時間：2023-06-02 09:21:42
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇單項式乘以單項式，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
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2021年初一下冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)北師大版【一】
多項式除以單項式
一、單項式
1、都是數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項式。
2、單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。
3、單項式中所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù)。
4、單獨(dú)一個數(shù)或一個字母也是單項式。
5、只含有字母因式的單項式的系數(shù)是1或―1。
6、單獨(dú)的一個數(shù)字是單項式，它的系數(shù)是它本身。
7、單獨(dú)的一個非零常數(shù)的次數(shù)是0。
8、單項式中只能含有乘法或乘方運(yùn)算，而不能含有加、減等其他運(yùn)算。
9、單項式的系數(shù)包括它前面的符號。
10、單項式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，應(yīng)化成假分?jǐn)?shù)。
11、單項式的系數(shù)是1或―___時，通常省略數(shù)字“___”。
12、單項式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項式的系數(shù)無關(guān)。
二、多項式
1、幾個單項式的和叫做多項式。
2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。
3、多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。
4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。
5、多項式的每一項都包括項前面的符號。
6、多項式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。
7、多項式中次數(shù)的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。
三、整式
1、單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。
2、單項式或多項式都是整式。
3、整式不一定是單項式。
4、整式不一定是多項式。
5、分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。
四、整式的加減
1、整式加減的理論根據(jù)是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配率。
2、幾個整式相加減，關(guān)鍵是正確地運(yùn)用去括號法則，然后準(zhǔn)確合并同類項。
3、幾個整式相加減的一般步驟：
（1）列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。
（2）按去括號法則去括號。
（3）合并同類項。
4、代數(shù)式求值的一般步驟：
（1）代數(shù)式化簡。
（2）代入計算
（3）對于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進(jìn)行計算。
五、同底數(shù)冪的乘法
1、n個相同因式（或因數(shù)）a相乘，記作an，讀作a的n次方（冪），其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，an的結(jié)果叫做冪。
2、底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪。
3、同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：am﹒an=am+n。
4、此法則也可以逆用，即：am+n=am﹒an。
5、開始底數(shù)不相同的冪的乘法，如果可以化成底數(shù)相同的冪的乘法，先化成同底數(shù)冪再運(yùn)用法則。
六、冪的乘方
1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。（am）n表示n個am相乘。
2、冪的乘方運(yùn)算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n=amn。
3、此法則也可以逆用，即：amn=（am）n=（an）m。
七、積的乘方
1、積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。
2、積的乘方運(yùn)算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=anbn。
3、此法則也可以逆用，即：anbn=（ab）n。
八、三種“冪的運(yùn)算法則”異同點(diǎn)
1、共同點(diǎn)：
（1）法則中的底數(shù)不變，只對指數(shù)做運(yùn)算。
（2）法則中的底數(shù)（不為零）和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式（單項式或多項式）。
（3）對于含有___個或___個以上的運(yùn)算，法則仍然成立。
2、不同點(diǎn)：
（1）同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加。
（2）冪的乘方是指數(shù)相乘。
（3）積的乘方是每個因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。
九、同底數(shù)冪的除法
1、同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法則也可以逆用，即：am-n=am÷an（a≠0）。
十、零指數(shù)冪
1、零指數(shù)冪的意義：任何不等于0的數(shù)的___次冪都等于1，即：a0=1（a≠0）。
十一、負(fù)指數(shù)冪
1、任何不等于零的數(shù)的―p次冪，等于這個數(shù)的p次冪的倒數(shù)，即：
注：在同底數(shù)冪的除法、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪中底數(shù)不為0。
十二、整式的乘法
（一）單項式與單項式相乘
1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。
2、系數(shù)相乘時，注意符號。
3、相同字母的冪相乘時，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積里，作為積的因式。
6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。
（二）單項式與多項式相乘
1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、運(yùn)算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。
3、積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。
4、混合運(yùn)算中，注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結(jié)果。
（三）多項式與多項式相乘
1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一定的順序進(jìn)行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數(shù)等于兩個多項式項數(shù)的積。
3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應(yīng)用“同號得正，異號得負(fù)”。
4、運(yùn)算結(jié)果中有同類項的要合并同類項。
5、對于含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘時，可以運(yùn)用下面的公式簡化運(yùn)算：(__+a)(__+b)=__2+(a+b)__+ab。
十三、平方差公式
1、（a+b）(a-b)=a___-b2，即：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。
2、平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。
3、平方差公式可以逆用，即：a___-b2=（a+b）(a-b)。
4、平方差公式還能簡化兩數(shù)之積的運(yùn)算，解這類題，首先看兩個數(shù)能否轉(zhuǎn)化成
（a+b）(a-b)的形式，然后看a2與b2是否容易計算。
二項式中所有項系數(shù)之和是根據(jù)題目定的，如（2+X）乘以2的n次方所有項系數(shù)之和是每一項的二項系數(shù)乘以2的n次方的和，運(yùn)用逐項求積法可以求得。
系數(shù)（coefficient），是指代數(shù)式的單項式中的數(shù)字因數(shù)。單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做它的次數(shù)。通常系數(shù)不為0，應(yīng)為有理數(shù)。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教材特點(diǎn)運(yùn)用類比的方法，既可以提高課堂教學(xué)的效果，又有助于培養(yǎng)學(xué)生類比的能力。
一、分式與分?jǐn)?shù)的類比
首先，要用與分?jǐn)?shù)類比的方法導(dǎo)出分式概念、分式基本性質(zhì)與分式的四則運(yùn)算法則。一個分?jǐn)?shù)由分子、分母和分?jǐn)?shù)線構(gòu)成，分子、分母都是數(shù)，但分母不能是零。為什么分母不能為零呢？因為零不能做除數(shù)，如果分子等于零，只要分母不是零，這個分?jǐn)?shù)的值就是零。再把分?jǐn)?shù)的概念引申到代數(shù)式來，發(fā)現(xiàn)分式由分子、分母與分?jǐn)?shù)線構(gòu)成，分母中含有字母，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著指出分?jǐn)?shù)與分式的區(qū)別所在：分?jǐn)?shù)與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。
其次，在講分式的基本性質(zhì)時，先通過復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來進(jìn)行推想。我們回憶如何做不同分母分?jǐn)?shù)的加法，是先將異分母化為同分母，這是根據(jù)什么呢？根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，分式是一般化了的分?jǐn)?shù)，分式應(yīng)該有 ，這里A、B、M是整式，根據(jù)分式的概念要求，由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)應(yīng)該想到。因此，分式的基本性質(zhì)是分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。此外，當(dāng)一個分?jǐn)?shù)的分子分母有公因數(shù)時，我們就可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分?jǐn)?shù)中分子分母中的公因數(shù)約去，從而成為最簡分?jǐn)?shù)。同理，由于分式也具有與分?jǐn)?shù)相似的基本性質(zhì)，所以我們也可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分式中分子分母中的公因式約去，化成最簡分式。（這個概念可由學(xué)生總結(jié)出）
第三，兩個分?jǐn)?shù)相乘時，分子乘分子，分母乘分母；兩個分式相乘時，也應(yīng)該分子乘分子，分母乘分母，除去一個分?jǐn)?shù)等于乘以這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。同理，除以一個分式時，也應(yīng)乘以這個分式的倒數(shù)。兩個同分母分?jǐn)?shù)相加減時，分母不變，分子相加減；同分母分式相加減時，分母不變，分子相加減。異分母分?jǐn)?shù)相加減時，要先進(jìn)行通分，化成同分母分?jǐn)?shù)后再加減；異分母分式相加減時，也要先進(jìn)行通分，化成同分母分式，然后再加減。分?jǐn)?shù)通分時，要先找各分母的最小公倍數(shù)，分式通分時，也要先找分母的最簡公分母。在解整式方程式時（特別是含有分母時），一般要先經(jīng)過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1的過程，那么在解分式方程式，也要用以上方法去解。
二、實(shí)數(shù)和代數(shù)式的類比
首先是分類的類比，實(shí)數(shù)分成有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)分成正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)；代數(shù)式分成有理式和無理式，有理式分成整式和分式，整式分成單項式和多項式。其次是實(shí)數(shù)與整式在各自的運(yùn)算律以及添括號、去括號法則等都是可以類比的，特別是在有理數(shù)乘法分配律中。當(dāng)a(b+c)=ab+ac，a、b、c都換成單項式時，即可得出單項式乘以多項式的法則；當(dāng)(a+b)÷c=(a+b)/c=a/c+b/c=a÷c+b÷c，其中的a、b、c都換成單項式時，即可以得出多項式除以單項式的法則；當(dāng)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中的a、b、c、d代表單項式或多項式，即可以表示多項式乘以多項式的法則。
三、等式和不等式的類比
在講解等式和不等式時，可以根據(jù)天平的功能類比出等式和不等式的性質(zhì)。
天平的杠桿相當(dāng)于等號和不等號，天平的左盤和右盤相當(dāng)于等式和不等式的左邊和右邊。當(dāng)天平的兩邊分別增加和減少相同的質(zhì)量時，天平仍然平衡，即給等式兩邊同時加上或減去一個相同的數(shù)或代數(shù)式時，等式仍然成立。當(dāng)給天平的兩端同時擴(kuò)大或縮小相同的量時，天平兩端仍然平衡，即給等式的兩邊同時乘以或除以一個相同的數(shù)時，等式仍然成立。
當(dāng)天平傾斜時，給天平的兩端同時加上或減去一個相同的量時，天平的傾斜方向不變，即不等式具有性質(zhì)1。當(dāng)天平的兩端同時擴(kuò)大或縮小相同的數(shù)時，天平的傾斜方向仍不變，即不等式具有性質(zhì)2（對于負(fù)數(shù)另外考慮）。
四、一元一次方程和一元一次不等式的類比
首先，我們可以根據(jù)一元一次方程的概念類比推出一元一次不等式的概念，明確它們之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。其次，由于等式具有基本性質(zhì)1，所以我們解方程時可以移項。同理，由于不等式也具有與等式一樣的基本性質(zhì)1，所以在解不等式時，也可以移項。解法的一般步驟中前幾步都是一樣的，去分母、去括號、移項、合并同類項，包括最后一步的名稱都是一樣的：系數(shù)化為1 ，只不過由于等式和不等式在性質(zhì)上的一個差別：兩邊除以同一個負(fù)數(shù)時，等式不變，而不等式的符號就要改變方向，才導(dǎo)致方程和不等式在最后一步上的不同。我們在教學(xué)中牢牢抓住這個不同，對學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化，就會幫助學(xué)生正確掌握一元一次不等式的解法。同樣，在解方程組時，是求方程組中幾個方程的公共解，在解不等式組時，也是求不等式組內(nèi)幾個不等式的公共解，這也是可以進(jìn)行類比的地方。
五、相似三角形與全等三角形的類比
相似三角形與全等三角形判斷方法有聯(lián)系。在相似與全等三角形的判定中，有關(guān)角的條件都是對應(yīng)角相等，有關(guān)邊的條件，全等三角形中是對應(yīng)邊相等，而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的對應(yīng)邊相等改為對應(yīng)邊成比例，就相應(yīng)得到相似三角形的判定方法。全等三角形必須有一組對應(yīng)邊相等，而判定相似三角形時，可舍去此條件。
本節(jié)課的重點(diǎn)是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運(yùn)算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質(zhì)為基礎(chǔ)，同時又緊密地聯(lián)系著整式、分式的運(yùn)算，也可以說它是運(yùn)算問題在初中階段一次總結(jié)性，提高性綜合學(xué)習(xí);二次根式的運(yùn)算和有理化的方法與技巧，能夠進(jìn)一步開拓學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力。
本節(jié)課的難點(diǎn)是把分母中含有兩個二次根式的式子進(jìn)行分母有理化。分母有理化，實(shí)際上二次根式的除法與混合運(yùn)算的綜合運(yùn)用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據(jù)分式的基本性質(zhì)把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學(xué)者來說，這一過程容易出現(xiàn)找錯有理化因式和計算出錯的問題。
教法建議
1.在知識的引入上，可采取復(fù)習(xí)引入方式，比如復(fù)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算或整式的運(yùn)算。
2.在二次根式的加減、乘法混合運(yùn)算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項式與多項式相乘、多項式與多項式到乘法公式的應(yīng)用，逐漸從數(shù)過渡到帶有字母的式。
3.在有理化因式教學(xué)中，要多出幾組題目從不同角度要求學(xué)生辨別，并及時總結(jié)。
學(xué)生特點(diǎn)：實(shí)驗班的A層學(xué)生(數(shù)學(xué)實(shí)施分層教學(xué)),主動學(xué)習(xí)積極性高，基礎(chǔ)扎實(shí)，思維活躍,,并具有一定的獨(dú)立分析問題,探索問題,歸納概括問題的能力,有較好的思考、質(zhì)疑的習(xí)慣。
教材特點(diǎn)：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次根式的三個重要概念(最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化)和二次根式的有關(guān)運(yùn)算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法)基礎(chǔ)上，將加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算綜合在一起的混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)。
鑒于學(xué)生的特點(diǎn)及教材的特點(diǎn)，本節(jié)課主要采用“互動式”的課堂教學(xué)模式及“談話式”的教學(xué)方法，以此實(shí)現(xiàn)生生互動、師生互動、學(xué)生與教材之間的互動。具體說明如下：
(一)在師生互動方面，教師注重問題設(shè)計，注重引導(dǎo)、點(diǎn)撥及提高性總結(jié)。使學(xué)生學(xué)中有思、思中有獲。如本節(jié)課開始，出示書中例題1：
讓學(xué)生先進(jìn)行思考，解答。然后同學(xué)說出怎樣進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。
強(qiáng)調(diào)：運(yùn)算順序及運(yùn)算律和有理數(shù)相同。
(二)在學(xué)生與學(xué)生的互動上，教師注重活動設(shè)計，使學(xué)生學(xué)中有樂，樂中悟道。教師設(shè)計一組題目，讓學(xué)生以競賽的形式解答，然后以記成績的方法讓其它同學(xué)說出優(yōu)點(diǎn)(簡便方法及靈活之處)與錯誤。由于本節(jié)課主要以計算為主，對運(yùn)算法則及規(guī)律性的基礎(chǔ)知識，學(xué)生很容易掌握而且從意識上認(rèn)為本節(jié)課太簡單，不會很感興趣，所以為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及更好的抓好基礎(chǔ)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，如此這般設(shè)計。
(三)在個體與群體的互動方式上，教師注重合作設(shè)計，使學(xué)生學(xué)中有辯，辯中求同。如本節(jié)課中對重點(diǎn)問題：“分母有理化”的教學(xué)，出示一個題目，讓學(xué)生思考，找個別學(xué)生說出自己的想法，然后其它同學(xué)補(bǔ)充完成。
學(xué)生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導(dǎo)，才能達(dá)到彼此互動。正是在這一教育思想的指導(dǎo)下，追求學(xué)生的認(rèn)知活動與情感活動的協(xié)調(diào)發(fā)展，有效地喚起學(xué)生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達(dá)到師生互動，生生互動。互動式教學(xué)模式的目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學(xué)生樂學(xué)、會學(xué)、善學(xué)，從而優(yōu)化課堂教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量，在和諧、愉快的情景中實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的共振。
對二次根式混合運(yùn)算新課引入的建議
復(fù)習(xí)：
1.計算：(1);(2).
解：(1)(2)
==
=;=.
2.在整式乘法中，單項式與多項式相乘的法則是什么?多項式與多項式的乘法法則是什么?什么是完全平方式?分別用式子表示出來。
答：單項式與多項式相乘的法則是，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。用式子表示為
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多項式與多項式相乘的法則是，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每項，再把所得的積相加。用式子表示為
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是單項式。
完全平方式是
;。
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用，運(yùn)用乘法法則及乘法公式可以進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。引入新課。
對二次根式混合運(yùn)算學(xué)法的建議
在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時，也有一個與分式運(yùn)算相比較的問題，有的時候，加上團(tuán)式分解、約分等技巧，可以大大簡化計算過程，這是要靈活運(yùn)用的.因此，在本節(jié)學(xué)習(xí)時，可以適當(dāng)結(jié)合11.1節(jié)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)一下在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的問題，如
這里再順便提一下，如
這種變形不是原來意義上的因式分解，否則就無法進(jìn)行到底了.可以說是借助因式分解的方法，或具體說成提出，等等.
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次根式的混合運(yùn)算.
2.掌握乘法公式在混合運(yùn)算的應(yīng)用.
3.通過二次根式的混合運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.
4.通過例題由淺入深，層層深入，激發(fā)學(xué)生求知的欲望
二、教學(xué)設(shè)計
小結(jié)、歸納、提高
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算.
2.教學(xué)難點(diǎn)：混合運(yùn)算的應(yīng)用.
四、課時安排
1課時
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設(shè)計
1.復(fù)習(xí)，運(yùn)算律及乘法分式，引導(dǎo)學(xué)生口答，并強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算律在根式運(yùn)算中的適用，引入例題.
2.通過例題由淺入深，層層深入，既提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣又激發(fā)學(xué)生求知的欲望;從例題的講解中幫助尋找解題的方法，規(guī)律及注意點(diǎn).
3.通過大量的練習(xí)，以期形成自己所掌握的知識.
七、教學(xué)步驟
(-)明確目標(biāo)
前面學(xué)過二次根式的加減法的簡單運(yùn)算，但二次根式未必全是加減混合運(yùn)算，它同樣會出現(xiàn)二次根式的加、減、乘、除方等混合運(yùn)算那么二次根式的混合運(yùn)算的法則是什么?又將怎樣運(yùn)用它進(jìn)行化簡計算，這就是本節(jié)課所要研究的問題—二次根式的混合運(yùn)算.
(二)整體感知
二次根式的混合運(yùn)算中，應(yīng)注意運(yùn)算的次序.這是進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的前提條件;通過適當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)乘法分式，分母有理化知識，然后再進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算的教學(xué)工作，將有助于更好地學(xué)習(xí)它;同樣為了更好地理解二次根式的混合運(yùn)算還可以將它與數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算方法進(jìn)行對比，以幫助學(xué)生更好地理解并準(zhǔn)確地掌握好該知識，達(dá)到事半功倍的作用.
第一課時
(-)教學(xué)過程
【復(fù)習(xí)】
運(yùn)算律在二次根式混合運(yùn)算中仍適用.
各種整式乘法的法則.
乘法公式：.
.
提問：加法的交換律、結(jié)合律各是怎樣的?乘法的交換律、結(jié)合律、分配津各是什么?
強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算律在根式運(yùn)算中仍適用后，可引入例題.
【例題】
例1計算：
(1);
(2).
解：略.
注：①加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于學(xué)生理解和掌握.②在運(yùn)算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，而是先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡.例如，沒有對先進(jìn)行化
重難點(diǎn)分析
本節(jié)課的重點(diǎn)是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運(yùn)算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質(zhì)為基礎(chǔ)，同時又緊密地聯(lián)系著整式、分式的運(yùn)算，也可以說它是運(yùn)算問題在初中階段一次總結(jié)性，提高性綜合學(xué)習(xí);二次根式的運(yùn)算和有理化的方法與技巧，能夠進(jìn)一步開拓學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力。
本節(jié)課的難點(diǎn)是把分母中含有兩個二次根式的式子進(jìn)行分母有理化。分母有理化，實(shí)際上二次根式的除法與混合運(yùn)算的綜合運(yùn)用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據(jù)分式的基本性質(zhì)把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學(xué)者來說，這一過程容易出現(xiàn)找錯有理化因式和計算出錯的問題。
教法建議
1.在知識的引入上，可采取復(fù)習(xí)引入方式，比如復(fù)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算或整式的運(yùn)算。
2.在二次根式的加減、乘法混合運(yùn)算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項式與多項式相乘、多項式與多項式到乘法公式的應(yīng)用，逐漸從數(shù)過渡到帶有字母的式。
3.在有理化因式教學(xué)中，要多出幾組題目從不同角度要求學(xué)生辨別，并及時總結(jié)。
學(xué)生特點(diǎn)：實(shí)驗班的A層學(xué)生(數(shù)學(xué)實(shí)施分層教學(xué)),主動學(xué)習(xí)積極性高，基礎(chǔ)扎實(shí)，思維活躍,,并具有一定的獨(dú)立分析問題,探索問題,歸納概括問題的能力,有較好的思考、質(zhì)疑的習(xí)慣。
教材特點(diǎn)：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次根式的三個重要概念(最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化)和二次根式的有關(guān)運(yùn)算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法)基礎(chǔ)上，將加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算綜合在一起的混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)。
鑒于學(xué)生的特點(diǎn)及教材的特點(diǎn)，本節(jié)課主要采用“互動式”的課堂教學(xué)模式及“談話式”的教學(xué)方法，以此實(shí)現(xiàn)生生互動、師生互動、學(xué)生與教材之間的互動。具體說明如下：
(一)在師生互動方面，教師注重問題設(shè)計，注重引導(dǎo)、點(diǎn)撥及提高性總結(jié)。使學(xué)生學(xué)中有思、思中有獲。如本節(jié)課開始，出示書中例題1：
讓學(xué)生先進(jìn)行思考，解答。然后同學(xué)說出怎樣進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。
強(qiáng)調(diào)：運(yùn)算順序及運(yùn)算律和有理數(shù)相同。
(二)在學(xué)生與學(xué)生的互動上，教師注重活動設(shè)計，使學(xué)生學(xué)中有樂，樂中悟道。教師設(shè)計一組題目，讓學(xué)生以競賽的形式解答，然后以記成績的方法讓其它同學(xué)說出優(yōu)點(diǎn)(簡便方法及靈活之處)與錯誤。由于本節(jié)課主要以計算為主，對運(yùn)算法則及規(guī)律性的基礎(chǔ)知識，學(xué)生很容易掌握而且從意識上認(rèn)為本節(jié)課太簡單，不會很感興趣，所以為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及更好的抓好基礎(chǔ)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，如此這般設(shè)計。
(三)在個體與群體的互動方式上，教師注重合作設(shè)計，使學(xué)生學(xué)中有辯，辯中求同。如本節(jié)課中對重點(diǎn)問題：“分母有理化”的教學(xué)，出示一個題目，讓學(xué)生思考，找個別學(xué)生說出自己的想法，然后其它同學(xué)補(bǔ)充完成。
學(xué)生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導(dǎo)，才能達(dá)到彼此互動。正是在這一教育思想的指導(dǎo)下，追求學(xué)生的認(rèn)知活動與情感活動的協(xié)調(diào)發(fā)展，有效地喚起學(xué)生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達(dá)到師生互動，生生互動?；邮浇虒W(xué)模式的目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學(xué)生樂學(xué)、會學(xué)、善學(xué)，從而優(yōu)化課堂教學(xué)、提高教學(xué)質(zhì)量，在和諧、愉快的情景中實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的共振。
對二次根式混合運(yùn)算新課引入的建議
復(fù)習(xí)：
1.計算：(1);(2).
解：(1)(2)
==
=;=.
2.在整式乘法中，單項式與多項式相乘的法則是什么?多項式與多項式的乘法法則是什么?什么是完全平方式?分別用式子表示出來。
答：單項式與多項式相乘的法則是，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。用式子表示為
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多項式與多項式相乘的法則是，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每項，再把所得的積相加。用式子表示為
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,
其中a,b,m,n都是單項式。
完全平方式是
;。
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用，運(yùn)用乘法法則及乘法公式可以進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。引入新課。
對二次根式混合運(yùn)算學(xué)法的建議
在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時，也有一個與分式運(yùn)算相比較的問題，有的時候，加上團(tuán)式分解、約分等技巧，可以大大簡化計算過程，這是要靈活運(yùn)用的.因此，在本節(jié)學(xué)習(xí)時，可以適當(dāng)結(jié)合11.1節(jié)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)一下在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的問題，如
這里再順便提一下，如
這種變形不是原來意義上的因式分解，否則就無法進(jìn)行到底了.可以說是借助因式分解的方法，或具體說成提出，等等.
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次根式的混合運(yùn)算.
2.掌握乘法公式在混合運(yùn)算的應(yīng)用.
3.通過二次根式的混合運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.
4.通過例題由淺入深，層層深入，激發(fā)學(xué)生求知的欲望
二、教學(xué)設(shè)計
小結(jié)、歸納、提高
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算.
2.教學(xué)難點(diǎn)：混合運(yùn)算的應(yīng)用.
四、課時安排
1課時
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、多媒體
六、師生互動活動設(shè)計
1.復(fù)習(xí)，運(yùn)算律及乘法分式，引導(dǎo)學(xué)生口答，并強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算律在根式運(yùn)算中的適用，引入例題.
2.通過例題由淺入深，層層深入，既提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣又激發(fā)學(xué)生求知的欲望;從例題的講解中幫助尋找解題的方法，規(guī)律及注意點(diǎn).
3.通過大量的練習(xí)，以期形成自己所掌握的知識.
七、教學(xué)步驟
(-)明確目標(biāo)
前面學(xué)過二次根式的加減法的簡單運(yùn)算，但二次根式未必全是加減混合運(yùn)算，它同樣會出現(xiàn)二次根式的加、減、乘、除方等混合運(yùn)算那么二次根式的混合運(yùn)算的法則是什么?又將怎樣運(yùn)用它進(jìn)行化簡計算，這就是本節(jié)課所要研究的問題—二次根式的混合運(yùn)算.
(二)整體感知
二次根式的混合運(yùn)算中，應(yīng)注意運(yùn)算的次序.這是進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的前提條件;通過適當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)乘法分式，分母有理化知識，然后再進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算的教學(xué)工作，將有助于更好地學(xué)習(xí)它;同樣為了更好地理解二次根式的混合運(yùn)算還可以將它與數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算方法進(jìn)行對比，以幫助學(xué)生更好地理解并準(zhǔn)確地掌握好該知識，達(dá)到事半功倍的作用.
第一課時
(-)教學(xué)過程
【復(fù)習(xí)】
運(yùn)算律在二次根式混合運(yùn)算中仍適用.
各種整式乘法的法則.
乘法公式：.
.
提問：加法的交換律、結(jié)合律各是怎樣的?乘法的交換律、結(jié)合律、分配津各是什么?
強(qiáng)調(diào)數(shù)的運(yùn)算律在根式運(yùn)算中仍適用后，可引入例題.
【例題】
例1計算：
(1);
(2).
現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會遇到“似曾相識”的情境，如果把“似曾相識”的東西作比較，再加以聯(lián)想總結(jié)，可能會獲得許多意想不到的收獲. 這種“把類似問題進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個數(shù)學(xué)對象已知的性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得另一個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)”的思維方法就是類比. 我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的“二次根式”，可與整式的相關(guān)知識進(jìn)行類比. 我們通過下面幾例的分析，來共同感受“類比思想”的應(yīng)用.
一、 “同類二次根式”與“同類項”
【解析】（1）（2）組中的二次根式被開方數(shù)相同，稱為同類二次根式；而第（3）組中二次根式，經(jīng)過化簡后被開方數(shù)也相同，所以也是同類二次根式.
【感悟】七年級時確定同類項的方法：一看字母要相同，二看相同字母的指數(shù)分別相同，三不看系數(shù). 現(xiàn)在判斷同類二次根式的方法：一化為最簡，二看被開方數(shù)，三不看根號外的系數(shù).
二、 “合并同類二次根式”與“合并同類項”
【感悟】整式的加減的實(shí)質(zhì)就是合并同類項，而二次根式加減的實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式；利用類比的思想可歸納二次根式加減的步驟：一化簡，二尋找，三合并.
三、 “二次根式的乘除運(yùn)算”與“整式的乘除運(yùn)算”
【解析】二次根式的乘除運(yùn)算中，出現(xiàn)了類似多項式乘以單項式、多項式除以單項式，多項式乘以多項式的運(yùn)算，因此整式的乘法法則和乘法公式仍然適用. 同學(xué)們自己嘗試計算.
【感悟】整式的乘除法法則類似地應(yīng)用于二次根式的乘除法運(yùn)算，所不同的是二次根式運(yùn)算的結(jié)果不僅要不含同類二次根式，還要化為最簡. 利用乘法公式可以使二次根式運(yùn)算簡單便捷.
我們“結(jié)識新朋友，不忘老朋友”，要展開聯(lián)想的翅膀，將新舊知識聯(lián)系歸類，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，提升學(xué)習(xí)能力. “類比思想”方法是解決陌生問題的一種常用策略，它讓我們充分開拓思路，運(yùn)用已有知識、經(jīng)驗，將陌生的、不熟悉的問題與已有知識和經(jīng)驗類比，從而創(chuàng)造性地解決問題. 通過“類比”，可以使一些復(fù)雜問題簡單化；有了“類比”，我們的思維將更加開闊，今后我們還期待著會用“類比”來解決其他復(fù)雜的新問題.
數(shù)學(xué)探究性教學(xué)，是教師通過創(chuàng)設(shè)情境，提出課題，引導(dǎo)學(xué)生以探究的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行數(shù)學(xué)活動，通過質(zhì)疑、探究、討論、交流問題，主動地獲取知識并應(yīng)用知識解決實(shí)際問題，從而在過程與方法、情感態(tài)度等方面得到充分發(fā)展。
一、創(chuàng)設(shè)情境，提出課題
創(chuàng)設(shè)情境旨在讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與自然、生活和社會有密切聯(lián)系，使數(shù)學(xué)發(fā)生在真實(shí)的世界和背景中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與參與程度。
1.以游戲創(chuàng)設(shè)情境
如在學(xué)習(xí)“整式的加減”時先讓學(xué)生任意寫一個兩位數(shù)，然后交換這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字，得到新的兩位數(shù)，然后又求新的兩個兩位數(shù)和，再除以原兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)之和，由老師猜其結(jié)果，學(xué)生覺得很奇怪。通過游戲激發(fā)學(xué)生的求知欲望，主動參與學(xué)習(xí)。
2.以數(shù)學(xué)故事創(chuàng)設(shè)情境
如，在講解“有理數(shù)的乘方”運(yùn)算時，結(jié)合課后閱讀材料，講述了古印度國王獎賞國際象棋發(fā)明者的故事。同學(xué)們都被故事迷住了，此時我問：象棋發(fā)明者要求國王獎給他多少顆麥粒？學(xué)生列出式子，欲得出結(jié)果時，我又告訴他們，這些麥粒能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10cm，厚8cm的大道，這時學(xué)生更加急不可待了。這種新異情境，刺激學(xué)生的好奇心，引起學(xué)生認(rèn)知上的沖突，從而產(chǎn)生解決問題沖動。
3.以實(shí)際問題創(chuàng)設(shè)情境
在學(xué)習(xí)八年級上冊第四章的“平面圖形的密鋪”時，引導(dǎo)學(xué)生觀察及思考城市建設(shè)中的地板圖案，然后提出相關(guān)的平面鑲嵌問題。
4.以學(xué)生動手操作，探求規(guī)律的活動創(chuàng)設(shè)情境
如在學(xué)習(xí)“整式的加減”時，先讓學(xué)生用棋子擺成如圖的“小屋”，然后提問第n個圖需要多少枚棋子？以激發(fā)學(xué)生的探究熱情。
二、探究交流，深化認(rèn)知
孔子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)?！敝挥挟?dāng)學(xué)生的心理進(jìn)入“憤”“悱”狀態(tài)時，才能激起學(xué)生濃厚的認(rèn)知興趣與強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動機(jī)，把學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒、注意力和思維活動調(diào)節(jié)到最佳效果。
在新的課堂教學(xué)中，作為教師一定讓學(xué)生體會到人類知識是如何獲得的，人類的智慧是如何發(fā)展的，而在數(shù)學(xué)教學(xué)中要做到這一點(diǎn)，就要豐富的情境中，讓學(xué)生思考探索，獲取知識。
如在負(fù)數(shù)的引入、同類項的合并、代數(shù)式的加減、視圖的畫法、平行線的性質(zhì)等知識的獲取上，經(jīng)過觀察、類比、歸納、猜想等活動自己“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”。這不但使學(xué)生獲得了應(yīng)該學(xué)習(xí)的知識，而且更重要的是讓學(xué)生體會到前人是如何獲得這些知識的，這樣堅持下去必能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，而只有培養(yǎng)出學(xué)生創(chuàng)新能力時，教育才有活力，才具有發(fā)展性，才稱得上是成功的教育。
三、交流、反思與評價，深化認(rèn)知
經(jīng)過自主探究活動后，學(xué)生有了活動的經(jīng)驗，充分利用教材上的部題，讓學(xué)生進(jìn)行交流，并對獲得的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思與評價，學(xué)生主要闡述知識是如何發(fā)現(xiàn)的，有什么經(jīng)驗教訓(xùn)，教師及時給予肯定與鼓勵，并對相關(guān)活動進(jìn)行評價，對已有知識進(jìn)一步認(rèn)知。例如在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“多項式與多項式相乘法則”后，讓學(xué)生進(jìn)行交流，由他們說出是怎樣“發(fā)現(xiàn)”的，并用自己的語言表述法則，再與“單項式乘以單項式”、“單項式乘以多項式”法則進(jìn)行類比，形成知識體系。
四、知識的拓展與延伸
充分利用教材上的“試一試”、“讀一讀”、“課題學(xué)習(xí)”等材料對相關(guān)的知識進(jìn)行引伸與拓展，并讓學(xué)生應(yīng)用知識解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神及創(chuàng)新與實(shí)踐能力；同時，還可以利用一些歷史名題，如：“三等分角問題”、“七巧板問題”，介紹相關(guān)知識，激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的熱情，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化視野及培養(yǎng)追求真理的科學(xué)信念。例如在學(xué)完“完全平方公式”后，先讓學(xué)生動手試一試（a+b+c）2、（a+b）3、
（a+b）4等的結(jié)果，再讓學(xué)生閱讀“楊輝三角”，教師再作適當(dāng)補(bǔ)充。
關(guān)鍵詞： 知識結(jié)構(gòu) 教學(xué)程序 優(yōu)化方法
每當(dāng)看到辦公室課間成群等待輔導(dǎo)的學(xué)生，課下老師們埋怨的聲音和無奈的表情，我常常思索如何在規(guī)定的時間內(nèi)做到既不增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又能讓學(xué)生愉快而主動地學(xué)好數(shù)學(xué)，也經(jīng)常與同行探討這個問題。近兩年我和備課組同事一起在實(shí)踐中逐步摸索出一種適合我校學(xué)生的“整體―部分―整體”模式，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，提高課堂教學(xué)效率；優(yōu)化教學(xué)程序，提高教學(xué)效率，兩者結(jié)合取得了一定的效果。
一、優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)效率
優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，主要是實(shí)行單元整體教學(xué)，備課組集體備課。按照“整體―部分―整體”的模式，把教材分成不同的知識單元，找出知識單元之間的內(nèi)在聯(lián)系，靈活使用教材，通常在每章教學(xué)前按照本章教學(xué)目的和要求，設(shè)置預(yù)習(xí)學(xué)案，讓學(xué)生按照學(xué)案的知識條理粗讀全章學(xué)習(xí)內(nèi)容，本章開始教師簡單介紹本章教材在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用及本章的學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)每單元前，先和學(xué)生一起排出本單元的知識點(diǎn)，而后逐一研究，每節(jié)課把要解決的問題提前告知學(xué)生，有目的地學(xué)習(xí)，在單元小結(jié)時幫助學(xué)生由厚到薄地歸納總結(jié)，在全章的總結(jié)中再幫助學(xué)生由薄再到厚地歸納總結(jié)，從整體上把握知識。這種教學(xué)打破了完全按部就班的一節(jié)一節(jié)的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從總體上把握知識，高屋建瓴，通觀全局，再深入學(xué)習(xí)每一小結(jié)，最后把部分知識結(jié)構(gòu)綜合為知識整體，增強(qiáng)學(xué)習(xí)活動的自由度和獨(dú)立性，高效地利用了學(xué)生學(xué)習(xí)的時間和空間，優(yōu)化了知識結(jié)構(gòu)，提高了教學(xué)效率。
案例1：蘇科版七年級下冊冪的運(yùn)算雖然課時不多，本身并無多大難度，但由于學(xué)生在理解運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)用運(yùn)算法則方面不到位，致使在平時的做題過程中出現(xiàn)這樣那樣令人啼笑皆非的錯誤。冪的運(yùn)算是后面學(xué)習(xí)整式乘除的基礎(chǔ)，無論是單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式最后都轉(zhuǎn)化為單項式于單項式的運(yùn)算，而此種運(yùn)算必包含冪的基本運(yùn)算。相關(guān)冪的運(yùn)算性質(zhì)掌握得不清楚，勢必給后面的學(xué)習(xí)帶來一定的影響，冪的運(yùn)算的重要性不言而喻。在教學(xué)冪的運(yùn)算性質(zhì)時，為了讓學(xué)生對冪的四條運(yùn)算性質(zhì)有十分清楚的認(rèn)識，第一節(jié)課上，我首先給出四組計算題，但不要求計算，只要學(xué)生通過觀察，能說出這四組題分別是同底數(shù)冪相乘、同底數(shù)冪相除、冪的乘方還是積的乘方即可。學(xué)生通過觀察，體會這四組題就是這一知識單元要研究的四個知識要點(diǎn)，并感知它們的不同。教完同底數(shù)冪乘法后，把同底數(shù)冪除法提前，用對比的方法一起研究，教師講出本質(zhì)，余下的由學(xué)生用類比、對比等方法獨(dú)立思考，相互討論解決。
案例2：在學(xué)習(xí)乘法公式時，平方差公式和完全平方公式一起出現(xiàn)，一開始就讓學(xué)生仔細(xì)觀察、辨別公式的特征。先從整體上認(rèn)識乘法公式，避免學(xué)生每學(xué)一個公式時很輕松，一綜合就混淆的弊病。
通過優(yōu)化教材既可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以節(jié)省教學(xué)時間。整體教學(xué)可以把零散的知識有機(jī)結(jié)合，學(xué)生容易把握教學(xué)結(jié)構(gòu)，還可以激活思維，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，加深對知識的掌握和理解。隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生逐漸養(yǎng)成了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維習(xí)慣。
二、優(yōu)化教學(xué)程序，提高教學(xué)效率
課堂教學(xué)效率的高低取決于教師的課堂教學(xué)能否做到優(yōu)化教學(xué)程序，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生的積極主動性。課堂教學(xué)程序為：本節(jié)課堂檢測（上節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容）―反饋預(yù)習(xí)案中的難點(diǎn)―利用講學(xué)稿講解本節(jié)課的重點(diǎn)―講練結(jié)合―反饋前節(jié)課的課堂檢測。
1.預(yù)習(xí)學(xué)案的批改與反饋是打造數(shù)學(xué)高效課堂的保障。
預(yù)習(xí)學(xué)案必須基于教師認(rèn)真?zhèn)湔n的基礎(chǔ)上，并要與實(shí)際教學(xué)過程相匹配，讓學(xué)生感到預(yù)習(xí)的是有價值的。老師必然辛苦，每天要準(zhǔn)備一份預(yù)習(xí)學(xué)案和一份講學(xué)稿，而且都要認(rèn)真批改，這就要求老師一定要持之以恒，我每天早晨堅持早到，在學(xué)生預(yù)習(xí)學(xué)案上交后，都會根據(jù)學(xué)生的預(yù)習(xí)質(zhì)量，課前對學(xué)生的學(xué)案進(jìn)行批改，給學(xué)生一個評價，一個等次，如A、B、C、D等，真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體的思想，讓學(xué)生體驗、感受到自己的勞動成果，真正做到及時有效，及時概括學(xué)生中有哪些錯誤，并及時分類。在課堂上用大約5～8分鐘讓中等生尤其后進(jìn)生以板演或口答的形式對所預(yù)習(xí)知識進(jìn)行概括，這樣能最大限度地暴露學(xué)生預(yù)習(xí)中存在的疑難問題。在課堂上教師有重點(diǎn)地講解，學(xué)生有針對性地學(xué)習(xí)，效率自然提高了。這樣做老師是辛苦的，但看到學(xué)生有進(jìn)步，老師再苦也值得。
2.有針對性地復(fù)習(xí)既鞏固了舊知又為新知識的汲取做好了鋪墊。
雖然部分學(xué)生當(dāng)堂反饋情況不理想，但考試成績較好，因為這部分學(xué)生接受新知的能力不強(qiáng)，但他們經(jīng)過復(fù)習(xí)和作業(yè)練習(xí)能很好地掌握當(dāng)天的知識。有的學(xué)生自認(rèn)為課堂上掌握得很好，作業(yè)不認(rèn)真寫，回家根本不復(fù)習(xí)，成績不理想。為了調(diào)動更多學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，我把當(dāng)堂反饋改為第二天的課前檢測，在課堂上先留5～10分鐘對前一天的知識進(jìn)行當(dāng)堂檢測，這就促使學(xué)生上課必須認(rèn)真聽講，回家好好復(fù)習(xí)。如果多數(shù)學(xué)生內(nèi)容掌握不夠好，教師下節(jié)課就要抽幾分鐘時間再次重點(diǎn)講解，這樣循環(huán)反復(fù)，總課時并沒有增加，但教學(xué)內(nèi)容多重復(fù)了一次，這樣學(xué)生對知識的掌握更深刻，提高了課堂教學(xué)效率。
3.有效的課堂練習(xí)設(shè)計是實(shí)施數(shù)學(xué)高效課堂的保證
很多有經(jīng)驗的教師在教學(xué)過程中，總是能以精心設(shè)計的問題，竭力點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，激發(fā)他們的求知欲望，并有意識地為他們發(fā)現(xiàn)疑難問題、解決疑難問題搭建橋梁或階梯，順利引導(dǎo)他們一步步登上知識的殿堂。我認(rèn)為課堂問題設(shè)計應(yīng)具有一定的代表性、深刻性，問題設(shè)計的深刻性是指學(xué)生解決問題時所產(chǎn)生的思維的深刻性，是指思維的抽象程度、邏輯水平和思維活動的深度，它集中表現(xiàn)為能深刻理解要領(lǐng)，深入思考問題，使用抽象概括，抓住事物的本質(zhì)，善于總結(jié)規(guī)律，并能遷移應(yīng)用。題目是做不完的，解題的方法和技巧是相通的，通過典型題目的練習(xí)，不斷提高學(xué)生歸納總結(jié)的能力。
如八年級一堂幾何練習(xí)課。
例：求證等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.
已知：如圖，ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F.求證：DE=DF.
證明：連接AD
AB=AC，BD=CD（已知）
AD平分∠BAC（等腰三角形“三線合一”）
DEAB于E，DFAC于F（已知）
DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等）
因SDAB=AB?ED/2，SPAC=AC?DF/2，又SDAB=SDAC，易知ED=DF.用面積法證完后，然后激發(fā)學(xué)生思考，若改變D點(diǎn)的位置或三角形的形狀，又能得到哪些新的結(jié)論呢？學(xué)生人人動手，積極思考，終于得到了一系列新的結(jié)論。
結(jié)論一：等腰三角形底邊上的任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高。
結(jié)論二：等腰三角形底邊延長線上的任一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于腰上的高。
結(jié)論三：等邊三角形內(nèi)的任一點(diǎn)到三邊的距離之和等于該三角形的高。
變式練習(xí)，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，調(diào)動了學(xué)生的積極性，從而鞏固并深化了知識系統(tǒng)，增強(qiáng)了學(xué)生思維的深刻性。
總之，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)是實(shí)施素質(zhì)教育的核心，教師在教學(xué)過程中需要不斷研究和探索。通過實(shí)踐，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情緒高漲，課堂學(xué)習(xí)的參與度比以前有很大的提高，學(xué)習(xí)的主動性明顯增強(qiáng)，學(xué)習(xí)能力大幅提高，在幾次全區(qū)統(tǒng)考中數(shù)學(xué)由進(jìn)校時全區(qū)倒數(shù)第一成為全區(qū)前列。在今后的教學(xué)中，我將繼續(xù)摸索，不斷完善，努力做到更好。
參考文獻(xiàn)：
本節(jié)復(fù)習(xí)課，學(xué)生對多項式乘以多項式可轉(zhuǎn)化為單項式乘以多項式，再轉(zhuǎn)化為單項式乘法等算理重視不夠，在運(yùn)算和思想方法的運(yùn)用上欠缺較多，失誤不斷。雖經(jīng)過復(fù)習(xí)后一般能掌握，但在應(yīng)用解解題時普遍缺少應(yīng)用意識，如通過因式分解后對分式約分或通過因式分解后用整體思想去解題等。
二、設(shè)計思想
1.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）對該知識的目標(biāo)要求
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不得超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）。
2.教學(xué)價值分析
因式分解的學(xué)習(xí)為分式的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，因為因式分解是分式運(yùn)算和化簡、代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化即恒等變形等的基礎(chǔ)，也是解高次方程的知識基礎(chǔ)；學(xué)習(xí)因式分解滲透化歸思想、培養(yǎng)逆向思維能力的良好素材。
3.教法分析
利用對比教學(xué)，讓學(xué)生體驗因式分解的“必要性”；利用類比教學(xué)促進(jìn)學(xué)生對因式分解相關(guān)概念和公式的理解；讓學(xué)生主動暴露思維過程，及時發(fā)現(xiàn)思路的“故障”，深究錯誤的根源。嚴(yán)格遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，創(chuàng)設(shè)“認(rèn)知沖突”，最大限度地激發(fā)學(xué)生的探究興趣，促進(jìn)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)化，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
4.教學(xué)預(yù)設(shè)
（1）“挖井設(shè)陷”，引發(fā)錯誤
設(shè)計與操作說明：暴露學(xué)困生知識類缺陷，暴露部分優(yōu)等生不能發(fā)現(xiàn)同學(xué)的錯因和相應(yīng)的解題規(guī)律，從而使學(xué)生的錯誤成為有價值的教學(xué)資源。題目都很簡單，以時間來定題，而不在于數(shù)量。教學(xué)時應(yīng)視易錯的程度有針對性地讓不同層次的學(xué)生從錯誤中有所感悟，實(shí)現(xiàn)思維“進(jìn)階”之目的。
①若9x2+mxy+16y2是一個完全平方式，那么m的值是 。
錯解：24。
錯解剖析：只考慮了一種情況，而完全平方式有兩個：a2+2ab+b2，a2-2ab+b2。
正確答案：24或-24。
②已知a、b、c是ABC的三邊長，且滿足a2+2b2+c2=2b（a+c），你能判斷ABC的形狀嗎？請說明理由。
錯解：能，理由如下：
a2+2b2+c2=2b（a+c）
a2+2b2+c2=2ab+2bc。
a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0。
（a-b）2+（b-c）2=0
a=b，b=c
ABC是等腰三角形。
錯解剖析：在得到等式（a-b）2+（b-c）2=0后，應(yīng)該是a=b且b=c，所以ABC是等邊三角形。
正確答案：能，ABC是等邊三角形。
選題說明：第1題屬于兩解問題，做題時應(yīng)全面考慮。第2題是一道綜合應(yīng)用題，其結(jié)果的表達(dá)易錯率較高。
（2）例題設(shè)計
設(shè)計說明與課堂操作：例題設(shè)計只有具有層次性，才能照顧到不同層次的學(xué)生，盡可能保證相關(guān)知識點(diǎn)的全覆蓋，盡可能做到相應(yīng)知識點(diǎn)與題型組合的全面兼顧，保證基本題型的全面呈現(xiàn)；例題可視難易程度，確定讓學(xué)生講，或有目的地找準(zhǔn)做錯且能“產(chǎn)生”典型錯誤的學(xué)生，充分利用這些學(xué)生的錯誤資源“刺激”學(xué)生的探究欲望，激發(fā)學(xué)生良好的復(fù)習(xí)情緒。
例1.將下列各式分解因式：
（1）24a2+54ab-36；（2）3x3y3-x2y3+2x4y；（3）-axy-ax2y2+2axz；（4）2（x+y）2-（y+x）3；（5）5a（x-y）2+10a（y-x）3。
選題意圖：本例是為了復(fù)習(xí)因式分解的提公因式法，其中例題涉及的5個小問題代表著不同的公因式類型，教師可通過本例復(fù)習(xí)“怎樣找公因式”以及“如何應(yīng)用提公因式法進(jìn)行因式分解”。
例2.因式分解：
（1）（x2+4y2）2-16x2y2；
（2）（a2+1）2-4（a2+1）+4。
選題意圖：通過前面例題的教學(xué)，本課時的基本知識點(diǎn)都已顯現(xiàn)，學(xué)生可能會出現(xiàn)思維疲勞。此時變化題型，用閱讀辨析的方式引導(dǎo)學(xué)生理性審視解題過程，和自己的數(shù)學(xué)理解自覺對話，探究問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，及時糾正認(rèn)知偏差。本例可先讓學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，然后請幾個優(yōu)生上臺示范，再引導(dǎo)學(xué)生一起討論糾錯，讓學(xué)生對“分解要徹底”留下深刻的印象。
（3）反饋矯正
設(shè)計與課堂操作說明：從課堂反饋的情況看很多學(xué)生對基礎(chǔ)知識重視不夠，而反饋矯正是又一次“刺激”激發(fā)好奇心的重要教學(xué)環(huán)節(jié)，同時也是對例題的一個補(bǔ)充與完善。課堂操作上，一般選擇學(xué)困生到黑板做，讓優(yōu)等生評講，優(yōu)生或教師可適當(dāng)點(diǎn)撥，從而達(dá)到全體鞏固與反饋的目的，并及時訂正。
（4）自主小結(jié)
一．選擇題（共12小題，每題4分，共48分）
1．（2014•吉州區(qū)二模）我國許多城市的“灰霾”天氣嚴(yán)重，影響身體健康．“灰霾”天氣的最主要成因是直徑小于或等于2.5微米的細(xì)顆粒物（即PM2.5），也稱為可入肺顆粒物，已知2.5微米=0.0000025米，此數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）米．
A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．25×10﹣7D．2.5×10﹣6
2．代數(shù)式中，分式的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
3．下列方程中分式方程有（）個．
（1）x2﹣x+；（2）﹣3=a+4；（3）；（4）=1．
A．1B．2C．3D．以上都不對
4．三角形的下列四種線段中一定能將三角形分成面積相等的兩部分的是（）
A．角平分線B．中位線C．高D．中線
5．用五根木棒釘成如下四個圖形，具有穩(wěn)定性的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
6．（2011•宜賓）分式方程的解是（）
A．3B．4C．5D．無解
7．（2013•貴港）關(guān)于x的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）
A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠0
8．下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）
A．m（x+y）=mx+myB．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．15x2﹣3x=3x（5x﹣1）D．x2﹣9+3x=（x+3）（x﹣3）+3x
9．（2004•聊城）方程的解是（）
A．﹣2，B．3，C．﹣2，D．1，
10．（2006•日照）已知在正方形網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A，B兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，位置如圖所示，點(diǎn)C也在小方格的頂點(diǎn)上，且以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形面積為1，則點(diǎn)C的個數(shù)為（）
A．3個B．4個C．5個D．6個
11．（2010•荊門）給出以下判斷：（1）線段的中點(diǎn)是線段的重心
（2）三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心
（3）平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點(diǎn)
（4）三角形的重心是它的中線的一個三等分點(diǎn)
那么以上判斷中正確的有（）
A．一個B．兩個C．三個D．四個
12．（2007•玉溪）如圖，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是（）
A．50B．62C．65D．68
二．填空題（共6小題，每題4分，共24分）
13．在代數(shù)式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有_________個；單項式有_________個，次數(shù)為2的單項式是_________；系數(shù)為1的單項式是_________．
14．要使關(guān)于x的方程有的解，那么m≠_________．
15.如圖，在ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則∠CHD=_________．
16.（2014•鹽都區(qū)二模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為_________．
17．若關(guān)于x的分式方程無解，則m=_________．
18．（2014•句容市一模）如圖，在等邊ABC中，AC=3，點(diǎn)O在AC上，且AO=1．點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接OP，以線段OP為一邊作正OPD，且O、P、D三點(diǎn)依次呈逆時針方向，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上時，則AP的長是_________．
三．解答題（共8小題，19-20每題7分，21-24每題10分，25-26每題12分。共78分）
19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．
20．（2014•崇明縣二模）解方程：+=4．
21．（2008•安順）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，求a的取值范圍．
22．（2012•珠海）如圖，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角∠CAE的平分線．
（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷ADF的形狀．（只寫結(jié)果）
23．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=x°．
（1）如圖1，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數(shù)是_________；
②當(dāng)∠BAD=∠ABD時，x=_________；當(dāng)∠BAD=∠BDA時，x=_________．
（2）如圖2，若ABOM，則是否存在這樣的x的值，使得ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
24．（2008•西城區(qū)一模）已知：如圖，ABC是等腰直角三角形，D為AB邊上的一點(diǎn)，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求證：∠B=∠EAC．
25．（2014•內(nèi)江）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．
（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？
（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進(jìn)價為7.5萬元，B款汽車每輛進(jìn)價為6萬元，公司預(yù)計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進(jìn)這兩款汽車共15輛，有幾種進(jìn)貨方案？
（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時，哪種方案對公司更有利？
26．（2014•濮陽二模）在四邊形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE=BF．
思考驗證：
（1）求證：DE=DF；
（2）在圖1中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
歸納結(jié)論：
（3）若題中條件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結(jié)論仍然成立？（只寫結(jié)果不要證明）
探究應(yīng)用：
（4）運(yùn)用（1）（2）（3）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DEAB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的長．
參考答案
一．選擇題（共12小題）
1．解：0.0000025=2.5×10﹣6，
故選：D．
2．解：分式共有2個，故選B．
3.解：（1）x2﹣x+不是等式，故不是分式方程；
（2）﹣3=a+4是分式方程；
（3）是無理方程，不是分式方程；
（4）=1是分式方程．
故選B．
4．解：
（1）
三角形的角平分線把三角形分成兩部分，這兩部分的面積比分情況而定；
（2）
三角形的中位線把三角形分成兩部分，這兩部分的面積經(jīng)計算得：
三角形面積為梯形面積的；
（3）
三角形的高把三角形分成兩部分，這兩部分的面積比分情況而定；
（4）
三角形的中線AD把三角形分成兩部分，ABD的面積為•BD•AE，ACD面積為•CD•AE；
因為AD為中線，所以D為BC中點(diǎn)，所以BD=CD，
所以ABD的面積等于ACD的面積．
三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分
5．解：第一個圖形分成兩個三角形，具有穩(wěn)定性，
第二個圖形根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，左邊與上邊的木棒穩(wěn)定，所以，另兩根也穩(wěn)定；
第三個圖形，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，左邊與上邊的木棒穩(wěn)定，所以，另兩根也穩(wěn)定；
第四個圖形，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，右邊與下邊的木棒穩(wěn)定，所以，另兩根也穩(wěn)定，
所以具有穩(wěn)定性的有4個．
故選D．
6．解：
方程兩邊乘以最簡公分母2（x﹣1）得：
x﹣1=4，
解得：x=5，
檢驗：把x=5代入2（x﹣1）=8≠0，
原分式方程的解為x=5．
故選C．
7．解：方程兩邊同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
x＜0，
﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
﹣1﹣m+1≠0，
m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故選：B．
8．解：A、不是因式分解，是整式乘法，故本選項錯誤；
B、等式的右邊不是整式的積的形式，即不是因式分解，故本選項錯誤；
C、根據(jù)因式分解的定義，此式是因式分解，故本選項正確；
D、等式的右邊不是整式的積的形式，即不是因式分解，故本選項錯誤；
故選C．
9．解：設(shè)y=，原方程可化為y2﹣y﹣2=0，
分解得（y﹣2）（y+1）=0，
解得y=2或﹣1．=2，=﹣1，
解得x=或1．
經(jīng)檢驗，都x=或1是原方程的解．
故選D．
10解：C點(diǎn)所有的情況如圖所示：
故選D．
11．解：（1）線段的中點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，為線段的重心，正確；
（2）三角形的中線平分三角形的三條邊，所以三條中線的交點(diǎn)為三角形的重心，正確；
（3）平行四邊形對角線的交點(diǎn)到平行四邊形對角頂點(diǎn)的距離相等，為平行四邊形的中心，正確；
（4）利用平行可得三角形的重心把中線分為1：2兩部分，所以是它的中線的一個三等分點(diǎn)，正確；
故選D．
12．解：AEAB且AE=AB，EFFH，BGFH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，
AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒EFA≌ABG
AF=BG，AG=EF．
同理證得BGC≌DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故選A．
二．填空題（共6小題）
13．在代數(shù)式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有8個；單項式有5個，次數(shù)為2的單項式是ab；系數(shù)為1的單項式是a．
14．要使關(guān)于x的方程有的解，那么m≠3．
15．如圖，在ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE交于H，則∠CHD=45°．
解：在ABC中，三邊的高交于一點(diǎn)，所以CFAB，
∠BAC=75°，且CFAB，∠ACF=15°，
∠ACB=60°，∠BCF=45°
在CDH中，三內(nèi)角之和為180°，
∠CHD=45°，
故答案為∠CHD=45°．
16．（2014•鹽都區(qū)二模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為2.5×10﹣6．
17.解：（1）x=﹣2為原方程的增根，
此時有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m=3×（﹣2﹣2），
解得m=6．
（2）x=2為原方程的增根，
此時有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（2+2）+2m=3×（2﹣2），
解得m=﹣4．
（3）方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），
得2（x+2）+mx=3（x﹣2），
化簡得：（m﹣1）x=﹣10．
當(dāng)m=1時，整式方程無解．
綜上所述，當(dāng)m=﹣4或m=6或m=1時，原方程無解7．若關(guān)于x的分式方程無解，則m=﹣4或6或1．
18．（2014•句容市一模）如圖，在等邊ABC中，AC=3，點(diǎn)O在AC上，且AO=1．點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接OP，以線段OP為一邊作正OPD，且O、P、D三點(diǎn)依次呈逆時針方向，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上時，則AP的長是2．
解：∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∠CDO=∠AOP．
ODC≌POA．
AP=OC．
AP=OC=AC﹣AO=2．
故答案為2．
三．解答題（共8小題）
19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．
解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2
=（x+y）（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]
=2y（x+y）（x﹣y）
20．（2014•崇明縣二模）解方程：+=4．
解：設(shè)y=，
得：+y=4，
y2﹣4y+3=0，
解得y1=1，y2=3．
當(dāng)y1=3時，=1，x2﹣x+1=0，此方程沒有數(shù)解．
當(dāng)y2=3時，=3，x2﹣3x+1=0，解得x=．
經(jīng)檢驗x=都是原方程的根，
所以原方程的根是x=．
21．（2008•安順）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，求a的取值范圍．
解：去分母，得2x+a=2﹣x
解得：x=，＞0
2﹣a＞0，
a＜2，且x≠2，
a≠﹣4
a＜2且a≠﹣4．
22．（2012•珠海）如圖，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角∠CAE的平分線．
（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷ADF的形狀．（只寫結(jié)果）
：（1）如圖所示：
（2）ADF的形狀是等腰直角三角形，
理由是：AB=AC，ADBC，
∠BAD=∠CAD，
AF平分∠EAC，
∠EAF=∠FAC，
∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，
即ADF是直角三角形，
AB=AC，
∠B=∠ACB，
∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∠EAF=∠B，
AF∥BC，
∠AFD=∠FDC，
DF平分∠ADC，
∠ADF=∠FDC=∠AFD，
AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
23．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC=x°．
（1）如圖1，若AB∥ON，則
①∠ABO的度數(shù)是20°；
②當(dāng)∠BAD=∠ABD時，x=120°；當(dāng)∠BAD=∠BDA時，x=60°．
（2）如圖2，若ABOM，則是否存在這樣的x的值，使得ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
解：（1）①∠MON=40°，OE平分∠MON∠AOB=∠BON=20°
AB∥ON∠ABO=20°
②∠BAD=∠ABD∠BAD=20°∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∠OAC=120°
∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∠BAD=80°∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∠OAC=60°
故答案為：①20②120，60
（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時，
若∠BAD=∠ABD，則x=20
若∠BAD=∠BDA，則x=35
若∠ADB=∠ABD，則x=50
②當(dāng)點(diǎn)D在射線BE上時，因為∠ABE=110°，且三角形的內(nèi)角和為180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此時x=125．
綜上可知，存在這樣的x的值，使得ADB中有兩個相等的角，
且x=20、35、50、125．
24．（2008•西城區(qū)一模）已知：如圖，ABC是等腰直角三角形，D為AB邊上的一點(diǎn)，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求證：∠B=∠EAC．
證明：ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
AC=CB．
∠ACB=∠DCE=90°，
∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB．
在ACE和BCD中，
，
ACE≌BCD（SAS）．
∠B=∠EAC（全等三角形的對應(yīng)角相等）
25．（2014•內(nèi)江）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．
（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？
（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進(jìn)價為7.5萬元，B款汽車每輛進(jìn)價為6萬元，公司預(yù)計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進(jìn)這兩款汽車共15輛，有幾種進(jìn)貨方案？
（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時，哪種方案對公司更有利？
解：（1）設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價m萬元．則：
，
解得：m=9．
經(jīng)檢驗，m=9是原方程的根且符合題意．
答：今年5月份A款汽車每輛售價9萬元；
（2）設(shè)購進(jìn)A款汽車x輛．則：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
x的正整數(shù)解為6，7，8，9，10，
共有5種進(jìn)貨方案；
（3）設(shè)總獲利為W元，購進(jìn)A款汽車x輛，則：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
當(dāng)a=0.5時，（2）中所有方案獲利相同．
此時，購買A款汽車6輛，B款汽車9輛時對公司更有利．
26．（2014•濮陽二模）在四邊形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE=BF．
思考驗證：
（1）求證：DE=DF；
（2）在圖1中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
歸納結(jié)論：
（3）若題中條件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結(jié)論仍然成立？（只寫結(jié)果不要證明）
探究應(yīng)用：
（4）運(yùn)用（1）（2）（3）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DEAB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的長．
1）證明：∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°，
∠C+∠ABD=180°，
∠ABD+∠DBF=180°，
∠C=∠DBF，
在DEC和DFB中，
DEC≌DFB，
DE=DF．
（2）解：CE+BG=EG，
證明：連接DA，
在ACD和ABD中
，
ACD≌ABD，
∠CDA=∠BDA=60°，
∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，
∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，
∠BDF=∠CDE，
∠GDB+∠BDF=60°，
在DGF和DEG中
，
DGF≌DEG，
FG=EG，
CE=BF，
CE+BG=EG．
（3）解：∠EDG=（180°﹣α），
（4）解：過C作CMAD交AD的延長線于M，
在AMC和ABC中
，
AMC≌ABC，
AM=AB．CM=BC，
由（1）（2）（3）可知：DM+BE=DE，
AE=3，∠AED=90°，∠DAB=60°，
AD=6，
由勾股定理得：DE=3，
DM=AM﹣AD=AB﹣6=BE+3﹣6=BE﹣3，
“探究性教學(xué)”的課堂教學(xué)，就是要在高中教育教學(xué)中創(chuàng)造一種符合學(xué)生認(rèn)識規(guī)律的、輕松和諧的研究氣氛與環(huán)境，讓學(xué)生通過自己的活動與探究去“發(fā)現(xiàn)”知識，通過群體間的交流與反思去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，使教師在活動方案的設(shè)計和教學(xué)過程中得到教育體驗。國內(nèi)外眾多的教育理論都強(qiáng)調(diào)要實(shí)現(xiàn)學(xué)生潛力的最大開發(fā)，提出以學(xué)生為中心，發(fā)展為本，注重激發(fā)師生的創(chuàng)造性，在日常教學(xué)中總結(jié)了探究性教學(xué)的新課堂教學(xué)模式，包括活動、探究、交流、反思四個環(huán)節(jié)。
上述的“活動、探究、交流、反思”只是教學(xué)模式的主線，操作中并非四個環(huán)節(jié)逐個進(jìn)行，就算一節(jié)課完成了。而是可以經(jīng)歷多次循環(huán)上升的過程，而且這四個環(huán)節(jié)在順序上也并非是一成不變的，操作中應(yīng)注意其精神實(shí)質(zhì)而非固定的程序。
我們認(rèn)為，以“活動、探究、交流、反思”為主線的教學(xué)充分體現(xiàn)了“在實(shí)踐中探索，在探索中反思，在反思中創(chuàng)造”的教學(xué)理念。那么，如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)呢？
一、以問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)
教師在設(shè)計教學(xué)方案時，不應(yīng)只直接以感知教材為出發(fā)點(diǎn)，而應(yīng)把教材上例題、習(xí)題和公式、定理等知識點(diǎn)改編成需要學(xué)生探究的問題，喚起學(xué)生解決問題的欲望，激發(fā)學(xué)生探究興趣，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和解決問題的能力。
如講“同底數(shù)冪”的乘法這節(jié)課時，若從感知教材出發(fā)，則通常是像教材那樣，先給出一些具體的材料，然后給出以字母為底數(shù)的例子，最后歸納出同底數(shù)冪的乘法法則，這樣的歸納實(shí)質(zhì)上就法則論法則，缺乏啟發(fā)性，難以引起學(xué)生的探究興趣，而且法則背后的豐富思想內(nèi)涵沒有充分體現(xiàn)。如果先提出探究問題，即讓學(xué)生思考如何計算，學(xué)生中易出現(xiàn)兩種答案。誰是誰非？學(xué)生的探究欲望被喚醒，紛紛計算、猜測、討論，從不同角度尋求解決辦法。這樣，由計算這一問題，激發(fā)了學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀點(diǎn)（多項式乘法、有理數(shù)乘法、有理數(shù)乘方等）與當(dāng)前的課題（單項式乘法）之間的沖突，不但吊起了學(xué)生的“胃口”，還為學(xué)生的探究性活動指明了方向，并與以后的單項式乘法聯(lián)系在一起，構(gòu)成了整節(jié)教材的探究脈絡(luò)。
二、把教師教的過程設(shè)計成學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究、解決的過程
教師應(yīng)向?qū)W生提供許多現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，這些內(nèi)容取材于學(xué)生的生活經(jīng)驗，符合學(xué)
生的身心發(fā)展規(guī)律，成為學(xué)生主動從事觀察、猜測、實(shí)驗、合作交流等數(shù)學(xué)活動的主要素材。這些內(nèi)容的呈現(xiàn)方式豐富多彩，構(gòu)成了“問題情境――建立模型――解釋、運(yùn)用與拓展”的基本教學(xué)模式。因此，教師要創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程，鼓勵學(xué)生自主探索與合作交流。這就意味著教學(xué)要體現(xiàn)探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)理念，改變傳統(tǒng)教學(xué)中“教師講，學(xué)生聽”，教師先操作示范，學(xué)生再模仿練習(xí)的做法。例如，教學(xué)“分母有理化”時，教師先創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生計算近似值。有的學(xué)生通過查表得出答案，這時學(xué)生已感到了多位數(shù)除數(shù)帶來的麻煩。教師乘機(jī)啟發(fā)學(xué)生能否避免這種麻煩？學(xué)生的探究欲望被這個開放性問題喚醒，紛紛進(jìn)行嘗試。此時教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、交流和概括。學(xué)生討論后知道，要避免麻煩的計算，應(yīng)設(shè)法使分母不帶根號，如何去根號呢？學(xué)生有的想到平方，但此時分式的值變了；有的想到利用分式的性質(zhì)，把分子和分母都乘以相同的根式，則可使分配中的根號轉(zhuǎn)移到分子上；有的則先優(yōu)化分母，再計算，也作了類似的討論。這時教師要進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生積極的學(xué)習(xí)體驗，引導(dǎo)學(xué)生自我構(gòu)建，即找規(guī)律，找模式，形成表達(dá)式，使學(xué)生享受成功的喜悅。在獲得了簡便計算后，教師要啟發(fā)學(xué)生找這類問題的共性，即這時引入分母有理化和有理化因式這兩個概念就水到渠成了。進(jìn)一步啟發(fā)則可讓學(xué)生再探究如何計算。這樣通過不斷的探究，學(xué)生逐步建立了分母有理化的模型，思維得到了深化。最后，教師還要讓學(xué)生交流總結(jié)，在小組或全班展示自己的思維、過程和成果，增進(jìn)合作意識，引導(dǎo)學(xué)生反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的情況和成長的歷程，使學(xué)生認(rèn)識自我，建立信心。
三、從不同材料的實(shí)際出發(fā)構(gòu)建探究性學(xué)習(xí)的基本教學(xué)模式
學(xué)生的學(xué)習(xí)是接受與建構(gòu)并存的，在實(shí)踐中，我們感到學(xué)生學(xué)習(xí)既不是單純累積的，也不是純粹建構(gòu)的，而是接受與建構(gòu)并存的。它是一個在教師啟發(fā)引導(dǎo)下的主動建構(gòu)的過程。知識的真正理解與有效應(yīng)用不僅需要學(xué)生觀念上的認(rèn)同和理解，而且需要經(jīng)過一定強(qiáng)度的訓(xùn)練，使之達(dá)到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、策略化和自動化的目的。
(一)知識教學(xué)點(diǎn)
1.掌握：什么樣的項是同類項.
2.了解：了解同類項可以合并.
3.應(yīng)用：會合并同類項，會利用合并同類項的知識解決一些實(shí)際問題.
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
通過例題的講解與訓(xùn)練，使學(xué)生熟練進(jìn)行同類項的合并.
(三)德育滲透點(diǎn)
通過由數(shù)的加減推廣到同類項的合并，可以培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思維規(guī)律.
(四)美育滲透點(diǎn)
通過合并同類項，學(xué)生們能明顯地感覺出數(shù)學(xué)的簡潔美.
二、學(xué)法引導(dǎo)
1.教學(xué)方法：采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā)，提出問題與學(xué)生共同探索，以調(diào)動學(xué)生求知的積極性.
2.學(xué)生學(xué)法：練習(xí)同類項練習(xí)鞏固
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法
1.重點(diǎn)：同類項的概念;合并同類項的法則.
2.難點(diǎn)：理解同類項的概念中所含字母相同，且相同字母的次數(shù)相同的含義.
3.疑點(diǎn)：同類項與同次項的區(qū)別.
四、課時安排
1課時
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀(電腦)、自制膠片.
六、師生互動活動設(shè)計
教師出示探索性練習(xí)，學(xué)生從練習(xí)中尋找簡潔方法，得出同類項概念，教師出示鞏固性練習(xí)，學(xué)生以多種形式完成.
七、教學(xué)步驟
(一)提出問題，創(chuàng)設(shè)情境
師：提出問題，(出示投影1)
求多項式的值，其中，.
學(xué)生活動：學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡視，然后指定一個直接代入求值的學(xué)生在黑板上板演.
解：當(dāng)，時，
.
師提出問題：在上述的運(yùn)算過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么?怎樣做簡單些?
學(xué)生活動：根據(jù)學(xué)生板演，可發(fā)現(xiàn)，在上述解題的運(yùn)算過程中，幾次計算的值，因此可把看成一個整體，先計算的值后，再做整體代入，根據(jù)學(xué)生敘述的教師做相應(yīng)板書：
解：當(dāng)，時，
.
當(dāng)時，.
師：通過上面的計算，根據(jù)乘法對加法分配律，你又發(fā)現(xiàn)了什么?怎樣計算簡單些?
學(xué)生活動：根據(jù)定律的提出，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)如下解法
.
師：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，能否找到解上述題目更簡單的方法.
學(xué)生活動：小組討論，找出簡單方法的小組可推選代表發(fā)言.學(xué)生能發(fā)現(xiàn)，在中，是的值，-3，2，-3是原多項式各項的系數(shù)，所以原式，再代入、的值，計算更簡單.
教師根據(jù)學(xué)生的回答，加以歸納并指出：這三項可以合并成一項.
【教法說明】教師先提出問題，因前面學(xué)習(xí)了求代數(shù)式的值，學(xué)生可直接代入求得，接著教師提出，你通過求值發(fā)現(xiàn)了什么?怎樣更簡捷的求值呢?引導(dǎo)學(xué)生做一步步的深入探索，使學(xué)生能積極地、主動地參與教學(xué)活動.
(二)探索新知，講授新課
師再提出問題：為什么可合并成一項，可合并成一項嗎?
學(xué)生活動：同桌同學(xué)進(jìn)行討論，看哪桌首先得出結(jié)論，然后找首先得出結(jié)論的一個學(xué)生回答，另一個學(xué)生可以做補(bǔ)充.
教師歸納：可合并成一項，因為它們?nèi)椫卸己?、兩個字母，并且的指數(shù)都是2，的指數(shù)都是1.因為只有這樣，才能保證字母部分代表同一個數(shù);而則不能合并，因它們兩項中，雖都含一個字母，但第一項的指數(shù)是2，而第二項的指數(shù)是1，兩項中同一個字母的指數(shù)不相同，字母部分不能代表同一個數(shù)，所以不能合并.能合并處理，我們把，，是同類項，小組討論，什么是同類項?選學(xué)生代表發(fā)言，再相互進(jìn)行更正補(bǔ)充.
教師歸納：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項是同類項，而-3，2不含字母，但也能合并成一項-1，因為它們也是同類項.
[板書]
【教法說明】引導(dǎo)學(xué)生通過做練習(xí)，先發(fā)現(xiàn)了同類項的特點(diǎn)，然后歸納得到同類項的概念，這種認(rèn)識規(guī)律符合從具體到抽象的一般認(rèn)識規(guī)律.
鞏固練習(xí)：(出示投影2)
1.(口答)下列各題中的兩項是不是同類項?為什么?
(1)與;(2)與;(3)與;
(4)-12與120;(5)與;(6)與;
(7)與;(8)與;(9)與;
(10)與;
2.能不能說：“兩個單項式的次數(shù)相同，所含字母也相同，它們就是同類項”?舉例說明.
學(xué)生活動：由學(xué)生搶答，對回答不準(zhǔn)確或不全面的，同組同學(xué)給予補(bǔ)充.
【教法說明】同類項的概念是重點(diǎn)，對同類項的兩個條件缺一不可的理解又是一個難點(diǎn).為此在得出同類項的概念之后，安排學(xué)生做此組練習(xí)題，可以更深刻地理解概念的內(nèi)涵，并使學(xué)生有一個清楚的認(rèn)識，下面讓學(xué)生說出是與不是同類項的原因，對培養(yǎng)學(xué)生分析能力，大有好處.
師：通過上述實(shí)例及對練習(xí)的解答，我們可以得到這樣一個結(jié)論，只要多項式中有同類項，就可以把它合并成一項，這種運(yùn)算過程，叫做合并同類項.
[板書]合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項.
師提出問題：是怎樣合并同類項的?
學(xué)生活動：小組討論，然后找學(xué)生回答.說的不全面、不嚴(yán)密時可再找其他的同學(xué)做補(bǔ)充.
師歸納：當(dāng)學(xué)生回答全面后強(qiáng)調(diào)，合并同類項的過程實(shí)質(zhì)上就是同類項的系數(shù)相加的過程，在系數(shù)相加時，不要遺漏符號，字母和字母的指數(shù)都不變.
[板書]合并同類項法則：同類項系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母指數(shù)不變.
【教法說明】通過讓學(xué)生做上面的實(shí)例，學(xué)生對怎樣合并同類項的問題已有較深刻的印象，但還不能用完整的數(shù)學(xué)語言將其敘述出來，這時教師就積極引導(dǎo)，讓學(xué)生動腦思考，總結(jié)發(fā)現(xiàn)法則，培養(yǎng)學(xué)生的語言敘述能力和邏輯思維能力.
例1(出示投影3)
合并下列各式的同類項
(1);(2);
學(xué)生活動：教師不給任何提示，學(xué)生在練習(xí)本上完成，然后同桌同學(xué)互相交換評判.
變式訓(xùn)練：把例1的兩個式子分別加上兩項為(出示投影4)
(1);(2).
學(xué)生活動：在練習(xí)本上獨(dú)立完成，然后小組互相交換打分，學(xué)生回答正確答案，并評出優(yōu)勝小組.
【教法說明】根據(jù)前面所學(xué)的知識，學(xué)生完成例1是沒什么困難的，而在完成例1的變式訓(xùn)練題時，也就是輕而易舉之事了，學(xué)生獨(dú)立完成后交換評判打分，可以及時反饋學(xué)生對該部分知識的掌握情況，以便做好調(diào)節(jié)回授工作.
例2(出示投影5)
合并下列多項式的同類項
(1);(2).
學(xué)
生活動：此多項式項數(shù)較多，先讓學(xué)生觀察，找出同類項，指定學(xué)生回答.
師：在屬于同類項的下面標(biāo)上記號.
學(xué)生活動：在練習(xí)本模仿教師的做法標(biāo)出(2)題的同類項，一名學(xué)生在黑板上板演，其余的同學(xué)在練習(xí)本上完成，做完后，同桌同學(xué)互相檢查評定，然后教師邊引導(dǎo)邊板演出(1)題較規(guī)范的解題格式，說出每一步變形的依據(jù)，待板演完畢，讓學(xué)生模仿(1)題教師板書的格式，一個學(xué)生在前面板演(2)題的解題過程，其他學(xué)生在練習(xí)本上做，隨后師生共同訂正.
師提出：在上述例題中，已合并同類項的多項式，還有沒有同類項?(2)題中的沒有同類項，在合并同類項過程中該怎么辦?
學(xué)生活動：小組討論后選代表回答：經(jīng)過合并同類項后的多項式不存在同類項，在合并同類項時某項沒有同類項要把它照抄下來.
【教法說明】通過學(xué)生對例2的解答，教師讓學(xué)生自我探索求知，促使學(xué)生在實(shí)際解題過程中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握解題方法.
例3(出示投影6)
合并多項式的同類項
學(xué)生活動：學(xué)生有了解例2的基礎(chǔ)，教師不做任何提示，學(xué)生在練習(xí)本上完成，看誰做的又快又準(zhǔn)確，同時讓兩個學(xué)生在黑板上完成此題.
然后，師生一起給兩個學(xué)生的解答給予肯定或更正.
師提出問題：通過例3的完成，我們發(fā)現(xiàn)合并同類項后的式子是單項式，為什么?若把上面多項式變式為，合并同類項后得什么?
學(xué)生活動：同桌的同學(xué)先進(jìn)行討論，然后找學(xué)生回答教師提出的問題.
【教法說明】例3的解答完成可以放后讓學(xué)生做，學(xué)生一般能正確完成，但學(xué)生不注意每一步運(yùn)算的依據(jù)，學(xué)生完成后，教師提出為什么?學(xué)生可能回答困難，這時教師要引導(dǎo)觀察總結(jié).其實(shí)是因為，系數(shù)相加后為，，而零乘以任何數(shù)等于0，而0加上一個數(shù)仍得這個數(shù)，因此0可不寫，只寫出單項式.而變式后的多項式，合并后就為0;讓學(xué)生體會為什么這個要寫0.
(三)嘗試反饋，鞏固練習(xí)
(出示投影7)
1.(口答)合并下列各式的同類項
(1);(2);
(3);(4).
2.下列各題合并同類項的結(jié)果對不對，指出錯在哪里?
(1);(2);(3);
(4);(5);(6).
3.合并下列各式的同類項
(1);(2);
(3);(4).
學(xué)生活動：1、2題，學(xué)生口答，可按座位順序解答，也可搶答，3題學(xué)生在練習(xí)本上完成，不許同桌商量，完成后互相打分.
【教法說明】1、2題學(xué)生口答，特別是第2題，不但要回答對與否，還要指出錯在哪里，可訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維，然后2題中錯的再改正，既調(diào)動了學(xué)生的積極性，也培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維.3題讓學(xué)生自己完成打分評判，可以及時發(fā)現(xiàn)問題，及時反饋，以便做好回授調(diào)節(jié).
(四)變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力
(出示投影8)
1.把，各當(dāng)作一個因式，合并各式中的同類項：
(1);(2);
(3).
2.合并同類項(，是正整數(shù))
(1);(2);
(3).
3.若與是同類項，則，.
學(xué)生活動：學(xué)生按要求在練習(xí)本上完成，指定二、三個學(xué)生在黑板上完成解題過程，然后再讓別的學(xué)生到前面給黑板上完成的情況打分，并把錯誤的改正確，教師做簡捷的評判.
【教法說明】1題是把上面題目中一個字母變式為兩個字母的代數(shù)和;2題各項的指數(shù)由數(shù)字指數(shù)變式為字母指數(shù).這樣訓(xùn)練可使學(xué)生對同類項概念的理解更進(jìn)一步;3題是在學(xué)生能判斷幾項是否是同類項的基礎(chǔ)上變式為已知兩項是同類項，則指數(shù)滿足的條件，通過本題訓(xùn)練，可培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.
(五)歸納小結(jié)
師：今天我們學(xué)習(xí)了同類項的概念及合并同類項的法則，現(xiàn)在我們一起歸納一下本節(jié)的內(nèi)容.
1.合并同類項法則：
(1)同類項：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項.
(2)怎樣合并同類項：同類項的系數(shù)相加后的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母指數(shù)不變.
2.合并同類項后的結(jié)果仍是整式，但不能再有同類項.
3.同類項及合并同類項的知識在以后的學(xué)習(xí)中有著重要的應(yīng)用.我們可以逐步體會到.
八、隨堂練習(xí)
1.判斷題
(1)和是同類項()
(2)和不是同類項()
(3)和是同類項()
(4)()
(5)()
(6)()
(7)()
(8)()
2.合并同類項
(1);
(2);
(3).
3.如果和是同類項，求多項式的值.
九、布置作業(yè)
關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；引導(dǎo)；掌握；平方差公式
中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）26-0172-03
公式的掌握是歷年來老師們頭疼的問題，公式看似簡單，但是要想真正掌握并運(yùn)用自如對學(xué)生們來說卻是個難點(diǎn)，而新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的符號意識。首先，新課標(biāo)（2012年版）指出學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學(xué)習(xí)外，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。同時強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的符號意識。其次，符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。另外，作為教育工作者，更應(yīng)該在日常的教育教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，并正確引導(dǎo)其牢固掌握數(shù)學(xué)公式。本文將通過筆者的一堂公開課《平方差公式》的教學(xué)案例的展示，介紹如何引導(dǎo)學(xué)生牢固掌握公式。
教學(xué)目標(biāo)
（一）知識與技能目標(biāo)
1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程。
2.會推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。
（二）過程與方法目標(biāo)
1.從猜想平方差公式到推倒公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的符號感和邏輯推理能力。
2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括、運(yùn)算能力。
（三）情感與價值觀要求
從公式的猜想到推倒，及對公式結(jié)構(gòu)特征的概括，感受數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗徒Y(jié)構(gòu)美。
教學(xué)重點(diǎn)
平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)
利用平方差公式的特征解決一類能使用平方差公式的問題。
教學(xué)方法
探究與講練相結(jié)合。
使學(xué)生在計算的過程中猜想公式證明公式用符號表示公式（探索公式的特征）應(yīng)用公式運(yùn)算
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課
[師]某一期的開心辭典有這樣一道速算題目，請聽題：請問21×19的結(jié)果是多少？看看哪位同學(xué)能以最快的速度得出答案。（10秒后有一位學(xué)生舉手）
[生]答案是399。利用多項式乘法法則可以得出結(jié)果21×19=（20+1）（20-1）=202-20+20-1×1=202-12=400-1=399
[師]很好！我們利用多項式與多項式相乘的法則，將21×19中的21，19化成為有關(guān)于20和1的運(yùn)算，其實(shí)還能更加簡單地得出答案，這就是本節(jié)所學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)的一個重要公式——平方差公式。
首先來回憶，多項式乘法的法則是怎樣敘述的？
[生]多項式與多項式相乘，用一個多項式的每一項去乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
給出三個計算，使學(xué)生在計算過程中，通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言和符號表示其規(guī)律。
利用多項式乘法計算下列各題：（1）（x+2）（x-2）；（2）（1+5a）（1-5a）；（3）（x+4y）（x-4y）。
[生]解：（1）（x+2）（x-2）
=x2-2x+2x-4=x2-4；
（2）（1+5a）（1-5a）
=1-5a+5a-25a2=1-25a2；
（3）（x+4y）（x-4y）
=x2-4xy+4xy-16y2
=x2-16y2。
觀察以上算式及運(yùn)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
學(xué)生基本能根據(jù)算式猜想出規(guī)律，即算式的結(jié)構(gòu)特征，兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差相乘，等于它們的平方差，同時可用公式表示即（a+b）（a-b）=a2-b2其中a、b可以表示任意的數(shù)，也可以表示單項式、多項式。
印象深刻的導(dǎo)入，使學(xué)生能夠以更加積極的態(tài)度投入學(xué)習(xí)，同時用多項式乘法作為鋪墊，學(xué)生能感受到知識的相互聯(lián)系，而并非無根無據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計算的結(jié)果得出公式的一般式。
二、公式的證明及公式特征的探索
[師]請同學(xué)們以小組為單位，討論怎樣去證明這個公式？
[生]利用多項式與多項式相乘的運(yùn)算法則可以對規(guī)律進(jìn)行證明，即
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2
[師]因此根據(jù)公式的結(jié)果特征，由于是先求平方再求差，故稱為平方差公式。平方差公式是多項式乘法運(yùn)算中一個重要的公式。用它直接運(yùn)算會很簡單，但要注意必須符合公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)才能利用它進(jìn)行運(yùn)算。那么為了很好地應(yīng)用這個公式，我們需要了解其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。
[生]公式的左邊的數(shù)a，b，數(shù)a的符號相同，數(shù)b的符號相反，公式的結(jié)果是：（符號相同的數(shù)）2-（符號相反的數(shù)）2。
這一過程是帶著學(xué)生去體驗符號表示的意義，以及感受公式的推理能力。
說明：這部分很關(guān)鍵，通過公式推導(dǎo)的探索，讓學(xué)生不僅知其然，還知其所以然，所以，在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)在課堂上留足夠的時間在公式的推導(dǎo)以加深印象。當(dāng)然，學(xué)生對公式特征的觀察和歸納概括也是必不可少的，這樣相當(dāng)于在課堂上給了學(xué)生一把尚方寶劍，讓學(xué)生有規(guī)律可循，同時真正使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)美！
三、公式的應(yīng)用
使學(xué)生體會平方差公式的應(yīng)用，感受平方差公式給多項式乘法運(yùn)算帶來的方便，進(jìn)一步熟悉平方差公式。
1.判斷下列式子是否可用平方差公式。
（1）（-a+b）（a+b）；（2）（-a+b）（a-b）；
（3）（a+b）（a-c）；（4）（2+a）（a-2）；（5）（1-x）（-x-1）。
[生]只有（1）、（4）、（5）能用平方差公式。因為（1）符合平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式；（4）利用加法交換律可得（a+2）（a-2），表示a與2這兩個數(shù)的和與差的積，符合平方差公式的特點(diǎn)；（5）同樣可利用加法交換律得（-x+1）（-x-1），表示-x與1這兩個數(shù)和與差的積，也符合平方差公式的特點(diǎn)。
[師]為什么（2）、（3）不能用平方差公式呢？
[生]因為在式子中，沒有符號相同的項和符號相反的項。
例1.利用平方差公式計算：
（5+6x）（5-6x）；
（x-2y）（x+2y）；
（-m+n）（-m-n）。
[師]下面我們就來做題，首先分析它們分別是哪兩個數(shù)的和與差的積的形式。
[生]（5+6x）（5-6x）是5與6x這兩個數(shù)的和與差的形式；（x-2y）（x+2y）是x與2y這兩個數(shù)的和與差的形式；（-m+n）（-m-n）是-m與n這兩個數(shù)的和與差的形式。
[生]（5+6x）（5-6x）=52-（6x）2=25-36x2；
（x-2y）（x+2y）=x2-（2y）2=x2-4y2；
（-m+n）（-m-n）=（-m）2-n2=m2-n2。
例2.利用平方差公式計算：
（1）（-x-y）（-x+y）；
（2）（ab+8）（ab-8）；
（3）（m+n）（m-n）+3n2。
[師]請同學(xué)們總結(jié)一下，利用平方差公式計算時應(yīng)該注意哪些問題？
[生]我覺得利用平方差公式計算必須注意以下幾點(diǎn)：
（1）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即整式。
（2）要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式。
（3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式。
[生]還需注意最后的結(jié)果必須最簡。
[師]同學(xué)們總結(jié)得很好！下面我們再來練習(xí)一組題。
1.利用平方差公式計算：
（1）（a+2）（a-2）；
（2）（3a+2b）（3a-2b）；
（3）（-x+1）（-x-1）；
（4）（-4k+3）（-4k-3）。
說明：螺旋式上升的例題以及緊扣例題的練習(xí)題，將公式的基本要領(lǐng)體現(xiàn)得很清楚，教師在引導(dǎo)學(xué)生做練習(xí)和思考的同時，要注意反復(fù)強(qiáng)調(diào)符號相同數(shù)的平方減去符號相反數(shù)的平方，使學(xué)生加深印象。
接著出一組題目讓學(xué)生先判斷能否利用平方差公式計算，如果能，算出結(jié)果。
說明：以上是對基本規(guī)律掌握后的提高和區(qū)別，圖示更能幫助學(xué)生理解公式的精髓。
