時間：2023-09-14 17:44:20
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇高中數學求最小值的方法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：數學思維;數學;思維障礙
所謂高中學生數學思維，是指學生在對高中數學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握高中數學內容而且能對具體的數學問題進行推論與判斷，從而獲得對高中數學知識本質和規律的認識能力。然而，在學習高中數學過程中，我們經常聽到學生反映上課聽老師講課，聽得很“明白”，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手;有時，在課堂上待我們把某一問題分析完時，常常看到學生拍腦袋：“唉，我怎么會想不到這樣做呢？”事實上，有不少問題的解答，同學發生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維形式或結果與具體問題的解決存在著差異。因此，研究高中學生的數學思維障礙對于增強高中學生數學教學的針對性和實效性有十分重要的意義。
一、高中學生數學思維障礙的形成原因
如果在教學過程中，教師不顧學生的實際情況（即基礎）或不能覺察到學生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，則到學生自己去解決問題時往往會感到無所適從;另一方面，當新的知識與學生原有的知識結構不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經“校正”后吸收。因此，如果教師的教學脫離學生的實際;如果學生在學習高中數學過程中，其新舊數學知識不能順利“交接”，那么這時就勢必會造成學生對所學知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產生思維障礙，影響學生解題能力的提高。
二、高中數學思維障礙的具體表現
于高中數學思維障礙產生的原因不盡相同，作為主體的學生的思維習慣、方法也都有所區別，所以，高中數學思維障礙的表現各異，具體的可以概括為：
（1）數學思維的膚淺性：由于學生在學習數學的過程中，對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程沒有深刻的去理解，一般的學生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質。
（2）數學思維的差異性：由于每個學生的數學基礎不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學生對于同一數學問題的認識、感受也不會完全相同，從而導致學生對數學知識理解的偏頗。這樣，學生在解決數學問題時，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。如非負實數x，y滿足x+2y=1，求x2+y2的最大、最小值。在解決這個問題時，如對x、y的范圍沒有足夠的認識（0≤x≤1，0≤y≤1/2），那么就容易產生錯誤。另一方面學生不知道用所學的數學概念、方法為依據進行分析推理，對一些問題中的結論缺乏多角度的分析和判斷，缺乏對自我思維進程的調控，從而造成障礙。如函數y=？f？（x）滿足f（2+x）=f（2-x）對任意實數x都成立，證明函數y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱. 對于這個問題，一些基礎好的同學都不大會做（主要反映寫不清楚），我就動員學生看書，在函數這一章節中找相關的內容看，待看完奇、偶函數、反函數與原函數的圖象對稱性之后，學生也就能較順利的解決這一問題了。
三、高中學生數學思維障礙的突破
在高中數學起始教學中，教師可以幫助學生明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學生學好高中數學的信心。
例：高一年級學生剛進校時，一般我們都要復習一下二次函數的內容，而二次函數中最大、最小值尤其是含參數的二次函數的最大、小值的求法學生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設計，對突破學生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學生普遍（包括基礎差的學生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設計如下：
（1）求出下列函數在x∈[0，3]時的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1
（2）求函數y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值。
（3）求函數y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
上述設計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調動了學生學習的積極性，提高了課堂效率。
誘導學生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數學教學中，我們不僅僅是傳授數學知識，培養學生的思維能力也應是我們的教學活動中相當重要的一部分。而誘導學生暴露其原有的思維框架，包括結論、例證、推論等對于突破學生的數學思維障礙會起到極其重要的作用。
例如：在學習了“函數的奇偶性”后，學生在判斷函數的奇偶性時常忽視定義域問題，為此我們可設計如下問題：判斷函數？f（x）=x3在區間[2-3a，a2]上的奇偶性。不少學生由f（Dx）=Df（x）立即得到f（x）為奇函數。教師設問：①區間[2-3a，a2]有什么意義？②y=x3一定是奇函數嗎？通過對這兩個問題的思考學生意識到函數？只有在a=2或a=1即定義域關于原點對稱時才是奇函數。
建構主義源自認知發展的理論。總體來說建構主義是對知識、學習、學生以及教學有著共同的主張和看法，其核心就是：以學生為中心，強調學生對知識的主動探索、主動發現和對所學知識意義的主動建構，強調學習的建構性、主動性、情境性和社會性等，而這與當前高中數學課程改革恰好是一致的。為適應新的高中數學新課程教學，建構主義在高中數學新課程教學中的應用可以考慮從以下幾個方面展開。
一、目標指引，創設情境
建構主義理論認為學習具有目標指引性和情景性，因此，我們在高中數學教學中提出的“目標指引，創設情景”的教學策略。例如高中新教材“二倍角公式應用”，教學上可如下設計問題情景：導入新課教學，有一塊以點O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上選擇一個內接矩形ABCD辟為綠地，使其一邊落在半圓的直徑上，另兩點B，C在半圓的圓周上。已知半圓半徑為a，如何選擇關于點O對稱的點A、D 的位置，可使綠地面積最大?設計如下問題：
問一：問題的本質是什么？（最優化選擇或最大值問題）；
問二：解決問題的前提是什么?（確定A、D位置）；
問三：A、D位置是由什么量決定的？（OA或OD的長度）；
問四：什么方法可解決上述問題?（目標函數法）；
問五：你有幾種構造目標函數的思路?
這樣的問題本身具有現實意義，源于生活，可快速吸引學生注意力。
二、獨立探索，積極體驗
1.引發主體，主動探索
這是激發學生主動學習的原則。蘇霍姆林斯基說：“教給學生能借助已有的知識去獲取新知識，是啟發學生思考積極性的教學技巧。”教學過程中，創造條件，讓學生根據教師提出的目的和途徑，運用已有的知識，生活經驗，動腦、動手、動口，進行觀察、實驗、計算、閱讀、思考等，主動地研究問題、探索知識。為了充分發揮學生學習的自主性，在課堂教學中教師應盡量引導學生進行探究發現學習。
2.研究認知結構．促進學生主動建構
以求二次函數最值為例，我們可以設計如下一系列問題，循序漸進地對學生進行訓練。
復習練習：求函數y=x2+2x+3的最大值和最小值；
拓展遷移：求函數y=x2+2x+3在一l≤x≤0時的最大、最小值；
提高訓練：求函數y=x2+2x+3在t≤x≤t+1時的最大、最小值；
強化訓練：已知x2-3x≤0，試討論y=x2+2x+3的最值情況；
能力提高訓練：若x≥0，y≥0，x+2y=l求t=x+y2的取值范圍。
在教學時充分發揮新舊知識的連接點、不同點，不僅有利于學生主動建構形成良好認知結構，同時也能為后繼學習打下堅實的基礎。
3.建構解題模式
對指導學生解題，波利亞認為，在解決一個自己感興趣的問題之后，要善于去總結一個模式(或稱為模型)，并井然有序地儲備起來，以后才可以隨時支取它去解決類似的問題進而提高自己的解題能力。因此，在教學過程中，我們要善于建構解題模式，指導學生解題。在探討等差數列前n項和時，其中就蘊藏著一個重要的解題模式――逆序相加模式，在教學時可以加強它的運用。我們可以運用這一模式來很好解決這樣一道題：求證Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）Cnn=（n+2）2n-1。
三、協作學習，引導民主氣氛
建構主義認為學習是具有社會性，在個人學習的基礎上開展小組討論、協商，通過不同觀點的交流，以進一步補充、修正和深化對當前問題的理解，而協作的學習環境應該是民主、和諧的，為此在高中數學新課程教學中可以重點運用“協作學習，引導民主氣氛”的教學策略。
建構主義理論認為社會性的互助可以促進學習，學習者與社會環境的交互作用，對于學習內容的理解起著關鍵性作用。學生們在老師的教導和指引下一起討論和交流，在高中數學課堂中可以采取三四人一組的小組討論，鼓勵學生積極發言，共同建立學習群體并成為其中一員，在協作學習的環境中，整個學習群體一起完成對知識的意義和構建。
參考文獻
[1]李長存 構建課堂主體教學模式的探索[J].中小學教師培訓，2010，7。
關鍵詞：數學思維 數學思維障礙
高中學生的數學思維的形成是建立在對高中數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的；發展高中學生數學思維最有效的方法是通過解決問題來實現的。在學習高中數學過程中，我們經常聽到學生反映上課聽老師講課，聽得很“明白”，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手，事實上有不少問題的解答，同學發生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維形式或結果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，這時候，學生的數學思維存在著障礙。這種思維障礙，有的是來自于我們教學中的疏漏，而更多的則來自于學生自身，來自于學生中存在的非科學的知識結構和思維模式。如果教師的教學脫離學生的實際；如果學生在學習高中數學過程中，其新舊數學知識不能順利“交接”，那么這時就勢必會造成學生對所學知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產生思維障礙，影響學生解題能力的提高。學生數學思維障礙的形成，不僅不利于學生數學思維的進一步發展，而且也不利于學生解決數學問題能力的提高。所以，在平時的數學教學中注重突破學生的數學思維障礙就顯得尤為重要。
1. 在高中數學起始教學中，教師必須著重了解和掌握學生的基礎知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調學生的主體意識，發展學生的主動精神，培養學生良好的意志品質；同時要培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生對數學學習有了興趣，才能產生數學思維的興奮灶，也就是更大程度地預防學生思維障礙的產生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學生學好高中數學的信心。
例：高一年級學生剛進校時，一般我們都要復習一下二次函數的內容，而二次函數中最大、最小值尤其是含參數的二次函數的最大、小值的求法學生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設計，對突破學生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學生普遍（包括基礎差的學生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設計如下：
1〉求出下列函數在x∈[0，3]時的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1
2〉求函數y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值。
3〉求函數y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。
上述設計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調動了學生學習的積極性，提高了課堂效率。
二、重視數學思想方法的教學，指導學生提高數學意識。數學意識是學生在解決數學問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎知識的具體應用，也不是對應用能力的評價，數學意識是指學生在面對數學問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學生面對數學問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數學意識落后的表現。數學教學中，在強調基礎知識的準確性、規范性、熟練程度的同時，我們應該加強數學意識教學，指導學生以意識帶動雙基，將數學意識滲透到具體問題之中。如：設x2+y2=25，求u= 的取值范圍。
若采用常規的解題思路，μ的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形：轉而構造幾何圖形容易求得u∈[6，6 ]，這里對u的適當變形實際上是數學的轉換意識在起作用。因此，在數學教學中只有加強數學意識的教學，如"因果轉化意識""類比轉化意識"等的教學，才能使學生面對數學問題得心應手、從容作答。所以，提高學生的數學意識是突破學生數學思維障礙的一個重要環節。
1. 誘導學生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數學教學中，我們不僅僅是傳授數學知識，培養學生的思維能力也應是我們的教學活動中相當重要的一部分。而誘導學生暴露其原有的思維框架，包括結論、例證、推論等對于突破學生的數學思維障礙會起到極其重要的作用。
例如：在學習了"函數的奇偶性"后，學生在判斷函數的奇偶性時常忽視定義域問題，為此我們可設計如下問題：判斷函數 在區間[2 6，2a]上的奇偶性。不少學生由f（x）=f（x）立即得到f（x）為奇函數。教師設問：①區間[2 6，2a]有什么意義？②y=x2一定是偶函數嗎？通過對這兩個問題的思考學生意識到函數 只有在a=2或a=1即定義域關于原點對稱時才是奇函數。
使學生暴露觀點的方法很多。例如，教師可以與學生談心的方法，可以用精心設計的診斷性題目，事先了解學生可能產生的錯誤想法，要運用延遲評價的原則，即待所有學生的觀點充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解決不徹底。有時也可以設置疑難，展開討論，疑難問題引人深思，選擇學生不易理解的概念，不能正確運用的知識或容易混淆的問題讓學生討論，從錯誤中引出正確的結論，這樣學生的印象特別深刻。而且通過暴露學生的思維過程，能消除消極的思維定勢在解題中的影響。當然，為了消除學生在思維活動中只會"按部就班"的傾向，在教學中還應鼓勵學生進行求異思維活動，培養學生善于思考、獨立思考的方法，不滿足于用常規方法取得正確答案，而是多嘗試、探索最簡單、最好的方法解決問題的習慣，發展思維的創造性也是突破學生思維障礙的一條有效途徑。
當前，素質教育已經向我們傳統的高中數學教學提出了更高的要求。但只要我們堅持以學生為主體，以培養學生的思維發展為己任，則勢必會提高高中學生數學教學質量，擺脫題海戰術，真正減輕學生學習數學的負擔，從而為提高高中學生的整體素質作出我們數學教師應有的貢獻。
參考文獻
1、任樟輝《數學思維論》（90年9月版）
徐 健
（鎮江市實驗高級中學，江蘇 鎮江 212000）
摘 要：數列是高中數學的重點和難點，從數列學習中我們可以看到函數知識在孤立自變量中的運用，展現了元素的孤立美．本文從不同的視角去審視數列教學的思想性，旨在分析高三數列復習教學中的數學思想的重要性，意在提高學生分析、解決數列問題的眼界．
關鍵詞：數列；數學思想；函數思想；整體思想
中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：
數列是函數的特殊情形，是一種不連續函數在高中數學中的具體體現．對數列的考查，足以體現學生分析問題的嚴謹性、整合性，從中可以體會到學生解決無窮數量問題的邏輯分析能力和運算能力，一直是各地高考的重點和難點．
從另一方面來首，我們知道高三復習教學不能僅僅以大量的重復訓練為根本復習手段，這樣會使學生陷入學習的枯燥情緒和知識的低效運作中，是一種效率極低的教學方式．通過多年教學的經驗，筆者認為高三復習教學以一輪復習作為基本，輔以專題形式的總結性訓練，諸如：知識點交匯處的專題或思想方法的專題等等，能在一定程度上使學生得到數學解題能力質的飛躍．本文將以高三數列復習中的獨特視角，以數學思想方法為載體談談數列復習的高效性．
一、函數思想解數列
數列是一種特殊的函數，這表明數列問題至始至終圍繞著函數思想進行運作，這就要求我們在解決數列問題時，多多以函數思想的角度思考數列的問題，比如可從函數的三大性一窺某些數列的性質，利用函數圖像的分布研究數列的圖像特征等，達到轉化化歸的目的，既運用數學思想解決問題又降低數列問題的解決難度．
例1 已知數列{an}．（1）若an＝n2－5n＋4，①數列中有多少項是負數？②n為何值時，an有最小值？并求出最小值．（2）若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1>an，求實數k的取值范圍．
分析：（1）求使an<0的n值；從二次函數看an的最小值．（2）數列是一類特殊函數，通項公式可以看作相應的解析式f(n)＝n2＋kn＋4，f(n)在N*上單調遞增，但自變量不連續．從二次函數的對稱軸研究單調性．
解析：（1）①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4，n∈N*，n＝2或3，數列中有兩項是負數，即為a2，a3．
②an＝n2－5n＋4＝n－522－94的對稱軸方程為n＝52，又n∈N*，當n＝2或n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2．
（2）由an＋1>an知該數列是一個遞增數列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關于n的二次函數，考慮到n∈N*，所以－k2<32，即得k>－3．
說明：（1）我們知道，本題中數列的通項公式顯然是以二次函數為背景的，對二次函數圖像、性質、最值等基本的研究可以方便我們輕松解決此類數列通項問題，足以體現函數思想在數列問題中的重要運用；（2）值得注意的是，數列不是連續的函數，因此對二次函數對稱軸的使用要當心；（3）利用單調性解決數列問題時，要注意自變量的范圍，函數與數列是不可分割，但也是有區別的．
二、整體思想解數列
整體思想是高中數學各個章節中貫穿始終的數學思想，其主要體現在能否用整體的眼光去看待一個數學問題，尤其是數學公式的重要運用，有些學生在解決數學問題時往往“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，正是因為其沒有用整體思想看待數學公式的使用，導致其解決問題寸步難行．
例2 設等差數列 的前 項和 ，前 項和 ，求它的前 項的和 ．
分析：（1） ，只需求出
即可．（2）由 ， 可以構造出 ，并求出．
解析：方法一：設 的公差為 ，則由 ， ，得 ，
②－①得 ， ， ，
．
方法二：設 ，則 ，
③－④得 ． ， ，
， ．
說明：（1）整體思想是高中數學中凌駕于知識體系思想方法之上的整體性思想方法，其體現在高中數學飛公式運用等重要環節，對本數列問題而言，兩種解答均用到了數學的整體思想，其中法一把 看成了一個整體，法二把 看成了一個整體，大大簡化了數列的運算量；（2）針對數列整體思想的運用，筆者建議首先要培養學生在公式運算中的整體意識，包括很多數學公式運算中要常常提起整體思想，諸如三角函數公式 的使用就是整體思想最好的體現；（3）對整體思想的運用還需要學生對數學計算的熟練程度，對觀察的要求也較高，值得教師在教學中不斷進行滲透．
總而言之，數學學習的最高層次是數學思想方法的學習，是數學的心臟，是教師數學教學的核心．
高中數列問題中顯示出多種的數學思想方法，以本文為例彰顯較為重要的函數思想和整體思想，將思想方法滲透進學生的腦海中，遠比大量進行題海訓練而鞏固學生的知識來得牢固．這就是天津師大教授顧沛對思想方法進行這樣的總結：“用訓練來鞏固學習，是初級的學習方式；而用思想方法看待學習，是一種高端的享受學習．”
因此掌握高中數學思想方法并能在數列問題中熟練運用，得益于教師日復一日的滲透和學生用心的感知．在數列復習教學中還要對其他的思想方面進行全面滲透，諸如數形結合思想、分類討論思想、函數方程思想等，考慮到這些常規思想在教學中涉及較多，本文未做詳細展開，而是對更全面的兩個數學思想進行了結合例題的闡述，通過問題提高學生看待數列本質的能力，使其在掌握扎實的雙基的同時，將知識點進行有機的整合，最終上升到思想方法的高度進行提煉，久而久之的磨練可以提升學生的數學能力和數學素養．限于篇幅，本文對兩方面的思想方法淺顯的做了分析，其他思想方法的研究還不夠完善，懇求讀者指正補充．
參考文獻：
[1]沈恒.運用整體思想求數列[J].中學數學教學參考(上半月),2009,(10).
[2]劉見樂.用函數思想指導高中數學解題[J].中國數學教育,2011,(05).
圓系方程的主要運用方式是將參數與圖像相結合，以便于加深學生對題干的理解.在幾何題解題過程中，適合既定條件的圓構成了一個圓系，一個圓系的共同形式的方程稱之為圓系方程.將圓系方程運用于高中幾何題型中，能幫助有效解決幾何問題，提高解題效率.因此，有必要對圓系方程在數學解題中的具體應用進行研究和探討.
一、借助圓系方程求圓的方程
高中數學具有一定的邏輯性和抽象性，學生在學習過程中若不是全身心投入，則很容易將各項概念和性質等混淆，導致教學效率不高.教材中關于求圓的方程式的內容和經典題型比較多，但一般的解題思路是通過已知條件求得圓的半徑和圓心標之后，再得出圓的方程式.這種方法的操作比較麻煩，不利于學生在考試過程中使用.并且過長的計算時間容易導致學生在解題過程中出現計算錯誤或常識性失誤等.若借助圓系方程，則可首先假設適合已知條件的圓系方程，列出含有未知數l的相關參數，并依據題干給出的條件進行運算，求出直徑l的值，這樣，運算量明顯減少.
在給出的解題參考中，先對兩圓的交點坐標進行求解，再假設方程，將已知的點直接代入，借助待定系數法求得待定系數的值，最后得出圓的方程.相比之下，圓系方程的運用，減少了解題耗費的時間.需注意的是，實際解題過程中，學生切不可不認真審題就直接采用圓系方程求解.使用圓系方程的基本前提是了解題干及潛在解題條件，充分分析完題干，再選擇求解方式.
二、求兩圓的公共弦或兩圓的公切線方程
針對這一類型數學題，一般解題思路是將兩圓的方程看做F（x，y）+λG（x，y）=0，取λ的值為-1，則可解答方程，這種解題方式相對比較簡單.由于教材中沒有涉及具體圓系方程的知識點，可將其轉換為一般式方程之后聯立，將兩個方程式相減，可得到兩圓的公切線方程.一般情況下，借助圓系方程解決此類問題，需首先確定兩圓的位置關系，再進行下一步的計算.
例2：已知圓C：x+y+2x+8y-8=0，圓C：x+y-4x-4y-2=0，求兩圓的位置關系.
根據教材內容可知，兩圓存在不止一個公共點.此題的解題關鍵是確定兩圓的位置關系，在清楚了位置關系之后，即可借助圓系方程，求出兩圓的公共直線的方程式.此時可知公共弦的方程式為x+2y-1=0.
此時需注意的是，若無法準確判斷兩圓的位置關系，經過計算所得的直線方程，不能直接將其界定為公共弦，或者公切線方程.學生在實際解題過程中應認真理解題干和要求，有效利用已知條件及蘊含條件進行解題.
通過圓系方程的運用，簡化了原本需要聯立方程式和計算的過程，大大縮短了解題時間.同時，此題運用圓系方程解題的正確率更高，學生不易由于數字特征而產生常識性失誤.
三、借助圓系方程判斷直線與圓的位置關系
高中數學中，要求對直線與圓的位置關系進行判斷，是比較常見的題型.教材中給出了代數解題法和幾何解題法兩種，代數法需要對方程進行消元處理，繼而得到一元二次方程，這一方法的計算量比較大，學生容易在解題過程中發生計算錯誤等問題.因此，解題過程中可盡量不用代數法.幾何法相對更簡單一些，首先求出圓心距直線的距離d，再將半徑r與直線d進行大小判斷，通過兩者的關系確認，進而判斷圓與該直線的位置關系.但幾何法大多運用于比較簡單的問題.針對部分比較難的問題，借助圓系方程進行解答準確性更高，也更簡便.
例3：圓系方程x+y+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k∈R，k≠-1）中，求任意兩個圓的位置關系.
此題中的圓系方程可轉換為x+y+10y+20+k（2x+4y+10）=0；
由方程2x+4y+10=0，以及x+y+10y+20=0，可知該方程表示的直線與圓呈相切的關系.
因此，可得該圓系方程表示的兩個圓有一個公共點.
四、借助圓系方程求最小面積的圓的方程
高中數學中，求最小面積或最大面積的圓的方程的題型比較常見，常規的解題方法也相似，即只要知道滿足圓的最小面積的半徑的方程式即可.而將圓系方程運用于這類題型中，解題過程則更加簡單.
例4：求經過兩圓x+y=5，（x-1）+（y-1）=16的交點，且面積最小的圓的方程.
此題若采用常見的解題方法，需首先聯立方程，求得兩圓的交點.再設所求的對象圓的方程，在其中發現各項變量之間的關系，最終獲得半徑的最小值.這類解題方法有一定的可行性，但解題所需時間較多.借助圓系方程則可減少運算所需的時間，提高解題效率.
兩圓相交直線的方程式為2x+2y-11=0，則經過直線2x+2y-11=0與圓x+y=5相交的點的圓系方程為x+y-25+l（2x+2y-11）=0，為了求得最小半徑，兩圓的相交直線須為所求的圓的直徑；
因此圓心坐標為（-1，-1），在弦2x+2y-11=0上，所以l=-，所求的圓的方程表示為（x-）+（y-）=.
需注意的是，在高中數學題中，通常求最小面積的圓的方程與求最大面積的圓的方程的題型比較多，兩者有相似之處.
高中數學題一般具有較強的綜合性，對學生邏輯思考能力和解題思維都有所要求.將圓系方程運用于高中數學解題過程中，通過簡化題干、設已知條件等方式，不僅能夠減少解題所耗費的時間，簡化解題程序，還能夠促使學生能夠在更短的時間內完成解題.并且，在不斷的訓練和解題過程中，學生逐漸養成較強的邏輯思維和解題習慣，進而促進數學成績的提高.此外，教師應引起注意，積極尋找解決該類問題的途徑，從而使學生在考試當中獲得理想的成績.
參考文獻：
[1]王慎.圓系方程在高中數學解題中的應用[J].數理化解題研究（高中版），2015，07：12.
[關鍵詞]初高中 數學學習銜接教學
很多學生初中數學成績尚可，步入高中卻普遍認為數學難學，究其原因，主要有以下兩個方面：一是教材內容形式不適應，近年義務教育初中教材難度降低較大，而高中教材自成體系，內容形式簡單，但實際操作要求很高；二是學習方法不適應。在初中，學生都是在老師的概括歸納下，將老師講過的東西照搬照套，做熟習題即可，而高中則要求學生勤于思考，善于舉一反三，能歸納探索各種規律。然而剛步入高一的新生往往沿用初中那套學習方法，結果感到數學難學。怎樣有效地縮短高一新生對高中數學的不適應期， 使他們盡快順應高中數學的教學活動是每一位高一老師思考的問題，本人在高中教學中探索了一些初高中數學教學銜接問題上的做法。下面，本人就從以下幾個方面略述一些淺見。
1 激發學生的學習興趣，充分調動學生的主動性和積極性。興趣是進行有效活動的必要條件，是成功的源泉。所以，要使學生學好數學，就要調動他們學習的主動性，使學生認識并體會到學習數學的意義，感覺到學習數學的樂趣。鑒于學科特點，教學時應加強教學的直觀性，象物理、化學一樣，通過直觀性使學生理解概念、性質；另外在教學時，應設計一些接近學生最近發展區的問題，盡量做到問題的提出、內容的引入和拓寬生動自然，并能自然地引導學生去思考、嘗試和探索。在數學問題的不斷解決中，讓學生隨時享受到由于自己的艱苦努力而得到成功的喜悅，從而促使學生的學習興趣持久化，并能達到對知識的理解和記憶的效果。
2 銜接好教材內容。初高中教材內容相比，高中數學的內容更多、更深、更廣、更抽象；同時，高中數學更多地注意論證的嚴密性和敘述的完整性、整體的系統性和綜合性。因此在高中教學中，要求教師利用好初中知識，由淺入深過渡到高中內容，起點低，步距小，撫平高初中數學的“臺階”，下面以《二次函數》教學為例談談。
具體教學可如下安排：(a)一元二次方程、不等式；(b)一元二次函數的最值及應用；(c)閉區間上二次函數的最值；(d)含參一元一次方程的討論；(c)含參二次函數在閉區間上的最值討論初步；(f)一元二次方程根的分布。每節中編入適當練習，例如在(c)節中編入理解性練習：
一邊圍墻，另三邊用50米長的籬笆圍成一個長方形場地，設垂直院墻的邊長為X米，寫出場地面積y與x的函數關系式并說出邊長為多少時，面積最大。(初中課本習題)
理解性練習：
函數少=x2+2x+3若其定義域分別為R，[-1，0]，[t，t+1]時，求它的最小值。
鞏固性練習：
0≤x≤3：3試討論y=x2+3x的最值情況。
在(e)節中編入理解性練習：
y=x2+2mx，X∈[－1，1]求它的最小值。
鞏固性練習：
y=x(2a-x)在X∈[0，2]時有最大值a2，求它的范圍。
講完上述內容后再進行集合、函數的教學，逐步進入高中數學新領地。搞好二次函數教學首先是對高中數學多角度思維的初次展現，因為初中學習的二次函數通過配方法可解決問題，不需要考慮定義域，而現在要定區間，看圖象，討論對稱軸，此舉打破了以往“只看前方，不顧左右”的單一思維模式，使學生體會到思維需要更加廣闊，促進他們在今后的學習中積極思考，刻苦鉆研；其次，搞好二次函數教學可以以此滲透函數與方程的思想、分類討論的數學思想、轉化的思想和數形結合的思想等等。總之，抓二次函數的銜接教學能完善和發展學生的認知結構，有效地縮短初高中數學知識跨度的鴻溝。
一、高中數學解題教學現狀
1.解題技巧過于具體
高中數學解題教學中存在解題技巧過于具體化的問題，一些教師過分關注典型題目解法，并且這些題目都給出了幾種解題方法，導致這類題的解題思路固定化，使得一部分教師認為沒有必要再仔細研究課本.其實課本給出的解題方法才是最基礎的、最通用的，只有熟練掌握課本中的解題方法，才能在此基礎上探究出很多其他方法.課本中的解題方法雖然不是最典型的、最簡單的，但注重學生的基礎知識訓練，如果忽視了這些，必會帶來學生基礎的薄弱.
2.過于依賴解題教學
目前，很多高中教師很依賴解題教學，在教學中搞題海戰術，認為學生解題能力與數學高分直接掛鉤.雖然提高學生的解題能力是高中數學的目的，但題海戰術并不是達到這一目的的有效途徑.教師常把題目分類，針對各題型例子講解并做大量的訓練，使學生達到
識別模型，熟練套用的效果.這種方法雖有一定的效果，但學生缺乏反思的時間，學生所掌握的是解題步驟的套用，偏重于記憶能力培養，弱化了思維能力培養.
3.缺乏反思解題習慣
高中數學大量的題海訓練，使學生少了反思的時間，這不利于學生反思解題習慣的培養.一些學生追求解題數量，很少反思解題中出現的問題，不愿意花時間糾正，不愿意整理自己的解題思路，導致解題中會犯同樣的錯誤，導致解題教學效率低下.解題反思需要調動學生的積極主動性，只有學生主動反思，才能提高解題效率.
4.解題遷移能力較差
數學解題過程中，部分學生雖然了解了要考查的知識點與內容，但由于對知識點的掌握不牢，缺乏解題能力，不能很好地理解解題方法.由于一味的追求解題量，忽視了對基礎知識的學習，對數學概念、定理等知識的掌握停留在表層，不利于舉一反三能力的培養，不利于數學知識的遷移能力培養.
二、高中數學解題教學的反思途徑
1.反思知識點
高中數學解題教學中會涉及到很多知識點，如果學生掌握的知識點不系統，解題中就會出現就題論題的現象，這不利于學生解題能力的培養.因此，解題教學中教師應引導學生積極反思知識點，通過解題使學生對數學公式、定理等知識的掌握更為條理、系統，弄清新舊知識之間的聯系脈絡，從而提高解題能力.例如：設函數f（x），g（x）分別是R上的偶函數和奇函數，當x=0時，f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，且有f（6）=0，解關于x的不等式f（x）g（x）>0.這道題注重新舊知識間的聯系，學生仔細觀察f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0后，很容易就能發現與h（x）=f（x）g（x）的導數有密切關系，所以構造函數h（x），得出當x>0時，h（x）的單調性.學生在解題中通過知識間的聯系引入了構造函數法非常好，為了加深學生理解，教師應引導學生深入反思，全面考慮問題.課本中有很多這樣的例題，教師教學中應注重引導學生反思知識點，從而引導學生在解題中加深對知識的理解與掌握，提供具體反三的能力.
2.反思題目條件
為了提高學生靈活解題的能力，解題教學中可引導學生反思題目條件開展變式教學，如通過變換題目條件得出新結論，從而使學生掌握更多的知識，拓展學生的知識面.例：點P在橢圓x24+y2=1上運動，求定點Q（0，3）與動點P的距離|AP|的最小值.這對學生來說是很簡單的，對這樣的題，教師應引導學生變換題目，得出不同的結論.變式的方法多種多樣，如結論變式：將求最小值變為求最大值.已知變式：將橢圓改為雙曲線x23-y2=1；將定點Q變為（0，t） （t>0），求|AQ|的最大值；將橢圓改相關的圓、拋物線等等.這樣反思解題條件，能使學生考慮條件與結論之間的聯系，由一題多變提高學生思維的靈活性、深刻性，從而優化解題思路.
3.反思解題方法
數學解題教學中不斷反思解題方法，能學會從不同的角度、側面分析問題，從而拓展學生視野，提高思維的靈活性與深刻性.例：已知等腰三角形腰上的中線長是3，則該三角形面積的最大值是（ ）.對這類題教師應引導學生反思解題方法是否可以推廣，因為等腰三角形是軸對稱圖形，解題中常借助直角坐標系進行研究，采用數形結合思想解決.同時條件中給出了“中線”，求三角形面積時可以運用三角形重心性質.對這一問題有多種解法，能進行多角度的轉化，教師先不要列出解題方法，讓學生討論反思，培養學生思維的靈活性與變通能力，從而調動學生積極性.
4.反思結論作用
高中數學解題中，有些題目很簡單，但是其結論應用較為廣泛.解題教學中如果只是找出解題方法，忽視對結論的探索是很可惜的，因此應反思結論在解題中的作用，比如：證明一個定圓上任意一點到與圓相離的定直線上最大距離是圓心到直線距離加上半徑，最小距離是圓心到直線距離減去半徑.這個問題很容易證明，但它的結論給了我們很大的啟示，例如圓C：x2+y2=1，直線l：x-y+a=0，試討論圓上有幾個點到直線距離等于2.很顯然運用剛才的結論，再加以討論就可以得到.
5.反思易錯點
【關鍵詞】二次函數；高中數學；函數關系
初三級教材對二次函數有了基本的介紹，但是由于學習任務的劃分，初中階段并沒有要求對二次函數的應用。在以函數為主導高中數學中，二次函數占了很大的比重，高中數學任務強調知識的運用能力，這也就要求高中生對二次函數有更深入的了解，對二次函數的解答和模型建立都有詳細的概念和較好的運用能力。
一、二次函數的定義
初中課本中界定，主要從函數關系上說明二次函數：一般來說，如果自變量x和因變量y之間存在著如下關系：均為常數，且，我們就稱x是y的一元二次函數。但是高中數學從映射觀點上重新解釋二次函數：二次函數就是從一個結合A（定義域）到另一個集合B（值域）上的一個映射f：AB，使得集合B中的元素均為常數，且與集合A的元素X一一對應，用函數表示為：為常數，且其中為對應法則，又表示定義域中元素X的象。
二、二次函數定義域和值域問題
定義域和值域問題是二次函數中比較簡單的求解問題。
定義域就是函數關系中的自變量的取值范圍，如果沒有要求，就要根據情況進行自己選定，一般情況下都去全體實數，遇到實際問題模型是，要可以根據問題進行取舍，比如說向實際的生產運輸問題，這類要求是x≥0。有時，定義域的取值是間斷的幾段曲線，比如|x|>2，這是解答時要特別注意端點的取舍問題，有時候我們所得到的解就在端點，但是一個等號的取舍不當可能斷送一道題目。求解定義域時，解盡可能寫成集合形式，從小到大依次書寫，這也可以降低解函數表達式不完整的情況。
值域就是的對應y的取值，在高中數學中，值域的考察還是相當多，值域特別注意的極值問題，在值域計算中，要注意斷點和端點的。一般求值域的方法是找到全部的端點和極值點，分別求出對應的數值，同時準確判斷出各個點之間的單調性，這樣可以羅列出一組取值范圍，在這些值中找到連續段和孤立點，然后進行解的集合組合。
三、二次函數單調性和最值問題
單調性就是指函數在某個區間段中呈現出的變化趨勢，單調性的求解用來判斷函數的最大值或者最小值，也可以用來判斷實際函數模型的生產關系。在高中數學中，直接求解單調性的問題不多，大都是通過單調性的判斷，進行相關最值、極值的計算。
最值問題是高中數學函數重要的部分之一，最值的求方式有很多，主要有畫圖法、配方法、因式分解法、到導數分析法，在具體問題分析時，要根據題設要求，選擇最簡單可行的方法。
四、二次函數的應用
【參考文獻】
[1]王剛.淺談二次函數在高中數學中的應用[J].科技視界，2012，（13）.
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關鍵詞：高中數學 化歸思想 解題思路
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）11（b）-0128-02
化歸思想是一種常見而又特殊的解題思想，同時，也是一種最基本的思維策略，更是一種切實可行的數學思維方法。簡單地說，化歸思想就是指我們在解決某一數學問題時，采用某種手段將問題通過變換的形式，轉化成簡單的、易求解的、具體的、直觀的問題，從而解決問題的一種方法。在高中數學例題中，化歸思想無處不在，它能有效地減少學生解題的時間，而且還能增強學生解題后獲得的成就感，同時，還能鍛煉學生解題思維能力。正因如此，化歸思想受到了廣泛的關注。
1 化歸思想分析
1.1 內涵
根據筆者對化歸思想的認識，其內涵可以表達為用真命題證明新命題，用現有概念來定義新概念，并以此來處理各種新問題，也正是這種特殊的內涵，使得數學可以通過一定的改造與手段來構建一些新的體系，讓數學內容與形式變得豐富多彩。而在高中數學中，化歸思想的影子隨處可見，如方程求解化歸為一元或二元方程求解，立體幾何問題通過空間向量轉化為代數問題，數列求和問題轉化為等差或者等比數列問題，函數問題轉化為導數問題等。
1.2 明確內容及模式
在應用化歸思想時，應注意明確三項內容：化歸的對象、化歸的目標以及化歸的途徑。其中，化歸的對象為轉化變更部分；化歸的目標是將化歸的對象轉化為能處理的問題；化歸的途徑是為實現化歸的目標所采取的方法。這種途徑在我們高中數學里常見的形式有：換元、配方、割補、向量表達等，我們可以將此分為三大類：數量特征的轉化、數學形式特征的轉化、位置關系的轉化。而化歸思想的一般模式如圖1所示。
1.3 原則
化歸思想所要遵循的一般原則有：簡單化原則、具體性原則、標準化原則、和諧統一性原則以及低層次化原則。
2 化歸思想在高中數學中的實際應用
2.1 不等式直接轉化問題
轉化問題可謂是化歸思想里的核心問題，是將待解決問題轉化為易解決的問題，在這個過程中，需要利用一些基本的定義、定理以及熟悉公式或者圖形描述，使得問題一目了然，得到快速解決。
例1，（2008年江蘇數學試卷）設，，均為正實數，證明：≥。
解題思路：利用高中數學里熟悉的不等式公式，將例一的證明直接轉化，即注意到，，均為正實數，可以得到≥，于是≥，倘若能證明≥，那么問題得證，現有不等式≥成立，故，當且僅當時，等號成立，即原問題得證。
當然，也有些數學題是直接利用表1的關系來命題的，例如，已知0≤≤6，為實數，不等式恒成立，試求的取值范圍。
2.2 換元法問題
換元法也是化歸思想里的一種常見的方法，它是將一些過于復雜的不等式或者方程、函數等化歸為比較直觀而又簡單的問題。在我們高中數學中，基本都是局部換元，即將一些式子視為一個整體，并用某個變量去替換，從本質上來講，這是一種等量化歸思想，即構造元或者設置元使得我們求解的復雜問題逐步簡化。
例2，（2008年浙江數學試卷）若，求（）。
（A） （B）2 （C） （D）-2
解題思路：現令，，由可得，而由知，故，聯立兩個等式得，求得，所以，，因此，答案選（B）。
2.3 數與形的轉化問題
在高中數學里，數與形密不可分，兩者相互轉化，相互滲透，數缺少了圖形輔助則便少了主觀性，形缺少了數則難以描述，由此可見，作為高中數學里最基本的研究對象，數與形體現了兩者在高中數學里最重要的一面，即幾何與代數的結合，而從思想方法來看，數與形的轉化也更加直接地體現了化歸思想。當然，只要我們善于觀察數與形之間的關系，并將其具體應用到數學解題中去，那么，我們相信在今后的高中數學學習中，準確而快速的解題方式將大受歡迎。
例3，已知恒等式，試求的最小值。
解題思路：將關于數的問題直接轉化為形的問題，即把原問題看作是在求點到點之間的最短距離，也就是求點到直線距離中最短的距離，由我們熟悉的點到直線距離公式便可求得。
值得說明的是，在問題處理上，巧妙地進行了轉化，使得代數問題更加直觀地化歸為平面幾何問題，這樣做的好處在于它能避開求最值r所要考慮的條件滿足問題。
2.4 多維向低維轉化的問題
多維向低維的轉化，在高中數學里最為常見的就是空間幾何問題，如物體的運動軌跡、空間截圖等，可以說是將三維空間問題轉化為平面幾何問題，并在二維平面基礎上，應用現有的公式、定義、定理等，最終把待求解問題逐一簡化，使我們解題更容易。
例4，如圖2所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知，且，現有一物體從點出發，沿著長方體ABCD-A1B1C1D1的表面運動至點，試求物體在這個運動過程中的最短路程？
解題思路：將上述長方體ABCD-A1B1C1D1視為一個正六面體的盒子，并將其最右邊平面與最后邊平面展開，分別得到如圖3和圖4的俯視圖，由高中數學知識里的平面幾何中兩點之間直線段最短原理，即可求出該物體運動的最短路程必是、、這三者之一。
通常，求解最值問題基本都是轉化為函數形式，但是，該題是空間幾何運動問題，且題中并沒有告訴已知的函數，故轉化為函數形式行不通。然而，平面幾何求最值的方法很多，如兩點距離最短原理等，因此，通過化歸思想將問題化歸為二維平面問題，可使求解問題變得更加簡單。
3 結語
綜上所述，化歸思想在高中數學中非常重要，它能幫助我們快速地、準確地將一些復雜的、抽象的問題化歸為簡單易懂的問題。我們在學習數學知識的過程中，要善于運用化歸思想，這樣我們的數學思維能力才會得到鍛煉和拓展，同時，數學問題也能得到解決。
參考文獻
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【關鍵詞】高中數學 教學 實效性 策略
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）09-0138-01
伴隨著高中新課程改革的逐步推行，提高課堂教學的時效性開始成為一種新的教學理念。數學作為高中教育的重要學科，新課標的教材呈現出目前數學的教學不能只局限于培養學生的思維邏輯推理能力，而要提高學生豐富深刻的數學文化素養。這為高中數學教學既帶來了機遇，也帶來了重重的挑戰。因此只有提高教學活動的實效性，才能緊跟時代步伐，才能完成新課標下的教學目標，達到教師預期的教學效果。筆者欲結合自己的教學實踐，欲從以下幾方面入手提高數學課堂教學的實效性。
一、加強教師對學生掌握程度的把握
高中的學生面對高考的壓力，學習任務的繁重，加之數學這門學科對學生的知識儲備和邏輯推理思維能力要求極高，導致相當一部分學生跟不上老師的講解，課堂上出現“對牛彈琴”的現象。教師在完成一個新的教學任務之前，需要對學生的知識儲備，認知水平及基本推理思維邏輯能力做基本的了解，從中既促進了教學活動的有效進行，又能切實地對學生的學習的狀況、態度以及情感價值觀念進行指導，順利地完成了新課標要求的三維教學目標。因此，教師對學生掌握已有知識程度的了解顯得十分重要，否則，會導致教師在課堂教學的盲目性，不能較好地完成教學任務和達到應有的教學效果。
二、充分利用教材，突出重難點
教材是教學內容的載體，是連接教師的教和學生的學的紐帶。新課標關于教材的處理，對教師提出了新要求，讓教師不再像傳統教學那樣教教材，而是要學會如何運用教材，把手頭教材當做一手教學參考資料，對其進行深入挖掘。如何完成對教材的深度挖掘，以便實現高效數學課堂教學？就要求授課教師提高自己的知識儲備，能對教材有整體性地把握，能夠明確本節課在整本教材和章節中的認識，大腦中能形成網絡結構圖，呈現出知識結構示意圖。同時，教師要吃透教材，對課堂教學要求掌握清楚，要知道自己在本節課中知要涉及到哪些知識內容，這些內容是認識、了解、理解、掌握中的哪一個標準，突出重難點。否則，容易課堂中出現該講的不講，不該講的講一堆，不能很好地完成課堂教學的實效性。課堂時間是有限的，學生的集中時間更是有限的，教師要善于掌控自己的課堂，頭腦靈活，思維便捷，處理課程難點時，要注意技巧，不要讓難點困擾了學生的思維，學會引導，使難點不難，抽象不難懂。例如下面一道題關于函數最小值的求法：
y=■+■的最小值
學生看見這道題時，大多數學生肯定第一反應兩邊平方，但依舊難于解決。這個時候便需要教師引導學生利用“數”和“形”的結合的方式來解決。首先讓學生思考：
A（1，1），B（2，4）在x軸上找一點P，使得PA+PB的和最小值并求P點坐標
引導學生探究：如何在x軸上找點P，通過做A點關于x軸對稱A1，連接BA1，交x軸于交點，極為所求的點P。學生很快注意到難以下手的問題就這樣得到解決。“數”和“形”是數學的兩個基本研究對象，在數學函數問題的處理上，通常以“數”解“形”或以“形”助“數”，兩者結合的直觀性可以使學生更容易理解。問題的解決不僅教會了學生函數最小值的求法之一，還教給了學生研究問題從具體到一般的方法。
三、加強學生數學學習興趣的培養
新課改打破了傳統教學中以教師為主體的教學模式，提出了一個基本核心理念是以人為本，突出學生的發展。新理念的提出，為教師教學工作的開展帶來新的挑戰。據調查顯示，高中學生偏科情況嚴重，尤其是一些文科生對數學這門學科表現厭倦情緒，提不起興趣。這種情況下去追求課堂教學的實效性顯然是空談，達不到任何教學預期效果，因此，教師要注意培養和引導學生的數學學習興趣。教師要善于采用啟發式教學，引導學生去發現、探索、解決問題，從而實現學生學習的主動性。例如講等比數列前n項和公式時，教師可以巧妙地為學生設計問題：
假如你假期去打工，到一家飯店應聘，老板說第一天給你2000元，以后每天你給老板返還1元、2元、4元、8元…… 至少干夠20天。
問：你會同意了嗎？
然后讓學生回答，學生受好奇心的驅使肯定都非常感興趣，課堂氣氛活躍，學生都積極加入討論之中。在輕松的課堂氛圍中，既調動了學生學習的積極性，又完成了教學目標，從而取得了一定的教學實效性。同時，教師也要努力提高自己的專業素養和完善教師的職業素養。幽默風趣的語言，合理豐富的表情，都能打破課堂的沉靜，活躍課堂氣氛，吸引學生的注意力。
眾所周知，課堂教學的“實效性”，就是要求教師在有限的課堂時間內取得最佳的教學效果。對于高中這門邏輯推理要求極強的學科，提高課堂教學的有效性，積極采取不同的策略，實現課堂每一分鐘的價值，是每一位高中數學教師不懈的追求。
參考文獻：
[1]《高中數學教科書》（必修）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.
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摘 要：衡量課堂教學效率高低的唯一標準，是學生的參與程度。學生是課堂教學的靈魂，是學科知識教學的重要“媒介”，是新課程目標實現的有力促進“因素”。高中數學教師在課堂教學中，要全力以赴進行教學改革，推進素質教育的發展，切實突出學生的主體地位，構建以生為本的課堂教學，一切教學活動都必須以調動學生的主觀能動性為出發點，想盡一切辦法讓學生去參與課堂教學，把學生變成課堂教學的真正主人。
關鍵詞：構建；以生為本；高中；數學；課堂
新課程改革要求全面突出學生的主體地位，充分發揮學生的創造力，以構建高效的課堂教學。新實施的高中數學課程標準指出：“要重視學生探究、合作、創新等學習能力的培養”，“提高學生運用所學知識解決實際問題的能力”，“實現學生良好學習能力、學習思想及學習品質的養成。”由此可見培養學生多方面、多角度的綜合能力成為目前高中數學課堂教學的重中之重。為此高中數學教師在課堂教學過程中必須真正以學生為主體，以學生的學習能力的發展和進步為課堂教學活動的根本出發點和現實落腳點，引導學生自主活動，使學生真正成為認知的主體，參與到課堂教學中去，以提升學生的數學能力品質。我根據自己多年的教學實踐體會，粗略談談構建以生為本的高中數學課堂的看法，敬請參考。
一、強調主體情感的融入，培養學生學習數學的積極性
高中生身心正處于敏感時期，感情細膩、豐富，是學習知識、掌握方法的特殊群體，在教學目標實施和實現過程中占有重要的地位。當前高中數學教師在教學中很少重視學生學習情感的激發，導致學生在學習過程中，遇到困難時，或受到不良社會習氣熏染時，不能產生強烈的“免疫”能力，導致學習不能有序深入地開展。這就要求高中數學教師要注重學生學習狀態，特別是學生內在情感的有效激發，善于在教學中圍繞學生情感發展的規律和實際特性，引用具有趣味特點、生活特性的教學問題情境，引導和激發起學生學習知識的濃厚興趣，使學生“主動學習”成為內在要求和動力。如在長期教學實踐過程中，廣大教師切身體會到教學語言在培養和激發學生學習情感中的作用，因此，教師可以采用準確性教學語言，生動性教學語言，進行課堂知識傳授，使學生感受教學語言所傳達和蘊含的無限樂趣，促進學生主動學習能力的發展。如在教學三角函數知識時，教師可以結合學生生活情形，根據教學內容，設計出生活性問題情境：“如圖為一半徑為3米的水輪，水輪圓心O距水面2米，已知水輪每分鐘轉4圈，水輪上的點P到水面距離y（米）與時間x（秒）滿足關系式y=Asin（ωx+φ）+2，則A、ω、φ分別為多少？”引導和激發學生學習知識的內在情感，讓學生在學習探知知識活動中感受到數學學科的無窮魅力和“無微不至”，促進學生良好學習情感的樹立。
二、注重主體能力的培養，提升學生解決數學的能力
高中數學教師要注重學生綜合能力的培養，以提高學生運用數學知識解決實際問題的能力。新實施的數學課程標準指出，人人學習有價值的數學，人人掌握必需的數學。這就為廣大教師開展教學活動指明了方向，也就是要將學生學習能力進行充分的提升、鍛煉和運用。因此，教師在教學活動中，無論是教學新知內容，還是進行階段性復習課教學，都要重視學生學習能力的培養和鍛煉，善于在知識學習和問題解答過程中，引導和指導學生學會和掌握學習的根本方法和途徑，使學生在“潛移默化”中掌握和形成良好數學解題方法和解題能力，從而有效體現學習能力“實用性”、“實踐性”等特點，為學生開展獨立學習活動奠定方法和能力基礎。 例題1：已知向量=（sinθ，cosθ）（θ∈R），=（，3）。（1）當θ為何值時，向量、不能作為平面向量的一組基底；（2）求|-|的取值范圍。例題2：已知向量、是兩個非零向量，當+t（t∈R）的模取最小值時，①求t的值；②已知、共線同向時，求證與+t垂直。上述兩道例題是在“平面向量”知識教學中，我結合課堂教學目標要求，根據學生學習情況實際，所設置的兩道數學應用題。在第一道問題解答過程中，我通過采用“學生合作解答D學生演示D教師講解D學生修正D總結結論”的教學方法，對問題進行了有效解答，使學生掌握了“運用數形結合方法進行問題解答”的方法。學生在例題1的解答中，根據已掌握的解題方法和解題經驗，通過對問題條件的思考分析，發現此問題可以采用“將問題轉化為向量模型”的方法M行解答。我在這一教學過程中，充分體現了學生學習的主體特性，讓學生有自主學習探究的廣闊空間和實踐，鼓勵學生在自身積累解題經驗基礎上，開展有效探究問題、思考分析活動，有效提升了學生自主解決問題能力的水平和效能。
三、突出主體思想的發展，增強學生數學學習的有效性
高中數學知識邏輯性、思維性較強，其中所蘊含的數學思想，是學生解題思維能力活動的最高形式，是學生學習品質達到一定程度的具體體現。學生學習能力的發展在一定程度上決定了數學思想形成和發展的水平。教學實踐證明，學生數學思想主要包括“函數與方程、數形結合、分類討論、方程、整體、轉化、化歸、類比”等。這就要求，高中數學教師更要注重學生學習思想的有效培養和樹立，善于抓住問題的關鍵和要點，開展形式多樣的思維創新活動，找尋出進行問題解答的最佳途徑和有效抓手。同時，要注重學生學習時間和空間的設置，盡力為學生提供充足的學習時機，引導學生開展思維創新活動，通過互動交流，激發學生思維創新的“火花”，使學生在學習活動過程中逐步樹立起良好數學思想品質。如在三角函數知識教學過程中，教師就可以通過對一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性，以及f（x）、f（x）的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等性質的分析和研究，使學生建立起較完備正確的函數思想。又如在“向量的數乘”知識教學時，教師通過引導學生列出所求向量與已知向量之間的關系式，從而建立起分類討論的思想。
總之，高中數學教師在課堂教學活動中，要嚴格遵循以生為本的教學原則，始終堅持“為了一切學生的發展”，通過多種教學活動形式，充分調動學生學習的積極性、解題實踐性，促進學生在有效教學活動中，能力、品質、思想等方面獲得長足的發展和進步。
關鍵詞：高中數學思維障礙 應對措施
隨著素質教育的深入和高中新教材改革的實施，對于高中的數學教學和學習提出了更高的要求，思維發展教學仍是我們教學的主要目標，作好對學生思維障礙的成因根源的研究，并對癥下藥的作好學生數學思維障礙的疏導工作，將是我們教師的一個長期任務。
一、高中數學思維障礙的具體表現
由于高中數學思維障礙產生的原因不盡相同，作為主體的學生的思維習慣、方法也都有所區別，所以，高中數學思維障礙的表現各異，具體的可以概括為：
1.數學思維的膚淺性：由于學生在學習數學的過程中，對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程沒有深刻的去理解，一般的學生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質。由此而產生的后果：1〉學生在分析和解決數學問題時，往往只順著事物的發展過程去思考問題，注重由因到果的思維習慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法。例如在課堂上我曾要求學生證明：如| a |≤1，| b |≤1，則。讓學生思考片刻后提問，有相當一部分的同學是通過三角代換來證明的（設a=cosα，b=sinα），理由是| a |≤1，| b |≤1（事后統計這樣的同學占到近20%）。這恰好反映了學生在思維上的膚淺，把兩個毫不相干的量（a,b）建立了具體的聯系。2〉缺乏足夠的抽象思維能力，學生往往善于處理一些直觀的或熟悉的數學問題，而對那些不具體的、抽象的數學問題常常不能抓住其本質，轉化為已知的數學模型或過程去分析解決。
2.數學思維的差異性：由于每個學生的數學基礎不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學生對于同一數學問題的認識、感受也不會完全相同，從而導致學生對數學知識理解的偏頗。這樣，學生在解決數學問題時，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。如非負實數x，y滿足x＋2y=1，求x2＋y2的最大、最小值。在解決這個問題時，如對x、y的范圍沒有足夠的認識（0≤x≤1，0≤y≤1／2），那么就容易產生錯誤。另一方面學生不知道用所學的數學概念、方法為依據進行分析推理，對一些問題中的結論缺乏多角度的分析和判斷，缺乏對自我思維進程的調控，從而造成障礙。如函數y= f (x)滿足f(2＋x)=f(2－x)對任意實數x都成立，證明函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱.對于這個問題，一些基礎好的同學都不大會做(主要反映寫不清楚)，我就動員學生看書，在函數這一章節中找相關的內容看，待看完奇、偶函數、反函數與原函數的圖象對稱性之后，學生也就能較順利的解決這一問題了。
3.數學思維定勢的消極性：由于高中學生已經有相當豐富的解題經驗，因此，有些學生往往對自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經驗，思維陷入僵化狀態，不能根據新的問題的特點作出靈活的反應，常常阻抑更合理有效的思維甚至造成歪曲的認識。
二、高中學生數學思維障礙的應對措施
1.在高中數學起始教學中，教師必須著重了解和掌握學生的基礎知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調學生的主體意識，發展學生的主動精神，培養學生良好的意志品質；同時要培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生對數學學習有了興趣，才能產生數學思維的興奮灶，也就是更大程度地預防學生思維障礙的產生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學生學好高中數學的信心。
例：高一年級學生剛進校時，一般我們都要復習一下二次函數的內容，而二次函數中最大、最小值尤其是含參數的二次函數的最大、小值的求法學生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設計，對突破學生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學生普遍（包括基礎差的學生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設計如下：
1〉求出下列函數在x∈[0，3]時的最大、最小值：(1)y=（x－1）2＋1，(2)y=（x＋1）2＋1，(3)y=（x－4）2＋1
2〉求函數y=x2－2ax＋a2＋2，x∈[0，3]時的最小值。
3〉求函數y=x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值。
上述設計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調動了學生學習的積極性，提高了課堂效率。
2.重視數學思想方法的教學，指導學生提高數學意識。數學意識是學生在解決數學問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎知識的具體應用，也不是對應用能力的評價，數學意識是指學生在面對數學問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學生面對數學問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數學意識落后的表現。數學教學中，在強調基礎知識的準確性、規范性、熟練程度的同時，我們應該加強數學意識教學，指導學生以意識帶動雙基，將數學意識滲透到具體問題之中。如：設x2＋y2＝25，求u=的取值范圍。若采用常規的解題思路，μ的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形：轉而構造幾何圖形容易求得u∈[6，6]，這里對u的適當變形實際上是數學的轉換意識在起作用。因此，在數學教學中只有加強數學意識的教學，如“因果轉化意識”“類比轉化意識”等的教學，才能使學生面對數學問題得心應手、從容作答。所以，提高學生的數學意識是突破學生數學思維障礙的一個重要環節。
