時間：2022-06-14 18:37:18
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇反比例函數(shù)的應(yīng)用，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、利用特殊四邊形的性質(zhì)找到在反比例函數(shù)圖像上的頂點坐標(biāo)確定反比例函數(shù)的解析式
例1.如圖1，菱形的頂點在軸上，頂點C的坐標(biāo)為（-3，2）．若反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點A，則K的值為（）
A.-6. B.-3.C.3.D.6.
解析：如圖1，因為菱形的兩條對角線互相垂直平分，又在軸上，所以頂點C、A關(guān)于軸對稱，已知C的坐標(biāo)為（-3，2），所以A的坐標(biāo)為（3，2）.
反比例函數(shù)y=■（x＞0）的圖像經(jīng)過點A，則K=3×2=6，故選D.
二、根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義探究特殊四邊形的面積
例2.如圖2，點A是反比例函數(shù)y=-■（x＜0）的圖像上的一點，過點A作ABCD，使點B、C在x軸上，點D在y軸上，則ABCD的面積為（）
A.1B.3
C.6D.12
分析：過點A作AEOB于點E，容易證明ABE≌DCO.
所以平行四邊形ABCD的面積等于矩形ADOE的面積等于AD×AE.
根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義可得：矩形ADOE的面積為6，即可得平行四邊形ABCD的面積為6．故選C．
例3.如圖3，點A是反比例函數(shù)y=■(x＞0)的圖像上任意一點，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=－■ 的圖像于點B.以AB為邊作ABCD，其中C、D在x軸上，則SABCD為()
A．2 B．3
C．4 D．5
分析：分別過點B、A作BECD于E，AFCD于F，因為AB∥x軸，所以BE=AF.四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，所以BCE≌AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故選D.
評注：例2、3都考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標(biāo)軸作垂線段，圍成矩形的面積就是｜k｜,圖像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取負(fù).
三、以點的坐標(biāo)為載體設(shè)計規(guī)律探究問題
例4.給出下列命題：
命題1：直線y=x與雙曲線有一個交點是（1，1）；
命題2：直線y=8x與雙曲線y=■有一個交點是（■，4）；
命題3：直線y=27x與雙曲線y=■有一個交點是（■，9）；
命題4：直線y=64x與雙曲線y=■有一個交點是（■，16）；
……
（1）請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n（n為正整數(shù)）；
（2）請驗證你猜想的命題n是真命題．
解析：觀察命題1~4的結(jié)構(gòu)特征可以發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的比例系數(shù)與命題的序號是相同的，直線解析式中一次項的系數(shù)是命題的序號的立方數(shù)，交點的橫坐標(biāo)是命題相應(yīng)序號的倒數(shù)，縱坐標(biāo)是命題相應(yīng)序號數(shù)的平方數(shù). 據(jù)此可以猜想出（1）命題n：直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.
（2）將（■，n2）代入直線y=n3x得：右邊n3×■=n2，左邊為n2，所以左邊等于右邊，所以點(■，n2)在直線y=n3x上，同理可證：點（■，n2）在雙曲線y=■上.
關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)；復(fù)習(xí)；概念；性質(zhì)；圖像
反比例函數(shù)是近年來考試的重點，無論是教學(xué)時的難度，還是本身所包含的知識，都會成為考試中的熱點。課程標(biāo)準(zhǔn)對反比例函數(shù)的掌握程度提出了更多的要求，考試的題型也呈現(xiàn)多種變化。如，選擇題、填空題、解答題，考點涉及反比例函數(shù)的概念、解析式、圖象及性質(zhì)、實際問題等，特別是涉及反比例函數(shù)的綜合題型等。那么，我們在復(fù)習(xí)中如何能使學(xué)生掌握基礎(chǔ)、形成知識網(wǎng)絡(luò)，并能利用基本的概念、性質(zhì)和方法通過觀察和歸納分析解決難度較大的綜合題型呢？下面我們就通過一些環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過“解決問題―歸納知識―構(gòu)建系統(tǒng)”的模式，力求讓學(xué)生通過自主探究的方式達到對知識的深層理解，形成解決問題的能力。
一、概念梳理，抓好基礎(chǔ)
這道試題是最簡單的反比例函數(shù)概念題，學(xué)生將A點代入解析式即能得解，使學(xué)生初步理解反比例函數(shù)的概念，并知道這樣的方式叫待定系數(shù)法求解析式。
例2.近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式為________。
這道試題是有關(guān)函數(shù)實際應(yīng)用問題的，是要學(xué)生加深理解函數(shù)概念的。也就是通過對實際問題的理解轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即得出反比例函數(shù)解析式。這樣的探究一方面可以加深學(xué)生對反比例函數(shù)實際意義的理解，對實際應(yīng)用問題中自變量取值范圍的理解；另一方面也為學(xué)生后面解答的實際應(yīng)用綜合問題降低思考難度。
二、掌握圖象性質(zhì)，加深學(xué)生理解
這道例題是考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，從題中“y都隨x的增大而減小”，則k-3>0，從而得出k>3。這類試題在復(fù)習(xí)中是最簡單的變形考查，可以讓學(xué)生在識記基礎(chǔ)上理解函數(shù)性質(zhì)。
三、探究k值的幾何意義
這一環(huán)節(jié)重點解決反比例函數(shù)的概念、性質(zhì)、k值的幾何意義，由學(xué)生在課前完成。采取“練習(xí)―梳理”的形式，讓學(xué)生自覺感受和發(fā)現(xiàn)題中所考查的基礎(chǔ)知識點，產(chǎn)生自覺歸納基礎(chǔ)知識點的欲望，從而主動歸納知識，初步形成知識網(wǎng)絡(luò)。教法上在學(xué)生課前自主完成的基礎(chǔ)上，先讓學(xué)生小組核對、討論，之后由學(xué)生講解、展示問題的解答和歸納的基礎(chǔ)知識點。最后，教師對于學(xué)生講解和理解不透徹之處再和全體學(xué)生一起進行深入辯解，形成正確、簡潔的結(jié)論。
四、聯(lián)系實際，綜合練習(xí)
在反比例函數(shù)的考查中，不可能是單一的出現(xiàn)，它往往同一次函數(shù)，三角形等相結(jié)合，并且具有一些實際的問題。所以，我們在復(fù)習(xí)時應(yīng)該聯(lián)系生活實際問題，教學(xué)學(xué)生如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在聯(lián)系中加強綜合性。
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求AOC的面積；
本例題比較復(fù)雜，教師期待學(xué)生歸納總結(jié)的內(nèi)容比較多，大部分學(xué)生可能能夠求解其中的問題，但不易理清思路，特別是部分基礎(chǔ)知識和思維能力稍弱的學(xué)生會更加困難。教師應(yīng)該教會學(xué)生怎樣對問題設(shè)計的知識點形成比較清晰的歸納和認(rèn)識。
在第一問中教師引導(dǎo)學(xué)生明了先求哪一個函數(shù)，為什么，即已知一點可求反比例函數(shù)，已知兩點才能求一次函數(shù)，教師還可引申到已知幾點才能求二次函數(shù)。這一問的解決和引申達到了對比分析反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)在解析式求法上的區(qū)別，能夠形成較好的對比效應(yīng)。
第二問的設(shè)置目的在于對比k值的幾何意義所產(chǎn)生的三角形面積不變性問題。使學(xué)生明了反比例函數(shù)圖象中哪些三角形才具有面積不變性，這些三角形各自的特征是怎樣的。
第三問所要求解的不等式實際上可轉(zhuǎn)化為比較一次函數(shù)y1與反比例函數(shù)y2的大小，這樣思路就會清楚一些。
綜上所述，問題分析是關(guān)鍵。學(xué)生應(yīng)該在教師的適時、適當(dāng)點撥下一步一步突破，理清問題的脈絡(luò)，對問題解決形成比較明晰的思路。這時教師才能放手讓學(xué)生去解答問題、歸納知識、總結(jié)經(jīng)驗，并選一名學(xué)生上臺展示解題過程，大部分學(xué)生都完成之后由學(xué)生評點，使學(xué)生進一步完善解題過程，使全體學(xué)生能夠?qū)栴}理解透徹，然后教師引導(dǎo)學(xué)生分析提煉這一題中可以歸納總結(jié)、形成經(jīng)驗的內(nèi)容。
參考文獻：
[1]金秋.學(xué)習(xí)“反比例函數(shù)”應(yīng)注意的幾個問題.時代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：九年級，2006（11）.
[2]陳抗抗.反比例函數(shù)圖象的運用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)：初中版，2006（03）.
一、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境、提出問題
在下列實際問題中，變量間的對應(yīng)關(guān)系可用怎樣的函數(shù)式表示？
（1）一輛以60km/h勻速行駛的汽車，它行駛的距離S（單位：km）隨時間t（單位：h）的變化而變化；（2）一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油50升，如果不再加油，平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量y（單位：升）隨行駛里程 x（單位：千米）的變化而變化；（3）小華的爸爸早晨騎自行車帶小華到距離5千米的學(xué)校上學(xué)，自行車速度在行駛過程中都不變，爸爸從家里到學(xué)校的時間t和速度v之間的關(guān)系；（4）學(xué)校課外生物小組的同學(xué)準(zhǔn)備自己動手， 用舊圍欄建一個面積為24平方米的矩形飼養(yǎng)場. 設(shè)它的一邊長為x（米），求另一邊的長y（米）與x的函數(shù)關(guān)系式；（5）已知北京市的總面積為1.68×104平方千米，人均占有的土地面積S（單位：平方千米/人）隨全市總?cè)丝趎（單位：人）的變化而變化。（6）正方形的面積S隨邊長x的變化而變化。（7）圓的面積S隨半徑r的變化而變化。
學(xué)生自主學(xué)習(xí)得出結(jié)論：
①S=60t ②y=50-0.1x ③t=
④y= ⑤S= ⑥S=x2
⑦S=πr2
教師提出問題：在上面所列出函數(shù)中哪些是我們學(xué)過的函數(shù)？剩下的函數(shù)從形式上看，你們認(rèn)為那幾個應(yīng)該是一類的呢？這類函數(shù)具有什么共同特征？通過比較引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一類新的函數(shù)
從學(xué)生已有的知識和身邊的實際問題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
（二）共同探究，得出結(jié)論
學(xué)生討論，得出結(jié)論：一般地，如果變量y和x之間函數(shù)關(guān)系可以表示成y=（k是常數(shù)，且k≠0）的形式，則稱y是x的反比例函數(shù)。教師出問題：反比例函數(shù)中自變量x的取值范圍是什么？你能再找出幾個生活中反比例函數(shù)的例子嗎？結(jié)合前面學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪，函數(shù)關(guān)系y=還可以寫成什么形式？在這個環(huán)節(jié)充分發(fā)揮學(xué)生的能動性，引導(dǎo)學(xué)生探究新知。學(xué)生通過討論，總結(jié)得出結(jié)論，加深了對概念的理解，同時培養(yǎng)了學(xué)生的歸納能力和抽象思維。教師適當(dāng)引導(dǎo)，拓展相關(guān)概念。
（三）應(yīng)用新知識，深化拓展
例1 下列關(guān)系式中的y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？
y=；y=-；y=1-x；xy=1；y=
例2 關(guān)系式xy+4=0中y是x的反比例函數(shù)嗎？若是，比例系數(shù)k等于多少？若不是，請說明理由。
例3 已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x=2時，y=6.寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：求當(dāng)x=4時y的值。
例4 當(dāng)m=____時，關(guān)于x的函數(shù)y=（m+1）xm2-2是反比例函數(shù)？例題的講解是為了初步應(yīng)用所學(xué)知識，通過例題的講解，學(xué)生逐步將對知識的感性認(rèn)識轉(zhuǎn)化為了理性認(rèn)知。本課難點被逐步突破。
（四）課堂練習(xí)，鞏固新知
課堂練習(xí)
1.函數(shù)y=-中自變量x的取值范圍是______
2.蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______
3.當(dāng)y與x2成反比例時，y與x______反比例 （成或不成）
4. 當(dāng)y與2x成反比例時，y與x______反比例（成或不成）
5. 下列哪些關(guān)系中的y是x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)是多少？
（1）y=x （2）y=
（3）xy+2=0 （4）xy=0
6. 若y與x成反比例，且x=-3時，y=7，求y與x的函數(shù)關(guān)系式？
7. y=（a+1）x|a|-2是反比例函數(shù)，求a的值？
[摘 要] 在單元教學(xué)中，教師應(yīng)充分利用相似知識模塊之間的內(nèi)在聯(lián)系，適時借助類比、歸納等推理方法，開展單元教學(xué)活動. 本文重點介紹如何類比正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)開展反比例函數(shù)的單元教學(xué)活動.
[關(guān)鍵詞] 類比法；單元教學(xué)；正比例函數(shù)；反比例函數(shù)
《教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)，教師應(yīng)重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨立思考、自強自立、自由精神的培養(yǎng). 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面，這種自主學(xué)習(xí)、自主思考的能力，某種程度上表現(xiàn)為“舉一反三”“觸類旁通”的能力. 而這種能力的形成，要求教師在進行相似知識模塊的學(xué)習(xí)時，不能簡單地停留在知識點的傳授層面，要適時滲透類比、歸納等推理方法，幫助學(xué)生既掌握方法，又整體建構(gòu). 本文結(jié)合“反比例函數(shù)（1）”的學(xué)習(xí)談?wù)勥@方面的認(rèn)識.
反比例函數(shù)與已學(xué)的正比例函數(shù)一樣，也是一種特殊的函數(shù). 它們在研究內(nèi)容上是一致的. 這種研究內(nèi)容的一致性，決定了它們在研究方法上也存在一致性. 因此，我們可以將反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)看做是正比例函數(shù)學(xué)習(xí)的進一步延伸和拓展. 我們在進行反比例函數(shù)的第一課時學(xué)習(xí)時，改變了傳統(tǒng)的重點研究反比例函數(shù)的概念及基本運算的做法，而是借鑒正比例函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，運用類比的方法進行單元教學(xué)，讓學(xué)生在類比正比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，整體認(rèn)識反比例函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用，形成一種整體意識，為后續(xù)的深入研究做好充分的準(zhǔn)備.
為了能順利地實現(xiàn)正遷移，將正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移到反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我在教學(xué)時設(shè)置了以下問題. 對于此問題，一方面，通過正比例函數(shù)的認(rèn)識，明確函數(shù)一般的研究對象和方法，為用類比的方法研究反比例函數(shù)做好必要的鋪墊工作；另一方面，通過整體回顧，培養(yǎng)學(xué)生的整體意識.
同正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)相似，在研究概念的基礎(chǔ)上，進一步轉(zhuǎn)入到函數(shù)圖象的研究中來. 但是如果要學(xué)生通過描點法作圖一步到位地作出反比例函數(shù)的圖象，難度比較大. 為此，我在正比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，設(shè)置問題串引領(lǐng)學(xué)生思考，讓學(xué)生初步感知反比例函數(shù)圖象分布的區(qū)域、基本走勢.
1. 提出問題
2. 學(xué)生活動
設(shè)計意圖說明：通過問題串引導(dǎo)學(xué)生類比、思考、觀察、討論， 讓學(xué)生在初步對“數(shù)”的特征有所認(rèn)識的基礎(chǔ)上再自然轉(zhuǎn)入對“形”進行研究. 這種從“數(shù)”到“形”的研究方式增加了對學(xué)生思維能力培養(yǎng)的機會，目的是讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).
設(shè)計意圖說明：在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生“類比正比例函數(shù)的性質(zhì)”，最大限度地調(diào)動學(xué)生“合情推理”的因素，以確保學(xué)習(xí)知識的“正遷移”效應(yīng). 這樣做，既加深了學(xué)生對屬于正比例函數(shù)和反比例函數(shù)“共性”結(jié)論的理解，也重點剖析了反比例函數(shù)解析式獨有的“個性”特征. 這種建立在類比基礎(chǔ)上的研究，無疑會使學(xué)生對反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的認(rèn)識更加科學(xué)、精確.
回顧歷史，日本數(shù)學(xué)從中國得到過三次輸入，中國的數(shù)學(xué)在日本的數(shù)學(xué)教育中有著重要的地位因此，日本的數(shù)學(xué)教育在觀念、方法和內(nèi)容上都有著東方文化的印記但近幾年來，日本驚人的技術(shù)成就、經(jīng)濟實力及在教育方面的巨大進步，引起了越來越多人對日本數(shù)學(xué)教育的關(guān)注TIMss即第三次國際數(shù)學(xué)與科學(xué)研究通過對日本、美國和德國三國八年級數(shù)學(xué)課的比較研究，表明日本學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是最好的，
我國的數(shù)學(xué)教學(xué)重視系統(tǒng)訓(xùn)練，注重知識的梳理和結(jié)構(gòu)的掌握，“精講多練”成為我國的普遍模式，規(guī)范統(tǒng)一的教學(xué)管理和學(xué)習(xí)要求，使我國學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出較強的意志力，以及勤奮努力的精神，取得的成績和效果也是值得肯定的，自2001年實施新課程改革以來，中國的數(shù)學(xué)課程也不斷人性化，生活化，整合化，不斷趨于國際數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，但是毫無疑問，新課程在實施中也不可避免地出現(xiàn)了很多問題，
通過中日初中數(shù)學(xué)教科書的比較研究，可以為我國的數(shù)學(xué)課程改革，尤其是教科書編寫，提供一些啟示和建議，
2 選取比例與反比例的原由
本文選取“比例與反比例”這一單元，從微觀層面對中日初中數(shù)學(xué)教科書進行比較，
函數(shù)是數(shù)與代數(shù)的延伸，也是數(shù)與代數(shù)的重要組成部分，同時函數(shù)也可看作是刻畫變量之間依賴關(guān)系的模型，是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的基礎(chǔ)，是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁，是數(shù)形結(jié)合的載體之一，此外，從現(xiàn)在的高中、大學(xué)教科書可以看出，函數(shù)是貫穿整個高中、大學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，德國數(shù)學(xué)家克萊因曾說過：“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂，以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在它周圍，進行充分地綜合，”強調(diào)了函數(shù)概念的重要性，比例與反比例是函數(shù)的入門，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中第一次接觸到變量、常量的概念，是否能學(xué)好比例與反比例對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，另外，從中國數(shù)學(xué)教科書演變史中可以了解到，中國在建國前后的一段時間內(nèi)，比例與反比例(一次函數(shù)與反比例函數(shù))是初三的內(nèi)容，而現(xiàn)在卻將其放在了初二的內(nèi)容里，而日本初中教科書這部分內(nèi)容以前是高中的內(nèi)容，而現(xiàn)在也將其放到了初中，不難看出比例與反比例已經(jīng)在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)越來越重要的作用，因此，我們選取這部分內(nèi)容來進行比較研究，
3 內(nèi)容比較
中國教科書選用人教版的初中數(shù)學(xué)教科書《數(shù)學(xué)》，日本教科書選用澤田列夫領(lǐng)銜主編、教育出版株式會社出版的《中學(xué)數(shù)學(xué)》，
3.1編排的比較
《中學(xué)數(shù)學(xué)》：共一章，三小節(jié)，分別為比例、反比例、比例與反比例的應(yīng)用，其中比例又分為比例的式、坐標(biāo)、比例的圖像；反比例又分為反比例、反比例的圖像，
《數(shù)學(xué)》將比例與反比例放在不同的章節(jié)，正比例放在八年級上冊第十四章第二節(jié)，反比例函數(shù)放在八年級下冊第十七章，反比例分為反比例函數(shù)(包括反比例函數(shù)的意義、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì))和實際問題與反比例函數(shù)，
《中學(xué)數(shù)學(xué)》將坐標(biāo)也放在了比例這一小節(jié)中，而《數(shù)學(xué)》在七年級上冊用一章來介紹了平面直角坐標(biāo)系，
《數(shù)學(xué)》的內(nèi)容量明顯大于《中學(xué)數(shù)學(xué)》，相同內(nèi)容的難度與深入程度也比《中學(xué)數(shù)學(xué)》大得多，比如，《中學(xué)數(shù)學(xué)》在介紹坐標(biāo)時，只用了一小節(jié)，簡單地介紹了橫縱坐標(biāo)，而《數(shù)學(xué)》則很詳細(xì)地介紹了平面直角坐標(biāo)系以及坐標(biāo)的應(yīng)用，在介紹正比例函數(shù)時，《數(shù)學(xué)》將正比例放在了一次函數(shù)這一章中，作為特殊的一次函數(shù)，而《中學(xué)數(shù)學(xué)》只是簡單地介紹了正比例函數(shù)，并沒有介紹一次函數(shù)，難度與《數(shù)學(xué)》比小很多，另外，相同的內(nèi)容《中學(xué)數(shù)學(xué)》比《數(shù)學(xué)》有明顯的滯后性。
不可否認(rèn)，內(nèi)容豐富、知識講解詳盡，對拓寬學(xué)生的視野、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增強學(xué)生求知欲以及豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)情感都是十分必要的，這也說明了單一的編排方式已經(jīng)不適應(yīng)現(xiàn)代教育的發(fā)展，內(nèi)容的深入可以讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展，但是知識是無窮的，不可能全部都在教科書上講到，教科書只是知識的出發(fā)點，而不是終結(jié)目標(biāo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)并不在于所學(xué)內(nèi)容的多少，而在于掌握最基礎(chǔ)的知識和數(shù)學(xué)的思想方法，這會使學(xué)生更加受益，《中學(xué)數(shù)學(xué)》雖然內(nèi)容量少，但是介紹很到位，重點突出，基礎(chǔ)性強，將正反比例放在同一章中介紹，學(xué)生可進行對比學(xué)習(xí)和記憶，沒有對其作深入的介紹，為學(xué)生提供了廣闊的思考、探索空間，
3.2導(dǎo)人的比較
《中學(xué)數(shù)學(xué)》比例的導(dǎo)人如下：
畫出放水的時間和水面高度的的關(guān)系圖，并研究兩者的數(shù)量關(guān)系，
《數(shù)學(xué)》正比例函數(shù)的導(dǎo)人如下：
1996年，鳥類研究者在芬蘭給一支燕鷗套上標(biāo)志環(huán)；大約128天后，人們在25600萬千米外的澳大利亞發(fā)現(xiàn)了它，
(1)這只百余克重的小鳥大約平均每天飛行多少千米?
(2)這只燕鷗行程y與飛行時間x有什么關(guān)系?
(3)這只燕鷗飛行一個半月(一個月按30天算)的行程大約是多少?
《中學(xué)數(shù)學(xué)》反比例的導(dǎo)人如下：
把下圖的點A作為頂點，畫出各種面積為12厘米的長方形
思考：橫的變長，則豎的長度將如何變化?
《數(shù)學(xué)》反比例函數(shù)導(dǎo)人如下：
思考：
下列問題中，變量間的對應(yīng)關(guān)系可用怎樣的函數(shù)關(guān)系時表示?這些函數(shù)有什么共同特點?
(1)京滬線鐵路全程1463km，某次列車的平均速度口隨此次列車全程運行時間t的變化而變化；
(2)某住宅小區(qū)要種植一面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長隨寬的變化而變化；
(3)已知北京市的總面積為1.68×104平方千米，人均占有的土地面積S隨全市總?cè)丝趎的變化而變化，
從中日兩種教科書正比例的導(dǎo)人可以看出日本教科書引入的問題更加貼近實際生活，而且用圖來代替文字?jǐn)⑹觯又庇^、形象，使課堂不那么枯燥，有助于學(xué)生對題目的理解，更容易引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，《數(shù)學(xué)》引入的問題，很明顯就沒有《中學(xué)數(shù)學(xué)》吸引人眼球的效果，雖然也結(jié)合了實際，但就是給人以距離感，沒有圖形的直觀感受，也沒有具體數(shù)量的比較，難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，而且這個例子也不是完全的正比例函數(shù)，書中也提到是近似的，但可以作為反映行程與時間的一個模型，另外，《數(shù)學(xué)》在引入問題后，沒有進行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)式分析，就直接給出問題的解，忽視了學(xué)生自己思考的過程，而《中學(xué)數(shù)學(xué)》并沒有接著問題就給出了解答，而是在后面的新課內(nèi)容中一步一步來解決，留給了學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)的空間和時間，
對于反比例的導(dǎo)人，《中學(xué)數(shù)學(xué)》用等面積的長方形來引入，結(jié)合圖形，給學(xué)生自己動手動腦的機會，通過找到合適的點，在圖像上描繪出來，就是反比例的圖像，進而引入反比例，用一個簡單的實際問題，引入要點，通過指導(dǎo)學(xué)生進行自主性的學(xué)習(xí)研究，而不是灌輸式的教學(xué)，
而《數(shù)學(xué)》以思考的形式給出三個實際問題，讓學(xué)生自己思考其特點和變量之間的對應(yīng)關(guān)系，并發(fā)
現(xiàn)共同點，這種形式的導(dǎo)人多數(shù)情況下會在上課時被忽略掉，老師就直接給出幾個反比例的式子，然后給出概念，完全沒有起到導(dǎo)人應(yīng)有的作用，只是流于形式罷了，學(xué)生只有被動的接受，沒有主動地思考發(fā)現(xiàn)，
3.3概念與性質(zhì)的比較
《中學(xué)數(shù)學(xué)》中的相關(guān)概念如下：
變數(shù)％與y的關(guān)系可用y=ax(a為定數(shù))表示時，y與x成比例，此時，a為比例定數(shù)，
變數(shù)z與y的關(guān)系，可用y=u來表示時，y與z成反比例，此時，a稱為比例定數(shù)，
反比例關(guān)系y=a/x的圖形，稱為雙曲線
《數(shù)學(xué)》中的相關(guān)概念如下：
形如y=kx的函數(shù)(k為常數(shù)，k不等于0)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)，
一般的，形如y=k/x(k為常數(shù)，K不等于0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，
《中學(xué)數(shù)學(xué)》著重指出z與y是變量，特別定義了rz為比例定數(shù)，但沒有給出a的取值條件，《數(shù)學(xué)》沒定義k，但是說明了k為常數(shù)，且不為0，《中學(xué)數(shù)學(xué)》指明了反比例的圖形稱為雙曲線，為日后學(xué)習(xí)雙曲線埋下伏筆，但是這樣引進雙曲線很容易使學(xué)生誤認(rèn)為雙曲線就是反比例函數(shù)的圖像，
《中學(xué)數(shù)學(xué)》中比例的性質(zhì)：
y=ax的圖和值得變化
《數(shù)學(xué)》中正比例函數(shù)的性質(zhì)：
一般的，正比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù)，k不等于0)的圖像是一條經(jīng)過原點的直線，我們稱它為直線y=kx，當(dāng)k>0時，直線經(jīng)過第三、一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當(dāng)k
《中學(xué)數(shù)學(xué)》用表格的形式給出a>0和a
3.4實際應(yīng)用的比較
《中學(xué)數(shù)學(xué)》比例選用了折紙的紙張數(shù)與重量關(guān)系這個例子，給出了兩個思考方法：一個是表格法，一個是圖像法，反比例選用了天平平衡原理來求解離支點的距離和秤砣重量的關(guān)系，
《數(shù)學(xué)》正比例沒提到實際應(yīng)用，反比例用了三個實際例子，第一個是定體積求底面積與高的關(guān)系，第二個是卸貨總量定求卸貨時間和卸貨速度的關(guān)系，第三個和中學(xué)數(shù)學(xué)類似的杠桿原理的應(yīng)用，這些例子都是生活中常會用到的，比如我們求一些輕小物的重量，就會用到中學(xué)數(shù)學(xué)第一個例子的模型，將大量的輕小物累計在一起稱出重量，然后求出單個的重量，第二個例子在實際生活中的原型就是桿秤，桿秤的原理就是根據(jù)這個例子來的，因此學(xué)生可以根據(jù)這個例子探索出桿秤的制作原理，總之這些例子都很好地將數(shù)學(xué)和實際生活聯(lián)合在一起，能鍛煉學(xué)生的思維能力，
3.5其它
《數(shù)學(xué)》章首都會介紹本章要學(xué)的知識背景以及要點和所要達到的目標(biāo)，有“知識導(dǎo)向”作用，以便后面的內(nèi)容圍繞這一目標(biāo)展開，
《數(shù)學(xué)》在章節(jié)后設(shè)置了信息技術(shù)應(yīng)用，例如：在反比例這節(jié)后介紹了用計算機制圖軟件畫準(zhǔn)確的圖像，這是新版教科書反應(yīng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代教育技術(shù)相結(jié)合的體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)與時俱進的體現(xiàn)，用先進的計算機技術(shù)來形象生動地描繪數(shù)學(xué)問題，用計算機來呈現(xiàn)以往教學(xué)中很難呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，這對于學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣的提高和一些較抽象數(shù)學(xué)的理解都會有很大的幫助，
《中學(xué)數(shù)學(xué)》在每一章最后都有一個學(xué)結(jié)，與《數(shù)學(xué)》不同，《數(shù)學(xué)》只是大致的將一章的要點講一下，或者是用結(jié)構(gòu)圖來表示一下個小節(jié)的聯(lián)系，而《中學(xué)數(shù)學(xué)》的學(xué)結(jié)是提綱性的，將這一章所有的概念、定義、性質(zhì)等重新回顧一遍，而且還會設(shè)置一些空格由學(xué)生自己填進去，這樣可以起到鞏固已學(xué)知識的效果，還有利于以后的復(fù)習(xí)，
“挑戰(zhàn)角”也是《中學(xué)數(shù)學(xué)》的一個內(nèi)容，是對新學(xué)知識的深入，考查學(xué)生對知識的綜合運用能力、數(shù)形結(jié)合能力等，也可以給成績好的學(xué)生一個展示自己并提高自己能力的機會，
4 對我國數(shù)學(xué)教科書編寫的啟示
4.1加強探究式學(xué)習(xí)，重視啟發(fā)學(xué)生
《中學(xué)數(shù)學(xué)》反比例的導(dǎo)人是畫出各種面積為12厘米的長方形，先從很簡單的數(shù)學(xué)知識人手，啟發(fā)學(xué)生自己思考，并自己動手畫圖，學(xué)生在教科書的指引下，通過自己的思考、探索得出新的知識，這是一種探究式的學(xué)習(xí)，教科書引導(dǎo)學(xué)生自己一步一步找到問題的答案，而不再是問題后直接給出問題的解答，而《數(shù)學(xué)》就缺少了這種引導(dǎo)學(xué)生自己探索和思考的過程，比如在反比例導(dǎo)人時，給出了三個問題，卻沒有設(shè)計一些必要的啟發(fā)學(xué)生的問題式引導(dǎo)，問題的答案也就直接給出，完全沒有讓學(xué)生進行自己的探索和發(fā)現(xiàn)，《中學(xué)數(shù)學(xué)》中的“挑戰(zhàn)角”是對已學(xué)知識的深入應(yīng)用，學(xué)生要將已有知識與新知識和實際有效結(jié)合，才能解出，這也是對學(xué)生探究能力的考驗，這并不是說《數(shù)學(xué)》中完全沒有探究式學(xué)習(xí)，只是教科書還不夠完善，
4.2注重數(shù)學(xué)實驗，加強動手、操作能力
數(shù)學(xué)教學(xué)既要充分體現(xiàn)教學(xué)的抽象化一面，又要重視數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的具體化一面，而數(shù)學(xué)實驗則是針對數(shù)學(xué)具體化一面而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，雖然現(xiàn)在我國的教科書已經(jīng)開始有這方面的嘗試，但是并不多，在教學(xué)中能夠充分體現(xiàn)的更是少，從《數(shù)學(xué)》與《中學(xué)數(shù)學(xué)》的比較可以看出，日本在創(chuàng)造性、動手能力方面對學(xué)生的訓(xùn)練較多，這也體現(xiàn)了日本新數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容所特別強調(diào)的要豐富學(xué)生的教學(xué)活動，要學(xué)生通過觀察、實驗、操作等具體活動抽象概括出數(shù)學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，而我國注重的還是對抽象知識的理解，以及通過練習(xí)來強化所學(xué)的知識，對學(xué)生動腦要求較高也較多，動手、操作能力的要求相對低得多，
4.3注重問題的解決，而不是結(jié)果
在正反比例導(dǎo)人的比較上可以看出，《數(shù)學(xué)》中例子的引入似乎只是為了引出其概念，要的只是問題的結(jié)果，對結(jié)果是如何得出的似乎不是很重視，而《中學(xué)數(shù)學(xué)》同樣使用例子來引導(dǎo)，卻極其地重視問題應(yīng)該如何解決，總是在問題的恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)下引導(dǎo)學(xué)生解決問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，《中學(xué)數(shù)學(xué)》的習(xí)題數(shù)量較少，但是題目具有靈活性、多樣性和趣味性，題目的范圍也較廣，有反應(yīng)日常生活的、有具挑戰(zhàn)性的、有綜合運用的，也有與其他學(xué)科聯(lián)系的等等，從這些例題都可以看出日本對問題解決的重視，
【關(guān)鍵詞】 反比例函數(shù)；實際問題；函數(shù)關(guān)系
隨著社會的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)滲透到生活的各個領(lǐng)域，函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心和主線，它的內(nèi)涵恰好能體現(xiàn)不斷變化的事物的本質(zhì)及事物間的內(nèi)在聯(lián)系.而反比例函數(shù)經(jīng)常作為主角出現(xiàn)在函數(shù)的應(yīng)用中，如通訊話費、計程車計費、銀行利率、郵資、個人所得稅等，所以，很有必要在這些方面開展研究性學(xué)習(xí).這樣既能使學(xué)生體悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，又能激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識.下面筆者以與學(xué)生息息相關(guān)的體育館中的一系列問題，用反比例函數(shù)給予解決，探討反比例函數(shù)的應(yīng)用.
問題1 蓮花學(xué)校要籌建新的體育館，其地基為長方形，占地面積為2 400平方米.（1）體育館的長與寬之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）如果體育館的寬為100米，那么長為多少？（3）由于齙氐南拗疲長最多為60米，那么寬應(yīng)該滿足什么條件？
解析 （1）設(shè)長為x，寬為y，由長方形面積=長×寬，可得y= 2400 x ；
（2）將y=100代入y= 2400 x ，可得x=240；
（3）長最多為60米，即x≤60，這個很像是一道解不等式的題目，但學(xué)生很難用解不等式解決，這里通常有兩種方法：① 根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，因為k>0，x>0，y隨x的增大而減小，所以考慮臨界值，當(dāng)x最大為60時，y最小值為400，即y≥400.② 根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，因為k>0，x>0，圖像在第一象限，從左到右呈下降趨勢，根據(jù)x的取值范圍確定對應(yīng)的圖像，進而得出y的取值范圍.
分析 此題是以蓮花體育館的籌建為背景引入的，讓學(xué)生來當(dāng)一回設(shè)計師，設(shè)計體育館的地基，就像陶行知老先生說的：“教育不能創(chuàng)造什么，但它能啟發(fā)兒童創(chuàng)造力以從事于創(chuàng)造工作.”這題的三小題分別用反比例函數(shù)的解析式、取值以及增減性解決.問題（1）的反比例函數(shù)關(guān)系式是由長方形面積公式直接得出的；對于問題（2）的解答，只要將y=100的數(shù)值代入關(guān)系式中，就可以求出相對應(yīng)的x數(shù)值；問題（3）是對反比例函數(shù)增減性的考查，也可結(jié)合圖像更直觀地感受當(dāng)長最多為60米時，寬應(yīng)該滿足的條件，這里還用到了臨界值，當(dāng)考慮某一變量的取值范圍時，往往會先分析臨界值，在下面的題目中我們還將涉及.
問題2 某建筑商出售一批進價為2萬元/噸的鋼材，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此鋼材的銷售單價x萬元/噸與銷售量y（噸）之間有如下關(guān)系：
x（萬元/噸） 3 4 5 6
y（噸） 20 15 12 10
（1）猜測并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)經(jīng)營此鋼材的銷售利潤為w萬元，試求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若物價局規(guī)定此鋼材的銷售價最高不能超過10萬元/噸，請你求出當(dāng)銷售單價x定為多少萬元時，才能獲得最大銷售利潤？
解析 （1）由四組數(shù)據(jù)積的不變性，可以得出xy=120，y= 120 x ；
（2）根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得出w=（x-2）y，但題目要求是w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，這里將把第（1） 小題中的y= 120 x 直接代入，得到一個新函數(shù)w=- 240 x + 120；（3）對于函數(shù)w=- 240 x +120，已知x≤10時，確定w的取值范圍，應(yīng)把w看成兩項，一項為定值120，一項為變值- 240 x ，所以w的取值范圍由- 240 x 確定，也有兩種方法：① 根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，因為k0，y隨x的增大而增大，所以考慮臨界值，當(dāng)x最大=10時，w最大=96，即0≤w≤96.② 根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，因為k0，圖像在第四象限，從左到右呈上升趨勢，根據(jù)x的取值范圍確定對應(yīng)的圖像，得出- 240 x 的取值范圍，進而得出w的取值范圍.
分析 這題是以蓮花體育館建造時，鋼材供應(yīng)商經(jīng)營策略為背景引入的，它在問題1的基礎(chǔ)上有所提高，體現(xiàn)了不同的求解析式的方法.這里的設(shè)計主要想體現(xiàn)陶行知老先生的名言：“好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué).”讓學(xué)生在已有的基礎(chǔ)上進一步提升.問題（1）的反比例函數(shù)關(guān)系式是由售價與銷售量乘積的不變性，直接得出的；問題（2）在確定了銷售量與銷售價之間的反比例函數(shù)關(guān)系之后，根據(jù)總利潤=單價利潤×銷售量或者總利潤=銷售額-成本的數(shù)量關(guān)系，列出w與x之間的關(guān)系式，這里銷售量y要用x來表示；問題（3）根據(jù)利潤的函數(shù)關(guān)系式w=- 240 x +120，由x的取值范圍來確定w的取值范圍，這里應(yīng)該把w的函數(shù)關(guān)系式看成由- 240 x 和120兩部分組成，而其中的120是不變的，所以w的值主要由- 240 x 來確定，也就是由反比例函數(shù)的增減性來確定，其實這一題和問題1的第三小題是考查的同一知識點，但卻比問題1要難.
問題3 如圖，體育館建成之后，學(xué)校對它進行藥熏消毒.已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（min）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例.現(xiàn)測得藥物8 min燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6 mg.請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：
（1）藥物燃燒時，y與x的關(guān)系式為 ；藥物燃燒完后，y與x的關(guān)系式為 ；
（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6 mg時學(xué)生方可進入教室，那么從消毒開始，至少經(jīng)過 min后，學(xué)生才能回到教室；
（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg且持續(xù)時間不低于10 min時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次藥熏是否有效？請說明理由.
解析 （1）由圖像可知，它有兩部分組成，一條經(jīng)過原點的線段和一條曲線，可知它對應(yīng)兩個函數(shù)：正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，所以當(dāng)08時，y= 48 x ；（2）含藥量即為y的值，相當(dāng)于已知y=1.6，代入反比例函數(shù)y= 48 x 求相應(yīng)的x；（3）已知y的取值范圍y≥3，求出x的取值范圍，主要用臨界值的方法，把y=3分別代入正比例函數(shù)y=0.75x和反比例函數(shù)y= 48 x ，求出相應(yīng)的x，即在圖像找出y=3相對應(yīng)的兩個點，再找出y≥3時相對應(yīng)的圖像，把兩個x相減，得出的差與10做比較，如果差大于或等于10則有效，如果差小于10則無效.
分析 問題（3）是以對體育館進行消毒為背景引入的.相對于問題（1）、（2），它多了圖像，也就是說主要要結(jié)合圖像來解決此題.第（1）小題是根據(jù)圖像用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；第（2）小題是常規(guī)的已知y代入解析式求x，但此題有兩個函數(shù)關(guān)系式，學(xué)生要根據(jù)題目要求選擇適當(dāng)?shù)慕馕鍪剑驗轭}目要求“學(xué)生進入教室”，所以要選擇反比例函數(shù)；第（3）小題是第（2）小題的延伸，它是已知y的取值范圍確定x的取值范圍，主要體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.
就像陶行知老先生說過的：“活的人才教育不是灌輸知識，而是將開發(fā)文化寶庫的鑰匙，盡我們知道的交給學(xué)生.”
所以，我在前面三個問題的基礎(chǔ)上，設(shè)計的問題4，它只給出了圖像以及簡潔的提示，沒有給出任何問題，主要由學(xué)生自主提出問題并解決問題，以此提升學(xué)生的能力以及對知識點認(rèn)知的升華.
問題4 體育館建成之后，很多教師去參觀，體育教師就熱情地邀請他們喝茶.圖中是喝茶前，燒水和泡茶兩個工序中，水溫隨著時間的變化所呈現(xiàn)的圖像，其中BC=1，CD為反比例函數(shù)圖像的一部分.根以上信息，你能設(shè)計出哪些與燒水、泡茶有關(guān)的問題.
關(guān)鍵詞：探索式教學(xué)法；數(shù)學(xué)教學(xué)；學(xué)生主體；教師主導(dǎo)
探索式教學(xué)法是數(shù)學(xué)教學(xué)中最為行之有效的教學(xué)方法之一。探索式教學(xué)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生從中體會到數(shù)學(xué)的重要性與趣味性。運用探索式教學(xué)法要遵循“建立情境提出問題探索發(fā)現(xiàn)猜想驗證尋求規(guī)律實際應(yīng)用”的模式，力爭在每個環(huán)節(jié)都能發(fā)揮學(xué)生的主動性，挖掘出他們的潛在智慧，從而達到既讓學(xué)生掌握知識，又培養(yǎng)了學(xué)生思維與探索能力的雙重目的。下面淺談一下我在數(shù)學(xué)教學(xué)中嘗試用探索式教學(xué)法取得的效果。
一、建立情境
俗話說：“良好的開端是成功的一半。”一個或生動有趣、或富有創(chuàng)意、或懸念重重的情境能讓學(xué)生在最短的時間里主動進入學(xué)習(xí)狀態(tài)。如，在探索反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的教學(xué)中，展示了許多反比例圖象的畫片，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)的熱情和求知欲望，為學(xué)生畫反比例函數(shù)圖象奠定了基礎(chǔ)。
二、提出問題
學(xué)生有了疑問才會進一步思考問題，才能有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要靈活運用教材，創(chuàng)造性地把書上的“句號”轉(zhuǎn)變成“問號”，把“問號”融于情境中，讓學(xué)生在情境中遇到問題，促使學(xué)生努力去思考問題、探索問題。例如，在講反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)時，我提出了許多本節(jié)課的重點問題，反比例函數(shù)y=■的圖象會是什么形狀呢？y=-■的圖象又會是什么形狀呢？等等這些問題激發(fā)了學(xué)生的求知欲望和探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生自主進入角色。
三、探索發(fā)現(xiàn)
探索發(fā)現(xiàn)是以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的過程。所謂自主探索可分兩種：一種是主動探索，說明學(xué)生自己要學(xué)；二是獨立探索，說明學(xué)生自己有能力去學(xué)。在教學(xué)中，要不斷鼓勵學(xué)生自己探索，同時留給學(xué)生充足的時間和空間。在學(xué)生探索過程中，教師要注意學(xué)生的情感投入等表現(xiàn)。在活動中，讓學(xué)生自己去觀察、類比和發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生自己去經(jīng)歷過程，總結(jié)結(jié)論，實現(xiàn)學(xué)生主動參與探索新知識的目的。在學(xué)生新發(fā)現(xiàn)的同時，教師要科學(xué)合理地給學(xué)生一個客觀公正的評價。通過評價使學(xué)生體驗成功的喜悅，增加學(xué)生繼續(xù)探索的信心。發(fā)現(xiàn)不足改變自己的探索方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，因此，在教學(xué)中要正確引導(dǎo)學(xué)生探索新知識。在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)時，我引導(dǎo)學(xué)生思考，示范出反比例函數(shù)y=■的圖象，同時比較y=■與y=-■的圖象它們有什么共同特點？它們之間有什么關(guān)系？
學(xué)生通過觀察、比較、分析，探討判斷出反比例函數(shù)的圖象位置和性質(zhì)。同時，教師要多引導(dǎo)充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，并對學(xué)生的總結(jié)發(fā)現(xiàn)做一個合理公正的評價。
四、猜想驗證
數(shù)學(xué)猜想實際上是一種數(shù)學(xué)想象，是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律本質(zhì)時的一種策略，它是建立在已有的事實和經(jīng)驗上，運用非邏輯手段得到的一種假定，一種合理推理。從學(xué)生實際出發(fā)，順應(yīng)學(xué)生思路大膽建立猜想，進而驗證猜想，讓不同層次的學(xué)生都有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的機會，并根據(jù)合理條件作出猜想，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新，從中學(xué)會科學(xué)的思維方法，學(xué)會學(xué)習(xí)。在講反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)時，讓
學(xué)生在已了解y=■和y=-■的圖象位置和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，猜想出y=■與y=-■的圖象各在哪些象限，以及反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)y值隨x的變化而發(fā)生怎樣的變化，同時讓學(xué)生動手操作，畫出函數(shù)圖象，驗證猜想的結(jié)果是正確的。
五、尋求規(guī)律
規(guī)律是數(shù)學(xué)的靈魂，學(xué)會發(fā)現(xiàn)規(guī)律比多記幾條規(guī)律重要得多。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運用已有的數(shù)學(xué)知識尋求規(guī)律，感受數(shù)學(xué)的探索和價值，并通過發(fā)現(xiàn)規(guī)律體驗成功，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。我在教反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)時，讓學(xué)生通過對反比例函數(shù)圖象的觀察、分析，總結(jié)出規(guī)律，概括出反比例函數(shù)的性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程，逐步達到培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和激發(fā)學(xué)生探索欲望的目的。
六、實際應(yīng)用
能夠應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題是教學(xué)任務(wù)之一。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識形成技能的結(jié)果，是獲得數(shù)學(xué)知識技能的檢驗。如，市煤氣公司在地上修建一個容積為104立方米的圓柱形煤氣儲存室，儲存室的底面積與其深度有怎樣的函數(shù)關(guān)系，通過討論探究，使學(xué)生對利用反比例函數(shù)解決實際問題有了更深刻的了解，初步培養(yǎng)學(xué)生利用反比例函數(shù)解決實際問題的數(shù)學(xué)模型，從而達到培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)的目的。
1、使學(xué)生初步理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念。
2、使學(xué)生能夠根據(jù)實際問題中的條件，確定一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式。
二、內(nèi)容分析
1、初中主要是通過幾種簡單的函數(shù)的初步介紹來學(xué)習(xí)函數(shù)的，前面三小節(jié)，先學(xué)習(xí)函數(shù)的概念與表示法，這是為學(xué)習(xí)后面的幾種具體的函數(shù)作準(zhǔn)備的，從本節(jié)開始，將依次學(xué)習(xí)一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關(guān)知識，大體上，每種函數(shù)是按函數(shù)的解析式、圖象及性質(zhì)這個順序講述的，通過這些具體函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以加深對函數(shù)意義、函數(shù)表示法的認(rèn)識，并且，結(jié)合這些內(nèi)容，學(xué)生還會逐步熟悉函數(shù)的知識及有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用。
2、舊教材在講幾個具體的函數(shù)時，是按先講正反比例函數(shù)，后講一次、二次函數(shù)順序編排的，這是適當(dāng)照顧了學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了正反比例關(guān)系的知識，注意了中小學(xué)的銜接，新教材則是安排先學(xué)習(xí)一次函數(shù)，并且，把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例予以介紹，而最后才學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學(xué)生由易到難的認(rèn)識規(guī)津，從函數(shù)角度看，一次函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì)都是比較簡單的，相對來說，反比例函數(shù)就要復(fù)雜一些了，特別是，反比例函數(shù)的圖象是由兩條曲線組成的，先學(xué)習(xí)反比例函數(shù)難度可能要大一些。第二，把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例介紹，既可以提高學(xué)習(xí)效益，又便于學(xué)生了解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，從而，可以更好地理解這兩種函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)。
3、“函數(shù)及其圖象”這一章的重點是一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，一方面，在學(xué)生初次接觸函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容時，一定要結(jié)合具體函數(shù)進行學(xué)習(xí)，因此，全章的主要內(nèi)容，是側(cè)重在具體函數(shù)的講述上的。另一方面，在大綱規(guī)定的幾種具體函數(shù)中，一次函數(shù)是最基本的，教科書對一次函數(shù)的討論也比較全面。通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以對函數(shù)的研究方法有一個初步的認(rèn)識與了解，從而能更好地把握學(xué)次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。
三、教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問：
1、什么是函數(shù)?
2、函數(shù)有哪幾種表示方法？
3、舉出幾個函數(shù)的例子。
新課講解：
可以選用提問時學(xué)生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數(shù)的例子。然后讓學(xué)生觀察這些例子(實際上均是一次函數(shù)的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導(dǎo)學(xué)生思考：
(1)這些式子表示的是什么關(guān)系?(在學(xué)生明確這些式子表示函數(shù)關(guān)系后，可指出，這是函數(shù)。)
(2)這些函數(shù)中的自變量是什么?函數(shù)是什么?(在學(xué)生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數(shù)，等號右邊是一個代數(shù)式，其中的字母x與t是自變量。)
(3)在這些函數(shù)式中，表示函數(shù)的自變量的式子，分別是關(guān)于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關(guān)整式的基本概念，表示函數(shù)的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關(guān)于自變量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(結(jié)合一元一次方程的有關(guān)知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的層層設(shè)問，最后給出一次函數(shù)的定義。
一般地，如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)那么，y叫做x的一次函數(shù)。
對這個定義，要注意：
(1)x是變量，k，b是常數(shù)；
(2)k≠0(當(dāng)k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數(shù)函數(shù)，這點，不一定向?qū)W生講述。)
由一次函數(shù)出發(fā)，當(dāng)常數(shù)b＝0時，一次函數(shù)kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數(shù)，k≠0)我們把這樣的函數(shù)叫正比例函數(shù)。
在講述正比例函數(shù)時，首先，要注意適當(dāng)復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過的正比例關(guān)系，小學(xué)數(shù)學(xué)是這樣陳述的：
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
寫成式子是(一定)
需指出，小學(xué)因為沒有學(xué)過負(fù)數(shù)，實際的例子都是k＞0的例子，對于正比例函數(shù)，k也為負(fù)數(shù)。
其次，要注意引導(dǎo)學(xué)生找出一次函數(shù)與正比例函數(shù)之間的關(guān)系：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。
課堂練習(xí)：
教科書13、4節(jié)練習(xí)第1題．
一、目的要求
1、使學(xué)生初步理解一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念。
2、使學(xué)生能夠根據(jù)實際問題中的條件，確定一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式。
二、內(nèi)容分析
1、初中主要是通過幾種簡單的函數(shù)的初步介紹來學(xué)習(xí)函數(shù)的，前面三小節(jié)，先學(xué)習(xí)函數(shù)的概念與表示法，這是為學(xué)習(xí)后面的幾種具體的函數(shù)作準(zhǔn)備的，從本節(jié)開始，將依次學(xué)習(xí)一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關(guān)知識，大體上，每種函數(shù)是按函數(shù)的解析式、圖象及性質(zhì)這個順序講述的，通過這些具體函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以加深對函數(shù)意義、函數(shù)表示法的認(rèn)識，并且，結(jié)合這些內(nèi)容，學(xué)生還會逐步熟悉函數(shù)的知識及有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用。
2、舊教材在講幾個具體的函數(shù)時，是按先講正反比例函數(shù)，后講一次、二次函數(shù)順序編排的，這是適當(dāng)照顧了學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了正反比例關(guān)系的知識，注意了中小學(xué)的銜接，新教材則是安排先學(xué)習(xí)一次函數(shù)，并且，把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例予以介紹，而最后才學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學(xué)生由易到難的認(rèn)識規(guī)津，從函數(shù)角度看，一次函數(shù)的解析式、圖象與性質(zhì)都是比較簡單的，相對來說，反比例函數(shù)就要復(fù)雜一些了，特別是，反比例函數(shù)的圖象是由兩條曲線組成的，先學(xué)習(xí)反比例函數(shù)難度可能要大一些。第二，把正比例函數(shù)作為一次函數(shù)的特例介紹，既可以提高學(xué)習(xí)效益，又便于學(xué)生了解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，從而，可以更好地理解這兩種函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)。
3、“函數(shù)及其圖象”這一章的重點是一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，一方面，在學(xué)生初次接觸函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容時，一定要結(jié)合具體函數(shù)進行學(xué)習(xí)，因此，全章的主要內(nèi)容，是側(cè)重在具體函數(shù)的講述上的。另一方面，在大綱規(guī)定的幾種具體函數(shù)中，一次函數(shù)是最基本的，教科書對一次函數(shù)的討論也比較全面。通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以對函數(shù)的研究方法有一個初步的認(rèn)識與了解，從而能更好地把握學(xué)次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方法。
三、教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問：
1、什么是函數(shù)?
2、函數(shù)有哪幾種表示方法？
3、舉出幾個函數(shù)的例子。
新課講解：
可以選用提問時學(xué)生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數(shù)的例子。然后讓學(xué)生觀察這些例子(實際上均是一次函數(shù)的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導(dǎo)學(xué)生思考：
(1)這些式子表示的是什么關(guān)系?(在學(xué)生明確這些式子表示函數(shù)關(guān)系后，可指出，這是函數(shù)。)
(2)這些函數(shù)中的自變量是什么?函數(shù)是什么?(在學(xué)生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數(shù)，等號右邊是一個代數(shù)式，其中的字母x與t是自變量。)
(3)在這些函數(shù)式中，表示函數(shù)的自變量的式子，分別是關(guān)于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關(guān)整式的基本概念，表示函數(shù)的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關(guān)于自變量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(結(jié)合一元一次方程的有關(guān)知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的層層設(shè)問，最后給出一次函數(shù)的定義。
一般地，如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0)那么，y叫做x的一次函數(shù)。
對這個定義，要注意：
(1)x是變量，k，b是常數(shù)；
(2)k≠0(當(dāng)k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數(shù)函數(shù)，這點，不一定向?qū)W生講述。)
由一次函數(shù)出發(fā)，當(dāng)常數(shù)b＝0時，一次函數(shù)kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數(shù)，k≠0)我們把這樣的函數(shù)叫正比例函數(shù)。
在講述正比例函數(shù)時，首先，要注意適當(dāng)復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過的正比例關(guān)系，小學(xué)數(shù)學(xué)是這樣陳述的：
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
寫成式子是(一定)
需指出，小學(xué)因為沒有學(xué)過負(fù)數(shù)，實際的例子都是k＞0的例子，對于正比例函數(shù)，k也為負(fù)數(shù)。
其次，要注意引導(dǎo)學(xué)生找出一次函數(shù)與正比例函數(shù)之間的關(guān)系：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。
[關(guān)鍵詞]反比例函數(shù)；公開課；情境；設(shè)計；概念構(gòu)建
[中圖分類號]G633.6 [文獻標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-6058（2017）05-0016-01
在一節(jié)“反比例函數(shù)”公開課中，上課教師對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，充分展示了他對課程標(biāo)準(zhǔn)的理解與把握能力，教師的教育智慧在課堂上表現(xiàn)得淋漓盡致，給我們留下了深刻的印象。
一、情境創(chuàng)設(shè)真實。溫故知新自然
教師根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容，巧妙地創(chuàng)設(shè)與生活相關(guān)的問題情境：“老師每天要從家駕車到學(xué)校上班，從家到學(xué)校的路程是8千米，開車從家到學(xué)校的時間隨著開車的平均速度的變化而變化……”由于該問題具有一定的生活意義，學(xué)生感到很親切。于是，教師開始進一步設(shè)計具有一定層次和梯度的問題：
（1）剛才的問題牽涉哪幾個量？這里的常量和變量分別是什么？如果把開車到學(xué)校的時間用字母t來表示，開車的速度用字母。表示，那么，時間、速度和路程三者之間存在什么樣的關(guān)系呢？很顯然，教師這樣做的目的主要是想嘗試建立t=8/v的關(guān)系式，為進一步討論與分析鋪墊。
（2）從t=8/v這個式子來看，它具有什么樣的特征？學(xué)生經(jīng)過短暫的交流認(rèn)為，這是一種函數(shù)形式。如此分析有意識地勾起了學(xué)生對所學(xué)知識――函數(shù)的回顧。
教師突然提問：這是一次函數(shù)嗎？由于教師所提的問題根本就是學(xué)生還沒有學(xué)過的知識（這也正是本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的知識），由于新舊知識的沖突，一下子把學(xué)生帶進了思考和討論的狀態(tài)，學(xué)生主動學(xué)習(xí)的動力自然形成了。
于是，教師進一步設(shè)計了兩個實際問題：
（1）老師今早上班的時候，通過油表發(fā)現(xiàn)，油箱中存油還剩下20升，車輛行駛中每千米耗油量0.1升。如果我們把油箱剩余的油量用M（升）表示，行駛的路程用x（千米）表示，那么汽車油箱中剩余的油量與行駛的路程之間存在著什么樣的函數(shù)關(guān)系？
（2）目前加油站的油價是每升6.7元，汽車加油的費用與所加的油量有關(guān)系。如果用y表示加油的費用，x表示加油量，那么加油費用3，與加油量x的關(guān)系式是什么？
教師提出這兩個問題后，讓學(xué)生討論，要求學(xué)生用函數(shù)關(guān)系式描述問題中變量之間的關(guān)系，然后分別寫出關(guān)系式：y=6.7x，M=20-0.1x。教師直接寫出函數(shù)關(guān)系式，基于學(xué)生對上述問題的探究與分析，已經(jīng)具備完成的條件，加上已經(jīng)在比較熟悉的情境中考慮問題，具有解決新問題的能力，這樣可節(jié)約大量時間去解決本節(jié)課學(xué)習(xí)的核心問題――反比例函數(shù)概念的抽象概括。當(dāng)然，對于上述問題，教師引導(dǎo)學(xué)生不惜花費更多時間探討，引導(dǎo)學(xué)生從變量的認(rèn)識開始，通過復(fù)習(xí)函數(shù)的概念而逐步深入學(xué)習(xí)，目的是為達到“產(chǎn)生數(shù)學(xué)”的效果。可見，教師對本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確把握是比較到位的，教學(xué)設(shè)計也是合理而恰當(dāng)?shù)摹?/p>
二、教學(xué)重點突出。概念構(gòu)建合理
教師通過前一階段的探討與學(xué)習(xí)，列出一組函數(shù)表達式：y=6.7x，M=20-0.1x，y=80/x，并提問：“在這些函數(shù)式中，它們有什么樣的特點？哪些是以前見過的？”引導(dǎo)學(xué)生辨別出正比例函數(shù)、一次函數(shù)并能發(fā)現(xiàn)與其不同的新函數(shù)。
學(xué)生通過已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)知識采用排除法剔除正比函數(shù)和一次函數(shù)后，剩下的便是一個“同類事物的不同例證了”，這也正是概念形成的前提。當(dāng)然，此時概念的形成還需要經(jīng)過探究活動。一方面，因為問題來源于生活實際，具有探究價值；另一方面，通過對象本質(zhì)的探討與分析，清楚了它的定義。再者，這樣的一組函數(shù)式具有一定的屬性，能夠引發(fā)學(xué)生嘗試運用文字、符號進行表達，通過比較、質(zhì)疑、思考去把握本質(zhì)，概念的建構(gòu)無形中形成了。
在教學(xué)過程中，教師能充分根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的情況，采用合理的教學(xué)方法，引導(dǎo)探究，督促交流，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，耐心對待學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，促進學(xué)生對學(xué)習(xí)知識的感悟。比如，在反比例函數(shù)概念建立以后，讓學(xué)生大膽寫出類似的例子，并說出對定義的理解，教學(xué)具有針對性和開放性，有效激活了學(xué)生學(xué)習(xí)的思維。
一般的，在一個變化過程中，假設(shè)有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域，相應(yīng)y的取值范圍叫做函數(shù)的值域。下面小編給大家分享一些高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識一、一次函數(shù)定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。
即：y=kx(k為常數(shù)，k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì)：
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))
2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：
1.作法與圖形：通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。
(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：
當(dāng)k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;
當(dāng)k
當(dāng)b>0時，直線必通過一、二象限;
當(dāng)b=0時，直線通過原點
當(dāng)b
特別地，當(dāng)b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時，當(dāng)k>0時，直線只通過一、三象限;當(dāng)k
四、確定一次函數(shù)的表達式：
已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：
1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。
s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。
設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：
1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識2二次函數(shù)
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax’2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x’2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。
對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為
P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上;當(dāng)Δ=b’2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(即ab
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b’2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b’2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b’2-4ac
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax’2+bx+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax’2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識3反比例函數(shù)
形如y=k/x(k為常數(shù)且k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。
反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：
反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點對稱。
另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標(biāo)軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
如圖，上面給出了k分別為正和負(fù)(2和-2)時的函數(shù)圖像。
當(dāng)K>0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)
當(dāng)K
反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標(biāo)軸，無法和坐標(biāo)軸相交。
知識點：
1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|。
2.對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(shù)(即y=k/(x±m(xù))m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。
(加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移)
對數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。
(1)對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。
(2)對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。
(3)函數(shù)總是通過(1，0)這點。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合；以形助數(shù)；以數(shù)解形
數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主體之一。數(shù)與形的結(jié)合可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，能夠把抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，有助于把生活實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，從而把實際的問題迎刃而解，起到畫龍點睛的作用。
在新課改后，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合思想進行教學(xué)的內(nèi)容占的比例較大。主要體現(xiàn)在：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系②方程與方程組③不等式與不等式組④函數(shù)問題⑤概率與統(tǒng)計⑥圖形的相似及坐標(biāo)，下面我們就通過具體的例子來加以說明這一直觀的數(shù)學(xué)思想方法的具體應(yīng)用
1.實數(shù)與數(shù)軸
1.1 實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。而有理數(shù)和無理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示，反之?dāng)?shù)軸上的每一個點都對應(yīng)著某一個有理數(shù)或無理數(shù)。所以實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系，這時若要向?qū)W生解釋一一對應(yīng)的關(guān)系，可以采用數(shù)形結(jié)合的方法呈現(xiàn)給學(xué)生。
案例一：如圖（1）
在數(shù)軸上除了有-1，-2， 0， 1， 2， …有理數(shù)之外還存在著無理數(shù)，如以坐標(biāo)圓點為頂點，以單位“1”的長度作正方形，則對角線的長度為 ，再以0點為圓心，對角線的長為半徑畫弧線與數(shù)軸交于點B，所以B點表示的數(shù)就是無理數(shù) ，以此類推，我們還可以得到 ，- ， …等更多的無理數(shù)，因此有理數(shù)和無理數(shù)就把數(shù)軸上的所有點填滿了，所以實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系。并且數(shù)軸上的數(shù)從左到右逐漸增大
案例二：如圖（2）在數(shù)軸上：
分析：在案例二的第二個問題中，是把形化為數(shù)，這是解決此類問題的突破口，也就是解題的瓶頸，只有利用形與數(shù)的完美結(jié)合與互化才能解決此類問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想價值。
1.2 相反數(shù)與絕對值
相反數(shù)是指只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，而絕對值是指一個數(shù)離開坐標(biāo)原點的長度單位（注0的相反數(shù)與絕對值都是它本身），在相反數(shù)與絕對值的數(shù)學(xué)過程中，如果采用數(shù)形結(jié)合的方法進行教學(xué)，那么取得的教學(xué)效果是事半功倍。如圖（2）中，1的相反數(shù)是-1，-2的相反數(shù)是2， 的相反數(shù)是- ，4的相反數(shù)是-4，
1=1 -2=2 -3=3
由此我們還可以得出結(jié)論：①數(shù)軸上的數(shù)從左到右逐漸增大，②對于負(fù)數(shù)絕對值越大的數(shù)反而越小，③負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，正數(shù)的絕對值等于它本身，④互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等。在案例一，案例二中，如果我們只采用“數(shù)”的方法講解，而不采用“數(shù)與形”結(jié)合的方式，學(xué)生是很難理解的，只有把數(shù)與形互相結(jié)合起來，真正做到直觀化，形象化，學(xué)生就能夠一目了然，由此我們還可以把問題由特殊化轉(zhuǎn)為一般化，就可以很輕松的得到結(jié)論
解。反之，如果在平面直角坐標(biāo)系中，
知道了兩條直線L1和L2的交點坐標(biāo)，也可以根據(jù)交點坐標(biāo)得出相應(yīng)的方程組。
3.解決一元一次不等式（組）和一次函數(shù)結(jié)合的問題
在近幾年中，考察不等式的題型在原有的填空題，選擇題，解答題，求不等式組的解集的基礎(chǔ)上有了新的突破。特別是在不等式與方程結(jié)合的實際方案優(yōu)化設(shè)計問題，不等式和一次函數(shù)結(jié)合方面考察的較多。解決這類問題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合的思想，把“數(shù)”化為“形”，使復(fù)雜問題簡單化。
案例5.已知直線 經(jīng)過點A（-1，-2）和點B（-2，0），直線 經(jīng)過點A，
求不等式 的解集。
解析：如果采用單一的“數(shù)”的形式來解決這類問題（即用代數(shù)的方法），需要把點的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式中，用“待定系數(shù)”法求出函數(shù)關(guān)系式，再把函數(shù)關(guān)系式代入不等式中組成不等式組，最后求出不等式組的解集。雖然這樣處理問題，能夠得到最終的答案，但是做起來感覺比較繁，又會浪費我們許多寶貴的時間。如果采用“數(shù)形結(jié)合”的辦法來解決，會起到把復(fù)雜問題簡單化，起到立竿見影，事半功倍的效果。
解析：⑴建立平面直角坐標(biāo)系，作出函數(shù)圖象，如圖（5）所示。
⑵由函數(shù)圖象可知：函數(shù) 是減函數(shù)y隨x的增大而減小，并且當(dāng)x>-2時y-2時
x0.即x0
⑶函數(shù) 是正比例函數(shù)，y隨x的增大而增大。當(dāng)x>O時y>O，即2x>O，當(dāng)x
⑷函數(shù) 與 相交于點A（-1，-2），都與直線x = -1相交，并且在直線x = -1的左側(cè)是 >2x，在x = -1的右側(cè)是
因此不等式 的解集是-2
由函數(shù)圖象我們還以得到不等式 的解集是-1
這樣，我們就把復(fù)雜的問題簡單化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的，做到“數(shù)”與“形”的互變。讓學(xué)生產(chǎn)生豁然開朗的感覺，不僅提高了學(xué)習(xí)效率，還培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
4.以形助數(shù)解決函數(shù)問題
在初中的教學(xué)內(nèi)容中，函數(shù)包括一次函數(shù)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)。在教學(xué)過程中數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵，要學(xué)會從“數(shù)”分析到“形”，由數(shù)的特征想到形的特征，又由形的特征想到數(shù)的特征，能夠變抽象思維為形象思維。這樣有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，做到由數(shù)思形，以形想數(shù)。
4.1 解決一次函數(shù)問題
一次函數(shù)是歷年學(xué)業(yè)水平測試命題的重要考點，尤其是最近幾年，越來越受到重視，考查這部分的試題不僅數(shù)量多，而且題型新，一些與現(xiàn)實生活密切相關(guān)的應(yīng)用題、閱讀題、開放探索題等層出不窮，解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的辦法。
案例6.如圖（6）所示：小虹準(zhǔn)備到甲、乙兩商場去應(yīng)聘，下圖中L1，L2分別表示了甲、乙兩商場每月付給員工的工資y1和y2（單位：元）與銷售商品的件數(shù)x（單位：件）的關(guān)系。
⑴根據(jù)圖象分別求出y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系式。
⑵根據(jù)圖象直接回答：如果小虹決定去應(yīng)聘，她可能會選擇甲商場還是乙商場？
解：（1）設(shè)L1的函數(shù)關(guān)系式為y1=k1x，把（40，600）帶入y1=k1x中，得40k1=600，解這個方程，得k1=15，所以y1與x的函數(shù)關(guān)系式為y1=15x.
設(shè)L2的函數(shù)關(guān)系式為y2=k2x+b.把（0，400）與（40，600）帶人y2=k2x+b中，得 。解這個方程組，得 。所以y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=5x+400
（2）當(dāng)銷售件數(shù)大于40件時，選擇甲商場
當(dāng)銷售件數(shù)小于40件時，選擇乙商場
當(dāng)銷售件數(shù)等于40件時，選擇去甲商場或乙商場都一樣。
4.2 解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合的問題
反比例函數(shù)也是學(xué)業(yè)水平測試的必考內(nèi)容，近年來備受青睞。反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解析式的確定及實踐應(yīng)用都是熱點。在解答題中主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合為主，難度處于低、中檔次。
案例7.如圖（7）所示：已知一次函數(shù)y1=x+2與反比例函數(shù)y2= 圖象相交于A，B兩點，A點坐標(biāo)為（1，3）。
⑴試確定B點的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達式。
⑵若y1>y2時，求x的取值范圍
解：⑴反比例函數(shù)y2= 的圖象經(jīng)過點A（1，3）
，k=3
反比例函數(shù)的表達式為
由 消去y，得x2+2x-3=0，
即（x+3）（x-1）=0
x=-3或x=1，可的y=-1或y=3
于是 或
點B在第三象限，點B的坐標(biāo)為B（-3，-1）
⑵要求y1>y2時，x的取值范圍，即x+2> 。此時對于初中的學(xué)生來說，要用代數(shù)的方法解決這個問題是很難的，可以說是無法解出的。要解決這個問題，我們只能借助函數(shù)圖象，采用數(shù)形結(jié)合的辦法來解決，使問題簡單化。
解析：①分別過一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的交點作x軸的垂線，分別與x軸相交于-3和1（即直線x=-3和直線x=1，如圖（7）中的虛線所示）。②分別以直線x=-3和直線x=1的左右來區(qū)分是一次函數(shù)的值大，還是反比例函數(shù)的值大。而在直線x=-3和直線x=1的左右兩邊，什么函數(shù)圖象在上，就是該函數(shù)的函數(shù)值大。③根據(jù)函數(shù)值確定自變量的取值范圍（注：自變量x不能取到0，要與y軸為分界線）
因此y1>y2時，x的取值范圍就只能在直線x=-3和直線x=1的右邊來確定。因為在直線x=-3和直線x=1的右邊都是一次函數(shù)的圖象在上，所以y1>y2時，自變量x的取值范圍是-3
4.3解決二次函數(shù)的問題。
二次函數(shù)是初中水平測試命題的熱點，各種題型，各檔次試題都會涉及。特別是與實際生活相關(guān)的閱讀理解題、實際應(yīng)用題、探索題在最近幾年中更為突出。解決這類問題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，建立二次函數(shù)模型，用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行。
5.解決概率的問題。
例8.在一個不透明的口袋里裝有5個分別標(biāo)有數(shù)字-2，-1，0，1，2的小球，它們除數(shù)字不同外其余全部相同。現(xiàn)從口袋里隨機取出一個小球，將該小球上的數(shù)字作為點P的橫坐標(biāo)，將該數(shù)的平方作為點P的縱坐標(biāo)。那么點P落在拋物線y=-x2+2x+3與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）的概率是多少呢？
解：⑴畫樹形圖表示點P的所有可能情況
開始
⑵點P的坐標(biāo)有P1（1，1），P2（2，4），P3（0，0），P4（-1，1），P5（-2，4）.其中點P落在拋物線y=-x2+2x+3與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）的點只有P1（1，1），所以點P落在拋物線y=-x2+2x+3與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）的概率為 。
6.教學(xué)過程中要注意數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)
中學(xué)階段的數(shù)學(xué)基本思想包括分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合思想，變換與轉(zhuǎn)化的思想，整體思想，函數(shù)與方程的思想，抽樣統(tǒng)計思想，極限思想等等，中學(xué)數(shù)學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想，如果能使它落實到學(xué)生學(xué)習(xí)和教學(xué)上，就能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。其中數(shù)形結(jié)合思想使一種很重要的思想，它貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中。對中學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的研究有助于我們更好的掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識，提高解題能力，尤其在初三系統(tǒng)復(fù)習(xí)中，如果教師利用好“數(shù)形結(jié)合”思想來培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，那么提高學(xué)習(xí)效率，提高教學(xué)成績是有很大幫助的，我們就能在學(xué)業(yè)水平測試中取得優(yōu)異的成績。
參考文獻
[1] 中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社
[2] 云南省初中學(xué)業(yè)水平標(biāo)準(zhǔn)與考試說明數(shù)學(xué)[I].昆明：云南教育出版社
[3] 云南省2011中考完全解讀[I].云南：云南教育出版社
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過作業(yè)可幫助學(xué)生復(fù)習(xí)與鞏固知識，理解與應(yīng)用知識，啟發(fā)思維，提高能力。而通過作業(yè)批改，可幫助教師了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，對知識的把握程度，可幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身不足之處，以查缺補漏。然而，在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，往往是教師單一批改，學(xué)生對批改結(jié)果置之不理，沒有深入分析錯誤原因，這樣，教師耗時耗力，卻效果不佳。因此，為了適應(yīng)素質(zhì)教育要求，使作業(yè)批改省力省時，且能喚起學(xué)生的積極性，教師需優(yōu)化作業(yè)批改方式，實行多元化的作業(yè)批改，增強師生互動，提高學(xué)生能力。
一、引導(dǎo)學(xué)生互相批改作業(yè)
在初中數(shù)學(xué)作業(yè)批改中，教師可引導(dǎo)學(xué)生相互批改，如小組批改、同桌相互批改等，使其在作業(yè)互改中，既善于發(fā)現(xiàn)其他同學(xué)的解題缺陷或錯誤，也發(fā)現(xiàn)自身存在的不足，及時糾正彌補。同時，還可發(fā)現(xiàn)與借鑒其他學(xué)生的巧妙解題方法，取長補短，提高學(xué)習(xí)效率。
如教學(xué)《一元二次方程》后，教師可緊扣教學(xué)內(nèi)容，選取一些典型性、代表性的習(xí)題，如：①若方程（m+2）x2+2x-1=0存在兩實數(shù)根，請求m的取值范圍。②關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0存在實根，請求出m的取值范圍。③如果方程x2+（m-6）x+（5-3m）=0的兩根均大于2，請求出m的取值范圍，然后讓學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)，并在所規(guī)定時間內(nèi)做好習(xí)題。然后同桌之間相互批改，亦或先打亂作業(yè)秩序，再將作業(yè)發(fā)給每位同學(xué)，讓他們互改作業(yè)。同時，在作業(yè)批改中，學(xué)生應(yīng)說明對方錯誤及正確的原因，然后作業(yè)被改的學(xué)生可加以解釋說明。
如在題①中，有些學(xué)生根據(jù)Δ=4-4（m+2）×（-1）≥0，得出結(jié)論：m≥-3.其錯誤原因在于忽略了一元二次方程二次項系數(shù)不為零的隱含條件。所以，正確答案是m≥-3且m≠-2.在題②中，有些學(xué)生因思維定勢而導(dǎo)致解題錯誤。他們先入為主地僅僅討論題目為二次方程，得出結(jié)論m≤■且m≠0，卻忽略了原方程也可能是一次方程。題中方程mx2-2x+3=0存在實根，但并未明確指出該方程是一次方程還是二次方程。因此，正確答案是m≤■.而在題③中，則因?qū)忣}不慎而出現(xiàn)解題錯誤：根據(jù)題意得出：Δ=（m-6）2-4（5-3m）=m2+16>0 ，即m是任意值。有：x1+ x2=6-m>4 則m4，得出m
二、學(xué)生自改與教師再改
在多元化作業(yè)批改中，學(xué)生自改也是重要方式之一。通過學(xué)生自改作業(yè)，可改變學(xué)生以往的不端正的學(xué)習(xí)態(tài)度，如有的同學(xué)對學(xué)習(xí)上的錯誤并不重視，沒有找出其原因；未及時糾正作業(yè)錯誤；對于教師作業(yè)評改時的紅筆標(biāo)注之處，要么置之不理，要么就是抄寫正確答案，草草了事等。因為未及時分析與糾正錯誤，在下次練習(xí)或考試中，學(xué)生又出現(xiàn)同一錯誤，這就影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。同時，學(xué)生基礎(chǔ)不牢固，也影響了后面新知的學(xué)習(xí)。面對這些現(xiàn)象，教師可讓學(xué)生自己批改作業(yè)，特別是一些有煩瑣步驟的計算題，要求他們由解題思路、解題步驟、解題答案加以分析，看是不是存在錯誤。而有些學(xué)生雖然有著正確的解題思路，但結(jié)果卻總是出錯，這些學(xué)生在批改作業(yè)時，則需看是否認(rèn)真審題，是否計算正確，并注意不要點錯小數(shù)點或者符號出錯。通過學(xué)生自改，讓學(xué)生重新經(jīng)歷了審題、解題、運算等再次思維過程，若如此反復(fù)訓(xùn)練，學(xué)生則可逐漸改掉壞習(xí)慣，提高解題能力。
其次，在學(xué)生自改與互改的前提下，數(shù)學(xué)教師可進行再改。這主要是發(fā)現(xiàn)學(xué)生作業(yè)中的普遍錯誤、共性錯誤。然后課堂上重點分析與講解，讓學(xué)生認(rèn)識錯誤成因，把握正確解題方法與巧妙解題技巧。如教學(xué)反比例函數(shù)后，總結(jié)歸納學(xué)生平時練習(xí)中或考試中的反比例函數(shù)常見解題錯誤，并舉出相應(yīng)例題加以講解。如忽視了反比例函數(shù)定義成立條件。譬如：如果函數(shù)y=（m+1）xm +3m+1為反比例函數(shù)，請求m的值。在解題過程中，有些學(xué)生只考慮反比例函數(shù)滿足m2+3m+1的條件，忽略了反比例函數(shù)中“m+1≠0”這一隱含條件，而導(dǎo)致解題錯誤。當(dāng)然，在解答反比例函數(shù)時，有些學(xué)生忽略了反比例性質(zhì)中的限制條件；忽略了題目中圖象所提供的信息，亦或忽略了實際問題中的自變量取值范圍等。此外，在教師批改作業(yè)時，對于學(xué)生有創(chuàng)造性的、獨特的解題方法，教師應(yīng)寫下肯定與贊揚性評語，以鼓勵學(xué)生探究解題技巧與方法，使其更有學(xué)習(xí)信心與動力。
