時間：2023-06-06 09:39:24
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇新高考數學，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
【摘要】新課程標準在我省已經實施了四年多，談到教學改革，大多數老師認為那是高一、高二教學階段的事情，進入高三后往往科學實驗采用傳統的教學模式。那么面對新的課程標準、新的高考，傳統的教學模式還能適應嗎？
【關鍵詞】新課程，復習，有效教學
2011年陜西省高考數學卷中“敘述并證明余弦定理”這道來源于課本的例題，給傳統的高三數學復習模式敲響了警鐘。這道高考題目一度成為學生、教師、家長議論的話題，也給我們高三數學課的教學提出了新的要求。作為高三數學任課教師，怎樣才能使自己教學適應新課改、新高考？作為一名高三數學教師，結合自己的教學實踐，談一些感受與體會。
1.更新教學理念，改革教學方法
新課程標準理念要求教師從片面的注重知識傳授轉變到注重學生學習能力的培養。教師不僅要關注學生學習的結果，更重要的是要關注學生的學習過程，促進學生學會自主學習、合作學習，引導學生探究學習，讓學生親歷、感受和理解知識產生和發展的過程，培養學生的數學素養和創新思維能力，重視學生的可持續發展，培養學生終身學習能力。高三數學復習課是高三數學教學的重要環節。它不是簡單的對已學知識的回顧、重復，而是按照課程標準和高考大綱的要求，重新梳理、整合學生高中階段所學知識，挖掘、提煉數學思想和方法，進一步完善優化學生的知識結構，真正提高學生解決問題的能力。對于數學概念的復習，應加強對概念的準確理解。對于數學公式、定理的復習要熟悉其推導過程，弄清公式、定理中限制條件及適應范圍；掌握公式、定理的應用，使我們的復習始終體現“現實問題情境——建立數學模型——解決實際問題”這一新課改理念。因此，在課堂教學中，我們要以知識的發生、發展過程為重要環節，以學生為主體，注重學生數學思維的展開和深度參與。
2.深化解題教學，提高學生解題能力
數學解題教學是高三數學復習課的重點和核心，是提高學生解題能力的關鍵環節。在平時教學中，大多數老師都盡可能地多講幾道題，或都讓學生多做幾道題，以加強教學效果。然而如果課堂題量過大，將會使學生忙于應付解題，無暇分析、總結解題方法和題目所涉及的知識點，不利于學生消化吸收，更不可能做到舉一反三。從數學教學根本目的來說，教師不僅要教學生怎么解題，更重要的是要努力啟發思維的靈魂性，不斷提升他們的思維品質，完善思維能力。因此，解題教學必須體現：讀題、析題、解題、變題、悟題這五個環節。在五環節中，由于課堂時間緊，教師往往忽略了“變題”“悟題”這兩個重要環節“變題”就是將題及條件與結論進行適當的變形，使之成為一個新問題，以達到新舊知識相互作用的功能；“悟題”就是解題后的反思，還能否用別的方法來解？能否把此結論或方法用來解決其他問題？此結論能否推廣為一般性的結論？因此，平時解題時教師應帶領學生一步一步地嘗試整個過程，不斷提高學生的解題能力。
3.緊扣教綱，回歸教材
高考數學試題的命題向來有“依據課本”的要求。近幾年的高考數學試題中，源于課本的典型例題、練習題、習題或復習參考題的數量和分值都達到了較高的比例。特別是2011年陜西省高考數學試題“敘述并證明余弦定理”就是源于課本的例題。因此，在高三數學復習中，教師應當充分重視教材，研究教材，講活教材，做好課本中典型問題的收集、分析、歸類、研究和小結工作。既要使學生牢牢掌握課本中的有關知識，又要使學生掌握課本中解決問題所采用的方法和技巧。在此基礎上認真探究高考數學試題與課本例題、練習題和復習題的結合點，必要時再將這些問題做恰當的分析或整合、延伸或拓展，努力使課本知識更加豐富鮮活。只有這樣，才能有效地吸取教材的營養價值，真正發揮課本的重要功能。
面對高三數學復習課的教學，我們必須大膽地進行教學方法改革，會對不同層次的學生，采用行之有效的教學方法，使教師成為組織者、引導者、促進者和參與者，充分發揮學生的主體作用，使學生參與到課堂解題過程中來，回歸教材，才能適應新的課程標準和新的高考改革，才能不斷提高高三數學復習課的教學效率。
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經典例題分析
例1 (1) O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λAB+AC|AB|+|AC|，λ∈［0,+∞)，則P的軌跡一定通過ABC的_____. (外心/內心/重心/垂心)
(2) P是ABC所在平面上一點,若PA?PB=PB?PC=PC?PA,則P是ABC的_____. (外心/內心/重心/垂心)
(3) 點O是ABC所在平面內的一點，滿足AB2+OC2=AC2+OB2=BC2+OA2,則點O是ABC的_____. (外心/內心/重心/垂心)
(4) O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC，λ∈［0,+∞)，則P的軌跡一定通過ABC的_____. (外心/內心/重心/垂心)
(5) O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
OP=OA+
λAB|AB|cosB+
AC|AC|cosC，λ∈［0,+∞)，則P的軌跡一定通過ABC的_____. (外心/內心/重心/垂心)
分析:對于問題(1), 先將OA移過來, 再利用向量加法的平行四邊形法則和向量共線的充要條件就可以了. 對于問題(2), 先移項, 并利用減法的意義, 可以得到兩個向量垂直的結論,對于問題(3)可以向問題(2)實現轉化.
解: (1) AB|AB|是AB上的單位向量, AC|AC|是AC上的單位向量, 則AB|AB|+AC|AC|的方向與∠BAC的角平分線的方向相同, 而OP－OA=AP,所以P的軌跡一定通過ABC的內心.
(2) 由PA?PB=PB?PC得PB?(PC－PA)=0,即PB?AC=0,所以,PBAC,同理,PABC,PCAB, 所以, P是ABC的垂心.
(3) 由AB2+OC2=AC2+OB2得AC2－AB2=OC2－OB2,即(AC+AB)?(AC－AB)=(OC+OB)?(OC－OB),所以BC?(AC－OC)+BC?(OB－AB)=0,即BC?OA=0,所以OABC,同理,OBAC,OCAB, 所以, O是ABC的垂心.
(4) 由正弦定理|AB|sinC=|AC|sinB,所以|AB|sinB＝|AC|sinC, 于是AP＝μ(AB+AC), 所以P在以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的對角線(過點A)上, 所以P的軌跡一定通過ABC的重心.
(5) 因為AP＝λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，所以AP?BC＝λAB?BC|AB|cosB+AC?|BC||AC|cosC＝
λ|AB|?|BC|cos(π-B)|AB|cosB+
|AC|?|BC|cosC|AC|cosC＝λ
(-|BC|+|BC|)=0
，所以APBC，于是P的軌跡一定通過ABC的垂心.
延伸:ABC的三條邊長BC＝a, CA＝b, AB＝c,若三頂點A、B、C, 對于某定點O的位置向量為OA,OB,OC, 且aOA+bOB+cOC＝0,則點O是ABC的_____. (外心/內心/重心/垂心)
解:記∠BAC的平分線與BC交于點P, 則BP＝cb+cBC＝cb+c(OC－OB),所以,AP＝AB+BP＝OB－OA+BP＝OB－OA+cb+c(OC－OB)＝
bb+cOB+cb+cOC－OA＝1b+c(bOB+cOC)－OA＝1b+c(－aOA)－OA＝－a+b+cb+cOA,所以AP與OA共線,即O在∠BAC的平分線上,同理, O在∠ABC和的∠BCA平分線上,即O是ABC的內心.
注:本例（1）是2003年全國高考數學試題，（2）同2005年全國高考數學試題.
例2 （1） 在ABC中，M是BC的中點，AM＝1，點P在AM上且滿足PA＝2PM，則PA?(PB＋PC)等于_____.（2009年高考數學試題）
（2） 在ABC中,O為中線AM上一個動點,若AM＝2,則OA?(OB＋OC)的最小值是_____.（2005年江蘇省高考數學試題）
解:(1) 由PA＝2PM知,P為ABC的重心,根據向量的加法,PB＋PC＝2PM,則PA?(PB＋PC)＝2PA?PM＝2|PA||PM|cos0＝2×23×13×1＝49.
(2) 因為OB+OC＝2OM，所以OA?(OB+OC)＝2OA?OM＝2|OA|?|OM|cosπ
＝－2|OA|?|OM|，而|OA|＋|OM|＝2，所以，|OA|?|OM|＝|OA|?(2－|OA|)＝－(|OA|－1)2+1≤1，于是OA?(OB＋OC)的最小值是－2.
變形：如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上
不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，
則(PA＋PB)?PC的最小值為_____.
例3 設兩個向量a＝(λ＋2,λ2－cos2α)和b＝(m,m2＋sinα),
其中λ,m,α為實數.若a＝2b,求λm的取值范圍.（2007年天津市高考數學試題）
解:由于a＝2b,所以
λ+2=2m, ①
λ2-cos2α=2m2+sinα. ②
設y＝λm, 則λ＝ym, 代入①得ym+2＝2m, 顯然, y≠2, 所以m＝22-y,λ＝2y2-y.
把它們代入②得2y2-y2－cos2α＝22-y＋2sinα,
所以2y2-y2－22-y＝cos2α＋2sinα.
而f(α)＝cos2α＋2sinα＝1－sin2α＋2sinα＝－(sinα－1)2＋2,
因為－1≤sinα≤1, 所以－2≤f(α)≤2,于是
－2≤2y2-y2－22-y≤2. ③
解得－6≤y≤1.
例4 已知圓O的半徑為1，PA，PB為圓O的切線，A，B為切點，則PA?PB的最小值是_____.（2010年全國高考數學試題）
解法一:設PA＝PB＝x，∠APO＝∠BPO＝α0＜α＜π2，則PO2＝x2＋1，從而PA?PB＝|PA||PB|cos2α＝x2(2cos2α－1)＝x22x2x2+1－1＝
x2(x2-1)x2+1＝
(x2+1-1)(x2+1-2)x2+1＝(x2＋1)＋2x2+1－3≥2(x2+1)?2x2+1－3＝－3＋22.當且僅當x2＋1＝2x2+1,即x2＝2－1時等號成立，即當x＝2-1時，PA?PB取最小值－3＋22.
解法二：由平面幾何知識得|PA|＝|PB|，設∠APO＝∠BPO＝α0＜α＜π2，則
PA?PB＝|PA||PB|cos2α＝
|PA|2(1－2sin2α)＝(|OP|2－1)(1－2?1|OP|2＝|OP|2＋
2|OP|2-3
≥2|OP|2?2|OP|2-3=-3+22.
當且僅當|OP|2＝2|OP|2
，即|OP|＝42時等號成立，即當|OP|＝42時，PA?PB取最小值－3＋22.
解法三:由平面幾何知識得|PA|＝|PB|，如圖，建立直角坐標系，設∠AOP＝θ0＜θ＜π2，則點A（cosθ，sinθ），B(cosθ，－sinθ），過點A作x軸的垂線，垂足為C，則由射影定理得OA2＝OC?OP，知點P的坐標為1cosθ，0
PA＝cosθ－1cosθ,sinθ，PB＝cosθ－1cosθ, －sinθ)，于是
PA?PB＝
cosθ－1cosθ2－sin2θ＝
cosθ－1cosθ2－(1－cos2θ)＝2cos2θ＋1cos2θ－3
≥22cos2θ?1cos2θ－3＝
－3＋22.當且僅當2cos2θ＝1cos2θ，即cosθ＝142時等號成立，
即PA?PB取最小值－3＋22.
例5 設點O是ABC的外心，AB＝17，AC＝15，則BC?AO＝_____.
解法一：BC?AO＝－(OC－OB)?OA＝OA?OB－OA?OC
＝OA2+OB2-AB22-
OA2+OC2-AC22=
AC2-AB22=-32.
解法二：取BC的中點D, 則BC?AO＝BC?(AD＋DO)＝BC?AD＋BC?DO＝BC?AD＝(AC－AB)?12(AC＋AB)＝12(AC2－AB2)＝－32.
例6 給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為定值120°. 如圖所示, 點C在以O為圓心的圓弧AB上變動. 若OC＝xOA＋yOB, 其中x, y∈R, 則x＋y的最大值是_____.（2009年安徽省高考數學試題）
解法一:設∠AOC＝α(0≤α≤2π3)，則
OA?OC=xOA2+yOA?OB,
OB?OC=xOA?OB+yOB2.
即cosα=x-12y,
cos(120°-α)=-12x+y.
x＋y＝2［cosα＋cos(120°－α)］＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2，
所以當α＝π3時, x＋y取最大值2.
解法二:建立圖示直角坐標系，設∠AOC＝α0≤α≤2π3，則OA＝(1，0)，OB＝－12，32，由OC＝xOA＋yOB得(cosα，sinα)＝x－12y，32y，
即cosα=x-12y,
sinα=32y.
x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2，所以當α＝π3時, x＋y取最大值2.
解法三:由OC＝xOA＋yOB－12≤x, y≤1,兩邊平方得x2＋y2＋2xyOA?OB＝1，因為OA?OB＝－12，所以x2＋y2－xy＝1，即(x+y)2+(x-y)22－(x+y)2-(x-y)24＝1，也就是(x+y)2+3(x-y)24＝1，所以(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2，所以當x＝y＝1時，x＋y取最大值2.
例7 已知a,b是兩個給定的向量,它們的夾角為θ, 向量c＝a＋tb(t∈R), 求|c|的最小值, 并求此時向量b與c的夾角.
分析:求|c|的最小值, 就是求|c|2的最小值, 于是將問題化為關于t的二次函數, 通過配方可以求出|c|的最小值.
解:因為c＝a＋tb,所以
|c|2＝|a＋tb|2＝|a|2+2ta?b＋t2|b|2＝|b|2t2＋2|a|?|b|?cosθ+|a|2
＝|b|2t+|a|?cosθ|b|2＋|a|2－|a|2cos2θ≥|a|2－|a|2 cos2θ＝|a|2sin2θ.
于是,當t+|a|?cosθ|b|＝0,即t＝－|a|?cosθ|b|時,|c|2取最小值|a|2sin2θ.即|c|取最小值|a|sinθ.
此時b?c＝b?a－|a|?cosθ|b|b＝a?b－|a|?cosθ|b|b?b＝|a|?|b|?cosθ－|a|?cosθ|b||b|2＝|a|?|b|?cosθ－|a|?|b|?cosθ＝0, 所以bc,此時向量b與c的夾角為90°.
說明:本例有很深的幾何背景，請讀者考慮. 以下三道試題都是根據本例改編的.
(1) 若向量a與b不共線,a?b≠0,且c＝a－a?aa?bb, 則向量a與c的夾角為π2.
解:因為a?b≠0,c＝a－a?aa?bb, 所以, a?c＝a?a－a?aa?bb＝a?a－a?aa?b?(a?b)＝0, 所以向量a與c的夾角為π2.
(2) 已知向量a≠e,|e|＝1,對任意t∈R, 恒有|a－te|≥|a－e|, 向量e與a－e的夾角為_____.
解:設向量a與e的夾角為θ, 則|a－te|2＝t2－2|a||e|cosθ+a2＝t2－2|a|cosθ+a2＝(t－|a|cosθ)2
+|a2|sin2θ, 所以|a－e|＝|a|sinθ, 即e(a－e).所以向量e與a－e的夾角為π2.
(3) 已知ABC, 若對于任意t∈R,|BA－tBC|≥|AC|,則∠ABC＝_____.
解:令∠ABC＝α，過點A作ADBC于點D. 由|BA－tBC|≥|AC|得
|BA|2－2tBA?BC+ t2|BC|2≥|AC|2.
令t＝BA?|BC||BC|2，代入上式得|BA|2－2|BA|2cos2α|BA|2cos2α≥|AC|2，即|BA|2sin2α≥|AC|2，
也即|BA|sinα≥|AC|,從而有|AD|≥|AC|,由此得∠ACB＝π2.
例8 設向量a＝(4cosα,sinα),b＝(sinβ,4cosβ),c＝(cosβ,－4sinβ).
(1) 若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2) 求|b＋c|的最大值;
(3) 若tanαtanβ＝16, 求證：a∥b.（2009年江蘇省高考試題）
解:(1) 由a與b－2c垂直，得
a?(b－2c)＝a?b－2a?c＝4(cosαsinβ＋sinαcosβ)－8(cosαcosβ－sinαsinβ)＝0,
即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0, tan(α＋β)＝2.
(2) 因為b＋c＝(sinβ＋cosβ, 4cosβ－4sinβ),所以
|b＋c|2＝(sinβ＋cosβ)2＋16(cosβ－sinβ)2＝1＋sin2β＋16(1－sin2β)＝17－2sin2β,從而當sin2β＝－1,即2β＝2kπ－π2,β＝kπ－π4(k∈Z)時, 17－2sin2β取最大值是32,因此當β＝kπ－π4(k∈Z)時|b＋c|的最大值是42.
(3) 由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ, 所以a∥b.
說明:問題(1)將a?(b－2c)拆成a?b－2a?c運算量減少,問題(2)將b＋c的坐標算出后,再計算|b＋c|2也使運算量減少,讀者可以細細體會.
例9 如圖，在RtABC中，已知BC＝a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問PQ與BC的夾角θ取何值時BP?CQ的值最大?并求這個最大值.
分析：一種思路是通過向量運算將BP?CQ朝著PQ與BC的運算上靠攏; 另一種思路通過建立直角坐標系,將問題化為坐標運算實現轉化.
解法一：因為ABAC，所以AB?AC＝0，因為AP＝－AQ，BP＝AP－AB，CQ＝AQ－AC，所以BP?CQ＝(AP－AB)?(AQ－AC)＝AP?AQAP?ACAB?AQ＋AB?AC＝－a2AP?AC＋AB?AP＝－a2＋AP?(AB－AC)＝－a2＋12PQ?BC()＝－a2＋a2cosθ.
故當cosθ＝1，即θ=0(PQ與BC方向相同)時，BP?CQ的值最大，其最大值為0.
解法二：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的直角坐標系. 設|AB|=c，|AC|=b，則A(0,0)，B(c,0)，C(0,b). 且|PQ|=2a，|BC|=a.
BP＝(x－c, y)，CQ＝(－x, －y－b)，BC＝(－c, b)，PQ＝(－2x, －2y).
所以BP?CQ＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
因為cosθ＝PQ?BC|PQ|?|BC|＝cx-bya2，所以cx－by＝a2cosθ.
BP?CQ＝－a2＋a2cosθ.
故當cosθ=1，即θ=0(PQ與BC方向相同)時，BP?CQ的值最大，其最大值為0.
說明：向量的幾何運算可以通過坐標運算向代數問題實現轉化, 這是解決向量問題的常用方法, 應該掌握.
例10 在ABC中，已知AB＝463，cosB＝66，AC邊上的中線BD＝5，求sinA的值.
解法1：設E為BC的中點，連接DE，則DE//AB，且DE=12AB=263,設BE=x，
在BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE?EDcos∠BED，
5=x2+83+2×263×66x.解得x=1或x=-73(舍去).
故BC=2,從而AC2=AB2+BC2－2AB? BCcosB=283, 即AC=2213.
又sinB=306,故由正弦定理得2sinA=2213306,sinA=7014.
解法2:以B為坐標原點，BC為x軸正向建立直角坐標系，且不妨設點A位于第一象限.由sinB=306,則BA=463cosB,463cosB=43,453,
設BC=(x,0),則BD=4+3x6,253.
由條件得|BD|=4+3x62+
2532=5,從而, x＝2, x＝-143(舍去). 故CA=-23,453.
于是, cosA＝AB?AC|AB|?|AC|
[關鍵詞]高考 數學試題 評析與體會
[中圖分類號]G427 [文獻標識碼]A [文章編號]1006-5962（2013）07（a）-0006-01
看到試題，第一個感覺就是基本上和去年保持一致。不過做后就會發現題目看似簡單，實際上對學生數學思維品質的考查更加深刻，彰顯出高考試題在平淡無奇中體現深刻與創新。另外試卷巧妙地處理了廣度和深度的矛盾，知識點覆蓋全面且重點突出，難點考查梯度明顯層層遞進。全卷涵蓋了大部分知識點，針對性強，注重考查通性通法，有效檢測了考生對知識掌握的程度。同時對支撐高中數學學科體系的主干內容也做到了重點考查，對于考綱中要求較高的三角函數、立體幾何、概率統計、數列、函數與導數的應用、圓錐曲線等主干知識均以解答題形式出現，并都達到了一定的考查深度
1.下面具體談一談試卷的一些具體特點：
1.1立足基礎，難易有度
本次考試體現在試卷緊扣考試說明，在試題的類型、試題的知識點分布上體現高中數學的主干知識，與往年一樣立足基礎，但是也有一些細微的調整。試卷的第1至7、13至15都是很常規的題，沒有偏難險怪，平淡無奇但都是必須掌握的考點，突出了高考對雙基考查的宗旨。解答題中的前三個小題分別是解三角形、立體幾何和概率，不偏不怪有，利于大多數考生的正常發揮。這些考點全都是立足于考察學生的基礎知識。
1.2穩字當先，靈活創新
創新是數學今后考查的趨勢。今年高考試題考查結構合理穩定，穩中求變。在題目的設計方面，也有著諸多的亮點和創新。比如第8、11、12題，以函數圖象和性質為依托，巧妙地利用了數形結合、函數與方程的思想，對考生的思維水平要求較高。第16題是在基礎中創新，考查了對新定義的理解判斷能力。試題形式新穎，作為填空題的最后一題，也有著一定的難度和較好的區分度。這三道題為考生留足了發揮的空間，能夠體現考生的數學思維水平。解答題方面，今年的第20題數列題目，以常規形式考查數列的兩大問題，即求通項公式和求和，從本質上挖掘了二者的內在統一性，體現了基礎中的創新，更體現了試題源于教材而又高于教材。
1.3注重概念，深化能力
今年的選擇題入手較易，注重對概念本質的考察，都有通法。比如9題簡單的考察直線方程；10題考察排列組合。但同時又突出以能力立意，如11題，根據定義及幾何意義入手，利用數形結合，很容易得出正確答案，既準確又省事。概念題入手雖易，但是想做完整難卻很難。函數及其導數的應用是歷年高考重點考查的內容，今年對導數的應用有所創新。如21題把函數的單調性、極值、零點存在性的證明以及導數的應用有機地結合在一起，第二問的難度明顯加大。有些題目層層遞進，體現了選拔的本色，如第22題，三問是層層增加難度的，區分度很明顯，體現了壓軸題的本質特點。要想在規定的時間內完整地解答出來，需要相當好的解題速度和運算能力。這兩道題較好地考查了考生的數學素養和數學洞察力，具有較高的區分度，使得不同水平的考生在此各顯身手，獲得與自己的真實能力和水平相對應的成績。
總之，今年高考試題看似平淡卻也回味無窮。
2.針對近幾年高考試題走勢，為了搞好下一屆的系統復習，對新高三復習特提出以下要求
2.1狠抓基礎
復習中要強調對數學基礎知識、基本技能、基本思想方法的學習，同時又要注重知識內在聯系，不刻意追求知識的覆蓋面。要正確理解基本概念、定理、法則、公式等基礎知識。高考試題大部分都是基本題，但不等于是簡單的題，而是利用基本方法、知識和技能解決基本的問題。從這幾年的高考來看，只有在基本功過關的情況之下，你才可以談綜合能力。
2.2注重能力
數學能力包括運算求解、數據處理、空間想象、抽象概括、推理論證等能力以及應用能力和創新能力。考綱中的基本理念決定了高考數學命題必須突出能力立意，在注重考查基礎的同時，著重考查數學思維能力，及發現、分析和解決問題的能力。所以注重數學思維能力的培養，既有利于提高解題能力，又對以后繼續學習打下堅實的基礎。
2.3善于總結
要培養學生對數學進行剖析和分類，對于做過的題，要好好的反思它屬于哪類題，用這樣的方法還可以解哪種題。但是也不能盲目的做題，要有針對性。更需要掌握一些比較基本的模型，這也是在教學中需要去體會和加強的。我們所學過的知識點很多，考了這么多年，還是這些東西，但需要做的是要把平時訓練的題型弄清楚，洞察出每一個題型的模式，這對于高三的復習是非常重要的。對于平時練習來講，如果是從知識點比較低的角度考慮，要上升到題目的話，這個距離會比較大，需要慢慢的反思和領悟。
㈠層次分明，任務明確
高三數學復習周期長、任務重，合理安排好復習時間至關重要。我們把高三數學復習分為三個階段：2005年9月～2005年2月底（ 俗稱第一輪復習）、3月初～4月初（俗稱第二輪復習）、4月初～5月底（俗稱第三輪復習），三個階段的復習內容分為三個層次，每個階段的任務各有側重。
第一輪復習階段，根據教學大綱，結合考試說明，以課本為本，通過系統地整理、優化知識結構和思維結構，通過月考及周練的手段，使基礎知識網絡化，達到提高學生素質，并為高考打下堅實的基礎。這一階段我們所選的講儀是以課本為主，輔以《 優化設計 》 。所練作業以小題和中檔題為主，從以前高考的成績看，這一輪復習是成功的。
學生通過第一輪的復習，已有一定的數學基礎，因此第二輪的復習應以高考為目標，從以單元塊的縱向復習為主到綜合性橫向發展為主。為此，我們輔以優化設計二輪講義，分專題進行復習。一是數學方法和數學思想的系統介紹，主要是：配方法、換元法等方法，以及函數與方程思想、分類討論思想、等價轉換思想和數形結合思想等；二是根據《教學大綱》列出高中數學教材中的重點內容；三是根據《考試大綱》和前幾年的高考試卷列出高考頻率較高的熱點問題。與此同時，還要指導學生如何利用排除法、特例法、估算法、圖象法、逆推驗證法等方法準確、快速地解選擇題和填空題，并提出較高要求：選擇、填空平均只能錯在2。5個之內。在這個階段，除正常布置作業外，每周安排一次以選擇、填空題為主的課堂練習和一次綜合練習，并做到及時評講，迅速反饋。
通過前兩輪復習，學生的數學素養有了很大的提高。如何使學生在高考中最大限度地發揮水平，這是我們在高考前最后階段所要做的主要工作。而這一階段復習一直是我校探討的地方，以往幾屆主要是搞幾套外地試卷進行練習評講，效果不太理想。為此，2006屆高三我們加大力度，力爭在前兩輪的基礎上有所升華。因此，我們自編模擬試卷8套，做到精練精講。精練力求做到精心選擇題目，精心編寫試卷，精心研究每題的訓練功能和評分標準，精心組織考試，做到以少勝多，不盲目地搞題海戰術，影響學生寶貴的復習時間；精講則力求做到對共性問題分析透徹，對個別問題也不能輕易放過，須個別指導。同時把考試技巧教給學生，讓學生學會考試。總之，通過測試要能反映出問題，而通過評講要提高學生駕馭問題的能力，并逐步適應高考的氛圍環境。
㈡普遍撒網，重點撈魚
教師指導學生復習，一般是一種全面的、普遍的復習。這是由于《考試說明》所給出的內容均為必考內容，出于課時所限，教師總是指導學生一遍遍的全面復習，即便是講一些專題，也是針對學生測試中出現的問題而授課。因此，在平時，要指導學生針對教師教學中的不足做好以下兩點：
1。進行診斷性練習，找出問題早日補缺
學校進行的測試，一般都是讓學生做成套完整的模擬題，在這種測試中解錯的題目很難說明出現的錯誤具有普遍性。只有將10套題中的選擇題、10套題中的填空題、10套題中的解答題放在一起比較，才能診斷出你的學生是哪一類題容易做錯，這就是診斷性練習。只有找出錯誤和不足，才能及時進行查漏補缺，幫助學生把將問題解決在考前。
2。注意知識的交叉點和結合點
數學知識之間存在縱向和橫向的有機聯系，這些聯系的交叉點和結合點往往是高考命題的“熱點”，同時也可能是教師平時教學的“弱點”。因此，在復習中要注意知識的交叉點。例如，函數和不等式，函數與導數，函數與方程，函數與數列；又如，三角函數與數列，三角函數與立體幾何；再如，平面向量與函數，平面向量與解析幾何，平面向量與物理等等。教師在復習時要有意識地評講一些此類試題，讓學生積累解此類題的方法與經驗。
㈢注重高考試題的新特點
⒈增加對個性品質的要求
《考試大綱》在2006年《考試說明》知識要求，能力要求的基礎上，增加了對“個性品質”的考查要求。主要指考生個體的情感態度、
和價值觀，要求具有一定的數學視野，試題融知識、方法、思想、能力于一體，注重展現數學的科學價值和人文價值。
⒉突出對主干知識的把握
2006年高考數學試題突出了高中數學重點內容和主干知識的考查。代數中的函數、數列、不等式、三角基本變換；立體幾何，解析幾何，新課程增加內容中的向量、概率以及概率與統計、導數等在近幾年高考數學試卷中始終作為重要的考查對象，保持較高比例，而且也達到必要的深度，成為試題的主體。這些數學的重點內容和主干知識在2003年高考試卷中比例高達85。3%，2005年高考數學必然有所沿襲。
《考試大綱》對知識的要求由低到高分為三個層次，且高一級的層面要求包含低一級的層次要求。考生必須對每個層次的知識要求十分明了，還必須對每個知識點屬于哪個層次的要求清清楚楚，以增加最后一段復習的針對性。注重學科知識的內在聯系和知識的綜合。
⒊以能力立意作為命題指導思想
《考試大綱》對能力方面的考查，全面考查思維能力、運算能力、空間想象力、實踐能力和創新意識。強調探究性、綜合性和開放性，
注重通性通法，淡化特殊技巧。運算能力是思維能力和運算技能的結合，它不僅包括數的式的運算，特別是要考查以含字母的式的運算為主，兼顧對算理和邏輯推理的考查。要提高解答數學問題的運算效率，要能夠以圖助算，通過識圖和繪制草圖，列出表格
⒋強化數學思想和數學方法
《考試大綱》引導強化數學思想方法的復習，營造自主探究環境。數學思想和方法的考查分三個層面：首先是具體方法的考查，如配方法、換元法、消去法、割補法、待定系數法、數學歸納法（理工類要求）；然后是一般的邏輯方法，如分析法、綜合法、類比法、歸納法、演繹法、反證法等；最高層次是數學思想，如函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想，轉換與化歸思想，運動與變換思想等。
⒌注重理性思維的考查
《考試大綱》倡導理性思維，以甄別數學素養。要注意培養空間想象、直覺猜想，歸納抽象，符號表達，運算推理，演繹證明和模式構
建等進行思考判斷，形成和發展理性思維能力。
⒍突出考查實踐能力增加應用型和能力型的試題。
基于以上認識，在《考試大綱》指導下，建議做好“五抓”：
1、抓學習。抓對《考試大綱》的學習。當學生也能夠按《考試大綱》的精神來復習時，復習才會是高效的。
2、抓基礎。在復習中一定要鞏固和掌握基礎知識，基本技能，基本思想和方法。
3、抓訓練。精選習題（選題原則是具有新穎性、靈活性、綜合性、代表性、發展性），強化思維訓練，提高探索創新能力。
4、抓落實。不怕難題不得分，就怕每題都被扣分。
5、抓反思。要抓好審題的反思、思維定勢的反思。解題后的反思，充分挖掘每道習題的智力價值，變盲目性為自覺性。
㈣關注新課程的新重點
對比新老兩種數學課本的教學內容，不難看出簡易邏輯、平面向量、線性規劃、空間向量、簡單幾何體中的正多面體、
概率與統計、極限、導數均為新內容 由2005年試卷不難看出，這部分內容已占有一定的分值。因此，要重視此類題目的復習。
我國2003年頒布了《高中數學課程標準》，2007年廣東、海南、山東、寧夏四省區率先進行新課程高考，2008年江蘇省也進入新課程高考，2009年就有10個省市實行新課標高考命題，到2010年發展到15個省市。本文從幾個不同方面對2007～2008年新高考數學試題算法內容進行了調查分析，表3.4.1和表3.4.2分別是2007年廣東、海南、山東、寧夏四省算法高考題調查表和2008年廣東、海南、山東、寧夏、江蘇五省算法高考題調查表，管中窺豹可見一斑，借此體會高考中的算法考查情況。
省份 文/理 題號 題型 分值 考查內容
廣東 文 7 選擇 5 程序框圖（循環）
理 6 選擇 5
海南 文 5 選擇 5 程序框圖（循環）
理 5 選擇 5
山東 文 10 選擇 5 程序框圖（循環）
理 10 選擇 5
寧夏 文 5 選擇 5 程序框圖（循環）
理 5 選擇 5
表3.4.1
省份 文/理 題號 題型 分值 考查內容
廣東 文 13 填空 4 程序框圖（循環）
理 9 填空 5
海南 文 6 選擇 5 程序框圖（條件）
理 5 選擇 5
山東 文 13 填空 4 程序框圖（循環）
理 14 填空 4
寧夏 文 6 選擇 5 程序框圖（條件）
理 5 選擇 5
江蘇 文（理） 7 填空 5 程序框圖（循環）
表3.4.2
從這兩個表中我們可以看出無論是2007年還是2008年，新課標高考都考查了算法內容，而且隨著越來越多的省市實行新課程改革以后，都對算法進行了考查，足可見算法是近年來新課標高考的熱點內容；其次，像廣東、海南、山東、寧夏這四省2007年已經對算法進行了考查，次年的高考依然把算法內容安排在了高考試卷中；再次，我們還可以從表發現無論文科還是理科對算法的考查都只有一道題，并沒有過多的出此內容的題目，因此，高考對算法的文理科要求是一致的，理科也并沒有對算法有更多的要求。
從題型來看，考查形式都是選擇題或者填空題，試題難度中等偏下，屬于對基礎的考查，考生得分率較高。由于江蘇省在新課標高考題型中只有填空和解答，因此算法以填空的形式出現在高考試卷中；其次從分值上看，數學高考試卷以150分為滿分（除江蘇省），各省對算法的命題都是4分或者5分，所占比例基本相同，而且在文理科試卷上的題型安排都相同，可見每年的試卷都統一安排，算法均以相同的題型出現，緊扣數學課程標準，主要讓學生體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性。
從考查內容來看，算法初步的高考題均以程序框圖的形式呈現，而順序結構是任何一個算法都離不開的基本結構，因此條件結構和循環結構就成了高考中考察的兩個基本結構，循環結構是在條件結構上的進一步加深，它必定包含了條件結構，正因為它有重復性，因此現實生活中一些有規律的重復運算常常要使用循環結構。新課標高考對算法的命題，體現高考命題對新課程的支持，而且從中我們不難發現算法中的循環結構是高考復習中的一個重點。
逐年來越來越多的省份在高考中考查算法知識，綜述來看，主要分成兩種考察形式，一種是直接考察對框圖的理解，另外一種是結合統計考框圖。
例 （2007年廣東卷（理））.
圖3.4.1是某縣參加2007年高考的學生身高條形統計圖，從左到右的各條形表示的學生人數依次記為A1、A2、…、A10（如A2表示身高（單位：cm）（150，155）內的學生人數）.圖3.4.2是統計圖1中身高在一定范圍內學生人數的一個算法流程圖.現要統計身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的學生人數，那么在流程圖中的判斷框內應填寫的條件是
A. i
圖3.4.1圖3.4.2
本題要統計160～180的學生人數，由圖3.4.1可以看出A4、A5、A6、A7四部分之和，分析圖3.4.2，用的是當型循環，其循環體是S=S+Aii=i+1，因為i的初始值是4（i=4），s的初始值是0（s=0），所以條件框內應填i
1 數學研究性學習
數學研究性學習是學生數學學習的一個有機組成部分，是在基礎性、拓展性課程學習的基礎上，進一步鼓勵學生運用所學知識解決數學的和現實的問題的一種有意義的主動學習，是以學生動手動腦主動探索實踐和相互交流為主要學習方式的學習研究活動。它能營造一個使學生勇于探索爭論和相互學習鼓勵的良好氛圍，給學生提供自主探索、合作學習、獨立獲取知識的機會。數學研究性學習更加關注學習過程。
用于數學研究性學習的材料應是建立在學生現有知識經驗基礎之上，能夠激起學生解決問題的欲望，體現數學研究的思想方法和應用價值，有利于營造廣闊的思維活動空間，使學生的思路越走越寬，思維的空間越來越大的一種研究性材料。
數學研究性學習的材料不僅僅是教師自己提供的，而且教師應鼓勵學生通過思考、調查、查閱資料等方式概括出問題，甚至可以通過日常生活情景提出數學問題，進而提煉成研究性學習的材料。在研究性學習的過程中，學生是學習的主人，是問題的研究者和解決者，是主角，而教師則在適當的時候對學生給予幫助，起著組織和引導的作用。
數學研究性學習的評價不僅僅關心學習的結果，而且更重要的是關注學生參與學習的程度、思維的深度與廣度，學生獲得了哪些發展，并且特別注意學生有哪些創造性的見解，同時對學生的情感變化也應予以注意。為了使評價能夠真實可靠，起到促進學生發展的目的，因此要充分尊重學生自己對自己的評價以及學生之間的相互評價。既要有定量的評價也要有定性的評價。
2 數學研究性學習課題的選擇
數學研究性學習課題主要是指對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。要充分體現學生的自主活動和合作活動。研究性學習課題應以所學的數學知識為基礎，并且密切結合生活和生產實際。新高中數學新教材將按《新大綱》的要求編入以下課題，供參考選用，當然教學時也可以由師生自擬課題。提倡教師和學生自己提出問題。
新高中數學新教材研究性學習參考課題有六個：數列在分期付款中的應用；向量在物理中的應用；線性規劃的實際應用；多面體歐拉定理的發現；楊輝三角；定積分在經濟生活中的應用。 其教學目標是：（1）學會提出問題和明確探究方向；（2）體驗數學活動的過程；（3）培養創新精神和應用能力；（4）以研究報告或小論文等形式反映研究成果，學會交流。
3 數學開放題與研究性學習
研究性學習的開展，需要有合適的載體，即使是學生提出的問題也要加以整理歸類。作為研究性學習的載體應有利于調動學生學習數學的積極性，有利于學生創造潛能的發揮。實踐證明，數學開放題用于研究性學習是合適的。
自上世紀70年代，日本、美國在中小學教學中較為普遍地使用數學開放題以來，數學開放題已逐漸被數學教育界認為是最富有教育價值的一種數學問題，因為數學開放題能夠激起學生的求知欲和學習興趣，而強烈的求知欲望濃厚的學習興趣是創新能力發展的內在動力。上世紀80年代介紹到我國后，在國內引起了廣泛的關注，各類刊物發表了大量的介紹、探討開放題的理論文章或進行教學實驗方面的文章，并形成了一個教育界討論研究的亮點。
高考命題專家也敏銳地覺察到開放題在考查學生創新能力方面的獨特作用，近幾年在全國和各地的高考試題中連續出現具有開放性的題目。例如高考數學題中，2003年的存在性問題，2004年的信息遷移題，2005年的結論探索性問題，2006的主觀試題客觀化，2007年填空題選擇化，2008的條件開放題，2009年的結論和條件探索開放。
數學開放題的常見題型，按命題要素的發散傾向分為條件開放型、方法開放型、結論開放型、綜合開放型；按解題目標的操作摸式分為規律探索型、量化設計型、分類討論型、數學建模型、問題探求型、情景研究型；按信息過程的訓練價值分為信息遷移型、知識鞏固型、知識發散型；按問題答案的機構類型分為有限可列型、有限混沌型、無限離散型、無限連續型。
數學開放題體現數學研究的思想方法，解答過程是探究的過程，數學開放題體現數學問題的形成過程，體現解答對象的實際狀態，數學開放題有利于為學生個別探索和準確認識自己提供時空，便于因材施教，可以用來培養學生思維的靈活性和發散性，使學生體會學習數學的成功感，使學生體驗到數學的美感。因此數學開放題用于學生研究性學習應是十分有意義的。
4 數學研究性學習中開放題的編制方法
無論是改造陳題，還是自創新題，編制數學開放題都要圍繞使用開放題的目的進行，開放題應當隨著使用目的和對象的變化而改變，應作為常規問題的補充，在研究型課程中適合學生研究性學習的開放題應具備起點低、入口寬、可拓展性強的特點。
關鍵詞：交匯；高中數學；試題；分析；研究
伴隨著新課程改革的發展與進步，衍生而出了一個全新的名詞――“交匯”，它是在高中數學試題編制過程中的一種類型，它的提出有其存在的必然性和合理性，在追求數學學科的高度和思維價值的探索中，“交匯”體現出了對高中數學知識的全面而突出重點的考查，具有其特殊的優越性。
一、研究的提出
在新課程改革背景下，試題的“交匯”形式成為研究的潮流和趨勢，通過探究其提出背景，我們不難看到，在高中數學的“交匯”式試題分析研究中，重點是著眼于高中數學試題的交匯類型和交匯特點，教師也普遍認同“交匯”試題的分析和研究可以更為系統地把握數學知識，而且可以實現數學思想方法的滲透，促進數學專業全面發展。然而，我們還應當從交匯的背后探尋“交匯”特殊的編制分析與研究，它是對交匯類型的特殊到一般的歸納與思考，注重其交匯思想的指導性，并有益于高中數學思維的強化與鞏固。
二、“交匯”高中數學試題的分類分析與研究
高中數學試題的“交匯”研究，可以從隱性和顯性兩個層面來看，它們各有側重，但是都是基于高中數學知識的“交匯”分析與研究，關于高中數學高考試題“交匯”分類研究，我們可以從以下幾個分類來探尋：
1.高中數學基礎知識的“交匯”。高中數學基礎知識是學習的重點內容，在各模塊基礎知識的學習中，其交匯試題數不勝數，如：函數與導數的交匯試題中，函數貫穿高中數學，而導數是新課程中重要的銜接內容，是研究函數性態的工具，對交匯試題的函數與導數綜合考查中，可以將導數內容與不等式和函數的單調性、方程根的分布、幾何中的切線等知識點進行融合，創新高考試題內容。
例題：已知雙曲線C：y=m/x（m
試題交匯性分析：這個例題要求熟悉掌握導數的幾何意義，并利用導數求函數的極值、單調區間等數學方法進行求解，用交匯的理念連接了函數與數列、曲線的橋梁。
2.立體幾何知識的“交匯”研究。高中數學的立體幾何重點研究物體在三維狀態下的特征，包括：形狀、大小、位置等，立體幾何的符號與圖形成為表達其特征的途徑，在高考高中數學試題中也展現出交匯的類型。
例在四棱錐P―ABCD中，底面為矩形，PA垂直于底面，E為PD的中點。求證1：PB平行于AEC；求證2：設二面角D―AE―C為60°，AP=1，AD=1.33，求三棱錐E―ACD的體積。
試題交匯分析：這一例題考查立體幾何的知識與概念，要將立體幾何與平面幾何進行有機的聯系，進行交匯的思考與問題的探析，實現由平面幾何向立體幾何的過渡與交匯。
3.解析幾何知識的交匯分析與研究。解析幾何是高中數學的重要知識點，它以平面幾何為基石，以代數的思維進行幾何問題的解析，這是綜合性較強的高中數學考試題目，體現出代數與幾何知識的交匯。
例題：如果不同的兩個點P、Q，它們的坐標分別是（a，b），（3-b，3-a），那么線段PQ的垂直平分線l的斜率為多少？圓（x-2）2+（y-3）2=1關于直線L對稱的圓的方程是什么？
交匯解析：解析幾何是高考數學常見的試題，它是融合多個知識點的試題內容，涉及不同的相關知識，體現了數學知識的系統特性。
三、高中數學交匯試題的編制分析與研究
對高中數學交匯試題的分析離不開對交匯試題的編制研究，高中數學的交匯形式試題編制的原則，主要是依據以下幾個原則：
1.依據性原則。高中數學的考試試題編制要根據其考查的目標不同而加以區分，如：高考試題目標下的試題要具有層次化的差異特點，而期末考試目標下的試題要根據不同學期的數學教學內容加以確定。
2.課程性原則。高中數學是一門思維性和邏輯性較強的學科課程，我們要充分體會高中數學抽象性的特點，用高度概括的語言，對數學知識加以描述和學習，并在廣泛的社會應用中加以充分的利用。在高中數學試題編制中，要充分考慮數學課程的學科特點，展示出數學學科課程中對于事物的抽象性知識和概括性理解，用文字語言、符號語言、圖形語言表達其課程的學科價值與應用。
3.精準性原則。高中數學是一門嚴謹的課程知識，它借用不同的符號語言和圖形語言，表達其數學的內涵與精要，我們必須在數學試題編制的過程中，準確把握數學符號語言和圖形語言，尋找出符號、圖形、字母之間的關聯，從而準確地把握試題的主旨。
4.綜合性原則。高中數學的交匯試題編制要尋找數學知識的交匯點，這就體現出數學試題的綜合程度，隨著其交匯的重復應用，數學知識的綜合性與交叉性則越為明顯，顯現出更高層次的交匯思維。
5.適宜性原則。在高中數學交匯試題編制的過程中，要注重試題的“精要”把握，避免出現交匯過多或選擇“偏題”“怪題”的現象。
四、結束語
總而言之，高中數學的交匯試題要注重自然、系統和綜合的特點，要把握高中數學知識的內在關聯，避免混亂無章的狀態，要在數學知識的交匯過程中，體現出高中數學知識體系的完整性與科學性，通過對交匯試題的知識內化與遷移，可以增強學生靈活運用數學知識的能力，促進學生的數學發散思維和想象，用較高的層次把握高中數學試題的形式與內涵，不僅在交匯試題中展現出較強的解題技巧，而且培養解題的數學思維，真正達到數學知識與思想方法的統一。
一、課堂教學片段
問題呈現：(2013·連云港調研改編)如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E在BC上，且BC=4BE，F在AC1上，且AC1＝4AF.求證：EF∥平面ABB1A1。（黑板上畫出圖形）
教師：這個題目要證明線與面平行，同學們想想課本上哪些定理或結論能夠證出線與面平行？這道題我們可以采取什么方法來解決？下面自己獨立思考兩分鐘，然后小組內進行討論。
設計意圖：從結論出發，引導學生回歸課本。
教師：討論結束.能找出相對應的定理或結論來證明線與面平行嗎？
學生1：一個是線面平行的判定定理，另一個是通過面面平行也可以證明。
教師：你能說出這兩個定理嗎？
學生1（很有自信）：一個是線面平行的判定定理，另一個是面面平行的性質定理1。
教師：具體內容呢？
學生1：線面平行的判定定理是：如果平面外一條直線平行于平面內的一條直線，那么該直線平行于這個平面。面面平行的性質定理1：如果兩個平面平行，那么其中一個平面的直線平行于另一個平面。
教師：很好！（給予及時的評價與鼓勵）這兩個定理簡稱是？
教師：結合上面的定理，你有哪些方法將這道題證明出來嗎？下面小組進行討論，然后匯報你們所討論的結果。（5分鐘過后）
學生2：我們可以從面面平行來證得，（請這一位同學到黑板上作出輔助線，并且同時講解）取AC的四等分點H，使
教師：嗯，很好！這位同學是構造了一個平面EFH，然后利用的面面平行的性質定理1。還有其他方法嗎？（繼續拋出問題）
設計意圖：在知識的轉折點處，應該引導學生從多角度去思考問題。及時引領學生探究的契機，抓住問題的本質和核心，提出合理的探究性問題。
教師：他們都講得非常好！剛才學生3和學生4都是通過找線線平行來證得，你能發現他們又什么共同點嗎？
學生5：他們都是在三角形中利用比例關系找出線線平行的。
教師：證法很巧妙！還有其他類似的證法嗎？
教師：他們都講得非常棒！方法也很獨特！剛才學生6和學生7也都是通過找線線平行來證得，你能發現他們有什么共同點嗎？
學生8：他們都是先構造平行四邊形，然后利用平行四邊形對邊平行找出線線平行的。
教師：很好！（板書：線線平行線面平行方法二：構造平行四邊形，利用對邊平行的關系來構成線線平行）
教師：從這個例子中我們可以看出證明線面平行可以有兩種途徑：一個是利用面面平行，另一個是用線線平行。其中利用線線平行，我們又兩個途徑：一個是在三角形中找，還有一個是在平行四邊形中找。總的來說是：兩種途徑，三種方法。
設計意圖：讓學生自己進行課堂總結，將所學知識及時得到消化，進而轉化為自身的知識。最后老師給總結來一個升華，這樣讓學生對知識有一個比較全面、系統地認識，形成完整的體系。
二、教學體會與反思
以上是“線面平行的判定復習課”的片段，整個過程，學生的主體性已經充分凸顯，同時教師的主導性也體現在傾聽，追問，點評，總結等幾個方面。“滿堂灌”這傳統的教學方式已經被時代所摒棄，如何上好每一節數學課，如何使每一節數學課都能成為高效課堂？這一系列問題成為當下教育熱門的話題，下面筆者結合自己所上的這一節課，談談自己的體會。
首先，備好每一節課。備課備什么？不光是備教材，備教法等，而最最主要的是備學生。教師應根據學生的水平，盡可能設置一些學生感興趣的，趣味性的數學問題,積極地提供學生自己來解決問題的機會。如果能夠經常性地調動學生積極性，發現數學美，自然而然課堂的效果就會越來越好。
其次，創造探究性的課堂。學生是自我發展的主體，教師只是組織者，引導者。在教學過程中，教師要充分地信任學生，認真傾聽學生的想法，根據學生的思路，去引導他們，啟迪他們的思維，調動他們學習的積極性，不要把自己的東西強加給他們。要讓學生們在課堂上充分地交流與合作，更要讓他們充分地展現自己(本節課中所涉及到的解法都是由學生在黑板上詳細扮演的)。同時對每一位學生的思路給予及時地評價，盡可能地找到閃光點，對其放大，以賞識和激勵為主，讓他們感受學習數學的樂趣。
最后，教師要對同一類問題要及時地歸納與總結，讓學生形成知識的體系。在本堂課中以“兩種途徑，三種方法”來突出這節課的重點。“教師的責任不在教，而在教學，而在教學生學”。課堂不是走過場，每一節課結束后，學生要有所得，而不是純粹的會解題.對同一類型題目，教師要引導學生歸納出適合自己的結論與方法。當然學生自己總結出來的結論不一定都是正確或者是合理的，那么這個時候教師要及時給學生指引方向，通過師生的共同合作，讓課堂達到最高的升華。
（山東科技大學基礎課部，山東 泰安 271019）
【摘 要】《高等數學》是一門理工科、經管等有關專業必須開設的公共基礎課。因其數學概念、思維方式和教學內容具有高度的抽象性和邏輯性，一直以來是大學基礎課中學生感覺比較難學的一門課程。在分析《高等數學》教學現狀和存在的問題的基礎上，提出了基于專業的高等數學教學改革探索。
關鍵詞 專業；高等數學；教學改革
基金項目：山東科技大學群星計劃項目。
作者簡介：邊平勇（1971—），男，博士，山東科技大學基礎課部教師，主要從事數學教學與科研工作。
高等數學是高校的一門重要的公共基礎課，其教學效果對于學校的發展和學生綜合素質的提高有著深刻的影響，是大學生學習后續課程的基礎，也是全國研究生入學考試必考科目，學好高等數學對培養大學生的邏輯思維能力和提高綜合素質有著深遠的意義。
為了滿足社會需求，高校的專業結構和培養方式在不斷進行調整，但有些教師的教育觀念不能及時更新，原有的高等數學教學已經不能滿足現有的教育需求，因此有必要進行高等數學教學改革，將高等數學專業化教學觀念運用到教學各環節，豐富教學內容，使來自不同專業的大學生都能體會到《高等數學》這門公共基礎課的重要性，從而調動他們的學習積極性，為學生接下來的專業課學習以及繼續深造打下堅實的基礎。
1 高等數學教學現狀和存在問題
1.1 高等數學課作用的定位不準確
高等數學作為一門公共基礎課，有些人把它簡單的看成是一個工具，過分看重它為專業課服務的功能，忽略了高等數學的邏輯推導、思維縝密對學生綜合能力和數學素養的提高，導致學生僅僅把數學看成是工具，學習掌握以“必須、夠用”為原則，忽視了高等數學課的培養學生數學素養和綜合能力的重要功能，沒有意識到學生數學文化的培養和終身學習的需求。
1.2 學生基礎較差，目標不明確
隨著高校招生規模的擴大，生源總體質量有所下降，學生數學基礎較差，數學素養參差不齊，學生高考數學成績差距也較大，有些學生中學沒有養成良好的數學學習習慣和學習方法，高等數學是純理論課，定義、定理、公式較多，比較枯燥，有些學生學習起來有一定難度，特別是多元函數微積分學部分，有很大一部分學生基本放棄，高等數學不及格率也居高不下。部分學生學習目的不明確，態度不端正，對于數學的要求，僅限于考試及格即可，缺乏進取心和學習興趣。
1.3 教學方法單一，不能與專業結合
有的教師在高等數學的講授過程中依舊采用傳統的教學方法，教師在講臺上認認真真地講授高等數學的內容，臺下學生枯燥無味地被動地聽，更有甚者玩手機。教學方法和授課內容過分強調理論的嚴謹性、科學性、邏輯性，而忽略學生專業學習的需求；知識點背景信息介紹，相關例題、習題、作業的選取，教學內容的編排，概念定理的敘述證明，都缺乏創新意識，各專業都一樣，沒有體現專業特色；重視推導、計算，忽略大學生解決專業實際問題的能力培養；重視解題能力的訓練，忽略了大學生數學思想方法的熏陶。
1.4 教學內容陳舊，沒考慮學情
現有高等數學與中學數學在教學內容上有些地方銜接不好，比如反三角函數，極坐標、參數方程等等知識中學并沒有講解，但大學教師認為中學已經學過，高等數學教材中也沒有進行補充和解釋，這就造成高等數學與中學數學教學內容存在脫節現象，導致高等數學部分內容學習效果不好；同時將高等數學的部分內容下放到中學數學中講授，部分教學內容重復，引不起學生的學習興趣，殊不知他們只知其然不知其所以然，比如簡單的導數和積分計算等。另一方面，教材體系一成不變，多選用同濟大學《高等數學》[1]，內容顯得有些陳舊。
2 基于專業的高等數學教學改革
2.1 制定與專業課相結合的教學計劃
數學教師要多與專業任課教師加強聯系，可以通過調查問卷、座談會、專題會等方式，深入了解各專業所需的高等數學知識點，如在哪些專業課中用、用到哪些高等數學知識、哪些數學知識學生掌握的不好不夠用、還需補充哪些知識、哪些問題要用到數學知識解決等等。掌握這些情況后，教研室可根據專業課的需要和特點，在遵循教學大綱要求和教材完整性、科學性、系統性的前提下，適當的調整部分教學內容。通過與專業任課教師的溝通交流，兼顧學生實際和專業特點，有目的制定合理的高等數學授課計劃。專業課教師（課程負責人或教研室主任）要積極配合數學教師的工作，將專業課中好的數學案例提供給數學老師[2]，并重視數學教師的反饋意見，認真吸收高等數學教材中好的思想與方法，將專業課中所用到的數學定理、公式等通過講授能引起學生的共鳴，共同提高教學效果。在內容上增加來自于專業的實際案例，使數學更加生動和富有吸引力，調動了學生學習數學能動性。
2.2 改進教學方法，激發學習興趣
高等數學這門課有點抽象，邏輯性強，知識構架嚴密，部分學生學習起來有些難度。在課堂授課過程中，如果教師只是重視分析概念、定理、證明公式，學生學起來比較枯燥，必須選擇適合的教學方法。教師應積極利用先進的多媒體技術和自制的課件進行教學，以此提高學生對高等數學的學習興趣，以便于學生掌握教材中的難點和重點，彌補傳統教學方式在視覺、立體感和動態意義上的不足，使一些抽象、難懂的內容易于學生理解和掌握。教學過程中，需要用到研究性、探究式和討論式等教學方法，可以讓學生參與到高等數學教學環節的全過程之中，發揮學生的主體作用。條件成熟還可以讓學生當小老師，講授某些知識點或某個例題，教師做點評。
2.3 引進具有專業背景的例題，提高學生的數學應用能力
在高等數學的課堂教學過程中，例題的選取也很有學問，例題的設計要慎重，要把某些專業知識或公式提前介紹一下。為了體現數學對于專業課學習的重要作用，教師在授課時，多采用一些與專業課有關的例題。比如經管專業講解導數時，可以引入成本函數與邊際成本的關系，工科專業講解二重積分應用時可以引入理論力學[3]中質心坐標計算的例題、習題或試題等[4]。還可以將數學建模的思想引入到高等數學課堂教學中[5]，往年典型賽題可以充實到教學內容中。讓學生體會到高等數學對于他們的后續專業課的學習至關重要，從而提高學生的學習積極性。教學中所用到的例題不僅要符合教學內容和教學目的的需要，而且要兼顧學生的認知水平，有利于大學生掌握教學內容，能夠為學生運用所學數學知識解決實際問題打下基礎。
2.4 教師要樹立高等數學專業教學意識
教師要及時更新高等數學教學觀念，考慮學生的專業背景，體現學生專業化的要求。教師在教學過程中在強調高等數學理論知識體系的完備性的同時，還要重視高等數學與專業課相結合培養學生的綜合能力；不僅要注重數學知識的傳授，還要重視數學應用能力的培養，提高學生專業應用能力。
3 結論
總之，高等數學的教學各環節要與學生的專業背景緊密結合，加強高等數學與各專業課之間的密切聯系，讓學生端正學習高等數學的目的，培養大學生的職業創新能力。數學教師應該多與專業課教師交流，學習專業知識，完善自己的教學經驗，尋找專業教學案例，加強高等數學的實際應用能力，在教學中體現高等數學的實用性和有效性，提高教學效果。
參考文獻
［1］同濟大學．高等數學[M].6版．北京:高等教育出版社,2006.
［2］張民杰．案例教學法:理論與實務[M]．蘭州:甘肅文化出版社,2005:15-17.
［3］哈爾濱工業大學,主編.理論力學[M].北京:高等教育出版社,2002.
［4］邊平勇.力學形心坐標計算對高等數學教學的啟發[J].河南科技,2013.
