時間：2023-05-30 10:43:27
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇五年級解方程練習題，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、 內容編排
從表中可以看出：
1.教學內容的差異。三版教材的主要內容主要包括字母表示數、方程的概念、解方程、方程的應用四個方面，但人教版更關注方程意義的理解，蘇教版重視字母表示數，北師版強調解方程。
2.條理性的差異。人教版和北師版對方程內容都以小標題的方式標注，條理比較清晰，蘇教版沒有小標題只是對例題按順序編號，需要自己概括所學的內容。
3.年級上的差異。人教版把方程內容集中安排在五年級上冊，蘇教版安排在五年級上下兩冊，北師版安排在四年級和五年級下冊，中間間隔五年級上冊。
4.內容篇幅的差異。北師版節數在三者中為最多，而頁碼數卻是最少，只有21頁。蘇教版和人教版節數相差兩節，頁碼分別為31和34頁。人教版只有一章，但在三版教材中頁數最多。
二、呈現方式
1.字母表示數。三版本都有這小節的呈現，為后面方程的引入奠定基礎。人教版以 “用一個式子表示小紅爸爸的年齡”“用含有字母的式子表示出人在月球上舉起物體的質量”“用字母表示運算定律以及正方形的面積和周長” 三個例子逐漸遞進、螺旋式引入用字母表示數；蘇教版也是以 “用小棒擺成三角形”“汽車行駛路程”“正方形的周長與面積”三個例子來逐步深入對字母表示數的認識；北師版借助歌謠“一只青蛙一張嘴，兩只青蛙兩張嘴，三只青蛙三張嘴……”，要求用字母表示青蛙的只數，這里展示的是一個不斷變化的量，因此最終的答案不是一個具體的數而是字母“”。三版教材讓學生經歷從具體到抽象的認識過程，意識到字母不僅可以表示已知量，還可以表示特定的未知量。
2.方程的定義。三版本的方程定義都是從具體例子中歸納出方程的概念，只是在概念導入前創設的情境有所不同。人教版和蘇教版基本都是以天平呈現的等式出發，到帶字母的不等式，再到帶字母的等式；而北師版建立在等量關系的基礎上，呈現天平、種子質量、熱水瓶的盛水量三幅實物圖，用表示等量關系中的未知數。三版教材中方程的定義都是一樣的：含有未知數的等式叫方程。 蘇教版還要求學生區分等式與方程的關系，以強化對方程概念的理解。
3.解方程。人教版把等式的性質單獨作為一節，解方程作為下一節，直接利用等式的兩條性質得到方程的解；蘇教版分開介紹等式的兩條性質，然后根據等式的性質來思考方程的解；北師版把解方程分為兩節，啟發學生l現等式的兩條性質，再分別去解方程。從三版教材解方程的呈現來看，北師版和蘇教版更注重采用啟發式教學，培養學生解決問題的能力，人教版則要求學生具有綜合運用等式性質去解方程的能力。
4.方程的應用。三版本要求列方程解應用題，主要側重于解決日常生活中的實際問題，人教版的問題是學校跳遠記錄和足球的黑皮塊數，蘇教版是小紅的體重和西安大雁塔的高度，北師版是郵票的張數和相遇問題。其中人教版和蘇教版都強調列方程解答的步驟，而北師版對此沒有過多要求。三版本中方程的應用，體現了數學來源于生活、作用于生活、應用于生活的觀點。
三、習題設置
1. 習題類型。對比分析三套教科書，分析歸納出習題類型分為：填空題、判斷題、選擇題、連線題、計算題、應用題、拓展題。
從表中看出，人教版和蘇教版的習題較多，而北師版最少，這與其內容頁碼是一致的。三套教科書習題比重最多的是方程內容的應用題，可見教材注重學生的模型思想構建，以及重視培養學生的問題解決意識。
2.素材來源。三套教科書的題目素材主要來源于以下四個方面：無背景、個人生活、公共常識、科學情境。
從表中可以看出，三套教科書方程內容無背景的習題最多，大都是解方程、依照線段圖和實物圖列方程，教科書重視對學生運算能力的訓練。對科學情境方面的習題也有所涉及，基本集中于對國家自然地理、人文地理、物理質量等，教材加強數學與其他學科的融合，這是對學生綜合性知識的一種拓展。
四、數學文化欄目
1.猜數游戲。人教版與蘇教版在解方程的練習題之后，設置了一個猜數游戲，即根據一個方程，告知已知的幾個數，猜想未知數的某一個值。北師版單獨將猜數游戲作為方程內容的一節，要求學生會玩這個游戲，看懂游戲，并能列方程解決游戲問題。猜數游戲需要借助于方程，運用逆向思維倒推得出答案，體現了對推理思維的訓練。
2.“你知道嗎”欄目。三版本都設有“你知道嗎”欄目，只是內容設置有些不同。三版教材都提到，在3600多年前，古埃及人就會用方程解決數學問題，也介紹了我國《九章算術》中運用方程的記載。人教版指出，最早使用字母表示數的是法國數學家笛卡爾；北師版提到，我國數學家也曾使用專門的記號來表示未知數；蘇教版設有兩個“你知道嗎”欄目，第一個欄目指出第一個系統使用字母來表示數的是法國數學家韋達，第二個欄目介紹了我國古代數學家李冶的“天元術”，這是一種用數學符號列方程的方法，以及后來朱世杰的“四元術”。三版教材“你知道嗎”欄目給學生介紹了方程的歷史，提高了學生的學習興趣，加強了對方程的理解。
五、教學建議
1.理解字母表示數的意義。三版本教材都把用字母表示數放在“簡易方程”單元的前面。然而，為什么要用字母代表數？它和方程的關系是什么？它的背后蘊含著怎樣的數學思想方法？大都沒有深究。用字母表示數是一種特殊的思維方式，即為了尋求未知數，從文字符號所體現的數量關系中，經過各種運算、變換，最終找到答案。這種方法稱作方程思想方法。在數學史上，用字母表示數的探索是漫長的，學生在學習中會遭遇到和古代數學家相似的困難，教師要站得高些，想得深些，滲透字母表示數背后所蘊含的數學思想方法，才能為后面方程概念的理解奠定基礎。
關鍵詞：公式，應用題 ， 運用，教學 ， 小學數學
Abstract: the elementary school mathematics teaching, teaching is a key word, is also a difficulty, it throughout the elementary school mathematics teaching material, teach and learn word problem to solve them is the elementary school mathematics teacher and student's a large task and heavy task. And how to effectively to achieve this goal, the teaching of mathematics has for us direction, with providing the method, we want to do is understand direction, with good this method, the formula of the importance of use to talk about the practical teaching of trends and small opinions.
Key words: formula, application that use, teaching, elementary school mathematics
中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A 文章編號：
在一次討論中，有位剛畢業的五年級數學老師談到這樣一件事：教學五年級上冊小數除法時，教材中以“王鵬的爺爺每天堅持慢跑1.8千米。他每天跑12分鐘。爺爺慢跑的速度是多少？”進入課題。在老師導入提問學生時，有個學生列出的算式不是5.6÷7，課堂一下進入解答方法的小困境。對于這樣一道導入的例題，只要知道路程、速度、時間的關系式，想必是不會走理解上的歪路。
在小學數學應用題教學里，如何去理解與列式是個非常重要的教學環節，也是個棘手的環節。而運用常用的數學公式可以使問題簡單化，很多的數學公式為理解應用題提供了便捷之路。在理解了公式及運用的同時，不但能讓學生知其然，也能知其所以然。可以說：運用數學公式解答小學數學應用題既簡單又明了，且有質量有效率。人民教育出版社的數學教材中應用題的解答，有許多公式運用的例子，也在教材中充分體現了公式的作用，那是一種解題好方法。可想而知，教材中既然有了這樣的公式，就是要教師教好這些公式，讓學生學好并且用好這些公式，也是為應用題的解答方法指出的一條明路。
在小學四年級上冊的教材第3單元“三位數乘二位數”中，對路程、速度、時間的關系進行過學習，相信教師在緊接其后的教學內容里會總結總價、單價、數量以及工作總量、工作效率、工作時間的關系。又在五年級上冊“用字母表示數”中再次出現過這些數學公式的字母表示法，可以肯定這此式子是有用的。事實上，學好與用好這些公式是解答應用題的上好幫手。
在此以“總價、單價、數量”和“路程、速度、時間”在教材中出現的實際情況和教學中的個人認識說說它們的重要性。此外，面積、體積計算等公式對這些公式來說就更具有針對性，就不多羅嗦。
當今人民教育出版社的數學教材中，以總價、單價、數量為例的教學例題不少，練習就更多。 比如“一共有25個小組，每個小組種了35棵樹苗。購買樹苗花了1250元，每棵樹苗多少錢？”這是四年級混合運算教學中的一道例題，如果學生明白了“1250元”和問題表示的量，那么就成了解決“單價”（總價÷數量=單價）的題目。數量還是個未知數字，而數量的問題回到了小學中倍數的解答方法“25個35的問題”。從而得到解答方法：1250÷（35×25）。
又看 “購買蘋果和梨各2千克用去10.4元，梨2.8元／千克。蘋果每千克多少錢？”這是五年級一道解方程的教學例題，如將解方程放下，就是一道較為特殊的應用題，但是我們用“總價、單價、數量”的關系來作分析，很容易得出10.4元是總價，2千克是數量，那么10.4÷2=5.2元，因為梨和蘋果各2千克，2.8元是梨的單價，則蘋果單價為5.2－2.8=2.4（元）。
再看六年級的一個教學例子：張大媽家上個月用了8噸水，水費是12.8元。李奶奶家用了10噸水，李奶奶家上個月的水費是多少錢？這其中也是總價、單價、數量的影子，不同的是這是個“用比例解決問題”的教學例題，通過分析張大媽家的情況可得：總價÷數量=單價（12.8÷8=1.6）；因為水的單價是不變的，又得：單價×數量=總價（1.6×10=16（元）。眾多的教學實例是可以用這樣的方法去解答出來，而教材中的練習題能用這樣的方法解答的，課本中為數不少，運用“總價、數量和單價”之間的關系式來解答小學中的應用題是種不錯的方法，且可以廣泛的使用。
再以人民教育出版社的數學教材為例看一個教師和學生都熟知的公式：路程=速度×時間，以及它的兩個變式：速度=路程÷時間和時間=路程÷速度在小學中、高年級數學里的可以運用的情況：李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時，火車1小時行145千米。該城市到北京有多少千米？這道例題是道筆算乘法的導入應用題，可以很容易地用“路程=速度×時間”來列出算式：145×12。如果學生知道這個公式，就有理解列式的方法，就像開始例了，如果班級中學生了解“速度=路程÷時間”這樣的公式，課堂就非常容易地進入主題。
而在六年級的分數乘除法中，有這樣一個例題：小明2／3小時走了2千米，小紅5／12小時走了5／6千米。誰走得快些？在以該題進入分數除法計算的導入時，學生只要分別知道小明和小紅用的時間和走的路程，用“速度＝路程÷時間”就能列式，教學過程就可以依次進行。
在六年級下冊的整理和復習中，有“學校組織遠足活動。原計劃每小時走3.8千米,3小時到達目的地。實際2.5小時走完了原定路程，平均每小時走了多少千米？這樣的實例，這道題如果用小學數學的方法，知道“路程=速度×時間”和“速度=路程÷時間”兩種計算法的四年級學生就可以理清題意而列出算式，再而進行比較。在六年級的知識中，這是用“反比例”方法理解的，學生如果運用了公式“路程=速度×時間”，不但可以無誤的解題，還能進一步鞏固“路程一定，速度和時間成反比例”這一知識點。
工作總量、工作效率和工作時間的的問題在小學數學中運用相對前兩個公式少了很多，在六年級的分數應用題中有較多的運用，但是它也是一個應該了解與掌握的數學公式。
上述的三個關系式與小學數學里的倍數關系、周長、體積、表面積計算公式是可以為應用題的理解和解答提供快速有效的幫助。
對于數學公式的教學，可分二步進行：當然，對于“路程、速度、時間”及“工作總量、工作時間、和工作效率”的方法也同樣適用。
如何在教學中運用這些公式，方法簡單易行，
先學好公式 ：將公式牢牢的記住，理解公式中總價、單價、數量各項所表示的意義。這里理解是難點，而方法以簡單為好，以“買了6本書用了24元，每本用（）元”這樣的練習開始，結合“表示商品的全部價格，商品的單位價格”訓練，讓學生了解總價、單價、數量是什么。通過多次練習與實踐，學生理解后進入舉例的模式，了解蘋果和梨的總單價的練習，以開發他們的潛力。
接著就運用公式將學過的公式在解答應用題中進行運用，這個過程非常重要、關鍵，關系到成敗。在教學實際中，學生明白了應用題中量的意義，練習過后應作出及時的反饋，現將出現的問題地方有針對性地對學生進行指正，學生是不難掌握的。如果師生都再勤一點，應該可以做到應用題教學的高效果。
在教材中的舉例如此，練習中更是舉不勝舉，不論是教材中的習題，還是形形的教輔資料里，都有眾多它們的影子，我們如果說能夠加以運用，教師和學生都受益。并且從學習數學應用題開始，就開始運用它去解決問題，可以看到低年級里常見的是倍數關系的解決問題應用教學，只是沒有去從一個公式的角度思考，但是教學中仍是如此運用的。
可見備教材在教師的教學準備中不可少，綜合上述這么多的例子，我們在做教的準備時，就要明白教材為我們指示的方向和方法，“路”正確了，目的地更容易到達。想說這樣一句話，作為一個小學數學老師，如果還沒有找到教應用題的好方法，就先“死套公式，再做活”。當學會了會教應用題時，應該也會運用數學公式了。
人民教育出版社數學五年級上冊17頁例3
人民教育出版社數學四年級下冊43頁例3
人民教育出版社數學五年級上冊69頁例2
人民教育出版社數學六年級下冊59頁例5
人民教育出版社數學四年級上冊49頁例1
關鍵詞：數學；現代信息技術；作用
信息化社會中，現代信息技術不但運用于人們的生活中，也被運用到教育教學之中。隨著新課程的不斷發展與深入，以多媒體為主的現代信息技術已經被廣泛地應用于課堂教學之中，教學效果也得到了認可。為推動義務教育均衡發展，偏遠地區的學校正大力推進信息技術“校校通”“班班通”，使以多媒體教學為主要形式的教育信息技術快速融入課堂中。《義務教育數學課程標準》也明確指出：“積極開發和有效利用各種課程資源，合理地應用現代信息技術，注重信息技術與課程內容的整合，能有效地改變教學方式，提高課堂教學的效益。”這說明，教師在教育教學過程中要巧妙運用現代信息技術，才能提高課堂教學效果。
一、信息技術在運用時間上要講求“適時”
“適時”就是指利用信息技術時要根據教學內容在最佳時機來使用，以達事半功倍之效。一般來講，課堂導入適宜使用多媒體。這是由于一堂數學課的巧妙開頭能使學生的注意力很快集中，達到激發學生學習興趣與營造良好學習氛圍的效果。筆者在執教“平均分”時，利用多媒體在二年級（1）班進行了導入教學，具體做法是：編制“猴媽媽分桃子”的故事。上課伊始，筆者就將屏幕打開，顯示出本節課的內容“平均分”，還有猴媽媽、猴弟弟、猴哥哥三人，猴媽媽一共有6個桃子，先是給猴哥哥分了1個桃子，猴弟弟分了5個桃子。猴哥哥不高興地說：“媽媽，媽媽，這樣分不公平。”于是，猴媽媽就給猴哥哥分了2個桃子，但猴哥哥還是不高興地嚷道：“不公平，不公平。”此刻，我便問道：“猴哥哥為什么說這樣分桃子不公平呢？”學生爭先恐后地回答：“因為猴媽媽沒有平均分。”故事還在進行，最后，猴媽媽沒辦法了，只能給猴哥哥分3個桃子，給猴弟弟也分3個桃子。這時，猴哥哥說：“這樣分才公平。”筆者又問：“怎樣分才是公平的分法？”學生便異口同聲地說：“平均分。”到第二個班上課時，我對課件做了簡單的修改，屏幕剛打開時并未顯示出題目“平均分”，而是在學生看完故事后便立刻問道：“怎樣分才是公平的分法？”問題一提出，學生便爭先恐后地回答道：“分得的數量一樣多時，才叫公平。”我緊接著問：“這種公平的分法叫什么呀？”此時學生躍躍欲試，欲言不能，我便因勢利導，顯示出題目――“平均分”。
同一知識點的講解，對課件題目展示的時間稍作變化，課堂效果就截然不同。這說明，“適時”運用多媒體能達到“一石激起千層浪”的效果。這是由于小學生對新鮮事物比較好奇，使用CAI（計算機輔助教學）適時，就會引起學生的注意。相反，課件展示內容過早則會影響效果。這一實例說明，教師在運用現代信息技術進行教學時應當做到“適時”。
二、信息技術在呈現方式上要講求“適當”
“適當”就是指利用信息技術要根據數學教學內容的實際需要來加以優化組合，以最適當的方法達到最佳教學效果。就是說，不能是為了吸引學生眼球而讓課件的外在內容沖淡教學的重點、難點，以致喧賓奪主，反而失去創設情境、引發動機的意義。
現在的CAI課件通常會有形式多樣、活潑生動的多媒體呈現形式，如影像、動畫、數字、文字、圖像等，這些多媒體與數學教學內容的搭配是否適當，就成為影響數學教學效果的關鍵性問題。兩者搭配得好，就能突出重點、化解難點，收到良好的教學效果；兩者搭配得不好，即使課件色彩艷麗、場面壯觀、聲音雄壯，也只是嘩眾取寵。實踐證明，運用這樣的課件時學生會只顧觀看動畫、聆聽音樂、欣賞影像，反而分散了學生的注意力，結果是重點不能掌握，難點也不能突破。筆者在給二年級（1）班授課時，根據二年級學生的年齡特點在制作課件時特意挑選了一些卡通小動物作為背景圖片。但在授課時，筆者發現吸引學生注意力的不是教學內容，而是那些卡通小動物。課堂氣氛雖然活躍，但學生對教學重難點掌握卻不好。針對這一情況，我對課件做了簡單修改，將卡通小動物換為一些簡單的背景圖片。修改后的課件在二年級（2）班使用時，筆者發現學生的注意力比較集中，沒有出現二年級（1）班學生的情況。再如，筆者給四年級（1）班講授“乘法的分配律”時，發現學生思維跟不上多媒體的切換節奏，學生知識點掌握得并不透徹。課后與學生交流時，他們的回答是：“課堂上的知識感覺懂了，但不會做題。”學習基礎差的學生說：“多媒體課件呈現的運算過程太快，難以理解。”因此，給四年級（2）班授課時，我采用傳統教學手段，發現學生對重難點的掌握比較到位。這說明課件界面太過花哨，學生常被畫面中的其他因素所吸引，而忘記老師提出的問題，忽略了學習任務。因此，課件設計一定要符合學生心理特征與認知特點，否則就會干擾學生的注意力，影響到對教學內容的學習。有研究者指出，課件過于花哨常常使得“課堂上學生只顧欣賞美麗的背景，而忘記發現數學問題。這樣的教學，學生有效的學習時間縮短了，無形中沖淡了主題。”同樣，《義務教育數學課程標準》中也明確地指出：“現代信息技術的作用不能完全替代原有的教學手段，其真正價值在于實現原有的教學手段難以達到甚至達不到的效果。在應用現代信息技術的同時，教師還應注重課堂教學的板書設計。必要的板書有利于實現學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學內容的脈絡。”因此，教師不能完全拋棄黑板、粉筆。現代信息技術應當與傳統教學設備相結合，現代信息技術運用要做到“適當”。
三、信息技術在數量安排上要講求“適度”
所謂“適度”，就是指利用信息技術扣緊每節的重點、難點，宜少而精，切忌過多過濫。筆者利用多媒體為五年級（2）班講授“解方程”一課時，由于考慮到解方程涉及的運算較多，多媒體課件中安排的練習題較多。但為了在短短40分鐘內增加課堂的知識容量，在習題練習部分筆者出示題目速度較快，參與互動的學生人數明顯減少，不但沒有體現出小學數學的“全體性”，而且還給學生帶來了視覺疲勞和阻礙了師生的交流與互動。針對此狀況，我在五年級（1）班授課時刪除了一些習題，只保留了一些突出重難點的典型習題。通過這樣的改動，筆者發現學生很活躍，也很輕松。40分鐘的教學活動，學生對解方程的重難點掌握得相當透徹，大多數能做到“舉一反三”。這說明，教師在授課時應當根據教學內容來選用信息技術，不能為了增加課堂的知識容量而過多、過快、過濫地使用信息技術。事實證明，過多使用信息技術，有時反而會影響教學效率。簡言之，運用現代信息技術應當力求做到“適度”。
總之，現代信息技術具有直觀性、形象性、生動性等特點，是優化數學課堂教學的有效手段，在激發學生興趣、開發學生智力、提高數學能力等方面具有得天獨厚的優勢。但是，對現代信息技術運用不合理，卻會弄巧成拙，直接影響到課堂教學效果。在現代信息技術與數學課程、數學教學結合越來越密切的情況下，我們要切實做到“適時”“適當”“適度”，才能真正提高學生教學效率，促進學生數學能力的發展提高。
參考文獻：
關鍵詞：數學教學 作業錯例 學習能力
很多教師在數學教學中遇到學生們出現的各種計算錯誤時，都不能正確去處理學生的這種學習上的錯誤，有的老師甚至對學生進行嚴厲的批評，使學生對數學的學習產生厭學的情緒。在數學教學中，教師應該如何去面對學生的作業錯誤，也許有的老師會大發雷霆，也許有的老師會感到非常的懊惱沮喪，也有的老師會去分析反思。經過多年的數學教學實踐，我覺得在數學教學中學生所出現的作業錯誤，是我們教學中的正常現象，它既反映了學生真實的學習過程，又為我們教師提供了一個重要的教學資源，是教師有效調整教學方法與手段的依據。因此，作為教師我們應該在教學過程中有效把握這一教學反饋的資源，針對學生的學習情況有效調整自己的教學行為，使我們的數學課堂教學活動真正達到教育教學的最終目標。
教師在數學教學中可以利用學生的錯例來幫助學生理解掌握知識。在我們的數學教學實踐之中，學生對于單位基本的換算方法掌握不牢，教師應該讓學生明白大的單位轉化成小的單位應該是：大單位數乘以進率；而對于小的單位轉化成大的單位則應該是：小單位數除以進率。但是總有部分學生不清楚如何進行單位轉換，不是用錯方法就是用錯進率。在面積單位換算中，就因為這樣的原因部分學生的正確率不高。有學生在進行多邊形面積計算時，經常會把三角形或是梯形面積計算公式中的“除以2”丟了，這是學生對這些面積公式的推導過程不了解、相關基本知識掌握不牢導致的。在解方程的計算中，有學生就會因為定律掌握不夠導致錯誤。如下面這個方程的解題過程：
3（x+2.1）=10.5
3x+2.1=10.5
3x+2.1-2.1=10.5-2.1
3x÷3=8.4÷3
x=2.8
從此題可以看出學生對乘法分配律的掌握不夠，導致2.1沒有乘3而出錯。
5.4x+x=12.8
5.4x+1=12.8
或（5.4+1）x+1=12.8
出現這樣的錯誤，是因為學生對乘法分配律掌握與應用的不熟練造成的，甚至有些同學根本就是不懂乘法分配率應該如何應用，從而導致在解題中出現這些錯誤答案。根據乘法分配律5.4x+x應該是z5.4+1{x。這些學生的錯題都是教師有針對性對學生進行知識講解與訓練的好機會，正好讓學生們來好好地學習鞏固這方面內容，根據學生實際設計有效的教學方案，進行有目的的教學，幫助學生在數學學習的過程中形成體系完整、思路清晰的數學相關知識概念法則。并且在教學過程之中教師要盡可能多的給學生練習的時間，爭取讓學生在課堂上多練習，完成一些課堂作業，教師應該在教學之別對學生計算中易出現的失誤及時給予指導，找到學生出現錯誤的原因加以及時的糾正、講解。 并根據學生的作業情況加強易出現錯誤的題型練習，力求鞏固并真正掌握。
[關鍵詞] 小學數學； 問題解決； 認知分析； 認知模擬
[中圖分類號] G434 [文獻標志碼] A
[作者簡介] 魏雪峰（1981―），男，山東萊蕪人。講師，博士，主要從事問題解決認知模擬研究。E-mail：。
一、引 言
認知研究已成為世界大國國家科技戰略特別關注的領域之一。《國家中長期科學和技術發展規劃綱要（2006―2020年）》將“腦科學與認知科學”列為我國科技中長期發展規劃的前沿科技領域之一 。認知科學就是要“說明和解釋人在完成認知活動時是如何進行信息加工的”，[1]通過在心智、腦科學和教育（Mind， Brain and Education）之間建立橋梁，將最新成果應用于學習和教育過程。隨著學習科學的發展，許多研究者關注學習者的學習過程。我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》也指出，“課程內容要符合學生的認知規律，不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法”。[2]數學問題解決是典型的學習活動，分析問題解決認知過程有助于深入了解學生數學認知規律。本文分析了認知模擬的相關研究，綜合心理學、教育學、腦科學、認知神經科學、人工智能等相關學科研究成果，以小學數學程序性知識典型問題為例，分析問題解決認知過程，實現認知模擬及可視化顯示，并討論對小學數學教學的啟示。
二、認知模擬相關研究
許多研究者使用計算機模擬的方法來研究問題解決的內部過程。紐厄爾和西蒙編寫了第一個模擬人類解決問題的計算機程序――邏輯理論家（Logic Theorist，簡稱LT），成功模擬了人證明符號邏輯定理的認知過程[3]。LT證明了Whitehead所著數學名著《數學原理》中的全部52條定理，實現了對人類啟發式搜索的問題解決過程的模擬。紐厄爾和西蒙開發了通用問題解決者（General Problem Solver，簡稱GPS）程序[4]。該程序主要是依據“手段―目的分析”方法編寫而成，成功模擬了定理證明、河內塔（Tower of Hanoi）、傳教士和野人過河等多種不同類型的問題。Hiller等人開發了模擬人譜寫樂曲的計算機程序[5]；紐厄爾等人開發了模擬人下棋的程序[6]；紐厄爾等人根據經驗修改其自身許多方面，進而達到“學習”的計算機程序[7]。西蒙對頓悟、理解等思維和問題解決的行為進行了計算機模擬，他認為計算機模擬是一個預測和解釋大量思維現象的強有力工具[8]。
在數學問題解決認知模擬領域，安德森等人使用ACT-R模擬了代數方程式“7x+3=38”的解題過程[9]，魏雪峰對典型陳述性知識小學五年級“眾數”問題實現了認知模擬[10]。幾何證明是重要的數學問題，Gelernter等人開發了模擬人證明幾何定理的計算機程序――幾何機器（Geometry Machine）[11]，李莉等人使用ACT-R實現了平行證明幾何問題的認知模擬[12]。我國學者吳文俊院士提出了一種幾何定理機器證明的數學算法，被稱為“吳方法”[13]。張景中院士等人在“吳方法”的基礎上進行改進，使新的算法實現了幾乎所有幾何證明題的自動解題[14]。
綜合以上分析可知，現有的數學問題解決認知模擬主要存在以下不足。
（1）數學問題的計算機自動解答，雖然取得了巨大進展，但僅從機器角度實現，和數學課程所要求的解答有很大的不同，沒有考慮學生問題解決的過程，解題所用的方法也常常超出學生所掌握的知識范圍[15]，不能對教學提供幫助和指導。
（2）卡耐基梅隆大學安德森（Anderson J. R.）教授帶領的研究團隊對數學問題解決的認知過程進行了研究，并提出了用于指導模擬和理解人類認知的ACT-R理論，但沒有給出如何分析小學數學問題解決認知過程。
（3）已有研究僅從各自視角對數學問題解決進行了分析，未能綜合相關學科的研究成果，缺乏實質性的學科交叉研究。
三、小學數學問題解決認知模擬
（一）典型問題
研究過程中分析的內容是小學五年級下冊第四單元“分數的意義和性質”中的“異分母相加”知識點。[16]“異分母相加”知識點的教學目標是學會計算兩個異分母相加，是小學數學程序性知識典型問題。
在學習“異分母相加”之前，學生已經知道自然數2、3、5的倍數特征，了解公倍數和最小公倍數。在1～ 100的自然數中，能找出10以內自然數的所有倍數，能找出10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數。
根據“異分母相加”知識點和學生的特點，設計了以下題目：
“請給長方形紙張涂顏色，整張紙的1/3涂成黃色，整張紙的2/5涂成黑色，顏色不能相重（即涂黃色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黃色），黃色和黑色共占整張紙的幾分之幾？”
（二）認知過程分析
認知模型是分析問題解決認知過程的依據。以小學數學問題解決認知模型（A Cognitive Model of Mathematical Problem Solving，CMMPS）[17]為分析框架，該認知模型包括視覺模塊（Visual Module）、產生式模塊（Production Module）、提取模塊（Retrieval Module）、目標模塊（Goal Module）、問題狀態或問題空間模塊（Problem State Module，也稱為Imaginal Module）、輸出模塊（Manual Module）等六個模塊。“異分母相加”問題解決的認知過程可描述為：
（1）學生看到問題，視覺編碼后，激活長時陳述性記憶中相關對象，實現題意理解，將目標確定為異分母相加，即“1/3+2/5 =？”，完成了從應用問題到計算問題的轉換；
（2）要解決問題“1/3+2/5 =？”，激活產生式“異分母相加求最小公倍數”，將目標確定為求3和5的最小公倍數；
（3）要求3和5的最小公倍數，激活產生式“3和5的最小公倍數3×5”，提取長時陳述性記憶中的事實“3×5=15”；
（4）求得最小公倍數之后，要將異分母化為同分母，即通分，“1/3”和“2/5”分別通分為“5/15”、“6/15”；
（5）通分后，異分母相加問題轉化為同分母相加，激活產生式“同分母相加分母不變，分子相加”；
（6）提取長時陳述性記憶中的事實“5+6=11”，結果為“11/15”，解題過程結束。
為了形象直觀的表示“異分母相加”這一問題解決認知過程，分析結果以認知矩陣形式表示，見表1。
表1中最左側的一列數字表示行號，每一列表示問題解決過程中每個模塊在不同時刻的內容；每行代表認知邏輯步驟（Cognitive Logic Step），并非與實際解題步驟完全一致，最后一行表示認知過程結束，即問題解決過程結束。
（三）認知模擬
認知模擬工具是美國卡耐基梅隆大學著名認知心理學家安德森（Anderson， John R.）教授研究團隊開發的ACT-R 6.0（Adaptive Control of Thought - Rational，簡稱ACT-R），其內部架構、參數設定都是依據大量的心理學實驗數據得到的，很多數據是通過核磁共振實驗精確驗證過的，具有一定的認知神經學基礎。它已經被廣泛使用來模擬人類認知行為的不同方面，例如漢諾塔問題（Tower of Hanoi）、語言理解、模式識別、記憶、簡單幾何證明等[18]。
對于不同的任務，研究者可以結合ACT-R的認知觀，增加自己對特定任務的假設，建立具體問題的ACT-R模型。研究中根據以上對“異分母相加”問題解決認知過程的分析，構建“異分母相加”ACT-R模型，使用Common Lisp語言編寫認知程序，實現認知模擬。“異分母相加”問題解決認知過程模擬如圖2所示，最小時間間隔為0.05秒（默認值）。
從模擬過程可以看出，問題解決過程中設定目標是關鍵一步，從確定目標開始，中間過程是問題狀態的不斷轉換，最終以達到目標結束。
（四）激活腦區
ACT-R中的模塊映射到腦區，這種映射可以使用功能性磁共振成像（Functional Magnetic Resonanceimaging，fMRI）方法來記錄“異分母相加”問題解決過程中大腦的血氧水平依賴（Blood Oxygen Level Dependent Response，BOLD）相應數據。
圖1以三維圖的形式在大腦模型中顯示了“異分母相加”問題解決過程某時刻大腦激活區。圖1中“0.0～1.0”表示的是亮度值。“0”是最小值，表示沒有被激活，區域是黑色的；值越接近“1”，表示激活的越多，區域亮度越高。圖的左側以不同顏色標示了緩沖區，緩沖區右側數字是激活程度。圖的右側是大腦激活區域，用與左側模塊相同的顏色顯示。
從圖1中可以看出，“異分母相加”問題解決過程中目標、提取、產生式緩沖區均有不同程度激活，其中目標緩沖區激活程度最大，值為0.981，接近最大值。緩沖區與大腦區域的對應關系，從圖1中可以明顯看出，圖像緩沖區（Imaginal）中內容（主要是數字）的提取與頂葉皮層（Parietal Cortex）的激活密切相關，這一結論與Pinel等人[19]、Eger等人[20]、張紅川等人[21]關于被試在看到數字或進行數字加工時頂葉皮層顯著激活的研究結論一致。提取（Retrieval）緩沖區負責提取陳述性記憶，與前額葉皮層（Prefrontal Cortex）激活相關，這一結論與秦裕林等人[22]、安德森等人[23]、Sohn等人[24][25]研究結論相一致，即前額葉（The Prefrontal）而不是頂葉（The Parietal）與個人知識提取相關。程序性（Procedural）緩沖區負責程序性知識的提取，與基底節激活密切聯系，這一結論與Hikosaka等人[26]的研究結論一致。
四、實 驗
實驗目的是比較“異分母相加”問題解決認知過程模擬和學生實際問題解決過程的一致性。
（一）研究對象
選取河北省高陽縣某小學五年級5班6名學生為被試，其中男、女各半，平時數學綜合成績優、中、差各2名，平均年齡133個月，年齡范圍在128～138個月之間。
（二）材料
實驗材料為根據本研究目的專門設計的兩道問題。
（1）五年級2班進行跳繩測驗，第1組7名同學1分鐘跳繩成績如下：
172 145 135 142 139 140 138
你認為用什么數表示這個小組同學跳繩的一般水平合適？
（2）請給長方形紙張涂顏色，整張紙的1/3涂成黃色，整張紙的2/5涂成黑色，顏色不能相重（涂黃色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黃色），黃色和黑色共占整張紙的幾分之幾？
其中，第1題是用于訓練學生出聲思維的練習題，第2題為“異分母相加”知識點題目。
（三）數據收集與編碼
實驗過程中使用口語報告法收集資料。指導語為：“請大聲讀題，在解題過程中自己怎么想就怎么說。也就是說，在做題過程中一邊想一邊說。把自己的思考過程大聲說出來，以便知道你是怎么做題的。”做題開始前，主試（研究者本人）先簡單說明指導語的要求，之后以第1題為例，主試示范并說明在做題過程中如何出聲思考。在被試學會出聲思考后，開始做第2題，并同時錄像，記錄學生解題過程。
收集的資料包括口語報告資料和解題作業兩部分。對于口語報告資料，首先由專業人員轉譯成文本，再結合學生的解題作業進行編碼分析。編碼工作由兩位專業人員負責，對于編碼中少量不一致的地方，經討論后達成一致。口語報告記錄通常所提供的直觀信息是有關解決問題時所需要的知識和信息，并不是實際的加工過程。[27]因此，編碼過程中有必要從口語報告記錄的信息中推論出內部加工過程而不是嘗試直接編碼這一加工過程。
（四）結果分析
紐厄爾和西蒙實現了人類思維的計算機模擬，并通過口語報告與機器模擬結果比較來推斷機器模擬的有效性。[28]本實驗也采用此方法以驗證模擬的有效性。
分析“異分母相加”問題解決口語報告可以發現，WangZY、ChenHY和XingYR等同學解題過程都包括了通分、求最小公倍數、同分母相加等環節，但在求最小公倍數環節，WangZY提到了“3和5為互質數，最小公倍數為3×5=15”，而ChenHY和XingYR直接說出了“最小公倍數為3×5=15”。LiL同學解題錯誤，因為解題過程中使用了錯誤的產生式。
“異分母相加”問題解決認知模擬與口語報告比較如圖2所示。左側是認知模擬的結果，右側是口語報告的內容。比較后發現，兩者一致。
五、對小學數學教學的啟示
（一）對同一道題，不同的學生采取不同的解題方法
關于“異分母相加”問題，WangZY、ChenHY和XingYR雖然都正確解題，但細節還是存在差異。在求最小公倍數環節，WangZY提到了“3和5為互質數，最小公倍數為3×5=15”，激活了長時陳述性記憶中“互質數”的概念。求最小公倍數時，根據互質數的性質，最小公倍數為兩數相乘，激活了長時程序性記憶。而ChenHY和XingYR則直接說出了“最小公倍數為3×5=15”，激活了長時程序性記憶。因此，數學教學中應考慮學生解題策略的不同，鼓勵學生從不同角度解決問題，有意識地培養學生的數學思維能力。
（二）學生解題過程中，存在不同程度的“自動化”現象
在“異分母相加”問題求“3和5的最小公倍數”時，WangZY說“3和5是互質數，最小公倍數是3×5=15”，而ChenHY則直接說“3和5的最小公倍數是15”，直接給出了計算結果。這一現象說明了學生在解題過程中，內部認知操作可以壓縮，經過長時間的訓練，幾個簡單的認知操作可能會壓縮為一個，形成“組塊”。如兩個產生式規則P1：AB；P2：BC，P1和P2經常同時激活，會產生新的產生式規則P3：AC。安德森研究解代數方程問題時發現同樣存在“自動化”（Speed Up）現象，認為經過充分的訓練可能會將解方程簡化為一系列的視覺編碼和輸出操作。[29] 匈菲爾德研究表明，要成為某個領域的專家，一般需要在長時記憶中擁有大約50000個知識塊，這些知識塊是該領域內進行思維操作的具體對象，而且，在許多情況下看似在運用策略，實際上是在運用這類已相當完善的知識塊。[30]以上研究結論與本研究分析一致，這也在一定程度上解釋了數學成績優秀的學生和數學成績差的學生在解決問題時的差異，前者具有較多的“自動化”知識，而后者則較少。
（三）錯誤的產生式是導致問題解決錯誤的重要原因之一
“異分母相加”問題中，LiL求解“1/3+2/5”時，激活了錯誤的產生式P1：異分母相加分母、分子分別相乘，導致問題解決錯誤。產生錯誤產生式的原因可能有兩個。（1）LiL同學對分數的意義不理解。長時陳述性記憶中關于分數的語義模型有問題。（2）對前面講過的通分策略沒有理解，不知道為什么通分，如何通分。安德森研究了學生學習解代數方程的認知過程也認為，學習發生在符號層級，創建（或生成）了新的產生式規則。[31] 因此，教師如何幫助學生形成正確的產生式規則是程序性知識學習的重要環節。
（四）問題解決認知過程分析為問題診斷及干預提供幫助
LiL在計算“異分母相加”時出現了典型錯誤，分析口語報告可以發現：（1）LiL成功提取了陳述性知識3×5=15和1×2=2，說明兩數相乘沒有問題；（2）雖然直接分子、分母分別相乘，說明能正確識別分數的分子、分母；（3）解題錯誤關鍵是錯誤的產生式“異分母相加分子、分母分別相乘，作為和的分子、分母”。要幫助LiL同學改正錯誤，就要考慮如何幫助他形成正確的產生式“異分母相加求最小公倍數”及實現該產生式需要的教學干預。
六、總結與展望
本文以小學數學“異分母相加”這一程序性知識典型問題為例，綜合心理學、教育學、腦科學、認知神經科學、人工智能等相關學科的研究成果，分析了問題解決的認知過程，實現了認知模擬及可視化顯示，并討論對小學數學教學的啟示。問題解決認知分析與模擬有助于更好地理解學生的學習。然而，學生因已有知識、學習風格、認知特點、家庭環境等因素，對同一問題的解答可能不會完全一致，但總會有相似的地方。通過口語報告的方法來驗證計算機模擬中不是所有人問題解決過程都是一樣的，但是有很多相似的地方，即共性的部分。[32]在本研究中也主要考慮其共性部分。
問題解決是一個非常復雜的認知過程，計算機能否完全模擬人的問題解決過程，一直存在爭議。然而，計算機模擬把問題解決過程中的一些因素綜合起來，重建這個過程，克服了以往實驗心理學以分析為主的做法，為從整體上了解問題解決的認知過程開辟了一條道路 [33]。隨著認知科學和人工智能的不斷發展，認知分析和模擬為研究問題解決過程提供了新視角。對學習內容、學習過程的分析，有利于數學教師更好地理解學生的學習過程，為學習媒體選擇、典型問題設計、問題診斷等提供依據和參考；有利于設計數學教師培訓課程體系[34]，促進新手教師向專家教師發展，提高數學教師的教學技能。
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