時間：2023-06-01 09:46:09
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇拋物線的基本知識點，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
高考題雖然一般不直接取材于課本，但所考查的知識大多來源于課本或間接地涉及課本例習(xí)題，或改變于歷年高考題、模擬試題。這就要求我們在平時的教學(xué)中要加強變式訓(xùn)練，變式訓(xùn)練是指變換問題的條件或外部特征，而不改變問題的本質(zhì)，變式訓(xùn)練必須要呈現(xiàn)概念的本質(zhì)和外延，突出問題的結(jié)構(gòu)特征，揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系，保持其本質(zhì)特征.
學(xué)生對知識點的掌握往往需要通過數(shù)量和強度這兩個指標，而變式訓(xùn)練時是強化聯(lián)絡(luò)強度的有效手段。在經(jīng)歷了嘗試探究過程之后所獲得的知識必須加以鞏固，拓展應(yīng)用，但并非簡單重復(fù)練習(xí)，要依賴變式處理，獲得新知。著名的數(shù)學(xué)家波利亞形象地指出“問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆生長，找到一個后，你應(yīng)當在周圍再找找，很有可能附近有好幾個”。有效的變式練習(xí)能達到舉一反三的效果，化解重復(fù)操作的弊端。作為教師，應(yīng)該潛心鉆研教材，整體把握教學(xué)方向，明確教學(xué)目標，不能單純?yōu)榻忸}而引申研究，加強內(nèi)容本質(zhì)，分析特點。訓(xùn)練的習(xí)題必須是精心設(shè)計的，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。使變式訓(xùn)練要達到想學(xué)生所“難”、研學(xué)生所“疑”，解學(xué)生所“困”的效果，必須先要加強對試題所包含的基本知識的理解，熟練把握知識點在形式上滿足的外在條件，挖掘知識點的本質(zhì)原理。
充分利用課本上的例題、習(xí)題，通過一題多變挖掘教材潛力，抓住題目的“蛛絲馬跡”進行變式訓(xùn)練.
例1，（蘇教版必修2第95頁探究.拓展21題）已知
M（-1，3），N（6，2），點P在x軸，且使PM+PN取最小值，求點P的坐標。
變式訓(xùn)練：
①點M（-1，-3），N（6，2），點P在x軸，求使PM+PN取最小值時點P的坐標。
②M（-1，-3），N（6，2），P在x軸，求使|PM-PN|取最大值時P的坐標。
③M（-1，3），N（6，2），P在x軸，求使|PM-PN|取最大值時P的坐標。
通過變換點的位置及式子的最值讓學(xué)生掌握三點共線原理：動點P在直線l上，若M、N在直線l的同側(cè)，則|PM-PN|≤MN，當且僅當M、N、P三點共線時，|PM-PN|取最大值，P即為l與MN的交點；若M與M′關(guān)于x軸對稱，則PM+PN=PM′+PN≥M′N，當且僅當M′、N、P三點共線時PM+PN取最小值，所求P即為直線l與M′N的交點；若M、N在直線l的異側(cè)，因PM+PN≥MN，則當且僅當M、N、P三點共線時，PM+PN取最小值，當M與M′關(guān)于x軸對稱，|PM-PN|=|PM′-PN|≤MN，當且僅當M′、N、P三點共線時，|PM-PN|取最大值。我們常利用三點共線原理可以解決一些與線段之和、線段差的，最值性的相關(guān)問題。
四邊形PABN的周長最小只需求PA+NB的最小值，P、N都為直線x=1的兩個動點，轉(zhuǎn)化為一動點到兩定點的距離的最小值。結(jié)合圖像，設(shè)D（3，0），則線段PD=NB，則PA+NB=PA+PB，符合三點共線原理，求出A關(guān)于直線x=1的對稱點A′，則直線x=1與BA′的交點即為周長取最小值時的點P的坐標，問題得以解決。
在新的情境問題中發(fā)現(xiàn)“熟悉的影子”，就會出現(xiàn)“復(fù)雜問題簡單化的效果”深刻認識試題中條件與結(jié)論的關(guān)系，從而化難為易，幫助學(xué)生走出困境，有意識地培養(yǎng)了知識遷移的能力。
⑦拋物線y2=8x，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，
A（2，3），求使PA+PF取最小值時點P的坐標。
⑧拋物線y2=8x，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，
A（2，5），求使PA+PF取最小值時點P的坐標。
【關(guān)鍵詞】差異性；發(fā)展性；個案分析；學(xué)生視角
學(xué)生是發(fā)展的，因此在數(shù)學(xué)解題中犯錯誤是正常的、反復(fù)的；學(xué)生是有差異的，因此所犯錯誤也是分層次、富有個性的、復(fù)雜的。
面對學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的形形的錯誤，我們廣大教師，首先要有寬闊的胸懷包容學(xué)生的錯誤；其次，把學(xué)生的錯解當作寶貴的教學(xué)資源，充分開發(fā)“錯誤”價值，挖掘錯誤中思維的閃光點、創(chuàng)新點，因勢利導(dǎo)；三是探究錯誤的成因，尋求糾錯的方法，內(nèi)化知識，完善認知結(jié)構(gòu)和基本的數(shù)學(xué)思想方法；四是滲透質(zhì)疑、選擇、反思的數(shù)學(xué)精神。
現(xiàn)以學(xué)校所在學(xué)區(qū)高二第一學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題第十八題為載體，探究新課程理念下如何進行錯題講評，談一點嘗試性的做法，望指正。
題目：已知拋物線 過點 引一條弦 ，使它恰在點P被平分，求弦 所在直線 的方程。
1、學(xué)生個案分析
以上圖片資料是從眾多考生的解答中挑選出來的。這些學(xué)生均來自普通中學(xué)，基礎(chǔ)中等，解法各異，概括起來有三種方法：即待定系數(shù)法，對應(yīng)學(xué)生1，記為S1；求點法，對應(yīng)學(xué)生S2、S3、S4；軌跡法，對應(yīng)學(xué)生S5。在他們試后反思的字里行間，我們可以觸摸到學(xué)生們解題時的心路歷程。
S1：讀完題，解題的基本思路就出來了，即聯(lián)立方程組，但在推出一元二次方程時，擔心運算錯誤，刻意推了兩遍，結(jié)果還是出了問題。
S2：把題目粗略地看了一遍，一心只想趕快解完這道題，…,于是想到一點寫一點，…解不下去了，…只好放棄。
S3：這道題我是最后做的，當時時間還寬裕，就按以前方法（焦點弦）做了，可算出來的結(jié)果（數(shù)字）很怪，覺得錯了?！?沒時間了，只好如此。
S4：想到點P為弦AB的中點，故設(shè)點A( )，B( )較為簡單。把A、B兩點坐標代人拋物線方程，列出并解方程組。但出現(xiàn)了無理根，意識到可能是方法出了問題。
S5：設(shè)A（ ），B（ ），用中點坐標加以代換，即A( )，因為A,B在拋物線上，將A、B點坐標代人得一個二元一次方程組，解得 ，并直接改寫為 。感覺解題不夠嚴謹，心里沒底。
可以看出，造成學(xué)生解題錯誤或半途而廢的因素除“雙基薄弱”外，缺乏自信、內(nèi)心焦慮、不良習(xí)慣等心理問題也是主要的原因。在學(xué)生糾錯中有一種現(xiàn)象，應(yīng)引起我們的關(guān)注，這就是大部分學(xué)生的改錯方法，是回避原解法且解法單一。一是對原解法沒有進行認真地分析，如正確的方面能不能調(diào)整思路繼續(xù)下去？造成錯誤的原因是什么，如何糾正？二是不能正視、面對自己解題的錯誤，選擇逃避的方式或人云亦云；三是教師的評價，特別是對錯解的評價，給學(xué)生解題思維、心理的影響是很大的。于是，全盤否定自己的解法，正確的部分，一些賦有創(chuàng)意的解法、思想也隨之化為烏有，實在可惜。
2、一點嘗試
以上分析，啟發(fā)我們，糾錯教學(xué)應(yīng)在學(xué)生現(xiàn)有知識、方法的基礎(chǔ)上，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為目標，從學(xué)生的視角看問題，思考、設(shè)計教學(xué)方案。正如奧蘇貝爾所說的那樣：“影響學(xué)生的唯一重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，作為教師要努力探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué)”，通過創(chuàng)設(shè)良好、和諧的教學(xué)情境，消除學(xué)生畏懼、依賴、焦慮、應(yīng)付等不良心態(tài)，讓不同層次學(xué)生都有機會體驗成功，增強自信。
點評：S1同學(xué)的方法應(yīng)用了三個基本知識點“直線方程”、“直線與曲線相交時方程聯(lián)立”、“根與系數(shù)的關(guān)系”，不失為一種好方法，在“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”問題中有廣泛的應(yīng)用。但要考慮直線斜率的存在性，否則將是解題的隱患。同時加強運算訓(xùn)練，確保二次方程的準確性。
點評：S2同學(xué)在點的設(shè)置上很有創(chuàng)意，一看就知道點A在拋物線 上，A、B關(guān)于點P對稱。快捷，直奔主題；簡約，只有一元。
S3：設(shè) ， ，則
點評：S3同學(xué)的方法設(shè)點也有特色，利用了拋物線上點橫、縱坐標間的關(guān)系，有效減少了參數(shù)的個數(shù)，方程（組）意識強。
T（補充2）：設(shè) ，
此法就是建立在學(xué)生設(shè)點的基礎(chǔ)上，圍繞關(guān)鍵因素“中點”展開，透過方程（組）的表象，抓住了“斜率”這個本質(zhì)，使問題更好地得以解決。
S4：設(shè) ，因為P（4，1）是AB的中點，所以 。將A、B坐標分別代入拋物線方程，
由直線方程兩點式 得（糾錯） 。
點評：除設(shè)點外，S4同學(xué)的解題思路緊扣“曲線與方程”概念，牢牢抓住點在曲線上的位置關(guān)系，建立方程組。
以上同學(xué)的做法的最后，都是解方程組，求A、B的坐標，但求解過程繁瑣，需要有扎實的運算能力和細致耐心。也需有“繁”而思“變”的思想，另辟溪徑。
S5（軌跡法）設(shè) ， ，
點A在拋物線上，
又點B在拋物線上， ，
，同理
可知，點A，B在直線 上，即 為所求直線方程。
點評：S5同學(xué)的方法，巧妙地避開了斜率的存在性問題，可稱為中點弦所在直線方程問題的最優(yōu)解之一，但對思維能力要求較高，也有一定的局限性，中點條件一旦改變?yōu)榉侵悬c，此法則會失去效能。其實這種方法可類比于兩圓公共弦所在直線方程的求解。
點評：此法也是中點弦問題的最優(yōu)解之一，兩式作差，建立弦的斜率與中點坐標間的關(guān)系，斜率問題迎刃而解。
推廣到圓錐曲線的一般情形：設(shè) 為弦的中點，則橢圓 中點弦所在直線方程為 ，
雙曲線 中點弦所在直線方程為 ，
拋物線 中點弦所在直線方程為 。
（3）變式練習(xí)，完善思維品質(zhì)
變式1，（2002年廣東，河南卷第20題）設(shè)A、B是雙曲線 上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點，（Ⅰ）求直線AB的方程；（Ⅱ）略（答案：
變式2 （2003年高考模擬題）直線 交橢圓 于M、N兩點，弦MN的中點為P，
若 （O為原點），則
(答案： )
上述教學(xué)在分析了學(xué)生已有能力和認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，突顯了學(xué)生解題時的創(chuàng)新思維，并以此為切入點，運用認知上的矛盾沖突，通過對問題的觀察分析、歸納數(shù)據(jù)、變式拓展，學(xué)生智慧的火花，在思維的碰撞中復(fù)燃。在“錯誤——反思——探究——拓展”的數(shù)學(xué)活動中，知識技能得到了鞏固，數(shù)學(xué)思想得以有效地滲透，思維品質(zhì)和思維能力得到優(yōu)化和發(fā)展。更為珍貴的是，學(xué)生在體驗探究知識的艱辛、獲得知識的快樂的同時，重拾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心!
參考文獻
[1] 李其閣 芻議高考數(shù)學(xué)試題的解答對策 試題研究 2003/上半年
[2] 游明波 郭紅霞 糾錯教學(xué)貴在引導(dǎo)學(xué)生反思 數(shù)學(xué)教學(xué)研究 2008.8
[3] 張 健 新課程理念下如何上好數(shù)學(xué)試卷講評課 數(shù)學(xué)教學(xué)研究 2008.10
一 、直接法“直搗黃龍”
有些選擇題是由計算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成的,這類題型可直接從題設(shè)的條件出發(fā),利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則,通過準確的運算、嚴謹?shù)耐评怼⒑侠淼尿炞C得出正確的結(jié)論,從而確定選擇支.普通選擇題我們都采用這種做法.
例1(2009杭州中考)已知點P(x,y)在函數(shù)y=■+■的圖象上,那么點P應(yīng)在平面直角坐標系中的().
A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
解析:由x≠0,-x≥0得函數(shù)y=■+■的自變量的取值范圍是x
又■>0,■>0,所以y>0,故P(x,y)在第二象限,選B.
二、篩選法“立竿見影”
根據(jù)數(shù)學(xué)選擇題的特點,一題只有唯一的正確答案,篩選法利用題設(shè)的條件或已有的概念、性質(zhì)和法則,淘汰選擇支中的干擾項,把不符合條件的選項逐一加以否定,最后剩下一個選項必是正確的.
例2(2009荊門)函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是().
解析:因為函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象必過(0,1),所以A是錯的;又當a0時,直線從左向右是上升的,拋物線開口向上,D是錯的;排除了A、B、D,所以C是正確的.
例3(2009漳州)矩形面積為4,它的長y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為().
解析:因為xy=4?圯y=■,所以y與x成反比例關(guān)系,故可排除選擇支A和D,又由題意知x>0,y>0,故圖象只能出現(xiàn)在第一象限,于是排除選擇支C,所以本題選B.
三、特值法“事半功倍”
有的選擇題,條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯,或題目本身很抽象,給解題帶來困難.此時把滿足題設(shè)條件的特殊值代入,就能得出正確答案,達到事半功倍之效.特殊值通常包括特殊數(shù)值、特殊位置、特殊圖形、特殊點、特殊函數(shù),常與篩選法結(jié)合使用.
例4(2009通州中考模擬)設(shè)x2+3x+c=(x+1)(x+2),則c的值為 ( ).
A. 2B. 3C. -2D. -3
解析:令x=0,則由x2+3x+c=(x+1)(x+2)得c=2,故選A.
例5(2009太倉中考模擬)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點
(-1,2),且與x軸的交點的橫坐標分別為x1,x2,其中-2
①4a-2b+c
其中正確的有().
A.1個B. 2個C.3個D.4個
解析:可根據(jù)條件取x1=-■,x2=■,則圖象與x軸的交點坐標為(-■,0),(■,0),又經(jīng)過點(-1,2),用待定系數(shù)法可得a=-■,b=-■,c=2,然后代入上述四個式子檢驗,結(jié)果都符合,則選D.
四、 定義法“返璞歸真”
有些選擇題,無須考慮技巧,只要運用相關(guān)的定義、概念、定理、公理等內(nèi)容,便可水到渠成.
例6(2009廈門)某種彩票的中獎機會是1%,下列說法正確的是().
A.買1張這種彩票一定不會中獎
B.買100張這種彩票一定會中獎
C.買1張這種彩票可能會中獎
D.買100張這種彩票一定有99張彩票不會中獎
解析:中獎機會即為中獎概率,概率表示隨機事件發(fā)生的可能性,理解概率的意義,不難作出選擇,答案為C.
例7(2009北京)某班派9名同學(xué)參加拔河比賽,他們的體重分別是(單位:千克):
67,59,61,59,63,57,70,59,65.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是().
A.59,63 B.59,61 C.59,59 D.57,61
解析:依據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義,便可快速選擇.答案為B.
五、驗證法“雙重保障”
有的選擇題,運用直接法較麻煩,運用篩選法也有困難,但如果將選擇支中給出的答案,代入題干逐一檢驗,可以簡潔地確定正確答案.驗證法就類似于解方程中的驗根.
例8(2009淄博)如果×(-■)=1,則“”內(nèi)應(yīng)填的實數(shù)是().
A.■B.■C.-■ D.-■
解析:將四個選擇支逐一驗證,便可發(fā)現(xiàn)選擇支D正確,故選D.
例9(2009漳州)分式方程■=■的解是().
A.1B.-1C.■D.-■
解析:將四個備選答案中的值代入分式方程,檢驗左邊是否等于右邊,很快得出答案A,可以省去不少時間.
六、圖象法“以形助數(shù)”
圖象法,即數(shù)形結(jié)合法.求解這一類題需借助圖象或圖形,再經(jīng)過推理判斷或必要的計算而得出正確的答案.
例10(2009荊門)若不等式組x+a≥0,1-2x>x-2有解,則a的取值范圍是().
A.a>-1B.a≥-1C.a≤1D.a
解析:由x+a≥0,1-2x>x-2得x≥-a,x
例11(2009臺州)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表:
則下列判斷中正確的是().
A.拋物線開口向上B.拋物線與y軸交于負半軸
C.當x=4時,y>0D.方程ax2+bx+c=0的正根在3與4之間
解析:根據(jù)數(shù)值對應(yīng)表知,該拋物線的對稱軸是x=■,再利用描點法作出該拋物線的大致圖象,便可發(fā)現(xiàn)它的開口向下,與y軸交于點(0,1),且過點(4,
-3),于是A、B、C都不滿足,故選D.
七、估值法“快速得解”
由于選擇題提供了唯一正確的選擇支,解答又無需過程,因此可以由猜測、推理、估算而獲得正解.這樣往往可以減少運算量.
例12(2009義烏)在中華經(jīng)典美文閱讀中,小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm,則它的寬約為().
A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cmD.7.64cm
解析:本題只要記住黃金分割比大約為0.6,便可估算出答案.由于20×0.6
=12(cm),故本書的寬應(yīng)接近12cm,而選擇支A最接近12,故選A.
例13(2009蘇州中考模擬)方程■-■=1的解為().
A. x=1 B. x=3 C. x=4 D. 無解
解析:本題不需直接求解,利用估算法很快得出結(jié)果.從A、B、C三個備選答案,可知■-■的差不可能為1,應(yīng)選D.
八、綜合法“全面出擊”
稍復(fù)雜的選擇題需要綜合運用前面介紹的幾種方法和其他方法來解決.
例14(2009杭州)a,b是兩個不相等的正數(shù),且滿足a+b=2,ab=t-1,設(shè)S=(a-b)2,則S關(guān)于t的函數(shù)圖象是().
A.射線(不含端點)B.線段(不含端點)
C.直線D.拋物線的一部分
解析:先利用直接法算出S關(guān)于t的函數(shù)解析式:
S=(a-b)2=(a+b)2-4ab,又a+b=2,ab=t-1,
S=4-4(t-1)=-4t+8,是一次函數(shù)形式,故采用篩選法排除選擇支D.
再利用估算法考察t的取值范圍:
因為a,b是兩個不相等的正數(shù),且滿足a+b=2,
心理學(xué)研究表明，數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練從宏觀上分為3個階段，即定向階段、小步訓(xùn)練階段、整體合成階段.為此本文擬以中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)為主線，結(jié)合2008年部分省市中考數(shù)學(xué)試題，談?wù)劰P者的一些建議.
1 高度重視基礎(chǔ)，做到融會貫通(第一階段)
第一輪復(fù)習(xí)，著重圍繞基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能展開訓(xùn)練.因為只有把基礎(chǔ)知識學(xué)得扎實，基本方法、基本技能運用嫻熟，才能為知識的深化、能力的提高創(chuàng)造條件，為后面第二、第三輪的復(fù)習(xí)增加“后勁” .
1.1 重視數(shù)學(xué)概念，夯實基礎(chǔ)知識
多年來的中考命題，基礎(chǔ)知識部分的試題要占到70%以上，有不少試題(包括壓軸題)在課本上可以找到原型，因此有必要集中精力把課本中的典型習(xí)題、例題認認真真地“過一遍”，并進行歸納分析.第一輪復(fù)習(xí)可以課本的知識體系為順序，系統(tǒng)地復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識包括基本概念、公式、定理等.例如，數(shù)學(xué)中的概念必須要弄清楚它的意義，在應(yīng)用中加深理解.每個章節(jié)內(nèi)容復(fù)習(xí)前，先讓學(xué)生自己去整理有關(guān)知識點，對于容易混淆的概念，要引導(dǎo)學(xué)生運用對比的方法，弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系.中考數(shù)學(xué)試卷歷來注重對基本概念的考查，而學(xué)生往往不重視基本概念，這一點必須引起足夠的重視.
例1 (北京市中考題)若兩圓的半徑分別是1cm和5cm，圓心距為6cm，則這兩圓的位置關(guān)系是( )
A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離
簡析 本例主要考查兩圓位置關(guān)系及其判定方法，屬于基礎(chǔ)內(nèi)容.
數(shù)學(xué)概念的掌握直接影響到數(shù)學(xué)公式、法則、定理的應(yīng)用.復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)規(guī)律.對于數(shù)學(xué)中的定理、公式和重要結(jié)論，應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生搞清楚它們的來源，分清它們的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過程，了解它們的用途和適用范圍，以及應(yīng)用時必須注意的問題.
例2 (山西省中考題)有一圓心角為120°、半徑長為6cm的扇形，若將扇形圍成一圓錐側(cè)面，那么圓錐的高是( )
A.42cm B.35cm C.26cm D.23cm
簡析 本例只要搞清楚圓錐與其展開圖的對應(yīng)關(guān)系，利用勾股定理即可解決.注意：圓錐的母線是其側(cè)面展開圖的半徑、底面周長是其展開圖扇形的弧長.
1.2 重視基本方法，體會數(shù)學(xué)思想
中考數(shù)學(xué)命題除了考查基礎(chǔ)知識以外，還十分重視數(shù)學(xué)方法的考查.常用的數(shù)學(xué)方法有：配方法、換元法；分析法、綜合法；面積法、構(gòu)造法；待定系數(shù)法、消元降次法、判別式法等等.例如，明確了函數(shù)兩個變量之間的關(guān)系，要求寫出函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法.在復(fù)習(xí)時，對每一種數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，它所適用的題型，包括解題步驟都應(yīng)該熟練掌握.
例3 (南通市中考題)已知點A(-2，-c)向右平移8個單位得到點A′，A與A′兩點均在拋物線y=ax2+bx+c上，且這條拋物線與y軸的交點的縱坐標為-6，求這條拋物線的頂點坐標.
簡析 本例解答時主要應(yīng)用待定系數(shù)法和配方法.首先由題意容易得出c=-6，知道A(-2， 6)，于是A′(6， 6)，用待定系數(shù)法列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值，再用配方法或拋物線的頂點坐標公式求出結(jié)果.
其次應(yīng)重視對數(shù)學(xué)思想的理解和運用.在初中數(shù)學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)思想有：轉(zhuǎn)化(劃歸)思想、方程思想、函數(shù)思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等等.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它揭示了數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)多種能力的橋梁.在復(fù)習(xí)中不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，有助于增強分析問題的能力，從而使思維品質(zhì)和能力得到提高.
2 注重專題復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)(第二階段)
第一輪按照知識體系進行的復(fù)習(xí)通常稱為橫向復(fù)習(xí)，它可以使所學(xué)的知識具有系統(tǒng)化、條理化.第二輪按照知識體系構(gòu)建知識模塊進行的復(fù)習(xí)稱為縱向復(fù)習(xí)，主要著眼于解題的思路、規(guī)律及技巧方面總結(jié)解題經(jīng)驗.通過橫向復(fù)習(xí)和縱向復(fù)習(xí)，再經(jīng)過數(shù)學(xué)思想方法的“梳理”，將知識點、知識塊編織成網(wǎng)絡(luò).
2.1 尋求“通性通法”，積累解題經(jīng)驗
在初中數(shù)學(xué)中，將某些具有共同屬性、聯(lián)系密切的重點內(nèi)容組成知識塊就形成了數(shù)學(xué)專題.專題復(fù)習(xí)一般分為： ⑴情景應(yīng)用型問題；⑵開放探索型問題；⑶閱讀理解型問題；⑷圖表信息型問題；⑸操作設(shè)計型問題；⑹數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用問題等等.與上述專題相對應(yīng)的 “探索性試題”、“閱讀理解題”、“方案設(shè)計題”、“動手操作題”等成為近幾年中考的熱點題型，這些試題大部分來源于課本，有的對知識性要求不高，但題型新穎，背景復(fù)雜，文字冗長，不易梳理，所以應(yīng)重視這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，以便熟悉、適應(yīng)這類題型.如圖象信息題是通過圖象(圖表)來獲取信息，從而達到解題目的的題型.解圖象信息題的關(guān)鍵是“識圖”和“用圖”，首先讓學(xué)生仔細觀察圖表獲取有效信息，其次對已獲取的信息進行加工整理，理清變量之間的關(guān)系，最后選擇適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，通過建立數(shù)學(xué)模型解決問題.
例4 (徐州市中考題)為緩解油價上漲給出租車行業(yè)帶來的成本壓力，某市自2007年11月17日起，調(diào)整出租車運價，調(diào)整方案見下列表格及圖像(其中a，b，c為常數(shù))
行駛路程收費標準調(diào)價前調(diào)價后不超過3km的部分起步價6元起步價a 元超過3km不超出6km的部分超出6km的部分每公里 2.1元每公里b元每公里c元 圖1設(shè)行駛路程xkm時，調(diào)價前的運價y1(元)，調(diào)價后的運價為y2(元).如圖1. 折線ABCD表示y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式，線段EF表示當0≤x≤3時，y1與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖表信息，完成下列各題：
①填空：a=，b=，c=.
②寫出當x>3時，y1與x的關(guān)系，并在圖1中畫出該函數(shù)的圖象.
③函數(shù)y1與y2的圖象是否存在交點?若存在，求出交點的坐標，并說明該點的實際意義，若不存在請說明理由.
簡析 通過理解表格與圖像的對應(yīng)關(guān)系，①容易知道a=7，由于C點的坐標為(6，11.2)，于是b=11.2-76-3=1.4； 而D的坐標為(7，13.3)，因此c=13.3-11.23-2=2.1； ②y1與x的關(guān)系式y(tǒng)1=6+2.1(x-3)，即y1=2.1x-0.3，圖象易作，略；③通過作圖或解方程組，可以求得交點坐標為(317，9)，其意義為：當x=317時，調(diào)價前后運價不變；當x317時方案調(diào)價后運價低.
點評 本例是典型的圖表信息題. 理解題意至關(guān)重要，要注意行駛路程超過3km或6km時，費用應(yīng)該分段計算.
在進行專題復(fù)習(xí)時，教師應(yīng)該在剖析典型例題上下功夫，使學(xué)生能夠掌握這些專題的一般解法，即掌握“通性通法”；比如講操作設(shè)計型問題中的翻折問題，對于學(xué)生來說一直是個難點，但解決這一問題的關(guān)鍵就是折疊后找到邊與邊、角與角之間的等量關(guān)系，從而找出或構(gòu)造直角三角形，利用邊角關(guān)系或勾股定理解決.
圖2例5 (吉林省中考題)如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折疊后，點C落在AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H，∠BPE=30°.
(1)求BE、QF的長；
(2)求四邊形PEFH的面積.
簡析 (1)設(shè)BE=x，則EC=PE=6-x.又在RtPBE中，∠BPE=30°，PB=3x，PE=2BE，求出x=2，即BE=2，或由勾股定理得到x2+(3x)2=(6-x)2，求出BE；求QF時，在RtAPH中，AP=3，∠APH=60°，求得PH=23，再用CD=PQ求出HQ=3，再用邊角關(guān)系不難求出QF=1；也可以過F作FMBC，容易知道∠FEC=60°，先求EM即知BM，再求CM從而得到FD，即可得QF.
(2)四邊形PEFH的面積可以轉(zhuǎn)化為梯形FDCE的面積減去HQF的面積；也可以用梯形BEFA面積減去APH與PBE的面積.
對于專題復(fù)習(xí)的內(nèi)容，要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，注重思維的廣闊性.努力尋求不同的解題途徑，積極探索一題多解、一題多變和一題多用.要特別重視“典型例習(xí)題”的引領(lǐng)作用，練習(xí)題的選擇要與例題“密切相關(guān)”，以提高練習(xí)的效能.通過對好的典型試卷縱向測驗練習(xí)，橫向組建題組的方法，加深對知識的理解和能力的培養(yǎng)，避免盲目的機械操練，真正提高復(fù)習(xí)的效率.類比與化歸是認識數(shù)學(xué)知識點之間聯(lián)系最主要的思維方法，而典型題組的分析、歸納和總結(jié)是建立這種聯(lián)系的有效途徑.
對于一些解題經(jīng)驗和思維的方式方法要引導(dǎo)學(xué)生認真總結(jié).如：通過復(fù)習(xí)可以把幾何中證明兩個角相等方法歸納如下：(1)計算兩個角的度數(shù)；(2)說明兩角是同角(等角)的余角或補角；(3)應(yīng)用平行線的性質(zhì)定理；(4)應(yīng)用等邊對等角或三線合一定理；(5)構(gòu)造全等(相似)三角形，證明三角形全等(相似)；(6)應(yīng)用同圓或等圓中弧、弦、圓心角、弦心距關(guān)系定理.等等.
2.2 綜合運用知識，提升各種能力
初中數(shù)學(xué)基本能力有運算能力、思維能力、空間想像能力以及在生活實踐中的應(yīng)用能力等等.中考對數(shù)學(xué)能力的考查，大致分為兩個方面：一是考查運算能力和邏輯思維能力及解決純數(shù)學(xué)問題的能力；二是強調(diào)閱讀能力、創(chuàng)新探索能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.復(fù)習(xí)時要求學(xué)生加深理解已形成的知識網(wǎng)絡(luò)，做到觸類旁通.做題時應(yīng)加強能力訓(xùn)練，明確解題思路，提高綜合運用數(shù)學(xué)知識解題的能力，為解決綜合題提供“能力”支持.
2.3 突重點化難點，集中攻關(guān)“大題”
突出重點主要是指突出教材中的重點知識，突出不易理解或尚未理解深透的知識，突出數(shù)學(xué)思想與解題方法.多年來，初中數(shù)學(xué)的“方程”、“函數(shù)”、“直線型與圓”一直是中考的“核心內(nèi)容”.對重點內(nèi)容進行重點復(fù)習(xí)，在列出主要內(nèi)容后，圍繞主要內(nèi)容有針對性地選題、做題，收集主要題型和技巧解法.值得注意的是，教師在培養(yǎng)學(xué)生解題思考的能力時，還要講究設(shè)問藝術(shù)： ①多在思考的轉(zhuǎn)折點上設(shè)問；②在理解的疑難處設(shè)問； ③在規(guī)律的概括時設(shè)問； ④從舊知引入新知時設(shè)問； ⑤在有比較、有聯(lián)系時設(shè)問；⑥在學(xué)生練習(xí)時，發(fā)現(xiàn)帶有普遍性錯誤的問題設(shè)問.這樣，學(xué)生就會提高很快.
要想在中考中取得好成績，綜合題的解答最為關(guān)鍵，中考的區(qū)分層次和選拔使命主要靠這類題型來完成預(yù)設(shè)目標.綜合題是中考數(shù)學(xué)試題的精華部分，具有知識容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等特點.目前的中考綜合題已經(jīng)由單純的知識疊加型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力綜合型，尤其是創(chuàng)新能力型試題為主，因此綜合題的訓(xùn)練要到位.這類題目信息量較大，所以理解題意很關(guān)鍵.平時在訓(xùn)練中讓學(xué)生讀題后能復(fù)述，用自己的理解來搜集信息中的重要部分或把一些模糊的信息明了化，將題目分層以降低難點，讓學(xué)生聯(lián)想到相關(guān)的知識點，同組學(xué)生之間分析討論解題思路、提出注意事項，使學(xué)生在心里上消除對綜合題的恐懼，在合作的學(xué)習(xí)中集思廣益提高剖析綜合題的能力.
例6 (重慶市中考題)已知：如圖3，拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0，4)，與x軸交于點A、B，點A的坐標為(4，0).
(1)求該拋物線的解析式；
(2)點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連結(jié)CQ.當CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
(3)若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為(2，0).問：是否存在這樣的直線l，使得ODF是等腰三角形?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
圖3 圖4簡析 (1)用待定系數(shù)法容易求解；
(2)一旦點Q固定，CQE位置就可確定.利用解決面積的一般方法，將CQE的面積轉(zhuǎn)化為BCQ的面積與BEQ的面積之差，因此可設(shè)點Q坐標為(m，0)，過點E作EGx軸于G點，如圖4所示.由拋物線解析式求得B(-2，0)，因QE∥AC，所以BQE∽BAC，于是EG∶CO=BQ∶BA ，EG=2m+43；所以SCQE=SCBQ-SEBQ=-13(m-1)2+3，從而易知：當m=1時，CQE的面積有最大值3；
(3)首先作出符合題意的草圖，若ODF為等腰三角形，有3種可能性：
①若DO=DF，由于D是AO的中點，故OFA為直角三角形，又容易知道∠OAC=45°，從而FDOA，點F的縱坐標為2，即點P的縱坐標為2，于是用拋物線解析式可求點P的坐標為：P(1+5，2)或P(1-5，2).
②若FO=FD，作FMx軸于點M，由等腰三角形三線合一定理得，OM=1，從而MA=MF=3，知道點F的縱坐標為3，仿①同樣可求P點的坐標為：P(1+3，3)或P(1-3，3).
③若OD=OF，因OA=OC=2，COA為等腰直角三角形，可求O到AC邊的距離為22，故OF =OD=2是不可能的.
點評 本例第(1)問著重考查基本的數(shù)學(xué)方法；第(2)問通過面積設(shè)計問題，考查一元二次方程、相似三角形的有關(guān)知識及化歸的數(shù)學(xué)思想；第(3)問屬于探索性問題，以尋求等腰三角形為情境，綜合考查了學(xué)生的作圖能力、觀察問題和分析問題能力、計算能力以及分類的思想方法，其中“COA為等腰直角三角形”作為隱性條件“藏”在題目中，對于解題十分重要，要求考生具有縝密的思維和較強的洞察力，是一道典型的中考壓軸題.
需要強調(diào)的是對不同層次的同學(xué)，攻關(guān)大題的要求是不一樣的，第一層次的同學(xué)力爭通過一段時間訓(xùn)練后，能夠自主破解綜合題；第二層次的同學(xué)爭取從整體上把握解題思路，在前面的幾問上得到相應(yīng)的分數(shù)；而第三層次的同學(xué)爭取解答一到二問即可.這也是體現(xiàn)課標“不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展”的理念.
3 查漏補缺提高，模擬中考練兵(第三階段)
要取得好的成績，模擬訓(xùn)練是必不可少的.但過多的訓(xùn)練容易使學(xué)生產(chǎn)生疲勞，甚至產(chǎn)生厭學(xué)情緒，前兩輪復(fù)習(xí)檢測應(yīng)以基本知識和專題訓(xùn)練為主，而模擬訓(xùn)練要仿照中考進行.平時基本功的訓(xùn)練力求到位，過好審題關(guān)、計算關(guān)和表達關(guān).建議每天進行“一刻鐘小題強化訓(xùn)練”，主要是考查基礎(chǔ)知識的選擇題、填空題，并自我評估，做好“病例筆記”及時彌補知識上的漏洞和能力上的不足.做到“小題大做”只要自己會做的題目就不要做錯，確保成功率.對于綜合題要做到“大題小做”，做到會把大題分解成若干小題，步步為營，各個擊破，決不放棄.
3.1 認真參加聯(lián)考
認真參加每一次縣市區(qū)或?qū)W校組織的考試.考前要做好充分準備，考完之后要認真分析考試情況，及時制定下一階段的復(fù)習(xí)重點.通過聯(lián)考可以了解兄弟學(xué)校的學(xué)習(xí)情況，取長補短，正確評價復(fù)習(xí)成效.
3.2 主動查漏補缺
對于訓(xùn)練中暴露出來的問題，認真分析，及時調(diào)整復(fù)習(xí)的深度、廣度.告誡學(xué)生要針對自己的“薄弱環(huán)節(jié)”進行有效的訓(xùn)練，集中精力“攻關(guān)”，不要總是“被老師牽著鼻子走”，這樣才能事半功倍.對考得好的學(xué)生，要加以表揚，增強學(xué)生的自信心，“鼓勁”；對成績下降的學(xué)生，要鼓勵他們不要“松勁”，要發(fā)揚“咬定青山不放松”的精神，只要努力中考時會取得好成績.因此，每次用于模擬的試題不宜太難，難度應(yīng)略低于或接近中考.特別在初三最后的幾次月考中，試卷盡可能“淺而活”，與生活結(jié)合，滲透所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，貫穿中考命題改革的思路.
3.3 注重錯誤分析
在總復(fù)習(xí)中，學(xué)生在解題時出現(xiàn)錯誤是不可避免的，錯誤從一個特定角度揭示了學(xué)生掌握知識的過程，教師針對錯誤進行系統(tǒng)分析是重要的，這樣可以發(fā)現(xiàn)復(fù)習(xí)中的不足，采取措施進行補救.學(xué)生的錯誤一般表現(xiàn)在以下幾方面：
(1)題意解讀能力差.一部分學(xué)生對公式、概念、命題或法則的理解浮于表面，具有套用公式的能力，但不了解知識的發(fā)生過程，不了解這些知識在解題中的作用，經(jīng)常出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象.一旦出現(xiàn)篇幅較長的問題，便無從下手.
(2)運算能力比較差.有些學(xué)生會做題，但是計算部分常常拿不到分.一是本身對計算沒有引起足夠重視，二是解題粗心大意.
(3)學(xué)習(xí)行為習(xí)慣差.對于需要語言表達的內(nèi)容往往一帶而過，缺少必要的推理論證過程；少做、漏做，書寫作圖不符合規(guī)范、不注意細節(jié)，導(dǎo)致不應(yīng)有的失分，比如分式方程不檢驗、應(yīng)用題不答；幾何作圖能力欠缺，以致于無法理解題意，證明部分需要的關(guān)鍵結(jié)論出現(xiàn)“思維鏈斷裂”，因而缺乏論證，等等.
(4)無法破解綜合題.懼怕綜合題，碰到綜合性的題目就不做，不能理清題設(shè)之間的相互聯(lián)系，即使是較為簡單的前兩問也不知道解答.
(5)答題技巧的缺失.對于一時解答有困難的題，不知道“放一放”，無故耽誤了不少時間；對于解答計算過程比較繁雜的題，要一步一檢驗，不要到最后再檢驗，否則一旦出現(xiàn)差錯，花的時間就多了；距離考試結(jié)束不到一刻鐘的時間，除非有把握做的題，一般應(yīng)以檢查為主，想不起來的題最好不要再做了.
針對上述種種情況，在復(fù)習(xí)過程中，一方面讓學(xué)生糾錯，教師總結(jié)錯誤原因，使學(xué)生領(lǐng)略解決問題中的探索、調(diào)試過程，掌握必要的考試答題技巧；其次，要重視提問這一重要復(fù)習(xí)手段，對于學(xué)生錯誤的回答，進行針對性的講解，利用反面知識鞏固正面知識.最后，抓住典型加以評述.事實證明：練是實踐，批是反饋，評是升華，只講不評，練習(xí)往往走過場.怎樣提高講評的效果呢?(1)對解錯題目的評講，分析錯在哪里?為什么會錯?怎樣改變條件和問題，使錯誤的答案變成正確的答案.(2)對正確解題的評講，要分析解題要點是什么?還有沒有別的解法等.(3)對數(shù)學(xué)作業(yè)、練習(xí)卷的要求：第一步找到答案，第二步對答案進行檢驗，第三步是否有別的方法求解?精做細想，扎扎實實的提高解題基本功.
4 深入研讀考綱，導(dǎo)航中考復(fù)習(xí)
當前中考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想是： “狠抓基礎(chǔ)，注重過程，滲透思想，突出能力，強調(diào)應(yīng)用，著重創(chuàng)新”.中考數(shù)學(xué)命題努力體現(xiàn)課程標準，注重考查基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)信息能力的獲取以及學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，特別是創(chuàng)新能力的考查，突出數(shù)學(xué)方法的理解和運用.
隨著課改的深入，《課程標準》會作一定幅度的調(diào)整，命題時也會有所體現(xiàn).教師有必要對本地區(qū)當年的《中考數(shù)學(xué)考試說明》進行深入細致的研究，對其中的考試性質(zhì)、形式及試卷的結(jié)構(gòu)、考試內(nèi)容及要求都要進行逐字逐句的分析，通過與以往的對比，從中發(fā)現(xiàn)中考數(shù)學(xué)命題凸顯的地方特色，具體到某個知識點難度的要求、壓軸題和綜合題的題型、分值多少等等.認真學(xué)習(xí)、理解中考命題的原則，從整體上把握中考命題的范圍和內(nèi)容，對于把握中考復(fù)習(xí)是很重要的.
1. 有關(guān)圓錐曲線的選擇題、填空題仍將注重對圓錐曲線的定義、標準方程、焦點坐標、準線方程、離心率、漸近線等的考查，以容易題為主.
2. 作為解答題考查時，通常為一道解析幾何綜合題，重點考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求曲線的軌跡方程，關(guān)于圓錐曲線的定值、最值問題，求圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問題等.
3. 熱點問題是用待定系數(shù)法求曲線方程、動點的軌跡及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等.
4. 特別提醒注意在知識交匯點命題，可能是一道以平面向量為載體的綜合題或以平面幾何圖形為背景，構(gòu)建軌跡方程的探索性問題，著重考查數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.
二、題型解析
1. 直線與圓錐曲線的公共點問題.
利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.
例1. 在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點（0，）且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與垂直？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.
分析：用代數(shù)方法即先聯(lián)立方程組，再消去x（或y），得到關(guān)于y（或x）的方程來解決.
解析：（1）由已知條件，直線l的方程為y=kx+，代入橢圓方程得+（kx+）2=1，整理得（+k2）x2+2kx+1=0……①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2-4（+k2）=4k2-2>0，
解得k， 即k的取值范圍為（-∞，-）∪（，+∞）.
（2）由題意知A（，0），B（0，1），則=（-，1）.
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則+=（x1+x2，y1+y2）.
由方程①，得x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2=-+2.
（+），
（x1+x2）·（-）+y1+y2=0，即 -·（-）-+2=0.
解得：k=-，由（1）知k2>，與此相矛盾，所以不存在常數(shù)k使+與.
點評：在討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時，先聯(lián)立方程組，再消去x（或y），得到關(guān)于y（或x）的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形.
2. 弦長與最值問題.
一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），則弦長AB=·x2-x1==·y2-y1=.
例2. 已知拋物線y2=2px（p>0），過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.
（1）求a的取值范圍.
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值.
分析：（1）由題意知，只需聯(lián)列方程組，化為關(guān)于x的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式即可得出；（2）利用點到直線的距離公式求出NAB底邊AB上的高.
解析：（1）設(shè)直線l的方程為：y=x-a，代入拋物線方程得（x-a）2=2px，即x2-2（a+p）x+a2=0，
|AB|=·≤2p，4ap+2p2≤p2，即4ap≤-p2.
又p>0，a≤-.
（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中點 C（x，y），由（1）知，y1=x1-a，y2=x2-a，x1+x2=2a+2p，
則有x==a+p，y===p.
線段AB的垂直平分線的方程為y-p=-（x-a-p），從而N點坐標為（a+2p，0） 點N到AB的距離為=p.
從而SNAB=···p=
2p.
當a有最大值-時，S有最大值為p2.
點評：凡弦長問題，都要注意一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式AB=·x2-x1=的應(yīng)用.
3. 中點弦問題.
處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題時，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，常用代點相減法，即
設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）為橢圓+=1（a>b>0）上不同的兩點，M（x0，y0）是AB的中點，則KABKOM=-；對于雙曲線-=1（a>0，b>0），類似可得：KAB·KOM=；對于y2=2px（p≠0）拋物線有KAB=.
例3. 已知雙曲線C：2x2-y2=2與點P（1，2）
（1）求過P（1，2）點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點的弦是否存在.
分析：涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.
解析：（1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得
（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0 （A）
（?。┊?-k2=0，即k=±時，方程（A）有一個根，l與C有一個交點.
（ⅱ）當2-k2≠0，即k≠±時，Δ=[2（k2-2k）]2-4（2-k2）（-k2+4k-6）=16（3-2k）.
①當Δ=0，即3-2k=0，k=時，方程（A）有一個實根，l與C有一個交點.
②當Δ>0，即k
③當Δ時，方程（A）無解，l與C無交點.
綜上知：當k=±，或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當
（2）假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），則2x2
1-y2
1=2，2x2
2-y2
2=2兩式相減得：2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）.
又x1+x2=2，y1+y2=2，2（x1-x2）=y1-y2 ，即kAB==2.
則直線AB的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.
聯(lián)立方程組2x2-y2=2，
2x-y-1=0，消y得2x2-4x+3=0.
=（-4）2-4·2·3=-8
點評：嚴格地講，求出的這個直線方程只是滿足了必要性，因為是我們假定以Q為中點的弦存在，因此還必須驗證充分性，即所求直線確實與雙曲線有兩個交點. 為此只要將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消y（或x），得Δ>0就可斷言充分性成立. 事實上，從（-4）2-4·2·3=-8
4. 最值問題.
對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.
例4. 如圖，已知橢圓+y2=1（a>1），直線l過點A（-a，0）和點B（a，ta）（t>0）交橢圓于M，直線MO交橢圓于N.
（1）用a，t表示AMN的面積S；
（2）若t∈[1，2]，a為定值，求S的最大值.
分析：由于M點和N點到x軸的距離相等，因此，要求AMN的面積，只須求出AOM的面積即可.
解析：（1）易得l的方程為y=（x+a），代入橢圓方程得（a2t2+4）y2-4aty=0，
yM=，S=2SAOM =2·|OA|·yM=.
（2）由（1）得S=≤=a. 當a2t=，即t=時等號成立.
當∈[1，2]時，即a∈[1，2]時，Smax=a.
當a>2時，設(shè)u=a2t+，即u′=a2-.
t∈[1，2]，u′>0，u在t∈[1，2]上單調(diào)遞增，
S在[1，2]上單調(diào)遞減，t=1時，Smax=.
綜上，Smax=a，（1≤a≤2）
.（a>2）
點評：在求最值問題時，不要簡單的運用基本不等式，要注意基本不等式必須滿足的條件，本題中一定要考慮是否屬于區(qū)間[1，2]，否則就會出錯.
5. 對稱問題.
利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質(zhì)來求解或證明：設(shè)點P（x1，y1），Q（x2，y2）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）對稱，則有=且A·+B·+C=0.
例5. 在拋物線y2=2x-4上存在兩點關(guān)于直線l：y=m（x-4）對稱，求m的取值范圍.
分析：本題是典型的軸對稱求m的取值范圍的問題，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減
得關(guān)于直線AB斜率的等式.
解析：（1）若m=0，則直線l為y=0，顯然拋物線上存在兩點關(guān)于直線l對稱.
（2）若m≠0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線上關(guān)于l對稱的兩點，則x1≠x2，y1≠y2.
且KAB=-，y2
1=2x1-4，y2
2=2x2-4.
以上兩式相減，得y2
1-y2
2=2（x1-x2）.
即==-，
y1+y2=-2m.
由線段AB的中點P在直線l上，
=m（-4），
=3，即P（3，-m）.
點P（3，-m）在拋物線內(nèi)部，
（-m）2
點評：本題利用點P（x0，y0）在拋物線“內(nèi)部”建立不等式求取值范圍.含有焦點的區(qū)域為圓錐曲線的內(nèi)部，那么易得點P（x0，y0）在橢圓+=1內(nèi)部的充要條件是+
6. 軌跡問題.
根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征. 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法.
例6. 如圖，M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB.
（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；
（2）若M為動點，且∠EMF=90°，求EMF的重心G的軌跡.
分析：（1）由直線MF（或ME）方程與拋物線方程組成的方程組解出點F和點E的坐標，利用斜率公式來證明；（2）用M點的坐標將E、F點的坐標表示出來，進而表示出G點坐標，消去y0即得到G的軌跡方程（參數(shù)法）.
解析：（1）設(shè)M（y2
0，y0），直線ME的斜率為k（l>0）則直線MF的斜率為-k，方程為y-y0=k（x-y2
0）.
由y-y0=k（x-y2
0），
y2=x，消x得ky2-y+y0（1-ky0）=0，解得yF=，xF=.
kEF====-（定值），所以直線EF的斜率為定值.
（2）當∠EMF=90°時，∠MAB=45°，所以k=1，直線ME的方程為y-y0=k（x-y2
0）由y-y0=x-y2
0，
y2=x， 得E（（1-y0）2，1-y0）.
同理可得F（（1+y0）2，-（1+y0））.
設(shè)重心G（x， y），則有：
x=
==，
x=
=
=-
，消去參數(shù)y0得y2=x-（x>）.
所以，重心G的軌跡是焦點為F（，0），頂點為A（，0）的拋物線，但要除去頂點為A（，0）.
點評：（1）要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點的坐標的取值范圍.由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應(yīng)對方程注明x的取值范圍，或同時注明x，y的取值范圍.
（2）“軌跡”與“軌跡方程”既有區(qū)別又有聯(lián)系，求“軌跡”時首先要求出“軌跡方程”，然后再說明方程的軌跡圖形，最后“補漏”和“去掉增多”的點，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性.
7. 過定點問題.
例7. 已知橢圓+=1（a>b>0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，且OAOB（O為坐標原點）.
（1）試問該橢圓是否過定點？
（2）若橢圓長軸長的取值范圍是[，]，求橢圓離心率e的取值范圍.
分析：（1）由題意OAOB知，只需聯(lián)列方程組，化為關(guān)于x或y的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；（2）注意公式b2=a2-c2和e=的應(yīng)用是關(guān)鍵.
解析：（1）將x-y-1=0代入橢圓方程整理得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.
設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，而y1y2=（1-x1）（1-x2），
y1y2=. 又OAOB，x1x2+y1y2=0.
+=0， +=1. ①
該橢圓過定點（±，±）.
（2）將b2=a2-c2代入①得2-e2=2a2（1-e2）， 2a2= ，而2a∈[，]，
≤≤3. 即≤e2≤時.而0
點評：一般地，遇到有關(guān)線段垂直問題，首先應(yīng)考慮聯(lián)列方程組，化為關(guān)于x或y的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解題.
8. 應(yīng)用性問題.
例8. 艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈.設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g(shù)為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？
分析：通過建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，將實際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.
解析：取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為（3，0）、（-3，0）、（-5，2）.
由于B、C同時發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x-3y+7=0.
又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒，知
|PB|-|PA|=4，故知P在雙曲線-=1的右支上.
直線與雙曲線的交點為（8，5），此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.
據(jù)已知兩點的斜率公式，得kPA=，所以直線PA的傾斜角為60°，于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°.
設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則=，
sin2θ==，仰角θ=30°.
點評：以實際應(yīng)用為背景，利用圓錐曲線的有關(guān)知識為手段，解決實際問題的應(yīng)用問題和以圓錐曲線為載體，構(gòu)建與其它數(shù)學(xué)分支相結(jié)合的問題，在高考中比較常見的.
9. 是否存在性問題.
例9. 已知橢圓C1：+=1，拋物線C2：（y-m）2=2px（p>0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
（Ⅰ）當ABx軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由.
分析：對于存在性問題的討論，思維一定要嚴謹，一般是從假設(shè)存在入手，通過邏輯推理得出正確結(jié)論.
解析：（Ⅰ）當ABx軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為： x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，-）. 因為點A在拋物線上，所以=2p，即p=.此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.
（II）假設(shè)存在m、p的值使C2的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）.
由y=k（x-1），
+
=1，消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0……①
設(shè)A、B的坐標分別為（x1，y1）， （x2，y2），
則x1，x2是方程①的兩根，x1+x2=.
由（y-m）2=2px，
y=k（x-1），消去y得（kx-k-m）2=2px……②
因為C2的焦點F′（，m）在直線y=k（x-1）上，
所以m=k（-1），即m+k=.代入②有（kx-）2=2px.
即k2x2-p（k2+2）x+=0 …………③
由于x1，x2也是方程③的兩根，所以x1+x2=.
從而=，解得p= ……………④
又AB過C1、C2的焦點，所以AB=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=（2-x1）+（2-x2），則p=4-（x1+x2）=4- =………………⑤
由④⑤式，得=，即k4-5k2-6=0.
解得k2=6.于是k=±，p=.
因為C2的焦點F′（，m）在直線y=±（x-1）上，所以m=±（-1）.
m=或m=-.
由上知，滿足條件的m、p存在，且m=或m=-，p=.
三、備考策略
1. 注重掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)，要善于多角度、多層次思考問題，不斷鞏固和強化“三基”.
2. 突出主體內(nèi)容，緊緊圍繞兩個方面來復(fù)習(xí)，即根據(jù)已知條件求曲線的方程和通過方程研究圓錐曲線的性質(zhì).其中求曲線的方程是重點，所以要熟練掌握求曲線方程的一般方法.
3. 關(guān)注“熱點”問題，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題一直是高考命題的熱點，這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點，分析問題時要注意數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求的思想以及弦長公式、一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的熟練應(yīng)用.
4. 重視對數(shù)學(xué)思想方法（特別是函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及坐標法）的歸納總結(jié)，實現(xiàn)優(yōu)化解題思維，簡化解題過程.
5. 著力抓好“運算關(guān)”.解析幾何問題的解題思路容易分析出來，但往往由于運算不過關(guān)而半途而廢.因此，在復(fù)習(xí)中要注意尋求合理的運算方案，以及簡化運算的基本途徑與方法.
有效的教學(xué)，不僅僅是學(xué)生的分數(shù)考得好，還應(yīng)該包括學(xué)生的能力、思維、情感等多個核心素養(yǎng)的有效提高.有效教學(xué)是對課堂教學(xué)實際效果的綜合性評價.那么，如何提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性呢？
一、以合作學(xué)習(xí)模式為改課的突破口
隨著新課程改革的推進，越來越多的教師意識到有效的教學(xué)需要改變授課模式，摒棄傳統(tǒng)的“灌輸式教學(xué)模式”.結(jié)合南通市的“限時講授、合作學(xué)習(xí)、踴躍展示”的教育方針，筆者認為合作學(xué)習(xí)模式有助于課堂教學(xué)走向有效.
1.科學(xué)分組，保證合作學(xué)習(xí)的組織性.學(xué)習(xí)的組織性強弱直接關(guān)系到學(xué)生合作學(xué)習(xí)的效率.要想利用合作學(xué)習(xí)模式提高高中數(shù)學(xué)課堂效率，就要合理分配學(xué)生小組.教師應(yīng)該遵循一個原則，小組之間的差距盡量縮小，而小組內(nèi)部的成員盡量互補，即教師按照學(xué)生的學(xué)習(xí)成績、學(xué)習(xí)環(huán)境、個人性格、個人能力等特征給學(xué)生分好大組，再依次配到各個小組中，保證合作學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的高效開展.
2.科學(xué)引導(dǎo)，明確合作學(xué)習(xí)的方向性.雖然組建了學(xué)習(xí)小組，但是如果沒有教師的主導(dǎo)，學(xué)生的合作學(xué)習(xí)就容易出現(xiàn)探究方向的錯誤.在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該以學(xué)生的發(fā)展為主，從學(xué)生的角度出發(fā)，為學(xué)生考慮，從而為學(xué)生的合作學(xué)習(xí)提供有效的條件.這里的條件包括教師所創(chuàng)設(shè)的特定的情境和相關(guān)的材料.只有教師為學(xué)生的合作學(xué)習(xí)提供充分的條件，才能讓每一個學(xué)生都真正參與到活動中，主動學(xué)習(xí)、思考與探究，有自己的思維方式，運用自己獨特的方法去解決問題.這樣，既能提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，還能提高學(xué)生的合作能力.例如，有一次聽課學(xué)習(xí)中，筆者記錄了如下教學(xué)片段，學(xué)生的活動是有效的.教師首先給學(xué)生展示了某個工廠車間的圖片，然后通過圖形一步步展示出問題，如果從今年起某工廠的年產(chǎn)值每年都比上一年增長百分之八，那么大約經(jīng)過多少年可以使年產(chǎn)值翻一番？在解決這道題目之前，教師對學(xué)生進行相關(guān)方面的解說.比如，提供一些車間生產(chǎn)的圖片，為學(xué)生講解概率的定義、性質(zhì)等基本知識.引導(dǎo)學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位進行問題的思考.接下來教師對每一年的具體情況通過畫圖展示.通過形象的圖形，可以清晰地展現(xiàn)每一年增長的百分比.這樣，教師通過多媒體技術(shù)對教學(xué)內(nèi)容提供了相應(yīng)的材料，使學(xué)生合作學(xué)習(xí)的方向始終能跟上教師的步伐，并在趣味的情境中主動思考問題，培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提高了學(xué)生解決問題的能力.
二、借助于生活化情境的設(shè)計，激發(fā)學(xué)生的探
究欲望
在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些學(xué)生上課容易開小差，注意力不集中，很大程度上是因為他們對數(shù)學(xué)知識不感興趣，沒有一探究竟的欲望.這就需要教師在學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)上下工夫，設(shè)置生活化的、真實的情境，有效帶動學(xué)生的思維，激活學(xué)生的探究欲望.例如，在講“拋物線”時，教師可以創(chuàng)設(shè)一個學(xué)生熟悉的投籃問題情境：小明身高1.8m，籃球框高3.2m，小明在距籃球架7m的地方朝上45°角將籃球以拋物線拋出.小明能順利把籃球投進籃球框嗎？設(shè)計意圖：“生活即教育”.“籃球投籃”是一個與學(xué)生的生活息息相關(guān)，尤其是男生熱衷的活動項目，而且學(xué)生在這項活動中都希望自己能夠盡可能地投籃得分.利用投籃創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，能夠吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生覺得不是在解決數(shù)學(xué)題，而是在進行投籃得分的研究，有效激活了學(xué)生的求知欲.看到學(xué)生渴望探索出問題的答案的眼神，這節(jié)課的教學(xué)效果可想而知.
三、注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識的關(guān)聯(lián)性
數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)具有系統(tǒng)性.有效的學(xué)習(xí)，肯定不是引導(dǎo)學(xué)生記住和應(yīng)用單一的知識點，而是盡可能地引導(dǎo)學(xué)生進行聯(lián)想與反思，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò).無論是新授課還是復(fù)習(xí)課，教師都應(yīng)該注重知識關(guān)聯(lián)性的滲透，促進學(xué)生思維發(fā)散和有效聯(lián)結(jié).例如，在講“直線之間的關(guān)系”時，直線共有三種關(guān)系：相交、平行、異面，相交和平行是學(xué)生已經(jīng)知道的舊知識，而異面則是學(xué)生沒有學(xué)過的新知識.教師可以舉幾個直線之間相交和平行的例子，讓學(xué)生進行分析，將學(xué)生引入情境中.然后舉一個直線異面的例子，讓學(xué)生產(chǎn)生疑問，再導(dǎo)入本次課堂所要講的新知識，直線之間的異面關(guān)系.通過創(chuàng)設(shè)一個知識間相關(guān)聯(lián)的情境，幫助學(xué)生在情境中對之前的知識進行復(fù)習(xí)，使學(xué)生在接下來學(xué)習(xí)異面的知識時主動c直線之間的相交與平行關(guān)系進行比較.
總之，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要更新教學(xué)觀念，優(yōu)化教學(xué)方式，從而提高教學(xué)的有效性.
關(guān)鍵詞：線上授課；課件；師生；互動
線上授課是指利用互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和設(shè)備，依托直播教學(xué)平臺開展教學(xué)活動，是將互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)與傳統(tǒng)教學(xué)緊密結(jié)合的教學(xué)模式，是新時代教學(xué)改革的重要路徑之一［1］。線上教育將傳統(tǒng)教學(xué)從教室的定點定時轉(zhuǎn)變?yōu)殡S時隨地可進行的移動式學(xué)習(xí)，具有可碎片化、不受時間空間限制、學(xué)習(xí)場景移動化、自主性等優(yōu)勢，有助于大量優(yōu)質(zhì)教育資源的共享推廣，以實現(xiàn)教育公平。傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式經(jīng)過多次變革和完善，它最大的優(yōu)勢是便于師生的情感交流。線上與線下兩種教學(xué)模式各有優(yōu)缺點，線上課程應(yīng)當是線下課程的補充，是未來的發(fā)展方向。盡管線上課程在公考、律考、考研等方面得到了廣泛應(yīng)用，涌現(xiàn)出很多網(wǎng)紅教師，但是在全日制教學(xué)中開展的時間很短，應(yīng)用面也不廣，教師的參與度相對較低，導(dǎo)致線上教育面臨不少困難。因此，以《解析幾何》中的“直線與二次曲線的位置關(guān)系”為例，探討線上授課［2］。
1要有充分的準備工作
線上授課可使用的平臺多種多樣，經(jīng)過對比及結(jié)合實際情況，選擇了釘釘教學(xué)平臺。課前，在釘釘平臺上建立學(xué)習(xí)群，為了督促學(xué)生，每個班都設(shè)有考勤員，負責(zé)每節(jié)課的考勤工作。針對學(xué)生基礎(chǔ)較差的情況，在每節(jié)課授課前，在釘釘群預(yù)習(xí)要求。學(xué)生通過預(yù)習(xí)帶著問題聽課，更容易集中精神參與課堂學(xué)習(xí)，加深對知識的理解。同時，學(xué)生可以自主學(xué)習(xí)，自己支配學(xué)習(xí)的節(jié)奏、內(nèi)容，給自己的思維留下一定的時間和空間，強化學(xué)習(xí)效果。本課預(yù)習(xí)要求：（1）如何記住課本187和188頁的記號；（2）復(fù)習(xí)中學(xué)學(xué)過直線和二次曲線的方程和圖像；（3）預(yù)習(xí)直線與二次曲線的位置關(guān)系。
2用好課件是關(guān)鍵
與傳統(tǒng)課堂相比，線上課程最大的不同在于：首先，課件的制作要更加細致。能不能上好網(wǎng)課，課件非常關(guān)鍵，網(wǎng)課不同于教室面授，要多方考慮學(xué)生的因素。因為在教室上課，學(xué)生的反應(yīng)可通過觀察他們的表情得知，隨時做出調(diào)整。但線上授課時無法看到學(xué)生的表情，因此備課時要針對教材內(nèi)容，充分考慮學(xué)生的知識水平、理解能力和接受能力，哪些知識學(xué)生能理解、接受，哪些知識需要補充，為方便理解應(yīng)該如何設(shè)計課件。此外，備課時也要多設(shè)置一些合適的問題，通過這些問題及時了解學(xué)生對內(nèi)容的理解情況。PPT要盡可能精練、完善、簡潔大方，以簡單的色彩和圖案為模板制作課件，用不同顏色標識出一些重要的知識點，保留在顯眼的位置［3］。其次，教具的準備要更加充分，課境的布置要更加合理，課件+黑板的組合被各種現(xiàn)代化設(shè)備所取代，如課件、“手寫板+白板”，且要求能在各種工具之間無縫切換。例如，在教授“直線與二次曲線的相關(guān)位置”時，在學(xué)習(xí)新課前，先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)符號。如：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0（1）F1(x，y)、F2(x，y)、F3(x，y)、Ф(x，y)以及F1(x，y)、F2(x，y)、F3(x，y)的關(guān)系式，復(fù)習(xí)后把它們留在同一頁面，為接下來的推導(dǎo)做好鋪墊。推導(dǎo)過程切換到白板進行，把直線的參數(shù)方程x=x0+Xt，y=y0+Yt代入二次曲線方程（1），通過白板一邊分析，一邊演算推導(dǎo)過程，最后得到方程式Ф(X，Y)t2+2［F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y］t+F(x0，y0)=0（4）。此方程在后續(xù)學(xué)習(xí)中會經(jīng)常出現(xiàn)，用不同的顏色在PPT上顯示出現(xiàn)，并要求學(xué)生牢記。然后，切換回PPT，討論方程（4）的根，把方程換成學(xué)生非常熟悉的二次方程At2+Bt+C=0，顯示在方程（4）下對應(yīng)的位置上，利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一步一步引導(dǎo)學(xué)生推出結(jié)論。用不同的顏色、不同的字體標識這些結(jié)論，特別是重點字眼用不同顏色的字體標出來，而且設(shè)定不同的顯示方式。這樣方便必要時把它顯示出來，講清楚后再隱藏起來。在講完直線與二次曲線的相關(guān)位置的基本知識點后，為了讓學(xué)生真正掌握知識，并能靈活地運用知識，將理論知識與實際問題相結(jié)合，設(shè)計了讓PPT切換到幾何畫板。在幾何畫板中，教師事先設(shè)定了x軸上的一些點如A、B、T，用這些點的縱坐標表示參數(shù)a、b、t的大小，學(xué)生通過拖動這些點就可以改變參數(shù)的值。學(xué)生只需要在“度量/計算”功能中輸入?yún)?shù)方程，分別計算出x，y的值，再利用“圖表/繪制點（x，y）”繪出對應(yīng)的點，最后利用“構(gòu)造/軌跡”功能就可以繪出方程的圖象，或者直接在“圖表/繪制新函數(shù)”功能中輸入?yún)?shù)方程或函數(shù)表達式，幾何畫板即可繪出相應(yīng)方程或函數(shù)的圖象。在學(xué)生掌握幾何畫板的基本應(yīng)用功能后，將幾何畫板文件發(fā)送給學(xué)生，要求學(xué)生嘗試將“直線與二次曲線”的六種位置關(guān)系（交于“兩不同實點”“兩重合實點”“兩共軛虛點”“唯一實交點”“無交點”“直線在二次曲線上，成為二次曲線的組成部分”）通過圖象顯示出來。在學(xué)生嘗試的過程中，教師適當?shù)靥崾荆钏麄?，看看能在?guī)定時間內(nèi)作出幾種位置關(guān)系。例如，常見的二次曲線有哪些？橢圓與直線的位置關(guān)系有幾種？拋物線與直線的位置關(guān)系又有幾種？除了常見的橢圓、雙曲線、拋物線，還有什么樣的二次曲線？到規(guī)定時間后，讓學(xué)生提出自己找到的幾種位置關(guān)系，可通過文字或圖片上傳。教師對學(xué)生的奇思妙想要及時給予表揚和鼓勵，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。通過讓學(xué)生自己思考、分析，親自動手操作、實踐，學(xué)生對自己得出的結(jié)果會更有成就感，感受到理論聯(lián)系實際的樂趣。通過上述學(xué)生動手操作，會發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易作出“交于兩不同的實點”和“交于唯一的實點”，但部分學(xué)生不知如何區(qū)分“無交點”和“交于兩共軛虛點”，也容易混淆“交于唯一實點”和“交于兩重合實點”。而能想到“直線在二次曲線上”的學(xué)生不多，中學(xué)時期沒有提過這種位置關(guān)系，大部分學(xué)生對“二次曲線”的思維往往只停留在“圓、橢圓、雙曲線和拋物線”上。此時，學(xué)生迫切想知道這幾種關(guān)系的根本區(qū)別，急切地想找到答案。這時，教師再切換回PPT，通過例題解決這個問題。例1：下列直線與二次曲線y2=2x的位置關(guān)系分別是什么？X=1、y=2、x=0、x=-2。提出兩個問題：“它們的位置關(guān)系是（）；你是通過哪種方法得出結(jié)果的？”選項有：G直覺、H畫出圖像、M聯(lián)立方程組解方程組、N選H和M。事先用字母ABCDEF分別代替六種不同的位置關(guān)系，學(xué)生用字母回答即可，這樣很快就能收到反饋信息。教師收到反饋信息后，切換到幾何畫板，作出直線與二次曲線的圖像，讓他們觀察圖像并再次確定位置關(guān)系。有不少學(xué)生會認為，直線x=0也是與拋物線交于唯一實點，直線x=-2與拋物線沒有交點。然后，切換到PPT，引導(dǎo)他們從方程組中判斷，判斷結(jié)果是否正確。通過聯(lián)立方程組，很快會發(fā)現(xiàn)直觀感受到的與實際有較大的差異，從而得出圖形判斷并不可靠的結(jié)論，讓學(xué)生明白需要通過解方程組來判斷它們之間的關(guān)系。例2：直線與二次曲線y2=4的位置關(guān)系分別是什么？y=2、y=3。學(xué)習(xí)例1，學(xué)生自然會用解方程組去解答例2，得出關(guān)系之后，切換到手寫板畫出圖象（因這圖象很簡單）。通過圖象，學(xué)生理解了“無交點”就是“平行”，與“交于兩共軛虛點”有本質(zhì)區(qū)別；“交于兩重合實點”就是“相切”，這就能真正與“交于唯一實點”區(qū)別開來；而對中學(xué)很少見到的“直線在二次曲線上”，通過這個例題使學(xué)生深刻地理解容易混淆的知識，從而達到真正掌握直線與二次曲線位置關(guān)系的目的。為了鞏固知識，設(shè)計了以下課堂練習(xí)。
3重視師生互動
課堂上，要努力做到講解清晰、有條理、準確、生動、層次分明、言簡意賅、深入淺出。網(wǎng)絡(luò)授課速度要慢，特別是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生。因此，上網(wǎng)課時，一定要一步步引導(dǎo)學(xué)生理解透徹。在直播課上，教師盡量用幽默風(fēng)趣、富有感染力和號召力的語言吸引學(xué)生。教師盡量營造輕松和諧的課堂氛圍，讓學(xué)生能在課堂上暢所欲言，及時表達出自己的各種想法和見解。這樣歡快活潑的課堂氣氛可以增強教學(xué)內(nèi)容的趣味性，緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)疲勞，同時情緒高漲的學(xué)生也反過來激勵著教師，使“教”與“學(xué)”達到最佳狀態(tài)，從而提高課堂效率。此外，由于直播課教師無法兼顧到每個學(xué)生，無法了解到每個學(xué)生的聽課狀態(tài)，所以為了能夠及時地收到課堂的效果反饋，較好地進行課堂管理，教師要時刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，增強師生在課堂上的互動，隨機提問學(xué)生與課程相關(guān)的內(nèi)容，以了解學(xué)生聽課情況。特別關(guān)注提問在上課過程中“潛水”的學(xué)生，以防止出現(xiàn)學(xué)生“掛網(wǎng)”現(xiàn)象。例如，在推導(dǎo)直線與二次曲線的關(guān)系，在得出方程Ф(X，Y)t2+2［F1(x0，y0)X+F2(x0，y0)Y］t+F(x0，y0)=0（4）后，可提問：“方程中的變量是什么？”“t”；“它是一次方程還是二次方程？”“與Ф有關(guān)”；“當Ф不等于零時，方程是一次還是二次方程？”“二次”；“它的根與什么有關(guān)？”“與系數(shù)有關(guān)”；“根與系數(shù)的關(guān)系是怎么樣的？”“與Δ有關(guān)”；“當Δ大于零時，根與系數(shù)的關(guān)系是什么？”“而當Δ=0時，情況又如何？”“當Δ<0呢？”“當Ф等于0時，方程又是什么方程？這時，它的根與什么有關(guān)？”通過一問一答，學(xué)生能夠輕松自然地推導(dǎo)出結(jié)果。這樣在學(xué)生原有知識的基礎(chǔ)上不斷進步，讓學(xué)生通過跳一跳摘果子，不斷體驗到成功的喜悅，讓他們從內(nèi)心產(chǎn)生“我能行”的想法，充分激發(fā)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)的熱情。教師可以結(jié)合直播平臺提供的學(xué)習(xí)打卡、學(xué)習(xí)時長、課堂提問、課堂作業(yè)數(shù)據(jù)，監(jiān)督和管理學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，督促學(xué)生主動學(xué)習(xí)，保障課堂教學(xué)質(zhì)量，確保學(xué)生的學(xué)習(xí)進度。同時，學(xué)生在上課過程中也可以隨時可通過屏幕提問和發(fā)表見解，教師也要及時關(guān)注學(xué)生的反饋情況。在練習(xí)中，利用“限時答題”的功能，讓學(xué)生答完題并拍照上傳解題過程，教師可及時收到反饋，講評學(xué)生的解答過程。在備課過程中精心設(shè)計小而精的并與授課內(nèi)容密切相關(guān)的問題，設(shè)計出不同的答題選項，學(xué)生通過回答“A”“B”“C”“D”或“是”“否”等，提高學(xué)生的參與度，正確的回答使學(xué)生獲得成功的體驗，產(chǎn)生愉悅感，上課時不易分神，提高注意力，更積極地參與課堂學(xué)習(xí)。課后，教師及時將課件發(fā)在釘釘群上，方便學(xué)生隨時查閱。此外，學(xué)生也可以通過釘釘軟件中的視頻回放功能進行查漏補缺。
4作業(yè)要及時評講
作業(yè)的布置盡量體現(xiàn)出針對性和層次性。作業(yè)不宜太難，學(xué)生在多次嘗試都失敗，就會失去信心，逐漸失去學(xué)習(xí)的興趣；相反，成功的體驗會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生做好作業(yè)后，在規(guī)定時間內(nèi)拍照上傳。釘釘軟件中有“作業(yè)”功能，教師能一目了然地知道已提交和未提交作業(yè)的學(xué)生名單，對未提交的同學(xué)，教師還可以“ding”一下，提醒他及時完成作業(yè)并提交。此外，教師要及時批改作業(yè)，利用軟件中圈畫批改功能鼓勵學(xué)生，對做得好的作業(yè)批上“好”“優(yōu)秀”“真棒”等，對出現(xiàn)錯誤的作業(yè)，把錯誤的地方圈出來加以改正。作業(yè)批改后在釘釘群，全班學(xué)生都可以看到。這不僅能讓學(xué)生及時認識到自己作業(yè)的錯誤，同時優(yōu)秀的作業(yè)也起到榜樣作用，引起學(xué)生相互比較、相互模仿、相互學(xué)習(xí)，達到激勵全班學(xué)生的目的。這樣一來，調(diào)動了學(xué)生做作業(yè)的積極性，學(xué)生為了做出“優(yōu)秀”作業(yè)，課堂上會更認真、更投入，形成良性循環(huán)。每一次改完作業(yè)后，教師認真分析并記錄學(xué)生的作業(yè)情況，分類總結(jié)作業(yè)中的問題，挑出具有代表性的問題，在下次上課前進行評講，讓學(xué)生能及時糾正錯誤，使其達到真正掌握知識的目的，同時教師針對有關(guān)情況及時改進教學(xué)，做到有的放矢。
5結(jié)束語
“線上+線下”的教學(xué)方式是未來教育教學(xué)工作的發(fā)展趨勢。事實證明，線上授課不僅對實現(xiàn)線上線下教學(xué)質(zhì)量雙提升、推動教育教學(xué)工作發(fā)展有著重要的作用，而且還能實現(xiàn)因材施教的目標。針對學(xué)生在知識水平、理解能力、運用能力等方面的差異，可以利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的優(yōu)勢，通過使用富有變化、不斷更新的教學(xué)手段，設(shè)計富有節(jié)奏的課堂教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置不同的情景、演示不同的事例、提出不同的問題、進行不同的啟發(fā)、提供不同的方法、提出不同的要求等，使不同層次的學(xué)生都可以得到提高，進而提升全體學(xué)生的素質(zhì)。
參考文獻：
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熱點一：數(shù)列的基本問題
有關(guān)數(shù)列的基本問題，這類題圍繞等差、等比數(shù)列的基本知識、基本公式、基本性質(zhì)命題，難度不大，考生應(yīng)注意基本方法的訓(xùn)練，靈活運用相關(guān)性質(zhì)解題.
例1若等差數(shù)列{an}滿足a2+S3=4，a3+S5=12，則a4+S7的值是.
分析：由本題的結(jié)構(gòu)特點，容易聯(lián)想到等差數(shù)列的一個性質(zhì)：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq，以此性質(zhì)遞推，不難得到答案.
解：在等差數(shù)列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq，所以a1+a3=2a2.又由a2+S3=4，可得4a2=4，所以a2=1.
同理，由a3+S5=12，可得a3=2，則a4=3.
又S7=7a4，則a4+S7=8a4=24.
說明：本題結(jié)構(gòu)形式簡潔，且較好地考查了等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì).這種命題方式恰好是高考命題者設(shè)計數(shù)列知識點考題的一種風(fēng)格，即挖掘數(shù)列知識的內(nèi)在性質(zhì)，簡化數(shù)列試題的外在形式.解題的基本功在于對等差、等比數(shù)列性質(zhì)的準確理解和靈活運用.
例2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn=.
分析：本題是已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與an的遞推關(guān)系式，求an的通項公式的一種常見題型，求解時，注意由n≥2時，an=Sn-Sn-1求得通項公式之后，還要討論n=1時，a1=S1的情形是否滿足通項公式.
解：由Sn=2an+1可知，當n=1時得a2=12S1=12，當n≥2時，有Sn=2an+1①Sn-1=2an②
①-②可得an=2an+1-2an，即an+1=32an，
故該數(shù)列是從第二項起以12為首項，以32為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列通項公式為
an=1（n=1）12（32）n-2（n≥2），
故當n≥2時，Sn=1+12（1-（32）n-1）1-32=（32）n-1，
當n=1時，S1=1=（32）1-1，故Sn=（32）n-1.
說明：本試題主要考查了數(shù)列中由遞推公式求通項公式和數(shù)列求和的綜合運用.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn與an的遞推關(guān)系式，求an的通項公式或研究數(shù)列{an}的性質(zhì)，以此設(shè)置命題意在考查考生對Sn與an的內(nèi)在聯(lián)系的認識，即Sn=Sn-1+an（n≥2，n∈N*）.
熱點二：數(shù)列的遞推與求和問題
研究數(shù)列的遞推公式，從而研究數(shù)列的其他性質(zhì)和求和問題，遞推公式簡單時往往較容易.但有些不易求出通項公式的題目，難度較大，其求解的關(guān)鍵是：讀懂題意，搞清數(shù)列遞推關(guān)系式提供的各方面信息，然后再根據(jù)所給的問題采用相應(yīng)的方法去解決.
例3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an=S1+Sn對一切正整數(shù)n都成立.
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)a1>0，λ=100，當n為何值時，數(shù)列{lg1an}的前n項和最大？
解：（1）取n=1，得λa21=2S1=2a1，a1（λa1-2）=0，
若a1=0，則S1=0，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=0，所以an=0，
若a1≠0，則a1=2λ，當n≥2時2an=2λ+Sn，2an-1=2λ+Sn-1，
上述兩個式子相減得：an=2an-1，所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
綜上，若a1=0，則an=0.
若a1≠0則an=2nλ.
（2）當a1>0，且λ=100時，令bn=lg1an，所以，bn=2-nlg2，
所以，{bn}單調(diào)遞減的等差數(shù)列（公差為-lg2）
則b1>b2>b3>…>b6=lg10026=lg10064>lg1=0
當n≥7時，bn≤b7=lg10027=lg100128
故數(shù)列{lg1an}的前6項的和最大.
說明：本題主要從三個層面對考生進行了考查.知識層面：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對數(shù)等基礎(chǔ)知識和數(shù)列遞推關(guān)系式的問題；能力層面：考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力；數(shù)學(xué)思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
熱點三：數(shù)列的綜合性問題
與函數(shù)、不等式、解析幾何結(jié)合的數(shù)列綜合題，對思維能力有較高要求，考查了分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)以能力立意的命題原則，是近來年高考的熱點問題，屬于中高檔難度的題目或壓軸題，解決這類問題常常要綜合利用各種數(shù)學(xué)思想與方法，特別是函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想及其配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)思想方法，這樣才能準確解答這種問題.
例4已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線y=-x2+an2與x軸正半軸相交于點A，設(shè)f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距.
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求對所有n都有f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的a的最小值；
（3）當0
解：（1）由已知得，交點A的坐標為（an2，0），對y=-x2+12an求導(dǎo)得y′=-2x，
則拋物線在點A處的切線方程為：y=-2an（x-an2），即y=-2anx+an.則f（n）=an
（2）由（1）知f（n）=an，則f（n）-1f（n）+1≥nn+1成立的充要條件是an≥2n+1，
即知，an≥2n+1對于所有的n成立，
特別地，當n=1時，得到a≥3，
當a=3，n≥1時，an=3n=（1+2）n≥2n+1，
當n=0時，an=2n+1.
故a=3時f（n）-1f（n）+1≥nn+1對所有自然數(shù)n均成立.
所以，滿足條件的a的最小值為3.
（3）由（1）知f（k）=ak
下面證明：1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）>6?f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）
首先證明0
設(shè)函數(shù)g（x）=6x（x2-x）+1，0
當0
故g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）min=g（23）=19>0
所以，當06x
由06ak，從而
1f（1）-f（2）+1f（2）-f（4）+…+1f（n）-f（2n）
=1a-a2+1a2-a4+…+1an-a2n
>6（a+a2+…+an）=6×a-an+11-a
=6×f（1）-f（n+1）f（0）-f（1）
說明：本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問題的能力.主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力，且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法.
熱點四：數(shù)列的創(chuàng)新問題
數(shù)列中的創(chuàng)新問題是近年高考試卷中出現(xiàn)的一個亮點.這類問題要求考生在短時間內(nèi)讀懂并理解一個陌生的數(shù)列問題情境，對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，然后綜合、靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法，緊扣獲取的相關(guān)信息進行獨立的思考、加工、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.
例5定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=|x|；④f（x）=ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號為 .
解：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.對于①，f（an+1）f（an）=a2n+1a2n=q2，是常數(shù)，故①符合條件；對于②，f（an+1）f（an）=2an+12an=2an+1-an，不是常數(shù)，故②不符合條件；對于③，f（an+1）f（an）=|an+1||an|=|an+1an|=|q|，是常數(shù)，故③符合條件；對于④，f（an+1）f（an）=ln|an+1|ln|an|，不是常數(shù)，故④不符合條件.
由“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義知應(yīng)選①③.
說明：本題考查等比數(shù)列的新應(yīng)用，函數(shù)的概念.對于創(chuàng)新性問題，首先要讀懂題意，然后再去利用定義求解，抓住實質(zhì)是關(guān)鍵.
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)；優(yōu)化方法；提高效率
隨著新課程改革的不斷推進，中考數(shù)學(xué)試題的新穎性、靈活性越來越強。如何有效組織復(fù)習(xí)教學(xué)，提高復(fù)習(xí)效益，是我們每位數(shù)學(xué)教師亟待面對的問題。復(fù)習(xí)，就其基本含義而言，是指為了恢復(fù)或強化頭腦里已形成的暫時神經(jīng)聯(lián)系，對已學(xué)過的知識進行重新學(xué)習(xí)。復(fù)習(xí)課存在的兩大誤區(qū)：一是復(fù)習(xí)的內(nèi)容是“老調(diào)重彈”，把復(fù)習(xí)課看成了補課，二是復(fù)習(xí)的方法是“題海戰(zhàn)術(shù)”，把復(fù)習(xí)課上成了習(xí)題課。在復(fù)習(xí)教學(xué)中長期這樣做會使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來越感到枯燥無味。那么，如何復(fù)習(xí)才能提高效率呢？
一、仔細研究教學(xué)大綱，把握教材重難點
由于初三復(fù)習(xí)時間短，知識面積廣，要做到面面俱到是不可能的。因此，作為任教初三的數(shù)學(xué)教師，很有必要再次研讀教學(xué)大綱，把握考試重點，難點。針對學(xué)生的實際情況，制定一個切實可行的復(fù)習(xí)計劃，統(tǒng)籌安排復(fù)習(xí)時間與復(fù)習(xí)內(nèi)容，有計劃，有步驟地進行復(fù)習(xí)，做到有的放矢，切忌隨意性和盲目性，這樣才能使復(fù)習(xí)課收到良好的效果。
二、注重考法研究，把握中考動向
（一）了解中考命題的考查范圍。
現(xiàn)在中考命題仍然以基礎(chǔ)知識題為主，有些基礎(chǔ)題是課本上的原題或改造后的題，后面的大題雖是“高于教材”，但原型一般還是教材中的例題式習(xí)題，是教材中題目的引申、變形或組合。因此，復(fù)習(xí)時應(yīng)以課本為主。中考數(shù)學(xué)命題除了重視基礎(chǔ)知識外，還十分重視對數(shù)學(xué)方法的考查。如：配方法、換元法、判別式等操作性較強的方法。鑒于此，平時復(fù)習(xí)就加強對這些方面的訓(xùn)練。
而中考對能力的考查，大致可分為兩個方面的能力：一是考查運算能力、空間想象能力和邏輯思維能力及解決純數(shù)學(xué)問題的能力；二是強調(diào)閱讀能力、創(chuàng)新探索能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。為此我們教師在平時復(fù)習(xí)時應(yīng)注重對學(xué)生進行這兩方面的能力培養(yǎng)。
（二）重視基礎(chǔ)知識題的復(fù)習(xí)。
中考的命題分值比例中，有近50%的基礎(chǔ)題，若把中檔題和較難題中的基礎(chǔ)分計入，占的比值會更大。因此我們應(yīng)重視基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，基礎(chǔ)知識即是初中所涉及的概念、公式、公理、定理等。要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識之間的聯(lián)系，要做到理清知識結(jié)構(gòu)，形成整體知識，并能綜合運用。在應(yīng)用基礎(chǔ)知識時應(yīng)讓學(xué)生做到熟練、正確、迅速。上課要求學(xué)生不能只聽老師講，要敢于質(zhì)穎，積極思考方法和策略，應(yīng)通過老師的教，讓學(xué)生自己“悟”出來，自己“學(xué)”出來，尤其在解決新情景問題的過程中，應(yīng)讓學(xué)生感悟出如何正確思考。中檔題和難題的分值比略為40%和10%，因此教師要注意中檔題的講解和訓(xùn)練，在平時復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)多研究試題的難易度，不要自己一意孤行，把一些中檔題當作基礎(chǔ)題處理了，造成學(xué)生認為自己不行了，增大了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力。
三、調(diào)整好心態(tài)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣
首先是心理上要調(diào)整好心態(tài)。在中考復(fù)習(xí)時，科任教師要對學(xué)生進行心理健康輔導(dǎo)，避免因?qū)W生學(xué)習(xí)過度的緊張而造成壓力。教師還可以通過各種途徑在不同的階段，對學(xué)生進行個別心理輔導(dǎo)、群體心理輔導(dǎo)，使學(xué)生正確對待壓力與挫折，正確看待成績，增強自信，發(fā)揮學(xué)習(xí)的最佳效能。其次，要避免學(xué)生對考試產(chǎn)生畏懼心理，甚至把模擬考試也當成負擔。隨著復(fù)習(xí)的深入，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題的深度和廣度也會增大，考生一次考試沒考好或遇到不懂不會的問題是很正常的，如果一味地著急、焦慮，往往會一無所獲，考生應(yīng)把這些做錯的題目和不懂不會的題目當成再次鍛煉自己的機會，正確分析問題原因，考前發(fā)現(xiàn)問題越多、糾正越及時，提高越快。最后，教師要適時給予學(xué)生學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生興趣。教師要從講課復(fù)習(xí)、做練習(xí)（試題）、改正試卷、小結(jié)等方面，對學(xué)生進行學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的每個環(huán)節(jié)上量力而行，合理利用時間，發(fā)揮學(xué)習(xí)效能。使學(xué)生學(xué)習(xí)得法，增強自信，培養(yǎng)興趣，做到事半功倍。
四、要制定復(fù)習(xí)目標
為了能夠提高復(fù)習(xí)效率，就要制定復(fù)習(xí)目標。制定復(fù)習(xí)目標應(yīng)注意如下三點：
（一）目標要全面。
要按照數(shù)學(xué)教學(xué)大綱上的要求，有針對性地在知識、能力和思想品德三方面提出復(fù)習(xí)要求，不能厚此薄彼，甚至只提出知識方面的復(fù)習(xí)要求，把能力與思想品德丟在一邊。
（二）目標要準確。
一是目標中知識、能力、思想品德各方面的要求要準確，二是三者之間不能混淆。如統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖的復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)的目的是：將學(xué)過的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖強化和分化，防止相關(guān)或相似知識的互串。學(xué)生易混的問題是：如何確定單位長度？（共性）為什么折線統(tǒng)計圖中橫標目的間隔要按實際年份留空？（個性）學(xué)生最容易遺忘的是：制圖后忘掉寫數(shù)據(jù)，或把標題與圖表分開等等。在復(fù)習(xí)課上制定復(fù)習(xí)目標時，應(yīng)注意和這些新授課后發(fā)現(xiàn)的問題結(jié)合起來，以利于解決學(xué)生的實際問題。
（三）目標要具體。
不要提一些抽象或空泛的口號，諸如“通過復(fù)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣”，粗一聽很具體，細一想太空泛，到底培養(yǎng)學(xué)生的哪些習(xí)慣不得而知。其實一堂課只能按實際教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的某一方面的素質(zhì)，太多會適得其反。
教學(xué)目標不僅是向?qū)W生提出的，也是對教師提出的。復(fù)習(xí)課上教師應(yīng)緊緊圍繞著目標組織教學(xué)，就像寫文章不能“跑題”一樣，復(fù)習(xí)課也不能“離標”，而應(yīng)有的放矢。
五、優(yōu)化復(fù)習(xí)的方法，進行有效的訓(xùn)練
（一）以生為本，因材施教。
授課面向的是全體學(xué)生，步調(diào)統(tǒng)一，難以兼顧到全體，兩極分化情況必定日益嚴重。課后輔導(dǎo)中下生是其中一種可行的辦法。但是這樣將要花費老師和學(xué)生大量的時間與精力，而且收效甚微！因此，面對有差異的學(xué)生，實施有差異的教育將更有利于學(xué)生的健康心理和人格的培養(yǎng)。我們可以通過對學(xué)生分層、對教學(xué)內(nèi)容分層，對不同層次的學(xué)生以不同的標準進行評價，使不同層次的學(xué)生經(jīng)過努力都能取得較好的成績，享受到成功的喜悅，從而激發(fā)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣。
（二）結(jié)合考點，分析試題，樹立信心。
在備考中選擇訓(xùn)練題時，歷年中考試題是最佳選擇。教師要將其歸類，按考查知識點、載體、解題方法等方面進行研究，結(jié)合課本的習(xí)題，進行適當?shù)淖冃巍⑼卣?，然后分類給學(xué)生進行限時訓(xùn)練。使學(xué)生圍繞考點，做到舉一反三，觸類旁通。這樣的訓(xùn)練不僅可以達到鞏固雙基的作用，又可以讓學(xué)生有挑戰(zhàn)的動力，樹立學(xué)生的自信心。
（三）構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，全面系統(tǒng)復(fù)習(xí)。
初中階段時間跨度長，內(nèi)容多。要在較短的時間內(nèi)將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)好，突出的一點就是注意復(fù)習(xí)要全面。認真梳理知識體系，分清重點，合理分配時間；注意知識間的滲透，以點牽線，以線成面，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系。
（四）回歸課本，注重對基本知識掌握的指導(dǎo)。
基本知識的掌握要求我們復(fù)習(xí)中要降低起點，以知識為立意，這也就要求我們回歸教材。這也是我們面向全體學(xué)生，特別是中下等學(xué)生的最后機會了?；貧w課本，就是針對自己的弱點重新翻看教材，使得復(fù)習(xí)有序，把零散的知識串聯(lián)成條條框框，編織成網(wǎng)絡(luò)。這樣可在總體上把握教材，明確每一章、節(jié)的知識在整體中的地位、作用，以課本為基礎(chǔ)，全面復(fù)習(xí)。章節(jié)之間――善于歸總；知識之間――善于轉(zhuǎn)化；例題習(xí)題――善于變化；分段訓(xùn)練，分類推進。
中考命題是“依據(jù)課標，緊扣課本”的，許多源于教材例題、習(xí)題的中考試題都是通過變換命題的視角和策略，進行編擬而成；或?qū)D形的結(jié)構(gòu)進行改變；或是變換教材習(xí)題的條件和結(jié)論；或是教材的例題、習(xí)題結(jié)論從特殊向一般拓展、推廣；或?qū)⒌湫偷膫鹘y(tǒng)習(xí)題進行“整容”創(chuàng)新，設(shè)計成實驗操作猜想問題、開放探究問題、閱讀理解數(shù)學(xué)交流問題、運動探索問題、數(shù)形結(jié)合問題等。近幾年來我市的中考數(shù)學(xué)試卷中大多數(shù)試題源于課本，是課本的例題或習(xí)題的類比、改造、延伸和拓展，其目的引導(dǎo)教師和學(xué)生重視深入理解教材。在復(fù)習(xí)過程中，如何讓學(xué)生真正理解并掌握基本知識，如何有效串聯(lián)已有知識點，把握問題的實質(zhì)，應(yīng)充分利用教材例題，但不拘泥于教材，例題習(xí)題功能的開發(fā)和拓展是一個能起事半功倍作用的好方法。我們用好教材，學(xué)生學(xué)好教材，發(fā)揮教材的擴張效應(yīng)，只有認真地復(fù)習(xí)教材中的基礎(chǔ)知識，掌握基本技能，同時對課本的典型題目做一些變式練習(xí)，才能靈活掌握雙基，中考中才能正確解答試題。
（五）注重解題過程準確的指導(dǎo)。
在復(fù)習(xí)解題的過程中，要強調(diào)“嚴謹規(guī)范”，這是數(shù)學(xué)題目本身的要求，也是解題過程的要求。計算的考查雖說計算量要減少，但基本運算一定要過關(guān)，要準確，尤其對簡單的試題要進一步重視。解題過程的準確，還包括著解題過程的縝密規(guī)范，所以我們平時教學(xué)過程中要加強這方面的訓(xùn)練，嚴格要求，這方面我們還要做過細的工作。
特別要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識正確運算和變形，尋求設(shè)計合理、簡捷的解題途徑，要求學(xué)生做到“四要”：一要熟練、準確，它是解題的基本要求；二要簡捷、迅速，這是解題的進一步要求，體現(xiàn)思維的敏捷性和深刻性；三要注重思維過程、思維方式的科學(xué)性，在處理數(shù)量關(guān)系時，能根據(jù)題目條件尋求合理、簡捷的解題途徑，真正做到準確與速度、簡捷與熟練有機結(jié)合；四要嚴謹規(guī)范，這是中考取得高分的保證。要防止由于解題格式、過程的不規(guī)范而失分，會做的題不出錯。
（六）注重概念本質(zhì)揭示的指導(dǎo)。
數(shù)學(xué)中的很多問題的解決可以回歸定義來進行，如2010年中考卷的第18題，第21題。但要能自如地掌握運用，就必須對概念的本質(zhì)內(nèi)涵要掌握。概念與概念之間的關(guān)聯(lián)、溝通必須在平時的教學(xué)中加強聯(lián)系。如三個一次（一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式（組））之間的關(guān)系。
再比如，在復(fù)次函數(shù)的圖像和性質(zhì)時，可以通過對最簡單類型=的圖像、性質(zhì)進行研究，再通過平移，進而理解、研究圖像和性質(zhì)，這樣不但有利于學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的形成，而且深刻地揭示了二次函數(shù)的本質(zhì)特征。
（七）重視數(shù)學(xué)思想與方法的指導(dǎo)。
數(shù)學(xué)思想方法是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁和紐帶。轉(zhuǎn)化和化歸思想（消元法、降次法、待定系數(shù)法），函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想都是每年中考必考的數(shù)學(xué)思想方法。對于我們不太熟悉的新題型，就要把自己從題目中獲得的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，用學(xué)過的知識去分析、處理這些問題。
初中教學(xué)有兩個任務(wù)，一是教知識，但更重要的是悟思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，而數(shù)學(xué)方法則使數(shù)學(xué)思想得以具體落實，二者相互依存，成為中考數(shù)學(xué)永恒的主題。數(shù)學(xué)思想的滲透要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，教材中沒有專門的章節(jié)介紹數(shù)學(xué)思想方法，而是伴隨著基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)而展開的。初中數(shù)學(xué)思想方法主要有：轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比歸納、建模、配方、待定系數(shù)法、函數(shù)與方程等。這些數(shù)學(xué)思想方法都是用來解題的“工具”，不能只知道有關(guān)名詞，而應(yīng)知道其實質(zhì)和用途。在復(fù)習(xí)過程中，弄清什么樣的問題用什么樣的工具來解決，不斷積累，讓學(xué)生逐步形成自己的解題經(jīng)驗，達到將數(shù)學(xué)思想方法靈活運用到解決問題中去。
數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟能使學(xué)生所學(xué)的知識不再是零散的知識點，它能幫助學(xué)生形成有序的知識鏈，建立良好的認知結(jié)構(gòu)；它是銘記在頭腦中起永恒作用的數(shù)學(xué)觀點和文化，是提高數(shù)學(xué)思維水平，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)的保證。因此必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。
（八）注重遷移能力的培養(yǎng)。
要加強初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練，增強訓(xùn)練的有效性，就要重視問題的變式訓(xùn)練，就要從知識和方法上來指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會遷移訓(xùn)練。
(1)要善于對解題思路優(yōu)化指導(dǎo)。
一題多解有利于引導(dǎo)學(xué)生沿著設(shè)的途徑去思考問題，可以優(yōu)化學(xué)生思維，因此要將一題多解作為一種解題的方法去訓(xùn)練學(xué)生。一題多解可以產(chǎn)生多種解題思路，但在量的基礎(chǔ)上還需要考慮質(zhì)的提高，要對多解比較，找出新穎、獨特的最佳解才能成為名副其實的優(yōu)解思路和方法，提煉出最佳解法，從而達到優(yōu)化復(fù)習(xí)過程，優(yōu)化解題思路的目的。
在復(fù)習(xí)的過程中加強對解題思路優(yōu)化的分析和比較，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)和思維發(fā)展，能為學(xué)生培養(yǎng)嚴謹、創(chuàng)新的學(xué)風(fēng)打下良好的基礎(chǔ)。
(2)要善于對例題講解進行變化指導(dǎo)。
在復(fù)習(xí)課例題的選擇上，教師應(yīng)該選擇最有代表性和最能說明問題的典型習(xí)題，應(yīng)能突出重點，反映大綱最主要、最基本的內(nèi)容和要求。對例題進行分析和解答，發(fā)揮例題以點帶面的作用，有意識有目的地在例題的基礎(chǔ)上作系列的變化，達到能挖掘問題的內(nèi)涵和外延、在變化中鞏固知識、在運動中尋找規(guī)律的目的，實現(xiàn)復(fù)習(xí)的知識從量到質(zhì)的轉(zhuǎn)變。
例如，在復(fù)次函數(shù)的內(nèi)容時，可以列舉這樣一個例題：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，0）與（-1，-1），開口向上，且在x軸上截得的線段長為2。求它的解析式。因為二次函數(shù)的圖象拋物線是軸對稱圖形，由題意畫圖后，不難看出（-1，-1）是頂點，所以可用二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=-a(x+m)2+n，再求得它的解析式（解法略）。在數(shù)學(xué)中我對例題作了變化，把題例中的條件“拋物線在x軸上截得的線段2改成4”，求解析式。變化后，由題意畫圖可知（-1，-1）不再是拋物線的頂點，但從圖中看出，圖像除了經(jīng)過已知條件的兩個點外，還經(jīng)過一點（-4，0），所以可用y=a(x-x1)(x-x2)的形式求出它的解析式。再對例題進行變化，把題目中的“開口向上”這一條件去掉，求解析式。再次變化后，此題可有兩種情況(i)開口向上；(ii)開口向下；
由于條件的不斷變化，使學(xué)生不能再套用原題的解題思路，從而改變了學(xué)生機械的模仿性，學(xué)會分析問題，尋找解決問題的途徑，達到了在變化中鞏固知識，在運動中尋找規(guī)律的目的。從而在知識的縱橫聯(lián)系中，提高了學(xué)生靈活解題的能力。
(3)要善于對對章節(jié)復(fù)習(xí)轉(zhuǎn)化指導(dǎo)。
教師在復(fù)習(xí)過程中，不僅應(yīng)該要求學(xué)生對所學(xué)的知識、典型的例題進行反思，而且還應(yīng)該重視對學(xué)生鞏固所學(xué)的知識由“量”到“質(zhì)”的飛躍這一轉(zhuǎn)化過程。按常規(guī)的方式進行復(fù)習(xí)，通常是按照課本的順序把學(xué)生學(xué)過的知識，如數(shù)學(xué)概念、法則、公式和性質(zhì)等原本地復(fù)述梳理一遍，這樣做學(xué)生既感到乏味又不易記憶。
針對這一情況，在復(fù)習(xí)概念時，采用章節(jié)知識歸類編碼法，即先列出所要復(fù)習(xí)的知識要點，然后歸類排隊，再用數(shù)字編碼，這樣做可增加學(xué)生復(fù)習(xí)的興趣，增強學(xué)生的記憶和理解，最主要的是起到了把章節(jié)知識由量到質(zhì)的飛躍，實現(xiàn)厚薄的轉(zhuǎn)化。
(4)要善于對習(xí)題歸類進行類化指導(dǎo)。
教師在復(fù)習(xí)時要善于引導(dǎo)學(xué)生將習(xí)題歸類，集中精力解決同類問題中的本質(zhì)問題，總結(jié)出解這一類問題的方法和規(guī)律。為使學(xué)生減輕負擔的復(fù)習(xí)，從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來，學(xué)得靈活，學(xué)得扎實，優(yōu)化復(fù)習(xí)過程，提高復(fù)習(xí)效率，是一個行之有效的重要途徑。我們也應(yīng)不斷思考，不斷探索，為實施素質(zhì)教育作出努力和貢獻。
(5)關(guān)注對數(shù)學(xué)應(yīng)用的訓(xùn)練，提高解決實際問題的能力。
數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，能運用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、分析、解決日常生活和其他學(xué)科中的相關(guān)問題是每個中學(xué)生應(yīng)具備的基本素養(yǎng)。為此，學(xué)生能否結(jié)合具體情境發(fā)現(xiàn)并提出問題，能否嘗試從不同角度分析和解決問題，能否解釋結(jié)果的合理性，能否對解決問題的過程進行反思等，都將會受到命題者的關(guān)注。同時，社會熱點問題往往是命題者創(chuàng)設(shè)應(yīng)用性問題情境的首選素材。如：能源開發(fā)、環(huán)境保護、經(jīng)濟發(fā)展等。
因此，教師應(yīng)設(shè)計選編一定量的應(yīng)用性數(shù)學(xué)問題，給學(xué)生提供探索的機會，讓學(xué)生在探索過程中體會數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活。培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐能力，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，逐步發(fā)展應(yīng)用意識，形成基本的實踐應(yīng)用能力。
總之，隨著課程改革的深入，對我們教師提出了更高的要求，我們要把教學(xué)當成一種崇高的事業(yè)來追求，把每一節(jié)課的效率都提上去；把每一堂課都看成是發(fā)揮自己創(chuàng)造力、施展才華的機會，看成是發(fā)展自己的一個機會，把上好一節(jié)課看成是自己生命價值的體現(xiàn)。
參考文獻
關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)；小組學(xué)習(xí)模式
復(fù)習(xí)是鞏固知識、強化知識的有效活動之一，也是提高高考成績的重要活動，更是提高學(xué)生知識靈活應(yīng)用能力的重要方面。因此，在高三復(fù)習(xí)活動中，我們要有效地將小組學(xué)習(xí)模式應(yīng)用到其中，以充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，使學(xué)生在小組交流學(xué)習(xí)中逐步提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量，進而為高效課堂的順利實現(xiàn)做好保障工作。因此，本文就從以下幾個方面入手對如何將小組學(xué)習(xí)模式應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)進行論述，以為高質(zhì)量的復(fù)習(xí)活動的實現(xiàn)做出貢獻。
一、以小組為單位進行自主對比復(fù)習(xí)
自主對比復(fù)習(xí)是指在復(fù)習(xí)過程中將具有關(guān)聯(lián)的知識點放在一起進行比較復(fù)習(xí)，目的就是要加深學(xué)生的印象，在比較中掌握知識，提高效率。所以，在實際數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們要以小組為單位，引導(dǎo)學(xué)生將比較后的結(jié)果在小組內(nèi)進行交流，以豐富學(xué)生的對比結(jié)果，進而逐步提高學(xué)生的復(fù)習(xí)質(zhì)量。
例如，在復(fù)習(xí)《指數(shù)函數(shù)》和《對數(shù)函數(shù)》時，為了發(fā)揮學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，也為了充分發(fā)揮小組學(xué)習(xí)方式的價值，在復(fù)習(xí)的過程中，我引導(dǎo)學(xué)生對兩者的函數(shù)定義、圖象和性質(zhì)進行對比，然后，引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)：y=2x、y=log2x；y=3x、y=log3x進行作圖比較，并在小組內(nèi)討論，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，并借助已學(xué)過的知識進行證明?？梢姡谶@樣的對比復(fù)習(xí)活動中，我們要充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，并鼓勵學(xué)生將自主的觀點和看法與小組成員進行交流，以為學(xué)生復(fù)習(xí)效率的提高做出相應(yīng)的貢獻。
二、以小組為單位將零散知識系統(tǒng)化
零散的知識系統(tǒng)化是復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)的作用之一，也是加深學(xué)生印象、提高學(xué)生復(fù)習(xí)效率的重要方面。眾所周知，數(shù)學(xué)知識點相對比較散，而且，相互之間的關(guān)聯(lián)性又比較強，導(dǎo)致一些學(xué)生在解題中常常不能準確地應(yīng)用所學(xué)知識，嚴重不利于知識應(yīng)用能力的提高，也不利于復(fù)習(xí)質(zhì)量的提高。所以，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中，我們要鼓勵學(xué)生將零散的知識系統(tǒng)化，以方便復(fù)習(xí)，提高效率。
例如，在復(fù)習(xí)《圓錐曲線與方程》這一章節(jié)時，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)的是“橢圓、雙曲線、拋物線”三部分內(nèi)容，每部分中知識點之間都是相似的，而且，知識點也比較多，應(yīng)用起來常常會出現(xiàn)混淆。所以，在復(fù)習(xí)過程中，我引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位將本章節(jié)的知識點進行系統(tǒng)化，即：將三者的“幾何條件”“標準方程”“圖形”“頂點坐標”“對稱性”“焦點坐標”“離心率”“準線方程”“漸近線方程”等相關(guān)的知識點以表格的形式進行整理，將知識形象化?？梢姡谶@樣的小組學(xué)習(xí)法的應(yīng)用中不僅能夠帶領(lǐng)學(xué)生重新對基本的圓錐曲線的基本知識進行回顧一下，而且，知識系統(tǒng)化的過程中也能加深學(xué)生的印象，對提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率也有著密切的聯(lián)系。
三、以小組為單位進行數(shù)學(xué)習(xí)題討論
習(xí)題討論主要是分析試題和找出解題的思路，正如我們常說的：“一人計短，二人計長”的道理一樣，在習(xí)題討論中，我們要充分發(fā)揮小組學(xué)習(xí)方式的價值，要鼓勵學(xué)生積極地參與到問題的思考中，并找出自己的解決方法，在小組內(nèi)進行交流，也就是說進行一題多解，這樣不僅能夠拓展學(xué)生的思路，提高解題能力，同時，也能提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量。
例如，過圓x2+y2=4與x軸的兩個交點A、B作圓的切線AC、BD，在過圓上任意一點H作圓的切線交AC、BD于C、D，設(shè)AD，BC的交點為R，求動點R的軌跡E的方程。
在解答該題時，為了提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率，也為了拓展學(xué)生的思維空間，我組織學(xué)生在小組內(nèi)對該題進行認真分析，并在相互交流中找到不同的解題思路。比如，可以通過設(shè)定H的坐標來求出R的軌跡方程，該方法是最常用的，但是，計算比較繁瑣。組織學(xué)生從不同的角度進行分析，進而幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗，提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，同時，小組這樣的討論、交流對學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的形成以及創(chuàng)新精神的培養(yǎng)也起著不可替代的作用。
當然，除了將小組學(xué)習(xí)模式應(yīng)用到上述的三個方面之外，我們還可以應(yīng)用到試卷的講評活動中，目的是讓優(yōu)等生帶動學(xué)困生去自主改正錯誤，分析問題，進而逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力?？傊诟呷龜?shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過程中，我們要認識到該環(huán)節(jié)的重要性，并最大化地發(fā)揮小組學(xué)習(xí)法的價值，進而在提高復(fù)習(xí)質(zhì)量的同時，
也促使學(xué)生能夠以飽滿的信心走進考場，面對高考。
參考文獻：
關(guān)鍵詞：“指導(dǎo)―自主”；講解；提示；聯(lián)系
中圖分類號：G630 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）08-199-01
教育的對象是學(xué)生，他們是教育活動的主體。學(xué)生獲得知識、掌握技能、發(fā)展能力，以及養(yǎng)成良好的心理品質(zhì)，都是在不斷的學(xué)習(xí)過程中逐步完成的。學(xué)生的學(xué)習(xí)，一般都是有教師指導(dǎo)下進行的，過去人們主要關(guān)心的是“教師應(yīng)該如何教”，至于“學(xué)生是怎樣學(xué)”的則研究甚少。
江山野教授的《論教學(xué)過程和教學(xué)方式》，從理論上闡述了中學(xué)階段進行“指導(dǎo)―自主”教改的必要性和可行性。所謂“指導(dǎo)―自主”是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進行自主學(xué)習(xí)教材內(nèi)容的一種教學(xué)方式。
也許有人會認為，既然是學(xué)生自主地學(xué)習(xí)，那么教師在課堂僅僅起了組織者的作用，無須再講授些什么內(nèi)容了。其實這是一種錯誤的觀點，因為初中學(xué)生的學(xué)習(xí)能力僅僅處在相對獨立或其本獨立階段，通過他們的自主學(xué)習(xí)只能獲得基本知識、學(xué)習(xí)基本技能，亦即解決現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的問題，而那些隱含在教材深處的問題，他們是無法法解決或不能完全解決的。因此，教師的課堂教學(xué)就是要揭示這些經(jīng)過學(xué)生個人自學(xué)后無法單獨解決的問題，即解決最近發(fā)展區(qū)的問題。所以，“指導(dǎo)―自主”學(xué)習(xí)在課堂上教師還是要講的。
一、創(chuàng)設(shè)情境，講清概念
不要認為“指導(dǎo)―自主”就是讓學(xué)生自己把概念、定理、推論等讀熟、背熟就行，然后根據(jù)它們的關(guān)系做練習(xí)，老師檢查，發(fā)現(xiàn)錯誤再評講。
其實不然，概念是推理和論證的基礎(chǔ)，是思維的基石，研究表明，學(xué)生精確地掌握好基本概念、原理，并使之高度概括化、結(jié)構(gòu)化，這是促進知識遷移和能力發(fā)展的重要條件。而數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性、邏輯性和系統(tǒng)性。因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念必須嚴謹?shù)胤治觥⒕C合、深刻地理解其本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系，才能達到解題方法的合理性和結(jié)果的正確性，從而培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性。但中學(xué)生尤其是初中生，由于被表面的現(xiàn)象所迷惑，以至于解題錯誤。
二、弄清知識的產(chǎn)生過程
每件事物的發(fā)展，都有其過程。數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生，也有它的過程。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，實際上是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維活動。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是在教師的指引下，有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)關(guān)于研究現(xiàn)實世界的空間形式，及其數(shù)量關(guān)系的思維活動成果和探索、發(fā)現(xiàn)、解決問題的思想方法。并由此培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，正確地揭示了數(shù)學(xué)思維的活動實質(zhì)性的過程。
學(xué)生的自學(xué)，僅僅是對書本的知識進行學(xué)習(xí)，對一些結(jié)論的運用而己，而不知道這些結(jié)論是怎樣來的。因此，教師就有必要引導(dǎo)學(xué)生利用己有的知識探求這些結(jié)論的來歷，不要總是書本上怎樣說的，就讓學(xué)生怎樣做。這樣，就不能使學(xué)生所有的知識進行融會貫通，靈活運用。
三、理順知識間的內(nèi)在聯(lián)系
數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)嚴謹?shù)挠袡C整體的學(xué)科。就象自行車的鏈子，如斷了一節(jié)，車子就不能行駛。數(shù)學(xué)的各個知識點是相互聯(lián)系的，只有系統(tǒng)地認識這些聯(lián)系，才能形成較完善的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。但中學(xué)生尤其是初中生受到自學(xué)能力的限制，有的聯(lián)系是無法或不能很好也被揭示出來的，此時，教師就應(yīng)適當?shù)貏?chuàng)設(shè)有關(guān)情境，幫助其揭示這些聯(lián)系。
例如：設(shè) 為實系數(shù)方程，求①m為何值時，方程有兩個相同的實數(shù)根？②設(shè) 和 是方程的兩實根，當m為何值是， 有最大值或最小值？并求出這個最大值或最小值？
這是一道應(yīng)用判別式和根與系數(shù)關(guān)系的題目，大多數(shù)學(xué)生都能通過自學(xué)獲得正確解法。也可引導(dǎo)學(xué)生從一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系尋求新解法：令 ，①方程 有兩個相同的實數(shù)根，須拋物線的頂點坐標在x軸上，即 ，由此可解得m的值。②可看成是函數(shù)的最值問題， ，為了求函數(shù)的最值，必須把它表示成單變量的函數(shù)關(guān)系式，這里有兩個變量 和 ，為了表示成單變量，必須考察 、 與m的關(guān)系，這就用到根與系數(shù)的關(guān)系。
這樣一來，就可以使學(xué)生由單純的知識點的解決提高到中學(xué)階段最重要的知識體系之中：方程與函數(shù)?？梢允箤W(xué)生樹立起方程和函數(shù)的觀點，這些觀點來源于一般數(shù)學(xué)知識，又高于一般數(shù)學(xué)知識，它具有概括性的包含性。如果這些觀點能讓學(xué)生在認知結(jié)構(gòu)中被固定下來，我疑可以達到從一種學(xué)習(xí)情境到多種情境的遷移。這是指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)過程中不可忽略的一點。
四、分清導(dǎo)與學(xué)
其實，除個別學(xué)生外，學(xué)生的智力大多相差無幾，但非智力因素對他們的影響卻千差萬別。也就是說，要想提高班級的整體成績，關(guān)鍵是關(guān)注學(xué)生的非智力因素，使學(xué)生愿學(xué)、想學(xué)、愉快地學(xué)，這也是素質(zhì)教育的要求。不少學(xué)生成績不好不是智商低，而是非智力因素所致。許多在班中調(diào)皮好動、惹是生非的學(xué)生，智商都不低，如果能調(diào)動這些學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，對其非智力因素科學(xué)引導(dǎo)、控制，那么他們將很可能成為人才。
作為一名從教多年的數(shù)學(xué)教師，我深知非智力因素對學(xué)生影響之巨大，所以我總是想方設(shè)法提高學(xué)生的非智力水平，時刻關(guān)注學(xué)生的非智力因素的變化情況，及時規(guī)范學(xué)生的行為，使同學(xué)們在智力正常發(fā)揮的前提下，盡量利用非智力因素為學(xué)生服務(wù)，使其高效地學(xué)習(xí)，以提高全班整體水平，進而優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)效益。
一、加強愛國主義教育，增強應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)動機。
教師應(yīng)經(jīng)常向?qū)W生講一些愛國之士的事跡，介紹他們是怎樣刻苦學(xué)習(xí)，怎樣以優(yōu)異的成績報效祖國的。比如，我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率怎樣震驚了世界，在天文、地理等諸多方面有怎樣的應(yīng)用。再如，講一講當代數(shù)學(xué)大師華羅庚怎樣成才，他推廣的優(yōu)選法使我國的糧食產(chǎn)量大幅度提高，為祖國節(jié)約了大量資金，為祖國作出了巨大貢獻。讓學(xué)生知道，要想將來在社會上立足、建設(shè)祖國，必須學(xué)好科學(xué)文化知識。讓學(xué)生明白，即使一個普通人，也應(yīng)學(xué)好數(shù)學(xué)，因為生活中處處有數(shù)學(xué)。不必說航空航天、國防建設(shè)等尖端科技要用到數(shù)學(xué)的推理計算，就是日常買賣、商品貿(mào)易、家庭開支統(tǒng)計等也離不開數(shù)學(xué)。離開了數(shù)學(xué)，我們將寸步難行。
二、設(shè)法激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
興趣可使學(xué)生自覺投身到學(xué)習(xí)活動中，激起求知欲。興趣可使人忘掉一切、樂此不疲，使學(xué)生以積極的態(tài)度自覺克服學(xué)習(xí)中的困難，自主探索知識奧秘。
1.將零散的不易記憶的知識進行歸納、壓縮、整理，使之變得像詩詞一樣整齊、規(guī)范、言簡意賅、朗朗上口，這樣可以使學(xué)生感到新鮮，興趣大增，便于記憶。比如，單項式的次數(shù)可總結(jié)為八字“所有字母，指數(shù)的和”；根式化簡的標準可總結(jié)為三個五言句“根號中無分母、分母中無根號、根號中要開凈”；同類二次根式的概念可略為八字“化簡以后，里邊一樣”（指根號里邊相同）；用十字相乘法把一個二次三項式（已降冪或升冪排列好）因式分解的方法是“拆兩邊，湊中間”。對于“方差”的概念，教材中敘述得很清楚，但太長、難記，不易操作，不利于求一組數(shù)據(jù)的方差。我簡化為頗具生活氣息的三個字“插花瓶”（差、方、平的諧音，“差”指一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)與它們的平均數(shù)的差，“方”指將這些“差”分別平方，“平”指求這些“差”的平均數(shù)）。這樣，同學(xué)們很容易就掌握了方差的算法。此后我一提到方差，同學(xué)們便異口同聲說出“差方平”。這是一種很好的聯(lián)想記憶法。
2.利用教材內(nèi)容自身的魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。教材內(nèi)容利用、處理得好，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生的活動進入積極狀態(tài)，從而促進智力發(fā)展，提高學(xué)習(xí)效率。要想利用教材吸引學(xué)生，就要挖掘數(shù)學(xué)教材中所蘊含的美。數(shù)學(xué)美無處不在，比如，用＋、－、×、÷就能準確描述客觀世界中四大基本的數(shù)量關(guān)系，就如同憑借七個音符就能譜出各種華美的樂章一樣，這便是數(shù)學(xué)的符號之美；用S=ah就可表示三角形的面積求法，用a+b=b+a就可表示加法交換律，等等，還有“對頂角相等”、“兩點之間線段最短”這類惜墨如金的定義、定理、推論等，無不反映出數(shù)學(xué)的簡潔美；精美的圓、正八面體，令人神往的黃金三角形，向遠處無限延伸的拋物線，美麗的正弦曲線等又折射出數(shù)學(xué)的符號美；利用書寫的幾何證明過程，則又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)嚴謹推理的邏輯美。
3.利用教師自身的魅力吸引學(xué)生，使學(xué)生愿聽你的課，完成你布置的作業(yè)。這要求教師不僅要有精湛的業(yè)務(wù)造詣，而且要有高超的語言藝術(shù)，以及相當?shù)臅ㄋ?。業(yè)務(wù)水平高，能把問題講清講透，是吸引學(xué)生的主要原因。教師的課堂語言要講藝術(shù)，不要太刻板、生硬，要講策略，善于深入淺出、通俗易懂，要有幽默感、充滿睿智與機敏。板書應(yīng)規(guī)范，講究字體間架結(jié)構(gòu)，具有一定的觀賞性。總之，業(yè)務(wù)、語言、書法要三管齊下，讓學(xué)生覺得聽你的課是一種享受，他們才會欣賞你的人，熱愛你教的學(xué)科。
4.多給學(xué)生提供展示的機會，放大學(xué)生的閃光點。教師應(yīng)給各個層次的學(xué)生出一些相應(yīng)檔次的問題，要注重個體差異。可以出口答題、板演題，可以出三言兩語的簡答題，也可以出分層次回答的復(fù)雜題，抓住任一知識點就可出一道題。總之，應(yīng)因人而異，讓每個人都有展示的機會。要多給中下等學(xué)生尤其后進生提供機會，對他們的成功哪怕只有一點點閃光，都要大加贊揚，讓其體會到成功的喜悅，鼓舞斗志、增強信心。
5.充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，制作教學(xué)課件?，F(xiàn)代信息網(wǎng)絡(luò)、多媒體技術(shù)能為學(xué)生提供和展示各種資料，例如，聲音、文字、圖像等，具有動感、美感、惟妙惟肖等特點，可以把復(fù)雜難懂的內(nèi)容演示得清楚、明朗。運用數(shù)學(xué)課件不僅省時省力，而且對學(xué)生的感官具有很強的沖擊力，能激起其好奇心與求知欲，對培養(yǎng)興趣大有裨益。
三、誘發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。
情感是心理素質(zhì)的一個重要方面，指人對接觸到的客觀事物所持的態(tài)度和體驗。數(shù)學(xué)教師要設(shè)法激起學(xué)生對數(shù)學(xué)的情感，可以用數(shù)學(xué)之美去熏陶學(xué)生的情感，可以用成功激勵學(xué)生的情感，可以通過學(xué)生的向師性吸引學(xué)生的情感。教師要關(guān)注每個學(xué)生，愛護每個學(xué)生，保護他們的自尊心和自信心，使他們樂學(xué)、愛學(xué)。
四、培養(yǎng)學(xué)生良好的習(xí)慣。
壞習(xí)慣能毀掉一個人，而好習(xí)慣能造就一個人，使學(xué)生終身受益，教師應(yīng)從生活、學(xué)習(xí)等方面培養(yǎng)學(xué)生的好習(xí)慣。
1.養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣。起居要有規(guī)律，早睡早起。應(yīng)養(yǎng)成晨練的好習(xí)慣，為一天的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，以保證充足的精神和清爽的大腦。一日三餐不可偏頗，切勿養(yǎng)成不食早餐的習(xí)慣。有了好身體，才能為學(xué)習(xí)提供保證。
2.養(yǎng)成預(yù)習(xí)的好習(xí)慣。上課前一定要將要講的內(nèi)容瀏覽一遍，做到心中有數(shù)，知道難易處、關(guān)鍵點，這樣才能做到聽課時從容、臨課不亂、提高效率。
3.養(yǎng)成做筆記的習(xí)慣。對于知識點、好題型、解題技巧、經(jīng)典理論等要隨時記下、課后整理、常翻常看、加強記憶。
