時間：2023-06-02 09:59:01
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇正比例的意義，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
“正比例的意義”一課的教學重點是讓學生領會成正比例關系的兩種量的特征，并能夠把握兩種量之間的關系，但學生對此往往停留在形式的模仿上。如何實現從形式模仿到意義建構的轉化呢？課堂教學中，我從對比入手引導學生經歷概念的思維建構過程，獲得了良好的教學效果，現將自己的教學和思考分享如下。
一、對比分類，建立基本的數量關系
教學片斷：
師：路程是一個數量，由路程你想到相關的什么量？
生1：速度和時間。
師：對比一下時間和速度，想一想，這幾個量之間有什么關系？
生2：路程=速度×時間。
生3：速度=路程÷時間。
師：說得不錯。像路程和時間的關系，就叫做相關聯的量。觀察對比一下，生活中還有哪些相關聯的量？
……
反思：根據建構主義的學習理論，學生的學習是在已有知識和經驗基礎上的建構過程。在這個過程中，學生的已有經驗被激活，從舊知發展到新知。在此環節中，我采用對比的方法，開門見山地從路程和時間的數量關系導入新課，引導學生從路程、時間、速度的數量關系進行相關的推理和分類，使學生輕松地從舊知復習轉入對新知的探索，為后繼學習奠定了基礎。
二、對比建構，經歷概念的形成過程
教學片斷：
師：從表中，你發現了什么？
生1：我發現有兩個變化的量。
生2：我發現有一個量是不變。
生3：我發現路程在變，速度也在變。
師：大家從表中看到有變量，也有不變量，今天我們就來研究兩種變量之間的關系。
（在學生對變量有了一定的研究后，我繼續讓學生從表中按正反兩個方向尋找變量，并分析其中的關系。學生認為表中的時間和路程都在擴大與縮小，即時間擴大幾倍，路程也跟著擴大幾倍；時間縮小幾分之幾，路程也縮小幾分之幾）
師：也就是說，路程隨著時間變化，并且變化相同的量。
（學生還發現可以套用公式，用“速度=路程÷時間”算出小明每小時行駛50千米。據此往下推測，就能知道小明5小時行駛250千米，因為“路程=速度×時間”）
師：也就是說，騎車的速度是一定的。下面，我們就來探究這種有規律的數量關系。（將數量關系的討論轉入對有規律變化的兩個數量關系的探討中，使問題逐漸清晰明朗化。學生根據表中的數據進行計算，發現速度和時間是對應的，路程除以時間等于速度，速度不變）
師：這個不變的速度，就叫做一定量。路程和時間是兩種相關聯的量，這兩種量相對應的兩個數的比值一定，它們的關系就叫做正比例關系。
……
反思：數學知識往往抽象大過感性，對于小學生來說，學習數學的過程需要教師的引導。教學中，教師要將抽象的數量關系梳理后以直觀的形式呈現，這樣才能發展學生的思維，激發學生的探究興趣。上述教學環節，我從三個圖表的對比入手，引導學生發現表格中不同數量關系的變化：同樣是路程和時間，卻有不同的存在形式，具有正比例意義的兩種量之間存在著一定的規律。那么，如何確定兩種量之間的變化規律呢？在探究中，學生真正掌握了正比例的意義——兩種量的比值一定。
三、對比探究，反思概念的意義建構
教學片斷：
師：根據“兩種量之間的比值一定”這個規律，表中還有沒有正比例關系？
生1：沒有，因為不存在相等的比值。
師：現在思考一下，如果使用字母x和y分別表示兩個變量，用R表示比值，你怎么來表示正比例關系？
生2：正比例關系可以用x/y=R（一定）來表示，R是個一定的量。
師：這里的y和x代表什么量？再舉一些正比例的例子。
……
反思：反思是數學思維活動的核心和動力。在學生通過探究得到比值一定的變量規律后，我引導學生進行鞏固和強化，并提出問題：“根據‘兩種量之間的比值一定’這個規律，表中還有沒有正比例關系？”學生由此展開對比思考，對抽象的正比例概念有了自己的認知和體會，進而建構概念意義，形成自己的結論，然后我引導學生由具體事例抽象出字母，完成數學思維的建構過程。
教材分析：本節課是《正比例和反比例》復習課，教材重點引導學生交流判斷兩種量是否成比例、成什么比例的思考方法，并要求學生找出一些生活中成正比例或反比例量的例子，幫助學生進一步認識成正比例和反比例的量，感受正比例和反比例是描述數量關系及變化規律的又一種有效的數學型。
學情分析：在教學了正比例了知識后，大部分學生都明白了如何判斷兩個量是不是正比例，在做相關的題目時，學生出錯的可能性不大，主要在于語言表達的完整性和科學性上。可是一旦教授了反比例的知識之后，學生開始混淆兩者了！不知道是把兩個量相“乘”還是相“除”！這在某種意義上來說是由于學生對于“正”和“反”的理解不夠到位。
教學目標：⑴通過回顧與交流，鼓勵學生自己獨立整理知識，形成系統。
(2)通過具體問題的認識進一步認識正比例、反比例的量。使同學們能夠、迅速地判斷兩種相關聯的量成不成比例，成什么比例。
(3)通過復習與整理加深對正、反比例意義的理解。并運用正、反比例的知識解決一些實際問題。
（4）通過練習進一步提高同學們綜合運用有關知識解決實際問題的能力，培養同學們自主探究、合作交流的學習能力。
教學重點：進一步認識成正比例和反比例的量。能運用正、反比例的意義解決實際問題，在活動中獲得一些新的認識。
教學難點：培養學生的問題意識，不斷積累活動經驗，體會重要的數學思想。
教學準備：
教師：多媒體課件。
學生：1、用自己喜歡的方式對知識點進行回顧與整理；
2、搜集10組成正比例或反比例的量，并說明理由。
教學過程：
（一）回顧與交流一
1．說一說
①同學們都準備好了嗎？今天我們將繼續復習《正比例和反比例》（板書課題）。課前大家都用自己喜歡的方式對正比例和反比例的知識進行了回顧與整理，現在和同桌互相交流吧！把你整理的過程與心得與小伙伴們一起分享吧！（生互相分享整理的知識，過程和心得。）
交流后展示。
②什么樣的兩個量成正比例，什么樣的兩個量成反比例？
（指名說一說）
正比例的意義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量叫做成正比例的量，它們的關系成正比例關系。關系式為：
反比例的意義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應得兩個數的積一定，這兩種量叫做成反比例的量，它們的關系成反比例關系。關系式為：
③同學們說的真棒！那么，你能說一說正比例和反比例都有什么相同點和不同點嗎？
（生交流后指名回答。）
名
稱
不同點
相同點
意義不同
變化方向不同
關系式不同
正
比
例
兩種量中相對應的兩個數的比值，也就是商一定。
一種量擴大（或縮小），另一種量也隨之擴大（或縮?。?/p>
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。
反
比
例
兩種量中相對應的兩個數的積一定。
一種量擴大（或縮?。?，另一種量反而縮小（或擴大）。
2．議一議
正比例和反比例在生活中有著廣泛的應用，請你想一想生活中有哪些成正比例的量？有哪些成反比例的量？四人小組同學互相舉例說一說，并說明自己的舉例為什么是成正比例或者成反比例。教師巡視指導。
3、全班交流
每組說明正、反比例實例各一個，其他小組注意不要重復，并把本組需要交流的問題展示出來。
（生1：買蘋果時，蘋果的單價一定，那么需要的錢數和買的數量成正比例。如果花費總錢數一定，蘋蘋果的單價和數量成反比例。
生2：一個人行一段路程，速度和時間成反比例。
生3：圓的周長總是它直徑的π倍，π的值是一定的，所以圓的周長和直徑成正比例。
生4：圓的面積和半徑成正比例。（有些學生對此提出疑問）
討論：圓的面積和半徑成正比例嗎？為什么？（雖然圓的面積隨半徑的增大而增大，但圓的面積和它半徑的比值不是固定，所以它們不成正比例。）
生5：給一個房間鋪地磚，需要地磚塊數和地磚面積成反比例。）
（二）回顧與交流二
生活中有許多成正比例和反比例的量，只要我們能掌握正比例和反比例的意義，就一定能準確判斷出來。
⑴、填一填：
1.圓柱的高一定，體積和底面積成（
）關系。
2.時間一定，總產量和單產量成（
）關系。
3.單價一定，數量和總價成（
）關系。
4.長方形的長一定，寬和面積成（
）關系。
5.煤的總量一定，每天燒煤量和能夠燒的天數成（
）關系。6.如果
，那么x和y成（
）關系。
7、已知
A÷B＝C，當
A一定時，B和C（
）比例；當B一定時，A和C（
）比例；當C一定時，A和B（
）比例。
8、木料總量、每件家具的用料和制成家具的件數這三種量中：
（
）一定時，（
）和（
）成正比例
注：1、生獨立思考，自主完成。
2、指名回答，集體糾正。
⑵、判斷下面每題中的兩個量是否成正比例或反比例并說明理由。
1.一個數和它的倒數。
2.出油率一定，香油的質量和芝麻的質量。
3.小麗跳高的高度和她的身高。
4.一捆100米長的電線，用去的長度和剩下的長度。
5.長方形的周長一定，它的長和寬。
6、生產機器的總臺數一定，生產天數和每天成產的臺數。
⑶、同一時間，同一地點測得樹高和影長如下圖：
①看圖填寫下表：
樹高/m
1
2
3
4
5
影長/m
②樹高和影長成比例嗎？成什么比例？為什么？
③根據圖象，估計8米高的樹，這時的影長是多少米？
注：1、獨立思考后，同桌交流。
2、全班交流。
⑷解決問題
1.用長30厘米，寬24厘米的長方形磚鋪一條路，需用900塊。如果改用邊長20厘米的方磚鋪，需用多少塊？
2.六（1）班買來72米長的繩子，剪下8米做5根跳繩，照這樣計算，買來的繩子共可做跳繩多少根？
（三）、課堂小結
1、通過本節課的學習你有什么收獲？和小伙伴們一起分享吧！
2、你還有什么疑惑？
（四）、作業：
1、35:（
）=20÷16==（
）%=（
）（填小數）
2、因為X=2Y，所以X：Y=（
）：（
），X和Y成（
）比例。
3、學校圖書館的科技書、文藝書和故事書共12000本，其中科技書占，科技書與故事書的比是2：3，故事書有多少本？
4、小明讀一本書，已經讀了全書的，如果再讀15頁，則讀過的頁數與未讀的頁數的比是
2:3，這本書有多少頁？
5、每條男領帶20元，每支女胸花10元，某個體商店進領帶與胸花件數比是3∶2，共值4000元。領帶與胸花各多少？
（五）、教學反思： 數學來源于生活，
又服務于生活，
聯系生活實際創設問題情境，
是新課標精神的體現。教學中，
我從創設生活數學問題入手，
進入新課學習，
在學生掌握新知的基礎上，
又回到問題情境的他訕，
同時還提供一個理具有綜合性、開放性的題目：
“你能舉出一個正比例或反比例的例子嗎？
為什么？
”在學生能準確由A
X
B
=
C
表示三量之間的比例關系后，
我又設計了這樣一個環節：
請同學自己舉一些生活中較熟悉的三量關系，
說說它們之間存怎樣的關系，
再次回歸生活，
讓學生體驗教學的價值，
這也是新課程教學理念――人人學有價值的數學。
教學中，
我尊重學生的的個性差異，
尊重學生的學習成果。如：
在學生知道了正、反比例的意義、關系式后，
我提出：
“用你喜歡的方式喜歡的方式表示正、反比例的聯系和區別。”既注重了科學學習方法的滲透，
又尊重了學生的個性發展和學習成果。
練習與提高部分，
我打破了老師出示題目――自己完成――集體訂正的模式，
而是通過練習型課件，
讓學生自己判斷正確性，
既充分挖掘各省市畢業會考試題這一課題資源，
又通過“你真棒”、“你太聰明了”、“有點馬虎喲”、“要加把勁呀”、“要仔細呀”等鼓勵性的“語言”，
嚴格遵循黨的教育方針，愛崗敬業，正確傳授學生知識，并對學生進行適當的思想教育，培養其成為新時期現代化建設的接班人和建設者。認真培養其數感，提高其計算能力，培養其空間觀念，并能把所學的知識應用到生活實際中去，解決實際生活中的問題。
二、基本情況分析
本班共有學生 人，其中男生 人，女生 人。
1、雙基情況
大部分學生本冊應掌握的知識基本掌握較好，尤其是分數計算方面準確率較高，但在實際應用類，如應用題，還有個別學生對題目難以理解，解題困難。
2、學習能力
大部分學生學習較主動，能自覺進行課后復習、課前預習，課堂上發言較積極，但有個別學生依賴性較強，思維能力和分析能力都較差，聽課時較易分神，學習成績較不理想。
3、學習習慣
學生學習習慣大多較好，課堂聽課認真，作業基本上都能按時完成。只有少數差生學習上仍有惰性，完成作業較應付。
三、教材分析
1、教學內容
這一冊教材包括下面一些內容：負數、圓柱與圓錐、比例、統計、數學廣角、整理和復習等。圓柱與圓錐、比例和整理和復習是本冊教材的重點教學內容。
2、教學目標
①了解負數的意義，會用負數表示一些日常生活中的問題。
②理解比例的意義和基本性質，會解比例，理解正比例和反比例的意義，能夠判斷兩種量是否成正比例或反比例，會用比例知識解決比較簡單的實際問題；能根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫圖，并能根據其中一個量的值估計另一個量的值。
③會看比例尺，能利用方格紙等形式按一定的比例將簡單圖形放大或縮小。
④認識圓柱、圓錐的特征，會計算圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
⑤能從統計圖表準確提取統計信息，正確解釋統計結果，并能作出正確的判斷或簡單的預測；初步體會數據可能產生誤導。
⑥經歷從實際生活中發現問題、提出問題、解決問題的過程，體會數學在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數學知識解決問題的能力。
⑦經歷對“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題，發展分析、推理的能力。
⑧通過系統的整理和復習，加深對小學階段所學的數學知識的理解和掌握，形成比較合理的、靈活的計算能力，發展思維能力和空間觀念，提高綜合運用所學數學知識解決問題的能力。
⑨體會學習數學的樂趣，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心。
⑩養成認真作業、書寫整潔的良好習慣。
3、教學重點
①在熟悉的生活情境中初步認識負數，能正確的讀、寫正數和負數，知道0既不是正數也不是負數。
②認識圓柱和圓錐，掌握它們的基本特征。認識圓柱的底面、側面和高。認識圓錐的底面和高。
③探索并掌握圓柱的側面積、表面積的計算方法，以及圓柱、圓錐體積的計算公式，會運用公式計算體積，解決有關的簡單實際問題。
④理解比例的意義和基本性質，會解比例。理解正比例和反比例的意義，能找出生活中成正比例和成反比例量的實例，能運用比例知識解決簡單的實際問題。
⑤認識正比例關系的圖像，能根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫出圖像，會根據其中一個量在圖像中找出或估計出另一個量的值。
⑥了解比例尺，會求平面圖的比例尺以及根據比例尺求圖上距離或實際距離。
⑦會綜合應用學過的統計知識，能從統計圖中準確提取統計信息，能夠正確解釋統計結果。
⑧經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。
⑨對小學階段所學知識進行系統的復習。
4、教學難點
①掌握圓柱和圓錐的基本特征。探索并掌握圓柱的側面積、表面積的計算方法，以及圓柱、圓錐體積的計算公式，會運用公式計算體積，解決有關的簡單實際問題。
②理解比例的意義和基本性質，會解比例。理解正比例和反比例的意義，能找出生活中成正比例和成反比例量的實例，能運用比例知識解決簡單的實際問題。
③認識正比例關系的圖像，能根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫出圖像，會根據其中一個量在圖像中找出或估計出另一個量的值。
④會求平面圖的比例尺以及根據比例尺求圖上距離或實際距離。
⑤會綜合應用學過的統計知識，能從統計圖中準確提取統計信息，能夠正確解釋統計結果。
⑥經歷“抽屜原理”的探究過程，用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。
⑦通過對小學階段所學數學知識進行系統的復習，熟練掌握和運用小學階段所學的數學知識。
5、教具和學具
三角板 直尺 圓柱、圓錐的實物及模型方格作圖紙
四、教學措施
1、充分利用遠程教育資源和網絡等現代化教育資源，提高課堂教學的直觀性、形象性，為提高教學質量打下基礎。
2、積極學習新課程改革的理論和經驗，進一步培養學生自主、合作、探究的學習能力，使他們學的輕松快樂，使學生由學會向會學轉變，由要我學向我要學的轉變，提高學生學習自主性和學習的效率。
3、教師要從自身做起，嚴格要求自己，認真備好課、上好課，批改好作業，以積極認真的態度來影響學生，提高學生對數學這門學科的興趣，使學生愿學、樂學。
4、抓好單元檢測，把好單元教學關。
5、加大培優輔差的力度，以激勵表揚的方法讓學生在學習中展開競爭，使不同的學生得到不同的發展，對后進生給予更多的關心，做到課堂上多提問，課下多關心，作業做到面批面改。使他們進一步樹立起學習的信心，從而促進全班教學
質量的提高。
6、繼續寫數學學習周記，以培養學生總結概況的能力，以激勵性的評語激發學生學習數學的學習興趣。
五，教學進度
周次
日期
教學內容
執行情況
備注
第1周負數
第2周圓柱（一）
第3周圓柱（二）
圓錐（一）
第4周圓錐（二）
整理復習
第5周比例的意義與基本性質
第6周正比例與反比例的意義
第7周比例的應用
第8周整理與復習
自行車里的數學
一、貼近生活,喚起學生的生活體驗
縱觀小學數學的教學內容,大多數可以聯系學生的生活實際,從學生的生活實際尋找切入點,喚起學生的生活體驗,打通數學與生活間的無形屏障,激發學生學習數學的興趣和參與探究知識的積極性。
例如:教學“正比例的意義”時,理解正比例的意義,內容抽象,學生難以接受。學好正比例知識又是學習反比例的基礎,因此,學生正確地理解正比例的意義是本節課的重點,在實際教學中,我沒一味地照搬教材上的內容,從底面積、高和體積這三個量來理解“相關聯的量”“正比例的意義”,而是聯系學生的生活,我們的一本數學課本大約5元錢,也就是說我們一個人接受了國家5元的資助,5個人呢?15個人呢?我們全班呢?全校呢?全國呢?既弄清了數量、總價這兩種相關聯的量的關系,理解了正比例的意義,又可對學生進行思想教育,學生再參照課本自主學習,并且舉出了許多成正比例的量的例子。由于我在教學中把數學問題生活化,也就是在我們身邊找到了數學的原本,學生不知不覺進入了狀態,手腦并用,課堂氣氛十分活躍,將枯燥的知識生活化,學生易于接受,也就起到了事半功倍的效果。
二、走進生活,讓學生在動手中、觀
察中體驗、發現數學
數學源于生活,我們應走進生活讓學生親自去發現數學、研究數學,在動手中找到答案,從而激發了學生的學習興趣和自主探究知識的欲望。
例如在教學“小數的產生”一課時,讓學生親自動手量一量,發現有時不能正好用整數來表示一個具體的量;就用到了小數,再結合課本了解小數的產生歷程,學生很自然地學到了新知,何樂而不為?
再如教學“圖形的放大與縮小”一課時,從學生熟悉的視頻展示臺的投影入手,先準備一張小卡片,上面寫著“圖形的放大與縮小”,字號為小5號。
師:我來試試同學們的眼力怎么樣,誰能看清上面寫著什么?
生齊:看不清!
師:(將卡片放在展示臺上,調整縮放鍵,讓剛才很小的字逐漸放大,邊操作邊說:“看清了嗎?” 然后繼續放大,接著再問:“看清了嗎……”最后再調整至合適的大小,請同學們認真看一下,再大聲的把這些字讀出來。)
師:請同學們仔細想一想,剛才還看不清,現在為什么看清楚了?
生:紙上的字被放大了。
聯系生活實際,讓學生舉出一些縮小和放大的現象,再動手畫一畫,感知平面圖形的放大與縮小。使學生感受到所學知識與現實生活的聯系,從中獲得價值體驗。
三、用于生活,培養學生的應用意識
新課程標準強調,使學生初步學會運用數學的思維方式去觀察分析現實社會,去解決日常生活中和其他學科學習中的問題,增強學生應用數學的意識。因而在教學中不僅要誘發學生解決問題的欲望,更要培養學生的數學應用意識,使他們體驗到用數學解決現實生活問題的成功和快樂。
例如,當教學完“確定起跑線”一課后,讓學生小組合作來給學校運動場確定200米、400米、800米、1500米的起跑線供運動會使用,通過兩個下午的設計、實地測量,學生出色地完成了學習任務,看一個個那興奮的樣兒,我想那是一種成就感,一種自信。
所謂概念是一種思維形式，反映事物的本質屬性. 人們在認識過程中，把事物的本質屬性抽象出來加以概括，就形成了概念. 概念教學是小學數學的重要組成部分. 數學概念是“雙基”（即基礎知識和基本技能）教學的核心內容，是基礎知識的起點，是邏輯推理的依據，是正確、合理、迅速運算的保證. 學生正確、清晰、完整地掌握數學概念，是掌握數學知識的基礎. 如果學生對概念不明確，也會影響學生的學習興趣和學習效果. 教學中如何幫助學生搭建理解概念的腳手架，使學生輕松掌握概念的實質呢？
1. 合理運用圖表語言描述數學概念
圖表語言是用圖形、圖式、圖表等表示數學關系，它具有直觀性，容易形成表象. 如 “正比例的意義”“兩種相關聯的量”教學時可以出示正方形邊長和周長變化的圖像、邊長與面積變化的圖像，學生能快速讀懂圖像：當邊長為1，2，3，4……厘米時，周長分別是4，8，12，16……厘米；當邊長為1，2，3，4……厘米時，面積分別是1，4，9，16……平方厘米，并能正確填寫表格中的數據. 圖像直觀顯示出邊長在增加，周長也隨著增加；邊長在減少，周長也隨著減少；邊長在變化，正方形的面積也隨著相應變化. 學生在描述邊長與周長、邊長與面積的關系時就有了可靠的表象依托，學生在此基礎上就能做到舉一反三.
圖表語言就是一種圖式化的語言，這種語言簡潔、直觀，學生易于從圖式中找到事物之間的聯系，發現一些本質性的屬性，形成自己的數學文字語言. 學生在觀察、發現的基礎上描述數學概念時，去除了晦澀難懂，增加了直觀形象具體，降低了學生對抽象概念理解的難度.
2. 加強對比變式揭示概念本質屬性
數學概念的變式是概念由具體向抽象過渡的過程中，為排除一些由具體對象本身的非本質特征帶來的干擾而提出來的. 教學中，一旦變更具體對象，那么與具體對象緊密相聯的那些非本質特征就消失了，而本質特征就顯露出來. 變式是促進學生理解數學語言的重要手段，在設置的變式中加強對比，在對比中抽象出概念的本質與非本質特征，從而更好地掌握和理解數學語言.
如“正比例的意義”教學中可以設置汽車勻速前進與自行車非勻速前進的表格對比（稱為表1和表2），找到兩個表格中的共同特征與不同特征，知道兩種表格中都是兩種相關聯的量，但是汽車的速度（即路程與時間的比值）是一定的，而自行車的速度不一定，速度是學生熟知的知識，細心計算表格中的數據就可以掌握住本質：兩種相關聯的量，有的是比值一定，有的是比值不一定. 接著再設置一種比值一定的表格（表3），與表1進行類比. 在類比與反例對比中由具體到抽象，又由抽象到具體，凸顯了“比值一定”的本質，即正比例意義的本質屬性.
3. 建模符號語言形成概念
符號語言是用特定的符號、詞匯和句法描述現實世界，以簡練、明確的特點對思維活動進行本質描述，是自然語言的補充，也是數學對象的表現形式. 符號語言是敘述性表征，它的概括性和抽象性較強，能夠描述數學對象的部分信息，便于傳遞抽象信息. 如教學“正比例的意義”，在學生充分理解了正比例的本質屬性之后，可以引導學生用 = k（一定）的字母形式表示，這樣高度概括了正比例的意義.
【關鍵詞】激發；興趣；有效
興趣是學習的營養劑和催化劑，學生對學習產生興趣，思維活動也最積極有效。有了學習興趣，學習不再是一種負擔，內心會產生積極、渴望學習的欲望，才會積極探索、敏銳觀察、主動質疑，才能創造性的應用知識解決問題。在新課程的背景下，如何有效地激發學生的學習興趣，本人嘗試從以下幾方面進行：
一、聯系生活激趣
數學來源于生活。教師可根據教學內容的需要，在課前讓學生通過調查、收集、測量等活動，獲取有關感性認識，為學習新知識做鋪墊。如：在教學《24時計時法》時，讓學生在課前收集一些火車票、汽車票、飛機票，了解它們分別是什么時刻（ 24時計時法）出發，也就是上午、下午或晚上的什么時刻（普通計時法）出發。學生在課堂上向匯報，在交流與討論中掌握24時計時法與普通計時法的轉化。課堂上教師與學生相互交流，利用學生手中的素材進行分析、講解。學生研究自己收集的豐富材料要比研究教師提供的單一材料更積極主動。從而激發學習興趣，并能體驗到成功的喜悅。讓學生在具體的現實情境中學習數學，讓數學走進生活，讓生活貼近數學。
二、情趣導入激趣
根據小學生的認知心理，教師巧妙的創設情趣導入新課，通常有：①創設身臨其境的問題背景。②創設貼近生活的情境。③創設富有挑戰性的問題情境。課始就令學生興趣盎然，在心情愉悅中走進知識之門，激發學生強烈的求知欲望。如在教學《正比例的意義》時，書中是這樣闡述正比例的意義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。
讓學生真正理解正比例的意義是有困難的，如何讓他們更快、更有效地掌握正比例的意義呢？教師可在課前設計這樣一個貼近生活的情境：同學們吃過鹽菜嗎？你們知道怎么做鹽菜嗎？去年，老師自己想嘗試做10斤鹽菜，但不知道要放多少鹽。于是向別人請教，得知：做10斤鹽菜放1斤鹽就可以了。老師按照這種方式做出來的鹽菜味道好極了。今年老師要做30斤鹽菜，不用再去請教別人就把鹽菜做好了。同學們知道老師放了幾斤鹽嗎？通過這一情境，學生很快說出放3斤鹽就可以了。教師追問是怎么想的？如果做20斤鹽菜需要放多少斤鹽？15斤？28斤？學生講出答案后，再結合剛才的例子講解正比例的意義，學生很快就掌握了。又如在教學《圓錐的體積》時，教師可設計這樣一個富有挑戰性的問題情境 ：在古時候，當莊稼收成不好時，農民只好向地主借糧度日。地主說：“本老爺心地善良，你們借2筒（圓錐形的量筒）糧食，秋收時只要你們還1筒（與圓錐等底等高的圓柱形量筒）糧食就可以了。以此類推，同學們，地主真的善良嗎？你們想揭穿他的詭計嗎？其中隱藏了那些數學知識？我們學習了今天的知識就知道是什么原因了。通過這一富有挑戰性的問題情境，學生已經進入渴望學習的狀態中了。
學生興趣高漲，對其中的問題產生了濃厚的興趣，把學習新知轉化成了一種內在需要，由“要我學”轉變為“我要學”，有利于學生的主體參與。
三、動手操作激趣
活動是認知的基礎，引導學生在動手操作的感知中，親身經歷產生、形成的全過程，能有效地調動學生多種感官參與學習。培養學生的實踐能力、創新意識。如教學《相遇問題》時，安排兩名學生演示兩人行走的情形，充分理解“兩地”、“相向”、“同時”、“相遇”的意義。再提供兩人的速度和兩地間的距離，問他們幾分鐘后會相遇？讓學生親身體驗兩種算法產生的過程。又如：在教學《年、月、日》一課后，教師出示：每個月，最多有幾個星期六？最少有幾個？如果老師僅靠一支粉筆和一塊黑板，要讓學生真正理解，還真不是一件容易的事情。如果教師先讓學生了解月歷表里的日期排列的規律：橫向天數左右相差1，縱向天數上下相差7。如果這個月的1、8、15、22、29日是星期三，這個月星期幾的天數最多？星期幾的天數最少？再引導學生把月歷表沿虛線剪成：（1個橫式、7個縱式）
要使某個月的星期六的天數最多，可以把有5個日期的豎條擺在星期六的下方，其余的豎條按月歷表的規律擺放。要使某個月的星期六的天數最少，應怎么擺呢？其余的豎條又該怎么擺放呢？這樣的學習活動很受學生喜愛，還能舉一反三，解決其它類似問題。在自我探索中，體現了“再發現”的過程，掌握了知識，也掌握了寶貴的“自我探究”的方法。
四、交流探究激趣
課堂上經常組織學生交流探究，讓學生充分表達自己的見解。改變以往老師滔滔不絕的講解、學生被動“認真聽講”的情形。把教學核心放在“交流探究”中，讓學生自己發現問題、解決問題，獲取知識。如：在教學《可能性》時，教師可講述這樣一個有趣的、充滿智慧的故事：一個奴隸冒犯了國王。國王大怒，把他關進死牢，并決定將其處死。但按照當時該國的法律，死囚在臨刑前還有一個抽生死簽的機會。盒子里放有“生”、“死”兩張紙條。如果死囚摸到“生”則生，摸到“死”則死。同學們認為這個奴隸的命運會怎么樣？
學生1：他可能活，也可能會死。
……
教師接著講：可國王偏要奴隸死，就派人偷偷地把盒里的“生”字換成“死”字。同學們認為奴隸的命運又會怎樣呢？
學生1：一定會死，不可能活。
學生2：因為兩張紙條上都寫著“死”字，他一定摸到“死”字，不可能活。
老師繼續講：有個好心人悄悄地把這個情況告訴了奴隸。奴隸想出了一個辦法。當法官讓他抽簽時，他隨意抽一張紙條，吞進肚子里。同學們認為奴隸的命運又會怎樣？
學生1：他一定會活，因為盒子里有個“死”字紙條，那么他吃掉的一定是“活”字紙條。
……
法官看到盒子里紙條是“死”字。說：“他選擇的一定是‘生’字，應立即釋放”。通過這個故事，讓學生了解在一定的條件下，“一定”、“可能”、“不可能”可以轉化。
“認識成正比例的量”是蘇教版六年級下冊第八單元的教學內容，這節課是在學生已經具有比和比例的知識、認識了常見數量關系的基礎上編排的，通過對兩個數量保持商一定的變化，理解正比例關系，滲透初步的函數思想。這部分內容比較抽象，學生不易接受。多年來，教師對這個內容的教學研究積淀了大量資源，其中不乏內涵豐富、風格迥異的經典設計和精彩課堂。
但是，在實際教學中常會見到這樣的場景：教師出示例題中的表格，讓學生觀察表格回答以下三個問題：表中有哪兩個相關聯的量？什么量變化，什么量也隨著變化？它們相對應的數的比值是怎樣的？教師通常認為只要讓學生計算兩個量相對應的數的比值后發現比值不變，就能讓學生體會正比例關系的含義，函數思想就能得到有效滲透。其實，這樣僅僅通過計算得出比值不變的結論，進而歸納出正比例關系的含義，是不能激發學生的內在思維的！學生對找到的規律似懂非懂，知其然而不知其所以然。在這樣的情況下，如果教學設計不能作相應的考慮和調整，那么學生的思維就很容易受到束縛，就難以有效激發學生對數學規律的深入探究和對數學本質的思考。到底如何教學才能真正實現學生思維的轉變，更好地滲透函數思想呢？
立足于上述認識，我對本課的教學目標定位如下：
1.結合具體情境認識成正比例的量的特點，理解正比例的意義，學會根據正比例的意義判斷兩種相關聯的量是不是成正比例。
2.經歷操作、探究、猜想等學習活動，初步體會數量之間相依互變的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型，進一步培養觀察能力和發現規律的能力，滲透初步的函數思想。
實 踐
一、導入新課
1.談話
師：同學們，我們的家鄉常熟是著名的江南水鄉，眾多自然景點春夏秋冬各有特色，喜歡到常熟來旅游的游客也越來越多，誰能來向大家簡單介紹一下我們常熟四季的天氣情況？
學生介紹。
師：對，常熟一年四季分明，1、2月份較寒冷，7、8月份比較炎熱，氣溫隨著月份的變化而變化。
揭示：像這樣，一個量的變化，另一種量也隨著變化的兩個量，我們稱為兩個相關聯的量。（板書：兩個相關聯的量）
2.練習
課件出示：它們是相關聯的量嗎？
（1）王老師的體重和身高；（2）正方形的邊長和面積；（3）圓的直徑和周長。
指名口答。
3.舉例
在數學中，你還知道哪些相關聯的量？（學生交流）
二、新知學習
1.在情境中找特征
師：下面我們進一步來研究相關聯的兩個量，研究汽車行駛的路程和時間這兩個量怎樣在變化，有什么關系。
媒體出示：一輛汽車1小時行駛80千米，2小時行多少千米？3小時、4小時、5小時……各行多少千米？
生：80千米、160千米、240千米、320千米、400千米……
根據學生回答，逐步形成下表：
師：觀察上表，想一想：汽車行駛的路程與時間之間有怎樣的關系？把你的發現和同桌交流一下。
生1：時間和路程是兩個相關聯的量，汽車行駛1小時，路程是80千米；行駛2小時，路程為160千米；行駛3小時，路程為240千米……
生2：時間擴大了，路程也隨著擴大，路程隨著時間的變化而變化。
師：現在我們從后往前看，時間由6小時變為5小時、4小時、3小時……路程又是如何變化的？
生：路程由480千米變為400千米、320千米、240千米……
2.用數據分析關系
師：從上面的數據變化情況，你發現了什么樣的規律？同桌進行討論。
生：時間從小到大，路程也隨著從小到大變化；時間從大到小，路程也隨著從大到小變化。
師：這是為什么呢？它們擴大縮小的變化規律是什么？
學生獨立思考。
生：因為速度一樣。
師：是不是這樣？這個速度是誰與誰的比？
生：這個速度是路程和時間的比。
師：這個80實際是什么？變化了嗎？
生：這個80是汽車的速度，是路程和時間的比值，也是路程和時間的商，速度不變。
師：同學們總結得很好。時間和路程是兩種相關聯的量，路程是隨著時間的變化而變化的：時間擴大，路程也隨著擴大；時間縮小，路程也隨著縮小。
3.在想象中形成表象
師：請同學們閉上眼睛想象一下：如果汽車繼續向前行駛，7小時，8小時……想象一下路程在怎樣變化，請用手勢表示出來。
學生的手勢如下：
師：請你把汽車行駛的時間想象得再細一些，0.5小時、0.6小時、1.2小時、1.3小時……路程是怎樣變化的？
學生的手勢都變成了第一種。
師：請你根據自己的想象，再來說一說路程和時間在怎樣變化？
揭示：當路程和時間的比值總是一定（也就是速度一定）時，我們就說行駛的路程和時間成正比例，路程和時間是成正比例的量。今天我們就來研究“成正比例的量”。（板書課題）
4.選情境辨圖像
出示：根據圖像判斷，下面哪一幅圖能表示出汽車勻速行駛過程中行駛的時間和路程？
交流揭示：“汽車勻速行駛”的圖像是一條向上的直線，因為速度不變，所以隨著時間的增加路程也在相應增加。
三、練習鞏固（略）
后 想
反思本課之所以能取得點滴突破，主要就是圍繞學生在認識正比例關系時的認知障礙處，作了有針對性的處理。
一、活用素材，積累數學活動經驗
在我們的現實世界中，到處都存在數學現象。在本節課的課堂導入部分，從認識生活中變化的量開始，讓學生觀察常熟地區氣溫和月份之間的變化情況，感受變化的量在生活中無處不在，讓學生體驗關聯，再順水推舟地把這種生活中的關聯遷移到數學上。學生認識到本節課的研究對象是一組變化的量，研究目標是變化的量之間存在的關系。這樣，研究對象和研究目標明確，有利于學生思維方式的初步轉變。
二、數形結合，滲透函數思想方法
數學是研究數量關系和空間形式的科學。在教學素材的選擇上，注意表格、圖像和函數表達式結合使用，實現數與形的有機結合，培養學生在符號語言與圖表語言之間進行轉換的能力，有利于滲透函數思想方法。
1.著力于數據的動態形成過程
“數學基本活動經驗”作為教育目標提出，是基于動態的數學觀，把數學看成是人類的一種活動，是一種充滿情感、富于思考的體驗和探索活動。在例題中，以動態呈現的方式，在對話與思考中逐步得到數據。在此過程中，學生能感受到數量的變化和發展，感悟數量變化的規律，體會“汽車行駛的時間在變化，路程也隨著變化”。同時，通過追問，讓學生在思維沖突中思考制約這兩個量變化的重要因素——速度，并通過深入對話，讓學生深刻理解當速度不變時，汽車行駛的時間確定，行駛的路程也隨之確定。由此體會數量之間相互聯系、相互制約的關系，感悟一個量的確定能帶來另一個量的確定。
2.著力于圖像的想象和分析過程
1、使學生初步理解一次函數與正比例函數的概念。
2、使學生能夠根據實際問題中的條件，確定一次函數與正比例函數的解析式。
二、內容分析
1、初中主要是通過幾種簡單的函數的初步介紹來學習函數的，前面三小節，先學習函數的概念與表示法，這是為學習后面的幾種具體的函數作準備的，從本節開始，將依次學習一次函數(包括正比例函數)、二次函數與反比例函數的有關知識，大體上，每種函數是按函數的解析式、圖象及性質這個順序講述的，通過這些具體函數的學習，學生可以加深對函數意義、函數表示法的認識，并且，結合這些內容，學生還會逐步熟悉函數的知識及有關的數學思想方法在解決實際問題中的應用。
2、舊教材在講幾個具體的函數時，是按先講正反比例函數，后講一次、二次函數順序編排的，這是適當照顧了學生在小學數學中學了正反比例關系的知識，注意了中小學的銜接，新教材則是安排先學習一次函數，并且，把正比例函數作為一次函數的特例予以介紹，而最后才學習反比例函數，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學生由易到難的認識規津，從函數角度看，一次函數的解析式、圖象與性質都是比較簡單的，相對來說，反比例函數就要復雜一些了，特別是，反比例函數的圖象是由兩條曲線組成的，先學習反比例函數難度可能要大一些。第二，把正比例函數作為一次函數的特例介紹，既可以提高學習效益，又便于學生了解正比例函數與一次函數的關系，從而，可以更好地理解這兩種函數的概念、圖象與性質。
3、“函數及其圖象”這一章的重點是一次函數的概念、圖象和性質，一方面，在學生初次接觸函數的有關內容時，一定要結合具體函數進行學習，因此，全章的主要內容，是側重在具體函數的講述上的。另一方面，在大綱規定的幾種具體函數中，一次函數是最基本的，教科書對一次函數的討論也比較全面。通過一次函數的學習，學生可以對函數的研究方法有一個初步的認識與了解，從而能更好地把握學次函數、反比例函數的學習方法。
三、教學過程
復習提問：
1、什么是函數?
2、函數有哪幾種表示方法?
3、舉出幾個函數的例子。
新課講解：
可以選用提問時學生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數的例子。然后讓學生觀察這些例子(實際上均是一次函數的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導學生思考：
(1)這些式子表示的是什么關系?(在學生明確這些式子表示函數關系后，可指出，這是函數。)
(2)這些函數中的自變量是什么?函數是什么?(在學生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數，等號右邊是一個代數式，其中的字母x與t是自變量。)
(3)在這些函數式中，表示函數的自變量的式子，分別是關于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關整式的基本概念，表示函數的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關于自變量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(結合一元一次方程的有關知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的層層設問，最后給出一次函數的定義。
一般地，如果y=kx+b(k,b是常數，k≠0)那么，y叫做x的一次函數。
對這個定義，要注意：
(1)x是變量，k，b是常數;
(2)k≠0(當k=0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數函數，這點，不一定向學生講述。)
由一次函數出發，當常數b=0時，一次函數kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數，k≠0)我們把這樣的函數叫正比例函數。
在講述正比例函數時，首先，要注意適當復習小學學過的正比例關系，小學數學是這樣陳述的：
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。
寫成式子是(一定)
需指出，小學因為沒有學過負數，實際的例子都是k>0的例子，對于正比例函數，k也為負數。
其次，要注意引導學生找出一次函數與正比例函數之間的關系：正比例函數是特殊的一次函數。
回顧歷史，日本數學從中國得到過三次輸入，中國的數學在日本的數學教育中有著重要的地位因此，日本的數學教育在觀念、方法和內容上都有著東方文化的印記但近幾年來，日本驚人的技術成就、經濟實力及在教育方面的巨大進步，引起了越來越多人對日本數學教育的關注TIMss即第三次國際數學與科學研究通過對日本、美國和德國三國八年級數學課的比較研究，表明日本學生的數學成績是最好的，
我國的數學教學重視系統訓練，注重知識的梳理和結構的掌握，“精講多練”成為我國的普遍模式，規范統一的教學管理和學習要求，使我國學生在數學學習中表現出較強的意志力，以及勤奮努力的精神，取得的成績和效果也是值得肯定的，自2001年實施新課程改革以來，中國的數學課程也不斷人性化，生活化，整合化，不斷趨于國際數學教育的發展，但是毫無疑問，新課程在實施中也不可避免地出現了很多問題，
通過中日初中數學教科書的比較研究，可以為我國的數學課程改革，尤其是教科書編寫，提供一些啟示和建議，
2 選取比例與反比例的原由
本文選取“比例與反比例”這一單元，從微觀層面對中日初中數學教科書進行比較，
函數是數與代數的延伸，也是數與代數的重要組成部分，同時函數也可看作是刻畫變量之間依賴關系的模型，是數學聯系實際的基礎，是聯結兩類對象的橋梁，是數形結合的載體之一，此外，從現在的高中、大學教科書可以看出，函數是貫穿整個高中、大學數學課程的主線，德國數學家克萊因曾說過：“函數概念，應該成為數學教育的靈魂，以函數概念為中心，將全部數學教材集中在它周圍，進行充分地綜合，”強調了函數概念的重要性，比例與反比例是函數的入門，也是學生數學學習中第一次接觸到變量、常量的概念，是否能學好比例與反比例對以后的數學學習至關重要，另外，從中國數學教科書演變史中可以了解到，中國在建國前后的一段時間內，比例與反比例(一次函數與反比例函數)是初三的內容，而現在卻將其放在了初二的內容里，而日本初中教科書這部分內容以前是高中的內容，而現在也將其放到了初中，不難看出比例與反比例已經在初中數學中占據越來越重要的作用，因此，我們選取這部分內容來進行比較研究，
3 內容比較
中國教科書選用人教版的初中數學教科書《數學》，日本教科書選用澤田列夫領銜主編、教育出版株式會社出版的《中學數學》，
3.1編排的比較
《中學數學》：共一章，三小節，分別為比例、反比例、比例與反比例的應用，其中比例又分為比例的式、坐標、比例的圖像；反比例又分為反比例、反比例的圖像，
《數學》將比例與反比例放在不同的章節，正比例放在八年級上冊第十四章第二節，反比例函數放在八年級下冊第十七章，反比例分為反比例函數(包括反比例函數的意義、反比例函數的圖像與性質)和實際問題與反比例函數，
《中學數學》將坐標也放在了比例這一小節中，而《數學》在七年級上冊用一章來介紹了平面直角坐標系，
《數學》的內容量明顯大于《中學數學》，相同內容的難度與深入程度也比《中學數學》大得多，比如，《中學數學》在介紹坐標時，只用了一小節，簡單地介紹了橫縱坐標，而《數學》則很詳細地介紹了平面直角坐標系以及坐標的應用，在介紹正比例函數時，《數學》將正比例放在了一次函數這一章中，作為特殊的一次函數，而《中學數學》只是簡單地介紹了正比例函數，并沒有介紹一次函數，難度與《數學》比小很多，另外，相同的內容《中學數學》比《數學》有明顯的滯后性。
不可否認，內容豐富、知識講解詳盡，對拓寬學生的視野、激發學生的學習興趣、增強學生求知欲以及豐富學生的數學情感都是十分必要的，這也說明了單一的編排方式已經不適應現代教育的發展，內容的深入可以讓不同的學生在數學上有不同的發展，但是知識是無窮的，不可能全部都在教科書上講到，教科書只是知識的出發點，而不是終結目標，學生的學習并不在于所學內容的多少，而在于掌握最基礎的知識和數學的思想方法，這會使學生更加受益，《中學數學》雖然內容量少，但是介紹很到位，重點突出，基礎性強，將正反比例放在同一章中介紹，學生可進行對比學習和記憶，沒有對其作深入的介紹，為學生提供了廣闊的思考、探索空間，
3.2導人的比較
《中學數學》比例的導人如下：
畫出放水的時間和水面高度的的關系圖，并研究兩者的數量關系，
《數學》正比例函數的導人如下：
1996年，鳥類研究者在芬蘭給一支燕鷗套上標志環；大約128天后，人們在25600萬千米外的澳大利亞發現了它，
(1)這只百余克重的小鳥大約平均每天飛行多少千米?
(2)這只燕鷗行程y與飛行時間x有什么關系?
(3)這只燕鷗飛行一個半月(一個月按30天算)的行程大約是多少?
《中學數學》反比例的導人如下：
把下圖的點A作為頂點，畫出各種面積為12厘米的長方形
思考：橫的變長，則豎的長度將如何變化?
《數學》反比例函數導人如下：
思考：
下列問題中，變量間的對應關系可用怎樣的函數關系時表示?這些函數有什么共同特點?
(1)京滬線鐵路全程1463km，某次列車的平均速度口隨此次列車全程運行時間t的變化而變化；
(2)某住宅小區要種植一面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長隨寬的變化而變化；
(3)已知北京市的總面積為1.68×104平方千米，人均占有的土地面積S隨全市總人口n的變化而變化，
從中日兩種教科書正比例的導人可以看出日本教科書引入的問題更加貼近實際生活，而且用圖來代替文字敘述，更加直觀、形象，使課堂不那么枯燥，有助于學生對題目的理解，更容易引導學生發現規律，《數學》引入的問題，很明顯就沒有《中學數學》吸引人眼球的效果，雖然也結合了實際，但就是給人以距離感，沒有圖形的直觀感受，也沒有具體數量的比較，難以發現規律性，而且這個例子也不是完全的正比例函數，書中也提到是近似的，但可以作為反映行程與時間的一個模型，另外，《數學》在引入問題后，沒有進行適當的引導式分析，就直接給出問題的解，忽視了學生自己思考的過程，而《中學數學》并沒有接著問題就給出了解答，而是在后面的新課內容中一步一步來解決，留給了學生自己探索發現的空間和時間，
對于反比例的導人，《中學數學》用等面積的長方形來引入，結合圖形，給學生自己動手動腦的機會，通過找到合適的點，在圖像上描繪出來，就是反比例的圖像，進而引入反比例，用一個簡單的實際問題，引入要點，通過指導學生進行自主性的學習研究，而不是灌輸式的教學，
而《數學》以思考的形式給出三個實際問題，讓學生自己思考其特點和變量之間的對應關系，并發
現共同點，這種形式的導人多數情況下會在上課時被忽略掉，老師就直接給出幾個反比例的式子，然后給出概念，完全沒有起到導人應有的作用，只是流于形式罷了，學生只有被動的接受，沒有主動地思考發現，
3.3概念與性質的比較
《中學數學》中的相關概念如下：
變數％與y的關系可用y=ax(a為定數)表示時，y與x成比例，此時，a為比例定數，
變數z與y的關系，可用y=u來表示時，y與z成反比例，此時，a稱為比例定數，
反比例關系y=a/x的圖形，稱為雙曲線
《數學》中的相關概念如下：
形如y=kx的函數(k為常數，k不等于0)，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數，
一般的，形如y=k/x(k為常數，K不等于0)的函數稱為反比例函數，
《中學數學》著重指出z與y是變量，特別定義了rz為比例定數，但沒有給出a的取值條件，《數學》沒定義k，但是說明了k為常數，且不為0，《中學數學》指明了反比例的圖形稱為雙曲線，為日后學習雙曲線埋下伏筆，但是這樣引進雙曲線很容易使學生誤認為雙曲線就是反比例函數的圖像，
《中學數學》中比例的性質：
y=ax的圖和值得變化
《數學》中正比例函數的性質：
一般的，正比例函數y=kx(k為常數，k不等于0)的圖像是一條經過原點的直線，我們稱它為直線y=kx，當k>0時，直線經過第三、一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當k
《中學數學》用表格的形式給出a>0和a
3.4實際應用的比較
《中學數學》比例選用了折紙的紙張數與重量關系這個例子，給出了兩個思考方法：一個是表格法，一個是圖像法，反比例選用了天平平衡原理來求解離支點的距離和秤砣重量的關系，
《數學》正比例沒提到實際應用，反比例用了三個實際例子，第一個是定體積求底面積與高的關系，第二個是卸貨總量定求卸貨時間和卸貨速度的關系，第三個和中學數學類似的杠桿原理的應用，這些例子都是生活中常會用到的，比如我們求一些輕小物的重量，就會用到中學數學第一個例子的模型，將大量的輕小物累計在一起稱出重量，然后求出單個的重量，第二個例子在實際生活中的原型就是桿秤，桿秤的原理就是根據這個例子來的，因此學生可以根據這個例子探索出桿秤的制作原理，總之這些例子都很好地將數學和實際生活聯合在一起，能鍛煉學生的思維能力，
3.5其它
《數學》章首都會介紹本章要學的知識背景以及要點和所要達到的目標，有“知識導向”作用，以便后面的內容圍繞這一目標展開，
《數學》在章節后設置了信息技術應用，例如：在反比例這節后介紹了用計算機制圖軟件畫準確的圖像，這是新版教科書反應數學與現代教育技術相結合的體現，也是數學與時俱進的體現，用先進的計算機技術來形象生動地描繪數學問題，用計算機來呈現以往教學中很難呈現的課程內容，這對于學生的數學興趣的提高和一些較抽象數學的理解都會有很大的幫助，
《中學數學》在每一章最后都有一個學結，與《數學》不同，《數學》只是大致的將一章的要點講一下，或者是用結構圖來表示一下個小節的聯系，而《中學數學》的學結是提綱性的，將這一章所有的概念、定義、性質等重新回顧一遍，而且還會設置一些空格由學生自己填進去，這樣可以起到鞏固已學知識的效果，還有利于以后的復習，
“挑戰角”也是《中學數學》的一個內容，是對新學知識的深入，考查學生對知識的綜合運用能力、數形結合能力等，也可以給成績好的學生一個展示自己并提高自己能力的機會，
4 對我國數學教科書編寫的啟示
4.1加強探究式學習，重視啟發學生
《中學數學》反比例的導人是畫出各種面積為12厘米的長方形，先從很簡單的數學知識人手，啟發學生自己思考，并自己動手畫圖，學生在教科書的指引下，通過自己的思考、探索得出新的知識，這是一種探究式的學習，教科書引導學生自己一步一步找到問題的答案，而不再是問題后直接給出問題的解答，而《數學》就缺少了這種引導學生自己探索和思考的過程，比如在反比例導人時，給出了三個問題，卻沒有設計一些必要的啟發學生的問題式引導，問題的答案也就直接給出，完全沒有讓學生進行自己的探索和發現，《中學數學》中的“挑戰角”是對已學知識的深入應用，學生要將已有知識與新知識和實際有效結合，才能解出，這也是對學生探究能力的考驗，這并不是說《數學》中完全沒有探究式學習，只是教科書還不夠完善，
4.2注重數學實驗，加強動手、操作能力
數學教學既要充分體現教學的抽象化一面，又要重視數學創造過程中的具體化一面，而數學實驗則是針對數學具體化一面而產生的數學教學模式，雖然現在我國的教科書已經開始有這方面的嘗試，但是并不多，在教學中能夠充分體現的更是少，從《數學》與《中學數學》的比較可以看出，日本在創造性、動手能力方面對學生的訓練較多，這也體現了日本新數學學習指導要領對數學教學內容所特別強調的要豐富學生的教學活動，要學生通過觀察、實驗、操作等具體活動抽象概括出數學知識，發現新結論，使學生體會到數學學習的快樂，而我國注重的還是對抽象知識的理解，以及通過練習來強化所學的知識，對學生動腦要求較高也較多，動手、操作能力的要求相對低得多，
4.3注重問題的解決，而不是結果
在正反比例導人的比較上可以看出，《數學》中例子的引入似乎只是為了引出其概念，要的只是問題的結果，對結果是如何得出的似乎不是很重視，而《中學數學》同樣使用例子來引導，卻極其地重視問題應該如何解決，總是在問題的恰當創設下引導學生解決問題，發現規律，《中學數學》的習題數量較少，但是題目具有靈活性、多樣性和趣味性，題目的范圍也較廣，有反應日常生活的、有具挑戰性的、有綜合運用的，也有與其他學科聯系的等等，從這些例題都可以看出日本對問題解決的重視，
一、基本情況
總人數
男生
女生
45
28
17
二、學習情況
大部分學生對數學比較感興趣（如毛子淵、周洋帆等），接受能力較強，學習態度較端正；也有部分學生自覺性不夠（如陳清、張泉奇等），不能及時完成作業等，對于學習數學有一定困難。所以在新的學期里，在端正學生學習態度的同時，應加強培養他們的各種學習數學的能力，以提高成績。
以前對知識掌握較好部分是：
1、學生的基礎的知識、概念、定義掌握比較牢固。
2、學生的口算、筆算驗算及脫式計算較好。
3、學生解答文字題和應用題的思路和步驟清楚。
4、學生能很好的解答幾何畫圖形方面的題目。
5、學生書寫較工整美觀。
不足之處：
1、學生粗心大意忘寫答案。
2、運用知識不夠靈活，表現在已掌握的知識，做題目時不能靈活地運用。
教材分析
這冊教材包括下面地些內容：百分數的應用、圓柱和圓錐、比例、確定位置、正反比例、解決問題的策略、統計以及小學六年來所學數學內容的總復習。本冊教材的這些內容是在前幾冊的基礎上按照完成小學數學的全部教學任務安排的，著重使學生認識一些常見的立體圖形，掌握它們的體積等計算方法，進一步發展空間觀念；進一步形成統計的觀念，掌握用扇形統計圖表示數據整理結果的方法，提高依據統計數據的分析、預測、判斷能力；理解比例、正比例、反比例的概念，加深認識一些常見的數量關系，會用比例知識解答比較容易的應用題。然后把小學數學的主要內容加以系統的整理和復習，鞏固所學的數學知識，使學生能夠綜合運用所學的數學知識解決比較簡單的實際問題；結合新的教學內容與系統的整理和復習，進一步發展思維能力，培養思維品質，進行思想品德教育。 本冊教材中的圓柱和圓錐、比例都是小學數學的重要內容。首先，認識圓柱和圓錐的特征，掌握圓柱和圓錐的一些計算，既可以為進一步學習其他形體的表面積和體積及其計算打好基礎，進一步發展空間觀念，也可以增強解決問題的策略和方法，逐步增強學生收集、處理信息的意識和能力。最后學習好比例的知識，不僅可以增強學生用數學方法處理數學問題的能力，而且也使學生獲得初步的函數觀念，為進一步學習相關知識作初步的準備。因此，讓學生認識這些內容的概念，學會應用這些概念、方法和計算解決一些實際問題，是教學的重點。
教學目標
1、使學生應用百分數解決實際問題。理解稅率、利率、折扣的含義。
2、使學生在經歷觀察、操作等活動的過程中認識圓柱和圓錐的特征，能正確地判斷圓柱和圓錐，理解、掌握圓柱的表面積、圓柱和圓錐體積的計算方法，會正確地進行計算。
3、使學生結合實例認識扇形統計圖，理解眾數和平均數。
4、初步掌握用方向和距離確定物置的方法。
5、使學生在解決實際問題的的過程中，學會用轉化的策略尋求解決問題的思路，并能根據具體的問題確定合理的解題方法，從而有效地觶決問題。
6、使學生理解比例的意義和基本性質，會解比例；認識比例尺，會看比例尺，會進行比例尺的有關計算；理解正比例和反比例的意義，能夠判斷兩種量是否成正比例或反比例，理解用比例關系解應用題的方法，學會用比例知識解答比較容易的應用題。
7、使學生通過系統的復習，鞏固和加深理解小學階段所學的數學知識，更好地培養比較合理的、靈活的計算能力，發展思維能力和空間觀念，并提高綜合運用所學數學知識解決簡單的實際問題的能力。 本冊中在關各項的具體要求，初步擬訂如下表：
要求 內容單元教學結束期末平均正確率速度平均正確率速度數學概念75%—80%以上—整數、小數、分數四則口算（包括能用簡便算法的）——95%以上絕大多數達到每分鐘做4題整數、小數、分數四則口算（包括解簡易方程）——80%以上—度量、畫圖75%—80%以上—綜合運用知識解答問題70%以上（列算式或方程正確）—75%以上（列算式或方程正確）—
教學措施
為了提高學生的能力，提高課堂教學效率，擬采用以下教學措施：
1、加強計算能力的培養，口算做到算得對算得快，筆算做到計算仔細，養成自覺驗算的好習慣。
2、把教學應用題做為本冊的一個教學重點來抓，特別是圓柱、圓錐和比、比例方面的應用題，著重教學生理解題意，通過題目會自己分析數量關系，列出算式。
3、重視學生數學的基礎知識和基本技能的培養，養成良好的學習習慣，并注意培養學生的創新能力。
4、抓好針對優等生的“奧數”教學，提高解“奧數”難題的能力。對于潛能生，我將加大個別輔導時間，讓他們也能進步。
5、引導學生動手操作，動手畫圖，發展學生動手能力。
6、引導學生在課外進行實際調查研究，培養學生運用知識的力。
7、加強與學生家長的正常聯系，及時了解學生在學習上存問題。
8、利用現代多媒體手段進行教學，提高教學效率。
9、針對本冊內容努力鉆研教材，認真學習教學大綱，加強自身學習，堅持不懈的探索有利于學生發展的教學方法，努力提高教學質量。
教學進度
周次
起訖日期
教學內容
教前準備
備注
2月21日—2月22日
第十一冊教學內容及寒假作業
一、百分數
習題卡
2月25日—2月29日
一、百分數
教學掛圖
3月3日—3月7日
二、圓柱和圓錐
1、圓柱
口算卡
3月10日—3月14日
2、圓錐
教學掛圖
3月17日—3月21日
三、比例
習題卡
3月24日—3月28日
三、比例
四、確定位置
3月31日—4月4日
四、確定位置
五、正比例和反比例
教學掛圖
4月7日—4月11日
五、正比例和反比例
六、解決問題的策略
習題卡
4月23日—4月27日
七、統計
試卷
4月14日—4月18日
期中復習
期中考試
4月21日—4月25日
五、總復習
一、數與代數
1、數和小數
教學掛圖
4月28日—5月2日
2、簡易方程
教學掛圖
5月5日—5月9日
3、分數和百分數
教學掛圖
5月12日—5月16日
4、量的計量
5、比和比例
習題卡
5月19日—5月23日
二、空間與圖形
圓規
5月26日—5月30日
二、空間與圖形
習題卡
6月2日—6月6日
三、統計與可能性
教學掛圖
6月9日—6月13日
模擬檢測
復習試卷
6月16日—6月20日
模擬檢測
復習試卷
【關鍵詞】數學；“比例”；教學方法
比例在日常生活和生產建設中有著廣泛的應用 ，也是小學高年級教學的重要內容之一。許多概念既有聯系，又有區別學生學習起來存在著一定困難。因此，在教學中，教師要很好地理解教學內容，依據新舊知識之間的聯系，緊抓關鍵點，注意引導學生通過觀察、比較、判斷、歸納等方法建立明晰的概念；注意聯系實際，由實際問題引入概念學習，從而激發學生學習的積極性，增強學生學習的目的性和實踐性，探索性。這樣既能降低學生學習難度，又能提高學生解決簡單實際問題的能力，也有利于學生的思維能力的發展。
一、注意溝通新舊知識之間的聯系，要讓學生學會認識和理解“比”
教師可利用學生熟悉的表格（列式），引導學生搞清比和除法、分數之間的關系。
（1）比的意義 如，兩個同類量的比表示倍數關系，求長是寬的幾倍，可以寫成“長÷寬”，也可以說成“長和寬的比”。不同類的比產生了一種新的量，工作總量÷時間=工作效率，工作效率也可以說成是“工作總量和所用時間的比”。借助于除法引導學生認識和理解“兩個數相除又叫做兩個數的比”的含義。
（2）比的后項不能是零。
（3）比的基本性質 引導學生根據除法的商不變性質和分數基本性質，緊扣比和除法、分數之間的關系，類推出比的性質。
（4）比的前項、后項和比值 引導學生真正明白：它們只是分別“相當于”分數除法中的被除數、除數和商或分別“相當于”分數中的分子、分母和分數值。這種比喻是從三者之間的關系來說的，它們的意義是不一樣的。即“比”是指兩個數相除，表示兩個數的關系；除法是一種運算；分數是一個數。
二、通過實例進行分析、對比，幫助學生弄清楚下列概念之間的聯系和區別
（1）比和比值 a、b兩數的“比”，只能寫成a：b或a/b（b≠0，真分數或假分數）兩種形式：而a、b兩數的“比值”，就是一個“數”（a與b的商），可以用整數、分數或小數來表示。
（2）求比值和化簡比 教學時教師要從求比值和化簡比的不同要求來說明它們的區別：求比值是求商，它是一個數；化簡比是為了得到一個最簡的整數比，只能是化（或真假分數）的形式，決不能寫成整數、小數或帶分數。
（2）把前項除以后項所得的值再改寫成最簡化。
（3）比和比例 比和比例是表示事物數量關系的又一種形式。教師稍作引導，學生就很容易辨別清楚。列表如下：
（4）正比例和反比例 在學生初步學會判斷兩種量是否成正（反）比例以后，要引導學生總結兩種量成正（反）比例的異同點。列表如下：
三、準確理解并運用概念，緊緊依據給出的數據，數量關系式判斷是否成比例或何比例
努力做到一看，就是看數量關系中有哪兩種相關聯的量；二找，就是從兩種相關聯的量的關系式中找出定量，找一找，是它們的商一定，還是它們的積一定，或者是它們的積，商都不一定；三判，就是判斷兩種相關的量或不成比例，成什么比例。如果是商一定，就成正比例，如果是積一定，就成反比例；如果積，商都不一定，就不成比例。如，正方形的周長與邊長不成什么比例？我們可以這樣分析：
（1）正方形中，周長和邊長是兩種相關聯的量；
（2）周長隨著邊長的變化而變化，=4（一定）。所以正方形的周長和邊長是成正比例的。
四、正反比例的應用
（1）用同樣的磚鋪地，鋪18平方米要用磚618塊。如果24平方米，要用磚多少塊？
教學目標：
1?郾能運用正比例意義解決簡單的實際問題，掌握解決問題的方法和步驟。
2?郾經歷分析、判斷、推理的過程，培養提出問題、分析問題和解決問題的能力。
3?郾激發學習情感，感受數學與生活的密切聯系，培養探索精神和應用意識。
教學難點：正確分析應用問題中的比例關系，列出方程。
教學過程：
一、復習舊知，做好鋪墊
判斷下面兩種量成什么比例關系。
1?郾速度一定，路程和時間。
2?郾我們班學生做操，每行站的人數和站的行數。
3?郾單價一定，總價與數量。
（設計意圖：通過復習正、反比例的意義，為學習用正比例意義解決實際問題做好鋪墊。）
二、創設情境，導入新課
師：同學們知道校園里最高的樹是哪一棵嗎？老師、同學很想知道這棵樹的高度大約有多少米，你想用什么辦法來測量呢？
（學生各自說一說自己的想法。）
師：其實，有一種既科學又方便的測量方法，但需要同學們掌握好這節課的知識才能正確地測量出這棵樹的高度，今天我們就一起來研究用比例解決問題。（板書課題：用比例解決問題）
（設計意圖：學校里最高的樹有多少米？如何正確地測量出這棵樹的高度，只有掌握更科學、方便的測量方法才能做到，從而激起學生的探究欲望，導入新課也就水到渠成了。）
三、合作學習，探究新知
（一）巧用例題，用整數方法解。
1?郾出示例5情境圖，讓學生說說圖意。
（1）呈現信息：上個月，張大媽家用了8噸水，水費是12?郾8元；李奶奶家用了10噸水。
（2）讓學生提出數學問題。（李奶奶家上個月的水費是多少錢？）
2?郾引導用整數方法解答。
師：你能用學過的方法解答嗎？請大家獨立完成，并交流解答方法。
（二）探究比例解法，感知策略。
1?郾梳理兩種相關聯的量。
師：這樣的問題還可以用比例的知識來解答。用比例解決問題，必須知道題中有哪兩種相關聯的量。請說一說題中有哪兩種相關聯的量。（板書：水費、用水噸數。）
2?郾探究用比例解題的方法。
學生完成“用比例解決問題”學習記錄卡。
（1）題中有哪兩種相關聯的量，它們對應的數據分別是多少？請填寫下表（未知的量用“x”表示）。
（2）分析判斷。
因為水費∶用水噸數=（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）比例。也就是說，兩家的（ ）和（ ）的比值相等。
（3）用比例解答。
教師提出小組合作學習的要求：①組長組織，要求每個組員都要發表意見。②記錄員負責做學習記錄。③如果對分析、判斷和解答有不同想法，可以補充。
（三）展示成果，形成策略。
1?郾小組匯報、展示。
因為每噸水的價錢一定，所以水費和用水的噸數成正比例。
解：設李奶奶家上個月的水費是x元，列出正比例是：
■=■
8x=12?郾8×10
x=16答（略）
2?郾生生互動、師生互動。讓其他同學結合小組的匯報提出自己的疑問或補充意見。（有學生列成■=■也是可以的，但要讓學生說出它的比值的意義。）
3?郾完善課題。（加上一個“正”字，使課題變為“用正比例解決問題”）
（四）檢驗反思，提煉策略。
引導學生檢驗，并總結用比例解決問題的步驟（策略）：一梳理（梳理相關聯的兩種量）；二判斷（判斷相關聯的兩種量成什么比例）；三列式（設未知數x，根據判斷列出比例式）；四解比例；五檢驗（把求出的數代入原等式，看等式是否成立）。
（五）運用策略，嘗試體驗。
1?郾出示小精靈提出的問題：王大爺上個月的水費是19?郾2元，他們家上個月用了多少噸水？
2?郾讓學生獨立用比例解答，指名學生板演，然后全班交流。
（六）質疑互動，比較建構。
1?郾讓學生閱讀第59頁學習內容后提出問題。
2?郾組織學生討論：“用算術方法”和“用比例方法”解題有什么聯系和區別？
（設計意圖：讓學生先用學過的方法解決問題，有助于促進知識遷移，掌握應用問題的結構特征。設計“學習記錄卡”的三點要求既突出了學習的重點，又把用比例解決問題的探究過程清晰地呈現出來，有利于學生建構用比例解決問題的策略。通過“展示成果”、“匯報補充”等環節，了解可以用不同的比例式解決問題，引導學生多角度、多層面地思考問題，在比例知識“不變”的“模型”結構中追求“變”，探究解決問題的多種策略，發展思維能力。引導學生“檢驗反思”，有利于培養學生良好的學習習慣，同時提高解決問題的正確率。引導學生歸納解題的步驟（策略），運用策略再次解決問題，有助于提高學生解決問題的能力。通過比較“算術方法”和“比例方法”解題的聯系和區別，幫助學生建立良好的認知結構。）
四、練習鞏固，發展提高
（一）基礎性練習。
1?郾按要求填空。
小明買4枝圓珠筆用了6元。小剛想買3枝同樣的圓珠筆，要用多少錢？
（1）題中的（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）比例。也就是說兩人的（ ）和（ ）的比值相等。
（2）設要用x元。列比例式是（ ）。
2?郾用比例解答下面各題。
（1）甲乙兩地之間的公路長350千米，一輛汽車從甲地開往乙地，2小時行駛了140千米。照這樣的速度，這輛汽車從甲地開往乙地一共需要行駛多少小時？
（2）小蘭的身高1?郾5m，她的影子長2?郾4m。如果同一時間、同一地點測到一棵樹的影子長4m，這棵樹有多高？
（二）提高性練習。
王師傅4小時加工200個零件，照這樣計算，_________？（先補充條件和問題，再用比例解答。）
（三）開放性練習
一根繩子長126米，剪下9米共做了5根跳繩。剩下的繩子還可以做多少根這樣的跳繩？（用不同方法解答。）
（設計意圖：練習設計形式多樣，避免了練習的單一性。練習內容體現了梯度、廣度和深度，有利于發展學生思維，形成解決問題的策略。這樣既鞏固了所學知識，又提高了學生運用所學知識解決問題的能力。）
五、反思評價，課外延伸
1?郾說一說本節課的學習收獲，評價自己小組合作學習的表現。
2?郾前后呼應：今天學習了用比例解決問題后，你打算怎樣測量校園那棵最高的樹的高度？
3?郾實踐作業：以小組為學習單位，測量樹的高度，要有詳細記錄和計算過程。
（設計意圖：反思評價既可以讓學生自主交流學習心得，又能首尾呼應，讓學生帶著“課雖盡，趣猶存，思再學”的欲望去完成課后作業。）
