時間：2023-05-30 09:37:20
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇棱臺體積，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
高中幾何定理:如果棱錐被平行于底面的平面所截,那么,截面和底面相似,并且它們面積的比等于截得的棱錐的高的平方比。即:截面面積為S1,底面面積為S2,相應的高為PO1,PO2,那么S1:S2=PO21:PO22。
推廣之一(面積問題):
如圖,若棱錐被n-1平行于底面的平面所截,截面面積分別為S1,S2,……Sn-1,底面面積為Sn,高POn被n-1個截面順次截成PO2=h1,O1O2=h2,……On-1On=hn。那么
h1:h2:……:hn=:(-):……:(--1)。
證明:由S2:S1=PO22:PO12
PO2:PO1=:
(PO2-PO1):PO1=(-):
O1O2:PO1=(:):,
即:h2:h1=(:):……①
同樣:由PO3:PO2=:(PO3-PO2):PO2=(:):h3:(h1+h2)=(:):,而
由①有h1=代入上式,整理可得:h2:h3=
(:):(:),于是有h1:h2:……:hn=:(:):……:(:)
應用:例1.把一個棱錐用平行于底面的平面截成棱臺,使棱臺上下底面面積的比為1:2,求截面的位置。
解:設此棱錐的高為,截面分高順次為PO1=h1,O1O2=h2,棱臺上下底面面積為S,2S。那么由推廣之一有h1:h2=:(-)=1:-1即截面分高為1:(-1)。
應用:例2.棱錐被平行于底面的n-1個平面所截,若頂點P到第k個截面的距離為a,第k個截面與第k+1個截面的面積分別為Sk,Sk+1,求這兩個截面之間的距離(k+1≤n)。
解:設第k個截面與第k+1個截面的距離為x,那么
a:x=:(-)。即x=.
推廣之二(體積問題):
若棱錐被平行于底面的n-1個平面所截,高h被n-1個截面截成PO1=h1,O1O2=h1,O1O2=h2,……On-1O1=hn棱錐被n-1個平行截面所截順次得到的n個棱錐的體積分別為V1,V2,……Vn。那么h1:h2:……:hn= :(- ):……:(- )。(證明仿推廣之一,圖與推廣之一同,證明略)。
應用:例3.高為的三棱錐P-ABC被平行于底面的兩個平面A1B1C1,A2B2C2所截,順次得到三個三棱錐P- A1B1C1,P-A2B2C2,P-ABC,且它們的體積之比為1:2:3,求中間那個棱臺的高。
解:設第一個棱錐P-A1B1C1的高為h1,棱臺A1B1C1, -A2B2C2的高為h2,棱臺A2B2C2-ABC的高為h3,那么h1:h2:h3=:(-):(-),令==
=k,h1=k,h2=k(-1),h3=k(-),
而h1+h2+h3=k+k(-1)+k(-)=h.則k=
,中間那個棱臺的高h2=h.
推廣之三(體積問題):
若n-1個平行于底面的平面截高為h的棱錐,順次截得的n個棱錐的高為h1,h2,……hn,棱錐被n-1個截面截成的第一個棱錐和順次的n-1個棱臺的體積為V1,V2,……V3,那么V1:V2:……:Vn=h13:(hn3-hn-13)(證明略)
應用:例4.一棱錐的體積是V,把棱錐的高三等分,過兩個分點的兩個平行于底面的截面將這個棱錐分成三部分,求中間那部分的體積。
解:設第一個棱錐和順次的兩個棱臺的體積分別為V1,V2,V3,
那么V1:V2:V3:=13:(23-13):(33-23)=1:7:19,
令===k,V1=k,V2=7k,V3=19k,
而V1+V2+V3=27k=V則k=,中間那部分的體積V2=
7×==V .
例句：
1、鳥兒飛過，翅膀撲棱的聲音里滿透著年代的久遠；
2、模棱兩可和含糊不清已不再為人所接受；
3、腮幫子努著，胳膊四棱子起金線，渾身閃著麥色；
4、采用分割積分法計算棱臺體積，建立了空間有效視野模型；
5、一道黑影閃過，冰棱風刃在半空中冰消瓦解；
6、該方法可以有效地提高棱邊散射體的計算精度；
7、故人隱山麓，燕坐銷牀稜；
8、公以棱威外討，發憤于內，忘身殉義，親當矢石；
9、你把那錢都浪費在做那棱錐形東西的生意上了；
關鍵詞 激發興趣 培養觀察能力
中圖分類號：G635 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）21-0082-02
發現往往是從觀察開始的。數學教學的主要任務就是傳授知識與培養能力，觀察能力是一切能力的基礎。數學教學中的觀察能力就是對數形和數量關系以及邏輯過程的觀察。例如：從一個復雜圖形中找出某一個特殊圖形；從一個代數式或從一個方程組中發現有關的系數指數之間有什么特定的關系；從某一推理過程或從某些數學內容之間發現一定的邏輯關系，所有這些，都要求在數學教學中注意提高學主的觀察能力。
一、結合感知階段，激發觀察的興趣和熱情
學生在感知過程中，教師要善于引導他們正確地運用科學的方法認識事物，感知知識，使他們能在復雜的事實中，發現事物的細微變化及本質特征，在充分感知的基礎上上升為理性認識。而作為感知的最基礎的步驟，則是通過對數、形、量的觀察入手，再通過分析推理而得出結論。例如在學習冪函數時，學生認為y=xa（a>0）的圖象簡單，都是通過（0，0）（1，1）兩點的拋物線，得出諸如：y=x2，y=x3，y=x4等函數的圖象也大致相同的印象，這時要引導學生仔細觀察教科書的圖形，使他們發現，有的呈凹狀上升，有的卻是呈凸狀上升，并且上升的速度也不一樣，在學生獲得如此惑性認識的基礎上，適當地把問題的重點亮出來，發動大家分析，最后歸納出一般結論，當a>1時，函數都是凹狀上升，當01的函數值較01時，a>1的函數值較0
有些學生，草率急躁，觀察時缺乏持久性；有的觀察時，只憑興趣，抓不住重點；有的只抓住某一個問題，觀察不全面……只要克服這些不足，才能在認識上深化。因此，應培養學生在觀察時要認真仔細，必須圍繞著一定中心來攝取現象，并伴隨著思考，即做到觀察中有思考，思考中有觀察，以激發學生觀察思考并解決問題的情趣。如對柱、錐、臺體，如果我們“靜止”地觀看，它們各不相同，各有各的定義、各有各的計算公式，本質上有差異，然而從“運動”、“變化”的觀點觀察看，則它們互有聯系，象棱臺的體積公式V=h（S1+S2+）中的上底S1S2時，一方面仍不失去棱臺，另一方面，則與棱柱的定義相等，又可視為棱柱，故可用棱臺的體積公式，導出棱柱的體積公式：V棱柱= V棱臺=h（S1+S2）+=S2h
同理：V棱柱=V棱臺=h（0+S2）+=S2h
同樣，它們的側面面積公式也可以從“運動變化”的角度去處理。當學生基本懂得了以上的思想方法，可讓其自行觀察，并提示出球帶、球冠與球的面積，球缺與球體積等公式的聯系。
二、結合解數學題，授予觀察的方法和技巧，培養觀察品質
觀察是探索解題思路的有力工具，是解題過程中一種重要的思維活動。在解題時有意識地對題目的數與形的特點進行一番直覺上的認識，常常會使受阻的思路茅塞頓開，可是，若僅要求學生觀察而還逐步授予觀察的方法與技巧且不斷加以訓練強化，則觀察能力的提高是難以實現的。解題時，可以從以下幾個方面進行觀察方法與技巧的訓練。
1.時要注意條件之間的共性。善于抓住事物的特征是認識事物本質的關鍵。有些數學題目具有本身的結構特征或數形的特征，解題思路往往就蘊含在特征之中，因此，揭示特征探索霹題思路的過程即培養觀察精確性的過程。比如，“已知a-1-a-2=-1，b4+b2=-1，且1-ab2=0，求的值”，觀察“已知”，是否一定要求出a和b呢？如果引導學生對已知的兩式進行對比就可窺見其本質。因為，（a-1）2+a-1+1=0，（b2）2+b2+1=0，（a-1 =b2），所以，a-1和b2是方程x2+x+1=0的兩個相異根，故=b2+a-1=-1。
2.在觀察時注意找出某些數學特征和隱含的條件。隱含條件是指若明若暗、儲蓄不露的已知條件，要教育學生在觀察時開動腦筋，抓住各種事物的特點，不僅要觀察那些明顯的，也要發掘那些隱蔽的。引導學生發掘隱含的條件，掌握數值之間的關系，也就是培養學生觀察深刻的過程。比如，“化簡三角函數cos3啊os42啊os66啊os78啊保燮涮氐閿校禾餑懇雜嘞液男問礁觶骱掣鼉嚀褰嵌鵲暮擔謁木嚀褰嵌戎校龐胩厥飩塹囊歡ü叵擔礎？6埃？？60埃？2？78？120啊鋇取=馓饈弊⒁庋罷液馱擻謎庖還叵擔實毖窳攪腳潿裕褂沒筒罟劍純傻悶渲滴S行餑渴紫刃杞閻跫湫危俳岷弦延械墓蕉理9儈＝可挖掘條繭結論咒的深層戀@緗夥匠arcsinx+arcsin2x=arccosx+arccos2x這是一個涉及一角函數的方程式，結合有反正弦和反余弦兩種符號，據此，引導學生挖掘下面有價值的條件：arcsinx+arccosx= （|x|
3.觀察時要注意已知與未知的聯系。注重已知與未知的聯系，這是觀察的重要一環，充分利用已掌握的信息，如果不能直接找出這種關系，可以考慮有效的輔助問題，通過轉化間接地處理。如：“已知a、b為不相等的正數，且a2-b=a2-b2，求證：1
即：a+b=a2+ab+b2
由于，（a=b）（a+b）2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=（a+b）
又3（a+b）2=3（a2+2ab+b2）
工地小推車的車斗是個棱臺形，容積是：(上底+下底+√上底×下底）×高×1/3=（0.78+0.39+√0.78×0.39）×0.39×1/3=0.2238立方米。
手推斗車的造型多種多樣，具體容積還要根據實際情況具體體積算。
手推車以人力推、拉的搬運車輛，它是一切車輛的始祖。雖然手推車物料搬運技術不斷發展，但手推車仍作為不可缺少的搬運工具而沿用。手推車在生產和生活中獲得廣泛應用是因為它造價低廉、維護簡單、操作方便、自重輕，能在機動車輛不便使用的地方工作，在短距離搬運較輕的物品時十分方便。
（來源：文章屋網 ）
一、通過畫法建構定理
直線與直線、直線與平面、平面與平面是立體幾何的基本部分，教材編排各部分內容的順序總是先位置關系，畫法，最后是判定定理和性質定理，把畫法語言化，不僅可以使學生發現定理，而且可以用定理強化畫法。
教學案例1：異面直線的判定定理
異面直線的畫法教材給出的是如圖1所示，圖中的點A不在平面a內，點B不在直線m上，而點B、直線m都在平面a內，顯然直線AB與m不平行，也不相交，所以直線AB與m異面，把圖形語言通過歸納、概括，轉化成漢字語言，就是兩條直線異面的判定定理。
過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該點的直線是異面直線。
二、通過逐步添加條件建構定理
在點、直線、平面位置關系的判定中，涉及最多的是平行與垂直的判定，往往用垂直判定垂直，用平行判定平行，因此，以平行或垂直為平臺通過“增磚添瓦”可建構定理，事實上立體幾何中的判定定理都是通過上述方法而獲得。
教學案例2：平面與平面平行的判定定理
平面內一條直線平行于另一平面，推不出這兩個平面平行，但在此基礎上，把一條增加成兩條呢？而平面內兩條直線只有平行和相交，為此，我設計了這樣一個問題，每個學習小組讓一名同學拿起課本，其一，使課本的對邊和桌面平行，其二，使課本鄰邊和桌面平行，在這兩種情況下，觀察課本與桌面是否平行，這一演示，直觀性強，容易得出正確答案，而它所揭示的命題正是面面平行的判定定理。
如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一平面，則這兩個平面平行。
三、在固有條件中通過尋找建構定理
性質定理都有一個必備條件，在必備條件中可尋找、演繹出好多結論，如面面平行的性質定理的必備條件是兩個平面平行，面面垂直的性質定理的必備條件是兩個平面垂直，以必備條件為前提可尋找、演繹出好多結論，保留其中實用性強、有價值的結論，便可建構定理，可以說立體幾何中性質定理都是這樣尋找出來的。
教學案例3：平面與平面平行的性質定理
兩個平行平面中蘊涵著線面平行、線線異面、線線平行。在學生對這一點深信不疑的情況下，其中有價值的結果是線線平行。在教學時，我設計了如下問題：如何在兩個平行平面中各作一條直線，使這兩條直線平行。所作的兩條直線平行，必然共面，學生自然聯想到作一平面和這兩個平行平面都相交，兩條交線是共面的，事實上這兩條直線也是平行的，這樣就建構出了面面平行的性質定理。
如果兩個平面平行，第三個平面和這兩個平行平面都相交，則這兩條交線平行。
四、用割補法建構定理
下面我就以一道模擬考試題為例對這種題的解法進行講解：
某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
學 學 科 網 Z X X
首先三棱錐的三視圖，我們可以看成一個長方體的切割體
而切割體的側面是比較難畫的，但其底面是比較清楚的，所有我們可以先看其俯視圖，再看正視圖，側視圖。
第一步：先畫長方體。
第二步：由俯視圖在長方體的底面畫錐體的底面圖形
接著由圖看出，俯視圖涉及到四個頂點B，D，M，C ；，由立體圖形的幾何特點可知，錐體的側面是由這四個點拉起匯成一個頂點。我們可以在這四個頂點處都打上實心圓圈。如下圖所示：
第三步：再由正視圖和左視圖看哪些個點可以垂直拉起。
原則：①由正視圖可以看出，其圖像是一個三角形，左右兩個底角都不是直角三角形，所以C，D兩點都不能垂直拉起，把兩個點杠掉。只剩B，M兩點。②由俯視圖可以看出，其圖像是一個直角三角形，我們可以把此圖由右向左順時針方向轉90度，如下圖所示：
然后看旋轉之后的下面兩個角，發再側視圖里面是一個直角，外面不是直角，所以緊接著把B杠掉，最后只剩下M點能垂直拉起，如下圖所示：
最后把M’與B，C ，D三個點連接起來。組成一個三棱錐即是一個標準的三視圖還原而成的立體圖形。如下圖所示：
第四步：很明顯這個三棱錐放在長方體中算體積是最好不過啦，又由三視圖的數據可知：相當于告訴了這個長方體的長寬高，長是5，寬是4，高是4，由圖可知，三棱錐借用了長方體的左側面和背對面，而這兩個面是相互垂直的，所是這個三棱錐的底面是直角三角形BCD，高是MM’，所以，這個三棱錐的體積是：，所以，這個題目選A，仔細分析可看出，這個三棱錐可是看成由長方體中切下來的一個圖形。
利用上述方法，我們可能以試著解決以下問題：
已知四棱錐的三視圖如圖1所示，則四棱錐體積的是（ ）
A. B. C. D.
解析：首先三棱錐的三視圖，我們可以看成一個長方體的切割體
接著由圖看出，俯視圖涉及到五個頂點A，B，D，C，M ；，由立體圖形的幾何特點可知，錐體的側面是由這五個點拉起匯成一個頂點。我們可以在這五個頂點處都打上實心圓圈。如下圖所示：
關鍵詞：小結與復習課；尺度；意見；討論
中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）09-219-01
小結與復習課，中學教學過程中最重要的課型之一，那么如何上好復習課呢？小結與復習課要求學生鞏固本章的基礎知識，掌握基本解題方法，了解本章經典題型。同時要求老師通過小結與復習課，充分調動學生的學習的積極性，讓學生感受自己應用知識能力的提升，從而培養學生的自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感，為后段知識的學習做好一定的鋪墊。
《空間幾何體》人教版高中數學必修二第一章的內容，2012年5月我參加“湘鄂邊”部分省級重點中學的研討活動。通過親自參加比賽和現場觀摩學習，筆者認為要上好本章的小結與復習課應做好以下幾個方面的準備。
一、準確把握考綱要求，幫助學生明確重點難點
《普通高中數學課程標準》中明確提出：幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。空間幾何體中要求學生利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構，能畫出簡單空間圖形的三視圖和利用斜二測法畫出的直觀圖。了解球、棱柱、棱錐、棱臺的體積和表面積的計算公式。立體幾何初步的重點是幫助學生逐步形成空間想象能力。我們的教師在教學過程中一定要注意把握好對幾大塊的整體的把握，分清楚重點和難點，絕不能眉毛胡子一把抓，讓學生上完一節課后變得無所適從，輕重不分。
二、明確教材編排思路，注重知識形成網絡
《空間幾何體》本章內容是在義務教育階段學習的基礎上展開的。例如，對于棱柱，在義務教育階段直觀認識正方體、長方體等的基礎上，進一步研究了棱柱的結構特征及其體積、表面積。在教材內容安排中要特別注意與前面學習的“空間與圖形”相關內容銜接。本章內容先讓學生觀察大量實物圖片，引導學生思考幾何體的分類，從而概括歸納簡單幾何體的結構特征。空間幾何體的三視圖和直觀圖，目的是使學生學會在平面上表示空間圖形，能畫出簡單圖形的三視圖，通過觀察用兩種方法（平行投影和中心投影）畫出三視圖和直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式，會使用材料制作模型，會用斜二測法畫出簡單空間圖形的直觀圖。
空間幾何體的表面積與體積，目的是使學生了解空間幾何體的表面積和體積的計算方法（不要求記憶公式），并能計算簡單幾何體的體積和表面積。
本章中的一些概念都是通過對具體實例的分析，找到幾何體的共同特點，再抽象本質屬性得到。本章知識的形成是一個從識圖，畫圖到用圖的過程，教師在引導學生總結本章知識時，一定要注意由直觀模型過渡到幾何體本質屬性的基礎上來，充分培養學生的認知和化歸能力。
三、關注學生心理過程，聯系生活應用實際
比賽過程中一個老師是這樣引入的：
同學們大家好，今天我們一起來復習《空間幾何體》這章的內容，首先請問同學們，這些圖片你們認識嗎？
引導學生認識圖片，輕松進入課題。
然后該老師問道：我們把這些圖形當成我們的新朋友，我們認識了一個新朋友之后，最想了解這個同學的什么呢？
學生回答：了解這個學生有什么特長，興趣愛好等等；
教師：我們認識了這些幾何體之后，也一樣是了解這些幾何體的特征。
這樣非常自然的過渡到了對空間幾何體的結構特征的知識。該老師使用類比的方法，充分把握學生的知識形成心理，讓學生輕松的自我總結相關的知識，這種方法使用非常巧妙！
四、題型訓練具體經典、例題講解詳細規范
【關鍵詞】生成性課堂 高中數學 預設 評價
不少學生及其家長反映現在的數學課堂教學過于死板，教學方式不新穎，未充分注意到學生是鮮活的生命體，教師教學按照預設教案成分多，不能充分體現學生是學習的主體。因此，教師要在教學過程充分調動學生學習的積極性，讓課堂融合預設與生成兩個環節，動態地生成課堂，從而讓學生在課堂中不僅收獲了知識，還發展了思維，愉悅了情感。筆者認為，構建高中數學生成性課堂應從以下做起。
一、以整體預設促生成
我們強調高中數學課的生成，并不代表我們全盤否定預設，相反，我們認為凡事預則立，不預則廢。教師的課堂教學是一種有計劃、有目標的行為活動，教師只有在課前做好充分地準備和設計，才能使課堂教學做到有的放矢，從而更具有針對性。因此，完全摒棄課堂預設而只注重課堂生成的做法有失偏頗，教師應在課前對課堂進行整體預設和規劃，然后以此為基本路線，指導學生通過自主探究、合作交流等活動，讓學生親歷提出問題、分析問題、解決問題、應用反思等過程，讓學生成為知識的發現者和創造者，從而生成一堂精彩的數學課。如筆者在講授“直線的傾斜角與斜率”時，首先讓學生在同一個平面直角坐標系中畫出以下函數圖像：（1）y=x+1；（2）y= x+1；（3）y=-x+1。然后再讓學生再于另一個平面直角坐標系中畫出經過點（0，1），傾斜角分別為45度、60度和135度的直線。接著啟發學生：（1）比較兩個坐標系中的圖像，有何發現？（2）在第一個坐標系中的三條直線，它們的直線方程式有何不同？（3）第二個坐標系中的三條直線，它們之間有何不同？（4）1、 、-1與45度、60度、135度之間存在什么關系？通過上述四個問題，學生們就會發現直線的傾斜角的正切值與直線方程中x的系數相等這個規律，這種做法顯然是在教師的預設下生成的，其效果要優于直接將結果告之學生。
二、以靈活應變促生成
課前的預設往往是教師對課堂教學的預判，但是在具體教學中會出現一些預想不到是事情的發生，因此，教師在做好課堂預設的同時，還要走出預設，根據教學的實際靈活應對，以促進課堂的生成，增強課堂的活力。高中階段的學生思維能力已經相對成熟，在思考教師的提問時會有自己的理解和看法，對此，教師要保持觀察的敏銳性，適時調整自己的教學方案，讓課堂教學更富有靈活性，以使教學活動順利展開。如筆者在講授“空間幾何體的表面積”時，計劃是利用一節課的時間將棱柱、棱錐和棱臺的表面積、體積講完即可。在講完棱柱的表面積計算方式時，學生理解的很快，但在講到棱錐表面積的計算時，筆者發現所舉的例子的四個面都是等邊三角形，學生容易理解和計算，但如果加深一下難度，將等邊三角形改成不等邊三角形，有些學生就會跟不上步伐，不能很快回答教師所提出的問題。對此，筆者及時調整課堂預設，將棱臺的講解放到下節課中，深入講解不規則四面體。同時，為了讓學生更容易理解不規則四面體表面積的計算，筆者還增加了演示環節，即利用紙片做一個四面都是常規三角形的棱錐模型。首先，教師帶領學生觀察、認識它的四個面，然后用剪刀將四個面剪開，再讓學生計算出四個面的面積，最后相加的結果就是不規則四面體的表面積。雖然這次上課的課堂預設發生了轉變，但由于筆者的靈活應對，卻滿足了學生學習的需要，增加了學生對知識點掌握的深度，生成了一節好課。
三、以課堂評價促生成
課堂評價是教師掌握學生學習情況的一種方法，在傳統教學過程中，往往是教師占據著課堂評價的舞臺，學生的評價權被剝奪，顯然這種評價方式有利于教師對課堂的掌控，卻不利于激發學生的積極性。在構建生成性課堂要求下，教師要增強學生的評價，提升學生學習的興趣和動力，讓學生和教師一起相互配合完成教學活動，從而促進數學課堂的生成。如筆者在講授完函數章節后，布置了兩道題讓學生做，要求每組學生只選擇其中的一道題進行解答。（1）設f（x）是奇函數，定義域為R，當x>0時，f（x）=2x-3，則當x
總之，課堂的主體是學生，教師在教學過程中一定要充分考慮學生的情況，積極調動學生學習的積極性，做好課堂預設而又不拘泥于預設，做到隨機應變，靈活應對，充分發揮學生的聰明才智，使課堂成為學生探究知識海洋的一葉扁舟，綻放出學生的精彩。
【參考文獻】
[1] 于巖松. 試論高中數學生成性課堂的構建[J]. 考試周刊，2015（03）.
函數是高中數學中極為重要的內容之一，同時它也是貫穿高中數學的主線之一，函數的觀點和思想方法貫穿高中數學的全過程。在高一階段，函數的要求在于基本的初等函數的認識。掌握基本的初等函數，及其性質與圖象，還有函數的基本定義。高一必修一的教材內容比較多，而且難度也很大，很多高一的學生學習起來都感覺很難，甚至到了考試復習的時候還是感覺難。去年我有一位高一的學生這樣形容過函數“內容多，感念多，記憶難，理解難，做題難”。針對這一“難”，筆者把函數內容概括成“三字經”如下:“學函數，兩數集，一關系，兩變量;關系明，一個x，一個y，唯一定，一對一，多對一，要看清．自變量，它叫x，它取值，定義域;函數值，它叫y，它取值，值域也．三要素，定義域，一值域，一法則．示函數，解析法，圖像法，列表法．定義域，注意解，有分母，不等零，偶次根，開方數，要非負，應用題，實際定．兩函數，判相同，表達式，要相同，定義域，要一致，兩點必，同時備．求值域，定義域，解結果，用集合，或區間．求值域，定義域，先考慮，觀察法，配方法，換元法，法法通．分段函，定義域，來分段，解釋式，各不同．學映射，兩集合，比函數，來學習，也不難．函數性，一單調，自變量，越增大，函數值，越增大，增函數;自變量，越增大，函數值，越減小，減函數;判單調，定義法，定義域，先來求，任取值，再作差，再變形，后定號，下結論．二奇偶，任一x，f(－x)=f(x)，偶函數;任一x，f(－x)=－f(x)，奇函數;判奇偶，定義域，先判斷，關原點，來對稱，再定義，作判斷;偶函數，關y軸，來對稱，奇函數，關原點，來對稱．三最值，圖象法，先求解，單調性，再考慮，配方法，求二次．指數冪，求方根，n是奇，正負同，n為偶，開方數，要非負，次方根，有兩個，相反數;負數也，偶方根，不存在，0數也，任方根，都是0;分數冪，底為正，0為底，正分數，冪等0，負分數，沒意義．指數函，底為正，不為1，自變量，為實數，函數值，大于零;作圖象，先看底，0到1，減函數，大于1，增函數，點(0，1)，一定過，同坐標，多圖象，逆時針，底變大．對數函，底為正，不為1，函數值，為實數，自變量，大于零，與指數，來相反;作圖象，先看底，0到1，減函數，大于1，增函數，點(1，0)，一定過，同坐標，多圖象，逆時針，底變小;底相同，同坐標，指數圖，對數圖，直線y=x，對稱它;常用對，10為底，自然對，e為低，對數值，計算器，來計算;算對數，同底加，真數乘，同底減，真數除，真數方，可外移，作分子，底數方，可外移，作分母;換底式，原對數，底真拆，真為上，底為下，用新底，來作商．指數函，對數函，比大小，底相同，用單調，底不同，用圖象．反函數，底相同，指數函，對數函，互為反，兩函數，定義域，與值域，互相換，兩圖象，直線y=x，來對稱．冪函數，自變量，作為底，任常數，作為指;冪圖象，一象限，過點(1，1)，指大0，增函數，指大0，圖下凸，0到1，圖上凸;指小0，減函數;指為0，底非0;冪函數，課本圖，要會畫，考試出，拿滿分．”。學生讀了這個函數“三字經”，給的評價為“三個字，容易讀，方便記，內容全，做題時，運用好”。
2．第二招，化抽象為文字———空間立體幾何體篇
高中立體幾何在高考試卷分值20分左右，是學生必掙的分數，但是對于學生它是一個難題目，特別是女學生，高中立體幾何的抽象性讓學生很難理解和掌握。為了更好地學習高中立體幾何，筆者在復習它的時候，概括成“三字經”如下:“學棱柱，兩底面，互平行，余各面，四邊形，公共邊，都平行;分類別，按地面，邊數幾，幾棱柱;兩底面，全等形，各側面，平行行，各側棱，平行等．學棱錐，一底面，多邊形，余各面，三角形，共頂點;分類別，按地面，邊數幾，幾棱錐．學棱臺，平行于，錐底面，平面截，棱錐體，得棱臺，分類別，按棱錐;兩地面，相似形，各側面，梯形也，各側棱，交一點．學圓柱，矩形轉，可得之;兩底面，全等圓，側面展，圖矩形．學圓錐，三角形，直角轉，可得之，底面圓，側面展，圖扇形．學圓臺，平行于，錐底面，平面截，圓錐體，得圓臺;上下底，兩個圓，側母線．交一點，側面展，圖弓形．學球體，半圓轉，可得之;球截面，都是圓，球面點，球心距，等半徑．柱錐臺，各不同，圖多畫，圖會認．三視圖，正視圖，前后看，側視圖，左右看，俯視圖，上下看;幾何體，長寬高，正視圖，看長高，側視圖，看寬高，俯視圖，看長寬．直觀圖，二測法，平面圖，各線段，平行x，長不變，平行y，順轉45°，長度半;幾何體，直觀圖，畫地面，高不變．柱錐臺，表面積，各面和;柱體積，地面積，乘高得;錐體積，三分一，地面積，乘高得;臺體積，會計算，公式也，可不記．”。學生讀了這個空間立體幾何體“三字經”，給的評價為“化抽象，為文字，讀著它，體不難，體計算，容易多”。
3．第三招，化應用操作為概括總結———統計篇
統計是高中數學應用的內容，也是高中數學教材必修三的重點內容之一，統計題經常出現在高考六道解答題中，而且它的難度不大，所以它是高考考生一定要拿下的分數。為了使得學生更好地記住操作和計算的方法步驟，筆者在復習它的時候，概括成“三字經”如下:“簡單抽，抽簽法，先編號，拌均勻，后抽取，反復抽，抽完止;隨機法，先編號，按數表，選始碼，選方向，讀數字，判范圍，抽齊止．系統抽，先編號，定間隔，不整除，先剔除，又編號，再分段，第一段，隨機抽，其他段，加間隔，遂一抽．分層抽，看總體，不交叉，按比例，定數量，層層抽．頻分布，求極差，定組距，求組數，列頻表，畫方圖;直方圖，長方形，面積值，等頻率;形上端，中點連，折線圖．莖葉圖，中間莖，左右葉，個位數，作為葉，其他數，作為莖．標準差，先平均，按公式，來計算;求方差，標準差，來平方，兩個差，值越小，離散度，就越小．散點圖，左到右，點上升，正相關，點下降，負相關;點分布，靠直線，兩變量，線相關，回歸線，方形成．小二乘，求回歸，運算多，分小塊，代公式，來計算;方程中，字母頭，有小帽，別忘戴．”。學生讀了這個統計“三字經”，給的評價為“語言練，方法明，步驟清，總結強，點計算，說注意”。
4．第四招，化公式為口訣———三角函數篇
三角函數題在高考中屬于容易的題目，三角函數學生起來讓學生感覺到頭疼的事情只有一個:公式多，記憶煩．為了解決公式記憶的問題，很多老師都把這些轉化成口訣，方便學生記憶．筆者把高中數學教材必修四的三角函數內容轉換成“三字經”如下:“任意角，順轉負，逆轉正;終邊角，加k360°，k整數．弧度制，一平角，一個兀;正弦值，y比r，余弦值，x比r，正切值，y比x，切特殊，y軸無．三角值，象限角，一全正，二正正，三切正，四余正．三角線，單位圓，來研究．同一角，正余弦，平方和，等于一，正余商，等正切;正余切，一求二，分象限，來討論，正負明．解化簡，用公式，證明法，左右開，變式多，法多樣，要靈活．誘導式，一到四，函數名，不改變，定符號，看象限;五和六，正余弦，互相換，定符號，看象限;總口訣，k•90°+α，k整數，k奇數，正余換，k偶數，函數名，不變化，定符號，看象限．正弦函，余弦函，正切函，畫圖象，記性質，數形結，解題目，條條順，路路通．三角函，圖象移，向左加，向右減，向上加，向下減，好規則，請牢記．”。學生讀了這個三角函數“三字經”，給的評價為“三角函，公式多，三字經，記憶簡，讀方便，說到位”。
5．第五招，異曲同彈———數列篇
數列是高中數學教材必修五的重點內容，也是難點內容，數列重點有兩個:一等差數列，一等比數列，兩這有很多類似的地方，新課的時候我們分開兩個知識點來詳細介紹和講解，但是到了復習課，我們可以對比來總結記憶和學習，特別是數列的概念、公式和性質等．筆者在復習數列的時候，概括成“三字經”如下:“數列也，一列數，按順序，排列著;每個數，作為項，多少項，為項數;數列類，有窮列，無窮列，遞增列，遞減列，常數列，擺動列．通項式，第幾項，與序號，關系式．遞推式，任一項，與前項，關系式．等差列，一數列，二項起，每一項，與前項，來作差，等同數，這數列，稱等差，這個數，為公差．差中項，三個數，成等差，中間數，為中項．等差列，第一項，為首項;通項式，公差與，列項數，減去一，來作積，加首項，來求和．等差列，下角標，成等差，列的項，仍等差;連續項，來求和，構成列，成等差．等差列，前項和，公式一，首項加，末項和，乘項數，一半之;公式二，列項數，乘項數，減去一，來作積，一半之，后加上，幾項和，幾首項，來求和．等比列，一數列，二項起，每一項，與前項，來作商，等同數，這數列，稱等比，這常數，為公比，不為零．比中項，三個數，成等比，中間數，為中項．等比列，通項式，首項乘，列項數，減去一，個公比．等比列，下角標，成等差，列的項，仍等比;連續項，來求和，構成列，成等比．等比列，前項和，討論比，是否一，不一樣，公式異，分開記，別弄錯．”。學生讀了這個數列“三字經”，給的評價為“兩數列，對比講，成三字，易記憶，說性質，入心腦”。
6．第六招，點到即止———不等式及其解法篇
1 對立體幾何知識的理解
立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間想像能力,幫助學生認識空間幾何體的結構特征,并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構,鞏固和提高義務教育階段有關三視圖的學習和理解,使學生在直觀感知的基礎上,認識空間中一般的點、線、面之間的位置關系通過對圖形的觀察、實驗和說理,使學生進一步了解平行、垂直關系的基本性質以及判定方法,學會準確的使用數學語言表述幾何對象的位置關系,并能解決一些簡單的推理論證及應用問題。
2 新課標對立體幾何知識的要求
幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科,三維空間是人類生存的現實空間,認識空間圖形,培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力,是高中階段數學必修系列課程的基本要求。在立體幾何初步部分,學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手,認識空間圖形;在以長方體為載體,直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系;能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定,并對某些結論進行論定;學生還將了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。
3 新舊教材的比較
舊教材是在學習完解析幾何后出現的,先學習空間直線和平面再學習簡單幾何體,對簡單幾何體的性質、球的體積、表面積的教學要求為掌握內容,教學中是先讓學生認識點、線、面的位置關系,再認知簡單的幾何體棱柱、棱錐和球體的概念和性質。這樣使學生先從理性上研究了點、線、面之間的關系,再認知幾何體,這樣不符合學生的認知規律,不適合對學生創新思維的培養。然而 新教材中,立體幾何初步是學習完必修1后在必修2分兩章出現,內容分為空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖、球的表面積和體積(對球的表面積和體積要求了解即可);空間點、線、面的位置關系;這樣的安排,使學生先認識了空間幾何體的結構特征,并且能夠畫出實物圖,同時也了解了空間點、線、面的位置關系,學生的認知過程是由感性上升理性認識,更符合學生的認知規律。
在舊教材的教學過程中,因為學生先學習了平面解析幾何,認知點、線、面的關系都是平面的,形成了思維定勢,接著學習立體幾何中的點、線、面的關系,然后學習空間幾何體的特征,學生很難建立起空間的概念,大部分學生畫出的圖形是平面的;新教材的教學內容安排是先學習立體幾何,學生先認知生活中的空間幾何體,了解結構特征,在意識中已經建立起了空間的概念,再去學習研究空間點、線、面的位置關系,學生畫出的圖形有很強的立體感,對知識的理解和應用就很容易了。
4 信息技術與立體幾何的整合
計算機和數學有著內在的、固有的密切關系。在數學教學中,借助計算機的直觀形象,充分表現數學的動態性,為抽象思維提供直觀形象, 信息技術與高中數學的整合給單一的數學課堂走向了新的發展,數學不再枯燥無味。學生通過網絡帶來了更多的信息,利用信息技術學習空間幾何體更加形象具體。以往的立體幾何的教學,是通過教師的講解和學生的空間想象來認識和理解的,造成了學生學習立體幾何難;信息技術與立體幾何的整合使教師通過課件帶給了學生看得見的幾何圖,知識的理解和接受不再是空洞無味,而是形象直觀。
5 立體幾何教學中發現的一些問題
立體幾何學生學習完后,學生雖然對空間圖形的有所認知,學生也能夠畫出立體的圖形,但是對于立體幾何的證明題卻出現了不知道如何著手證明的問題。對這一部分的內容考試是以立體幾何的實用性為主還是以后面的點、線、面的運用為主;學生的探究活動較多,課時出現緊張的狀況;習題雖然出現了A、B兩組,有利于不同層次的學生學習,但是B組題有些題難度過大,尤其是對于學習文科的學生不適應。
6 對人教版新教材編排的一些建議
1.預習復習，引入新課
溫故而知新。即從復習舊知識的基礎上提出新問題，如。我們可借助多媒體復習三角形中位線定理，引發學生思維，為梯形中位線定理證明奠定理論基礎，通過對三角形中位線性質的思考，從而進行類比聯系，引入梯形中位線定理。
2.開門見山，引入新課
講課前先把本課要完成的教學目標說清楚，以爭取學生的配合，有時我們談話、寫文章習慣直截了當，這樣主體突出、論點鮮明，這樣做，教學重點突出，能使學生很快地把注意力集中在教學內容最本質、最重要的問題研究之上。
3.提問質疑，引入新課
美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題、解決問題的持續不斷的活動，”教學引入新課時，教師要善于提出問題，設置疑問，實踐證明。疑問、矛盾、問題是思維的啟發劑，而學生的創新思維恰恰從疑問和好奇開始，教師以提問適當的問題開始講課，可刺激學生的好奇心，引起學生的積極思考。
4.劍設懸念，引入新課
在講新知識之前，有意設置一些問題懸念，這樣能使學生帶著問題學習新知識，對于學習的目的更加清晰，也使學生感覺到新的知識是非常有用的。
例如，在講授“對數計算”這節內容時，提出這樣的問題：將一粒芝麻的重量和太陽相比，似乎是一個毫無疑義的話題，若讓芝麻發芽、生長、開花、結果，再將所得的全部果實繼續發芽、生長、開花、結果……這樣一直到第十三代后，所得芝麻的總重量將比太陽還重，同學們，你們相信嗎?問題激起了學生強烈的好奇心，很快吊起學生的學習“胃口”，思維馬上變得活躍起來，教學難點很容易予以突破。
5.生活實際，引入新課
如在講授“任意角的三角函數”時，師問：這是什么?(生：摩天輪，)今天，我們的數學之旅就從摩天輪開始，先來說說摩天輪吧，我們假設它的中心離地面的高度為h0，它的直徑為2r，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，那轉動一秒轉了多少度?過了45秒呢?過了t秒呢?生1：h1=h0+rsin30°；生2：h2=h0+rsin45°；生3：h=h0+rsint°，請問t°的范圍在哪里?在銳角范圍中，h=h0+rsint°這一數學模型能表示座艙的高度，那么，我們能不能隨著時間的推移，讓h=h0+rsint°這個數學模型從始至終都能起作用呢?若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天，我們就要來學習任意角的三角函數。
6.興趣吸引，導入新課
從心理學的觀點來說，興趣是興奮劑，是學習的動力，俗語如是說：“興趣是最好的老師，興趣是學習的源泉，”瑞士教育心理學家皮亞杰說過，“所有智力方面的工作都要依賴興趣，興趣是能量的調節者，它能支配內在動力，促成目標的實現”，所以用趣味性引入新課，旨在激趣，激發學生學習的興趣，調動學生學習的積極性。
7.介紹史話，引入新課
著名思想家培根說：“讀史使人明智，”通過數學史知識的介紹，特別是通過我國古代數學偉大成就的介紹，激發學生的學習熱情和愛國主義熱情。
例如，在講授新課“棱柱、棱錐和棱臺的體積和表面積”時先向學生介紹古代的中國數學，中國數學在南北朝時期達到新的高峰，這個時期的代表人物是劉徽、祖沖之和祖沖之的兒子祖，劉徽為《九章算術》作注，祖沖之父子在這個基礎上編寫了很多著作，其中祖沖之精確計算了圓周率，提出約率和密率，是世界數學史上的重大成就，祖沖之還與他的兒子祖一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算，他們當時采用的一條原理是：“冪勢既同，則積不容異，”意即，位于兩平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩平面的平面所截，如果兩個截面的面積恒相等，則這兩個立體的體積相等，這一原理，在西文被稱為卡瓦列利原理，但這是在祖氏以后一千多年才由卡氏發現的，為了紀念祖氏父子發現這一原理的重大貢獻，大家也稱這原理為“祖原理”。
8.實踐活動，引入新課
通過實踐活動，讓學生歸納、思考、總結。或由師生列舉類似的實際背景資料，通過一些與現實生活實踐，把課堂變成一名學生探索知識的窗口，從而提高學生的學習興趣，變平淡為神奇，例如，在“數學歸納法”的新課引入時，教師指導學生一起來做一個實驗：“多米諾”骨牌游戲，教師把準備好的教具擺放好，讓學生將其推倒，并從中感悟推倒的規則，學生經過反復動手實驗后，總結出玩此游戲的規則：(1)排此骨牌的規則：前一塊牌倒下，保證后一塊牌一定倒下；(2)推倒第一塊，由此便非常自然地引出數學歸納法的定義，這自然比直接導入定義妙得多。并且學生能真正地理解對一個與自然數有關的命題經過數學歸納法的步驟證明后是正確的。
9.組織游戲，引入新課
開始上課時，先組織學生做一個相關的游戲，再導人新課，通過一些生動活潑、有趣簡單并與本節課教學內容有密切相關的游戲活動，構建教學情境，使學生在活動中提高學習的興趣，從而提高了教學的效率，學生在輕松愉快的氛圍中掌握了知識。
一、函數
函數是歷年高考命題的重點，集合、函數的定義域、值域、圖像、奇偶性、單調性、周期性、最值、反函數以及具體函數的圖像及性質在高考試題中屢見不鮮。因此須注意以下幾點。
1.集合是近代數學中最基本的概念之一，集合觀點滲透在中學數學內容的各個方面，所以我們應弄懂集合的概念，掌握集合元素的性質，熟練地進行集合的交、并、補運算。同時，應準確地理解以集合形式出現的數學語言和符號。
2.函數是中學數學重要內容之一，主要從定義、圖像、性質三方面加以研究。在復習時要全面掌握、透徹理解每一個知識點。為了提高復習質量，我們提出下述幾個問題：
（1）掌握圖像變換常用的方法，特別注意：凡變換均在自變量上進行。
（3）學會解簡單的函數方程，認真對待指數或對數中含參數問題的求解方法，特別注意對數的真數必須“大于0”，注意方程求解時的等價性。
二、三角
三角包括兩部分內容：三角函數和兩角和與差的三角函數。主要考查三角函數的性質、圖像變換、求函數解析式、最小正周期等；兩角和與差的三角函數中公式較多，應在掌握這些公式的內在聯系及推導過程的基礎上，理解并熟悉這些公式。特別注意以下幾個問題：
1.和、差、倍、半角公式都是用單角的三角函數表示復角（和、差、倍、半角）的三角函數。這就決定了這些公式應用的廣泛性，即這些公式可以將三角函數統一成單角的三角函數。
5.三角函數式的化簡與求值，這是中學數學中重要內容之一，并且與解三角形相結合，有的還與復數的三角形式運算相聯系，因此須注意常用方法和技巧：切割化弦、升降冪、和積互化、“1”的互化、輔助元素法等。
三、不等式
有關不等式的高考試題分布極為廣泛，在客觀題中主要考查不等式的性質、簡單不等式的解法以及均值不等式的初步應用。經常以比較大小、求不等式的解集、求函數的定義域、值域、最值等形式出現。在中檔題中，求解不等式與分類討論相關聯；特別是近幾年來強調考查邏輯推理能力，增加了一個代數推理題，也和不等式的證明相關聯。在壓軸題中，無論函數題、還是解析幾何題，也往往需要使用不等式的有關知識。在復習中應注意下述幾個問題：
1.掌握比較大小的常用方法：作差、作商、平方作差、圖像法。
2.熟練掌握用均值不等式求最值，必須注意三個條件：一正；二定；三相等。三者缺一不可。
3.把握解含參數的不等式的注意事項。
解含參數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論。如果遇到下述情況則一般需要討論：
（1）在不等式兩端乘除一個含參數的式子時，則需討論這個式子的正、負、零分類。
（2）在求解過程中，需要使用指數函數、對數函數的單調性時，則需對它們的底數進行討論。
（3）當解集的邊界值含參數時，則需對零值的順序進行討論。
四、立體幾何
1.“直線和平面”這一章的內容是立體幾何的基礎。在復習時要反復梳理知識系統，掌握每個概念的本質屬性，理解每個判斷定理和性質定理的前提條件和結論。
2.在研究線線、線面、面面的位置關系時，主要是研究平行和垂直關系。其研究方法是采取轉化的方法。
3.三垂線定理及其逆定理是立體幾何中應用非常廣泛的定理，只要題設條件中有直線和平面垂直時，就往往需要使用三垂線定理及其逆定理。每年高考試題都要考查這個定理。三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關系與空間圖形的度量。如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線。
4.在解答立體幾何的有關問題時，應注意使用轉化的思想：
（1）利用構造矩形、直角三角形、直角梯形將有關棱柱、棱錐、棱臺的問題轉化成平面圖形去解決。
（2）利用軸截面將旋轉體的有關問題轉化成平面圖形去解決。
（3）將空間圖形展開是將立體幾何問題轉化成為平面圖形問題的一種常用方法。
（4）由于臺體是用一個平行于錐體底面的平面截得的幾何體，因此有些臺體的問題，常常轉化成截得這個臺體的錐體中去解決。
（5）利用割補法把不規則的圖形轉化成規則圖形，把復雜圖形轉化成簡單圖形。
（6）利用三棱錐體積的自等性，將求點到平面的距離等問題轉化成求三棱錐的高。
5.立體幾何解答題一般包括“作、證、求”三個步驟，缺一不可，在證明中使用定理時，定理的條件必須寫全，特別是比較明顯的“線在面內”“兩直線相交”等必須交代清楚。
