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開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1.關(guān)于“如何引入課題”
在我們的日常生活中，拋物線有著重要而廣泛的應(yīng)用，例如，探照燈就是利用拋物面的光學(xué)性質(zhì)制作而成，將點光源發(fā)出的光，折射成平行光，照射到足夠遠(yuǎn)的地方.教師在引入課題的時候可以利用多媒體向?qū)W生展示一些類似的例子，讓學(xué)生直觀地感受拋物線，同時對比二次函數(shù)及其圖像，向?qū)W生拋出“如何給出拋物線的定義”，從而引出新課.
2.關(guān)于“拋物線定義的教學(xué)”
在介紹拋物線的畫法時，教師應(yīng)盡量創(chuàng)造條件，讓學(xué)生親自動手畫出拋物線，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察動點的運動過程，并用數(shù)學(xué)語言描述動點的運動規(guī)律，用心體會數(shù)學(xué)語言的精確性.在畫拋物線的過程中，使學(xué)生明白拋物線上的點所滿足的幾何條件，引導(dǎo)學(xué)生概括出拋物線的定義.對拋物線的定義特別要強調(diào)的是定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過定點F垂直于直線l的一條直線.如，到點F（1，0）和到直線l：x+y-1=0的距離相等的點的軌跡為：x-y-1=0，該軌跡是過定點F（1，0）且垂直于直線l：x+y-1=0的一條直線.
同時，也可以恰當(dāng)使用信息技術(shù)幫助學(xué)生理解拋物線的概念，例如幾何畫板等，以便讓學(xué)生更直觀地看到動點的運動軌跡.但有時教師由于課時等因素的限制，一般都會在課下就做好課件，課堂上直接演示.實際上用幾何畫板演示拋物線的形成過程時，建議教師讓學(xué)生親歷課件制作的過程，演示過程中注意動點的運動速度的控制，引導(dǎo)學(xué)生邊觀察、邊思考，這樣的過程會有利于學(xué)生在動態(tài)變化中強化對幾何概念的認(rèn)識.
3.關(guān)于“拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)”
由于在教學(xué)中圓錐曲線方程的推導(dǎo)都需要建立坐標(biāo)系，故教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識地加強對“如何建系”的思考，例如拋物線方程的推導(dǎo)中為什么不將定點設(shè)在坐標(biāo)系的原點處？或是以定直線為y軸？這樣的思考無疑會有利于學(xué)生理解標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，進而進一步理解解析幾何的本質(zhì).特別要注意的是，學(xué)生可能會提出各種建系的方式，為了使拋物線方程最后的形式簡潔，教師應(yīng)與學(xué)生共同分析并做計算，從而找到較好的建系方式.與此同時還要強調(diào)動點所滿足的幾何條件，因為這是求曲線方程的關(guān)鍵.
還有在推導(dǎo)的過程中會遇到方程的化簡.在很多情況下，學(xué)生都會遇到類似的方程的化簡、利用多個等式于不等式的關(guān)系解決如變量的取值范圍等問題.由于學(xué)生在初中階段方程的學(xué)習(xí)僅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程組，以及可化為一元一次方程的分式方程，不等式的學(xué)習(xí)也僅限于一元一次不等式，高中階段學(xué)習(xí)了一元二次不等式，教師從學(xué)生這樣的經(jīng)歷不難看出，學(xué)生在學(xué)習(xí)本章時代數(shù)變形的學(xué)習(xí)經(jīng)歷是非常有限的，這就造成了一部分學(xué)生在具體的解題過程中缺乏信心、經(jīng)驗不足.因而，建議教師結(jié)合學(xué)生遇到的具體困難，加強對學(xué)生的指導(dǎo)和示范，幫助學(xué)生積累代數(shù)變形的經(jīng)驗，提高代數(shù)推演的能力.
另外，一條拋物線由于它在坐標(biāo)系內(nèi)的位置不同方程也不同，于是希望學(xué)生自己歸納出拋物線開口向左、向上、向下三種情形下的方程，并求出相應(yīng)的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo).建議畫出表格的第一、第二列，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)拋物線的對稱性將下表補充完整.
4.關(guān)于“知識鞏固”
考慮到拋物線的定義，幾何圖形，標(biāo)準(zhǔn)方程要求掌握，所以在設(shè)置例題的時候要有梯度，例如：求下列拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程：
同時，為了強調(diào)圓錐曲線的應(yīng)用體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，可以選取實際應(yīng)用的例子，幫助學(xué)生樹立模型觀念，為運用這些模型解決實際問題做了良好的鋪墊.
關(guān)鍵詞：定義解題；拋物線
中圖分類號：G40 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4117（2012）02-0269-02
定義是必須掌握的基礎(chǔ)知識，也是解決問題的重要工具，用定義解題，可以變繁為簡，起到事半功倍的效果。
要靈活運用拋物線的定義來解決問題，一般情況下涉及焦點問題則應(yīng)首先考慮定義。利用定義尋找等量關(guān)系使得求拋物線方程簡便易行。
要求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”兩個方面。“定位”是指確定它們與坐標(biāo)系的相對位置，在中心是原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標(biāo)軸上，開口向哪，以判斷方程的形式；“定量”是指P的具體數(shù)值，常用待定系數(shù)法.
“回歸定義”是一種重要的解題策略，要培養(yǎng)用定義解題的意識，特別在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解題。
要準(zhǔn)確把握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征以及“標(biāo)準(zhǔn)”的含義，能從它的標(biāo)準(zhǔn)方程讀出幾何性質(zhì)，更要能夠利用標(biāo)準(zhǔn)方程解決問題。
“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”從而獲得簡捷直觀的求解，“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑。
一、求最值
例1.已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（A）
例2.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點 作傾角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點（A在y軸左側(cè)），則
例3.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點，F(xiàn)是焦點．
（1）求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線X=-1的距離之和的最小值；
（2）若B點的坐標(biāo)為（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．
解析：（1）如圖1，易知拋物線的焦點為 ，準(zhǔn)線是X=-1．由拋物線的定義知：點P到直線X=-1的距離等于點P到焦點F的距離．于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小．顯然，連結(jié) 交拋物線于P點．
點評：此題利用拋物線的定義，使拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離與點到焦點的距離相互轉(zhuǎn)化，再利用平面幾何中的知識，使問題獲解。
二、求曲線的方程
例1圓心在拋物線 上且與x軸及拋物線的準(zhǔn)線都相切，求該圓的方程．
點評：本題利用拋物線的定義，可知切點與焦點重合，從而確定了點的坐標(biāo)，使問題的求解變的很順暢．定義法是求軌跡問題的重要方法之一.
三、確定方程的曲線
點評：本題若直接化簡方程，再判斷其軌跡較繁雜，根據(jù)方程兩邊所表示的幾何意義，利用拋物線的定義則簡單易行．
四、探究證明
點評：數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何中有很多的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)中，學(xué)生要善于把已知條件轉(zhuǎn)化成圖形中量與量的數(shù)量關(guān)系及其位置關(guān)系，再由圖形去研究問題。
作者單位：三門峽市實驗高中
參考文獻:
關(guān)鍵詞：高中；拋物線；教學(xué)；
中圖分類號：G633.6文獻標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2013）09-0167-01
2.高中拋物線教學(xué)的技巧
2.1正確地理解拋物線概念。對于拋物線概念的深入理解，才能夠在日常的生活中巧妙地運用拋物線知識，這對于教學(xué)的"教"以及學(xué)生的"學(xué)"都有幫助。因此，在高中拋物線的教學(xué)中，我們應(yīng)該恰當(dāng)?shù)亍⒉贿m時地融入概念問題。例如我們已知圓的半徑（r）和面積（A），嘗試寫出圓面積計算表達(dá)式。此外，在教學(xué)當(dāng)中，我們?yōu)榱俗寣W(xué)生加深印象，也可以通過實際的案例教學(xué)。
2.2教學(xué)需要以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為目標(biāo)。高中數(shù)學(xué)材料對于學(xué)生來說是枯燥的，久而久之，學(xué)生就會厭煩這一種學(xué)習(xí)方式，而這卻給教師的教學(xué)帶來了重大的阻礙。所以，讓學(xué)生對拋物線產(chǎn)生興趣才是提高拋物線的學(xué)習(xí)效率。因此，在拋物線教學(xué)中可以結(jié)合現(xiàn)實情境、創(chuàng)設(shè)想象空間，配合多媒體教學(xué)，然后在課后布置適合學(xué)生難度的作業(yè)，這樣不僅能夠讓學(xué)生感受到挑戰(zhàn)，也不會對學(xué)生造成過重的壓力，這對學(xué)生主動學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)也有幫助，學(xué)生才會不排斥對拋物線的學(xué)習(xí)[1]。
2.3拋物線教學(xué)中需要融入數(shù)形結(jié)合。對于學(xué)生掌握拋物線的性質(zhì)以及學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)，也可以通過圖像來學(xué)習(xí)拋物線的方式。在高中拋物線的教學(xué)中，我們應(yīng)該讓學(xué)生在觸碰到每一個拋物線的時候都盡量的畫出草圖，以此來培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，讓學(xué)生了解到在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中他們的形狀與位置。
3.高中拋物線教學(xué)的實踐
3.1啟發(fā)深入，引導(dǎo)探究。綜合教學(xué)過程，要求學(xué)生對探究結(jié)論進行綜合概括，形成知識之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，使知識與知識之間、不同學(xué)科知識之間、數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活之間建立聯(lián)系，將探究結(jié)論進行綜合組織、并納入自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。比如，在推導(dǎo)得到開口向右的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程后，由學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案引導(dǎo)下完成如下兩個問題：一是寫出另外三種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，及焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；二是尋求它們的內(nèi)在聯(lián)系，并總結(jié)記憶。這是數(shù)學(xué)探究課的中間層次，教師給出簡要的過程提示和大致要求，對學(xué)生的結(jié)論可以不加限制，既做到理順問題、嘗試結(jié)論，又給學(xué)生留下一定的思維空間。互動方式是師生互動、人機互動、學(xué)生與教材互動[4]。
3.2規(guī)范要求，引控方向。探究式學(xué)習(xí)并不是完全放手讓學(xué)生去研究，為了能完成有效教學(xué)目標(biāo)，教師要在知識的形成階段規(guī)范要求，引控方向。所以，探究的每一階段均離不開教師的組織，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，調(diào)節(jié)控制學(xué)生的探究活動，教師的教學(xué)組織促進學(xué)生的探究深化；同時，學(xué)生的探究進程要求教師指導(dǎo)、提示、組織、引導(dǎo)。在引導(dǎo)學(xué)生歸納拋物線的定義和坐標(biāo)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、及對四種標(biāo)準(zhǔn)方程進行規(guī)律分析的過程中，筆者一邊提示學(xué)生去思考、討論和表達(dá)，一方面對學(xué)生的結(jié)論進行剖析、評價和指正。比如在比較四種標(biāo)準(zhǔn)方程的規(guī)律分析中，首先提供線索指導(dǎo)學(xué)生進行發(fā)散式討論，如從系數(shù)、坐標(biāo)軸、正負(fù)值、對稱性等入手思考，以明確問題的指向性，其次在學(xué)生討論不完善的基礎(chǔ)上，表明自己的看法與學(xué)生的思維發(fā)生碰撞，幫助學(xué)生修正自己的見解。互動方式是師生互動、生生互動。
3.3提供線索，引起討論。為了使實際操作和對問題的數(shù)學(xué)討論卓有成效，課堂教學(xué)氛圍民主、和諧和開放，學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài)，在導(dǎo)學(xué)案和問題報告中附加了引導(dǎo)性的問題，如"在曲線的形成過程中，每一對重合的點關(guān)于相應(yīng)的折線對稱，那么此時生成的動點 M 有什么幾何特征"、"拋物線是滿足什么條件點的集合"、"怎樣建立直角坐標(biāo)系求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程"、"四種標(biāo)準(zhǔn)方程內(nèi)在聯(lián)系是什么"等。在這樣的教學(xué)模式下，學(xué)生各抒己見，合作學(xué)習(xí)，學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，在與他人合作和交流的過程中，客觀的理解他人的思考方法和結(jié)論，體驗獲得成功的樂趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。互動方式是師生互動、生生互動、人機互動（數(shù)學(xué)探究過程的交互性）。在課堂學(xué)習(xí)過程中，教師是學(xué)習(xí)活動的組織者、探究情境的創(chuàng)設(shè)者、探究活動的引導(dǎo)者，既要對學(xué)生的討論給予引導(dǎo)，又要對出現(xiàn)的問題進行點撥。
3.4培養(yǎng)能力，運用技術(shù)。高中階段主要是學(xué)生思維能力以及邏輯思維判斷能力的培養(yǎng)，因此，作為教師，就需要選擇正確的教學(xué)方式。對于學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，我們也可以運用拋物線的分析判斷方式以及思維方式，拋物線對于發(fā)展學(xué)生思維有著重要作用。因此，我們就需要讓拋物線能夠展現(xiàn)在學(xué)生的眼前，讓學(xué)生親眼看到拋物線。而將多媒體技術(shù)運用到拋物線教學(xué)當(dāng)中，就能夠很好的解決這一問題。在學(xué)習(xí)當(dāng)中的運用，不僅能夠提升拋物線的教學(xué)效率，還能夠調(diào)動學(xué)生對于拋物線學(xué)習(xí)的積極性[3]。在課前，教師可以將拋物線相關(guān)的PPT 制作完成，然后在課堂上通過圖文并茂的方式，將拋物線最直觀地展現(xiàn)在學(xué)生的面前。
4.總結(jié)
拋物線，它有豐富的內(nèi)涵和外延，它貫穿高中和高中數(shù)學(xué)課程的一種很重要的函數(shù)，可見拋物線在中學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位，不管在代數(shù)中，解析幾何中，利用拋物線的機會也特別多；以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，同時各種數(shù)學(xué)思想如函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，等價轉(zhuǎn)換的思想利用拋物線作為載體，展現(xiàn)的最為充分，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。
參考文獻
[1]楊斗。 三元整合教學(xué)模式教學(xué)方案的實驗研究--以《拋物線》教學(xué)為例[J]。 教育導(dǎo)刊，2013，（2）。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng)；變式題；推理能力
圓錐曲線在數(shù)學(xué)上是一個非常重要的幾何模型，有很多幾何性質(zhì)，這些重要的幾何性質(zhì)在日常生活、社會生產(chǎn)及其他科學(xué)中都有著重要而廣泛的應(yīng)用，并且學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容對于提高自身的素質(zhì)是非常重要的.其中拋物線是圓錐曲線中的重要的一類，在高考中有著重要的地位.特別地，在導(dǎo)數(shù)引入高中數(shù)學(xué)，對拋物線的考查就更為頻繁.在學(xué)習(xí)了拋物線的定義以及拋物線的幾何性質(zhì)之后，為了更好地理解拋物線的定義，筆者從下面幾個方面進行說明.
一、鞏固拋物線的定義
1.到點A（1，1）的距離與到直線l：3x-4y+1=0的距離相等的點的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線
解析：粗看滿足拋物線的定義，再仔細(xì)一看，易發(fā)現(xiàn)點A∈l，點的軌跡為經(jīng)過點A且垂直于直線l的一條直線.這有助于理解拋物線的定義――直線外的一點.
2.經(jīng)過點F（2，0）且與直線l：x=-2相切的動圓的圓心M的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線
解析：由圓的性質(zhì)及直線與圓相切的性質(zhì)可知，圓心到切線的距離等于半徑，又點F在圓M上：即圓心M到定點F的距離等于到定直線l的距離，滿足拋物線的定義，所以動圓心M的軌跡是拋物線.
變式1：到點F（2，0）的距離比到直線l：x=-1的距離大1的點的軌跡是（ ）
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
解析：把直線l向左平移一個單位，可以轉(zhuǎn)化為l′∶x=-2，到定點F（2，0）的距離等于到定直線l′：x=-2的距離，滿足拋物線的定義。
變式2：動點M（x，y）滿足等式： = ，則點M的軌跡為（ ）
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
解析：等式可化為： = .
根據(jù)兩點間的距離和點到直線的距離公式可得，動點M（x，y）到定點F（2，0）的距離等于到定直線l：3x+4y-2=0的距離，滿足拋物線的定義（不是我們所熟悉的標(biāo)準(zhǔn)條件下的拋物線）.
二、拋物線定義的簡單應(yīng)用
1.求焦點在x軸上，且拋物線上一點A（3，m）到焦點的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解析：根據(jù)題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2px（p>0），如果運用兩點間距離公式，待定系數(shù)法聯(lián)立方程組解得，運算量較大.所以可根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點A到準(zhǔn)線：x=-p/2的距離等于5，可得到p的值，從而求得拋物線的方程.
2.已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P在拋物線上，有一定點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，及對應(yīng)的點P的坐標(biāo).
解析：由定義可知，拋物線上的點P到焦點F的距離等于點P到準(zhǔn)線l的距離d，所以求|PA|+|PF|的最小值，轉(zhuǎn)化為求|PA|+d的最小值，由點與直線上的點的連線中垂線段最短可得，過點A作準(zhǔn)線的垂線，垂線段長即為所求的最小值，該垂線與拋物線的交點就是所求的點P.
變式：已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P在拋物線上，有一定點A（2，3），點P到y(tǒng)軸的距離為d，求|PA|+d的最小值.
解析：P到y(tǒng)軸的距離，可以延長到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，即（|AP|+|PF|）-1/2的最小值，當(dāng)A、P、F三點共線時取最小值.
3.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點是F，準(zhǔn)線為l，過點F的弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l的位置關(guān)系 .
解析：過點A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別是A1，B1，取AB的中點為C，過C作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C1，由拋物線的定義可知：|BB1|=|BF|，|FA|=|AA1|.
|AB|=|AA1|+|BB1|.
CC1是梯形ABB1A1的中位線.
2|CC1|=|AA1|+|BB1|.
|AB|=2|CC1|，即圓心C到準(zhǔn)線的距離等于半徑.
以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切.
變式：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點是F，準(zhǔn)線為l，過點F的弦AB，作AA1l，BB1l，垂足為A1，B1，求證：A1FB1F.
解析：在AA1F和BB1F中，根據(jù)拋物線的定義可知，|AF|=
|AA1|，|BF|=|BB1|，
2∠A1FA+∠A1AF=180°，
2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，
∠A1AF+∠B1BF=180°，
∠A1FA+∠B1FB=90°，
∠A1FB1=90°，即A1FB1F.
4.已知AB是拋物線y=x2上的動弦，且|AB|=a（a為常數(shù)且a>1），求弦AB的中點M的縱坐標(biāo)的最小值.
解析：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x0，y0），過A，B，M分別作準(zhǔn)線l∶y=- 的垂線，垂足分別為A1，B1，N，得直角梯形ABB1A1，MN為梯形的中位線.
MN= （AA1+BB1），又y0=MN- .
連接AF，BF，在ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=a，當(dāng)且僅當(dāng)AB經(jīng)過焦點F時取“=”.
根據(jù)拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，
MN= （AA1+BB1）= （|AF|+|BF|）≥ AB= a，
當(dāng)弦AB經(jīng)過焦點F時，中點M的縱坐標(biāo)有最小值： a- .
5.如下圖，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準(zhǔn)線于點C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程是（ ）
A.y2= x B.y2=3x C.y2= x D.y2=9x
解析：過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A1，B1，準(zhǔn)線與x軸相交于點K，則|BF|=|BB1|.
|BC|=2|BF|，|CB|=2|BB1|，∠B1CB=30°，
|AC|=2|A1A|=2|AF|=6，
F為AC的中點.
FK= AA1= ，即p= ，
拋物線的方程為y2=3x.
通過以上幾個例子，讓我們能夠進一步理解拋物線的定義，能更好地解決與拋物線有關(guān)的焦半徑問題和焦點弦問題，解決有關(guān)拋物線的最值問題和定點、定值問題.重視概念的理解是掌握基礎(chǔ)知識的第一步，是發(fā)展學(xué)生基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題的能力的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).
《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往課堂教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容”。在這一理念指導(dǎo)之下，信息技術(shù)大踏步地走入了課堂教學(xué)中。它克服了傳統(tǒng)教學(xué)中某些缺陷，極大地促進了數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)水平的發(fā)展，提高了教學(xué)效果，在培養(yǎng)學(xué)生探索與創(chuàng)新精神、樹立辨證觀點、發(fā)揮學(xué)生的非智力因素，展示知識的產(chǎn)生過程都有很大的優(yōu)越性。
作為新課程的直接實施者，我與時俱進，在教學(xué)中盡可能地創(chuàng)設(shè)使用信息技術(shù)的情境。利用信息技術(shù)的優(yōu)勢改進了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高了教學(xué)質(zhì)量。豈料信息技術(shù)的應(yīng)用是一把雙刃劍，在提高課堂效率的同時，它有時也剝奪了學(xué)生充分思考的時間，減少了學(xué)生自主的活動，壓抑了學(xué)生解題靈感。現(xiàn)以《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》的教學(xué)為例，來談?wù)勛约簩Ω咧行抡n程課堂教學(xué)中運用信息技術(shù)的一些思考。
二、案例回顧
1、教材內(nèi)容分析
《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書-數(shù)學(xué)選修（2-1）》（人教版）第二章第四節(jié)第一課時的內(nèi)容。這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后，一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要；另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次強化。本節(jié)對物線的研究，與初中階段二次函數(shù)的圖象遙相呼應(yīng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美。教材的這種安排，是為了分散難點，符合認(rèn)知的漸進性原則。
2、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
初中階段，拋物線為學(xué)生學(xué)次函數(shù)y=ax2+bx+c提供直觀的圖象感覺。但學(xué)生并不清楚這種曲線的本質(zhì)。高中階段，在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的知識之后，學(xué)生對研究圓錐曲線的一般方法和過程已經(jīng)比較熟悉，因此拋物線的內(nèi)容比較容易接受和理解。
3、教學(xué)目標(biāo)
（1）知識與技能：理解物線的定義，掌握物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。能解決簡單的求物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題。
（2）過程與方法：通過對物線和橢圓、雙曲線的比較，體會三種圓錐曲線內(nèi)在的區(qū)別和聯(lián)系。
（3）情感、態(tài)度與價值觀：引導(dǎo)學(xué)生用運動變化的觀點發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，體會數(shù)學(xué)的簡捷美、和諧美。
4、教學(xué)重點與難點
重點：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.
難點：對拋物線定義的探究和推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程時坐標(biāo)系的選擇.
（二）引導(dǎo)探究，獲得新知
拋物線的定義：
在初中我們已經(jīng)從函數(shù)角度學(xué)過拋物線，那么，這一節(jié)課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來學(xué)習(xí)拋物線.首先我們來探究拋物線軌跡的形成過程。
[信息技術(shù)應(yīng)用]教材64頁.教師用幾何畫板演示畫圖過程.
如圖，點F是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線。H是l上任意一點，經(jīng)過點H作MHl，線段FH的垂直平分線m交MH于點M.拖動點H，觀察點M的軌跡.你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？
學(xué)生觀察，并相互交流.
[設(shè)計意圖]應(yīng)用幾何畫板畫圖，使學(xué)生形象地經(jīng)歷軌跡的形成過程，提高對概括拋物線定義的興趣和能力，同時體現(xiàn)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值.
（或許是學(xué)生過分關(guān)注于過程而忽視了目的，此時僅有兩人能回答出MF=MH，但也不能用語言描述“M與定點F和定直線l的距離相等”.于是我重新用幾何畫板演示，同時引導(dǎo)學(xué)生觀察的長度，并提醒學(xué)生注意m是線段FH的垂直平分線，這時學(xué)生才似乎恍然大悟，紛紛說出結(jié)論，同時指出點M的軌跡是拋物線.接下來擔(dān)心學(xué)生在提煉定義時有困難，我直接用課件給出拋物線定義.）
（三）實踐應(yīng)用，鼓勵創(chuàng)新
例2教材66頁
分析：這是一道實際生活問題，如何將這個問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題呢？（生：建立直角坐標(biāo)系）怎么建立？（生：應(yīng)該在接收天線的軸截面所在平面建立）
師生同步分析，學(xué)生獨立完成.教師應(yīng)用多媒體給出標(biāo)準(zhǔn)解題過程.
[設(shè)計意圖]鞏固新知識，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價值，體會數(shù)學(xué)來自生活，又應(yīng)用于生活，服務(wù)于生活.
（四）歸納小結(jié)，深化認(rèn)識
師生同步歸納，教師應(yīng)用多媒體給出：
1、知識：拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.
2、數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化思想，類比.
（五）布置作業(yè)
課本P731、2、3、4
三、案例分析
這節(jié)課上完后學(xué)生臉上的迷茫和失望一直深深地印在我的腦海，我開始反思這節(jié)課，反思信息技術(shù)應(yīng)用在教學(xué)中的得失。
1、創(chuàng)設(shè)情境：借助多媒體出示圖片，播放動畫，形象生動，極大地調(diào)動了學(xué)生的興趣與積極性，激發(fā)起學(xué)生探求新知的欲望，提高了學(xué)生在感情和行為上的參與意識。
2、拋物線的定義：拋物線概念的形成，是本節(jié)的難點。在教學(xué)設(shè)計中我用幾何畫板畫圖，是為了給學(xué)生提供觀察的平臺，卻沒有達(dá)到預(yù)想的目的。教材中信息技術(shù)的應(yīng)用，是為了給學(xué)生呈現(xiàn)拋物線形成的動態(tài)過程。而我過高估計了信息技術(shù)的作用，急于求成，在沒有給學(xué)生任何引導(dǎo)和提示下，就要求學(xué)生概括形成過程，致使學(xué)生在一片茫然。當(dāng)重新演示并適當(dāng)啟發(fā)后，學(xué)生都能得出正確結(jié)論。此時本應(yīng)趁熱打鐵，讓學(xué)生概括定義，我卻擔(dān)心學(xué)生在提煉定義時有困難，直接用課件給出了拋物線定義。教學(xué)難點不僅沒有被突破，連學(xué)生剛剛激發(fā)的探究欲望也被冷漠的扼殺。冷冰冰的利用課件給出定義，掩蓋了思維過程的展示，忽視與學(xué)生思維節(jié)奏的合拍。這種做法限制甚至遏制了學(xué)生思維能力尤其是求異思維的發(fā)展，不利于鼓勵創(chuàng)新。
3、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過自主探究，分組談?wù)摵笕噪y以確定最優(yōu)方案時，我適時地利用多媒體課件展示出爭論較多的三種方案，并同時給出每一種方案所對應(yīng)的方程，課件的快速、直觀，讓學(xué)生沒有異議的做出了選擇。當(dāng)學(xué)生躍躍欲試，準(zhǔn)備上黑板推導(dǎo)過程時，我為了節(jié)省時間，利用多媒體直接給出推導(dǎo)過程。這一環(huán)節(jié)我自認(rèn)為進行得比較順利。到研究另外三種不同方向的方程時，我剛一提出問題，就有一個怪怪的聲音傳來：“這個過程，請看老師的課件。”我呆住了……信息技術(shù)應(yīng)用的弊端狠狠的刺向了我。過度的信息技術(shù)應(yīng)用使學(xué)生失去冷靜思考的能力，深深的傷害了師生之間的感情。人機互動增多，面對面的交流減少。冷冰冰的人機對話來替代語言、感情的交流。缺乏情感交流的教學(xué)，就像一片荒蕪的沙漠，無法培育出健康成長的學(xué)生，造成師生間情感的缺失。
四、案例反思
（一）縱觀這節(jié)課，信息技術(shù)應(yīng)用的優(yōu)勢：
1、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)和調(diào)動了學(xué)生的興趣與積極性。
2、模擬情境，給數(shù)學(xué)實驗提供了可能。
3、信息量大、展示方便快捷，節(jié)約時間和空間，提高教學(xué)效率。
（二）信息技術(shù)應(yīng)用存在的弊端：
1、信息技術(shù)應(yīng)用替代了傳統(tǒng)教學(xué)的情感教育、交流合作。
2、輔助教學(xué)成了代替教學(xué)，不利于學(xué)生能力的培養(yǎng)。
3、信息技術(shù)應(yīng)用展示數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，忽視了揭示過程的一面。
4、隨意呈現(xiàn)，喧賓奪主。
總之，信息技術(shù)與學(xué)科課程的整合，是改革教育模式、教學(xué)方式和教學(xué)手段的重要途徑，也是當(dāng)今教育改革的必然趨勢。同時這也是一項龐大而復(fù)雜的工程，無法形成固定的模式，在探索的過程中，更應(yīng)該倡導(dǎo)一種理念――信息技術(shù)只是一種工具，無法取代教師而成為課堂的全部，教師應(yīng)努力以最恰當(dāng)、最有效的方式將信息技術(shù)應(yīng)用于課堂。這樣用好信息技術(shù)這把“雙刃劍”，真正構(gòu)建以生為本的E時代和諧課堂。
參考文獻
原題過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.
關(guān)于此結(jié)論，橢圓、雙曲線也有類似性質(zhì)，文[1]中已做詳細(xì)說明論證，這里不再進行說明.其逆命題“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，作直線DB平行于拋物線的對稱軸，交拋物線的準(zhǔn)線于點D，則A，O，D三點在同一條直線上.”也是正確的.同樣橢圓、雙曲線也有類似性質(zhì)，證明不難，此處略.
拓展
命題1已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，通過點A和拋物線頂點O的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，過點A作x軸的平行線，交拋物線的準(zhǔn)線于點C，則CFDF.
.
法二：（如圖2）連接AF并延長，與拋物線另一交點為B，連接DB，根據(jù)課本例題結(jié)果可知DB平行于x軸，因此DB∥AC，所以∠CAF+∠DBF=180°.
由拋物線定義知AC=AF，BD=BF，所以∠ACF=∠AFC，∠BDF=∠BFD.
所以∠ACF+∠BDF=∠AFC+∠BFD=90°.
所以∠CFD=90°，即CFDF.
例1已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，通過點A和拋物線頂點O的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，過點A作x軸的平行線，交拋物線的準(zhǔn)線于點C，試問在平面上是否存在一個定點，使得以CD為直徑的圓恒過該定點？若存在，求出這個點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
命題1的證明過程做小小的改動，就是例1的解題過程，這里不做解答.
類比探究：
筆者發(fā)現(xiàn)D點是拋物線上點A和頂點O連線OA與準(zhǔn)線的交點，而橢圓與雙曲線都有兩個頂點，那么橢圓上任意一個點與它的兩個頂點的連線必與橢圓的準(zhǔn)線有兩個不同的交點M1，M2，進一步探究發(fā)現(xiàn)，以M1M2為直徑的圓恒過橢圓的與該準(zhǔn)線對應(yīng)的焦點.
命題2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），右準(zhǔn)線l：x=a2c，A，B分別是橢圓的左、右頂點，點P（x1，y1）是橢圓上異于左、右頂點的一個動點，直線PA，PB分別與l交于點M1，M2，則以M1M2為直徑的圓恒過橢圓的右焦點F2（c，0）.
證明由已知可得A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)2（c，0），則
命題3已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），右準(zhǔn)線l：x=a2c，A，B分別是雙曲線的左、右頂點，點P（x1，y1）是雙曲線上異于左、右頂點的一個動點，直線PA，PB分別與l交于點M1，M2，則以M1M2為直徑的圓恒過雙曲線的右焦點F2（c，0）.
例2已知離心率為2的雙曲線C與橢圓x29+y25=1有相同的焦點.
（Ⅰ）求出雙曲線C的方程；
（Ⅱ） 直線l：x=1，A是雙曲線C的左頂點，B是曲線C的右頂點，點P（x1，y1）是橢圓上異于左、右頂點的一個動點，直線PA與l交于點M1，直線PB與l交于點M2，問x軸上是否存在定點D，使得對變化的點P，以M1M2為直徑的圓恒過點D？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
解（Ⅰ） 雙曲線C的方程是x22-y22=1（過程略）.
（Ⅱ） 由已知可得A（-2，0），B（2，0），F(xiàn)2（2，0），則
假設(shè)在x軸上存在定點D（t，0），使得以M1M2為直徑的圓恒過點D，則
通過對這道課本例題的拓展與探究，得到了一個圓錐曲線上一點與頂點連線及準(zhǔn)線的一個性質(zhì).如果教師平時能多關(guān)注教材，注重例題的二次開發(fā)，并將此引入課堂，對培養(yǎng)學(xué)生探究能力、提高教師的專業(yè)素質(zhì)必能起到積極的促進作用.
教育部于2001年啟動了以“構(gòu)建符合素質(zhì)教育要求的基礎(chǔ)教育課程體系”為目標(biāo)的第八輪新課程改革，其核心理念是素質(zhì)教育，強調(diào)體驗、對話、交流，提倡自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式.導(dǎo)學(xué)稿正是在此背景下，針對素質(zhì)教育的要求，面向全體學(xué)生，為大面積提高教學(xué)質(zhì)量而提出的，是課堂教學(xué)改革、提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的有效載體.但在導(dǎo)學(xué)稿的設(shè)計與使用過程當(dāng)中，經(jīng)常可以在一線老師當(dāng)中聽到這樣一些聲音：
1. 導(dǎo)學(xué)稿為何要設(shè)置這些欄目，有何依據(jù)？
2. 導(dǎo)學(xué)稿中的問題為何這樣設(shè)計，有何依據(jù)？
3. 別人設(shè)計的導(dǎo)學(xué)稿，自己在課堂上該如何使用，效果有保證嗎？
有老師說，這就是自己幾十年的教學(xué)經(jīng)驗，沒什么依據(jù)，只知道這樣設(shè)計效果不錯；有老師說，看到一些好老師這樣做，我就依葫蘆畫瓢，也不知道是否合理；也有老師說，別人設(shè)計的導(dǎo)學(xué)稿還真是不好把握，總感覺到被縛住手腳，課堂效果不盡人意……
對于以上問題的提出，筆者認(rèn)為，這恰恰是一大批敬業(yè)的老師對教學(xué)負(fù)責(zé)、對學(xué)生負(fù)責(zé)、對教學(xué)有效性追求的體現(xiàn)；教學(xué)的境界也從感性追求慢慢過渡到了理性思考；教師的角色也從一個教書匠慢慢向一個研究者的身份靠攏……
對于上述問題，筆者也作了一些調(diào)查及文獻檢索，在此稍作敘述.導(dǎo)學(xué)稿的基本結(jié)構(gòu)中，山東昌樂二中“271”模式的導(dǎo)學(xué)稿包括：學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點難點、使用說明、自學(xué)指導(dǎo)、相應(yīng)練習(xí)、當(dāng)堂檢測七個部分；國佳（2009）在《數(shù)學(xué)新課程理念下的學(xué)案導(dǎo)學(xué)教學(xué)模式研究》中提出導(dǎo)學(xué)稿包括學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)法指導(dǎo)、自學(xué)檢測、問題討論、基礎(chǔ)訓(xùn)練、能力訓(xùn)練、學(xué)習(xí)小結(jié)、推薦作業(yè)等八個部分，但對于導(dǎo)學(xué)稿基本結(jié)構(gòu)的設(shè)置，均沒有作任何的設(shè)置說明，停留在經(jīng)驗層面；對于導(dǎo)學(xué)稿中的問題設(shè)計，山東杜郎口的“336”模式導(dǎo)學(xué)稿中問題設(shè)計的原則：目標(biāo)性、導(dǎo)學(xué)性、探究性、層次性、提升性、銜接性、整合性、生活性、突破性、開放性；江蘇洋思中學(xué)的“先學(xué)后練，當(dāng)堂訓(xùn)練”模式導(dǎo)學(xué)稿貫徹：主導(dǎo)性、主體性、活動性、創(chuàng)新性、問題性、民主性、層次性原則，這些問題設(shè)計的原則看起來均有道理，但實踐中不好操作，教師得不到有實際意義的指導(dǎo)，有一種“中聽不中用”的感覺；甚至有一些學(xué)校或者老師在照搬一些名校的導(dǎo)學(xué)稿后，卻發(fā)現(xiàn)使用效果不盡人意，依此可知，導(dǎo)學(xué)稿的設(shè)計并沒有把學(xué)生的“學(xué)”與老師的“教”之間很好地統(tǒng)一起來.
以上這些問題，如何才能解決？
結(jié)合我校在“三元整合導(dǎo)學(xué)模式”課堂教學(xué)改革中的認(rèn)識及經(jīng)驗，筆者以為：解決問題的關(guān)鍵在于導(dǎo)學(xué)稿的設(shè)計一定要科學(xué)，要符合現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論以及建立在現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)上的教學(xué)論和相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計原理.只有這樣，課堂教學(xué)的有效性才有保障，才有了科學(xué)性基礎(chǔ).
2現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論
2.1學(xué)習(xí)分類理論
2.1.1信息加工心理學(xué)關(guān)于知識的分類
以安德森為首的信息加工心理學(xué)家把人類習(xí)得的知識分為兩大類：一類為陳述性知識，另一類為程序性知識.陳述性知識是用于回答“是什么”的問題，如“符號∈是什么意思”，“直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種”，“sin30°的值是多少”等問題，都需要有陳述性知識.程序性知識是用于回答“怎么辦”的問題，如怎樣運用直線與平面垂直的判定定理去證明線面垂直，怎樣計算點到直線的距離等問題，需要程序性知識.掌握程序性知識不能滿足于僅僅能陳述的狀態(tài)，還必須明確辦事的操作步驟.
2.1.2加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類
美國著名學(xué)習(xí)與教學(xué)心理學(xué)家R.M.加涅認(rèn)為，人類的學(xué)習(xí)有不同的類型，不同類型的學(xué)習(xí)結(jié)果需要不同類型的教學(xué)，不同類型知識的學(xué)習(xí)所需要的過程及條件也不相同.他將人類學(xué)習(xí)的結(jié)圖1果分為五種類型：1.言語信息，分三個小類：符號記憶、事實性知識、有組織的整體知識.高中階段學(xué)習(xí)的陳述性知識基本上都是有組織的整體知識. 2.智慧技能，分五個小類：辨別、具體概念、定義性概念、規(guī)則、高級規(guī)則.并且，加涅進一步提出五種智慧技能的習(xí)得存在著層次關(guān)系（圖1）：高級規(guī)則學(xué)習(xí)以簡單規(guī)則學(xué)習(xí)為先決條件；規(guī)則學(xué)習(xí)以定義性概念學(xué)習(xí)為先決條件；定義性概念學(xué)習(xí)以具體概念學(xué)習(xí)為先決條件；具體概念學(xué)習(xí)以知覺辨別為先決條件.3.認(rèn)知策略. 4.動作技能.5.態(tài)度.上述五種學(xué)習(xí)結(jié)果中，前三種屬于認(rèn)知領(lǐng)域，是我們在學(xué)科教學(xué)中學(xué)習(xí)與研究的重點.
2.2廣義知識學(xué)與教的一般模型
華東師范大學(xué)皮連生教授通過實證研究后認(rèn)為，完整的教學(xué)過程必須符合“廣義知識學(xué)與教的一般過程模型”（表1），又稱“六步三階段模型”，缺少任何一步，要么學(xué)習(xí)不能發(fā)生，或者學(xué)習(xí)雖然發(fā)生，但不能轉(zhuǎn)化或持久保持.
依據(jù)“廣義知識學(xué)與教的一般過程模型”，容易知道，“學(xué)”與“教”是一個整體，密不可分.故筆者以為，學(xué)習(xí)效果要保證，教學(xué)設(shè)計及課堂教學(xué)從框架上應(yīng)依據(jù)“六步三階段”模型來構(gòu)建.其中，導(dǎo)學(xué)稿側(cè)重于學(xué)與教的一般過程中“學(xué)”的文本設(shè)計，課堂教學(xué)側(cè)重于學(xué)與教的一般過程中“教”的方案設(shè)計.只有這樣，才能較好地保證學(xué)與教的一致性與有效性.
2.3基于現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論的課型理論
課型即課的類型，是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對課的類別進行劃分的結(jié)果.在一定的教學(xué)理論指導(dǎo)下，每一種課型都具有一定的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu).根據(jù)學(xué)習(xí)分類理論及其基礎(chǔ)上的教學(xué)論、教學(xué)設(shè)計原理，每一種學(xué)科基本課型的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)實際上就是不同類型知識的學(xué)習(xí)過程和內(nèi)、外部條件的綜合反映，也是對學(xué)科特點主動適應(yīng)的結(jié)果，最大限度地滿足各種基本課型的學(xué)習(xí)過程和條件是確保學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)的前提和基礎(chǔ).例如，高中數(shù)學(xué)科可劃分為概念課、規(guī)則課、解題課、復(fù)習(xí)課等基本課型.
下面，僅對于學(xué)習(xí)分類理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)基本課型中的概念課從基本任務(wù)、知識類型及學(xué)習(xí)的過程與條件三個方面進行概括：
數(shù)學(xué)概念課型
1.基本任務(wù)：（一）明確數(shù)學(xué)概念是什么，具體包括：（1）揭示概念所反映的一類事物的本質(zhì)屬性，給概念下定義；（2）辨別概念的正例和反例；（3）用不同的語言形式對概念加以解釋，如將概念的定義由文字語言表述轉(zhuǎn)換為用符號語言或圖形語言表述；（4）分析所學(xué)概念的其它一些重要屬性或特征.（二）辨明新概念與原有相關(guān)概念之間的關(guān)系，以及在概念形成過程中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法與情感教育內(nèi)容.（三）運用概念去辦事，即通過變式練習(xí)和綜合練習(xí)將習(xí)得的數(shù)學(xué)概念運用到各種具體情境中去解決相應(yīng)的問題.
2.知識類型：高中數(shù)學(xué)概念課型中蘊含的主要知識類型是定義性概念，屬于程序性知識中的智慧技能的學(xué)習(xí).教學(xué)的重點是概念的理解問題.
3.學(xué)習(xí)的過程與條件：概念學(xué)習(xí)主要有兩種方式，概念的形成與概念的同化，重點是解決概念的理解問題，可用奧蘇貝爾的同化論來解釋.
（一）概念形成：從辨別概念的例證出發(fā)，逐漸歸納概括出概念的本質(zhì)屬性的一種學(xué)習(xí)方式，其心理機制可用奧蘇貝爾的上位學(xué)習(xí)模式來解釋.
學(xué)習(xí)的基本過程為：辨別（辨別概念例證的特征）假設(shè)（對概念例證的共同本質(zhì)特征作出假設(shè)）檢驗假設(shè)概括（給概念下定義）.
（1）學(xué)習(xí)的內(nèi)部條件是：學(xué)生必須能夠辨別正、反例證.
（2）學(xué)習(xí)的外部條件是：①必須為學(xué)生提供概念的正、反例.正例應(yīng)有變化而且應(yīng)有兩個或兩個以上，以幫助學(xué)生更好地辨別概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性；正例的呈現(xiàn)最好能讓學(xué)生意識到，不至于看了一個正例卻忘了另一個；②學(xué)生必須能夠從外界獲得反饋信息，以檢驗其所做的假設(shè)是否正確；③提供適當(dāng)?shù)木毩?xí)，并給以矯正性反饋；④提供間隔練習(xí)以促進保持和遷移.
（二）概念同化：通過直接下定義來揭示一類事物的共同本質(zhì)屬性，從而習(xí)得概念的一種學(xué)習(xí)方式，其心理機制可用奧蘇貝爾的下位學(xué)習(xí)模式來解釋.
學(xué)習(xí)的基本過程為：理解概念的定義辨別概念的例證.
（1）學(xué)習(xí)的內(nèi)部條件是：學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有同化新概念的適當(dāng)?shù)纳衔桓拍睿ɑ蚪Y(jié)構(gòu)），而且這一上位概念（或結(jié)構(gòu)）越鞏固、越清晰就越有利于新的下位概念的同化.如百分?jǐn)?shù)這個定義性概念，如果學(xué)生頭腦中已有“分?jǐn)?shù)”這個上位概念，那么百分?jǐn)?shù)可以用概念同化的形式學(xué)習(xí).其學(xué)習(xí)過程是一個接受過程，即百分?jǐn)?shù)的定義特征不必經(jīng)過學(xué)生從例子中發(fā)現(xiàn)，可以直接以定義形式呈現(xiàn).學(xué)生利用其原有上位概念“分?jǐn)?shù)”同化“百分?jǐn)?shù)”.在學(xué)習(xí)時，學(xué)生找出百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的相同點，新的百分?jǐn)?shù)被納入原有分?jǐn)?shù)概念中；同時要找出新知識（百分?jǐn)?shù)）與原有知識（分?jǐn)?shù)）的相異點，這樣新舊知識可以分化，不致混淆.
（2）學(xué)習(xí)的外部條件是：①言語指導(dǎo)，以幫助學(xué)生更好地理解概念的本質(zhì)屬性；②提供符合概念定義的正例和不符合概念定義的反例；③提供適當(dāng)?shù)木毩?xí)，并給以矯正性反饋；④提供間隔練習(xí)以促進保持和遷移.
以概念形成和概念同化的形式習(xí)得的概念屬于概念的理解，若要運用概念對外辦事，則還需給學(xué)生提供一個重要的外部條件：變式（概念的正例的變化）練習(xí)，變式練習(xí)是知識向技能轉(zhuǎn)化的重要途徑.例如，2，3，5，7，11等都是“質(zhì)數(shù)”的變式.
3現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論的應(yīng)用
3.1導(dǎo)學(xué)稿欄目的設(shè)計
導(dǎo)學(xué)稿側(cè)重于“學(xué)”的文本設(shè)計，依據(jù)皮連生教授實證研究的成果，完整的教學(xué)過程必須符合“六步三階段模型”，缺少任何一步，要么學(xué)習(xí)不能發(fā)生，或者學(xué)習(xí)雖然發(fā)生，但不能轉(zhuǎn)化或持久保持.為此，筆者把“學(xué)”的六個步驟從模型中提取出來（圖2）進行分析，在教學(xué)實踐中科學(xué)、合理構(gòu)建導(dǎo)學(xué)稿的欄目.
一、課題名稱：
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)（包含重、難點）：
三、課時安排：
第2步，激活原有知識：激活學(xué)生原有的、與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的知識.構(gòu)建欄目：復(fù)習(xí)回顧
第3步，選擇性知覺；第4步，新知識編入原有命題網(wǎng)絡(luò)；第5步，認(rèn)知結(jié)構(gòu)重建與改組/經(jīng)變式練習(xí)，命題轉(zhuǎn)化為產(chǎn)生式系統(tǒng)：3、4步合在一起，實質(zhì)上就是新知識的理解過程，是學(xué)習(xí)的重點與難點；第5步實質(zhì)上是知識的鞏固和轉(zhuǎn)化過程，此階段要完成新知理解、知識向技能的轉(zhuǎn)化問題、并進行反饋及補救，是學(xué)習(xí)效果的保障，與前兩步密不可分.構(gòu)建欄目：學(xué)習(xí)新知（在新知理解過程中，應(yīng)根據(jù)相應(yīng)課型理論進行教學(xué)設(shè)計）；第6步：根據(jù)線索提取知識/一旦條件滿足，行動能自動激活，這實質(zhì)上是知識的提取、遷移或應(yīng)用階段，強化知識的熟練程度.構(gòu)建欄目：課后練習(xí)
綜上所述，基于現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論下的高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)稿的欄目設(shè)計為以下6個：
一、課題名稱：
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)（包含重、難點）：
三、課時安排：
四、復(fù)習(xí)回顧
五、學(xué)習(xí)新知（根據(jù)相應(yīng)課型理論進行教學(xué)設(shè)計）
六、課后練習(xí)
3.2導(dǎo)學(xué)稿的具體設(shè)計案例
筆者以選修1-1中的拋物線為例進行導(dǎo)學(xué)稿設(shè)計及分析.具體如下：
一、課題：拋物線（人教A版數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材選修2-1，P64―P72）
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、能準(zhǔn)確回憶拋物線文字表述的定義，并能用符號加以表示，以及能畫出相應(yīng)的圖形；
2、能準(zhǔn)確寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用自己的話簡要敘述教材中標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能自行給出其它形式標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；
3、能準(zhǔn)確回憶并解釋拋物線的幾何性質(zhì)；
4、能運用拋物線的概念解決簡單的數(shù)學(xué)問題.
其中目標(biāo)3、4是重點內(nèi)容.
三、課時安排：2課時
四、復(fù)習(xí)回顧
（1）橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中“標(biāo)準(zhǔn)”的含義：
.
（2）橢圓和雙曲線上的點到定點（焦點）與到相應(yīng)定直線（準(zhǔn)線）的距離的比都等于常數(shù)（離心率），當(dāng)時，是橢圓，當(dāng)時，是雙曲線.當(dāng)時，是拋物線.
五、學(xué)習(xí)新知
指導(dǎo)語：我們可以類比研究圓錐曲線中橢圓或雙曲線的方法來研究拋物線：（1）根據(jù)定義建系設(shè)點求方程；（2）根據(jù)方程、圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想考察性質(zhì)；（3）根據(jù)方程和性質(zhì)研究與拋物線有關(guān)坐標(biāo)及最值問題等.在自學(xué)別注意拋物線與橢圓、雙曲線的不同之處：到焦點與到準(zhǔn)線的距離相等，這是關(guān)鍵.
設(shè)計意圖可看成是學(xué)習(xí)新知的一種先行組織者策略，引導(dǎo)大家明確學(xué)習(xí)的方法.本質(zhì)上采用了奧蘇貝爾在概念同化過程中的下位學(xué)習(xí)模式，學(xué)生已經(jīng)懂得了研究圓錐曲線的一般方法，而拋物線也是圓錐曲線的一種，故拋物線的概念容易形成.并且，在此把研究圓錐曲線的一般方法寫出來，意在強化學(xué)生原有知識結(jié)構(gòu).
請同學(xué)們自學(xué)教材的內(nèi)容（例2，例5先不看），并完成以下任務(wù).
1. 結(jié)合書本的表格完成下面表格序
號標(biāo)準(zhǔn)
方程y2=2px
（p>0）y2=-2px
（p>0）x2=2py
（p>0）x2=-2py
（p>0）1圖形2范圍3對稱
軸4頂點
坐標(biāo)5焦點
坐標(biāo)6離心
率7準(zhǔn)線
方程8p的幾何意義：p恒為數(shù)（正 / 負(fù)）
問題：你能否由上表四種方程的特點歸納拋物線焦點所在的坐標(biāo)軸以及開口方向和什么有關(guān)？
設(shè)計意圖提出問題，給學(xué)生以指導(dǎo)，幫助學(xué)生更好地理解拋物線概念的本質(zhì)屬性.
2.拋物線y2=12x上一點M到焦點的距離等于9，則點M到準(zhǔn)線距離是 ，點M的橫坐標(biāo)是.
3.求拋物線y-2x2=0的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為 .
4.求拋物線y=ax2的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為 .
設(shè)計意圖提供多個正例2、3、4，以幫助形成對拋物線概念的理解.
5.若l不經(jīng)過點F，則平面內(nèi)與定點F和定直線l距離相等的點的軌跡是什么？
設(shè)計意圖提供反例5，加強對拋物線概念的辨析理解.
強化訓(xùn)練
6.求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖.
（1）頂點在原點，對稱軸是x軸，經(jīng)過點P（-6，-3） ；
（2）頂點在原點，準(zhǔn)線為y=2；
（3）頂點在原點，經(jīng)過點P（-6，-3）.
7.拋物線y2=8x上一點P到頂點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，這點坐標(biāo)是（）.
A. （2，4）B.（2，±4）C. （1，22）D. （1，±22）
8.已知M為拋物線y2=4x上一動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，定點P（3 ，1），則|MP|+|MF|的最小值為（）.
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.過拋物線y2=2px（p>0）的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），則以|AB|為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系為（）.
A. 相交B. 相離C. 相切D. 不確定
設(shè)計意圖提供適當(dāng)練習(xí)，并進行矯正反饋，以形成利用概念對外辦事的能力.
六、課后練習(xí)
請同學(xué)們在課后完成下列練習(xí)10―15，可以檢驗?zāi)銓佄锞€定義是否有深刻的理解、能否靈活運用拋物線的性質(zhì)解決問題.
10.拋物線y2=2px（p>0）上一點M到焦點的距離是aa>p2，則點M到準(zhǔn)線的距離是，點M的橫坐標(biāo)是.
11.求頂點在原點，焦點在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
12.已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O，并且經(jīng)過點M（2，y0）.若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|=（）.
A. 22B. 23C. 4D. 25
13. 右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米.
14.已知點P到點F（4，0）的距離比它到直線l：x=-6的距離短2，求點P的軌跡方程.
15.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，其上的點P（m，-3）到焦點的距離為5，求拋物線方程.
1.平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解題思路：設(shè)AC的中點為O，即.設(shè)B(x，y)關(guān)于點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解題思路：當(dāng)該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.
3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個交點，則b的取值范圍是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是雙曲線漸近線上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)的探究，體現(xiàn)了解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法的巧妙應(yīng)用，難度中等.
解題思路：如圖如示，不妨設(shè)點A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線y=x上的一點，由AF2F1F2，可得點A的坐標(biāo)為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應(yīng)選D.
4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓于點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故選C.5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解題思路：由題意得，設(shè)等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準(zhǔn)線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.
6.拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的運算能力.
解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標(biāo)是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.
7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案：D 解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.
8. F1，F(xiàn)2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()
A.2 B. C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及基本量的計算等基礎(chǔ)知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.
解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.
9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解題思路：設(shè)拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據(jù)拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準(zhǔn)線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數(shù)形結(jié)合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.
10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上，P關(guān)于y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.
解題思路：設(shè)A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.
二、填空題
11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，難度中等.
解題思路：設(shè)直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯(lián)立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數(shù)的關(guān)系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知識拓展：將ABF分割后進行求解，能有效減少計算量.
12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.
答案： 命題立意：本題考查橢圓的基本性質(zhì)及等比中項的性質(zhì)，難度中等.
解題思路：設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B.若=，則p=________.
答案：2 解題思路：過B作BE垂直于準(zhǔn)線l于E，
=， M為AB的中點，
|BM|=|AB|，又斜率為，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，
p=2.
14.
1.從方程形式看，在平面直角坐標(biāo)系中這幾種曲線方程都是二元二次方程表示為f（x，y），所以它們都屬于二次曲線。
2.從軌跡上看它們都是“到定點和到定直線距離比是常數(shù)e的點的軌跡”，這個定點是它們的焦點；定直線是它們的準(zhǔn)線，只是由于e的取值范圍不同而分別為橢圓（0
3.這三種曲線都是可以由平面截圓錐而得到的截口線，用一個垂直于圓錐軸的平面截圓錐得到的截口線是圓，如果改變平面與圓錐軸線的夾角會得到一些不同的圖形它們分別是橢圓，雙曲線，拋物線等，因此通常把它們稱之為圓錐曲線。從教材處理來看圓錐曲線無疑是解析幾何的重頭戲，重點是以橢圓為例交待研究圓錐曲線的一般方法，先由求曲線方程的一般步驟求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用方程討論橢圓的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)解析幾何的基本思想用代數(shù)方法研究幾何問題，然后在雙曲線、拋物線中得到應(yīng)用和鞏固，主次有序；先講橢圓也是為了與圓的方程銜接自然，在教與學(xué)的過程中以圓錐曲線的共性與個性為主旨可以挖掘出更深刻的規(guī)律，以下規(guī)律以結(jié)論形式給出。
結(jié)論一 ： 若P（x0，y0）是圓錐曲線C上一點。若C為橢圓■+■=1，則過P點的切線方程為■+■=1；若C為雙曲線■-■=1,則過P點的切線方程為■-■=1；若C為拋物線y2=2px，則過P點的切線方程為y0y=p（x+y0）。
證明：（以橢圓為例）設(shè)切線的斜率為k，則k=y′x-x0其中y=■，y′=■，因此k=■，切線方程為y-y0=■（x-x0）=■（x-x0），因為■+■=1所以整理得切線方程為：■+■=1。
同理可證雙曲線過P點的切線方程為■-■=1；拋物線過P點的切線方程為y0y=p（x+x0）。由此可知圓錐曲線上一點的切線方程與該曲線方程結(jié)構(gòu)一致，即：二次項x2，y2換成x0x，y0y，一次項x，y換成■，■就是切線方程。
推論：過P（x0，y0）作橢圓■+■=1的兩條切線PA,PB切點為A，B，則AB所在曲線的方程為■+■=1。
證明：設(shè)A（x1，y1） ，B（x2，y2）則由結(jié)論一可知過A，B的切線方程分別為■+■=1，■+■=1。又因為點P（x0，y0）為PA,PB的交點，所以有■+■=1， ■+■=1。因此A，B都在直線■+■=1上，即AB所在曲線的方程為：■+■=1。由此可以得出：自同一點P（x0，y0）出發(fā)的橢圓的兩條切線的切點弦方程，其形式與經(jīng)過橢圓上一點（x0，y0）的切線方程是完全一樣的，可以驗證雙曲線，拋物線也有類似性質(zhì)。
結(jié)論二: 在圓錐曲線中通過焦點垂直于對稱軸的弦長為定值。在橢圓和雙曲線中定值為■，在拋物線中定值為2p。
■
圖1
證明：如圖1，設(shè)點A(xA，yB），橢圓方程為■+■=1，由于AB過焦點且垂直于對稱軸，因此xA=c，于是■+■=1,解得yA=■，由橢圓的對稱性可知|AB|=2|yA|=■，另外也可用圓錐曲線的第二定義證明之。在拋物線中由定義可知|AB|=2p
結(jié)論三：在圓錐曲線中，以焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系與e（離心率）有關(guān)，e>1，相交；e=1，相切；0
證明：如圖2，ACCD，BDCD由橢圓的第二定義可知■=■=e。
設(shè)圓的半徑為r,r=■,圓心到CD的距離為d,d=■則r=ed，因為在橢圓中0
■
圖2
結(jié)論四：過圓錐曲線C的焦點F的直線與C交與A，B兩點，自A，B向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為C，D，在橢圓中∠CFD■。（本題的證明與定理三相似，利用圓錐曲線的第二定義及三角形中大邊對大角理論可輕松完成，有興趣的讀者可以試著完成。）
在歷年的高考試題及模擬試題中，能用以上結(jié)論直接解決的問題頻繁出現(xiàn)，特別是解決一些填空、選擇題掌握以上結(jié)論顯得尤為輕松。下面以一道高考題為例談?wù)勊膽?yīng)用：（2008年高考數(shù)學(xué)江西卷理科第21題）
如圖3，設(shè)點P（x0，y0）在直線x=m（y≠±m(xù)，0
（1）過點A作直線x-y=0 的垂線，垂足為N，試求AMN的重心G所在的曲線方程；
（2）求證：A、M、B三點共線。
■
圖3
解：（問題2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則過A,B兩點的切線方程分別為x1x-y1y=1，x2x-y2y=1，又P（m,y0）在兩條切線上，所以x1m-y0y1=1,x2m-y0y2=1即A（x1，y1），B（x2，y2），都在直線mx-y0y=1，又M(■，0)也在直線mx-y0y=1上，所以A、M、B三點共線。
2014年四川省高考理科第20題是這樣一道題：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.
（。っ鰨OT平分線段PQ（其中O是坐標(biāo)原點）；
（）當(dāng)■最小時，求點T的坐標(biāo).
筆者在對該題中的第（2）小題進行探討時，發(fā)現(xiàn)該結(jié)論可以推廣到更一般的情形.
2.問題的推廣與證明
由于第（2）小題結(jié)論（。┒雜諭衷怖此凳且桓鲆話閾越崧郟筆者認(rèn)為，該結(jié)論對于雙曲線也應(yīng)該成立，當(dāng)附加一定的條件時，結(jié)論（）對于橢圓（或雙曲線）應(yīng)該有一般表達(dá)式.
筆者通過深入探究，發(fā)現(xiàn)如下一般性結(jié)論：
推廣一：如圖1橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦點為F，T為橢圓準(zhǔn)線上任一點（焦點和準(zhǔn)線在y軸同側(cè)），過F作TF的垂線交橢圓于P，Q兩點，則有：
（1）OT平分線段PQ（其中O是坐標(biāo)原點）；
（2）當(dāng)c>b時，■有最小值■，這時T點坐標(biāo)為（-■，-■或（-■，■）；
（3）當(dāng)T是非x軸上的點時，K■K■=-■；
（4）若P關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為P′，則P′Q||OT.
證明：不妨設(shè)F（-c，0）為橢圓的左焦點.橢圓左準(zhǔn)線：x=-■.
設(shè)T（-■，m），則K■=-■，當(dāng)m=0時，T為橢圓左準(zhǔn)線與x軸的交點，這時PQ為橢圓的通徑，OT平分PQ.當(dāng)m≠0時，因為TFPQ，由K■K■=-1得K■=■（1）
所以直線PQ的方程為y=■（x+c），設(shè)P（x■，y■），Q（x■，y■），
聯(lián)立■+■=1y=■（x+c）得（a■b■+c■m■）x■+2a■b■cx+a■c■（b■-m■）=0
因為=4a■b■c■-4a■c■（a■b■+c■m■）（b■-m■）=4a■c■m■（b■+c■m■）>0
所以x■+x■=-■（2）
x■x■=■（3）
由y■+y■=■（x■+x■+2c）=■（2c-■）=■
得PQ的中點G（-■，■）
計算K■=-■，K■=-■得K■=K■.
由此知O，G，T三點共線，即直線OT過線段PQ的中點G，所以O(shè)T平分線段PQ.
計算|TF|=■=■（4）
|PQ|=■■
（5）
把（1），（2），（3）式代入（5）式，整理得|PQ|=■（6）
由（4）式，（6）式計算得比值
■=■=■■=■=■
=■■
=■■
≥■■=■.
當(dāng)c>b時，解出m=±■■，此時■有最小值■，T為（-■，■■）或（-■，-■■）.
根據(jù)結(jié)論第（1），（2）題證明已計算出K■=■，K■=-■易得K■K■=-■.
點P（x■，y■）關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為P′（-x■，-y■），P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■，即直線P′Q與直線OT的斜率相等，所以P′Q||OT.
推廣二：如圖2，雙曲線C：■-■=1的焦點為F，T為雙曲線準(zhǔn)線上任一點（焦點和準(zhǔn)線在y軸同側(cè)），且點T的縱坐標(biāo)m≠±■，過F作TF的垂線交雙曲線于P，Q兩點，則有：
（1）直線OT平分線段PQ（其中O是坐標(biāo)原點）；
（2）■=■
=■■；
（3）當(dāng)T是非x軸上的點時，K■K■=■；
（4）若P關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為P′，則P′Q||OT.
以上結(jié)論的證明與橢圓情形類似，這里不再贅述.
繼續(xù)探索.我們把橢圓更換為拋物線，這時結(jié)論將如何呢？請看下面的例子：
如圖，拋物線y■=4x的焦點為F，動點T（-1，m），過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點，弦PQ的中點為N.
（1）證明：線段NT平行于x軸（或在x軸上）；
（2）若m>0且|NF|=|TF|，求m的值及點N的坐標(biāo).
解（1）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y■=2px及焦點F（■，0），準(zhǔn)線方程x=-■知，此拋物線的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程x=-1，動點T（-1，m）在準(zhǔn)線上，由斜率公式得K■=-■.
當(dāng)m=0時，T為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點，這時PQ為拋物線的通徑，點N與焦點F重合，易知線段NT在x軸上.
當(dāng)m≠0時，因為TFPQ，所以K■K■=-1，解得K■=■，于是直線PQ的方程為y=■（x-1）代入y■=4x化簡整理得x■-（2m■）x1=0，=（2+m■）■-4=m■（4-m■）>0.設(shè)P（x■，y■），Q（x■，y■），由韋達(dá)定理可知x■+x■=2+m■，y■+y■=■（x■+x■-2）=2m，得弦PQ的中點N（■，2），結(jié)合T（-1，m），由斜率公式計算得K■=0，所以NT平行于x軸.
綜上可知，線段NT平行x軸（或在x軸上）.
（2）已知ONFO=OTFO，在TFN中，tan∠NTF=■=1知∠NTF=45°，得TFA是等腰直角三角形（A是準(zhǔn)線與軸的交點），所以O(shè)TAO=OAFO=2，動點T（-1，m），得m=2.
一、學(xué)生教師“雙主”地位改變
這次觀摩活動中，每節(jié)課中學(xué)生的主體地位及教師的主導(dǎo)地位，得到較充分的體現(xiàn).教師關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，給學(xué)生提供“做”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)機會，使學(xué)生有充分的時間去探究、交流，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中去體驗和經(jīng)歷數(shù)學(xué).在實踐過程中也注重培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，真正教會學(xué)生怎樣去解決一個新的問題.如《有趣的楊輝三角》這節(jié)課，表現(xiàn)最為突出的是廣西欽州市靈山中學(xué)的趙金成老師，她的課堂氣氛活躍，教學(xué)環(huán)節(jié)過渡自然流暢，課堂上她提出的問題大多數(shù)是由學(xué)生獨立思考或相互探討完成的，當(dāng)然這與她的引導(dǎo)和點撥是分不開的.本節(jié)課趙老師運用小組合作學(xué)習(xí)方式，通過四個問題設(shè)計展開教學(xué)活動，取得了很好的教學(xué)效果.
問題1：計算（a+b）n展開式的二項式系數(shù)并插入以下表格中，通過填表你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
問題2：觀察“楊輝三角”你能得到哪些數(shù)字規(guī)律？（學(xué)生填到課前發(fā)的習(xí)題紙上）
問題3：請與同組的同學(xué)交流你的想法，并試著證明你的猜想.請各小組派代表發(fā)表你們的看法.
讓學(xué)生獨立思考尋找楊輝三角中蘊含的數(shù)字規(guī)律，再通過小組交流討論發(fā)現(xiàn)的二項式系數(shù)的性質(zhì)，注重運用了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，把觀察到的規(guī)律證明化歸為組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，將合情推理和演繹推理有機結(jié)合，真正體現(xiàn)了探究—猜想—證明的科學(xué)思維方法.學(xué)生有充分的思考探究與交流的時空，能經(jīng)歷規(guī)律的發(fā)展過程，小組合作學(xué)習(xí)的成效顯著.
二、語言簡單明確，評價趨于多樣化
這次參賽的各位教師教學(xué)語言精練，不管是教師的引導(dǎo)語還是提問語或評價語都十分的準(zhǔn)確到位.例如，河北邯鄲市第四中學(xué)張興娟老師《用二分法求方程的近似解》這節(jié)課，張老師開篇用一系列環(huán)環(huán)相扣的問題將學(xué)生帶入這節(jié)課的學(xué)習(xí)中.問題1：你會求哪些類型方程的解？小組討論有哪些不會求解？（并讓學(xué)生把所提問題歸納并板書到黑板上）問題2：能不能求方程的近似解？以求方程x3+3x-1=0近似解為例，進行以下探究：1.怎樣確定解所在的區(qū)間？2.怎樣縮小解所在的區(qū)間？3.區(qū)間縮小到什么程度滿足要求？
本課的每一個問題都是在師生的交流中產(chǎn)生的，所以教師的引導(dǎo)語與提問語對學(xué)生順利完成這節(jié)課的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用.
除了提問語之外，教師給予學(xué)生的評價也是各有特色，也有教師給學(xué)生的回答作出動作鼓勵評價，如豎起大拇指或給學(xué)生以熱烈的掌聲.與以往的教師評價不同，現(xiàn)在教師更善于從多個角度來評價，發(fā)現(xiàn)學(xué)生身上的閃光點，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的潛能，并能以自然、真誠、恰當(dāng)?shù)恼Z言及時并有針對性地給予學(xué)生的學(xué)習(xí)活動作出評價，極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
三、對新教材挖掘深入
與舊“大綱”相比較，新課程在知識結(jié)構(gòu)內(nèi)容等方面有較大的變化.
（一）知識結(jié)構(gòu)的變化
新課標(biāo)的一個大變化就是“模塊+專題”結(jié)構(gòu)和學(xué)分制，與以往的高中數(shù)學(xué)課程相比，這次課程標(biāo)準(zhǔn)更加突出了基礎(chǔ)性和選擇性，這是新課標(biāo)的基本理念之一，其中必修課程由5個模塊構(gòu)成，具體如下.
數(shù)學(xué)1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）；
數(shù)學(xué)2：立體幾何初步、平面解析幾何初步；
數(shù)學(xué)3：算法初步、統(tǒng)計、概率；
數(shù)學(xué)4：基本初等函數(shù)II（三角函數(shù)）、平面上的向量、三角恒等變換；
數(shù)學(xué)5：解三角形、數(shù)列、不等式.
選修課程分4個系列，其中系列1，系列2由若干個模塊組成，系列3、系列4由若干專題組成，每個模塊2學(xué)分（36學(xué)時），每個專題1學(xué)分（18學(xué)時）.具體如下表所示：
注：上圖中代表模塊（36學(xué)時）；代表專題（18學(xué)時）.
在完成必修課程的基礎(chǔ)上，希望進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生，可以根據(jù)自己的需求，選擇學(xué)習(xí)選修系列1、系列2.其中系列1是為希望在人文社科方面發(fā)展的學(xué)生設(shè)置的，由2個模塊組成：
選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；
選修1-2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入、框圖.
系列2是為希望在理工（包括部分經(jīng)濟類）方面發(fā)展的學(xué)生設(shè)置的，由3個模塊組成：
選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量與立體幾何；
選修2-2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入；
選修2-3：計數(shù)原理、統(tǒng)計案例、概率.
（二）內(nèi)容的變化
新課程的內(nèi)容有較大的變化，不僅增加了一些為了適應(yīng)社會發(fā)展、教學(xué)發(fā)展和教育發(fā)展需要的新內(nèi)容，如算法初步的基礎(chǔ)知識等，而且對某些原有的內(nèi)容也做了一定的調(diào)整，特別是圓錐曲線與方程的內(nèi)容.例如，陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)，倪如俊老師上的《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這節(jié)課對教材的深入挖掘體現(xiàn)得淋漓盡致.具體案例如下：
1.課堂引入
（1）生活中的拋物線
①投籃時，籃球的運動軌跡是拋物線；
②南京秦淮河三山橋的橋拱的形狀是拋物線；
③衛(wèi)星天線是根據(jù)拋物線的原理編造的.
（2）數(shù)學(xué)中的拋物線
一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是一條拋物線.提出問題：為什么一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線？
2.拋物線的定義
（1）拋物線的畫法
①介紹作圖規(guī)則.
②動畫展示作圖過程.提出問題：求所對應(yīng)的點M滿足的幾何關(guān)系是什么？
③分析作圖過程.提出問題：在作圖過程中，直尺、三角板、筆尖、點F中哪些沒有動？哪些動了？繩長|AC|、|MC|、|MF|、|MA|中哪些量沒有變？哪些量變了？
④結(jié)論：動點M滿足的幾何關(guān)系是：動點M到定點的距離等于它到直尺的距離.
以上是倪老師通過生活中的拋物線使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)拋物線的必要性，再通過類比橢圓的學(xué)習(xí)過程和方法去學(xué)習(xí)拋物線，通過畫拋物線的圖形過程抽象概括出拋物線的定義，課改后拋物線的內(nèi)容介于橢圓和雙曲線之間，而大綱教材中拋物線的內(nèi)容在學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線之后，大綱教材注重圓錐曲線的第二定義學(xué)習(xí)，而新教材這樣安排恰恰淡化了圓錐曲線的第二定義，所以倪老師沒有運用圓錐曲線第二定義引入說明，對教材的挖掘和把握很精準(zhǔn)到位.
四、個人的反思
這次優(yōu)秀展示課，都是新授課，包括概念課和探究課，特別以概念課為主.新授課的教學(xué)直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，如果照本宣科，不僅會讓學(xué)生覺得枯燥乏味，并且效果也大打折扣，那么應(yīng)怎樣上好一節(jié)新授課呢？我的思考如下：
1.備好課——教學(xué)設(shè)計
上好一堂課的基礎(chǔ)就是教學(xué)設(shè)計，就是教師在備課中應(yīng)用系統(tǒng)方法分析教學(xué)問題確定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計問題的解決步驟，選擇相應(yīng)的教學(xué)器材和策略以及相應(yīng)的教學(xué)工具（包括媒體），教學(xué)設(shè)計包括教學(xué)目標(biāo)確定，教材的分析和處理，學(xué)情分析，教法選擇，教案的編寫.
2.優(yōu)化課堂教學(xué)——教學(xué)實施
（）必做1 如圖1，已知點A（－2，0），點P是B：（x－2）2+y2=36上任意一點，線段AP的垂直平分線交BP于點Q，點Q的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知O：x2+y2=r2（r>0）的切線l總與曲線C有兩個交點M，N，并且其中一條切線滿足∠MON>90°，求證：對于任意一條切線l總有∠MON>90°．
圖1
破解思路 第1問通過橢圓的定義可以直接得到． 第2問可以根據(jù)相切得到點到直線距離為半徑，然后直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)向量夾角判斷∠MON>90°成立的條件，得到滿足的條件，最后再來判斷兩種特殊情況．
精妙解法 （1）由題意，QA+QB=QP+QB=6，所以Q點軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且a=3，c=2，所以曲線C的軌跡方程是+=1．
圖2
（2）先考慮切線的斜率存在的情形． 設(shè)切線l：y=kx+m，則由l與O相切得=r，即m2=r2（1+k2）． ①
由y=kx+m，+=1消去y得，（5+9k2）x2+18kmx+9（m2－5）=0． 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則由韋達(dá)定理得x1+x2=－，x1x2=，?=x1x2+yy=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=－+m2=． ②
由于其中一條切線滿足∠MON>90°，對此?=，于是，對于任意一條切線l，總有m2>（1+k2），進而?=90°．
最后考慮兩種特殊情況：（1）當(dāng)滿足∠MON>90°的那條切線斜率不存在時，切線方程為x=±r. 代入橢圓方程可得交點的縱坐標(biāo)y=±，因∠MON>90°，故r，同上可得：任意一條切線l均滿足∠MON>90°；（2）當(dāng)滿足∠MON>90°的那條切線斜率存在時，r2>，r90°． 綜上所述，命題成立．
金刊提醒
直接以圓與直線的位置關(guān)系作為解答題的可能性很小，但是圓與其他曲線的結(jié)合做為解答題的可能性很大，結(jié)合了以后圓與直線的兩個重要位置關(guān)系還是要考，而且要重點考，所以我們也必須重視圓與直線位置關(guān)系的特殊解法．
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
（）必做2 如圖3，過點D（0，－2）作拋物線x2=2py（p>0）的切線l，切點A在第二象限．
（1）求切點A的縱坐標(biāo)；
（2）若離心率為的橢圓+=1（a>b>0）恰好經(jīng)過切點A，設(shè)切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求橢圓方程．
圖3
破解思路 第1問根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出拋物線的斜率，然后根據(jù)點斜式得到截距為－2，求出A的縱坐標(biāo)．第2問求橢圓方程也就是求b，a的值，也就是找兩個方程，通過離心率得到b，a的關(guān)系，這里也涉及p，我們可以通過三個斜率的關(guān)系得到b，p關(guān)系，A點在橢圓上又有關(guān)系，從而求出b，p．
精妙解法 （1）設(shè)切點A（x0，y0），且y=，由切線l的斜率為k=，得l的方程為y=x-． 又點D（0，－2）在l上，所以=2，即點A的縱坐標(biāo)y=2．
（2）由（1）得A（－2，2），切線斜率k=－． 設(shè)B（x1，y1），切線方程為y=kx－2，由e=，得a2=4b2，所以橢圓方程為+=1，且過A（－2，2），所以b2=p+4． 由y=kx－2，x2+4y2=4b2 （1+4k2）x2－16kx+16－4b2=0，所以x0+x1=，x0x1=，所以k1+2k2=+===3k－=3k－=3k－=3k－=4k． 將k= －，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，所以橢圓方程為+=1．
（）必做3 設(shè)橢圓C：+y2=1（a>0）的兩個焦點是F1（－c，0）和F2（c，0）（c>0），且橢圓C上的點到焦點F2的最短距離為－．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N，線段MN垂直平分線恒過點A（0，－1），求實數(shù)m的取值范圍．
破解思路 第1問利用橢圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)立解方程組求a，c即得橢圓的方程． 第2問利用直線與橢圓有兩個交點即Δ>0，直線l與垂直平分線的位置關(guān)系，得出兩者的斜率的關(guān)系式．
精妙解法 （1）由題意可知，a－c=－，a2－c2=1，解得：a=，c=，所以橢圓的方程為：+y2=1．
（2）由y=kx+m，x2+3y2=3 得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2－1）=0（）．
因為直線l與橢圓C交于不同的兩點，所以Δ>0，m2
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1，x2是方程（）的兩個實數(shù)解，所以x1+x2=－，線段MN的中點為Q－，． 又因線段MN的垂直平分線恒過點A（0，－1），所以AQMN，即－=－，即2m=3k2+1（k≠0）②，由①②可得：m2
（）必做4 已知直線l：x－my－=0，橢圓C：+y2=1（m>1），
（1）是否存在實數(shù)m，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且AB=？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
（2）設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若原點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求m的取值范圍．
破解思路 第1問利用弦長公式建立方程求m．第2問原點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系式?
精妙解法 （1）聯(lián)立l：x－my－=0與C：+y2=1（m>1）整理得：
2y2+my+－1=0，Δ=m2－4×2?－1=8－m2>0，所以1
又1
（2）原點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)等價于?
金刊提醒
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合考查了直線與圓錐曲線的有關(guān)概念、定義、性質(zhì)以及運算能力． 直線與圓錐曲線相交一般可通過韋達(dá)定理求解，然后分析兩個根與交點的關(guān)系． 但若相切我們應(yīng)分情況，對橢圓與直線相切我們考慮判別式，對拋物線而言用求導(dǎo)解決．
軌跡方程
（）必做5 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為e=，以原點O為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若=λ≤λ
破解思路 第1問直接利用條件求橢圓方程. 第2問將條件的等量關(guān)系平方，再利用點P在橢圓上得出軌跡方程，然后對λ進行分類討論可得出軌跡的形狀.
精妙解法 （1）由題意可得圓的方程為x2+y2=b2，因為直線x－y+2=0與圓相切，所以圓心到直線的距離d=b=. 又e==，即a=c. 因為a2=b2+c2，所以 a=，c=1，所以橢圓的方程為+=1.
（2）設(shè)M（x，y），其中x∈［－，］. 由=λ2及點P在橢圓C上可得，==λ2，整理得，（3λ2－1）x2+3λ2y2=6，其中x∈［－，］.
①當(dāng)λ=時，化簡得，y2=6，所以點M的軌跡方程為y=± （－≤x≤），軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當(dāng)
（）必做6 已知定點A（-3，0），M，N分別為x軸、y軸上的動點（M，N不重合），且ANMN，點P在直線MN上，=．
圖4
（1）求動點P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)點Q是曲線x2+y2－8x+15=0上任一點，試探究在軌跡C上是否存在點T，使得點T到點Q的距離最小． 若存在，求出該最小距離和點T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
破解思路 第1問利用向量=建立點P的方程，化簡即得． 第2問曲線C上點T到點Q的距離最小轉(zhuǎn)化為曲線C上的動點到定點的最小值．
精妙解法 （1）設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，b）（a≠0，b≠0），點P的坐標(biāo)為（x，y），則=（3，b），=（a，－b），=（x－a，y），=（x，y－b）． 由ANMN得3a－b2=0，（）
由=得x=（x－a），y－b=y，所以a=x，b=－y，代入（）得y2=4x． 因為a≠0，b≠0，所以x≠0，y≠0，所以動點P的軌跡C的方程為y2=4x（x≠0）．
（2）曲線x2+y2－8x+15=0，即（x－4）2+y2=1，是以B（4，0）為圓心，以1為半徑的圓，設(shè)T為軌跡C上任意一點，連結(jié)TB，則TQ+QB≥TBTQ≥TB－1，所以當(dāng)|TB|最小時，TQ最小． 因為點T在軌跡C上，設(shè)點T（，m）（m≠0），所以|TB|==． 當(dāng)m2=8，即m= ±2時，TB有最小值，TBmin=2；當(dāng)m2=8時，=2． 所以在軌跡C上存在點T，其坐標(biāo)為（2，±2），使得TQ最小，TQmin=2－1．
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求曲線軌跡方程的思想方法是解析幾何最基本、最重要的解題思想方法，因而求曲線軌跡方程成為新高考的熱點內(nèi)容. 試題多以解答題形式出現(xiàn)，重點考查大家根據(jù)曲線的幾何特征熟練地運用解析幾何知識將其轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系， 再運用代數(shù)（如函數(shù)與方程）的知識作答的能力.
定值、最值與取值范圍問題
（）必做7 已知拋物線D的頂點是橢圓+=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（1）求拋物線D的方程．
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線D于A，B兩點．
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．
破解思路 第1問直接利用定義可以求出拋物線的方程． 第2問中的（i）可以直接用弦長公式得到．
精妙解法 （1）由題意，可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p>0）. 由a2－b2=4－3=1，得c=1. 所以拋物線的焦點為（1，0），所以p=2． 所以拋物線D的方程為y2=4x．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
（i）直線l的方程為：y=x－4，聯(lián)立y=x－4，y2=4x整理得：x2－12x+16=0，所以AB==4．
（ii）設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心，，過M作直線x=a的垂線，垂足為E． 設(shè)直線m與圓M的一個交點為G，可得：
EG2=MG2－ME2=MA2－ME2=－－a=y++a（x1+4）－a2=x1－4x1+a（x1+4）－a2=（a－3）x1+4a－a2． a=3時，EG2=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長為定值2，因此存在直線m：x=3，滿足題意．
（）必做8 如圖5所示，已知拋物線C1的方程是y=ax2（a>0），圓C2的方程是x2+（y+1）2=5，直線l：y=2x+m（m
圖5
（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是拋物線C1上的一動點，以A為切點作C1的切線交y軸于點B，若=+，則點M在一定直線上，試證明之.
破解思路 第1問利用直線與拋物線及圓相切的條件求得m與a的值. 第2問先求出拋物線的切線，得出B的坐標(biāo)，再運用向量間關(guān)系證明.
精妙解法 （1）由己知得，圓C2的圓心為C2（0，1），半徑r=. 由條件 得，圓心C2到直線l：y=2x+m（m
（2）由（1）知，拋物線C1的方程為y=x2，焦點為F0，. 設(shè)Ax1，x，由（1）知以A為切點的切線方程為y=x1（x－x1）+x，令x=0，得點B的坐標(biāo)為0，-x，所以=x1，x－，=0，-x－，所以=+=（x1，－3），設(shè)M（x，y），因為F0，，所以=x，y－=（x1，－3），所以y= －，即M點在定直線y=－上.
金刊提醒
定值問題用目標(biāo)方程來解決，最值或取值范圍問題用目標(biāo)不等式來解決，但它們都可以歸結(jié)為用目標(biāo)函數(shù)的方法．
存在探索型問題
（）必做9 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且OP=， ?=（O為坐標(biāo)原點）.
（1）求橢圓C的方程.
（2）過點S0，－且斜率為k的動直線l交橢圓于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
破解思路 第1問運用平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)法求出橢圓的方程.第2問先假設(shè)在y軸上存在定點M滿足條件，利用恒成立的條件得出答案.
精妙解法 （1）設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1（－c， 0），F(xiàn)2（c，0），則由OP=得，x+y=①，由?=得，（－c－x0，－y0）?（c－x0，－y0）=，即x+y－c2=②. 由①-②得c=1，又=，所以a2=2，b2=1. 所橢圓方程為+y2=1.
（2）將動直線l：y=kx－代入橢圓方程有（2k2+1）x2－kx－=0. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=－. 設(shè)存在y軸上一定點M（0，m）滿足題設(shè)，則=（x1，y1－m），=（x2，y2－m），?=x1x2+（y1－m）（y2－m）=x1x2+y1y2－m（y1y2）+m2=（k2+1）x1x2－k+m（x1+x2）+m2+m+=. 由假設(shè)對任意k∈R，?=0恒成立，即m2－1=0，9m2+6m－15=0成立，解得m=1. 所以存在y軸上定點M（0，1）滿足題設(shè).
