時間：2023-05-29 18:21:25
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇拋物線及其標準方程，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1.關于“如何引入課題”
在我們的日常生活中，拋物線有著重要而廣泛的應用，例如，探照燈就是利用拋物面的光學性質制作而成，將點光源發出的光，折射成平行光，照射到足夠遠的地方.教師在引入課題的時候可以利用多媒體向學生展示一些類似的例子，讓學生直觀地感受拋物線，同時對比二次函數及其圖像，向學生拋出“如何給出拋物線的定義”，從而引出新課.
2.關于“拋物線定義的教學”
在介紹拋物線的畫法時，教師應盡量創造條件，讓學生親自動手畫出拋物線，引導學生細心觀察動點的運動過程，并用數學語言描述動點的運動規律，用心體會數學語言的精確性.在畫拋物線的過程中，使學生明白拋物線上的點所滿足的幾何條件，引導學生概括出拋物線的定義.對拋物線的定義特別要強調的是定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過定點F垂直于直線l的一條直線.如，到點F（1，0）和到直線l：x+y-1=0的距離相等的點的軌跡為：x-y-1=0，該軌跡是過定點F（1，0）且垂直于直線l：x+y-1=0的一條直線.
同時，也可以恰當使用信息技術幫助學生理解拋物線的概念，例如幾何畫板等，以便讓學生更直觀地看到動點的運動軌跡.但有時教師由于課時等因素的限制，一般都會在課下就做好課件，課堂上直接演示.實際上用幾何畫板演示拋物線的形成過程時，建議教師讓學生親歷課件制作的過程，演示過程中注意動點的運動速度的控制，引導學生邊觀察、邊思考，這樣的過程會有利于學生在動態變化中強化對幾何概念的認識.
由于在教學中圓錐曲線方程的推導都需要建立坐標系，故教師要引導學生有意識地加強對“如何建系”的思考，例如拋物線方程的推導中為什么不將定點設在坐標系的原點處？或是以定直線為y軸？這樣的思考無疑會有利于學生理解標準方程的意義，進而進一步理解解析幾何的本質.特別要注意的是，學生可能會提出各種建系的方式，為了使拋物線方程最后的形式簡潔，教師應與學生共同分析并做計算，從而找到較好的建系方式.與此同時還要強調動點所滿足的幾何條件，因為這是求曲線方程的關鍵.
還有在推導的過程中會遇到方程的化簡.在很多情況下，學生都會遇到類似的方程的化簡、利用多個等式于不等式的關系解決如變量的取值范圍等問題.由于學生在初中階段方程的學習僅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程組，以及可化為一元一次方程的分式方程，不等式的學習也僅限于一元一次不等式，高中階段學習了一元二次不等式，教師從學生這樣的經歷不難看出，學生在學習本章時代數變形的學習經歷是非常有限的，這就造成了一部分學生在具體的解題過程中缺乏信心、經驗不足.因而，建議教師結合學生遇到的具體困難，加強對學生的指導和示范，幫助學生積累代數變形的經驗，提高代數推演的能力.
另外，一條拋物線由于它在坐標系內的位置不同方程也不同，于是希望學生自己歸納出拋物線開口向左、向上、向下三種情形下的方程，并求出相應的頂點坐標、焦點坐標.建議畫出表格的第一、第二列，引導學生根據拋物線的對稱性將下表補充完整.
4.關于“知識鞏固”
考慮到拋物線的定義，幾何圖形，標準方程要求掌握，所以在設置例題的時候要有梯度，例如：求下列拋物線的焦點和準線方程：
同時，為了強調圓錐曲線的應用體現數學的應用價值，可以選取實際應用的例子，幫助學生樹立模型觀念，為運用這些模型解決實際問題做了良好的鋪墊.
關鍵詞：探究學習；小組合作；問題意識
探究學習可以增加學生對數學的理性認識，加深對數學問題的理性思考，有助于培養數學思維意識. 本文從分析“拋物線及其標準方程”一節教學實錄出發，充分體現學生數學思維的培養，體現學生在當今課堂中的主體地位.
1.創設情境，導入新課
活動一：
師：在初中我們學習過二次函數的圖象就是拋物線.請同學們思考一下，生活當中，有沒有拋物線的的影子呢？請大家舉例.（學生思考片刻后，回答踴躍）
生1：拱橋、彩虹.
生2：投籃所形成的弧線.
師：很好，大家舉的例子都符合.
（課件展示圖片（大橋、彩虹、噴泉、投籃）和Flas：投籃運動，并配以優美的音樂）.
師：這節課我們將從曲線和方程的角度來學習拋物線.（引出本節課題：拋物線及其標準方程）.
【設計意圖】通過創設情境，激發學生的學習興趣，感受數學來源于生活.
2.問題引導，共探新知
活動二：
師：課前讓大家思考了教材64頁“信息技術應用”中提出的問題.（用ppt展示）
已知：點F是定點，是不經過點F的定直線，H是上任意一點，過點H作，線段FH的垂
直平分線交MH于點M.拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發現點M滿足的幾何條件嗎？
師：請同學們仔細觀察！（利用幾何畫板演示畫圖過程）
（學生觀察畫圖過程，積極思考并討論）
師：誰來談談自己的看法？
生4：點M隨著H的運動，始終有|MH|=|MF|.也就是點M與定點F和定直線的距離相等.
生5：點M的軌跡是拋物線.
師：很好，你們觀察得很仔細，值得稱贊.（學生鼓掌）請同學們嘗試一下，給拋物線下個定義.
生5：到點 F 的距離和到直線L 的距離相等的點的軌跡叫做物線.
師：這樣歸納完整嗎？
生6：平面內到一個定點F 和到一條定直線L 的距離相等的點的軌跡叫做物線.
生7：還要注意定點不能在定直線上.
師：為什么啊？
生8：如果這樣，就只能找到一個點.
師：我們繼續來思考：若定點F恰好在定直線上，軌跡會是什么圖形？（學生積極思考，相互討論）
生8：當定點F在定直線上時，滿足條件的點的軌跡是一條直線.
生9：且是過點F垂直于直線的一條直線.
師：大家覺得這兩名同學的想法可以統一嗎？（大家七嘴八舌，觀點基本一致）
師：說得很好！這里F 叫做物線的焦點，定直線L 叫做物線的準線.（教師板書：拋物線的定義：把平面內與一個定點F和一條定直線（不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.其中點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線.）
【設計意圖】首先利用幾何畫板動畫演示拋物線的生成過程，可以起到化解難點作用.其次經歷了一次讓學生自行歸納、完善定義的過程，使他們對拋物線的定義有更準確的把握，印象更為深刻，同時也鍛煉了學生類比、歸納總結的能力.
活動三：
師：了解了拋物線的定義，接下來我們最想知道的就是拋物線的方程了，那么如何求拋物線的方程呢？
師：請同學們回想一下，之前我們學過的求曲線方程的基本步驟是怎樣的？
生8：建系；設點；列式；化簡；證明.
師：很好.類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，我們該如何建系呢？（小組討論，集中探索）
（教師巡視，一段時間后用實物投影展示學生作品）
方案（一） 方案（二） 方案（三）
師：大部分小組都是上面三種建系方案中的一種.猜想一下，哪個好呢？
生9：方案二比較簡單.
生10：方案一比較簡單，它是以定直線為y軸，定點F在x軸上設計的，結果應該比較簡單.
生11：方案三以拋物線的頂點為原點，定點F在x軸上，具有一定的對稱性，結果應該更好一些.
師：看來大家的意見不是很統一啊！那就讓我們親自驗證一下吧！請同學們按照求曲線方程的步驟得出三種方案的拋物線方程.（提示：不妨設焦點F到準線的距離為p（p>0）.）
（一段時間后，找小組代表上黑板展示過程，師生共同點評）
方案一 方案二 方案三
師：同學們，哪種簡單啊？
生眾：方案三.
【設計意圖】這一環節，通過有啟發性的活動，使學生在分析探究中，不斷獲得解決問題的方法，有效解決教學重難點.
師：我們把方案三得到的方程叫拋物線的標準方程.注意這里標準的規范是頂點在原點，圖象關于x 軸對稱.（教師板書：拋物線的標準方程）
3.新知應用，鞏固提高
例1：求下列拋物線的焦點坐標、準線方程：
（1）， （2）
【設計意圖】熟悉焦點、準線與標準方程的關系.強調解決拋物線問題時要先轉化為標準方程.
例2：請同學們參照上面的例題，自編一道題目.
【設計意圖】培養學生創新、發散思維.
l結語
為了充分調動學生的積極性，本節采用“引導探究”式的教學模式，貫徹“教師為主導，學生為主體，探究為主線”的教學思想，通過教師的適時引導，生生、師生間的交流互動，啟迪學生思維；讓學生構建自己的知識體系，體驗合作學習的快樂.
參考文獻
本專題內容主要包含直線的方程、圓的方程，直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標準方程及其幾何性質的應用，曲線與方程等知識，是高考考查的重點內容． 平面解析幾何知識在歷年高考試題中都占有較大的比重，一般選擇題、填空題有2題左右，解答題1題，分值大約20分． 選擇題、填空題主要考查直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線）的定義、方程和其簡單幾何性質的應用等重要知識，關注基礎知識的應用、運算能力和數形結合思想的滲透．解答題大多數以圓錐曲線（主要是橢圓和拋物線）為載體，綜合直線、圓、向量、不等式等知識，并與數學思想方法緊密結合，對坐標法思想、方程思想、數形結合思想、等價轉化思想、設而不求思想等進行較為深入的考查，體現了能力立意的命題原則．
1． 考綱解讀：
（1）在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素（兩個點、一點和方向）．
（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；了解直線的傾斜角的范圍；理解直線的斜率和傾斜角之間的關系，能根據直線的傾斜角求出直線的斜率．
（3）根據斜率判定兩條直線平行或垂直，根據兩條直線平行或垂直的位置關系求直線方程中參數的值．
（4）根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）的特點和適用范圍；根據問題的具體條件選擇恰當的形式求直線的方程；體會斜截式與一次函數的關系．
（5）了解二元一次方程組的解與兩直線交點坐標之間的關系，體會數形結合思想；能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標．
（6）探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式；會求兩條平行直線間的距離．
2． 考場對接：
通過2012年的考點統計可以看出，在高考題中，本節內容主要以選擇題、填空題為主要題型，考查兩直線的位置關系，屬于基礎題，難度不大．對直線與方程的考查，還滲透在平面解析幾何的解答題中，與其他知識（圓與圓錐曲線）結合出題．
3． 經典例題：
（2012浙江）設a∈r，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
a． 充分不必要條件
b． 必要不充分條件
c． 充分必要條件
d． 既不充分也不必要條件
失分警示 本題屬于基礎題，解題時注意判斷充分必要條件的步驟，即先驗證充分性，再驗證必要性，最后綜合起來下結論． 在表述的時候要弄清順序關系，以防發生概念錯誤．
方法突破 在研究充分和必要條件時，可先求一者的等價條件，再和另一者作比較．
完美答案 當a＝1時，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0顯然平行；若直線l1與直線l2平行，則有■=■，解得a＝1或a＝-2． 故選a．
4． 命題趨勢：
直線的方程、兩直線的位置關系、距離問題一直是高考考查的熱點問題，單純考查直線的知識一般在選擇題、填空題中出現；直線和其他知識的交匯問題一般出現在解答題中，有一定的難度．
1． 考綱解讀：
（1）回顧確定圓的幾何要素（圓心、半徑，不在同一直線上的三個點等），在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程；根據問題的條件，選擇恰當的形式求圓的方程；理解圓的一般方程和標準方程之間的關系，會進行互化．
（2）根據給定直線和圓的方程，判斷直線與圓的位置關系（相交、相切、相離）；根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系（外離、外切、相交、內切、內含）．
（3）用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．
（4）在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想，感受“數”與“形”的對立和統一；初步掌握數形結合的思想方法在研究數學問題中的應用．
（5）通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置；掌握空間兩點間的距離公式及其應用．
2． 考場對接：
圓的方程，直線與圓、圓與圓的位置關系是高考考查的重點，在2012年高考試題中，主要在選擇題、填空題中考查直線與圓、圓與圓的位置關系，尤其是含參數的問題，考題基本上屬于中低檔難度的題．
3． 經典例題：
（2012天津）設m，n∈r，若直線（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，則m+n的取值范圍為（ ）
失分警示 本題屬于中檔題，考查直線與圓的位置關系，不等式的性質. 注意不要忽略了m，n∈r這個條件，在運用基本不等式時注意其成立的條件，求取值范圍時注意不要擴大或縮小范圍．
方法突破 由直線與圓相切的條件可以得到一個關于m，n的等式，觀察等式的性質，利用基本不等式的形式消除差異，化為關于m+n的不等式，解出其取值范圍即可．
完美答案 因為直線（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化簡得mn=m+n+1. 又當m，n∈r有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■. 故選d．
■ （2012江蘇）在平面直角坐標系xoy中，圓c的方程為x2+y2－8x+15=0，若直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓c有公共點，則k的最大值是_________．
失分警示 本題屬于中檔偏難題，解答本題時不要被題中的表面意思所迷惑，要透過現象看本質，認真審清題意，將題意中的關系進行合理的轉化．
方法突破 數形結合理解題意，將兩圓的位置關系化為圓c的圓心到直線y=kx－2的距離的取值范圍問題去處理．
完美答案 圓c的方程可化為（x－4）2+y2=1，若直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓c有公共點，則圓c上的點到直線上的點的距離的最小值小于或等于1，則圓心c（4，0）到直線y=kx－2的距離小于等或等于2. 所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．
4． 命題趨勢：
預計2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查圓方程的求解，直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷，特別是含參數的位置關系問題仍將是考查的重點和熱點． 而在解答題中，則有可能考查以圓為背景的綜合試題，特別是圓與圓錐曲線的
整合問題．
1． 考綱解讀：
（1）了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用．
（2）掌握橢圓的定義和幾何圖形及標準方程，會求橢圓的標準方程；掌握橢圓的簡單幾何性質，能運用橢圓的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．
2． 考場對接：
縱觀2012年高考數學試題可以看出，選擇題、填空題主要考查橢圓的定義、標準方程和幾何性質的理解與應用，橢圓的離心率等相關知識，難度中等；解答題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質的應用，特別地，直線與橢圓的位置關系問題是考查的熱點問題，且有一定的難度．
3． 經典例題：
失分警示 結合圖形，審清題意，注意三角形哪個角是底角，細心運算，避免發生運算失誤．
方法突破 求解圓錐曲線的離心率（或其范圍）的關鍵是根據已知條件尋求一個關于a，b，c的等式（或不等）關系，再結合a，b，c的固有關系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）關系，從而求得離心率（或其范圍）．
4． 命題趨勢：
橢圓是命題的熱點內容，預計2013年的高考仍將在選擇題、填空題中考查橢圓的標準方程、離心率的求解等知識，難度中等；將在解答題中重點考查直線與橢圓的位置關系問題，可能還會出現一些創新題型，如新定義題型、探索性問題、定點定值問題等，此類問題難度較大．同時，會加強橢圓與圓，橢圓與雙曲線，橢圓與拋物線等知識的交匯問題的考查力度．
1． 考綱解讀：
了解雙曲線的定義、圖形和標準方程，會求雙曲線的標準方程；會用雙曲線的標準方程處理一些簡單的實際問題；了解雙曲線的簡單幾何性質．
2． 考場對接：
分析2012年高考試題可以看出，雙曲線的考題基本上以選擇題、填空題為主，主要考查雙曲線的定義、方程和簡單幾何性質的應用，且出現了雙曲線和圓、橢圓、拋物線等的整合問題，總體難度中等．
3． 經典例題：
（2012浙江）如圖1，f1，f2分別是雙曲線c：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦點，b是虛軸的端點，直線f1b與c的兩條漸近線分別交于p，q兩點，線段pq的垂直平分線與x軸交于點m． 若mf2＝f1f2，則c的離心率是（ ）
失分警示 本題的解題思路并不難得出，但運算量較大，在認真審題的前提下避免發生運算錯誤，同時注意雙曲線的離心率的取值范圍，謹防增根．
方法突破 本題考查雙曲線的幾何性質的應用，離心率的求解，突破的關鍵是正確求出p，q兩點的坐標（用a，b，c表示），再求出pq的垂直平分線的方程，進而用a，b，c表示出m的坐標，由mf2＝f1f2列出等式，最終化為a，c的關系．
4． 命題趨勢：
預計2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查雙曲線的標準方程的求法、定義和幾何性質的應用，其中離心率的求解和漸近線問題是考查的熱點． 此外，仍會加強將雙曲線和其他知識（如圓、橢圓、拋物線）進行交匯出題，題目難度中等偏低．
1． 考綱解讀：
（1）掌握拋物線的定義、圖形和標準方程，會求拋物線的標準方程；掌握拋物線的簡單性質，會用拋物線的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．
（2）了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系；了解求曲線方程的一般步驟，能求一些簡單曲線的方程；掌握求直線和圓錐曲線的交點坐標的方法；進一步體會數形結合思想．
2． 考場對接：
透過2012年高考數學試題可以看出，拋物線是考查的熱點問題，考題既在選擇題、填空題中出現，也在解答題中出現．選擇題、填空題重點考查拋物線的標準方程的求法，拋物線的定義和性質的應用，以及拋物線在實際問題中的應用，同時還出現了拋物線與雙曲線的交匯問題，難度中等． 解答題重點考查直線與拋物線的位置關系，拋物線與其他知識（如圓、不等式等）的整合問題，且出現了探索性問題，難度較大．而曲線與方程的考查則滲透在以上各大知識板塊之中．
3． 經典例題：
（2012安徽）過拋物線y2=4x的焦點f的直線交拋物線于a，b兩點，點o是原點，若af=3，則aob的面積為（ ）
失分警示 本題屬于中檔題，有一定的思維量，認真審題，找準關系，運算準確，避免發生思維受阻和運算錯誤．
方法突破 顯然ab是拋物線的焦點弦，且已知af=3，若結合拋物線的定義，則可以求點a的坐標，從而直線ab的方程便可以得到解決，具體見如下的解法一． 本題也可以設角度（見如下的解法二），通過三角關系來表示線段的長度，從而求出三角形的兩邊及其夾角的正弦值，再求面積．
（1）求拋物線c的方程；
（2）是否存在點m，使得直線mq與拋物線c相切于點m？若存在，求出點m的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若點m的橫坐標為■，直線l：y=kx+■與拋物線c有兩個不同的交點a，b，l與圓q有兩個不同的交點d，e，求當■≤k≤2時，ab2+de2的最小值．
失分警示 本題難度較大，綜合性強，涉及的知識點多，屬于直線、圓和拋物線的綜合問題，解答時要注意數形結合思想的使用，審清題意. 解答第（1）小題難度不算大，但第（2）小題是一個探索性問題，有較大的運算量，需要扎實的運算功底，第（3）小題將直線、圓和圓錐曲線綜合起來，難度較大，需要較強的分析問題和解決問題的能力．
方法突破 第（1）小題結合拋物線的定義以及圓的相關性質可以列出一個關于p的方程，求解即可；第（2）小題可先假設存在點m，利用拋物線的切線斜率和直線mq的斜率相等列等式求解；第（3）小題的解題目標是將ab2+de2表示為關于k的函數，從而化為求函數的最值問題去處理，但求兩線段的長度需要用到直線與圓錐曲線相交弦長公式ab=■，以及直線與圓的相交弦長公式de=2■等．
完美答案 （1）x2=2y．
向量因兼具數與形的雙重特征，因此它既是幾何關系的轉譯工具，也是一種運算工具. 它在解析幾何中的運用主要體現在將幾何關系以其獨有的“語言”進行表述；另外，因向量具有坐標形式及其自身的運算法則（如加法、減法、數量積），使得向量在解決有關長度、角度等問題時具有得天獨厚的優勢，歷年高考試題中關于這一點均有體現.
■
對于經向量“包裝”的表述形式，解決辦法是去除其包裝，還原問題的幾何本質；對于涉及垂直、共線、角平分線、距離等問題時可考慮用向量工具來幫忙解決.
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■ 如圖1，已知拋物線C的對稱軸為x軸，且過點A（4，4），F為其焦點，E為點A在x軸上的射影.
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）求∠FAE的角平分線所在的直線l的方程.
■
圖1
破解思路 （1）由已知設拋物線的標準方程，求出參數p，代回即可.
（2）本題有多種解法，但利用向量工具可優化求解的過程.
經典答案 （1）設拋物線的標準方程為y2=2px（p>0），代入A（4，4），得2p=4，所以求得拋物線C的方程為y2=4x.
（2）（方法一：向量夾角公式）設G（x0，0），■=（-3，-4），■=（0，-4），■=（x0-4，-4），則由cos∠FAG=cos∠EAG，得■=■，代入解得x0=■，故∠FAE的角平分線所在直線的方程為3x-y-8=0.
（方法二：直線方向向量）如圖2，設射線AF的方向向量為e1=■=-■，-■，射線AE的方向向量為e2=■=（0，-1），所以射線AG的方向向量為e=e1+e2=-■，-■. 所以直線AG的斜率為k=■=3，故∠FAE的角平分線所在直線的方程為3x-y-8=0.
■
圖2
■ 如圖3，已知點F（a，0）（a>0），動點M，P分別在x，y軸上運動，且■?■=0，動點N滿足■+■=0.
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線l（不垂直于x軸）與曲線C交于A，B兩點，K是F關于原點的對稱點，求證：點K在以AB為直徑的圓外.
■
圖3
破解思路 （1）將向量的表述形式“翻譯”成幾何關系（如題中的■?■=0，■+■=0分別表示垂直、共線幾何關系）.
（2）將幾何關系用向量“語言”進行轉述，利用向量的“特長”優化代數的解題進程（如本題“點K在以AB為直徑的圓外”可表述為“■?■>0”），其中將點及向量進行“坐標化”是解題中必不可少的兩個步驟.
經典答案 （1）因為■+■=0，所以點P為MN的中點. 設動點N（x，y），則由題意得M（-x，0），P0，■. 由■?■=0得-x，-■?a，-■=0，整理得y2=4ax（a>0），即為所求動點N的軌跡C的方程.
（2）設直線l：x=my+a（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則■=（x1+a，y1），■=（x2+a，y2），■?■=（1+m2）y1y2+2am（y1+y2）+4a2 ①.
聯立x=my+a，y2=4ax消去x得y2-4amy-4a2=0，所以y1+y2=4am，y1y2=-4a2，代入①得■?■=4a2m2>0. 所以點K在以AB為直徑的圓外.
■
1. 設直線x=2與雙曲線C：■-y2=1的漸近線相交于點E1，E2，O為坐標原點，任取雙曲線C上的點P，若■=a■+b■（a，b∈R），則（ ）
A. 0
1.平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解題思路：設AC的中點為O，即.設B(x，y)關于點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解題思路：當該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.
3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個交點，則b的取值范圍是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A是雙曲線漸近線上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質的探究，體現了解析幾何的數學思想方法的巧妙應用，難度中等.
解題思路：如圖如示，不妨設點A是第一象限內雙曲線漸近線y=x上的一點，由AF2F1F2，可得點A的坐標為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應選D.
4.設F1，F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓于點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故選C.5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解題思路：由題意得，設等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.
6.拋物線y2=-12x的準線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質等基礎知識，意在考查考生的運算能力.
解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.
7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案：D 解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.
8. F1，F2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()
A.2 B. C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質以及基本量的計算等基礎知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.
解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.
9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解題思路：設拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數形結合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.
10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上，P關于y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.
解題思路：設A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.
二、填空題
11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，難度中等.
解題思路：設直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數的關系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知識拓展：將ABF分割后進行求解，能有效減少計算量.
12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.
答案： 命題立意：本題考查橢圓的基本性質及等比中項的性質，難度中等.
解題思路：設橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B.若=，則p=________.
答案：2 解題思路：過B作BE垂直于準線l于E，
=， M為AB的中點，
|BM|=|AB|，又斜率為，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，
p=2.
14.
【關鍵詞】數學 課堂練習 有效設計
新課程理念要求教師對數學課堂教學進行精心設計，提高課堂教學的有效性，其中課堂練習是課堂教學中的一個重要環節。新課程理念指導下的課堂練習應是優質、高效的，應該是有利于學生能力發展的，那么怎樣才能設計優質、高效的課堂練習呢？
一、重視數學課堂練習的多樣性和趣味性
課堂練習的設計如果不具有多樣性、挑戰性和趣味性，學生很難保持持久的興趣。因此設計課堂練習不僅在題型上力求多樣性，填空、選擇、解答、證明分別運用，而且應注重實踐、創造性，同時要將平淡乏味的數學問題置于有趣的問題情境之中，讓學生在愉快而富有挑戰性心態下完成知識的構建。在高中數學課堂教學中，教師一方面要把良好的學習方法有意識的融進教學方法中，把自己的學習體會融進課堂教學中，使學生潛移默化地接受，從而使學生能找到適合自己的學習方法；另一方面在課堂教學中，教師高超的教學技巧，流暢且幽默的語言表達，機智且靈活地組織課堂教學以及對教材獨到的理解都能激活學生學習的興趣，活躍學習氣氛，使教師和學生雙邊的積極性都受到激發。
二、引導學生學會練習，發揮學生的主體作用
學生是學習的主體，新知識只有通過學生自身的“再創造”活動，才能內化為其認知結構中。傳統的課堂設計是“教師問，學生答，教師寫，學生記”！學生只能機械被動地學習，不能平等對話、溝通、交流。新課標要求教師必須轉變角色，尊重學生的主體性。所以在新的理念指導下教師的課堂練習設計應面向全體學生，突出學生的主體性，充分發揮學生的主觀能動性，讓學生主動參與探究問題。在平時的教學中，還應根據不同的教學內容、不同的教學目標，結合學生的特點選用不同的教學方法，努力創設一種和諧、愉悅的教學氛圍和各種教學情境，精心設計教學過程和練習。在課堂上給予學生自主探索、合作交流、動手操作的權利，讓學生充分發表自己的意見。久而久之，學生體會到了成功的喜悅，就會激發出對數學的好奇心、求知欲以及學習數學的興趣，覺得數學不再是那些枯燥、乏味的公式、 計算 、數字，從思想上變“被動接受”為“自主學習”。
三、“活”用課本例習題，培養學生的創新能力
數學習題浩如煙海，如何從“題海”中解放出來，重要的一條就是挖掘例習題的潛在內容，引導學生向更廣的范圍，更深層次去聯想，縱橫引伸，把所學知識去更大范圍內進行歸納、演變，促進知識融會貫通，解題能力和思維能力得到提高，解題方法和策略形成。其方法有：變式練習、一題多解、改變成開放題等。例如：已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點，求它的標準方程。
不少教師認為該題太簡單，只需設拋物線方程為y=2px（p>0），再將點M代入即可，因而一帶而過。教師可以帶領學生繼續深入研究本題，給出變式練習。
變式1：如何改變上述問題中的條件，使得其解法分別是設拋物線的標準方程為y2=-2px（p>0）、x2=2py（p>0）、x2=-2py（p>0）。此問題并不難，但能激發學生觀察、對比、分析和概括，讓學生也參與到變式教學的問題設計當中來。
變式2：已知拋物線關于坐標軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點，求它的標準方程.有了上面的鋪墊，學生應能想到用分類討論手段解決。
變式3：已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M（a，b）（ab≠0），求它的標準方程。此時學生仍可利用分類討論解決，但在教師的引導下，通過對照結果以及變式1中的情況，還是有可能概括出此時拋物線的方程可設為y2=2mx（m≠0），以避免分類討論。到此時學生完全可以自己類比出變式4及其解決方法。
變式4：已知拋物線關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M（a，b）（ab≠0），求它的標準方程。解法是可設拋物線的方程y2=2mx（m≠0）。
這樣學生通過自己分析、概括，參與問題設計，使得對拋物線標準方程的理解將更深入。通過一題多變的練習和階梯式的設問，不僅分散了難點，使學生將所學的知識融會貫通，培養學生思維的多樣性與廣闊性，從而發展學生勇于探索勇于創新的發散思維能力。
四、例題練習生活化，凸顯“做”數學的價值
理解和記憶數學基礎知識是學好數學的前提。
一、什么是理解?
按照建構主義的觀點,理解就是用自己的話去解釋事物的意義,同一個數學概念,在不同學生的頭腦中存在的形態是不一樣的。所以理解是個體對外部或內部信息進行主動的再加工過程,是一種創造性的“勞動”。
理解的標準是“準確”、“簡單”和“全面”。“準確”就是要抓住事物的本質;“簡單”就是深入淺出、言簡意賅;“全面”則是“既見樹木,又見森林”,不重不漏。對數學基礎知識的理解可以分為兩個層面:一是知識的形成過程和表述;二是知識的引申及其蘊涵的數學思想方法和數學思維方法。
二、什么是記憶?
一般地說,記憶是個體對其經驗的識記、保持和再現,是信息的輸入、編碼、儲存和提取。借助關鍵詞或提示語嘗試回憶的方法是一種比較有效的記憶方法,比如,看到“拋物線”三個字,你就會想到:拋物線的定義是什么?標準方程是什么?拋物線有幾個方面的性質?關于拋物線有哪些典型的數學問題?不妨先寫下所想到的內容,再去查找、對照,這樣印象就會更加深刻。另外,在數學學習中,要把記憶和推理緊密結合起來,比如在三角函數一章中,所有的公式都是以三角函數定義和加法定理為基礎的,如果能在記憶公式的同時,掌握推導公式的方法,就能有效地防止遺忘。
總之,分階段地整理數學基礎知識,并能在理解的基礎上進行記憶,可以極大地促進數學的學習。
關鍵詞：高中數學；復習課；問題解決；思維能力
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）24-0062-04
高中生自我監控意識和綜合思維能力較弱，還不能完全脫離具體事物而進行高度的抽象思維概括活動，難以自發地對不同階段的知識與技能、過程與方法進行整合，使之系統化、網絡化、完整化，經常呈現出單一、割裂或散點式的認知狀態。這種狀態嚴重阻礙了學生對數學建模、數學探究與數學文化及其內涵的理解、掌握與應用，更加阻礙了數學學科在學生長期可持續發展過程中的價值發揮。因此，要求教師必須以課程標準為準繩，科學合理地安排好復習課，有目的、有計劃地組織教學，才能不斷提高學生解決問題的能力與水平。下面主要介紹復習課的功能、任務及其操作模式，供同行們參考。
一、復習課的功能與任務
實踐證明，復習課是在認真分析學生年齡特點及其認知規律的基礎上，全面提高其數學學習、探究與應用能力（其中包括學生個體自我組織、規劃數學活動能力以及對學習過程與結果進行自主監督、控制能力等）的一種重要課型。
（一）復習課的功能
1.復習課為學生提供了構建知識體系、提煉解題方法、體驗數學思想的機會，能夠幫助學生提高發現問題與解決問題的一般能力。
2.復習課為學生提供了將所學知識、技能、思想與方法綜合運用和創新的機會，能夠幫助學生積累數學活動的基本經驗，有利于優化其認知結構。
3.復習課為學生提供了整體視野和對自身學習能力與水平進行再認知的機會，能夠幫助學生對已經學過的數學內容做完整性與合理性的審視、評價與重建。
（二）復習課的主要任務
1.系統梳理基礎知識，形成結構化知識網絡，以便于學生對知識的理解、記憶和儲存。
2.揭示規律，總結策略，逐步提高學生數學的提出問題、分析問題和解決問題的能力。
3.讓學生熟練掌握并靈活運用數學課程標準中規定的高中生必備的基本技能和思想方法。
4.讓學生反復經歷方法探究、思路調整、思維優化等解題過程，不斷地將其中蘊含的數學模型、思想方法、思維路徑有機的聯系起來。
二、復習課的一般操作模式
從上述分析可知，復習課的主要目標是“夯實基礎、激活思維，最大限度地發展學生的問題解決能力”。因此，我建議復習課至少應該包括下面三個環節。
（一）課前布置學案，自主復習
導學案能夠有效利用學生的課余時間，促使學生提前參與到學習中來。學生只有在課前進行必要的知識儲備，從基本題型的練習入手，逐步變式，進而復雜化，課上才能展示綜合性較高的數學問題，才能促使學生在問題解決的過程中，總結解題方法和策略。
復習課，教師應該為學生回顧知識提供必要的線索，但絕對不能代替學生整理和思考。課前要給學生提供獨自整理知識的機會，讓學生通過看書、查閱資料等方式獨自解決并把回憶起的知識用紙筆記錄下來，用自己喜歡的方式建構知識之間的聯系。也只有讓學生自己做了，經歷了，知識才能內化到頭腦中，形成體系。也許他們課前做得不是很完美，但只要有了這個基礎，課堂教學就不會是“空中樓閣”，學習會更實效、高效。
（二）課上合作交流，拓展提升
如何讓學生成為學習的主人，“問題引領、自主探究、合作交流”都是比較好的方式。復習課的一項重要工作是教師根據學生的“作品展示”情況，逐步引導學生剖析問題、聯想與類比，不斷總結解題方法與策略，發展歸納概括能力。
在學生課前準備的基礎上，教師可以從以下幾方面組織引導并加以操作。
1.通過展示和評價等方式，培養學生的反思能力
以課前“導學案”為載體，課上先展示部分學生的知識梳理、方法歸納和解題過程（思維方式的外在顯現），再讓其他同學做點評。評價應以學生互評為主，教師為輔，這樣既能調動學生的學習積極性，又能督促所有學生做好前期準備，還能讓同學之間有對比思考，可以從多角度、多方面對基礎知識與基本技能進行“恢復”。這種做法要比教師在黑板上寫，投影上顯示，學生在筆記本上記錄更有實效。
在學生“展示”過程中，教師一定要多問“為什么？”，例如，“你為什么這樣想？”“還有其它想法嗎？”“為什么選擇或放棄這個方法？”“這處錯誤是怎樣發生的？”“其他同學還有沒有補充？”等等，促使所有學生養成題后反思的意識和習慣，同時也是對學生“說知識、說解題”等能力的有益培養，在此過程中，可以訓練學生思維的縝密性，語言的表達能力，解題的糾錯能力等。
2.利用“一題多解”，培養學生的發散思維
“一題多解”是引導學生從題目的不同側面觀察、不同角度審視，利用不同方法求解同一道題目，是通過較少的題目復習較多的知識與方法，從而培養學生解題的思考能力和技能技巧，激發學生的求知欲，讓學生體會成功的喜悅。
復習過程中，教學生解答出一道題目容易，讓學生掌握好一種解題方法和思維方式較難。這需要幫助學生加強知識的縱橫聯系與系統歸納，需要在方法的多樣選擇中進行分析和思考，需要梳理出不同解法的思路并加以提煉，需要對不同解法進行比較、鑒別和優化，以加深學生對題目本質的深刻理解。通過“一題多解”，能夠突破學生平時先入為主的思維定勢，拓展其解題思路，引導學生多角度、多層次地思考問題，將思維由封閉狀態轉化到開放狀態，其目的并不在于“多解”，而在于思維的“多層次”和“多角度”。
例如，設P是橢圓=1上任意一點，過左焦點F1的弦為PA，且的值。
【點評】教學實踐證明，有些學生注意到這是圓錐曲線上的動點問題，通過設點坐標（直角坐標或極坐標），轉化為解方程（組）問題，體現方程思想；有些學生注意到直線與圓錐曲線的位置關系，通過設出直線方程，采用設而不求，避免求點坐標運算，同樣利用方程思想；還有學生注意到焦半徑，利用圓錐曲線的第二定義，結合平面幾何知識進行判斷和證明，減少運算量，體現了數形結合、轉化和化歸思想。多種思維方式和解法不僅加強了學生對基本題型、基本方法的理解與再認識，而且讓學生獲得了高水平的思維訓練，提高了他們的發散思維能力。
3.利用“一題多變”培養學生的思辨能力
“一題多變”是通過變換條件或探求不同結論或改變問題情境等多種途徑，引導學生從多方向、多層次、多角度出發思考同一問題，不斷強化學生對知識的理解與掌握和思維的變通與創造，進而培養學生思維的靈活性。
復習過程中，教師可以通過類化不同變式的共同屬性而突出題目的本質，借助“如果去掉某個條件會怎樣變化？”“假如換一種問法呢？”“假如將其中一個條件換成另一個條件呢？”等啟發式提問，引導學生的思維活動呈現層級推進并逐步深入，滿足不同學生的學習需求。構造變式題的活動可以幫助學生鞏固知識、訓練思維、開闊視野，促進學生對解題方法的全面思考，其中的關鍵是“變”，“變”能促使學生思維不再局限于固定模式和定式思維，從而提出新問題或發現同一問題的多種解法或多種結果。
例如，復習拋物線性質的一道變式題。
課本原型：過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，且兩交點的縱坐標分別為y1、y2，求證：y1y2=-p2。
變式1：過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線l：x=-為拋物線的準線，過點A、B分別作準線的垂線，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F。
變式2：（改變M、N的作法）過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線l：x=-為拋物線的準線，O為原點，直線OA、OB分別交準線于M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F。
變式3：（變定點為動點）過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線l：x=-為拋物線的準線，C是拋物線上的動點，直線AC、BC與準線分別交于M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F。
變式4：（變焦點、準線為極點、極線）拋物線y2=2px（p>0），極點P（t，0），極線l：x=-t，C是拋物線上的動點，過P的直線交拋物線于A、B兩點，直線AC、BC分別交極線于點M、N，則M、N的縱坐標之積為定值-2pt。
一般化：設圓錐曲線E的一個焦點為F，相應的準線（定直線）為l，C為E上的動點，過F且斜率不為0的直線與曲線E交于點A、B，直線AC、BC分別交準線于M、N，則以MN為直徑的圓過焦點F。
變式5：（與相關知識點建立聯系）直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A、B兩點。
（1）若OABO=4，求弦AB的中點到直線x+=0的距離；
（2）O為坐標原點，試判斷向量是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由。
【點評】上述題組是圍繞拋物線中的定點（焦點）和式子y1y2=-p2，從課本問題出發復習和推廣了圓錐曲線的諸多共同性質，符合學生的認知規律，逐步探究更是活躍了他們的數學思維。
4.利用“多題一解”提煉通性通法，培養學生對問題的理解力
“多題一解”是指針對一個關聯性較強的題組，從不同問題的解法中尋找出不變的“規則”，梳理出一條思維“主線”，整理出“通性通法”，進而幫助學生從中學會抽象與概括、分析與綜合、總結與歸納的具體方法，真正理解具體與抽象、特殊與一般的邏輯關系，最終達到舉一反三、觸類旁通的目的。
復習過程中，我們要充分挖掘知識點之間的聯系，分析各解法的互通性，在“異中求同、同中求異”過程中將知識結構轉化為認知結構，并借助“同質異形”題組，使學生發現解法的本質，從而加深學生對“通法”的深層次理解。
例如，在ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c。
（1）若a2-b2=bc，sinC=2sinB，則A= 。
（2）若8b=5c，C=2B，則cosC= 。
（3）若2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，則sinB+sinC的最大值為 。
（4）若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），試判斷ABC的形狀。
【點評】雖然上述問題的條件和設問都不同，但只要借助正余弦定理將“邊轉化為角”或將“角轉化為邊”，問題將迎刃而解。這類題組有利于學生把握問題的實質，溝通知識間的聯系；有利于多方面、多角度去分析問題、解決問題；有利于復習“一塊”掌握“一類”，從而調動學生的學習積極性，提高學生的思維能力，培養學生思維的發散性和創新性，讓學生思維在問題之間自由飛翔。
（三）課后總結反思，完善學案
1.題后反思。學生完成解題后，可以從“還有沒有更好的解法？”“問題還可以怎樣引申？”“問題的解決方法適用于哪種類型的題目？”等多方面進行反思，在反思中明晰問題的本質，對解題方法歸納總結，培養學生的批判性思維與發散性思維。
2.課后反思。我們要求學生根據課上師生辨析討論的結果，在學案中總結解題策略的要點，整理問題的不同解法，進一步明晰問題解決過程中體現的數學思想和思維方式。可以采用以下策略：
（1）研究解題方法。對不同的解題策略與方法進行討論、比較、優化，并為最佳的解題方法命名。
（2）提煉策略核心。理解常用解題策略的本質，把握其使用范圍和要點，思考在問題解決過程中用到了什么策略，其核心要素是什么？從感性升華到理性，使其成為下次解決問題的思維起點和基礎。
1． 直線與方程
（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念及相互間的關系，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．
（2）能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直．
（3）掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截式與一次函數的關系．
（4）會求兩直線的交點坐標．
（5）掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
2． 圓與方程
（1）掌握圓的標準方程與一般方程．
（2）能判斷直線與圓、圓與圓的位置關系．
（3）能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．
（4）初步了解用代數方法處理幾何問題的思想．
3． 圓錐曲線
（1）掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及其簡單性質．
（2）了解雙曲線的定義，掌握雙曲線的幾何圖形和標準方程，理解它的簡單幾何性質．
（3）能解決直線與橢圓、拋物線的位置關系等問題．
（4）理解數形結合的思想．
（5）了解圓錐曲線的簡單應用．
4． 曲線與方程
了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系．
1． 遵循《說明》，用好課本?搖
重視教材的基礎、示范作用，教材中的例題、習題本身在知識考查的導向性、解題的規范性、習題的典型性等方面都可圈可點，是復習的重點，同時解析幾何部分不少高考試題都是以課本問題為原型的加工、改造、綜合，用好課本是備考取勝的法寶之一．
2． 基礎扎實、基本技能熟練?搖
這部分雙基內容豐富，問題多樣，解法靈活，比如橢圓、雙曲線以及拋物線的定義，三類曲線中的基本量以及曲線的幾何性質等． 只有熟練掌握基礎知識，我們才能為綜合性問題的解決打好基礎．
3． 著力提高運算能力?搖
解析幾何問題一般涉及的變量多，計算量大，解決問題的思路分析出來以后，往往因為運算不過關導致半途而廢，因此要尋求合理的運算方案，探究簡化運算的基本途徑與方法． 運算能力的提高絕對不是背運算技巧，必須在游泳中學會游泳，在運算的過程中提高運算能力，對運算的程序、步驟認真反思，對不同的解題途徑分析對比，積累豐富、合理的運算經驗，唯有如此，在面臨新穎的情景的時候我們才能運算自如．
4． 重視數學思想方法
解析幾何部分思想方法的地位作用尤其明顯、突出，如數形結合思想、方程思想、函數思想等，思想方法不是標簽，不是空洞的理念，對解題策略、解題路徑的制定具有很高的價值，但是思想方法需要體驗、歸納，才能自覺運用于分析解決問題的過程，達到優化解題思維、簡化解題的目的．
“問題解決”數學教學力求讓學生學習發現問題的方法，開掘創造性思維潛力，培養主動參與、團結協作精神，增進師生、同伴之間的情感交流，形成自覺運用數學基礎知識、基本技能和數學思想方法分析問題、解決問題的能力和意識。在不同的學段，創設數學情境、引導學生提出問題和解決問題的方式有較大差異。經過長期的教學實驗研究，筆者認為開展“問題解決”數學教學時可參照以下教學策略來實施。
一、動機激發策略
在課堂教學中，教師應該把學生吸引到有趣味、有挑戰性的學習活動中，讓學生體驗成功所產生的愉悅和成就感，學會正確地對待挫折，從正、反兩方面來有效地激發學生的學習動機。在每一節課的引入開始都可以設置問題情境。例如，在解析幾何中講“拋物線及其標準方程”時，教師在帶領回顧橢圓、雙曲線的定義后，可提出“平面內到定點與定直線距離相等(即e=1)的點的軌跡是什么”這一問題。實際上，學生在學習了橢圓與雙曲線后，心中就有一個疑問，即e=1時，點的軌跡是什么?教師提出的問題與學生心中的疑團相吻合，就能激起學生探究問題的興趣，使學生產生進一步研究下去的動力。
二、層次設計策略
在課堂教學中，教師應該從“自主、合作、體驗、發展”等層次為學生提供概念、定理的實際背景，設計定理、公式的發現過程，讓學生體驗分析問題、解決問題的思考過程，領悟尋找真理、發現規律的方法和思想。例如，在“拋物線及其標準方程”這節課里，筆者提出問題：“如何由拋物線的定義導出拋物線的標準方程?”然后組織學生分組討論，并進一步引導學生思考如何建立直角坐標系。實踐表明，全班學生在這一過程中能集思廣益，這不僅使學生主動獲得了知識，而且增強了每個學生的思考能力。又如，在立體幾何中講“柱體的體積”時，為了分散柱體體積公式推導這個難點，筆者設置了三個問題：第一，求長方體體積的條件是什么?第二，若一個棱柱、圓柱與長方體底面積、高都相等，它們的體積大小有何關系，為什么?第三，由長方體體積公式能否得出棱柱、圓柱的體積公式?通過這幾個問題的解決，柱體體積公式的推導過程就留在學生的大腦中，教師作進一步的理論證明，就能使學生加深對柱體體積公式的理解。
三、主體發展策略
在課堂教學設計的過程中，教師應充分發揮其主體作用，組織并落實多種形式的課堂實踐活動，使學生在活動過程中提高認識能力和情感控制能力，發展個性特長。在教師的引導下，學生要認真觀察具體實例中反映的數量關系或幾何特征，積極主動地思考與探究解決問題的方法。例如，在講解“平面向量的數量積”時，為了在引入數量積的概念這一問題上發揮學生的主動性，筆者設計了以下問題。
教師：“我們學習了向量的幾種運算?”
學生：“加法運算、減法運算、數乘運算。”
教師：“那么向量的加法、減法運算對應的物理背景是怎樣的?”
學生：“力(運動)的合成對應向量的加法運算，力(運動)的分解對應平面向量基本定理。”
教師：“類比物理背景，猜想向量是否還有其他的運算?”
通過以上幾個問題，學生自然地聯系到了力作用于物體產生運動而做功，把“功”看成兩個向量的一種運算就可對應一種向量的新的運算，學生就能主動將所學的物理知識“功”與向量的數量積的運算結合起來。
四、探究創新策略
【關鍵詞】電梯;舒適性;緩沖減振;ADAMS仿真;內置減震裝置
0 引言
電梯隨著城市高層建筑的發展而發展，電梯作為一種重要的垂直交通工具，舒適性是其評價標準中的主要因素之一。
電梯的震動是電梯乘坐舒適的重要指標。正常情況下，乘坐時間短且震動幅值小，不會影響乘客安全。但振動到達一定值，且頻率在人的敏感帶時，或者電梯起制動特性差，都會使乘客感到明顯不適。這種情況尤其表現在高速電梯以及身體條件差的乘客上。為減小電梯的振動與沖擊，工程技術人員一方面從控制角度出發，提出理想電梯運行曲線的方法對電梯運行速度進行優化控制。另一方面從緩沖與減振角度出發，提出加裝減振器的方法來減小轎廂振動與沖擊。
本文就特殊敏感人群提出在廂內設計隔振緩沖裝置的方法，并對簡化力學模型進行了分析和仿真
1 減震系統的動力學模型
1.1 動力學模型
為研究方便，將人體、隔離裝置、電梯組成的系統進行簡化，建立減震器與彈簧并聯的動力學模型。
1.2 系統輸入分析
1.2.1 理想的電梯運行曲線
電梯的速度是電梯運行規律的決定因素，它直接影響電梯的舒適性。常見的理想速度曲線中拋物線一直線綜合速度曲線因算法快速，結構靈活，實現起來更容易滿足電梯速度控制的各項要求，最為常見，其起動加速和減速制動段速度曲線為拋物線型，穩速運行階段為直線型。
1.2.2 實際的電梯運行曲線
實際的電梯運行曲線除了與電梯的運行速度和加速度有關外，還受到電梯曳引系統的轉動慣量、隨機因素等多方面因素的影響，因此有必要對電梯的實際運行曲線進行測量。選擇某型號電梯作為研究對象，對其運行加速度進行測量，由結果可知加速度曲線與拋物線―直線綜合性理想曲線較為吻合，且存在隨機波動，這種隨機波動同樣會對電梯的舒適性造成影響，因此再分別研究以正弦振動函數、正弦半波沖擊函數、理想速度控制曲線函數作為輸入時的系統的輸出特性。
2 仿真分析
ADAMS軟件是目前應用廣泛且具權威的機械系統動力學仿真分析軟件，它使用交互式圖形環境和零件庫、約束庫、力庫創建完全參數化的機械系統幾何模型，其求解器采用多剛體系統動力學理論中的拉格朗日方程法，建立系統動力學方程，對虛擬機械系統進行靜力學、運動學和動力學分析，輸出位移、速度、加速度和反作用力曲線。
2.1 仿真模型的建立
所建立的系統仿真模型如圖1所示。仿真模型主要由人體、隔離裝置、電梯及它們之間的約束關系和作用力組成。其中建模方法是：將電梯的位移激勵s分為兩部分，一部分是理想曲線，另一部分為振動。
2.2 仿真實驗方案
以上述實驗電梯作為仿真對象，對上行階段進行仿真試驗。隔振元件暫取減振器，其剛度K=1891.2N/m。以CATIA人機工程模塊中國（臺灣）80%人體質量（m=73.803kg）作為人體仿真質量。
為探究裝置對隨機波動的隔離作用，仿真試驗中，以不同頻率（1Hz、5Hz和10Hz）振幅為10mm的正弦信號作為激勵，測量人體的位移響應和加速度響應作為電梯舒適性的評價指標。同時隨機波動中含有沖擊成分，實驗中以沖擊信號激勵系統，以人移響應的峰值作為評價指標。
圖1 緩沖裝置多體動力學仿真模型
人體對于加速度的變化比較敏感，所以除了應做到給定速度數值連續、加速度數值連續外，還應做到加速度的變化率沒有突變。為探究隔離裝置對理想曲線的影響，以理想曲線作為輸入計算人體的響應。將電梯的運動學參數代入模型，得到電梯加速度曲線方程。用ADAMS進行編譯，并將其輸入圖中滑動副作為電梯激勵，測量人體加速度和加速度變化率。
2.3 正弦激勵分析
當頻率為1Hz時，人體的位移響應和加速度響應均大于相應的位移激勵和加速度激勵。因為此頻率接近隔離裝置的固有頻率（0.87），產生共振現象。而當頻率為5Hz和10Hz時，人體的位移響應和加速度響應均小于相應的位移激勵和加速度激勵。且隔振裝置對頻率為10Hz的激勵阻隔效果更加明顯。
為進一步探究隔振裝置對不同頻率激勵的阻隔效果，用ADAMS對裝置的幅頻特性進行計算，由計算結果可知隔離裝置對低于固有頻率（0.87）的激勵阻隔作用不明顯，且當激勵源的頻率接近固有頻率（0.87）時，不僅起不到隔振作用，反而會因為共振現象使振動加強;當激勵源的頻率大于1Hz時，隨著頻率的增加，隔離效果會增強。資料表明，人體對振動的敏感頻率為4―8Hz。因此，隔離裝置可以對處于人體敏感頻段的振動有效隔離。
2.4 正弦半波位移沖擊分析
系統輸入為正弦半波位移激勵，其方程為：
s=0.01×sin（2πt）（t≤0.05）
s=0（t>0.05）
仿真結果顯示隔振裝置能夠有效緩和電梯的位移沖擊，可將沖擊波峰值將為原來的16%。對由于電梯運行不穩引起的沖擊有很好的緩和作用，可有效提高使用者的抗沖擊能力。
2.5 理想運行曲線激勵
由理想運行曲線作為系統輸入的仿真結果，可知以拋物線―直線型理想速度曲線運行的電梯在由二次曲線和比例曲線相互過渡及電梯起動和制動時，加速度曲線連續，但其變化率產生了跳變，影響了電梯的舒適性。而緩沖減振裝置上人體速度響應曲線的加速度及其加速度變化率時刻保持連續，因此其舒適性優于以拋物線―直線型理想速度曲線運行的電梯。同時，隔振裝置會使加速度曲線和加速度變化率曲線的峰值增加，這有可能會影響其隔離效果。
3 結論（下轉第308頁）
（上接第106頁）（1）分析了電梯隔震的現狀，發現針對電梯內乘客特殊個體的減震需要的措施尚為空白。
（2）隔離裝置可以有效隔離處于人體敏感頻段的振動，是在原有電梯減震措施基礎上的效果加強，這對一些敏感人群具有相當大的作用。
（3）隔振裝置可使沖擊波峰值降低為原來的16%，這樣在電梯的相同運行狀態下，具有廂內減振裝置會使得乘客感受到的最大振動銳減;若最大振動減至人的有感范圍下，乘客甚至不會感受到明顯振動。
（4）隔離裝置可使加速度曲線較為尖銳的拐角變得平滑，使加速度變化率時刻保持連續。人體不僅對加速度敏感，對加速度的變化也很敏感;隔震裝置使得加速度平緩的改變，有效增加了電梯的舒適性。
（5）隔振裝置會使加速度曲線和加速度變化率曲線的峰值增加，其對電梯舒適性的影響需進一步研究。
【參考文獻】
[1]張長友，朱昌明，吳廣明.電梯系統垂直振動分析與抑制[J].振動與沖擊，2004， 22（4）：72-75.
關鍵詞：數形結合；學前教育專業；一元二次不等式；教學設計
教師面對的是一個個鮮活的生命個體，怎樣讓我們的課堂充分體現出學生的主觀能動性，為每個學生創設出動腦、動口、動手的機會，創設和諧、寬松、高效的課堂教學是每個教師都在思考并希望解決的問題。因此，教學設計需要從學生熟悉的內容出發，根據數學的學科特點和學生的實際情況，深入鉆研教材，分析教學任務，有針對性地設計教學方案。
1客觀分析教材
1．1學習一元二次不等式的重要性
在幼兒師范學校，數學是一門重要的文化課程。為提高學前教育專業學生的數學素養，必須努力提高數學課堂教學質量，使學生切實掌握從事幼兒教育工作和進一步學習所需要的數學基礎知識和基本技能，進一步提高學生的思維能力、運算能力、空間想象能力、解決實際問題的能力；結合數學教學進行思想教育，進一步培養學生的良好的個性品質、辯證唯物主義觀點和科學態度。解一元二次不等式需要通過討論一元二次方程的解的情況、畫出對應二次函數的示意圖、觀察函數圖象得出一元二次不等式的解集。因此，理解和掌握數形結合法求解一元二次不等式可以有效提高學前教育專業學生的數學思維能力、運算能力、空間想象能力和解決實際問題的能力。
1．2教學內容分析
教材是學生學習的重要載體，是教師教學的客觀依據。一元二次不等式及其解法這一部分內容編排在二次函數的圖象和性質之后，接下來是一元一次不等式組、絕對值不等式的解法，再是一元二次不等式的解法。本節內容教學重、難點：數形結合法解一元二次不等式。
為此，可以將求解一元二次不等式的相關內容歸納如下：1、將具體例子進行細化，分步進行：第一步，確定方程的根的情況；第二步，畫出對應二次函數的對應圖形；第三步，觀察圖形，結合二次函數的圖象的意義確定一元二次不等式的解集。2、數學的學習方法之一是數形結合，用此方法形象直觀，容易掌握，多給學生強調此方法，讓學生習慣于數形結合法解決數學問題，因此不要求學生記憶書上結論，避免學生死記硬背。3、舉例強化。
2深入了解學生
2．1學生的學習風格
學前教育專業學生是一個特殊的群體，男女比例嚴重失調，女生人數占絕大多數。她們的數學基礎差，學習意志薄弱，對數學不感興趣，學習數學感到吃力，她們認為數學是“豆芽學科”，在幼兒園中組織各項活動不會用到現在所學的數學；他們的“專業思想”狹隘，偏科現象十分嚴重。
我校周洪老師曾采用《所羅門學習風格自測問卷表》進行過問卷調查，通過對調查問卷的整理分析，發現學前教育專業學生的學習具有傾向性特征，她們的學習風格傾向于序列型學習者，習慣于按線性步驟理解問題，每一步都合乎邏輯地緊跟前一步，傾向于按部就班地尋找答案；序列型學習者能對主題的特殊方面知道許多，但聯系到同一主題的其他方面或不同的主題時，她們就表現得很困難，同時她們不喜歡抽象概念的學習，因此畏懼數學。同時，學前教育專業學生非常活躍，她們喜歡在集體討論中學習，所以，在數學教學中，需要對學生的學習方法進行指導，培養良好的數學學習習慣，用日常學習行為（記筆記、做作業、認真聽課）的變化去影響和改變她們對數學學科的認識；需要順應學生的數學學習風格，加強師生之間、同學之間的互動和交流，為學生創設和諧、寬松的數學教學情境。
2．2學生的知識儲備情況
用數形結合法解一元二次不等式需要用到確定一元二次方程的根的情況、畫出二次函數的大致圖象，因此，需要了解學生對以上知識的儲備情況。
雖然學前教育專業學生以女生為主，多數學生的初中數學底子薄、基礎差，但是一元二次方程是初中數學非常重要的內容之一，絕大多數同學都能夠利用判別式來判斷一元二次方程的根的情況并利用求根公式去求解。二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，當a＞0時，拋物線的開口向上，當a＞0時，拋物線的開口向下，學生對此了如指掌。但是，什么情況下拋物線與x軸有交點，有幾個交點，什么情況下拋物線與x軸無交點就不明白了。為了能夠解決這一問題，我們需要把一元二次方程的根的情況和二次函數的圖象與坐標軸的交點結合起來，二者相聯系即可達到目的。
3教學目標
教學目標是師生通過教學活動預期達到的結果或標準，是對學習者通過教學以后將能做什么的一種明確的、具體的表述，主要描述學習者通過學習后預期產生的行為變化。
本節內容的教學目標是理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系，掌握數形結合法解一元二次不等式；培養學生數形結合的能力和分類討論的思想，培養學生的抽象概括能力和邏輯思維能力；激發學生的學習熱情，培養學生勇于探索的精神、勇于創新的精神，同時領會事物之間普遍聯系的辯證思想。
4教學方法
教學方法是教師和學生為了實現共同的教學目標，完成共同的教學任務，在教學過程中運用的方式與手段的總稱。
教學時涉及到用語言傳遞信息、通過引導探究、分組討論尋求解答、以實際訓練解決問題等方法，故使用談話法、探究法、討論法、練習法，
5教學過程
教學過程，指教學活動的展開過程，是教師根據一定的社會要求和學生身心發展的特點，借助一定的教學條件，指導學生主要通過認識教學內容從而認識客觀世界，并在此基礎之上發展自身的過程，合理設計教學過程，有助于學生進行知識系統深化。此內容緊緊圍繞教師組織，學生探究，知識運用的順序開展教學活動。
5.1引入
