求預設能真正關注學生的發展，關注學生的個體差異，為每個學生提供主動積極活動的保障；能為師生在教學過程中發揮創造性提供條件；能促使課堂多向、多種類型信息交流的產生和對及時反饋提出要求。
2.尊重學生，善對生成
【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A
【文章編號】0450-9889（2014）09A-
0079-01
與傳統的封閉式教學相比，開放式教學在提高學習積極性、活躍課堂氣氛以及推進因材施教等方面都能起到較好的作用。就外部表現而言，開放式教學能夠通過調動師生之間的交流和課本內容的情境再現等方式來創造出一個富有活力的課堂氛圍，同時由于學生們自主思維得到了鼓勵，他們的探索欲望和學習積極性也得以有效的激發。從內部表現來看，開放式教學的介入能夠從課題的設計和解決兩個方面對知識點進行全面的剖析，促進了學生的發散思維，加深了學生對知識點的認識。下面筆者就以《勾股定理》的證明為例談開放式教學在實際教學中的應用。
一、以學習困難為依據，創設解答情境
為了使開放式教學模式能夠在實踐中發揮出更好的效果，教師應督促學生預習新課，形成對“勾股定理”的初步認識并對遇到的難點和疑問做出總結。例如，c2=a2+b2這一理論由何而來？當直角三角形兩邊進行等量的增減變化時，其斜邊的長短是否受影響呢？勾股定理適用于所有直角三角形嗎？學生提問是開放式教學的重要環節之一，它是學生在學習過程中遇到問題的最直觀體現，也是教師進行課堂情境創設的最有效依據。因此，凡是能夠由學生自己提出的、貼合教學目標的問題都不應由教師提出。
課堂上，教師對學生在理解上普遍存在的難點作出總結后，可結合教學大綱以學生身邊的事情為例對知識難點進行詳細的分析和解答。以上文所述的“當直角三角形兩邊進行等量的增減變化時其斜邊的長短是否受影響”和“勾股定理是否適用于所有直角三角形”兩個問題為例，教師隨意將直尺立于墻邊自然形成一直角三角形，并讓兩名學生分別對其邊進行測量，得出直角邊分別為80cm和60cm，斜邊為100cm。其余學生根據這一測量結果驗證了勾股定理c2=a2+b2。之后，教師把直尺向下滑動一定距離，同樣讓學生進行測量和計算，經過反復驗證后，結果表明：在直角三角形直角邊發生等量加減時其斜邊的長短也會變化，且其變化符合勾股定理描述。
二、加強知識拓展聯系，尋找解決途徑
在勾股定理的證明過程中，教師可根據教材案例中的“趙爽炫圖”對勾股定理進行有效的證明，促進學生鞏固該部分知識點。當學生對勾股定理理解透徹后，教師可進一步提問：“結合以往所學知識點，是否還有其他證明方法呢？”此時學生們自然而然就會結合勾股定理的特性開始與以往知識點進行聯系的嘗試。學生提出了很多想法，如“結合圓的特性證明”以及對“趙爽炫圖進行變形”等，但這些想法只是初步的構想，需要教師的進一步補充和引導。
以圓知識點的引入為例，教師可設計題目如下：
A為圓心，圓A交AB及其延長線于D和E，BC為圓切線，交于點C，角ACB為直角，證明：AC2+BC2=AB2.
學生結合之前所學知識可輕松解答該題：BE為圓的割線，因此可得BC2=BE×BD，又由圓半徑相等可知AE=AD=AC，可將前式進行變形BC2=（AB-AC）（AB+AC）=AB2-AC2，AC2+BC2=AB2。
同理，教師亦可將其他可行的證明方法在與學生共同的探討中進行設計和證明。在集體探討中同一問題得到了最大限度的擴展和發揮，學生通過自主思考完成了問題的發現、探索和創新，并自主證明了一種理論的存在。這種開放式的教學模式在鞏固學生的數學理論知識方面具有較好的效果，能使學生證實數學定義的合理性，并有效鞏固學生的知識結構。
三、結合勾股定理特征，解決現實問題
數學知識過于抽象化往往使學生陷入理解困難。因此，開放式的教學模式明確提出了數學理論應有效聯系生活實際并與其他知識點相結合的要求，讓數學理論切實為解決我們的生活問題服務。這種貼合實際的學習模式能夠讓學生清楚地認識到數學知識的實用性。
例如，結合勾股定理的特性教師可以提出問題：“學校大廳2米寬的樓梯要鋪設地毯，經測量樓梯高度為3米，長5米。一平米地毯30元，學校要花多少錢購置地毯呢？”學生們展開討論，并根據教師的描述繪制出了簡單草圖，繼而發現這一問題可用勾股定理進行解答：求地毯的面積須知AC的長度，根據勾股定理可得AC2=52-32=16，AC=4，地毯長度為AC+BC=7，根據面積算法得地毯面積為14m2，因而購置地毯需420元。
【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A
【文章編號】0450-9889（2015）10A-0091-01
數學具有抽象性，而學生思維較為單純，如何通過深度挖掘教材文本，實現學生思維的成功升級，全面打造學生的數學素質，這是教師要妥善解決的問題。教學實踐證明，教師利用多種教學問題創設適宜的教學情境，能夠充分激發學生的探索興趣，為思維啟動創造良好的條件。教師可以根據教材的內容和學生的思維實際，通過教材文本問題設計、數學生活問題引導、實踐問題設置等手段，為學生啟動思維創造良好的條件，激活學生自主學習數學的主動性和自覺性，實現數學學習品質的跨越式提升。
一、文本問題，啟動學生數理思維
所謂文本問題，是指教師針對教材學習內容和學生認知基礎實際設置的教學問題提示。學生思維啟動有一個漸進的過程，教師要巧妙設計問題，有效激發學生的思維運動。教師在具體操作時要注意教材的內容特征，設計的思考問題要有一定的梯度，要照顧多數學生的認知基礎。學生面對數學問題，思維會發生多元聯系，形成以問題為中心的思維網絡，學生學習的主動性得以充分挖掘，參與性大大提升，教與學達成較高契合度，使得課堂教學進入良性軌道。
例如，在教學人教版八年級數學下冊《勾股定理》時，教師可以這樣設置問題：一般直角三角形三條邊之間有什么樣的等量關系呢？世界上很多科學家都證明了勾股定理的存在，請你先用文字語言來說明，再用幾何語言來說明，最后用公式加以表示。勾股定理對所有直角三角形都適用嗎？你可以用幾種方法驗證勾股定理呢？學生根據教師設計的問題開啟了探索之旅。教師并沒有對勾股定理做出太多論述和證明，而是利用問題設置，引導學生的思維逐漸走進勾股定理的世界，先感知勾股定理的存在，再厘清勾股定理的特征，最后對勾股定理進行理性證明。由此建立起來的相關認知自然是豐富的、深刻的。在實踐操作中，教師的問題引導發揮了重要的啟發作用，順利啟動學生思維，為打造高效課堂奠定了堅實的基礎。
二、生活問題，拓寬學生學習維度
初中數學教材內容與學生生活有密切關聯，教師利用學生生活固有經驗感知為激發點，創設更為直觀生動的教學問題，能夠讓學生有親身經歷的感受，學生看得懂、聽得明白，自然生發更多主動探索的興趣和熱情，使課堂教學漸入佳境。學生生活中處處有數學，教師從學生生活進行切入，可以拓展學生的學習維度，讓學生對數理產生重要生活認知。
例如，在教學人教版七年級數學上冊《近似數與有效數字》時，教師讓學生分類列舉生活中的數字，一類是準確數字，一類是近似數字。學生經過篩選，很快就找了一些準確數字和近似數字。準確數字：八（點）、一（個）、五十（元）、一萬（里）……近似數字：、、2.333……教師組織學生分組討論，說說準確數字和近似數字在生活中的具體運用，特別是遇到近似數時該如何處理。因為涉及學生的生活實際，學生互動交流非常熱烈，展開了激烈的辯論。教師讓學生列舉生活中的準確數字和近似數字，就是要找到數理探討領域，學生在具體操作中很容易會遇到一些個性認知，展開多元討論，快速實現文本生本思維對接，這對提升學生探索數學概念有很大的幫助。
三、實踐問題，實現學生思維升級
數學學習要理論聯系實踐，學生只有在實踐活動中對相關數理概念進行驗證，才能逐漸形成數學認知能力。在課堂教學中，教師的數學活動設計思路眾多，要針對學生的年齡特點設計動手操作訓練內容，讓學生在具體操作中建立數理認知。
例如，在教學人教版九年級數學上冊《中心對稱與中心對稱圖形》時，教師設計了系列教學活動。活動一：用一張透明紙覆蓋在課本上描繪出四邊形ABCD，然后用大頭針釘在點O處，四邊形圍繞點O旋轉180°。提出問題：四邊形起始、終了位置圖成中心對稱嗎？活動二：根據教材上圖形位置，比較中心對稱與軸對稱，有什么新發現？活動三：利用中心對稱基本性質作圖，作點關于點的對稱點，作線段關于點成中心對稱的圖形，作三角形關于點成中心對稱的圖形。教師利用教材內容和學生的認知特點設計了一系列活動，學生在具體活動中，不僅對中心對稱與中心對稱圖形有了深刻理解，還大大提升了動手操作實踐能力。
教學目標：
1.經歷勾股定理的探究過程，感受數學問題由“觀察――猜想――驗證――論證”的科學研究方法，體會數學問題中由特殊到一般的數學思想。
2.能用勾股定理解決一些簡單問題。
教學重點：探究勾股定理探索并證明勾股定理。
教學難點：勾股定理的探究和證明。
教學過程：
老師導入語：同學們，我們今天來玩游戲吧！我設置了一個闖關游戲，分為五關，每關都設有相應的分值，小組比賽制，最后看總分，分高組有獎哦！請看第一關：眼力大比拼。
設計意圖：重視引言教學，以游戲名義開始教學，吸引學生的興趣。
第一關：眼力大比拼――【導入】
問1：這是我家的地板，請觀察上圖中三個正方形的面積之間有什么關系？
問2：等腰直角三角形的三邊之間又有什么關系？
結論：等腰直角三角形兩直角邊的平方和_____斜邊的平方。
設計意圖：通過生活常見的地板，引出特殊的直角三角形的三邊關系，體會數學問題來源于生活，而且處處都可以發現問題。
老師：第一關你們闖關成功。通過第一關我們知道等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那你們接下來會有什么猜想呢？
第二關：大膽猜想
老師：你們會有什么猜想呢？
學生猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？
猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？
設計意圖：通過引導，大膽猜想，體會由特殊到一般的數學思想。
第三關：驗證猜想
【探究一】
請測量下列直角三角形的三邊長，并分別計算出兩直角邊的平方和與斜邊的平方。
老師：為節約時間，我指定第1，2小組測量圖（1）；第3，4組測量圖（2）；第5，6組測量圖（3）；測完后各小組派個代表報數，并說明實驗數據能不能證猜想。
設計意圖：通過實驗操作，來驗證猜想；通過參與驗證的過程，增強學生學習數學的自信心。
老師：我現在用幾何畫板向大家展示，任意畫一個直角三角形，并把兩直角邊及斜邊長度量出來了，算出它們的平方，你們注意觀察數據的變化，看是否是一直滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
老師：通過幾何畫板可以畫出無數個的直角三角形，這些三角形是否驗證了我們的猜想關系式？
設計意圖：體會數學是一門嚴謹的學科，實驗只能驗證猜想，還需要理論論證。
第四關：論證猜想
拼圖游戲：用相同的直角三角形拼一個特殊的圖形。
游戲規則：（1）以4個全等的任意直角三角形的邊為界，拼成一個是正方形的圖形。（2）游戲在3分鐘之內完成。
老師：小組進行比拼，看哪組拼的方法多且快。拼完的小組舉手。學生基本上會拼出兩種圖形：
老師：我們拼圖的目是想通過拼圖來論證我們的猜想，下面各組討論，我把那全等的直角三角形的兩直角邊令為a、b，斜邊令為c，怎么通過我們的拼圖來論猜想。（小組討論3分鐘后，請小組講解）
小組通過面積關系，可以推出直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
設計意圖：展示小組合作能力；發展學生的形象思維；體會數形結合思想；提高分析問題能力和解決問題能力；通過證明的過程，增強學生學習數學的自信心。
【勾股定理】
勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
（數學符號語言表達）：
在RtABC中，∠C=90°
_____
學習勾股定理后，用語音播放勾股定理的發展歷史，及我國古代的前輩們早在公元前1000多年前就發現了勾股定理。
設計意圖：了解我國古代數學家對勾股定理的發現及證明做出的貢獻，增強民族自豪感。
思考：（公式變形）
在直角三角形中，兩直角邊分別為a和b，斜邊為c：
（1）若已知a，b，則c2=_____，即c=_____。
（2）若已知c，b，則a2=_____，即a=_____。
（3）若已知c，a，則b2=_____，即b=_____。
設計意圖：學生要掌握勾股定理的變形，體會勾股定理可以用來求直角三角形的邊長。
第五關：知識應用大比拼
1.已知直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c。
（1）若a=6，b=8，則c=_____。
（2）若c=3，b=2，則a=_____。
（3）若c=4，a=3，則b=_____。
2.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（ ）。
A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]
3.判斷對錯：若a、b、c為RtABC的三邊，則a2+b2=c2。（ ）
設計意圖：考察學生能否掌握勾股定理的表達式，體驗強調直角的重要性；以及分類討論的數學思想。
4.如圖，受臺風彩虹的影響，一棵大樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處。求這棵樹原來有多高？
設計意圖：通過學生親身經歷的生活背景，來考察勾股定理在實際生活中的應用。
小結：教師和學生一起回顧本節課所學內容，總結這節課體會的從特殊到一般及數形結合的數學思想；在研究問題的過程是：觀察，猜想，驗證，論證。
設計意圖：感悟數學思想，引發學生更深層次的思考，促進學生數學思維品質的提高。
問題情境，是指一種具有一定困難、需要學生努力克服，而又是力所能及的學習情境。問題情境的創設，首先，需要教師準確把握教學要求，熟悉教學內容，掌握教材結構，把握新舊數學知識間的內在聯系；其次，要求教師充分了解學生，了解學生已有數學認知結構和智能發展狀況.在此基礎上，按照知識發展的邏輯順序、學生數學思維規律，從已知到未知、由現象到本質、由簡單到復雜、由容易到困難地安排內容。
一、利用趣味故事和史話創設問題情境
在探究性教學過程中，教師要根據本節課的內容，尋找與教學內容密切相關的、可以激發學生興趣的材料，創設出若干問題方向，用新穎的方式、生動的語言提出來，讓學生發現問題并懷著強烈的好奇心和求知欲去進行探究。問題創設得好，吸引學生積極的參與和主動的學習，會使他們體味到趣味。
在教學中結合有趣的故事和史話，可以激發學生的興趣，使他們積極開動腦筋去思考問題。通過這些有趣的故事，極大地提高了高中學生學習的興趣，主觀能動性得到很大的發揮，促使學生積極思考問題，思維處于活躍狀態，創造潛能得以發揮。
二、借助實際生活創設問題情境
知識是由自身的發展而產生的，有些是源于實際生活。華羅庚曾說過：“人們對數學產生枯燥無味、神秘難懂的印象，原因之一便是脫離實際。”因此，問題的引入也可以聯系生產、生活實踐。如果把抽象的問題賦予了實際的意義，更能促進學生的積極思考，有利于學生提出問題、理解問題，并提高了綜合應用所學的知識解決問題的能力。
三、在新課導入時創設問題情境
愛因斯坦說：“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要。”在新課導人時，教師有目的有意識地創設問題情境，引起學生的認知沖突，把學生帶人問題的情境中，使學生產生求知的需要。例如，在講平面向量這一章時，學生第一次接觸向量不容易理解，那么可以設計一個問題情境，把學生代人向量這一節，可以給出這樣一個小題目：老鼠由A向東北方向以每秒6米的速度逃竄，而貓由B向東南方向以每秒10米的速度追。問：貓能否抓到老鼠?這樣，學生很自然地去思考速度這樣一個既有大小又有方向的量。俗話說，好的開頭是成功的一半，上課伊始就能吸引學生的注意力和興趣，使學生產生強烈的好奇心和求知欲，教學往往會達到事半功倍的效果。
四、結合課題實際設置信息情境
現代信息技術的發展對教育的價值、目標、內容以及教與學的方式產生了重大的影響。教學情境的設計與實施應重視運用現代信息技術，特別是要充分考慮計算器、計算機對學習內容和方式的影響，大力開發并向學生提供更為豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習和解決問題的強有力工具，致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現實的、探索性的活動中去。例如，在學習高中數學三角函數這一章時，有很多的知識要運用勾股定理這一特定的函數關系式，在學習三角函數時，要回過頭來，溫習過去已經學過的知識；可布置練習作業，讓學生在互聯網上查有關勾股定理的內容，然后在上課時看誰查得的資料最多。有的學生說：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；有的學生說：勾股定理乃千古第一定理。在古代，許多民族發現了這個事實；我國的算術《周靜算經》中，就有勾股定理的記載；在西方，被稱為“畢達哥拉斯”定理或“百牛”定理；有的學生說：勾股定理導致元理數的發現；有的學生說：據不完全統計，勾股定理已有三百多種證明方法，連美國第二十任總統伽菲爾德也對勾股定理癡癡人迷，他的證法在數學史上被傳為佳話，被稱為總統證法。學生了解到古代人民對勾股定理的研究，反映勾股定理的悠久歷史、重大意義以及先民的聰明才智。把這些簡單的東西學好了，對高中階段的三角函數學有幫助。
教學中，只要結合具體內容創設恰當的情境，就能使枯燥拍象的內容變得生動直觀，就能把書本知識同社會實踐結合起來，使學生產生“疑而未解，又欲解之”的強烈愿望，進而轉化為一種對知識的渴求，從而調動學生學習的積極性和主動性，達到提高課堂教學質量的目的。
本節課的內容是九年制義務教育教科書（人教版），八年級第十七章“勾股定理”。通過向學生提供現實、有趣、富有挑戰的學習素材，使學生展開討論，讓學生從多角度思考，探索不同的方法，找到解決問題的策略，積累解決問題的經驗，掌握解決問題的方法，同時在教學中滲透中華優秀傳統文化。
一、創設情景，引入新課
師：（結合動畫講故事）同學們，我們國家有著幾千年的悠久文化，西周開國時期，周公非常愛才，他和喜歡鉆研數學的商高是好朋友。有一天，商高對周公說，最近我又有一個新的發現，把一根長為7的直尺折成直角，使一邊長（勾）為3，另一邊長（股）為4，連接兩端（弦）得一個直角三角形，周公您猜一猜第三邊的長等于多少？周公搖頭不知道。同學們，你們猜猜是多少？
生：5（不知道）
師：不知道也沒關系，我們來量一量斜邊的長就知道了。（動畫演示）
師：后來又發現，直角邊為6、8的直角三角形的斜邊的長是10。這兩組數據是否具有某種共同點呢？帶著這個問題人們對直角三角形做了進一步的研究，通過計算三條邊長的平方發現，直角三角形中的三條邊長之間還真有一種特殊的關系。它們之間到底有什么樣的關系呢？
生：32+42=52，62+82=102。
師：這是兩組特殊數字。想一想，是不是一個任意的直角三角形的三邊是否也有這種相等關系呢？
我們用幾何畫板再做一個實驗，請注意觀察。（任意改變直角三角形三邊的長度，度量、計算顯示相等關系依然不變。）
師：通過實驗，可以得到什么結論？
生：直角三角形的三邊滿足：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即a2+b2=c2
師：同學們概括得非常好！這個結論盡管是通過多次實驗得到的，但要說明它對任意的直角三角形都成立，還有待進行證明。我們先來觀察這個要證明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？
生：表示直角三角形的三條邊長。
師：a2、b2、c2是邊長的平方，由邊長的平方可聯想到什么？
生：正方形、正方形的面積。
師：對整個等式你們怎樣理解？
生：等式可以理解為兩個正方形的面積和等于一個正方形的面積。
師：那好，下面我們就來做一個拼正方形的游戲，看能不能對我們證明結論有些幫助。
二、動手拼圖，合作探索定理證明方法
師：現在，前后4人為一個小組，老師給每小組提供了拼圖模型兩套，要求每一套模型拼成一個沒有空隙且不重疊的正方形。拼好后請上臺展示你們的成果，比一比，看哪一組完成任務最快。
師：同學們對比自己拼成的兩個圖形，看看它們有什么共同點和不同點？
生：都是邊長相等的正方形，但拼圖的模型不同。
生：這兩個正方形的面積相等。
師：這兩個正方形的面積怎樣計算呢？通過你的計算能否證明a2+b2=c2？請試一試。
師：看哪兩位同學愿意上來寫出證明過程。
師：兩位同學剛才用兩種不同的方法證明了實驗得出的結論，這就是我們今天要學習的勾股定理。請兩位同學再談談你們的證明思路好嗎？
生甲：圖（A）的面積用四個全等的直角三角形的面積加兩個正方形的面積，圖（B）的面積用四個全等的直角三角形的面積加一個正方形的面積，利用面積相等就證得結論。
生乙：我把圖（B）用兩種不同方法計算它的面積也能證得結論。
師：說得好！甲同學的證明思路正好符合我們前面對等式的理解；乙同學的證明思路啟發我們還可以通過拼各種不同的圖形來證明勾股定理。
三、課堂練習
李明上學經過的路旁有一小湖，隔湖相對有兩棵樹A、B， 但無法直接測量出A、B之間的距離。請你幫他設計一個解決問題的方案好嗎？
四、小結
師：同學們可以感受到勾股定理有什么作用？
生：可以解決在直角三角形中已知兩條邊求第三邊的問題。
師：說得好！這一節課，你們還學會了什么？
關鍵詞: 初中數學教學 問題串 應用
基于問題的學習是一種有效的教學方法,其主要特點表現為:使學生成為問題情境中的角色;教師圍繞一個完整的問題設計安排課程,鼓勵學生解決問題;教師創造一種學習環境,激發學生思考,不斷引導學生深入地理解問題。在教學中利用“問題串”進行教學,就是圍繞著教學目標,通過設置一系列有針對性的問題引導學生反應,教師在識別學生反應的基礎上,采取有效指導,促進學生不斷達成教學目標的一種有效方法。教師通過一系列的“問題串”能使學生的思維清晰,更深刻地理解其正在探究的問題,領悟探究活動的精髓。美國心理學家布魯納指出:“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動,思維永遠是從問題開始的。”在課堂教學中,我們要以“問題”貫穿整個教學過程,使學生在設問和釋問的過程中萌生自主學習的動機和欲望,逐漸養成思考問題的習慣,并在實踐中不斷優化學習方法,提高學生的數學素質。在教學中,教師要開展問題教學法,在教學設計時要根據教學內容編寫問題串。問題串教學設計的優點是學生在思考的過程中得出答案,經歷了思考的過程。下面我談談初中數學教學中有效設計問題串的方法。
1.在數學課堂教學導入時設計問題串
在數學課堂教學活動開始時,教師可針對教學目標和教學內容,提出一個或幾個問題,讓學生思考,對問題進行分析、解答。精心設計問題串導入新課,能夠集中學生注意力、引發學生思考、產生學習動機、激發學習興趣、建立知識聯系、明確教學目標,使學生的求知欲進入活躍狀態,為學習新概念、新知識、新技能作鋪墊。
設計片斷1:
一位數學教師這樣設計課堂引入:
在數學課開始時,老師先講了一個數學故事:在西周時期,周公非常愛才,他和喜歡鉆研數學的商高是好朋友。有一天商高對周公說,最近我又有一個新的發現,把一根長為7的直尺折成直角,使一條邊長(勾)為3,另一條邊長(股)為4,連接兩端(弦)得一個直角三角形,周公您猜一猜第三條邊的長等于多少?周公搖頭說不知道。然后老師設計了3個問題。
問題1:同學們,你們知道第3條邊的長是多少嗎?
(學生可能知道,也可能不知道。教師引導學生通過畫圖來測量第3條邊的長度,讓學生畫直角三角形測量發現斜邊是5。)
問題2:直角邊分別為6、8的直角三角形的斜邊的長是多少?
(同理,通過畫圖發現斜邊長是10。)
問題3:這兩組數據是否具有某種共同點呢?
(前人對直角三角形作了進一步的研究,通過計算3條邊長的平方發現,直角三角形中的3條邊長之間還真有一種特殊的關系.同學們也來算一算、猜一猜,它們之間到底有怎樣的聯系呢?)
從而導出本節課的主題――探索勾股定理,以上的導入設計,緊緊圍繞教學目標,緊密聯系教學內容,既調動了學生學習的積極性,又提高了學生的探究能力。實踐證明,設計巧妙的問題式引入,能夠使學生在輕松愉快的氣氛中收到事半功倍的功效。
2.在數學課堂探究新知識時設計問題串
在探究數學新知識時,教師應把知識中所涉及的內容,通過精心合理的設計,分解成若干個問題,鼓勵學生進行探究和討論交流,再通過觀察、綜合、分析、歸納、類比、概括,逐步學會接受問題、分析問題、解決問題,發現其中蘊涵的數學規律。
設計片斷2:
在探究勾股定理的發現和勾股定理的驗證時,一位數學教師這樣設計:
(1)勾股定理的發現
問題1:觀察圖1的方格圖,你能利用數方格子的方法得到答案嗎?請完成填空。
①正方形A中含有?搖?搖?搖?搖個小方格,即A的面積是?搖?搖?搖?搖個單位面積。
②正方形B的面積是?搖?搖?搖?搖個單位面積。
③正方形C的面積是?搖?搖?搖?搖個單位面積。
(在數正方形C的面積時可以把一些圖形拼在一起。)
問題2:觀察正方形A、B、C的面積,你能發現它們之間有什么聯系嗎?
問題3:如果正方形A、B、C的邊長分別為a、b、c,那么上述公式又可以怎樣表示呢?
(因為正方形A、B、C是以直角三角形3邊為邊長的正方形,所以,一般的,直角三角形的3邊長有下面的關系:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。即如果a、b為直角三角形的兩條直角邊長,c為斜邊長,則有a+b=c。)
(2)勾股定理的證明
問題1:請觀察如圖2的正方形,你能用大正方形面積等于小正方形面積與4個直角三角形面積的和這一等量關系,證明勾股定理的正確性嗎?
問題2:觀察圖3和圖4,你可以用類似的方法說明勾股定理的正確性嗎?
這位教師通過設計3個問題讓學生發現勾股定理,通過設計2個問題讓學生驗證勾股定理。整個教學過程是一個以問題為核心的循環過程:分析問題、解決問題、理性認識、提出新問題。教師注重對學生進行數學思維與方法的引導,激活提出的問題,激發學生的求知欲和探索欲,并引導學生對問題的解答進行驗證、評價、反饋,上升到理性認識,使學生通過理性歸納形成新的認知結構,并不斷提出新的問題,培養學生的創新能力。
3.在數學習題教學時設計問題串
一道好的習題不但能讓學生應用新知識,理解新知識,而且可以迸發出思想的火花。創新教學要求教師充分挖掘例題、習題的潛能,精心處理教材,激活例題、習題的活力,打破模式化,對常規題目進行改造,為學生創造更廣闊的解題思維空間。
設計片斷3:
在教學勾股定理的應用時,一位教師設計了3個問題:
問題1:如圖5,有一個消防梯長25米,把它的腳端放在離墻根2米處,問該梯能夠得著24米高的墻頂嗎?
問題2:在問題1的條件下,若梯頂端夠得著墻頂,那么超出墻頂多少米?若夠不著,那么梯的頂端離墻的頂端有多少米?
問題3:如圖6,若使梯的頂端剛好架在外墻頂上,那么梯的底端應向外(或內)移動多少米?
《數學課程標準》提倡:“通過解決問題的反思,獲得解決問題的經驗。”數學教學離不開例題、習題的教學,而教學中如何選擇例題、習題,從而挖掘教材潛在的智能價值,充分展示教學功能,并使課本知識有效地濃縮。教師應通過不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式,使一題多變,設計一串數學問題,從而揭示不同知識點的聯系,使學生加深對知識的理解與內化,使知識系統化,克服某些思維定勢,發散學生思維,培養學生思維的靈活性、全面性和創新性,提高學生解決實際問題的能力。
4.在數學課堂小結時設計問題串
一節課結束,并不意味著教學內容和學生思維的終結。“學貴有疑”,有“疑”就對知識有“學而不厭”的追求。在課堂結束時,教師充分利用課堂的核心內容設計總結性的問題串,可培養學生獨立探究新知識、自我歸納和反饋的能力。
設計片斷4:
在課堂小結時,教師引導學生回顧本節課所學內容,從內容、應用、數學思想方法、獲取新知的途徑方面進行總結。一位教師設計了以下4個問題:
問題1:勾股定理揭示了哪一類三角形中的什么元素之間的關系?
問題2:在探索和驗證勾股定理的過程中,我們用了哪些方法?
問題3:運用“勾股定理”應注意哪些問題?
問題4:你還有什么不懂的地方?
在課堂總結階段,該教師設計一組問題讓學生通過對本節知識的提煉,歸納出有關知識與技能方面的一般結論和在做數學活動中所遇到的困惑,感悟新知的探索、應用,幫助學生整合所學到的知識,使之結構化,從而培養學生個性和良好的思維能力。
參考文獻:
[1]苗志艷.淺談數學教學中的“問題教學法”[J].科教文匯,2009,18.
幾何定理是初中幾何知識的主要內容，也是進行幾何推理的主要依據之一.對于剛從小學升入初中的學生，思維方式尚停留在形象思維階段，表現在學習過程中往往輕視概念的重要性，雖然做起計算題來游刃有余，但是對幾何知識的學習則顯得有些吃力.關注到這一現象之后，教師就應該在幾何教學時，著重培養學生的邏輯思維能力，通過探索知識的形成過程來達到鍛煉學生概括、總結知識能力的目的，而幾何定理的教學就成為完成這一教學任務的重要陣地.具體在教學中有以下幾種方法：
一、通過講數學故事引出幾何定理
根據初中生的年齡特點，教師可以在開展幾何定理教學之前，通過講述古今中外數學家對數學知識的探索過程以及數學歷史故事來導入新課.通過這一特殊的課堂導入形式，學生的學習興趣和注意力被迅速、有效地激發起來，有助于下一步教學工作的順利展開.
例如，在學習《勾股定理》時，可以通過介紹古今數學家發現勾股定理的故事來導入這一“數形統一”的數學方法.教師首先可以講述我國古代著名數學家趙爽，通過自己不懈的努力，終于使用直觀、簡潔的方法證明出了勾股定理.接著，教師可以提出問題：“大家想不想知道古時候的趙爽是通過什么方式證明出勾股定理的呢？”現在老師帶領大家與數學家一起探索這一定理吧.通過教師的一番引導，學生對勾股定理產生了濃烈的好奇心，接下來教師就可以引導學生展開對勾股定理的探索.
在這一教學過程中，學生成為了教學活動的主體，教師作為指導者給予相應的指導即可，學生的求知欲得到了滿足，并且在自主探究的過程中推導出了幾何定理，這種教學過程與教師單一的灌輸知識相比，教學效果更為明顯，學生對知識的掌握也更為牢固.在探索知識的過程中學生既收獲了成功的喜悅，又鍛煉了自我學習的能力.
二、聯系生活實際推導幾何定理
在上文中，通過講述古人的故事引出對定理的推導，下面談一下結合實際生活中的現象展開幾何知識探索的教學過程.聯系實際展開教學與聽故事相比，都能很快吸引學生的學習興趣，為進一步探求知識提供助力.教師在備課階段，應該展開積極的思考，將數學知識與實際生活聯系起來展開教學，從而激發學生的學習興趣.例如，在學習“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”這一判定定理時，教師可以列舉生活中很多常見的現象來說明這一問題.例如，在運動會跳遠項目中就體現了這一定理.又如，在學習“兩直線平行，內錯角相等”這一定理時，教師可以引導學生針對圖形進行多角度、全方位的觀察，通過多媒體課件展示，盤山公路在兩次拐彎后平行時的內錯角圖示效果，同時還可以鼓勵學生展示出自己在生活中發現的同類現象.通過這次教學，學生既感受到了生活中處處存在幾何知識，體會到了學習幾何的樂趣，同時也加深了對這一定理的理解.
三、在問題情境中推導定理
在課堂上創設問題情境，展開師生互動問答，可以將班級氣氛活躍起來，班級師生圍繞一個問題展開討論，在討論和交流中自然的引入對有關概念、定理的推導，讓學生在已有的認知水平上，學會新知識.例如：在學習“三角形中位線定理”時，教師可以先讓學生動手操作，將一張三角形硬紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能夠形成一個平行四邊形.
