時間：2022-06-14 18:37:18
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇反比例函數的應用，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、利用特殊四邊形的性質找到在反比例函數圖像上的頂點坐標確定反比例函數的解析式
例1.如圖1，菱形的頂點在軸上，頂點C的坐標為（-3，2）．若反比例函數y=■（x＞0）的圖像經過點A，則K的值為（）
A.-6. B.-3.C.3.D.6.
解析：如圖1，因為菱形的兩條對角線互相垂直平分，又在軸上，所以頂點C、A關于軸對稱，已知C的坐標為（-3，2），所以A的坐標為（3，2）.
反比例函數y=■（x＞0）的圖像經過點A，則K=3×2=6，故選D.
二、根據反比例函數比例系數的幾何意義探究特殊四邊形的面積
例2.如圖2，點A是反比例函數y=-■（x＜0）的圖像上的一點，過點A作ABCD，使點B、C在x軸上，點D在y軸上，則ABCD的面積為（）
A.1B.3
C.6D.12
分析：過點A作AEOB于點E，容易證明ABE≌DCO.
所以平行四邊形ABCD的面積等于矩形ADOE的面積等于AD×AE.
根據反比例函數的k的幾何意義可得：矩形ADOE的面積為6，即可得平行四邊形ABCD的面積為6．故選C．
例3.如圖3，點A是反比例函數y=■(x＞0)的圖像上任意一點，AB∥x軸交反比例函數y=－■ 的圖像于點B.以AB為邊作ABCD，其中C、D在x軸上，則SABCD為()
A．2 B．3
C．4 D．5
分析：分別過點B、A作BECD于E，AFCD于F，因為AB∥x軸，所以BE=AF.四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，所以BCE≌AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故選D.
評注：例2、3都考查反比例函數系數k的幾何意義：反比例函數圖像上的點向兩坐標軸作垂線段，圍成矩形的面積就是｜k｜,圖像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取負.
三、以點的坐標為載體設計規律探究問題
例4.給出下列命題：
命題1：直線y=x與雙曲線有一個交點是（1，1）；
命題2：直線y=8x與雙曲線y=■有一個交點是（■，4）；
命題3：直線y=27x與雙曲線y=■有一個交點是（■，9）；
命題4：直線y=64x與雙曲線y=■有一個交點是（■，16）；
……
（1）請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n（n為正整數）；
（2）請驗證你猜想的命題n是真命題．
解析：觀察命題1~4的結構特征可以發現反比例函數的比例系數與命題的序號是相同的，直線解析式中一次項的系數是命題的序號的立方數，交點的橫坐標是命題相應序號的倒數，縱坐標是命題相應序號數的平方數. 據此可以猜想出（1）命題n：直線y=n3x與雙曲線y=■有一個交點是（■，n2）.
（2）將（■，n2）代入直線y=n3x得：右邊n3×■=n2，左邊為n2，所以左邊等于右邊，所以點(■，n2)在直線y=n3x上，同理可證：點（■，n2）在雙曲線y=■上.
關鍵詞：反比例函數；復習；概念；性質；圖像
反比例函數是近年來考試的重點，無論是教學時的難度，還是本身所包含的知識，都會成為考試中的熱點。課程標準對反比例函數的掌握程度提出了更多的要求，考試的題型也呈現多種變化。如，選擇題、填空題、解答題，考點涉及反比例函數的概念、解析式、圖象及性質、實際問題等，特別是涉及反比例函數的綜合題型等。那么，我們在復習中如何能使學生掌握基礎、形成知識網絡，并能利用基本的概念、性質和方法通過觀察和歸納分析解決難度較大的綜合題型呢？下面我們就通過一些環節，讓學生通過“解決問題―歸納知識―構建系統”的模式，力求讓學生通過自主探究的方式達到對知識的深層理解，形成解決問題的能力。
一、概念梳理，抓好基礎
這道試題是最簡單的反比例函數概念題，學生將A點代入解析式即能得解，使學生初步理解反比例函數的概念，并知道這樣的方式叫待定系數法求解析式。
例2.近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，則眼鏡度數y與鏡片焦距x之間的函數關系式為________。
這道試題是有關函數實際應用問題的，是要學生加深理解函數概念的。也就是通過對實際問題的理解轉化成數學問題，即得出反比例函數解析式。這樣的探究一方面可以加深學生對反比例函數實際意義的理解，對實際應用問題中自變量取值范圍的理解；另一方面也為學生后面解答的實際應用綜合問題降低思考難度。
二、掌握圖象性質，加深學生理解
這道例題是考查反比例函數的性質，從題中“y都隨x的增大而減小”，則k-3>0，從而得出k>3。這類試題在復習中是最簡單的變形考查，可以讓學生在識記基礎上理解函數性質。
三、探究k值的幾何意義
這一環節重點解決反比例函數的概念、性質、k值的幾何意義，由學生在課前完成。采取“練習―梳理”的形式，讓學生自覺感受和發現題中所考查的基礎知識點，產生自覺歸納基礎知識點的欲望，從而主動歸納知識，初步形成知識網絡。教法上在學生課前自主完成的基礎上，先讓學生小組核對、討論，之后由學生講解、展示問題的解答和歸納的基礎知識點。最后，教師對于學生講解和理解不透徹之處再和全體學生一起進行深入辯解，形成正確、簡潔的結論。
四、聯系實際，綜合練習
在反比例函數的考查中，不可能是單一的出現，它往往同一次函數，三角形等相結合，并且具有一些實際的問題。所以，我們在復習時應該聯系生活實際問題，教學學生如何將實際問題轉化為數學問題，在聯系中加強綜合性。
（1）求反比例函數和一次函數的關系式；
（2）求AOC的面積；
本例題比較復雜，教師期待學生歸納總結的內容比較多，大部分學生可能能夠求解其中的問題，但不易理清思路，特別是部分基礎知識和思維能力稍弱的學生會更加困難。教師應該教會學生怎樣對問題設計的知識點形成比較清晰的歸納和認識。
在第一問中教師引導學生明了先求哪一個函數，為什么，即已知一點可求反比例函數，已知兩點才能求一次函數，教師還可引申到已知幾點才能求二次函數。這一問的解決和引申達到了對比分析反比例函數、一次函數、二次函數在解析式求法上的區別，能夠形成較好的對比效應。
第二問的設置目的在于對比k值的幾何意義所產生的三角形面積不變性問題。使學生明了反比例函數圖象中哪些三角形才具有面積不變性，這些三角形各自的特征是怎樣的。
第三問所要求解的不等式實際上可轉化為比較一次函數y1與反比例函數y2的大小，這樣思路就會清楚一些。
綜上所述，問題分析是關鍵。學生應該在教師的適時、適當點撥下一步一步突破，理清問題的脈絡，對問題解決形成比較明晰的思路。這時教師才能放手讓學生去解答問題、歸納知識、總結經驗，并選一名學生上臺展示解題過程，大部分學生都完成之后由學生評點，使學生進一步完善解題過程，使全體學生能夠對問題理解透徹，然后教師引導學生分析提煉這一題中可以歸納總結、形成經驗的內容。
參考文獻：
[1]金秋.學習“反比例函數”應注意的幾個問題.時代數學學習：九年級，2006（11）.
[2]陳抗抗.反比例函數圖象的運用[J].數理化學習：初中版，2006（03）.
一、教學過程
（一）創設情境、提出問題
在下列實際問題中，變量間的對應關系可用怎樣的函數式表示？
（1）一輛以60km/h勻速行駛的汽車，它行駛的距離S（單位：km）隨時間t（單位：h）的變化而變化；（2）一輛汽車的油箱中現有汽油50升，如果不再加油，平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量y（單位：升）隨行駛里程 x（單位：千米）的變化而變化；（3）小華的爸爸早晨騎自行車帶小華到距離5千米的學校上學，自行車速度在行駛過程中都不變，爸爸從家里到學校的時間t和速度v之間的關系；（4）學校課外生物小組的同學準備自己動手， 用舊圍欄建一個面積為24平方米的矩形飼養場. 設它的一邊長為x（米），求另一邊的長y（米）與x的函數關系式；（5）已知北京市的總面積為1.68×104平方千米，人均占有的土地面積S（單位：平方千米/人）隨全市總人口n（單位：人）的變化而變化。（6）正方形的面積S隨邊長x的變化而變化。（7）圓的面積S隨半徑r的變化而變化。
學生自主學習得出結論：
①S=60t ②y=50-0.1x ③t=
④y= ⑤S= ⑥S=x2
⑦S=πr2
教師提出問題：在上面所列出函數中哪些是我們學過的函數？剩下的函數從形式上看，你們認為那幾個應該是一類的呢？這類函數具有什么共同特征？通過比較引導學生發現一類新的函數
從學生已有的知識和身邊的實際問題出發，創設情境，讓學生感受生活中處處有數學，激發學生的學習興趣。
（二）共同探究，得出結論
學生討論，得出結論：一般地，如果變量y和x之間函數關系可以表示成y=（k是常數，且k≠0）的形式，則稱y是x的反比例函數。教師出問題：反比例函數中自變量x的取值范圍是什么？你能再找出幾個生活中反比例函數的例子嗎？結合前面學習的整數指數冪，函數關系y=還可以寫成什么形式？在這個環節充分發揮學生的能動性，引導學生探究新知。學生通過討論，總結得出結論，加深了對概念的理解，同時培養了學生的歸納能力和抽象思維。教師適當引導，拓展相關概念。
（三）應用新知識，深化拓展
例1 下列關系式中的y是x的反比例函數嗎？如果是，比例系數k是多少？
y=；y=-；y=1-x；xy=1；y=
例2 關系式xy+4=0中y是x的反比例函數嗎？若是，比例系數k等于多少？若不是，請說明理由。
例3 已知y是x的反比例函數，當x=2時，y=6.寫出y與x的函數關系式：求當x=4時y的值。
例4 當m=____時，關于x的函數y=（m+1）xm2-2是反比例函數？例題的講解是為了初步應用所學知識，通過例題的講解，學生逐步將對知識的感性認識轉化為了理性認知。本課難點被逐步突破。
（四）課堂練習，鞏固新知
課堂練習
1.函數y=-中自變量x的取值范圍是______
2.蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數關系式為______
3.當y與x2成反比例時，y與x______反比例 （成或不成）
4. 當y與2x成反比例時，y與x______反比例（成或不成）
5. 下列哪些關系中的y是x的反比例函數？如果是，比例系數是多少？
（1）y=x （2）y=
（3）xy+2=0 （4）xy=0
6. 若y與x成反比例，且x=-3時，y=7，求y與x的函數關系式？
7. y=（a+1）x|a|-2是反比例函數，求a的值？
[摘 要] 在單元教學中，教師應充分利用相似知識模塊之間的內在聯系，適時借助類比、歸納等推理方法，開展單元教學活動. 本文重點介紹如何類比正比例函數的學習開展反比例函數的單元教學活動.
[關鍵詞] 類比法；單元教學；正比例函數；反比例函數
《教師專業標準》中強調，教師應重視學生自主學習、獨立思考、自強自立、自由精神的培養. 在數學學習方面，這種自主學習、自主思考的能力，某種程度上表現為“舉一反三”“觸類旁通”的能力. 而這種能力的形成，要求教師在進行相似知識模塊的學習時，不能簡單地停留在知識點的傳授層面，要適時滲透類比、歸納等推理方法，幫助學生既掌握方法，又整體建構. 本文結合“反比例函數（1）”的學習談談這方面的認識.
反比例函數與已學的正比例函數一樣，也是一種特殊的函數. 它們在研究內容上是一致的. 這種研究內容的一致性，決定了它們在研究方法上也存在一致性. 因此，我們可以將反比例函數的學習看做是正比例函數學習的進一步延伸和拓展. 我們在進行反比例函數的第一課時學習時，改變了傳統的重點研究反比例函數的概念及基本運算的做法，而是借鑒正比例函數學習的經驗，運用類比的方法進行單元教學，讓學生在類比正比例函數的基礎上，整體認識反比例函數的概念、圖象、性質、應用，形成一種整體意識，為后續的深入研究做好充分的準備.
為了能順利地實現正遷移，將正比例函數的學習經驗遷移到反比例函數的學習中，我在教學時設置了以下問題. 對于此問題，一方面，通過正比例函數的認識，明確函數一般的研究對象和方法，為用類比的方法研究反比例函數做好必要的鋪墊工作；另一方面，通過整體回顧，培養學生的整體意識.
同正比例函數的學習相似，在研究概念的基礎上，進一步轉入到函數圖象的研究中來. 但是如果要學生通過描點法作圖一步到位地作出反比例函數的圖象，難度比較大. 為此，我在正比例函數圖象的基礎上，設置問題串引領學生思考，讓學生初步感知反比例函數圖象分布的區域、基本走勢.
1. 提出問題
2. 學生活動
設計意圖說明：通過問題串引導學生類比、思考、觀察、討論， 讓學生在初步對“數”的特征有所認識的基礎上再自然轉入對“形”進行研究. 這種從“數”到“形”的研究方式增加了對學生思維能力培養的機會，目的是讓學生學會學習.
設計意圖說明：在教學過程中，教師引導學生“類比正比例函數的性質”，最大限度地調動學生“合情推理”的因素，以確保學習知識的“正遷移”效應. 這樣做，既加深了學生對屬于正比例函數和反比例函數“共性”結論的理解，也重點剖析了反比例函數解析式獨有的“個性”特征. 這種建立在類比基礎上的研究，無疑會使學生對反比例函數圖象和性質的認識更加科學、精確.
回顧歷史，日本數學從中國得到過三次輸入，中國的數學在日本的數學教育中有著重要的地位因此，日本的數學教育在觀念、方法和內容上都有著東方文化的印記但近幾年來，日本驚人的技術成就、經濟實力及在教育方面的巨大進步，引起了越來越多人對日本數學教育的關注TIMss即第三次國際數學與科學研究通過對日本、美國和德國三國八年級數學課的比較研究，表明日本學生的數學成績是最好的，
我國的數學教學重視系統訓練，注重知識的梳理和結構的掌握，“精講多練”成為我國的普遍模式，規范統一的教學管理和學習要求，使我國學生在數學學習中表現出較強的意志力，以及勤奮努力的精神，取得的成績和效果也是值得肯定的，自2001年實施新課程改革以來，中國的數學課程也不斷人性化，生活化，整合化，不斷趨于國際數學教育的發展，但是毫無疑問，新課程在實施中也不可避免地出現了很多問題，
通過中日初中數學教科書的比較研究，可以為我國的數學課程改革，尤其是教科書編寫，提供一些啟示和建議，
2 選取比例與反比例的原由
本文選取“比例與反比例”這一單元，從微觀層面對中日初中數學教科書進行比較，
函數是數與代數的延伸，也是數與代數的重要組成部分，同時函數也可看作是刻畫變量之間依賴關系的模型，是數學聯系實際的基礎，是聯結兩類對象的橋梁，是數形結合的載體之一，此外，從現在的高中、大學教科書可以看出，函數是貫穿整個高中、大學數學課程的主線，德國數學家克萊因曾說過：“函數概念，應該成為數學教育的靈魂，以函數概念為中心，將全部數學教材集中在它周圍，進行充分地綜合，”強調了函數概念的重要性，比例與反比例是函數的入門，也是學生數學學習中第一次接觸到變量、常量的概念，是否能學好比例與反比例對以后的數學學習至關重要，另外，從中國數學教科書演變史中可以了解到，中國在建國前后的一段時間內，比例與反比例(一次函數與反比例函數)是初三的內容，而現在卻將其放在了初二的內容里，而日本初中教科書這部分內容以前是高中的內容，而現在也將其放到了初中，不難看出比例與反比例已經在初中數學中占據越來越重要的作用，因此，我們選取這部分內容來進行比較研究，
3 內容比較
中國教科書選用人教版的初中數學教科書《數學》，日本教科書選用澤田列夫領銜主編、教育出版株式會社出版的《中學數學》，
3.1編排的比較
《中學數學》：共一章，三小節，分別為比例、反比例、比例與反比例的應用，其中比例又分為比例的式、坐標、比例的圖像；反比例又分為反比例、反比例的圖像，
《數學》將比例與反比例放在不同的章節，正比例放在八年級上冊第十四章第二節，反比例函數放在八年級下冊第十七章，反比例分為反比例函數(包括反比例函數的意義、反比例函數的圖像與性質)和實際問題與反比例函數，
《中學數學》將坐標也放在了比例這一小節中，而《數學》在七年級上冊用一章來介紹了平面直角坐標系，
《數學》的內容量明顯大于《中學數學》，相同內容的難度與深入程度也比《中學數學》大得多，比如，《中學數學》在介紹坐標時，只用了一小節，簡單地介紹了橫縱坐標，而《數學》則很詳細地介紹了平面直角坐標系以及坐標的應用，在介紹正比例函數時，《數學》將正比例放在了一次函數這一章中，作為特殊的一次函數，而《中學數學》只是簡單地介紹了正比例函數，并沒有介紹一次函數，難度與《數學》比小很多，另外，相同的內容《中學數學》比《數學》有明顯的滯后性。
不可否認，內容豐富、知識講解詳盡，對拓寬學生的視野、激發學生的學習興趣、增強學生求知欲以及豐富學生的數學情感都是十分必要的，這也說明了單一的編排方式已經不適應現代教育的發展，內容的深入可以讓不同的學生在數學上有不同的發展，但是知識是無窮的，不可能全部都在教科書上講到，教科書只是知識的出發點，而不是終結目標，學生的學習并不在于所學內容的多少，而在于掌握最基礎的知識和數學的思想方法，這會使學生更加受益，《中學數學》雖然內容量少，但是介紹很到位，重點突出，基礎性強，將正反比例放在同一章中介紹，學生可進行對比學習和記憶，沒有對其作深入的介紹，為學生提供了廣闊的思考、探索空間，
3.2導人的比較
《中學數學》比例的導人如下：
畫出放水的時間和水面高度的的關系圖，并研究兩者的數量關系，
《數學》正比例函數的導人如下：
1996年，鳥類研究者在芬蘭給一支燕鷗套上標志環；大約128天后，人們在25600萬千米外的澳大利亞發現了它，
(1)這只百余克重的小鳥大約平均每天飛行多少千米?
(2)這只燕鷗行程y與飛行時間x有什么關系?
(3)這只燕鷗飛行一個半月(一個月按30天算)的行程大約是多少?
《中學數學》反比例的導人如下：
把下圖的點A作為頂點，畫出各種面積為12厘米的長方形
思考：橫的變長，則豎的長度將如何變化?
《數學》反比例函數導人如下：
思考：
下列問題中，變量間的對應關系可用怎樣的函數關系時表示?這些函數有什么共同特點?
(1)京滬線鐵路全程1463km，某次列車的平均速度口隨此次列車全程運行時間t的變化而變化；
(2)某住宅小區要種植一面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長隨寬的變化而變化；
(3)已知北京市的總面積為1.68×104平方千米，人均占有的土地面積S隨全市總人口n的變化而變化，
從中日兩種教科書正比例的導人可以看出日本教科書引入的問題更加貼近實際生活，而且用圖來代替文字敘述，更加直觀、形象，使課堂不那么枯燥，有助于學生對題目的理解，更容易引導學生發現規律，《數學》引入的問題，很明顯就沒有《中學數學》吸引人眼球的效果，雖然也結合了實際，但就是給人以距離感，沒有圖形的直觀感受，也沒有具體數量的比較，難以發現規律性，而且這個例子也不是完全的正比例函數，書中也提到是近似的，但可以作為反映行程與時間的一個模型，另外，《數學》在引入問題后，沒有進行適當的引導式分析，就直接給出問題的解，忽視了學生自己思考的過程，而《中學數學》并沒有接著問題就給出了解答，而是在后面的新課內容中一步一步來解決，留給了學生自己探索發現的空間和時間，
對于反比例的導人，《中學數學》用等面積的長方形來引入，結合圖形，給學生自己動手動腦的機會，通過找到合適的點，在圖像上描繪出來，就是反比例的圖像，進而引入反比例，用一個簡單的實際問題，引入要點，通過指導學生進行自主性的學習研究，而不是灌輸式的教學，
而《數學》以思考的形式給出三個實際問題，讓學生自己思考其特點和變量之間的對應關系，并發
現共同點，這種形式的導人多數情況下會在上課時被忽略掉，老師就直接給出幾個反比例的式子，然后給出概念，完全沒有起到導人應有的作用，只是流于形式罷了，學生只有被動的接受，沒有主動地思考發現，
3.3概念與性質的比較
《中學數學》中的相關概念如下：
變數％與y的關系可用y=ax(a為定數)表示時，y與x成比例，此時，a為比例定數，
變數z與y的關系，可用y=u來表示時，y與z成反比例，此時，a稱為比例定數，
反比例關系y=a/x的圖形，稱為雙曲線
《數學》中的相關概念如下：
形如y=kx的函數(k為常數，k不等于0)，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數，
一般的，形如y=k/x(k為常數，K不等于0)的函數稱為反比例函數，
《中學數學》著重指出z與y是變量，特別定義了rz為比例定數，但沒有給出a的取值條件，《數學》沒定義k，但是說明了k為常數，且不為0，《中學數學》指明了反比例的圖形稱為雙曲線，為日后學習雙曲線埋下伏筆，但是這樣引進雙曲線很容易使學生誤認為雙曲線就是反比例函數的圖像，
《中學數學》中比例的性質：
y=ax的圖和值得變化
《數學》中正比例函數的性質：
一般的，正比例函數y=kx(k為常數，k不等于0)的圖像是一條經過原點的直線，我們稱它為直線y=kx，當k>0時，直線經過第三、一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當k
《中學數學》用表格的形式給出a>0和a
3.4實際應用的比較
《中學數學》比例選用了折紙的紙張數與重量關系這個例子，給出了兩個思考方法：一個是表格法，一個是圖像法，反比例選用了天平平衡原理來求解離支點的距離和秤砣重量的關系，
《數學》正比例沒提到實際應用，反比例用了三個實際例子，第一個是定體積求底面積與高的關系，第二個是卸貨總量定求卸貨時間和卸貨速度的關系，第三個和中學數學類似的杠桿原理的應用，這些例子都是生活中常會用到的，比如我們求一些輕小物的重量，就會用到中學數學第一個例子的模型，將大量的輕小物累計在一起稱出重量，然后求出單個的重量，第二個例子在實際生活中的原型就是桿秤，桿秤的原理就是根據這個例子來的，因此學生可以根據這個例子探索出桿秤的制作原理，總之這些例子都很好地將數學和實際生活聯合在一起，能鍛煉學生的思維能力，
3.5其它
《數學》章首都會介紹本章要學的知識背景以及要點和所要達到的目標，有“知識導向”作用，以便后面的內容圍繞這一目標展開，
《數學》在章節后設置了信息技術應用，例如：在反比例這節后介紹了用計算機制圖軟件畫準確的圖像，這是新版教科書反應數學與現代教育技術相結合的體現，也是數學與時俱進的體現，用先進的計算機技術來形象生動地描繪數學問題，用計算機來呈現以往教學中很難呈現的課程內容，這對于學生的數學興趣的提高和一些較抽象數學的理解都會有很大的幫助，
《中學數學》在每一章最后都有一個學結，與《數學》不同，《數學》只是大致的將一章的要點講一下，或者是用結構圖來表示一下個小節的聯系，而《中學數學》的學結是提綱性的，將這一章所有的概念、定義、性質等重新回顧一遍，而且還會設置一些空格由學生自己填進去，這樣可以起到鞏固已學知識的效果，還有利于以后的復習，
“挑戰角”也是《中學數學》的一個內容，是對新學知識的深入，考查學生對知識的綜合運用能力、數形結合能力等，也可以給成績好的學生一個展示自己并提高自己能力的機會，
4 對我國數學教科書編寫的啟示
4.1加強探究式學習，重視啟發學生
《中學數學》反比例的導人是畫出各種面積為12厘米的長方形，先從很簡單的數學知識人手，啟發學生自己思考，并自己動手畫圖，學生在教科書的指引下，通過自己的思考、探索得出新的知識，這是一種探究式的學習，教科書引導學生自己一步一步找到問題的答案，而不再是問題后直接給出問題的解答，而《數學》就缺少了這種引導學生自己探索和思考的過程，比如在反比例導人時，給出了三個問題，卻沒有設計一些必要的啟發學生的問題式引導，問題的答案也就直接給出，完全沒有讓學生進行自己的探索和發現，《中學數學》中的“挑戰角”是對已學知識的深入應用，學生要將已有知識與新知識和實際有效結合，才能解出，這也是對學生探究能力的考驗，這并不是說《數學》中完全沒有探究式學習，只是教科書還不夠完善，
4.2注重數學實驗，加強動手、操作能力
數學教學既要充分體現教學的抽象化一面，又要重視數學創造過程中的具體化一面，而數學實驗則是針對數學具體化一面而產生的數學教學模式，雖然現在我國的教科書已經開始有這方面的嘗試，但是并不多，在教學中能夠充分體現的更是少，從《數學》與《中學數學》的比較可以看出，日本在創造性、動手能力方面對學生的訓練較多，這也體現了日本新數學學習指導要領對數學教學內容所特別強調的要豐富學生的教學活動，要學生通過觀察、實驗、操作等具體活動抽象概括出數學知識，發現新結論，使學生體會到數學學習的快樂，而我國注重的還是對抽象知識的理解，以及通過練習來強化所學的知識，對學生動腦要求較高也較多，動手、操作能力的要求相對低得多，
4.3注重問題的解決，而不是結果
在正反比例導人的比較上可以看出，《數學》中例子的引入似乎只是為了引出其概念，要的只是問題的結果，對結果是如何得出的似乎不是很重視，而《中學數學》同樣使用例子來引導，卻極其地重視問題應該如何解決，總是在問題的恰當創設下引導學生解決問題，發現規律，《中學數學》的習題數量較少，但是題目具有靈活性、多樣性和趣味性，題目的范圍也較廣，有反應日常生活的、有具挑戰性的、有綜合運用的，也有與其他學科聯系的等等，從這些例題都可以看出日本對問題解決的重視，
【關鍵詞】 反比例函數；實際問題；函數關系
隨著社會的發展，數學的應用已經滲透到生活的各個領域，函數是數學的核心和主線，它的內涵恰好能體現不斷變化的事物的本質及事物間的內在聯系.而反比例函數經常作為主角出現在函數的應用中，如通訊話費、計程車計費、銀行利率、郵資、個人所得稅等，所以，很有必要在這些方面開展研究性學習.這樣既能使學生體悟數學的應用價值，又能激發其學習數學的興趣，還能形成學數學、用數學的思維和意識.下面筆者以與學生息息相關的體育館中的一系列問題，用反比例函數給予解決，探討反比例函數的應用.
問題1 蓮花學校要籌建新的體育館，其地基為長方形，占地面積為2 400平方米.（1）體育館的長與寬之間具有怎樣的函數關系？（2）如果體育館的寬為100米，那么長為多少？（3）由于齙氐南拗疲長最多為60米，那么寬應該滿足什么條件？
解析 （1）設長為x，寬為y，由長方形面積=長×寬，可得y= 2400 x ；
（2）將y=100代入y= 2400 x ，可得x=240；
（3）長最多為60米，即x≤60，這個很像是一道解不等式的題目，但學生很難用解不等式解決，這里通常有兩種方法：① 根據反比例函數的增減性，因為k>0，x>0，y隨x的增大而減小，所以考慮臨界值，當x最大為60時，y最小值為400，即y≥400.② 根據反比例函數的圖像，因為k>0，x>0，圖像在第一象限，從左到右呈下降趨勢，根據x的取值范圍確定對應的圖像，進而得出y的取值范圍.
分析 此題是以蓮花體育館的籌建為背景引入的，讓學生來當一回設計師，設計體育館的地基，就像陶行知老先生說的：“教育不能創造什么，但它能啟發兒童創造力以從事于創造工作.”這題的三小題分別用反比例函數的解析式、取值以及增減性解決.問題（1）的反比例函數關系式是由長方形面積公式直接得出的；對于問題（2）的解答，只要將y=100的數值代入關系式中，就可以求出相對應的x數值；問題（3）是對反比例函數增減性的考查，也可結合圖像更直觀地感受當長最多為60米時，寬應該滿足的條件，這里還用到了臨界值，當考慮某一變量的取值范圍時，往往會先分析臨界值，在下面的題目中我們還將涉及.
問題2 某建筑商出售一批進價為2萬元/噸的鋼材，在市場營銷中發現此鋼材的銷售單價x萬元/噸與銷售量y（噸）之間有如下關系：
x（萬元/噸） 3 4 5 6
y（噸） 20 15 12 10
（1）猜測并確定y與x之間的函數關系式；（2）設經營此鋼材的銷售利潤為w萬元，試求出w與x之間的函數關系式；（3）若物價局規定此鋼材的銷售價最高不能超過10萬元/噸，請你求出當銷售單價x定為多少萬元時，才能獲得最大銷售利潤？
解析 （1）由四組數據積的不變性，可以得出xy=120，y= 120 x ；
（2）根據銷售利潤=單件利潤×銷售量，得出w=（x-2）y，但題目要求是w與x之間的函數關系式，這里將把第（1） 小題中的y= 120 x 直接代入，得到一個新函數w=- 240 x + 120；（3）對于函數w=- 240 x +120，已知x≤10時，確定w的取值范圍，應把w看成兩項，一項為定值120，一項為變值- 240 x ，所以w的取值范圍由- 240 x 確定，也有兩種方法：① 根據反比例函數的增減性，因為k0，y隨x的增大而增大，所以考慮臨界值，當x最大=10時，w最大=96，即0≤w≤96.② 根據反比例函數的圖像，因為k0，圖像在第四象限，從左到右呈上升趨勢，根據x的取值范圍確定對應的圖像，得出- 240 x 的取值范圍，進而得出w的取值范圍.
分析 這題是以蓮花體育館建造時，鋼材供應商經營策略為背景引入的，它在問題1的基礎上有所提高，體現了不同的求解析式的方法.這里的設計主要想體現陶行知老先生的名言：“好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學.”讓學生在已有的基礎上進一步提升.問題（1）的反比例函數關系式是由售價與銷售量乘積的不變性，直接得出的；問題（2）在確定了銷售量與銷售價之間的反比例函數關系之后，根據總利潤=單價利潤×銷售量或者總利潤=銷售額-成本的數量關系，列出w與x之間的關系式，這里銷售量y要用x來表示；問題（3）根據利潤的函數關系式w=- 240 x +120，由x的取值范圍來確定w的取值范圍，這里應該把w的函數關系式看成由- 240 x 和120兩部分組成，而其中的120是不變的，所以w的值主要由- 240 x 來確定，也就是由反比例函數的增減性來確定，其實這一題和問題1的第三小題是考查的同一知識點，但卻比問題1要難.
問題3 如圖，體育館建成之后，學校對它進行藥熏消毒.已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（min）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例.現測得藥物8 min燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量為6 mg.請根據題中所提供的信息，解答下列問題：
（1）藥物燃燒時，y與x的關系式為 ；藥物燃燒完后，y與x的關系式為 ；
（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6 mg時學生方可進入教室，那么從消毒開始，至少經過 min后，學生才能回到教室；
（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg且持續時間不低于10 min時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次藥熏是否有效？請說明理由.
解析 （1）由圖像可知，它有兩部分組成，一條經過原點的線段和一條曲線，可知它對應兩個函數：正比例函數和反比例函數，所以當08時，y= 48 x ；（2）含藥量即為y的值，相當于已知y=1.6，代入反比例函數y= 48 x 求相應的x；（3）已知y的取值范圍y≥3，求出x的取值范圍，主要用臨界值的方法，把y=3分別代入正比例函數y=0.75x和反比例函數y= 48 x ，求出相應的x，即在圖像找出y=3相對應的兩個點，再找出y≥3時相對應的圖像，把兩個x相減，得出的差與10做比較，如果差大于或等于10則有效，如果差小于10則無效.
分析 問題（3）是以對體育館進行消毒為背景引入的.相對于問題（1）、（2），它多了圖像，也就是說主要要結合圖像來解決此題.第（1）小題是根據圖像用待定系數法求出函數關系式；第（2）小題是常規的已知y代入解析式求x，但此題有兩個函數關系式，學生要根據題目要求選擇適當的解析式，因為題目要求“學生進入教室”，所以要選擇反比例函數；第（3）小題是第（2）小題的延伸，它是已知y的取值范圍確定x的取值范圍，主要體現了數形結合思想.
就像陶行知老先生說過的：“活的人才教育不是灌輸知識，而是將開發文化寶庫的鑰匙，盡我們知道的交給學生.”
所以，我在前面三個問題的基礎上，設計的問題4，它只給出了圖像以及簡潔的提示，沒有給出任何問題，主要由學生自主提出問題并解決問題，以此提升學生的能力以及對知識點認知的升華.
問題4 體育館建成之后，很多教師去參觀，體育教師就熱情地邀請他們喝茶.圖中是喝茶前，燒水和泡茶兩個工序中，水溫隨著時間的變化所呈現的圖像，其中BC=1，CD為反比例函數圖像的一部分.根以上信息，你能設計出哪些與燒水、泡茶有關的問題.
關鍵詞：探索式教學法；數學教學；學生主體；教師主導
探索式教學法是數學教學中最為行之有效的教學方法之一。探索式教學法在數學教學中的有效應用，充分發揮了學生的主體地位，誘發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，使學生從中體會到數學的重要性與趣味性。運用探索式教學法要遵循“建立情境提出問題探索發現猜想驗證尋求規律實際應用”的模式，力爭在每個環節都能發揮學生的主動性，挖掘出他們的潛在智慧，從而達到既讓學生掌握知識，又培養了學生思維與探索能力的雙重目的。下面淺談一下我在數學教學中嘗試用探索式教學法取得的效果。
一、建立情境
俗話說：“良好的開端是成功的一半。”一個或生動有趣、或富有創意、或懸念重重的情境能讓學生在最短的時間里主動進入學習狀態。如，在探索反比例函數圖象和性質的教學中，展示了許多反比例圖象的畫片，讓學生從中發現數學問題，激發學生參與課堂學習的熱情和求知欲望，為學生畫反比例函數圖象奠定了基礎。
二、提出問題
學生有了疑問才會進一步思考問題，才能有所發現、有所創造。因此，在數學教學中，教師要靈活運用教材，創造性地把書上的“句號”轉變成“問號”，把“問號”融于情境中，讓學生在情境中遇到問題，促使學生努力去思考問題、探索問題。例如，在講反比例函數圖象和性質時，我提出了許多本節課的重點問題，反比例函數y=■的圖象會是什么形狀呢？y=-■的圖象又會是什么形狀呢？等等這些問題激發了學生的求知欲望和探究欲望，引導學生自主進入角色。
三、探索發現
探索發現是以學生為主體，以教師為主導的過程。所謂自主探索可分兩種：一種是主動探索，說明學生自己要學；二是獨立探索，說明學生自己有能力去學。在教學中，要不斷鼓勵學生自己探索，同時留給學生充足的時間和空間。在學生探索過程中，教師要注意學生的情感投入等表現。在活動中，讓學生自己去觀察、類比和發現，讓學生自己去經歷過程，總結結論，實現學生主動參與探索新知識的目的。在學生新發現的同時，教師要科學合理地給學生一個客觀公正的評價。通過評價使學生體驗成功的喜悅，增加學生繼續探索的信心。發現不足改變自己的探索方式，提高學生的學習效率，因此，在教學中要正確引導學生探索新知識。在學習反比例函數圖象和性質時，我引導學生思考，示范出反比例函數y=■的圖象，同時比較y=■與y=-■的圖象它們有什么共同特點？它們之間有什么關系？
學生通過觀察、比較、分析，探討判斷出反比例函數的圖象位置和性質。同時，教師要多引導充分發揮主導作用，并對學生的總結發現做一個合理公正的評價。
四、猜想驗證
數學猜想實際上是一種數學想象，是人的思維在探索數學規律本質時的一種策略，它是建立在已有的事實和經驗上，運用非邏輯手段得到的一種假定，一種合理推理。從學生實際出發，順應學生思路大膽建立猜想，進而驗證猜想，讓不同層次的學生都有發現創新的機會，并根據合理條件作出猜想，培養思維的創新，從中學會科學的思維方法，學會學習。在講反比例函數圖象和性質時，讓
學生在已了解y=■和y=-■的圖象位置和性質的基礎上，猜想出y=■與y=-■的圖象各在哪些象限，以及反比例函數在每個象限內y值隨x的變化而發生怎樣的變化，同時讓學生動手操作，畫出函數圖象，驗證猜想的結果是正確的。
五、尋求規律
規律是數學的靈魂，學會發現規律比多記幾條規律重要得多。教學中，教師要引導學生運用已有的數學知識尋求規律，感受數學的探索和價值，并通過發現規律體驗成功，建立學好數學的自信心。我在教反比例函數圖象和性質時，讓學生通過對反比例函數圖象的觀察、分析，總結出規律，概括出反比例函數的性質，使學生經歷從特殊到一般的思維過程，逐步達到培養學生抽象概括能力和激發學生探索欲望的目的。
六、實際應用
能夠應用所學知識解決實際問題是教學任務之一。應用數學知識解決實際問題，是學習數學知識形成技能的結果，是獲得數學知識技能的檢驗。如，市煤氣公司在地上修建一個容積為104立方米的圓柱形煤氣儲存室，儲存室的底面積與其深度有怎樣的函數關系，通過討論探究，使學生對利用反比例函數解決實際問題有了更深刻的了解，初步培養學生利用反比例函數解決實際問題的數學模型，從而達到培養學生良好的思維品質的目的。
1、使學生初步理解一次函數與正比例函數的概念。
2、使學生能夠根據實際問題中的條件，確定一次函數與正比例函數的解析式。
二、內容分析
1、初中主要是通過幾種簡單的函數的初步介紹來學習函數的，前面三小節，先學習函數的概念與表示法，這是為學習后面的幾種具體的函數作準備的，從本節開始，將依次學習一次函數(包括正比例函數)、二次函數與反比例函數的有關知識，大體上，每種函數是按函數的解析式、圖象及性質這個順序講述的，通過這些具體函數的學習，學生可以加深對函數意義、函數表示法的認識，并且，結合這些內容，學生還會逐步熟悉函數的知識及有關的數學思想方法在解決實際問題中的應用。
2、舊教材在講幾個具體的函數時，是按先講正反比例函數，后講一次、二次函數順序編排的，這是適當照顧了學生在小學數學中學了正反比例關系的知識，注意了中小學的銜接，新教材則是安排先學習一次函數，并且，把正比例函數作為一次函數的特例予以介紹，而最后才學習反比例函數，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學生由易到難的認識規津，從函數角度看，一次函數的解析式、圖象與性質都是比較簡單的，相對來說，反比例函數就要復雜一些了，特別是，反比例函數的圖象是由兩條曲線組成的，先學習反比例函數難度可能要大一些。第二，把正比例函數作為一次函數的特例介紹，既可以提高學習效益，又便于學生了解正比例函數與一次函數的關系，從而，可以更好地理解這兩種函數的概念、圖象與性質。
3、“函數及其圖象”這一章的重點是一次函數的概念、圖象和性質，一方面，在學生初次接觸函數的有關內容時，一定要結合具體函數進行學習，因此，全章的主要內容，是側重在具體函數的講述上的。另一方面，在大綱規定的幾種具體函數中，一次函數是最基本的，教科書對一次函數的討論也比較全面。通過一次函數的學習，學生可以對函數的研究方法有一個初步的認識與了解，從而能更好地把握學次函數、反比例函數的學習方法。
三、教學過程
復習提問：
1、什么是函數?
2、函數有哪幾種表示方法？
3、舉出幾個函數的例子。
新課講解：
可以選用提問時學生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數的例子。然后讓學生觀察這些例子(實際上均是一次函數的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導學生思考：
(1)這些式子表示的是什么關系?(在學生明確這些式子表示函數關系后，可指出，這是函數。)
(2)這些函數中的自變量是什么?函數是什么?(在學生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數，等號右邊是一個代數式，其中的字母x與t是自變量。)
(3)在這些函數式中，表示函數的自變量的式子，分別是關于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關整式的基本概念，表示函數的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關于自變量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(結合一元一次方程的有關知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的層層設問，最后給出一次函數的定義。
一般地，如果y=kx+b(k,b是常數，k≠0)那么，y叫做x的一次函數。
對這個定義，要注意：
(1)x是變量，k，b是常數；
(2)k≠0(當k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數函數，這點，不一定向學生講述。)
由一次函數出發，當常數b＝0時，一次函數kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數，k≠0)我們把這樣的函數叫正比例函數。
在講述正比例函數時，首先，要注意適當復習小學學過的正比例關系，小學數學是這樣陳述的：
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。
寫成式子是(一定)
需指出，小學因為沒有學過負數，實際的例子都是k＞0的例子，對于正比例函數，k也為負數。
其次，要注意引導學生找出一次函數與正比例函數之間的關系：正比例函數是特殊的一次函數。
課堂練習：
教科書13、4節練習第1題．
一、目的要求
1、使學生初步理解一次函數與正比例函數的概念。
2、使學生能夠根據實際問題中的條件，確定一次函數與正比例函數的解析式。
二、內容分析
1、初中主要是通過幾種簡單的函數的初步介紹來學習函數的，前面三小節，先學習函數的概念與表示法，這是為學習后面的幾種具體的函數作準備的，從本節開始，將依次學習一次函數(包括正比例函數)、二次函數與反比例函數的有關知識，大體上，每種函數是按函數的解析式、圖象及性質這個順序講述的，通過這些具體函數的學習，學生可以加深對函數意義、函數表示法的認識，并且，結合這些內容，學生還會逐步熟悉函數的知識及有關的數學思想方法在解決實際問題中的應用。
2、舊教材在講幾個具體的函數時，是按先講正反比例函數，后講一次、二次函數順序編排的，這是適當照顧了學生在小學數學中學了正反比例關系的知識，注意了中小學的銜接，新教材則是安排先學習一次函數，并且，把正比例函數作為一次函數的特例予以介紹，而最后才學習反比例函數，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學生由易到難的認識規津，從函數角度看，一次函數的解析式、圖象與性質都是比較簡單的，相對來說，反比例函數就要復雜一些了，特別是，反比例函數的圖象是由兩條曲線組成的，先學習反比例函數難度可能要大一些。第二，把正比例函數作為一次函數的特例介紹，既可以提高學習效益，又便于學生了解正比例函數與一次函數的關系，從而，可以更好地理解這兩種函數的概念、圖象與性質。
3、“函數及其圖象”這一章的重點是一次函數的概念、圖象和性質，一方面，在學生初次接觸函數的有關內容時，一定要結合具體函數進行學習，因此，全章的主要內容，是側重在具體函數的講述上的。另一方面，在大綱規定的幾種具體函數中，一次函數是最基本的，教科書對一次函數的討論也比較全面。通過一次函數的學習，學生可以對函數的研究方法有一個初步的認識與了解，從而能更好地把握學次函數、反比例函數的學習方法。
三、教學過程
復習提問：
1、什么是函數?
2、函數有哪幾種表示方法？
3、舉出幾個函數的例子。
新課講解：
可以選用提問時學生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數的例子。然后讓學生觀察這些例子(實際上均是一次函數的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導學生思考：
(1)這些式子表示的是什么關系?(在學生明確這些式子表示函數關系后，可指出，這是函數。)
(2)這些函數中的自變量是什么?函數是什么?(在學生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數，等號右邊是一個代數式，其中的字母x與t是自變量。)
(3)在這些函數式中，表示函數的自變量的式子，分別是關于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關整式的基本概念，表示函數的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關于自變量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(結合一元一次方程的有關知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的層層設問，最后給出一次函數的定義。
一般地，如果y=kx+b(k,b是常數，k≠0)那么，y叫做x的一次函數。
對這個定義，要注意：
(1)x是變量，k，b是常數；
(2)k≠0(當k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數函數，這點，不一定向學生講述。)
由一次函數出發，當常數b＝0時，一次函數kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數，k≠0)我們把這樣的函數叫正比例函數。
在講述正比例函數時，首先，要注意適當復習小學學過的正比例關系，小學數學是這樣陳述的：
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。
寫成式子是(一定)
需指出，小學因為沒有學過負數，實際的例子都是k＞0的例子，對于正比例函數，k也為負數。
其次，要注意引導學生找出一次函數與正比例函數之間的關系：正比例函數是特殊的一次函數。
[關鍵詞]反比例函數；公開課；情境；設計；概念構建
[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2017）05-0016-01
在一節“反比例函數”公開課中，上課教師對教學內容的深刻理解，充分展示了他對課程標準的理解與把握能力，教師的教育智慧在課堂上表現得淋漓盡致，給我們留下了深刻的印象。
一、情境創設真實。溫故知新自然
教師根據教學的內容，巧妙地創設與生活相關的問題情境：“老師每天要從家駕車到學校上班，從家到學校的路程是8千米，開車從家到學校的時間隨著開車的平均速度的變化而變化……”由于該問題具有一定的生活意義，學生感到很親切。于是，教師開始進一步設計具有一定層次和梯度的問題：
（1）剛才的問題牽涉哪幾個量？這里的常量和變量分別是什么？如果把開車到學校的時間用字母t來表示，開車的速度用字母。表示，那么，時間、速度和路程三者之間存在什么樣的關系呢？很顯然，教師這樣做的目的主要是想嘗試建立t=8/v的關系式，為進一步討論與分析鋪墊。
（2）從t=8/v這個式子來看，它具有什么樣的特征？學生經過短暫的交流認為，這是一種函數形式。如此分析有意識地勾起了學生對所學知識――函數的回顧。
教師突然提問：這是一次函數嗎？由于教師所提的問題根本就是學生還沒有學過的知識（這也正是本節課將要學習的知識），由于新舊知識的沖突，一下子把學生帶進了思考和討論的狀態，學生主動學習的動力自然形成了。
于是，教師進一步設計了兩個實際問題：
（1）老師今早上班的時候，通過油表發現，油箱中存油還剩下20升，車輛行駛中每千米耗油量0.1升。如果我們把油箱剩余的油量用M（升）表示，行駛的路程用x（千米）表示，那么汽車油箱中剩余的油量與行駛的路程之間存在著什么樣的函數關系？
（2）目前加油站的油價是每升6.7元，汽車加油的費用與所加的油量有關系。如果用y表示加油的費用，x表示加油量，那么加油費用3，與加油量x的關系式是什么？
教師提出這兩個問題后，讓學生討論，要求學生用函數關系式描述問題中變量之間的關系，然后分別寫出關系式：y=6.7x，M=20-0.1x。教師直接寫出函數關系式，基于學生對上述問題的探究與分析，已經具備完成的條件，加上已經在比較熟悉的情境中考慮問題，具有解決新問題的能力，這樣可節約大量時間去解決本節課學習的核心問題――反比例函數概念的抽象概括。當然，對于上述問題，教師引導學生不惜花費更多時間探討，引導學生從變量的認識開始，通過復習函數的概念而逐步深入學習，目的是為達到“產生數學”的效果。可見，教師對本節課的教學內容的準確把握是比較到位的，教學設計也是合理而恰當的。
二、教學重點突出。概念構建合理
教師通過前一階段的探討與學習，列出一組函數表達式：y=6.7x，M=20-0.1x，y=80/x，并提問：“在這些函數式中，它們有什么樣的特點？哪些是以前見過的？”引導學生辨別出正比例函數、一次函數并能發現與其不同的新函數。
學生通過已經學習過的函數知識采用排除法剔除正比函數和一次函數后，剩下的便是一個“同類事物的不同例證了”，這也正是概念形成的前提。當然，此時概念的形成還需要經過探究活動。一方面，因為問題來源于生活實際，具有探究價值；另一方面，通過對象本質的探討與分析，清楚了它的定義。再者，這樣的一組函數式具有一定的屬性，能夠引發學生嘗試運用文字、符號進行表達，通過比較、質疑、思考去把握本質，概念的建構無形中形成了。
在教學過程中，教師能充分根據學習內容和學生的情況，采用合理的教學方法，引導探究，督促交流，鼓勵學生大膽嘗試，耐心對待學生的學習過程，促進學生對學習知識的感悟。比如，在反比例函數概念建立以后，讓學生大膽寫出類似的例子，并說出對定義的理解，教學具有針對性和開放性，有效激活了學生學習的思維。
一般的，在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個函數的定義域，相應y的取值范圍叫做函數的值域。下面小編給大家分享一些高中數學函數知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
高中數學函數知識一、一次函數定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關系：
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。
即：y=kx(k為常數，k≠0)
二、一次函數的性質：
1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)
2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。
三、一次函數的圖像及性質：
1.作法與圖形：通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)
2.性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。
(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。
3.k，b與函數圖像所在象限：
當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;
當k
當b>0時，直線必通過一、二象限;
當b=0時，直線通過原點
當b
特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。
這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k
四、確定一次函數的表達式：
已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。
(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數的表達式。
五、一次函數在生活中的應用：
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。
s=vt。
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。
設水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：
1.求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
高中數學函數知識2二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：
y=ax’2+bx+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x’2的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。
對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b’2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ=b’2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b’2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b’2-4ac
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax’2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax’2+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
高中數學函數知識3反比例函數
形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。
反比例函數圖像性質：
反比例函數的圖像為雙曲線。
由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。
另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
如圖，上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。
當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數
當K
反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。
知識點：
1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。
2.對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m)m為常數)，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。
(加一個數時向左平移，減一個數時向右平移)
對數函數
對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數的反函數。因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：
可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。
(1)對數函數的定義域為大于0的實數集合。
(2)對數函數的值域為全部實數集合。
(3)函數總是通過(1，0)這點。
【關鍵詞】數學思想；數形結合；以形助數；以數解形
數形結合的思想方法是數學教學內容的主體之一。數與形的結合可以使某些抽象的數學問題直觀化，能夠把抽象思維轉化為形象思維，有助于把生活實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，從而把實際的問題迎刃而解，起到畫龍點睛的作用。
在新課改后，在初中數學教學中應用到數形結合思想進行教學的內容占的比例較大。主要體現在：①實數與數軸上的點的對應關系②方程與方程組③不等式與不等式組④函數問題⑤概率與統計⑥圖形的相似及坐標，下面我們就通過具體的例子來加以說明這一直觀的數學思想方法的具體應用
1.實數與數軸
1.1 實數包括有理數和無理數。而有理數和無理數都可以在數軸上表示，反之數軸上的每一個點都對應著某一個有理數或無理數。所以實數與數軸上的點是一一對應的關系，這時若要向學生解釋一一對應的關系，可以采用數形結合的方法呈現給學生。
案例一：如圖（1）
在數軸上除了有-1，-2， 0， 1， 2， …有理數之外還存在著無理數，如以坐標圓點為頂點，以單位“1”的長度作正方形，則對角線的長度為 ，再以0點為圓心，對角線的長為半徑畫弧線與數軸交于點B，所以B點表示的數就是無理數 ，以此類推，我們還可以得到 ，- ， …等更多的無理數，因此有理數和無理數就把數軸上的所有點填滿了，所以實數與數軸上的點是一一對應的關系。并且數軸上的數從左到右逐漸增大
案例二：如圖（2）在數軸上：
分析：在案例二的第二個問題中，是把形化為數，這是解決此類問題的突破口，也就是解題的瓶頸，只有利用形與數的完美結合與互化才能解決此類問題，體現了數形結合的思想價值。
1.2 相反數與絕對值
相反數是指只有符號不同的兩個數互為相反數，而絕對值是指一個數離開坐標原點的長度單位（注0的相反數與絕對值都是它本身），在相反數與絕對值的數學過程中，如果采用數形結合的方法進行教學，那么取得的教學效果是事半功倍。如圖（2）中，1的相反數是-1，-2的相反數是2， 的相反數是- ，4的相反數是-4，
1=1 -2=2 -3=3
由此我們還可以得出結論：①數軸上的數從左到右逐漸增大，②對于負數絕對值越大的數反而越小，③負數的絕對值等于它的相反數，正數的絕對值等于它本身，④互為相反數的兩個數絕對值相等。在案例一，案例二中，如果我們只采用“數”的方法講解，而不采用“數與形”結合的方式，學生是很難理解的，只有把數與形互相結合起來，真正做到直觀化，形象化，學生就能夠一目了然，由此我們還可以把問題由特殊化轉為一般化，就可以很輕松的得到結論
解。反之，如果在平面直角坐標系中，
知道了兩條直線L1和L2的交點坐標，也可以根據交點坐標得出相應的方程組。
3.解決一元一次不等式（組）和一次函數結合的問題
在近幾年中，考察不等式的題型在原有的填空題，選擇題，解答題，求不等式組的解集的基礎上有了新的突破。特別是在不等式與方程結合的實際方案優化設計問題，不等式和一次函數結合方面考察的較多。解決這類問題的關鍵是采用數形結合的思想，把“數”化為“形”，使復雜問題簡單化。
案例5.已知直線 經過點A（-1，-2）和點B（-2，0），直線 經過點A，
求不等式 的解集。
解析：如果采用單一的“數”的形式來解決這類問題（即用代數的方法），需要把點的坐標代入函數關系式中，用“待定系數”法求出函數關系式，再把函數關系式代入不等式中組成不等式組，最后求出不等式組的解集。雖然這樣處理問題，能夠得到最終的答案，但是做起來感覺比較繁，又會浪費我們許多寶貴的時間。如果采用“數形結合”的辦法來解決，會起到把復雜問題簡單化，起到立竿見影，事半功倍的效果。
解析：⑴建立平面直角坐標系，作出函數圖象，如圖（5）所示。
⑵由函數圖象可知：函數 是減函數y隨x的增大而減小，并且當x>-2時y-2時
x0.即x0
⑶函數 是正比例函數，y隨x的增大而增大。當x>O時y>O，即2x>O，當x
⑷函數 與 相交于點A（-1，-2），都與直線x = -1相交，并且在直線x = -1的左側是 >2x，在x = -1的右側是
因此不等式 的解集是-2
由函數圖象我們還以得到不等式 的解集是-1
這樣，我們就把復雜的問題簡單化，從而起到優化解題途徑的目的，做到“數”與“形”的互變。讓學生產生豁然開朗的感覺，不僅提高了學習效率，還培養了學生的學習興趣。
4.以形助數解決函數問題
在初中的教學內容中，函數包括一次函數，反比例函數和二次函數。在教學過程中數形結合的教學方法是解決函數問題的關鍵，要學會從“數”分析到“形”，由數的特征想到形的特征，又由形的特征想到數的特征，能夠變抽象思維為形象思維。這樣有助于把握數學問題的本質，做到由數思形，以形想數。
4.1 解決一次函數問題
一次函數是歷年學業水平測試命題的重要考點，尤其是最近幾年，越來越受到重視，考查這部分的試題不僅數量多，而且題型新，一些與現實生活密切相關的應用題、閱讀題、開放探索題等層出不窮，解決這類問題的關鍵是利用數形結合的辦法。
案例6.如圖（6）所示：小虹準備到甲、乙兩商場去應聘，下圖中L1，L2分別表示了甲、乙兩商場每月付給員工的工資y1和y2（單位：元）與銷售商品的件數x（單位：件）的關系。
⑴根據圖象分別求出y1，y2與x的函數關系式。
⑵根據圖象直接回答：如果小虹決定去應聘，她可能會選擇甲商場還是乙商場？
解：（1）設L1的函數關系式為y1=k1x，把（40，600）帶入y1=k1x中，得40k1=600，解這個方程，得k1=15，所以y1與x的函數關系式為y1=15x.
設L2的函數關系式為y2=k2x+b.把（0，400）與（40，600）帶人y2=k2x+b中，得 。解這個方程組，得 。所以y2與x的函數關系式為y2=5x+400
（2）當銷售件數大于40件時，選擇甲商場
當銷售件數小于40件時，選擇乙商場
當銷售件數等于40件時，選擇去甲商場或乙商場都一樣。
4.2 解決反比例函數與一次函數結合的問題
反比例函數也是學業水平測試的必考內容，近年來備受青睞。反比例函數的圖象與性質、解析式的確定及實踐應用都是熱點。在解答題中主要考查反比例函數與一次函數結合為主，難度處于低、中檔次。
案例7.如圖（7）所示：已知一次函數y1=x+2與反比例函數y2= 圖象相交于A，B兩點，A點坐標為（1，3）。
⑴試確定B點的坐標及反比例函數的表達式。
⑵若y1>y2時，求x的取值范圍
解：⑴反比例函數y2= 的圖象經過點A（1，3）
，k=3
反比例函數的表達式為
由 消去y，得x2+2x-3=0，
即（x+3）（x-1）=0
x=-3或x=1，可的y=-1或y=3
于是 或
點B在第三象限，點B的坐標為B（-3，-1）
⑵要求y1>y2時，x的取值范圍，即x+2> 。此時對于初中的學生來說，要用代數的方法解決這個問題是很難的，可以說是無法解出的。要解決這個問題，我們只能借助函數圖象，采用數形結合的辦法來解決，使問題簡單化。
解析：①分別過一次函數和反比例函數圖象的交點作x軸的垂線，分別與x軸相交于-3和1（即直線x=-3和直線x=1，如圖（7）中的虛線所示）。②分別以直線x=-3和直線x=1的左右來區分是一次函數的值大，還是反比例函數的值大。而在直線x=-3和直線x=1的左右兩邊，什么函數圖象在上，就是該函數的函數值大。③根據函數值確定自變量的取值范圍（注：自變量x不能取到0，要與y軸為分界線）
因此y1>y2時，x的取值范圍就只能在直線x=-3和直線x=1的右邊來確定。因為在直線x=-3和直線x=1的右邊都是一次函數的圖象在上，所以y1>y2時，自變量x的取值范圍是-3
4.3解決二次函數的問題。
二次函數是初中水平測試命題的熱點，各種題型，各檔次試題都會涉及。特別是與實際生活相關的閱讀理解題、實際應用題、探索題在最近幾年中更為突出。解決這類問題的關鍵是利用二次函數的圖像與性質，建立二次函數模型，用數形結合的思想方法進行。
5.解決概率的問題。
例8.在一個不透明的口袋里裝有5個分別標有數字-2，-1，0，1，2的小球，它們除數字不同外其余全部相同。現從口袋里隨機取出一個小球，將該小球上的數字作為點P的橫坐標，將該數的平方作為點P的縱坐標。那么點P落在拋物線y=-x2+2x+3與x軸所圍成的區域內（不含邊界）的概率是多少呢？
解：⑴畫樹形圖表示點P的所有可能情況
開始
⑵點P的坐標有P1（1，1），P2（2，4），P3（0，0），P4（-1，1），P5（-2，4）.其中點P落在拋物線y=-x2+2x+3與x軸所圍成的區域內（不含邊界）的點只有P1（1，1），所以點P落在拋物線y=-x2+2x+3與x軸所圍成的區域內（不含邊界）的概率為 。
6.教學過程中要注意數學思想的培養
中學階段的數學基本思想包括分類討論的思想，數形結合思想，變換與轉化的思想，整體思想，函數與方程的思想，抽樣統計思想，極限思想等等，中學數學中處處滲透著基本數學思想，如果能使它落實到學生學習和教學上，就能夠發展學生的數學能力。其中數形結合思想使一種很重要的思想，它貫穿于整個初中數學的教學內容中。對中學數形結合思想的研究有助于我們更好的掌握中學數學知識，提高解題能力，尤其在初三系統復習中，如果教師利用好“數形結合”思想來培養學生的學習興趣，那么提高學習效率，提高教學成績是有很大幫助的，我們就能在學業水平測試中取得優異的成績。
參考文獻
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[3] 云南省2011中考完全解讀[I].云南：云南教育出版社
在初中數學教學中，通過作業可幫助學生復習與鞏固知識，理解與應用知識，啟發思維，提高能力。而通過作業批改，可幫助教師了解學生學習情況，對知識的把握程度，可幫助學生發現自身不足之處，以查缺補漏。然而，在傳統教學過程中，往往是教師單一批改，學生對批改結果置之不理，沒有深入分析錯誤原因，這樣，教師耗時耗力，卻效果不佳。因此，為了適應素質教育要求，使作業批改省力省時，且能喚起學生的積極性，教師需優化作業批改方式，實行多元化的作業批改，增強師生互動，提高學生能力。
一、引導學生互相批改作業
在初中數學作業批改中，教師可引導學生相互批改，如小組批改、同桌相互批改等，使其在作業互改中，既善于發現其他同學的解題缺陷或錯誤，也發現自身存在的不足，及時糾正彌補。同時，還可發現與借鑒其他學生的巧妙解題方法，取長補短，提高學習效率。
如教學《一元二次方程》后，教師可緊扣教學內容，選取一些典型性、代表性的習題，如：①若方程（m+2）x2+2x-1=0存在兩實數根，請求m的取值范圍。②關于x的方程mx2-2x+3=0存在實根，請求出m的取值范圍。③如果方程x2+（m-6）x+（5-3m）=0的兩根均大于2，請求出m的取值范圍，然后讓學生當堂練習，并在所規定時間內做好習題。然后同桌之間相互批改，亦或先打亂作業秩序，再將作業發給每位同學，讓他們互改作業。同時，在作業批改中，學生應說明對方錯誤及正確的原因，然后作業被改的學生可加以解釋說明。
如在題①中，有些學生根據Δ=4-4（m+2）×（-1）≥0，得出結論：m≥-3.其錯誤原因在于忽略了一元二次方程二次項系數不為零的隱含條件。所以，正確答案是m≥-3且m≠-2.在題②中，有些學生因思維定勢而導致解題錯誤。他們先入為主地僅僅討論題目為二次方程，得出結論m≤■且m≠0，卻忽略了原方程也可能是一次方程。題中方程mx2-2x+3=0存在實根，但并未明確指出該方程是一次方程還是二次方程。因此，正確答案是m≤■.而在題③中，則因審題不慎而出現解題錯誤：根據題意得出：Δ=（m-6）2-4（5-3m）=m2+16>0 ，即m是任意值。有：x1+ x2=6-m>4 則m4，得出m
二、學生自改與教師再改
在多元化作業批改中，學生自改也是重要方式之一。通過學生自改作業，可改變學生以往的不端正的學習態度，如有的同學對學習上的錯誤并不重視，沒有找出其原因；未及時糾正作業錯誤；對于教師作業評改時的紅筆標注之處，要么置之不理，要么就是抄寫正確答案，草草了事等。因為未及時分析與糾正錯誤，在下次練習或考試中，學生又出現同一錯誤，這就影響了學生的學習效果。同時，學生基礎不牢固，也影響了后面新知的學習。面對這些現象，教師可讓學生自己批改作業，特別是一些有煩瑣步驟的計算題，要求他們由解題思路、解題步驟、解題答案加以分析，看是不是存在錯誤。而有些學生雖然有著正確的解題思路，但結果卻總是出錯，這些學生在批改作業時，則需看是否認真審題，是否計算正確，并注意不要點錯小數點或者符號出錯。通過學生自改，讓學生重新經歷了審題、解題、運算等再次思維過程，若如此反復訓練，學生則可逐漸改掉壞習慣，提高解題能力。
其次，在學生自改與互改的前提下，數學教師可進行再改。這主要是發現學生作業中的普遍錯誤、共性錯誤。然后課堂上重點分析與講解，讓學生認識錯誤成因，把握正確解題方法與巧妙解題技巧。如教學反比例函數后，總結歸納學生平時練習中或考試中的反比例函數常見解題錯誤，并舉出相應例題加以講解。如忽視了反比例函數定義成立條件。譬如：如果函數y=（m+1）xm +3m+1為反比例函數，請求m的值。在解題過程中，有些學生只考慮反比例函數滿足m2+3m+1的條件，忽略了反比例函數中“m+1≠0”這一隱含條件，而導致解題錯誤。當然，在解答反比例函數時，有些學生忽略了反比例性質中的限制條件；忽略了題目中圖象所提供的信息，亦或忽略了實際問題中的自變量取值范圍等。此外，在教師批改作業時，對于學生有創造性的、獨特的解題方法，教師應寫下肯定與贊揚性評語，以鼓勵學生探究解題技巧與方法，使其更有學習信心與動力。
