時間：2023-05-30 10:28:25
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇中心對稱，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、一般設計
這類設計主要考查同學們一些基本的作圖技巧，或者結合圖形來判斷解決問題，只要按照題目要求即可完成．
例1（2008年?湛江市）下面的圖形中，是中心對稱圖形的是（）.
分析： 本例先設計好了圖案，然后考查同學們對中心對稱圖形的識別能力，以及讓同學們研究設計過程．
解：觀察四個圖形，易知只有D是中心對稱圖形，故應選D．
點評：本題主要考查中心對稱以及讀圖、識圖的能力，要仔細觀察.
二、網格設計
這類設計主要是利用網格上的小正方形進行動手操作．
例2（2008年?荊州市）正方形綠化場地擬種植兩種不同顏色的花卉，要求種植的花卉能組成軸對稱或中心對稱圖案．下面是三種不同設計方案中的一部分，請把圖1、圖2補充完整，使其既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并畫出一條對稱軸；把圖3補成中心對稱圖形.（圖案中陰影部分和非陰影部分分別表示兩種不同顏色的花卉.）
分析：首先仔細觀察各圖形的特征，然后根據這些特征從對稱性等方面來考慮，根據要求設計圖案．
解：答案不唯一，如圖4、圖5、圖6.
點評：本題屬于結論開放型問題，答案不唯一，重點考查同學們的讀圖、識圖能力以及創新設計能力，在設計的過程中應體會數學在實際生活中的應用價值．
三、創新設計
此類設計融知識、技能和豐富的想象于一體，它需要根據材料進行加工、創作．
例3（2007年?福州市）為創建綠色校園，學校決定在一塊正方形的空地種植花草，現向學生征集設計圖案．圖案要求只能用圓弧在正方形內加以設計，使正方形和所畫的圓弧構成的圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．種植花草部分用陰影表示．請你在圖7（3）、圖7（4）、圖7（5）中畫出三種不同的的設計圖案．（注意：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，如圖7（1）、圖7（2）屬于一種．）
分析： 這道題，只要同學們動手操作一下，問題便迎刃而解，本題答案不唯一，只要符合要求即可．
解：答案不唯一，如圖8.
線段：是指兩端都有端點，不可延伸的線，有別于直線、射線。
線段特點有：
1、有限長度，可以度量；
2、有兩個端點；
3、具有對稱性，即是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形；
4、兩點之間的線，是兩點之間最短的距離。
（來源：文章屋網 ）
【關鍵詞】高中數學 高考數學 常見函數 特殊函數 對稱性
【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）26-0139-02
眾所周知，在高中數學的學習中，函數是重難點，且高考試題中有關函數性質的試題所占比重很大。學生在根據課本學習了函數的定義、周期性、奇偶性及單調性后，能利用函數圖像解決問題，同時也能根據圖像直觀地對具有特殊性質的函數進行認知，然而要提高學生綜合運用知識和解決難題的能力，還需對函數的對稱性進行總結歸納。本文重點介紹對稱性的概念、常見函數的對稱性和抽象函數的對稱性這三個方面。
一 函數的對稱性
函數的對稱性分為中心對稱和軸對稱。第一，中心對稱。將一個函數圖像繞某一點旋轉180°后，如果旋轉后的圖像與原圖像完全重合，則該函數圖像具有中心對稱的性質，其中該點稱為該函數的對稱中心。一個函數圖像可以有多個對稱中心。第二，軸對稱。將一個函數圖像沿一條直線對折后，如果直線兩側的函數圖像完全重合，則該函數圖像具有軸對稱的性質，其中該直線為該函數的對稱軸。一個函數圖像可以有多條對稱軸。
二 常見函數的對稱性
第一，常數函數。y=c（c∈R）。既是軸對稱又是中心對稱，與該直線垂直的直線均為其對稱軸，直線上所有點均為其對稱中心。
第二，一次函數。y=kx+b（k為一次項系數≠0，k≠0，b為常數）。既是中心對稱又是軸對稱，對稱中心為原點，對稱軸為與該直線相垂直的直線。
第三，反比例函數。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是軸對稱又是中心對稱，對稱軸為y=x與y=-x，對稱中心為原點。
第四，二次函數。y=ax2+bx+c（a≠0）。是軸對稱，
不是中心對稱，對稱軸為x= 。
第五，指數函數。y=ax（a>0且a≠1）（x∈R）。既不是中心對稱也不是軸對稱。
第六，對數函數。y=logax（a>0，且a≠1）。既不是中心對稱也不是軸對稱。
第七，冪函數。y=xa（a為常數）。冪函數中非奇非偶函數不具有對稱性；冪函數中的奇函數中心對稱，對稱中心為原點；冪函數中的偶函數為軸對稱，對稱軸為x=0。
第八，正弦函數。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中
心對稱又是軸對稱，對稱中心為（ ），對稱軸為方程
ωx+φ=kπ+ 的解。
第九，正切函數。y=tanx。是中心對稱，不是軸對稱，
對稱中心為（ ，0）。
第十，三次函數。三次函數中的奇函數中心對稱，對稱中心為原點，其他三次函數的對稱性通過求導得極值點進行作圖判斷。
以上就是對常見函數的對稱性總結歸納，要理解掌握，不能死記硬背，這就需要學生結合實際的習題及函數圖像，自己體會，理解記憶，活學活用，在實踐中體會以上常見函數的對稱性特點，真正做到舉一反三，思維發散。
三 抽象函數的對稱性
常見函數的對稱性容易理解掌握，抽象函數種類眾多，但萬變不離其宗，以下是對抽象函數對稱性質的總結歸納，并結合例題介紹抽象函數的對稱性。
性質一：若函數y=f（x）的圖像關于直線x=a軸對稱，則其充要條件為f（a+x）=f（a-x），也即是f（x）=f（2a-x）。由此條性質易得函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）。
例1：函數f（x）滿足f（x）=f（3-x），則該函數滿足軸對稱，對稱軸為x=1.5。
性質二：若函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）中心對稱，則其充要條件為f（x）+f（2a-x）=2b，即f（a+x）+f（a-x）=2b。
例2：函數f（x）滿足f（5+x）+f（1-x）=4，則該函數呈中心對稱，對稱中心為（3，2）。
性質三：（1）若函數y=f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b（a≠b）成軸對稱，則y=f（x）是周期函數，其一個周期為2a-b。（2）若函數y=f（x）圖像同時關于點（a，c）和點（b，c）（其中a≠b）中心對稱，則y=f（x）是周期函數，其一個周期為2a-b。（3）若函數y=f（x）圖像既關于點（a，c）中心對稱又關于直線x=b軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，其一個周期為4a-b。
例3：函數f（x）的一個對稱中心為（1，1），一條對稱軸為x=2，則其一個周期為2。
以上的性質是函數圖像的自對稱性質，有了以上的基本性質做鋪墊，我們可以導出兩個函數之間存在的對稱性。下面介紹函數的互對稱。
性質四：函數y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關于點（a，b）成中心對稱。
性質五：函數y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關于直線x+y=a成軸對稱。
性質六：函數y=f（x）與x-a=f（a+y）的圖像關于直線x-y=a成軸對稱。
關鍵詞：初中數學;圓形;教學實踐
同其他平面圖形一樣，圓形也是一個規則圖形，在人們的日常生活中隨處可見。引導學生理解并掌握圓形的性質，需要采用科學的教學方法。教師應該根據圓形圖形的特殊性質來找到一個教學突破口，讓學生帶著興趣和熱情投入學習。圓形是一個中心對稱圖形，教師需要從中心對稱知識的角度出發，引導學生找到圓形，為學生提供生動、形象的數學教學課堂。
一、 找到圓心，深化認識
圓形最顯著的特征就是擁有圓心，可以說圓心是圓形的特殊標志。因此，教師應引導學生從圓心入手。要想深化對圓形性質的認識，先讓學生找到圓心，認識圓心，根據圓心來判斷圓形為中心對稱圖形，再利用中心對稱的相關知識來深化對于圓形其他性質與功能的認識。為了讓學生找到圓心，教師可以采用游戲引導、興趣教學等方法，讓學生在快樂的狀態下學習，體會到圓形圖形學習的樂趣。例如：教師可在課堂上讓學生每人拿出一張圓形紙片，將這個圓形紙片沿著一條折痕整齊地對折成為一個雙向重合的半圓，然后，再次從另一個折痕處對折，在兩個折痕相交的那一點做上標記。此時，教師向學生展示：這兩條折痕的交點就是圓心。學生每人手里都拿著一個圓形紙片，都能明顯發現這個交點，從而找到圓心。學生明確了圓心后，教師可讓學生沿著其他折痕繼續整齊對折這個圓形紙片，學生對折出很多條折痕。此時，教師可提問：“同學們，你們發現圓形的折痕同圓心有什么聯系嗎？”學生們經過思考，異口同聲地回答：它們都經過圓心，相交于圓心，這些折痕都關于圓心對稱。由此，學生會自然而然地認識到圓形是一個中心對稱圖形。如圖1。通過這種游戲折紙的方法，能夠引導學生自然認識圓形的特征、性質與規律，認識到圓形是一個中心對稱圖形，學生輕松快樂地學習。
二、 依托中心對稱，探究知識
經過以上的游戲引導，學生已經初步認識到了圓形是一個關于圓心對稱的中心對稱圖形，在此基礎上，教師可以順著中心對稱圖形的性質來引導學生分析圓形的性質，讓學生通過中心對稱圖形的知識來推導與領悟圓形的知識。眾所周知，中心對稱圖形的特點就是有一個對稱中心，這個“對稱中心”能夠對圖形均分，因此，圓心平分了圓形的直徑為兩個相等的半徑。同樣，經過圓心的多條直徑又將圓平分為兩個相等的半圓，圓中互為對頂角的兩個扇形又是全等形，因為這兩個扇形兩條邊及夾角的大小相等，如圖2。
（圖1） （圖2） （圖3）
圖中圓的直徑AB、CD相交于圓心O，根據中心對稱的原理，可以明確扇形ACO全等于扇形BDO，同樣有扇形BOC全等于扇形AOD。學生從中心對稱的知識入手，分析并認識到了圓形的一些性質和功能，從中心對稱圖形的性質挖掘到了圓形更深層次的知識，這樣就完成了知識遷移、深入探究，能夠加深學生對圓的相關知識的理解。
三、 深化知識，解決問題
在學生了解并掌握了圓形的性質和相關知識后，教師要積極引導學生善于靈活運用這些知識來解答相關問題，解決實際問題，通過對實際問題的解答來進一步深化對圓形的性質與知識的理解，從而達到一個良好的教學效果。教師可以巧妙地將圓形與其他幾何平面圖形聯系起來，利用不同圖形的多重性質與功能來進行綜合探究，培育學生的知識綜合分析與運用能力，培養學生的數學思維能力，提高學生的數學解題能力。
例如：教師可以將圓的知識同矩形聯系起來布置以下問題。已知：矩形abcd的周長為28厘米，以a為圓心，ad為半徑畫弧交ab于a1，以b為圓心，ba1為半徑，畫弧交bc于a2。按照同樣的方法，分別以c、d、a、b為圓心來畫出圓弧，各自交點為a3、a4、a5、a6，其中a6同點重合。那么，此時矩形的長度為（ ）厘米，寬度為（ ）厘米（如圖3所示）。這個題目就是對學生綜合能力的培養與訓練，學生根據圓形的知識可以進行以下運算：ad=aa1=bc=x.（圓形半徑相等，矩形對邊相等。）同樣，aa6 =ba1=ba2=y ，又因為ca3 = da3，因此，可列出以下關于x、y的方程組：2x+y=14 x+y =2（x-y）.解答上述方程組，能夠得出：x=6，y=2。最后得出矩形的長為6cm，寬為8cm.
以上題目是對學生圓形中心對稱圖形知識、矩形知識及二元一次方程組的訓練。學生通過思考解答這一題目，有效訓練了思維，提高了學生的知識綜合能力，學生能夠利用已有的條件，結合不同圖形的性質和特征來解答形形的數學難題，有效提高學生的數學知識運用能力。
此外，教師為了進一步提升學生的數學知識運用能力，可以對圓形知識教學做進一步拓展，將圓形同正方形、直角三角形及坐標軸等聯系起來，讓學生通過其他圖形的性質來深入理解并掌握各個圖形的性質，從而更加深入地理解知識，掌握圖形的性質與特征，以此來鍛煉學生的數學思維能力，獲得良好的教學效果。
總結：結合圓形的特點，利用中心對稱的性質來引導學生對圓形知識的理解，這是一種有效的知識遷移引導策略。它有效提升了學生的數學知識理解能力，鍛煉了學生的數學思維，也培養了學生的數學知識靈活運用能力，這是數學教學的有效方法。
參考文獻：
[1]杭州大學 “初等幾何 ”編寫組.初等幾何 [M].杭州：浙江人民
出版社，2011.
[2]于文忠.平面解析幾何學習指導[M].濟南：山東教育出版社，
一、函數自身關于點的對稱性
命題1：函數y＝f（x）的圖象關于點（a，b）對稱的充要條件是f（x）＋f（2a－x）＝2b（或者（a＋x）＋f（a－x）＝2b）
證明：（必要性）設P（x，y）是y＝f（x）圖象上任一點，點P（x，y）關于點A（a，b）的對稱點P′（2a－x，2b－y）也在y＝f（x）圖象上，2b－y＝f（2a－x），即y＋f（2a－x）＝2b，故f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得證。
（充分性）設點P（x0，y0）是y＝f（x）圖象上任一點，則y0＝f（x0），f（x）＋f（2a－x）＝2b，f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即2b－y0＝f（2a－x0），故點P′（2a－x0，2b－y0）也在y＝f（x）圖象上，而點P與點P′關于點A（a，b）對稱，充分性得證。
推論1：奇函數的圖象關于原點對稱。
證明：設函數y＝f（x）是奇函數，則奇函數定義有f（x）－f（－x）＝0，由命題1可得函數y＝f（x）的圖象關于原點O（0，0）對稱。
推論2：如果函數y＝f（x）滿足f（a＋x）＋f（a－x）＝0，則函數y＝f（x）圖象關于點（a，0）對稱。（證明略）
推論3：函數f（x）＝ ，（x≠ ）的圖象關于點（ ，
）對稱。
證明：f（ －x）＝ ，f（ ＋x）＝
。
f（ －x）＋f（ ＋x）＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＝ 。
由命題1有函數f（x）＝ 的圖象關于點（ ， ）對稱。
例1，已知定義域為R的函數f（x）滿足f（－x）＝－f（4＋x）且函數f（x）在區間（2，＋∞）上單調遞增，如果x1＜2＜x2且x1＋x2＜4，則f（x1）＋f（x2）的值（ ）。
A、恒小于0 B、恒大于0 C、可能為零 D、可正可負
分析：先x－2代替x，使f（－x）＝－f（4＋x）變形為f（2－x）＝－f（2＋x），它的特征就是推論2，因此函數f（x）的圖象關于點（2，0）對稱。f（x）在區間（2，＋∞）上單調遞增，在區間（－∞，2）上也單調遞增。我們可以把該函數想象成是奇函數的圖象向右平移了兩個單位。
解：2＜x2＜4－x1且在區間（2，＋∞）上單調遞增，
f（x2）＜f（4－x1），f（－x）＝－f（4＋x），函數f（x）
的圖象關于點（2，0）對稱，f（4－x1）＝－f（x1），f（x1）＋f（x2）＜f（x1）＋f（4－x1）＝f（x1）－f（x1）＝0。所以選A。
例2，如果函數y＝f（x）滿足f（3＋x）＋f（4－x）＝6，求該函數的對稱中心。〔因為自變量加起來為7時函數值的和始終為6，所以中點固定為（3.5，3），這就是它的對稱中心。〕
如果f（x）為奇函數，并且f（x＋1）＋f（x＋3）＝0，求該函數的所有對稱中心和對稱軸。（由周期性定義知周期為4，又f（x＋1）＝－f（x＋3），從而f（x＋1）＝f（－x－3），從上例知x＝－1為對稱軸，所以x＝－1＋2n為對稱軸，（2k，0）為對稱中心，其中k∈Z。）
例3，定義在R上的函數f（x）滿足f（ ＋x）＋f（ －x）＝2，
則f（ ）＋f（ ）＋f（ ）＋…＋f（ ）＝ 。
解：由命題1可得函數f（x）關于點（ ，1）對稱，所以點
（ ，f（ ））關于點（ ，1）的對稱點（1－ ，2－f（ ））也
在函數f（x）圖象上，所以f（1－ ）＝2－f（ ），即f（ ）＋
f（ ）＝2；同理可得f（ ）＋f（ ）＝2，f（ ）＋f（ ）＝2，
2f（ ）＝2；于是f（ ）＋f（ ）＋f（ ）＋…＋f（ ）＝7。
例4，已知定義在R上的函數f（x）的圖象關于點（ ，0）
成中心對稱，對任意的實數x都有f（x）＝－f（x＋ ），且f（1）
＝1、f（0）＝－2，則f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）的值為（ ）。
A、2 B、－1 C、0 D、1
解：由函數f（x）的圖象關于點（ ，0）成中心對稱，得
f（x）＋f（－x－ ）＝0，又f（x）＝－f（x＋ ），f（x＋ ）
＝f（－x－ ）；令t＝x＋ 則f（t）＝f（－t），于是f（x）是偶函
數，且f（x＋3）＝f［（x＋ ）＋ ］＝－f（x＋ ）＝f（x），即
f（x）是以3為周期的函數，則f（－1）＝1＝f（2）＝f（－2）＝f（1）＝f（4），f（0）＝－2＝f（3）。
f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）
＝f（1）＋ ＝1。
例4，函數f（x）＝ 的圖象關于點（4，－1）成中心
對稱，則實數a＝ 。
解：由推論3可知f（x）＝ 圖象關于點（a＋1，－1）
成中心對稱，所以a＋1＝4，即a＝3。
例5，函數f（x）＝ 的反函數的圖象關于點M（m，
3）成中心對稱，則實數a＝（ ）。
A、2 B、3 C、－2 D、－4
由推論3可知f（x）＝ 圖象關于點（a＋1，－1）成
中心對稱，又f（x）＝ 的反函數的圖象關于點M（m，3）
成中心對稱，所以點（a＋1，－1）與點M（m，3）關于直線y＝x對稱，即a＋1＝3，a＝2。
二、不同函數關于點的對稱性
命題1：函數y＝f（x）與y＝2b－f（2a－x）的圖象關于點（a，b）成中心對稱。
證明：設P（x0，y0）是函數y＝f（x）圖象上的任意一點，則點P關于（a，b）的對稱點是Q（2a－x0，2b－y0），因為點Q（2a－x0，2b－y0）在函數y＝2b－f（2a－x）的圖象上，所以函數y＝f（x）與y＝2b－f（2a－x）的圖象關于點（a，b）成中心對稱。
命題2：設a，b，c均為常數，函數y＝f（x）與函數y＝g（x）的定義域均為R，那么函數y＝f（x）的圖象與函數y＝g（x）
的圖象關于（ ， ）成中心對稱圖形的充要條件是：對一
切x∈R，均有f（c＋x）＋g（a－x）＝b。
證明：（1）充分性：設P（c＋x0，f（c＋x0））是函數y＝f
（x）圖象上的任意一點，則點P關于（ ， ）的對稱點是
Q（a－x0，b－f（c＋x0）），且f（c＋x0）＋g（a－x0）＝b。所以g（a－x0）＝b－f（c＋x0），即點Q〔a－x0，b－f（c＋x0）〕是y＝g（x）函數圖象上的一點，也即函數y＝f（x）圖象上任意一
關于點（ ， ）的對稱點都在函數y＝g（x）的圖象上；同
理可證，函數y＝g（x）圖象上任意一關于點（ ， ）的對
稱點也都在函數y＝f（x）的圖象上。
（2）必要性：設點P〔c＋x0，f（c＋x0）〕是函數y＝f（x）
圖象上的任意一點，則點P關于點（ ， ）的對稱點Q（a
－x0，b－f（c＋x0））在函數y＝g（x）圖象上。
b－f（c＋x0）＝g（a－x0），即f（c＋x0）＋g（a－x0）＝b，也即對一切x∈R，均有f（c＋x）＋g（a－x）＝b。
由（1）（2）證明可知：命題2成立。
推論：設a，b，c均為常數，則函數y＝f（a＋x）的圖象與
函數y＝c－f（b－x）的圖象關于點（ ， ）成中心對稱。
證明：令m（x）＝f（a－x），n（x）＝c－f（b－x）。
則m（x－a）＝f（x），n（b－x）＝c－f（x），對x∈R均成立。
m（x－a）＋n（b－x）＝c對x∈R均成立。
由命題2，函數y＝m（x）與函數y＝n（x）的圖象，即函
數y＝f（a＋x）的圖象與函數y＝c－f（b－x）的圖象關于點（ ，
）成中心對稱。
例1，已知函數y＝f（x）是定義在R上的函數，那么y＝f（6－x）與y＝－f（x＋4）的圖象（ ）。
A、關于直線x＝5對稱 B、關于直線x＝1對稱
C、關于點（5，0）對稱 D、關于點（1，0）對稱
關鍵詞： FrontPage 學習興趣 數學教學 《設計中心對稱圖案》網絡課
蘇科版教材中有一節是這樣的：運用FrontPage制作一個課件《設計中心對稱圖案》，并以專題網站的形式，把它運用到我們的課堂教學中。這一節內容在教材中只有簡單的一頁紙，內容單一，運用傳統的教學方式無法達到教學目的，但通過豐富的教學材料，合理利用現代教育技術來設計這一專題網站，可以讓學生主動參與學習的全過程，使學生在輕松的、愉快的氛圍中掌握知識。這節課取得了非常好的教學效果，學生反響熱烈。下面是我對現代教育技術改變數學課堂教學手段的心得體會。
一、導入新課時多媒體課件創設情境，吸引學生的注意力，激發興趣。
數學是中學的一門主要學科，傳統的教學手段比較單調，黑板加粉筆，偶爾加一些教具。由于學科自身的特點所限，的確沒有某些學科形象、生動、具體，使學生學起來枯燥無味，直接影響了學生的學習積極性。隨著現代教育技術的推廣，多媒體教學被充分運用到數學教學中，它不僅能充分調動學生的積極性，增強學生的求知欲，激發學生的學習興趣，活躍學生的思維，發展學生的想象力，而且在增強課堂效果，優化課堂結構等方面都起到不可估量的作用。
我在這一節課中創設情境引入三類中心對稱圖案讓學生判別，一是撲克牌中的梅花、方塊；二是生活中的標志圖案，如樹葉、電信的標志等；三是數學中的幾何圖形，由直觀到抽象。這些內容經過現代教育技術的處理，集形、色于一體，直觀形象，新穎生動，大大激發了學生的學習興趣，學生注意力非常集中。魯迅說：“沒有興趣的學習，無異于一種苦役；沒有興趣的地方，就沒有智慧和靈感。”我們的教育技術徹底改變了“教師一支粉筆、一張嘴的滿堂灌”式的教學方式。利用情境挖掘學生的潛能，將有意識的學習活動和無意識的學習活動相結合，不僅豐富了教學內容，還活躍了課堂氣氛，提高了學生的學習興趣，調動了學生求知的自覺性和積極性。
二、利用多媒體突出學習目標、重點，突破難點。
現代教育技術能打破教學中的時空限制，將事物的發展變化由復雜變為簡單，由抽象變為具體，能有效提示客觀事物本質的內在聯系，從而有利于學生的理解，有利于重點、難點的突破。
如在《設計中心對稱圖案》教學時，通過對實物的觀察、接觸等，學生可以很容易地辨別出實物的形狀，但要他們辨別幾何圖形還有一定的難度。教學中，我們先將幾種不同圖案、顏色各異的撲克牌的圖像演示給學生看，再通過點擊使其中的圖形旋轉180°，出現該圖形旋轉后的情景，再判斷它們是否是中心對稱圖形。這樣，學生就可以很容易判斷出一個圖形是否是中心對稱圖形。通過旋轉、平移、重疊、閃爍等系列動畫模擬過程，可以形象生動地描述中心對稱圖形的內涵，便于學生切實理解。多媒體的教學有利于學生從形象思維向抽象思維的過渡，有利于難點的突破。
三、利用教育技術手段合理安排教學中的探索活動、數學實驗室，發揮學生的主體作用。
盡管這些現代化教育技術的作用很大，有助于學生思維的發展，但它們仍然只是教學的輔助工具，而不是學生主動學習的武器。如何把現代教育技術變成學生自主學習和探索解決問題時的工具，是我們研究的關鍵。多媒體教學強調不僅要讓學生掌握知識結論，而且要通過對各種形象化的教學媒體的觀察與思維，引導學生探索、發現、歸納、總結出結論，即主動參與學習全過程，啟發學生的智力，發展學生的能力，切實提高學生的全面素質。
在本節課中我利用教育技術根據不同的教學內容和教學要求，設置了探索活動、數學實驗室，有計劃有步驟地引導學生進行各種認識活動，探索學習。如數學實驗室中先讓學生觀察中國銀行標志、交通標志（禁止駛入）、汽車品牌標志（歐寶標志）等標志，再要求學生自己畫圖為班級設計一個具有中心對稱特征的漂亮的班徽。再如在探索活動中，學生先欣賞用6個全等的正方形組成的中心對稱圖案，然后聯想與思考問題：1.在計算器上按出兩位數“69”，這個電子數字可以組成一個中心對稱圖案。你還能寫出多少個組成中心對稱圖案的兩位數、三位數？2.把26個英文大寫字母看成圖案，哪些英文大寫字母是中心對稱圖案：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z？ 在課件中，網頁的形式可以讓學生更好地自主觀察、探索、思考和學習。現代教育技術手段的應用，可以節約傳統的板書、畫圖等時間，使有限的課堂時間“變長”，使學生的主體作用得到充分發揮。
學生獲得知識的方法有兩種：一是從被動接受中獲得，二是從主動學習中獲得。新課程標準提倡學生在教師的啟發、誘導下，主動地獲取知識。這就要求教師要注意研究學生的學習規律，改變重視“教”而忽略“學”的現狀，適當地應用現代教育技術手段進行教學，加強對學生學習方法的指導，使學生在老師的指導下，自主地探索學習，從不知到知，從知之較少到知之較多，并在學會數學知識的同時學會學習的方法。
四、利用現代教育技術精心設計安排練習，變“枯燥”為“有趣”。
學生的練習是數學課堂教學中一個必不可少的環節，也是數學課堂教學中非常重要的環節。以往這一塊的教學模式是教師給出習題，學生解答，教師再給出正確答案并講解，學生聽來枯燥無味，學習效率很低。
而在本節課教學中，自主練習這部分是利用信息技術編寫的有針對性的練習，如在練習中編各種形式的選擇題、填空題、判斷題等，用軟件判斷學生解答的正確與否，根據練習的情況給予必要表揚鼓勵和重復練習等，其練習效果之好，是傳統練習方法不可比擬的。它的最大好處在于化被動學習為主動，化抽象為具體，通過帶有娛樂性的練習，輕松鞏固已學知識，從而切實激發學生的學習興趣，真正實現減輕學生負擔，提高學生素質的目的。
隨著教學改革的不斷深入，現代教育技術給我們的教學提供了越來越大的幫助，當前我們的教學已離不開現代教育技術的運用，它改變了教師的“教”，也改變了學生的“學”。工作在教學一線的數學教師更應該運用好現代教育技術，讓數學教學變得更受學生歡迎，更成功。
參考文獻：
一、編寫口訣，幫助理解
在很多學生眼里，數學很抽象，很難學，理解起來有時很困難，有些內容如果能夠把它編成口訣在很大程度上幫助學生理解，有效提高課堂教學效果。例如：解一元一次不等式組時，不等式組的解集的判斷是一大難點，為了突破這個難點，老師引導學生結合數軸觀察發現，編成口訣：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無處找。既省時又省力，很受學生喜愛。
二、巧借學具，便于識記
其實數學科與語文、英語等學科一樣，也有不少知識點需要學生理解識記，如何幫助學生有效記憶，也需要數學老師們進行一番研究，例如某些數學概念之間的差別很小，容易混淆，通常采用類比法進行教學；而有些知識點十分抽象，通常采用直觀教學。例如：在教學銳角三角函數時，要求學生熟練掌握30O、40O、50O角的四個三角函數值，我想出一個簡便的方法：每人拿出一副新的三角板，利用上一節課剛學過的：“在直角三角形中，如果一個銳角等于30O，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，假設30O的角所對的直角邊等于1，則斜邊等于2，另一直角邊等于，并要求學生在三角板相應的位置分別刻上1、2、；同樣假設45O的角所對的直角邊等于1，則斜邊等于，并要求學生在三角板相應的位置分別刻上1、1、，只要學生熟練掌握正弦、余弦、正切、余切的定義，再對照兩塊三角板，那么記憶30O、42O、60O的四個三角函數值就是小菜一碟了。
三、巧妙提問，收到奇效
課堂提問既是一門科學，又是一門藝術。 初中學生好奇心和求知欲較強，在課堂上喜歡表現自己，但自我控制能力較差，注意力容易分散。如何設計處理好課堂提問，是提高課堂效率重要的一個環節。善于把握教材的特點，舊中求新、從不同的方面或角度提出生動曲折、富有啟發性的問題，將有助于激發學生的求知欲，也有利于培養學生思維的積極性和主動性，使學生的思維過程處于積極愉快地獲取知識的狀態。
四、詼諧語言，調節氣氛
培養學生的思維能力、想象能力是數學課堂教學的重要特征之一，但這種高強度的腦力勞動卻容易使人疲勞；那么，如何調節課堂氣氛，使課堂始終保持良好的課堂氛圍？我認為，當一堂課的氣氛比較低沉時，一個教師課堂里的機智詼諧的語言是不可或缺的，一堂課雖然未必要笑聲不斷，但卻一定得有笑聲。例如：聽我校教師的一節“指導---自主學習”的教研課例（中心對稱） ，可能是有許多陌生人在場或許其它什么原因，前半節課堂有點沉寂，在講完中心對稱圖形和兩個圖形成中心對稱的涵義時，老師提出一個問題：中心對稱圖形和兩個圖形成中心對稱有什么關系？甲同學回答：①中心對稱圖形是一個圖形，而兩個圖形成中心對稱是兩個圖形，②當把兩個圖形成中心對稱看成一個圖形時變成中心對稱圖形；老師又問乙同學有什么意見？乙同學回答：和甲同學的看法相同。老師的一句“英雄所見略同”博得哄堂大笑，課堂的沉悶氣氛頓時被打破。
五、啟發聯想，加深印象
教材內容提供給師生教與學的依據，在不違背原則的情況下，有時還可以根據實際需要增減教學內容、調整教材順序；有時教材內容比較籠統，學生容易混淆，教師可以適當歸納概括、分類整理，幫助學生理解，加深印象。例如： 畫相似圖形，教材根據位似中心的位置不同畫出如下一個圖例：
應用其定義及性質解決諸如工程決策、平分面積與周長、確定函數及求值、邊角關系，應用范圍廣泛，是近幾年中考及競賽試題中不可缺少的部分，這里擇選幾例供參考。
定理1：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是連接對應點連線的垂直平分線。
定理2：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
一、應用于工程問題
例1：如圖1，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同旁，為了方便灌溉農作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問應該建在河邊的哪一點，可使所修的渠道最短，試在圖中畫出該點（不寫作法）
探究：由定理1知只需作出點a的對稱點D，連BD交a于c，則點c為所求之點。
二、應用于平分面積與周長
例2：有一塊方角形鋼板如圖2所示，請你用一條直線將其分為面積相等的兩部分（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖中直接畫出）。
探究：延長FE可將這塊方鋼分成兩個矩形ABMF、MCDE，設兩矩形的對稱中心分別為O、O1，
由定理2可知，經過中心O的任意一條直線可將矩形MCDE面積平分，經過中心O1的任意一條直線可將矩形ABMF面積平分。
故：過O、O1的直線可將這塊方鋼面積平分。
例3：如圖3：一個矩形內有任意一圓，請你用一直線同時將圓和矩形的周長二等分，并說明作圖的道理方法。
探究：道理方法是，由定理2可知，經過對稱中心的任意一條直線可將中心對稱圖形面積等分、周長等分，設矩形對角線交點為O1，則O1為矩形的對稱中心，圓的圓心為O，則O的圓的對稱中心，直線OO1為所求作的直線。
三、應用于求解析式
例4：如圖4，正方形ABCD的邊長是4，將此正方形置于平面直角坐標系xOy中，使AB在x軸正半軸上，A點坐標是（1，0）。
①經過點C的直線y=x-與x軸交于點E，求四邊形AECD的面積；
②若直線l經過點E且將正方形ABCD面積平分，求直線l的方程。
探究：第②小題由定理2可知，設矩形的對稱中心為O，平分矩形面積的直線l必經過矩形的中心O，直線EO為所求作的直線l，又O點坐標為（3，2），E點坐標為（2，0）直線l的方程為y=2x-4。
四、應用于證明邊角關系
例5：已知ABC中，邊BC上的高為AD，且∠B＝2∠C
（如圖5），求證CD＝AB+BD。
探究：以高AD所在的直線為對稱軸翻折，點B落在DC邊上的點E，由對稱性，知AE＝AB、BD＝DE，
∠AEB＝∠B，而∠B＝2∠C。
∠AEB＝2∠C，由三角形外角定理，知∠AEB＝∠C+∠CAE，∠CAE＝∠C，則有EC＝AE，CD＝EC+DE＝AE+BD＝AB+BD。
例6：如圖6，在等腰直角三角形中，∠BAC＝90°。D為AC的中點，AEBD于E，延長AE交BC于F，求證：∠ADB＝∠FDC。
探究：由于等腰直角三角形正好是正方形的一半，故可以利用軸對稱性質恢復原來的正方形。（如圖6所示）
【關鍵詞】探究交流軸對稱
【課間案例】教學完軸對稱圖形后，在課外練習中出現了兩道數學題。
一、把下面的數字分成兩類。
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
二、把下面的漢字分成兩類。
一、三、山、雙、叢、林
沒有對稱軸的漢字：
有對稱軸的漢字：
對于兩道題的解答在辦公室里引起了教師的爭議。
師1：我認為數字“1”不是對稱數字，因為數字“1”的左上角斜出了一點，這樣數字“1”左右不是完全一樣了，所以不是對稱數字。
師2：我認為你說的數字“1”是印刷體，而手寫體的數字“1”是傾斜的一豎，所以可以看成是對稱數字。
師3：第2題里“雙”“叢”“林”三個漢字應屬于沒有對稱軸的漢字，因為沿著三個漢字中間的一條線對折后，字的兩邊不能完全重合，所以應填在沒有對稱軸的漢字里。
師4：我認為你說的三個漢字屬于有對稱軸的漢字，比如漢字“雙”字的左右兩邊都是“又”字，它們的意義相同，只是印刷的大小不同罷了。
……
【課外探究】
爭論的雙方誰也沒有說服誰，因為在小學數學教材和參考書中沒有此類指導資料，由于這是兩道判斷題，必須找到相關的概念才能判斷是與非，為此本人查閱了各種版本的小學數學教材、課外數學資料、字典等工具書，對于“軸對稱圖形”、“中心對稱圖形”、“對稱”、“對應”等幾個概念進行闡述并進行分析。
小學數學教材中“軸對稱圖形”：（各種版本教材）如果一個圖形沿著一條直線對折，直線兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。如長方形、正方形、等腰三角形都是軸對稱圖形。
中心對稱圖形：（《中國小學教學百科全書》）如果一個圖形繞著一個點旋轉180度以后，能夠和原圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點是它的對稱中心。如圓、正方形、長方形都是中心對稱圖形。
對稱：（商務印書館《新華漢語詞典》）指兩個圖形或物體對某個點、直線、平面而言在大小、形狀和排列上具有一個對應的關系。
對應：（同上）是對一個系統中某一項在性質、作用、位置或數量上跟另一個系統某一項相當。
從上述概念可以看出判斷軸對稱圖形的方法是沿線對折180度，判斷中心對稱圖形的方法是沿線旋轉180度，判斷對稱的方法是沿點、線、面對折、旋轉、平移或在大小、形狀、排列上創造出與原圖形相當的圖形，什么是相當？不是要求兩個圖形完全一樣，而是要求在性質、作用、位置或數量存在差不多的關系。從上面可以看出軸對稱圖形、中心對稱圖形屬于對稱。在“軸對稱圖形”概念中提到了對稱軸，如果根據這個概念來判斷案例中的“叢”、“林”、“雙”則應填在沒有對稱軸的漢字里。但對稱概念中提到了沿點、線、面兩個系統具有對應關系，我想這里的點就是對稱中心，這條線就是對稱軸，面就是圖形移動的平面。由于“叢”、“林”、“雙”是漢字，它們不同于圖形，判斷它們是否有對稱軸，我們應從它的意義上來判斷。如從“林”字的中間畫一條直線，線的兩邊是在意義上相同的木字，這條線我認為是它的對稱軸。其他字也可以用這種方法來判斷。
而對于“1”是否是對稱數字，我認為用新課程理念來解決比較具有說服力。新課程提出數學要回歸生活，讓學生在生活中學習數學。那么是用印刷體的“1”來判斷接近學生的生活呢？還是用手寫體的“1”來判斷更容易讓學生接受呢？當我們向學生說印刷體的“1”不是對稱數字，我們的教學是否走向了機械的教學，我想教學還是多留給學生一些寬松的、想象的空間比較好。
【思考】新教材已經不安排中心對稱圖形有關的知識了，教師從師范院校畢業后隨著工作時間的增長，課堂教學經驗在不斷增長，而數學學科知識在不斷被遺忘。近年來為了適應新課程改革各校進行了校本培訓，校本培訓的形式多數是請名師來上幾節示范課作幾場報告，忽視了廣大普通教師在家常課上遇到的困難；注重有組織的交流研討，忽視了課余教師對某一個問題的交流與爭論。實質上教師課間無意識對教學問題的爭論，也是校本培訓的一種形式，這種形式就在廣大教師的身邊，我們應該把教師這種無意識的參與變成有意識的參與，并把教師課間爭論的問題作為學校每周研討或教學沙龍的主題，如果能長期進行下去，那么課余爭論將會成為教師發展自身數學素養的生長點。
以上對兩道判斷題的看法只是本人站在成人的角度去思考的，我們是否把兩題當成一個研究的資源放到課堂里讓學生去交流探討，因為孩子是成人之師！也許我們會有許多意外的驚喜。 (接上頁) 管部門，受到了交管部門的重視。
活動中，同學們切身感受到了數學知識在生活中的應用，這正是本次活動的目的之所在。
新《數學課程標準》把“應用意識”作為義務教育階段培養學生初步的創新精神和創新能力的一個重要學習內容，教師在教學活動中，一方面要不斷從教學內容、教學情境和教育方式等方面進行研究和探討，努力為學生應用數學知識創造條件和機會；另一方面還應鼓勵學生自己主動在現實中尋找這樣的機會，并努力實踐。
參考文獻
［1］ 《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》
例1 在“線段、等腰三角形、等邊三角形、長方形、圓、中國工商銀行的標志”這6個幾何圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有（ ）.
A. 6個 B. 5個 C. 4個 D. 3個
【錯解】因為“線段、等邊三角形、長方形、圓、中國工商銀行的標志”這5個幾何圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，所以選B.
【解析】等邊三角形只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，事實上，將等邊三角形繞著它的中心旋轉120°、240°后與本身重合，而一個圖形繞著某個點旋轉180°，旋轉前后的圖形互相重合才是中心對稱圖形.因此，只有“線段、長方形、圓、中國工商銀行的標志”這4個幾何圖案符合要求，所以選C.
二、 觀察不細
例2 在下面的4個幾何體中，它們各自的左視圖與主視圖一樣的有（ ）.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【錯解】4個幾何體的左視圖與主視圖都相同，所以選D.
【解析】A中左視圖與主視圖是正方形，B中左視圖與主視圖是等腰梯形，C中左視圖與主視圖是正方形，D中左視圖與主視圖雖是等腰三角形，但這它們的底不相等，所以它的左視圖與主視圖不相同.正確答案選C.
三、 忽視隱含
例3 已知α為銳角，且2cos2α+7sinα-5=0，求sinα的值.
四、審題不清
例4 如圖，在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形.在如圖所示5×5的方格中，作ABC和OAB相似（相似比不為1），則點C的坐標是_______.
學生已經掌握了用一元一次方程解決實際問題的方法。在解決某些實際問題時還會遇到一種新方程 —— 一元二次方程。“一元二次方程”一章就來認識這種方程，討論這種方程的解法,并運用這種方程解決一些實際問題。
本章首先通過雕像設計、制作方盒、排球比賽等問題引出一元二次方程的概念，給出一元二次方程的一般形式。然后讓學生通過數值代入的方法找出某些簡單的一元二次方程的解，對一元二次方程的解加以體會，并給出一元二次方程的根的概念，
“22.2降次——解一元二次方程”一節介紹配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的方法。下面分別加以說明。
(1)在介紹配方法時，首先通過實際問題引出形如 的方程。這樣的方程可以化為更為簡單的形如 的方程，由平方根的概念，可以得到這個方程的解。進而舉例說明如何解形如 的方程。然后舉例說明一元二次方程可以化為形如 的方程，引出配方法。最后安排運用配方法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及二次項系數不是1的一元二次方程，也涉及沒有實數根的一元二次方程。對于沒有實數根的一元二次方程，學了“公式法”以后，學生對這個內容會有進一步的理解。
(2)在介紹公式法時，首先借助配方法討論方程 的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排運用公式法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及有兩個相等實數根的一元二次方程，也涉及沒有實數根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三種情況。
(3)在介紹因式分解法時，首先通過實際問題引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排運用因式分解法解一元二次方程的例題。最后對配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的方法進行小結。
“22.3實際問題與一元二次方程”一節安排了四個探究欄目，分別探究傳播、成本下降率、面積、勻變速運動等問題，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。
第23章 旋轉
學生已經認識了平移、軸對稱，探索了它們的性質，并運用它們進行圖案設計。本書中圖形變換又增添了一名新成員――旋轉。“旋轉”一章就來認識這種變換，探索它的性質。在此基礎上，認識中心對稱和中心對稱圖形。
“23.1旋轉”一節首先通過實例介紹旋轉的概念。然后讓學生探究旋轉的性質。在此基礎上，通過例題說明作一個圖形旋轉后的圖形的方法。最后舉例說明用旋轉可以進行圖案設計。
“23.2中心對稱”一節首先通過實例介紹中心對稱的概念。然后讓學生探究中心對稱的性質。在此基礎上，通過例題說明作與一個圖形成中心對稱的圖形的方法。這些內容之后，通過線段、平行四邊形引出中心對稱圖形的概念。最后介紹關于原點對稱的點的坐標的關系，以及利用這一關系作與一個圖形成中心對稱的圖形的方法。
“23.3課題學習 圖案設計”一節讓學生探索圖形之間的變換關系(平移、軸對稱、旋轉及其組合)，靈活運用平移、軸對稱、旋轉的組合進行圖案設計。
第24章 圓
圓是一種常見的圖形。在“圓”這一章，學生將進一步認識圓，探索它的性質，并用這些知識解決一些實際問題。通過這一章的學習，學生的解決圖形問題的能力將會進一步提高。
“24.1圓”一節首先介紹圓及其有關概念。然后讓學生探究與垂直于弦的直徑有關的結論，并運用這些結論解決問題。接下來，讓學生探究弧、弦、圓心角的關系，并運用上述關系解決問題。最后讓學生探究圓周角與圓心角的關系，并運用上述關系解決問題。
“24.2與圓有關的位置關系”一節首先介紹點和圓的三種位置關系、三角形的外心的概念，并通過證明“在同一直線上的三點不能作圓”引出了反證法。然后介紹直線和圓的三種位置關系、切線的概念以及與切線有關的結論。最后介紹圓和圓的位置關系。
“24.3正多邊形和圓”一節揭示了正多邊形和圓的關系，介紹了等分圓周得到正多邊形的方法。
“24.4弧長和扇形面積”一節首先介紹弧長公式。然后介紹扇形及其面積公式。最后介紹圓錐的側面積公式。
第25 章 概率初步
將一枚硬幣拋擲一次，可能出現正面也可能出現反面，出現正面的可能性大還是出現反面的可能性大呢?學了“概率”一章，學生就能更好地認識這個問題了。掌握了概率的初步知識，學生還會解決更多的實際問題。
“25.1概率”一節首先通過實例介紹隨機事件的概念，然后通過擲幣問題引出概率的概念。
“25.2用列舉法求概率”一節首先通過具體試驗引出用列舉法求概率的方法。然后安排運用這種方法求概率的例題。在例題中，涉及列表及畫樹形圖。
一、平面直角坐標系內點的變換本質特征及規律
對于平面直角坐標系內點（x，y）的平移只能是沿x軸方向左右平移或沿y軸方向上下平移.
1. 點的平移規律：
當點P（x，y）沿x軸方向左右平移到A時，只能給x帶來變化，即A；其中右移h為正，左移h為負；
當點P（x，y）沿y軸方向上下平移到B時，只能給y帶來變化，即B（x，y+k）；其中上移k為正，下移k為負.
點的對稱規律：
當點P（x，y）關于x軸對稱到點A時，只能給y帶來變化，變為y的相反數，即A（x，-y）；
當點P（x，y）關于y軸對稱到點B時，只能給x帶來變化，變為x的相反數，即B（-x，y）；
當點P （x，y）關于原點中心對稱到點C時，能給x、y都帶來變化，都變為x、y的相反數，即C （-x，-y）.
以上變換規律不但適用于點的變換，而且對于一次函數、反比例函數及二次函數圖像的變換均成立與適用.
2.函數圖像的平移規律：
當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿x軸方向左右平移時，只能給自變量x帶來變化，即y=k（x-h）+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=a（x-h）2+b（x-h）+c（a≠0）；其中右移h為正，左移h為負；
當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）沿y軸方向上下平移時，只能給函數y帶來變化，即y=kx+b+m（k≠0）、y=+m（k≠0）、y=ax2+bx+c+m（a≠0），其中上移m為正，下移m為負.
函數圖像的對稱規律：
當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于x軸對稱時，函數y變為y的相反數，即y=-kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2-bx-c（a≠0）；
當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于y軸對稱時，自變量變為x的相反數，即y=-kx+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=ax2-bx+c（a≠0）；
當直線y=kx+b（k≠0）、雙曲線y=（k≠0）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關于原點中心對稱到點C時，能給x、y都帶來變化，都變為x、y的相反數，即y=kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2+bx-c（a≠0）.
二、平面直角坐標系內點、函數圖像的變換技巧與拓展應用
例1：閱讀下面的材料：
在平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義.下面就兩個一次函數的圖像所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設一次函數y=k1x+b1（k1≠0）的圖像為直線l1，一次函數y=k2x+b2（k2≠0）的圖像為直線l2，若k1=k2，且b1≠ b2，我們就稱直線l1與直線l2互相平行.
解答下面的問題：
（1）求過點P（1，4）且與已知直線y=-2x-1平行的直線l的函數表達式，并畫出直線l的圖像；
（2）設直線l分別與y軸、x軸交于點A、B，如果直線m：y=kx+t（t＞0）與直線l平行且交x軸于點C，求出ABC的面積S關于t的函數表達式.
思路點撥：在（1）中，要求出與已知直線y=-2x-1平行的直線l的函數表達式，關鍵在于弄清直線的平移情況.因已知直線平移后經過點P（1，4），不防設一個點M（1，a），通過代入求出a的值，進而確定出平移的方向和單位長；在（2）中，因直線m：y=kx+t（t＞0）與直線l平行，可知k=-2，進而用有關t的代數式表示出C點的坐標，此時要分類討論點C的位置，要分兩種情況借助面積公式求解出有關面積S關于t的函數表達式.
解析：（1）點M（1，a）是已知直線y=-2x-1上的一點，將x=1代入已知直線得a=-2×1-1=-3，則M（1，-3）平移到P（1，4），是沿y軸向上平移7個單位，即y=-2x-1+7，化簡得直線l的函數解析式為y=-2x+6；
（2） 直線l分別與y軸、x軸交于點A、B，點A、B的坐標分別為（0，6）、（3，0）.
l∥m，直線m為y=-2x+t.C點的坐標為（，0）.
t＞0，＞0 .
C點在x軸的正半軸上.
當C點在B點的左側時，S=×（3-）×6=9-；
當C點在B點的右側時，S=×（-3）×6=-9 .
ABC的面積S關于t的函數表達式為：
S=9-（0＜t＜6），-9（t＞6）.
評注：平移法則是：當函數的圖像向上或向下平移時，原函數的函數值y變為y+k，其中上移k為正數，下移k為負數，而自變量不變.
例2：如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上．
（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；
（2）平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點．
①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；
②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由．
思路點撥：在（1）中，使AQ+QB最短，必須滿足兩點之間線段最短，即作出B關于x軸對稱點P的坐標，進而可知線段AP的距離最短，再求出直線AP與x軸的交點從而得到Q點的坐標；在（2）中，拋物線在平移過程中A、B兩點的位置、數量大小關系并沒有改變，改變的僅是它們的坐標，要使距離仍然最短，只是將點Q向左平移到點C，從而得到拋物線左移的距離，運用平移規律求解拋物線的解析式，使四邊形A′B′CD的周長最短，要進行分類考慮左移與右移.
解析：（1） 將點A（-4，8）的坐標代入y=ax2，解得，將點B（2，n）的坐標代入，求得點B的坐標為（2，2），則點B關于x軸對稱點P的坐標為（2，-2）．
直線AP的解析式是y=-x+，令y=0，得x=．即所求點Q的坐標是（，0）.
（2）①拋物線上A、B兩點的位置已確定，要使A′C+CB′ 最短，也就是讓點Q沿x軸向左平移到點C，其中CQ=|-2-|=，即將拋物線y=x2向左平移個單位時，A′C+CB′最短.
此時拋物線的函數解析式為y=[x-（-）]2，即y=?（x+）2．
②左右平移拋物線y=x2，因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短.
第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′＞AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短．
第二種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′（-4-b，-8），直線A′′B′′的解析式為y=x+?b+2，要使A′D+DB′′最短，點D應在直線A′′B′′上，將點D（-4，0）代入直線A′′B′′的解析式，解得b=．故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時拋物線的函數解析式為y=[x-（-）]2，即y=（x+）2.
評注：平移法則是：當函數的圖像向左或向右平移時，原函數函數解析式中的自變量x變為x-h，其中右移h為正數，左移h為負數，而函數值不變.
例3：如下頁圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
（1）求P點坐標及a的值；
（2）如圖（1）：
a.若將拋物線C1繞點O順時針旋轉180°，試寫出旋轉后拋物線的解析式；
b.拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式；
（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4. 拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．
思路點撥：將點B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，拋物線C1繞點O順時針旋轉180°，則說明變量x、y都變為相反數；當點P、M關于點B成中心對稱時，要求出C3的解析式關鍵是求出頂點M點的坐標，而B點坐標為（1，0），利用對稱性及通過添加適當的輔助線、全等知識等可得頂點M（4，5），且拋物線C3開口向下，運用頂點式便可求出C3的解析式；在（3）中，拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4 .其實就是P，N關于點Q成中心對稱，根據對稱性可設字母m表示出N、E、F等各點的坐標，探究以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，要進行適當的分類考慮：三個角都有為直角的可能，再利用相關的勾股定理等確定其中所設字母m的值，進而求出Q點的坐標.
解析：（1）由拋物線C1：y=a（x+2）2-5得頂點P（-2，-5）.
點B（1，0）在拋物線C1上，0=a（1+2）2-5，解得a= .
（2）a：拋物線C1繞點O順時針旋轉180°，先自變量x變為y=（-x+2）2-5，函數值y變為y=-（-x+2）2+5；
b：連接PM，作PHx軸于H，作MGx軸于G ，點P、M關于點B成中心對稱.
PM過點B，且PB=MB，PBH≌MBG，MG=PH=5，BG=BH=3.
頂點M的坐標為（4，5）.
拋物線C2由C1關于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到.
拋物線C3的表達式為y=-（x-4）2+5.
（3）拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得到頂點N、P關于點Q成中心對稱， 由（2）得點N的縱坐標為5.
設點N坐標為（m，5），作PHx軸于H，作NGx軸于G，作PKNG于K，旋轉中心Q在x軸上，EF=AB=2BH=6，FG=3.點F坐標為（m+3，0），H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5）.
根據勾股定理得PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34 .①當∠PNF=90°時，PN2+ NF2=PF2，解得m=，Q點坐標為（，0）；②當∠PFN=90°時，PF2+ NF2=PN2，解得m=，Q點坐標為（，0）；③PN＞NK=10＞NF，∠NPF≠90°.
