時(shí)間：2023-05-30 10:37:06
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇導(dǎo)數(shù)公式，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)公式；單調(diào)性；三角函數(shù)
高中理科之間互相都有融合滲透，因?yàn)樵谖锢韺W(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中，一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示。高中導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用過程是讓學(xué)生感知瞬時(shí)變化率的過程。
一、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性判斷中的應(yīng)用
在平面直角坐標(biāo)系中，導(dǎo)數(shù)代表的就是某條曲線在某一點(diǎn)的斜率。判斷函數(shù)的單調(diào)性，就可以根據(jù)一個(gè)切線上的斜率來判定，斜率都大于零，那么可以準(zhǔn)確判斷出其單調(diào)遞增的特征。尤其是在簡(jiǎn)單的一次函數(shù)中，當(dāng)曲線斜率為正時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，反之為負(fù)時(shí)就是單調(diào)遞增。
例1.求函數(shù)y=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間。
解析：y=x3-3x+1 Y′=3x2-3 當(dāng)3x2-3=0，即x=±1時(shí)，y有極值=-1和3，因?yàn)閤=2，y（2）=3，x=1，y（1）=-1，x=0，y（0）=1，x=-1，y（-1）=3，x=-2，y（-2）=-1所以函數(shù)在（-∞，-1]單調(diào)遞增，在[-1，1]單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增。
在求解單調(diào)函數(shù)的遞增性上，求解函數(shù)單調(diào)性，更可以顯示導(dǎo)數(shù)公式的價(jià)值。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以延伸出導(dǎo)函數(shù)“二次型單調(diào)性問題求解”。
二、導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的切線中的應(yīng)用
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由12個(gè)常用導(dǎo)數(shù)衍生出來，成為推導(dǎo)的依據(jù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處的切線斜率，也就是常說的切線方程公式，除了強(qiáng)調(diào)曲線上的點(diǎn)外，還體現(xiàn)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分不必要條件。導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中解決的問題就是，以此助推求解函數(shù)切線，其應(yīng)用價(jià)值就體現(xiàn)在函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，曲線在點(diǎn)處一定存在切線，但是曲線在點(diǎn)存在切線，卻未必可導(dǎo)的特性。
例2.函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=
f（x）在點(diǎn)P（x0，y=f（x0））處的切線的斜率。在求解中，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y）=f（x0）處的切線的斜率是f′（x0），相應(yīng)的切線方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）。在該例題切線方程的求解中，就是根據(jù)導(dǎo)數(shù)所體現(xiàn)的幾何意義來求解的。
三、導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用
三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系、積化和差、雙曲函數(shù)等都可以在簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)中發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，進(jìn)而衍生出新的解題策略。sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出發(fā)，推導(dǎo)出復(fù)雜三角函數(shù)的求解之法。
例3.由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB導(dǎo)數(shù)公式，推導(dǎo)出三角函數(shù)積化和差、和差化積問題。
首先，畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點(diǎn)。角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新A′OD。
A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β））
OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）
[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2
和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）
綜上所述，在結(jié)合課改和高中生身心發(fā)展現(xiàn)狀時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維和掌握導(dǎo)數(shù)的變化趨勢(shì)，成為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域必須關(guān)注的大事。這對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式解決高中生日常數(shù)學(xué)難題，具有積極的指導(dǎo)作用。
參考文獻(xiàn)：
【摘 要】文章簡(jiǎn)要介紹了泰勒公式及其幾個(gè)常見函數(shù)的展開式， 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具，本文討論了應(yīng)用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)、判斷函數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn)的問題以及帶有Pe？琢no余項(xiàng)的T？琢ylor公式有關(guān)的導(dǎo)數(shù)概念的推廣即Pe？琢no導(dǎo)數(shù)。
【關(guān)鍵詞】泰勒公式；極限；斂散性；凸凹性；拐點(diǎn)
泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的內(nèi)容，微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函數(shù)的增量，自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具。泰勒公式的余項(xiàng)有兩種：一種是定性的，例如我們可以使用泰勒公式， 皮亞諾型余項(xiàng)；另一種是定量的，如拉格朗日余項(xiàng)、柯西型余項(xiàng)等。可以用來很好的解決有關(guān)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)問題。帶有余項(xiàng)的公式建立了函數(shù)與它的階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，在理論和實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。
泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計(jì)算、極限計(jì)算、函數(shù)凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明、中值問題以及行列式的計(jì)算等方面有重要的應(yīng)用。通過本文的論述，我們可以了解到高階導(dǎo)數(shù)的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。只要題中條件給出函數(shù)二階及二階以上可導(dǎo)，不妨先把函數(shù)在指定點(diǎn)展成泰勒公式，一般是展成比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式，然后根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇展開點(diǎn)（展開點(diǎn)未必一定是具體數(shù)值點(diǎn)，有時(shí)以為佳）。只要在解題訓(xùn)練中注意分析、研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn)，并把握上述處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。
作者簡(jiǎn)介：郭勝紅（1979.2-），男，甘肅蘭州人，漢族，講師.主攻方向：數(shù)學(xué)教育。
參考文獻(xiàn)：
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)、第三版）[M].北京.高等教育出版社.2001（2008重印），125-126，134-139
[2]孫清華，孫昊.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（上）[M].武漢.華中科技大學(xué)出版.2003年7月，
[3]王殿元.帶有不同型余項(xiàng)泰勒公式的證明（第四期）[J].電大理工.2000.11，38
關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù)；計(jì)算
一、運(yùn)用周期
例1 設(shè)f0（x）=sinx，f1（x）=f0'（x），f2（x）=f1'（x），…，fn+1（x）=fn'（x），n∈N，則f2012（x）= 。
分析：首先根據(jù)題設(shè)分別計(jì)算f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），…，根據(jù)計(jì)算結(jié)果歸納其周期性求解。
解：f1（x）=cosx，f2（x）=-sinx，f3（x）=-cosx，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，…，故fn（x）的周期為4，所以f2012（x）=f4（x）=sinx。
點(diǎn)評(píng)：此類問題若采用常規(guī)方法求解將十分繁瑣，通過利用其周期性求解，大大降低了思維的難度。
二、適當(dāng)賦值
例2 已知f（x）=x■+x■f'（1），則f'（-1）的值為。
分析：首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后令x=1構(gòu)造關(guān)于f'（1）的方程求解。
解：f'（x）=3x2+2xf'（1），f'（1）=3+2f'（1），解得f'（1）=-3，f '（-1）=3-2f'（1）=9。
點(diǎn)評(píng)：方程思想是一種重要的基本的數(shù)學(xué)思想方法，有關(guān)導(dǎo)數(shù)值問題的求解常常構(gòu)造方程求解。
三、數(shù)形結(jié)合
例3 如圖1，函數(shù)g（x）=f（x）+■x2的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=-x+8，則f（5）+f'（5）= 。
分析：觀察圖象可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5，由于切線方程已知，故可求得g（5）及g'（5）。
解：g'（x）=f'（x）+■x由圖及題設(shè)可知g'（5）=-1，g（5）=3，-1=f'（5）+■×5，解得f'（5）=-■，由g（5）=f（5）+■×25解得f（5）=2，故f（5）+f'（5）=■。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于題設(shè)中已經(jīng)給出圖形，根據(jù)題設(shè)及欲求的結(jié)論充分挖掘圖中蘊(yùn)含的信息，從而使問題順利解決。
四、適當(dāng)轉(zhuǎn)化
例4 求函數(shù)y=■的導(dǎo)數(shù)。
分析：本題是商的形式，可直接運(yùn)用商的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行，但求解過程繁鎖，仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)右端式子是齊次式，故可先分離常數(shù)，然后再求導(dǎo)。
解：y=■=■=1-■=1-2（x■+1）-1
y'=（1-2（x2+1）-1）'=0-2（-1）（x2+1）-2（x2+1）'
=2（x2+1）-2?2x=■。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)要按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行，即y=f（g（x））的導(dǎo)數(shù)y'=f'（u）g'（x）（其中u=g（x））。
例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）y=x■；(2)y=log■x■-log■x；（3）y=-2sin■（1-2cos■■）
解析：（1）y'=（x■）'=（x■）'=■x■=■■
（2）y=log■x■-log■x=log■x，y'=（log■x）'=■
（3）y=-2sin■（1-2cos■■）=2sin■（2cos■■■-1）=2sin■cos■=sinx，y'=（sinx）'=cosx
評(píng)注：對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)，若能將函數(shù)關(guān)系式合理的轉(zhuǎn)化成可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的形式，則可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo).
例6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝x(x2＋■＋■)；(2)y＝sin4■＋cos4■
解析：(1)y＝x(x2＋■＋■)＝x3＋1＋■，y'＝3x2－■；
(2)y＝sin4■＋cos4■=（sin■■+cos■■）■-2sin■■cos■■=1-■sin■■=1-■?■=■+■cosx
[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù) 高中數(shù)學(xué) 合理應(yīng)用
[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674 6058（2016）17 0000
導(dǎo)數(shù)是高考出題的熱點(diǎn)，這讓教師和學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的意識(shí)也逐漸加強(qiáng).導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的引入，加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)解題的方式運(yùn)用到實(shí)際生活中去，并且對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性有一定的作用.所以導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中有利的輔助工具.注重引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解題，并且能熟練掌握已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)之一.
一、導(dǎo)數(shù)在代數(shù)中的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)不是很復(fù)雜難學(xué)的知識(shí)，只要將公式、法則、性質(zhì)牢記于心，多做練習(xí)，自然就能熟練應(yīng)用.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值一般有固定的解題步驟：首先求出f′（x）的根值，根據(jù)所得數(shù)值，確定根兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性呈現(xiàn)出來的遞增或遞減狀態(tài)，得到相應(yīng)的最大值或最小值.如果兩側(cè)單調(diào)性相同，則說明此根處沒有相應(yīng)的極值.
例如，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x在單調(diào)區(qū)間[1，5]上的最大值.
解： 函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-3x2+6x+9，所以在區(qū)間（-1，3）上是單調(diào)遞增的，即f′（x）>0.在區(qū)間（-∞，-1），（3，+∞）上是單調(diào)遞減的；對(duì)于區(qū)間[1，5]在[1，3]的范圍內(nèi)f′（x）>0，即是遞增，在[3，5]范圍內(nèi)f′（x）
這類題目在高中是常見的基礎(chǔ)題型，在某一區(qū)間內(nèi)求取極值的問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，在區(qū)間內(nèi)如果兩側(cè)符號(hào)不同，那就說明這個(gè)區(qū)間存在極值，以此為根據(jù)，有清晰的解題思路，就能快速地解出答案.
二、導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)在幾何題目的解答上都能使解題變得更高效簡(jiǎn)單.學(xué)生在導(dǎo)數(shù)知識(shí)章節(jié)的學(xué)習(xí)中，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的公式和兩個(gè)函數(shù)之間的四種求導(dǎo)法則，可以不用加以過多的證明，但一定要將公式和法則熟記于心，在遇到難題時(shí)，能夠正確使用相應(yīng)的步驟和法則.學(xué)生在導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，也要注意適時(shí)的進(jìn)行總結(jié)，對(duì)知識(shí)有一個(gè)連貫性.注重知識(shí)的全面運(yùn)用，可以提升學(xué)生自身的綜合學(xué)習(xí)能力.
導(dǎo)數(shù)在幾何解題的應(yīng)用也可以有效地提高解題效率.比如常見的給出某M點(diǎn)坐標(biāo)和曲線c方程，求出最終的切線方程.解題基本上也是有固定的步驟：首先確定M點(diǎn)是否在相應(yīng)的曲線c上，另外要求得相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f′（x）；根據(jù)題目的實(shí)際情況會(huì)得出不一樣的數(shù)值，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)根據(jù)具體的情況運(yùn)用相應(yīng)的方程公式.如果點(diǎn)在曲線上，那么需要用的方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果點(diǎn)不在曲線上，那么需要用到的方程為y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此為根據(jù)，得出具體的x1的值，這樣就能求得切線方程.
在幾何題目的解答中，合理的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以使計(jì)算方法變得更加簡(jiǎn)單，通過這種方式可以提高數(shù)學(xué)題目解答的效率.在高中數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)遇到坐標(biāo)系中切線方程求解.一般的題目都是給出曲線外的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，讓學(xué)生來求解過這個(gè)點(diǎn)的曲線的切線方程，這些題目的解答都是通過導(dǎo)數(shù)來實(shí)現(xiàn)的.
例如：已知一條直線p：x+4y-4=0，以及曲線y=x4，直線p與曲線的一條切線n相互垂直，求切線n的方程.這是一道典型的采用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行解答的曲線切線題目.在解題的過程中，我們要對(duì)題目所給的信息進(jìn)行分析，根據(jù)直線x+4y-4=0與切線n相互垂直這一信息，來計(jì)算出n這條直線的斜率，然后再求出曲線的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)導(dǎo)函數(shù)取具體值的時(shí)候，我們就可以將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)求出，這樣就可以根據(jù)斜率和點(diǎn)的坐標(biāo)來得出直線的方程.具體解題步驟為：y=x4，求導(dǎo)結(jié)果為y′=4x3，直線x+4y-4=0的斜率為-1/4，那么與這條直線垂直的直線n的斜率就是4.我們令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，這條直線與曲線的交點(diǎn)，也就是切點(diǎn)的位置就是（1，1），那么對(duì)應(yīng)的切線方程就為y-1=4（x-1），即為y=4x-3.
學(xué)生要想在數(shù)學(xué)解題中很好地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，必須是建立再對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)以及法則等有深刻理解的基礎(chǔ)上的.通過導(dǎo)數(shù)典型性的應(yīng)用，可以使一些題目變得一題多解，幫助學(xué)生對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)有更加深層的掌握，并在此基礎(chǔ)上選擇較為簡(jiǎn)單的方法，更好的解決問題.
總之，導(dǎo)數(shù)在高數(shù)解題中的運(yùn)用，有效地幫助學(xué)生更快速地解答難題；在有些包含導(dǎo)數(shù)、方程組、數(shù)列等方面的綜合題目，通過使用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解題，可以考察學(xué)生的綜合思考能力，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性.
[ 參 考 文 獻(xiàn) ]
[1]吳龍福.例析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)題目解答中的典型性應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界：教師適用，2012，（11）：62-62.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；價(jià)值分析
1.高中數(shù)學(xué)解題中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用技巧
在高數(shù)的教學(xué)中，從教師的角度來說，熟悉導(dǎo)數(shù)的定義是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，教師可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度適當(dāng)調(diào)整導(dǎo)數(shù)章節(jié)的教學(xué)進(jìn)度，如果基礎(chǔ)知識(shí)沒有掌握牢固，越往后知識(shí)越復(fù)雜就更不利于學(xué)生的理解和接受。在了解導(dǎo)數(shù)定義的基礎(chǔ)上，逐漸引入函數(shù)四則運(yùn)算法則，將復(fù)雜的知識(shí)簡(jiǎn)單化，用逐漸帶入的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)；學(xué)生要結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，將函數(shù)的極值判定和函數(shù)單調(diào)性要作為重要的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)。
其實(shí)導(dǎo)數(shù)也不是很復(fù)雜難學(xué)的知識(shí)，只要將公式、法則、性質(zhì)牢記于心，多做練習(xí)，自然就能熟練應(yīng)用；運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值一般有固定的解題步驟：首先求出f′（x）的根值，根據(jù)所得數(shù)值，確定根兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性呈現(xiàn)出來的遞增或遞減狀態(tài)，得到相應(yīng)的最大值或最小值；如果兩側(cè)單調(diào)性相同，則說明此根處沒有相應(yīng)的極值。
例如用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值：求函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x在單調(diào)區(qū)間[1，5]上的最大值；
解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-3x2+6x+9，所以在區(qū)間（-1，3）上是單調(diào)遞增的，即f′（x）0，在區(qū)間（-∞，-1），（3，+∞）上是單調(diào)遞減的；對(duì)于區(qū)間[1，5]在[1，3]的范圍內(nèi)f′（x）0，即是遞增，在[3，5]范圍內(nèi)f′（x）
這類題目在高數(shù)中是常見的基礎(chǔ)題型，在某一區(qū)間內(nèi)求取極值的問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，在區(qū)間內(nèi)如果兩側(cè)符號(hào)不同，那就說明這個(gè)區(qū)間存在極值，以此為根據(jù)，有清晰的解題思路，就能快速地解出答案。
導(dǎo)數(shù)在幾何解題的應(yīng)用也可以有效的提高解題效率；比如常見的給出某M點(diǎn)坐標(biāo)和曲線C方程，求出最終的切線方程，解題步驟基本上也是有固定的邏輯：首先確定M點(diǎn)是否在相應(yīng)的曲線C上，另外要求得相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f′（x）；根據(jù)題目的實(shí)際情況會(huì)得出不一樣的數(shù)值，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)根據(jù)具體的情況運(yùn)用相應(yīng)的方程公式：如果點(diǎn)在曲線上，那么需要用的方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果點(diǎn)不在曲線上，那么需要用到的方程為y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此為根據(jù)，得出具體的x1的值，這樣就能求得切線方程。
根據(jù)以上的解題實(shí)例可以看出，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用不僅是代數(shù)，在幾何題目的解答步驟上都能使解題變得更高效簡(jiǎn)單。學(xué)生在導(dǎo)數(shù)知識(shí)章節(jié)的學(xué)習(xí)中，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的公式和兩個(gè)函數(shù)之間的四種求導(dǎo)法則，可以不用加以過多的證明，但一定要將公式和法則熟記于心，在遇到難題時(shí)，能夠正確使用相應(yīng)的步驟和法則。學(xué)生在導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，也要注意適時(shí)的進(jìn)行總結(jié)，對(duì)知識(shí)有一個(gè)連貫性的結(jié)構(gòu)；注重知識(shí)的全面運(yùn)用，可以提升學(xué)生自身的綜合學(xué)習(xí)能力。
2.高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用注意事項(xiàng)
在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分的教學(xué)過程中有一定的注意事項(xiàng)，首要要把握一定的教學(xué)要求，抓住教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生們的實(shí)際學(xué)習(xí)情況和接受進(jìn)度進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)計(jì)劃調(diào)整，因?yàn)楦邤?shù)這門課程的思維連貫性，一旦某一部分沒有熟練掌握或者學(xué)習(xí)的不夠踏實(shí)，對(duì)接下來的學(xué)習(xí)會(huì)有很不好的影響，尤其在導(dǎo)數(shù)部分的學(xué)習(xí)，如果一開始的基礎(chǔ)知識(shí)沒有得到掌握，那么對(duì)這部分知識(shí)越往后就越難以消化。
要讓學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的含義有一個(gè)很明確的了解，學(xué)習(xí)之初，對(duì)概念的認(rèn)識(shí)也是很重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，然后是對(duì)導(dǎo)數(shù)的各種性質(zhì)的了解，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)在高數(shù)中起著很重要的作用，在很多題型中都可以用得到，而運(yùn)用在解題中的時(shí)候，大都是依據(jù)導(dǎo)數(shù)的各種性質(zhì)進(jìn)行的，所以要求學(xué)生在熟悉導(dǎo)數(shù)的概念以后，對(duì)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)也要牢記于心方能熟練運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式和幾何方程等，可以有效地提高解題的效率和質(zhì)量，從中考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度以及思維整合的能力。另外一點(diǎn)在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解的過程中，引導(dǎo)學(xué)生避免解題思路復(fù)雜化，全面考慮導(dǎo)數(shù)的各種性質(zhì)找出最適合題目應(yīng)用的，盡可能將其簡(jiǎn)單化；在復(fù)合函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，要對(duì)將其計(jì)算法則進(jìn)行重點(diǎn)學(xué)習(xí)，并做到熟練運(yùn)用的程度，教師在復(fù)合函數(shù)練習(xí)題的難易程度要做好把控，考慮整體學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行安排布置，或者根據(jù)不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生，拿出多個(gè)具有針對(duì)性的練習(xí)方案，能更有效地幫助學(xué)生鞏固導(dǎo)數(shù)知識(shí)。
3.結(jié)語
教師在在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過程中，將理論知識(shí)形象化，結(jié)合一定的圖片表格，讓學(xué)生能更直觀的感受到導(dǎo)數(shù)的各性質(zhì)之間的區(qū)別，同時(shí)也要注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，這樣也能更好地提高學(xué)生導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的效率。
【參考文獻(xiàn)】
[1]周彩鳳.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題典型性應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015.15：58
[2]崔迎新.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)（上），2013.03：50-51
[3]漆建哲.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2013.07：24
【關(guān)鍵詞】分段函數(shù) 分段點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)
在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算過程中，分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。在很多高等數(shù)學(xué)教材中提到的僅僅是通過導(dǎo)數(shù)定義，或者左右導(dǎo)數(shù)定義來討論，但是通過導(dǎo)數(shù)定義來討論，解答過程會(huì)顯的繁瑣，而且計(jì)算量也比較大學(xué)生容易出錯(cuò)，在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生常常會(huì)提出是否可以通過求導(dǎo)公式來討論分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)情況。針對(duì)上述問題，筆者給出了一個(gè)求解分段函數(shù)在分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的行之有效的簡(jiǎn)單方法。
一、分段點(diǎn)處左右鄰域?qū)?shù)極限都存在時(shí)
如果分段函數(shù)在分段點(diǎn)x0處連續(xù)，且左鄰域（x0-δ，x0）與右鄰域（x0，x0+δ）內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，可通過定理1與定理2求解。
定理1 若分段函數(shù)f（x）在分段點(diǎn)x0的某U（x0）內(nèi)可導(dǎo)，滿足
從例3知道，分段點(diǎn)處左右鄰域?qū)?shù)極限不存在時(shí)，分段點(diǎn)也可能導(dǎo)數(shù)存在。也就是說，分段點(diǎn)處左右鄰域?qū)?shù)極限存在僅僅是分段點(diǎn)處可導(dǎo)的充分條件而非必要條件
三、結(jié)語
基于定理1與推論1給出了簡(jiǎn)便判別分段函數(shù)在分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)情況的判斷，避開使用導(dǎo)數(shù)定義判斷是否可導(dǎo)，簡(jiǎn)化了計(jì)算難度，大大提高了計(jì)算的效率。文中也指出了定理1中條件（1）連續(xù)的重要性，以及分段點(diǎn)處左右鄰域?qū)?shù)極限存在僅僅是可導(dǎo)的充分條件。
參考文獻(xiàn)：
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].第6版. 北京：高等教育出版社，2007.
本大綱適用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、 管理學(xué)以及職業(yè)教育類、 生物科學(xué)類、 地理科學(xué)類、 環(huán)境科學(xué)類、 心理學(xué)類、藥學(xué)類(除中藥學(xué)類外)六個(gè)一級(jí)學(xué)科的考生。
總要求
本大綱內(nèi)容包括“高等數(shù)學(xué)”及“概率論初步”兩部分，考生應(yīng)按本大綱的要求了解或 理解“高等數(shù)學(xué)”中極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)和多元函數(shù)微分學(xué)的基 本概念與基本理論;了解或理解“概率論”中古典概型、離散型隨機(jī)變量及其數(shù)字特征的基 本概念與基本國際要聞 學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法，應(yīng)注意各部分知識(shí) 的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力;能運(yùn)用 基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準(zhǔn)確地計(jì)算;能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析 并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次;對(duì)方 法和運(yùn)算分為“會(huì)”“掌握”和“熟練”三個(gè)層次。 、
復(fù)習(xí)考試內(nèi)容
一、極限和連續(xù)
(1)極限
1.知識(shí)范圍 數(shù)列極限的概念和性質(zhì)
(1)數(shù)列數(shù)列極限的定義性有界性四則運(yùn)算法則夾逼定理，單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理
(2)函數(shù)極限的概念和性質(zhì) 函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義，左、右極限及其與極限的關(guān)系 χ趨于無窮(χ∞，χ+∞， χ-∞)時(shí)函數(shù)的極限函數(shù)極限的幾何意義 性 四則運(yùn)算法則 夾逼定理
(3)無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量的定義無窮小量與無窮大量的關(guān)系，無窮小量的性質(zhì)，無窮小量的比較。
(4)兩個(gè)重要極限
sin x lim x = 1 x 0
1 lim 1 + x = e x ∞x
2.要求
(1)了解極限的概念(對(duì)極限定義中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限以及函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。
(2)了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。
(3)理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系， 會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價(jià)) 。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。
(4)熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
(2)連續(xù)
1.知識(shí)范圍
(1)函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義 左連續(xù)和右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的 間斷點(diǎn)
(2)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì) 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性
(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 有界性定理 值與最小值定理 介值定理(包括零點(diǎn)定理)
(4)初等函數(shù)的連續(xù)性
2.要求
(1) 理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念， 理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系， 掌握函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)處的連續(xù)性的判斷方法。
(2)會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。
(3)掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。
(4)理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限。
二、一元函數(shù)微分學(xué)
(一)導(dǎo)數(shù)與微分
1.知識(shí)范圍
(1)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件導(dǎo)數(shù)的幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系
(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式
(3)求導(dǎo)方法 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
(4)高階導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
(5)微分 微分的定義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性
2.要求
(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)。
(2)會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。
(3)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。
(4)掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
(5)了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
(6)理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。
(二)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.知識(shí)范圍
(1) 洛必達(dá)(L′Hospital)法則
(2) 函數(shù)增減性的判定法
(3) 函數(shù)極值與極值點(diǎn)值與最小值
(4) 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)
(5) 曲線的水平漸近線與鉛直漸近線
2.要求
(1)熟練掌握用洛必達(dá)法則求“
0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的極限的方法。 0 ∞
(2)掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增 減性證明簡(jiǎn)單的不等式。
(3)理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、值與最小值的方法， 會(huì)求解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。
(4)會(huì)判定曲線凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。
(5)會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。
三、一元函數(shù)積分學(xué)
(一)不定積分
1.知識(shí)范圍
(1)不定積分 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì)
(2)基本積分公式
(3)換元積分法 第一換元法(湊微分法) 第二換元法
(4)分部積分法
(5)一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分
2.要求
(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。
(2)熟練掌握不定積分的基本公式。
(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(僅限形如
2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換) ∫
(4)熟練掌握不定積分的分部積分法
(5)掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。
(二)定積分
1.知識(shí)范圍
(1)定積分的概念 定積分的定義及其幾何意義可積條件
(2)定積分的性質(zhì)
(3)定積分的計(jì)算 變上限的定積分牛頓—萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式換元積分法分部積分法
(4)無窮區(qū)間的廣義積分、收斂、發(fā)散、計(jì)算方法
(5)定積分的應(yīng)用 平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積
2.要求
(1) 理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。
(2) 掌握定積分的基本性質(zhì)
(3) 理解變上限的定積分是上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。
(4) 熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式
(5) 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
(6) 理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。
(7) 掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成 旋轉(zhuǎn)體的體積。
四、多元函數(shù)微分學(xué)
1.知識(shí)范圍
(1)多元函數(shù) 多元函數(shù)的定義 二元函數(shù)的定義域 二元函數(shù)的幾何意義
(2)二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念
(3)偏導(dǎo)數(shù)與全微分 一階偏導(dǎo)數(shù) 二階偏導(dǎo)數(shù) 全微分
(4)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
(5)二元函數(shù)的無條件極值和條件極值
2.要求
(1)了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。
(2)了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
(3)理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)全微分的求法。
(4)掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
(5)會(huì)求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。
(6)會(huì)用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值求解簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。
五、概率論初步
1.知識(shí)范圍
(1)事件及其概率 隨機(jī)事件 事件的關(guān)系及其運(yùn)算 概率的古典型定義 概率的性質(zhì) 條件概率事件的獨(dú)立性
(2)隨機(jī)變量及其概率分布 隨機(jī)變量的概念 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 (3)隨機(jī)變量的數(shù)字特征 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 方差 標(biāo)準(zhǔn)差
2.要求
(1) 了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的基本特點(diǎn);理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。
(2) 掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容(或互斥)關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。
(3) 理解事件之間并(和) 、交(積) 、差運(yùn)算的定義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。
(4) 理解概率的古典型定義;掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。
(5) 會(huì)求事件的條件概念;掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。
(6) 了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。
(7) 理解離散型隨機(jī)變量的定義及其概率分布，掌握概率分布的計(jì)算方法。
(8) 會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。
【摘 要】隨著新課改的推進(jìn)，函數(shù)的綜合問題仍是歷年高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，特別是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)大題中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)函數(shù)不等式的證明，用于考查學(xué)生的推理論證及運(yùn)算求解能力。通過對(duì)歷年試題背景的研究發(fā)現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)知識(shí)中泰勒公式的身影，本文就泰勒展開式在解決函數(shù)不等式的相關(guān)問題進(jìn)行剖析。
關(guān)鍵詞 泰勒公式；余項(xiàng)；麥克勞林公式；函數(shù)不等式；放縮
函數(shù)不等式是一類以函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)為背景結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)的不等式，解題時(shí)往往以不等式和導(dǎo)數(shù)為工具，通過邏輯推理來解決問題。正所謂：“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”，如果沒有站在相應(yīng)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的高度，那么就很難看透問題的本質(zhì)，更無法幫助學(xué)生揭開高考數(shù)學(xué)難題的神秘面紗。
徐國君通過對(duì)2010年與2011年數(shù)學(xué)高考題的研究，主要是通過泰勒展開式得到不等式ln(x+1)≤x≤ex-1，并對(duì)其進(jìn)行巧妙的應(yīng)用，大多數(shù)文章也是闡述類似的應(yīng)用。本文將對(duì)ex、ln(1+x)及cosx等的n階展開式在高考中的精妙應(yīng)用進(jìn)行進(jìn)一步剖析，以期能為函數(shù)不等式的證法注入活力。
泰勒公式形式1[1]：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0存在n階導(dǎo)數(shù),則有
這里o((x-x0)n)為皮亞諾型余項(xiàng),稱(1)式為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的泰勒公式。
稱此式為(帶有皮亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式。
泰勒公式形式2[1]：若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間(a,b)內(nèi)存在n＋1階導(dǎo)函數(shù),則有
稱此式為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式。
一、初步探究
例1、（2012年遼寧高考數(shù)學(xué)理科第12題）若x∈[0,+∞)，則下列不等式恒成立的是（ ）
說明：高考的標(biāo)準(zhǔn)答案是利用導(dǎo)數(shù)公式，通過函數(shù)的單調(diào)性與最值來證明不等式恒成立。
例2、（2013年全國卷新課標(biāo)Ⅱ理科第21題）已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)．
(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)＞0。
解：（1）略。
（2）當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時(shí)ln(x+m)≤ln(x+2)
故只需證當(dāng)m=2時(shí)f(x)>0即ex>ln(x+2)
顯然，由泰勒展開式易得ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”）ln(x+2)≤x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取“=”）
ex≥ln(x+2)即當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0。
說明：顯然利用泰勒展開式的適當(dāng)放縮與變形來解決這樣問題非常輕松。
二、深入探索
例3、（2013年遼寧高考數(shù)學(xué)理科第21題）
（1）證明：①要證f(x)≥1-x,x∈[0,1]，即證(1+x)e-2x≥1-x
說明：上述的證法主要采用ex的泰勒展開式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃闻c放縮，使得整個(gè)解答過程自然流暢，當(dāng)然本題也可采用構(gòu)造函數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)來證明。
【分析：對(duì)于式子中含有e-2x，cosx之類的超越不等式恒成立問題，如果直接采用構(gòu)造函數(shù)法求導(dǎo)難度較大，最直接的想法是如何將超越不等式通過泰勒展開式的放縮轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式來處理，因此容易想到從cosx的三階泰勒展開式入手進(jìn)行放縮。】
所以當(dāng)a≤-3時(shí)，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立。
另一方面，當(dāng)a>-3時(shí)
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3]。
說明：本題也可采用第一題的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再通過適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化來求解，解決過程可謂是一波三折。而利用泰勒展開式來解決此題那就會(huì)有高屋建瓴之勢(shì)，所有的過程演繹將會(huì)有一種水到渠成的感覺。
三、解法應(yīng)用
例4、（2014年全國卷Ⅰ（理21））
(1)求a,b；（2）證明：f(x)>1。
例5、（2013年清華大學(xué)等“華約”自主招生考試）
(1)求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0；
總之，從以上具體實(shí)例發(fā)現(xiàn)，利用泰勒展開式來解決高考函數(shù)中的有關(guān)不等式問題主要是實(shí)現(xiàn)將超越不等式向代數(shù)式不等式的轉(zhuǎn)化，既簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程又為高考函數(shù)的不等式題的解法注入了新的活力并展現(xiàn)泰勒展開式的魅力。
參考文獻(xiàn)
[1]陳傳璋.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京:高等教育出版社，1983
[2]徐國君.例談泰勒展開式及其應(yīng)用—數(shù)學(xué)教學(xué)通訊[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2012
基本的導(dǎo)數(shù)公式
1、C'=0(C為常數(shù))；
2、(Xn)'=nX(n-1)(n∈R)；
3、(sinX)'=cosX；
4、(cosX)'=-sinX；
5、(aX)'=aXIna（ln為自然對(duì)數(shù))；
6、(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna)(a>0，且a≠1)；
7、(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2
8、(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2
關(guān)鍵詞：泰勒公式；幾何意義；n！的非唯一性
中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）25-0216-03
引言：泰勒公式（又稱泰勒中值定理）在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，一方面體現(xiàn)了復(fù)雜函數(shù)可以用多項(xiàng)式函數(shù)逼近的原則，另一方面也反映了函數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系[1]，在物理學(xué)、化學(xué)等其他學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用。但是目前普遍使用的高等數(shù)學(xué)教材對(duì)該定理的證明過于追求簡(jiǎn)練[2]，對(duì)定理的解釋不夠清晰，導(dǎo)致學(xué)生的理解含糊不清，不能靈活使用，更不利于學(xué)生解析思維的培養(yǎng)。
一、泰勒公式證明過程中存在的不足
高等學(xué)校多采用的高等數(shù)學(xué)教材中對(duì)泰勒公式的證明常采用以下方法：為了近似表達(dá)函數(shù)f（x）在x點(diǎn)的值，先在x的鄰域內(nèi)找一點(diǎn)x，然后構(gòu)造一個(gè)含有（x-x）的n次多項(xiàng)式的函數(shù)，假設(shè)這兩個(gè)函數(shù)從零階直到n階導(dǎo)數(shù)在x點(diǎn)的值分別相等[2]（而這個(gè)假設(shè)并非必須，詳見下面的分析），再證明余項(xiàng)就是f（x）與（x-x）的n次多項(xiàng)式的差[2]；或直接通過柯西中值定理證明[3]，這樣的證明無疑是簡(jiǎn)潔的，缺點(diǎn)是幾何意義模糊，掩蓋了泰勒公式中值的含義，也沒有體現(xiàn)出解斷、分析從而逼近這一重要的數(shù)學(xué)思想，更重要的是會(huì)使人誤解泰勒公式中n！為唯一、必然的選擇。不少教師對(duì)泰勒公式的幾何意義的討論[4]，對(duì)學(xué)生更好地理解泰勒公式有極大的幫助，但是從幾何意義上推演泰勒公式的過程中，常常會(huì)不假思索地利用本段提到的假設(shè)，仍然會(huì)使人誤解泰勒公式中的系數(shù)n！是唯一的選擇。
二、泰勒公式的幾何意義及n！的非唯一性
三、結(jié)論
本文詳細(xì)描述了泰勒公式幾何意義，結(jié)合拉格朗日中值定理得出泰勒公式中與高階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的分母取值n！并不是唯一的選擇，而是為了滿足一個(gè)并非普遍性的假設(shè)的需要，同時(shí)給出了泰勒公式的其他表達(dá)形式；并且還能清楚的看出，泰勒公式是拉格朗日中值定理在原函數(shù)（即零階導(dǎo)函數(shù)）、一階導(dǎo)函數(shù)、二階導(dǎo)函數(shù)、一直到n+1階導(dǎo)函數(shù)中的應(yīng)用，這樣泰勒公式又稱為泰勒中值定理的緣由也就清楚了；將函數(shù)解斷、分析、從而達(dá)到逼近的方法也較好的呈現(xiàn)出來。
參考文獻(xiàn)：
[1]邵澤玲.泰勒公式與含高階導(dǎo)數(shù)的證明題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013，（16）：102-103.
[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第五版.北京，高等教育出版社2002，（7）.
一、學(xué)習(xí)和掌握定理、公式的證明和有關(guān)性質(zhì)的推導(dǎo)時(shí)借助向量知識(shí)解決
數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，定理、公式的證明不要僅僅呈現(xiàn)它的結(jié)論，也要關(guān)注知識(shí)產(chǎn)生的過程，當(dāng)復(fù)習(xí)正弦定理與余弦定理時(shí)，將向量的數(shù)量積與三角形的邊長及三角函數(shù)聯(lián)系起來。掌握向量與三角知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)律，把感知上升為理解和應(yīng)用。又如復(fù)習(xí)正弦余弦函數(shù)的兩角和差公式時(shí) ，用傳統(tǒng)方法過程比較復(fù)雜，如果利用數(shù)量積的相關(guān)內(nèi)容來解決卻是那樣的簡(jiǎn)潔明了。
數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則等方面知識(shí)的傳授無疑數(shù)學(xué)教學(xué)中所必須的，傳授過程中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維能力的訓(xùn)練，把感知上升為理解和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和掌握知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的規(guī)律和邏輯關(guān)系，使其形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)是在原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上將新知識(shí)納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，重新組織與發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，在教材中《向量》一章的引進(jìn)，無疑是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)有著促進(jìn)作用。通過本章的教學(xué)，結(jié)合布置學(xué)生完成《實(shí)習(xí)作業(yè)》和《向量在物理中的應(yīng)用》的研究性課題，使學(xué)生受到把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，結(jié)合介紹“向量”在幾何、機(jī)械、航海、測(cè)量等方面的應(yīng)用，提高了數(shù)學(xué)建模的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)提出、分析、解決帶有實(shí)際意義的或與相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和日常生活相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念表達(dá)問題，進(jìn)行課堂上師生、生生之間的交流、互動(dòng)，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)，進(jìn)而達(dá)到全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的目的。
二、注重向量知識(shí)在解題中的作用
愛因斯坦曾說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要。”善于觀察的人可以將常人熟視無睹的問題提出來，并加以研究解決。例如牛頓的“萬有引力定律”是受蘋果落地啟發(fā)的。在平面幾何中常用的定理在初中教學(xué)過程中都以“默認(rèn)”的形式存在，學(xué)生是知其然而不知其所以然，因而數(shù)學(xué)意識(shí)并不強(qiáng)烈，讓很多有意義的問題擦肩而過。在引入向量的知識(shí)后，因?yàn)椤跋蛄俊本哂袔缀涡问胶痛鷶?shù)形式的“雙重身份”，它可作為聯(lián)系代數(shù)與幾何的紐帶，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，向量不僅要作為一種知識(shí)去學(xué)習(xí)，更重要的是要作為一種方法、一種思想去理解。以前學(xué)過的平面幾何、立體幾何、解析幾何、不等式以及三角函數(shù)等知識(shí)均能得到較充分的應(yīng)用，可借助它解決部分定理的證明(前面已有介紹)。因此，在教學(xué)中我有意識(shí)在這里充分發(fā)揮，設(shè)計(jì)了一批例題，并加以實(shí)施，以期達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、解決問題的能力乃至提高建立數(shù)學(xué)模型能力的目的。
三、注重導(dǎo)數(shù)知識(shí)在解題中的作用
導(dǎo)數(shù)這個(gè)解題工具進(jìn)入高中教材以后，為高中數(shù)學(xué)注入了新的活力，特別是涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值方面的問題時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)不但能使問題的求解變得輕松、簡(jiǎn)便，學(xué)生也易于接受。因此在復(fù)習(xí)諸如函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)最值方面的問題時(shí)不妨用用導(dǎo)數(shù)知識(shí)。
如： 求函數(shù)f(x)=x3－3x+3在區(qū)間[–3，32]上的最大值和最小值。
沒有學(xué)導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們一般用二次函數(shù)的性質(zhì)或數(shù)形結(jié)合來求解，但學(xué)了導(dǎo)數(shù)以后我覺得有必要向?qū)W生講解導(dǎo)數(shù)的解法，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)在求最值方面有它的優(yōu)越性。
解：f(x)是閉區(qū)間[–3，32]上的連續(xù)函數(shù)，且在(–3，32)處處可導(dǎo)。
f′(x)=3x2－3=3(x2－1)，得駐點(diǎn) x = ±1。
求得f (–3) = -15，f (–1) = 5，f (1) =1， f (32) = 158。
經(jīng)比較，最大值為f (–1) = 5，最小值為f (–3) =–15。
解完后還可稍作變化，極點(diǎn)不在給定的定義域內(nèi)的情況，此時(shí)只求出定義域的兩個(gè)端點(diǎn)值即可得出最大與最小值。明顯用導(dǎo)數(shù)法求解比用傳統(tǒng)方法容易操作，也容易讓學(xué)生接受，還有求諸如函數(shù)f(x)=x+1－x2 與 f(x)=1－2x±x 等等函數(shù)的值域的問題，都可以用導(dǎo)數(shù)方法來求解，而且也比較簡(jiǎn)便，當(dāng)然求導(dǎo)的方法也必須和以前的各種方法密切配合，才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)解法的整體美。
四、理解和把握高考對(duì)向量和導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的具體要求
在高考卷中，處理這些新內(nèi)容的基本取向，首先是試卷應(yīng)盡量覆蓋這些新增加的內(nèi)容；其次，難度控制與中學(xué)教改的逐步深化同步，逐步提高要求；第三，命題時(shí)注意體現(xiàn)這些新的數(shù)學(xué)內(nèi)容在解題中的獨(dú)特的功能，力圖有助于促進(jìn)課程改革的健康發(fā)展。
向量的考查要求主要是向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則、基本運(yùn)算技能以及和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合(幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合)在一起，如可以和曲線、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合，考查邏輯推理和運(yùn)算能力等綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。平面向量一般以選擇題和填空題進(jìn)行考查。而空間向量基本要求是根據(jù)題目特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過向量計(jì)算解決問題，一般利用解答題考查。
關(guān)鍵詞： 高考數(shù)學(xué)全面研究 高效復(fù)習(xí) 命題走向
一、分析試題特點(diǎn)
（一）對(duì)非主干知識(shí)考查。
（1）集合――四省都有一道考題，占分約5分，是一道容易題，都是考查集合的概念和集合的運(yùn)算，并且都是放在第一題位置；（2）算法――四省都有一道考題，占分約五分，考查的都是流程圖，要求的都是輸出結(jié)果；（3）概率――三省有考題，只有海南無，三省考查的都是古典概率，江蘇考了一道填空題，而廣東卷第十七題考了概率統(tǒng)計(jì)大題，山東第十九題考了概率大題；（4）統(tǒng)計(jì)――四省都有考題只是考查的知識(shí)點(diǎn)有所不同，江蘇考查的是頻率分布直方圖，廣東卷考查的是分層抽樣及線性相關(guān)關(guān)系，山東卷考查的是平均數(shù)方差；（5）復(fù)數(shù)――三省有考題，只有廣東無，三省考查的都是復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；（6）簡(jiǎn)易邏輯――廣東卷山東卷都有考題，其他兩省無。且兩省考的都是充要條件問題。
注意：集合、算法、概率、統(tǒng)計(jì)、復(fù)數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯是基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)。但江蘇卷又有其個(gè)性化特點(diǎn)，體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是命題、邏輯、量詞、類比推理書寫不方便，一般出現(xiàn)在填空題中；二是算法、概率、復(fù)數(shù)、統(tǒng)計(jì)、直方圖、莖葉圖、方差、均值輪流考，不考難題。
（二）對(duì)主干知識(shí)的考查。重點(diǎn)知識(shí)模塊是命題重點(diǎn)，注重在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處命題。
1.函數(shù)知識(shí)――是歷年考試重點(diǎn)和熱點(diǎn)，結(jié)合四省試卷分析，函數(shù)部分考查的是如下兩個(gè)方面。（1）基本函數(shù)，分段函數(shù)，以及函數(shù)y=x+a/x（a＞0）定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性與最值問題；（2）函數(shù)的建模問題（江蘇卷14題）。能夠注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查，應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決；⑶函數(shù)綜合題給出函數(shù)解析式（含參函數(shù)）主要考查分類討論問題，主要以一二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)組合（海南卷第21題，山東卷第21題，廣東卷第20題）。注意：要特別關(guān)注海南、廣東函數(shù)綜合題，它們都是含參函數(shù)。但還要注意的是對(duì)江蘇卷來說函數(shù)綜合題不考抽象函數(shù)，不與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，尤其是不考導(dǎo)數(shù)證明，不必在此知識(shí)點(diǎn)上練量習(xí)題。
2.立體幾何――四省都有一道或兩道題。巧的是四省所考大題都是一證一算。
3.直線與圓――四省都只有一道小題，考查的都是直線與圓的位置關(guān)系。
4.三角――四省都有兩道或者三道考題，占分約20分：（1）三角函數(shù)周期公式及通過三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角函數(shù)圖像與性質(zhì)及圖像的平移變換；（2）正余弦定理的應(yīng)用（江蘇卷第13題，廣東卷第13題，山東卷第15題）；（3）兩角和差正弦、余弦、正切公式（江蘇卷第17題，海南卷第10題）。
5.平面向量――四省均有一道考題，屬中低檔題：（1）考查平面向量基本概念和運(yùn)算以及坐標(biāo)運(yùn)算（江蘇卷第15題，廣東卷第5題）；（2）考查平面向量的數(shù)量積公式（山東卷第12題，海南卷第2題）。注意：三角、向量尤其是解三角形是命題的熱點(diǎn)，如加大難度涉及中線、高、角平分線。
6.數(shù)列――四省都有一道考題，結(jié)合四省試卷分析數(shù)列中有如下三個(gè)重點(diǎn)題型：（1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)求和公式，（山東卷第18題，海南卷第17題），等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)求和公式（江蘇卷第8題，廣東卷第4題）；（2）已知Sn與an關(guān)系，（江蘇卷第19題的第1小題）；（3）數(shù)列中常用的求和方法及數(shù)列與不等式綜合題（江蘇卷第18題，山東卷第18題）。注意：江蘇卷上把函數(shù)數(shù)列放在后兩題，這是江蘇卷獨(dú)有的特點(diǎn)。
7.不等式――江蘇卷考了三道題，而其他三省均考一道題：（1）考查一元二次不等式，基本不等式。（江蘇卷第11題，第19題。山東卷第14題）；（2）線性規(guī)劃問題。（廣東卷第19題，海南省第11題）。注意：線性規(guī)劃問題實(shí)質(zhì)上研究的就是用最少的錢創(chuàng)造最大的經(jīng)濟(jì)效益問題。一元二次不等式、基本不等式對(duì)江蘇卷來說是兩個(gè)C級(jí)要求的知識(shí)點(diǎn)，是高考必考的知識(shí)點(diǎn)。
8.圓錐曲線――四省均有一道或者兩道題，考查的主要有如下兩種類型：（1）會(huì)求橢圓、拋物線、雙曲線的離心率（廣東卷第7題）及標(biāo)準(zhǔn)方程（山東卷第9題）；（2）直線與橢圓相交問題，巧的是江蘇、山東、海南所考大題都是直線與橢圓相交問題。注意：考綱中，直線與圓是C級(jí)，橢圓是B級(jí)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。
9.導(dǎo)數(shù)――四省都有一道或兩道題，結(jié)合四省試卷分析，導(dǎo)數(shù)部分重點(diǎn)考查如下三個(gè)題型：（1）導(dǎo)數(shù)幾何意義（四省都有考題），利用導(dǎo)數(shù)法求高次函數(shù)及非基本函數(shù)單調(diào)區(qū)間及最值問題，（山東卷第18題）；（2）利用導(dǎo)數(shù)法，討論含參函數(shù)單調(diào)性及最值問題，（山東卷第21題的第2小題）。注意：因高校教師熟悉導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，歷來都是命題重點(diǎn)和熱點(diǎn)。
二、對(duì)2010屆江蘇高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的反思
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)出現(xiàn)的主要問題有：（1）不重視對(duì)《考試說明》的研究；（2）不重視課本上典型例題、習(xí)題的研究，例如：2010年江蘇卷第17題，本題的原型就是蘇教版數(shù)學(xué)必修5第11頁的第3題；（3）不重視糾錯(cuò)，只一味地講新題，其實(shí)糾錯(cuò)有時(shí)比講幾道新題更有效；（4）落實(shí)三基不到位；（5）過早講解練習(xí)中的難題，不重視審題習(xí)慣的培養(yǎng)，追求面面俱到，重點(diǎn)不突出，學(xué)生參與少，課堂效率低下。
三、對(duì)2011年江蘇數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的啟示
對(duì)四個(gè)新課標(biāo)區(qū)試卷分析之后，對(duì)我們來年的復(fù)習(xí)有諸多啟示，可以提高教學(xué)的針對(duì)性，對(duì)于江蘇卷未出現(xiàn)而又有要求的知識(shí)點(diǎn)，如線性規(guī)劃問題，充要條件問題等要引起高度重視。對(duì)于出現(xiàn)的創(chuàng)新題要好好研究培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。具體強(qiáng)調(diào)如下幾點(diǎn)。
（一）要認(rèn)真研究新課標(biāo)、教學(xué)要求和考試說明，提高教學(xué)針對(duì)性。
要準(zhǔn)確把握考試說明中各知識(shí)點(diǎn)能力要求，對(duì)A、B兩級(jí)的知識(shí)點(diǎn)要舍得花時(shí)間、花精力。
（二）夯實(shí)基礎(chǔ)，關(guān)注通性通法。
“夯實(shí)基礎(chǔ)，提高能力”是復(fù)習(xí)教學(xué)永恒的主題；要重視課本作用，在基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本能力上教學(xué)多下功夫；要認(rèn)真理解，反復(fù)推敲高中各知識(shí)點(diǎn)的涵義；對(duì)容易混淆的知識(shí)，要幫助學(xué)生仔細(xì)辨識(shí)、區(qū)別，逐步建立與高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的思考方法；要及時(shí)歸納，總結(jié)各種通性通法，提高運(yùn)用能力；要注意數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，尤其是函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想，要突出培養(yǎng)綜合解題能力。
