時(shí)間：2023-05-29 17:22:35
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇證明的格式，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
1.現(xiàn)在的證明一般是在留存的空白版本基礎(chǔ)上添加變動(dòng)信息后打印，看上去整潔，美觀，便于存檔。不建議使用便箋手寫(xiě)。
2.必有信息：?jiǎn)挝幻Q(注冊(cè)全稱)，離職者姓名，離職者曾任職務(wù)，在職時(shí)間，證明開(kāi)具日期，開(kāi)具日期處加蓋公章(“騎年壓月”)。另外，一般寫(xiě)明身份證號(hào)，因?yàn)槟遣攀俏ㄒ坏摹?/p>
3.有競(jìng)業(yè)限制協(xié)議且公司方面支付了補(bǔ)償金的，建議在離職證明里加以說(shuō)明競(jìng)業(yè)限制約定。
4.頁(yè)眉打印有公司logo——宣傳公司形象。可以選擇是否添加公司聯(lián)系方式。
5.一般用a4紙打印(檔案管理標(biāo)準(zhǔn))，現(xiàn)實(shí)中也有些公司采取一式兩份中間分割處蓋騎縫章的方式。
6.無(wú)錯(cuò)別字，不允許篡改，若填寫(xiě)證明時(shí)出錯(cuò)建議重新開(kāi)具。
【范本一】
離職證明
先生/女士/小姐(身份證號(hào)為 )自20**年01月01日入職我公司擔(dān)任人力資源 部 人力資源助理 職務(wù)，至20**年07月31日因 個(gè)人 原因申請(qǐng)離職，在職期間無(wú)不良表現(xiàn)，經(jīng)協(xié)商一致，已辦理離職手續(xù)。
因未簽訂相關(guān)保密協(xié)議，遵從擇業(yè)自由。
特此證明。
公司名稱(加蓋公章)
20**年07月31日
【范本二】
離職證明
茲證明 先生/女士/小姐原系我公司 市場(chǎng)開(kāi)發(fā)部 職員，在職時(shí)間為20**年01月01日至20**年07月31日。現(xiàn)已辦理完所有離職手續(xù)。特此證明!
格式可以有所不同，紅字部分請(qǐng)注意
貧困證明的一般格式為：
貧 困 證 明 格 式
xxxx (學(xué)校)：
貴校學(xué)生 xxx 其家長(zhǎng)屬本地居民，家庭基本情況如下：
一、家庭人口 x 人，家庭成員組成：
家庭年收入約 000 元
二、主要收入來(lái)源： xxxxxxxxxxx (填寫(xiě))
三、目前家庭主要困難:
(比如家庭成員是否有重病醫(yī)療開(kāi)支是否較大，是否有殘疾，收入來(lái)源是否單一，勞動(dòng)力是否較少)
確屬貧困家庭。特此證明。
村委會(huì)(街道居委會(huì)) 鄉(xiāng)、鎮(zhèn)(含)或 縣區(qū)政府民政部門
證明信是證明某人身份、經(jīng)歷等惰況以及證明某個(gè)事件原委、真-相的專用書(shū)信。
二、證明信的種類
從寫(xiě)作者來(lái)劃分，可分為以組織名義出具的證明信和以個(gè)人名義出具的證明信。從證明信的用途來(lái)看，又可分為作為材料存入檔案的證明信、證明丟失證件等惰況屬實(shí)的證明信和作為證件使用的證明信。
三、證明信的作用
證明信對(duì)了解和考察有關(guān)人員和事件的真實(shí)惰況，有著重要的證明、參考作用。
四、證明信的結(jié)構(gòu)和寫(xiě)法
證明信一般由標(biāo)題、稱謂、正文、結(jié)尾、落款和日期幾部分組成。
1標(biāo)題
在第二行居中寫(xiě)“證明信”三宇。
2稱謂
標(biāo)題下頂格寫(xiě)收信單位名稱，其后加冒號(hào)。
3正文
另起一行，前空兩格，寫(xiě)清需要證明的事項(xiàng)。
4結(jié)尾
另起一行，前空兩格，寫(xiě)“特此證明”，以收束全文。
5落款和日期
在正文右下方先寫(xiě)明證明單位名稱或個(gè)人姓名，并加蓋公章或私章。在
落款的下方寫(xiě)明具體的年、月、日。
如果是以個(gè)人的名義出具的證明信，出具證明者所在單位須簽署意見(jiàn)，說(shuō)明出具證明者的一般表現(xiàn)，并對(duì)證明信上所寫(xiě)的材料做出表態(tài)，以供需要證明信的單位鑒別證明信的可靠程度。在簽署意見(jiàn)的右下方，寫(xiě)上單位名稱和日期，并加蓋公章。
五、證明信的寫(xiě)作要求
1要言之有據(jù)，證據(jù)確鑿，不能隱瞞真-相，弄虛作假。
2用語(yǔ)準(zhǔn)確、明晰，切忌含糊其辭，模棱兩可。
2.
一、證明信的概念
證明信是證明某人身份、經(jīng)歷等惰況以及證明某個(gè)事件原委、真-相的專用書(shū)信。
二、證明信的種類
從寫(xiě)作者來(lái)劃分，可分為以組織名義出具的證明信和以個(gè)人名義出具的證明信。從證明信的用途來(lái)看，又可分為作為材料存入檔案的證明信、證明丟失證件等惰況屬實(shí)的證明信和作為證件使用的證明信。
三、證明信的作用
證明信對(duì)了解和考察有關(guān)人員和事件的真實(shí)惰況，有著重要的證明、參考作用。
四、證明信的結(jié)構(gòu)和寫(xiě)法
證明信一般由標(biāo)題、稱謂、正文、結(jié)尾、落款和日期幾部分組成。
1標(biāo)題
在第二行居中寫(xiě)“證明信”三宇。
2稱謂
標(biāo)題下頂格寫(xiě)收信單位名稱，其后加冒號(hào)。
3正文
另起一行，前空兩格，寫(xiě)清需要證明的事項(xiàng)。
4結(jié)尾
另起一行，前空兩格，寫(xiě)“特此證明”，以收束全文。
5落款和日期
在正文右下方先寫(xiě)明證明單位名稱或個(gè)人姓名，并加蓋公章或私章。在
落款的下方寫(xiě)明具體的年、月、日。
如果是以個(gè)人的名義出具的證明信，出具證明者所在單位須簽署意見(jiàn)，說(shuō)明出具證明者的一般表現(xiàn)，并對(duì)證明信上所寫(xiě)的材料做出表態(tài)，以供需要證明信的單位鑒別證明信的可靠程度。在簽署意見(jiàn)的右下方，寫(xiě)上單位名稱和日期，并加蓋公章。
五、證明信的寫(xiě)作要求
人力資源部發(fā)出的離職證明書(shū)只證明離職員工的受雇日期、職位及其離職原因。以下是小編精心收集整理的離職證明格式，下面小編就和大家分享，來(lái)欣賞一下吧。
離職證明格式1茲證明______先生/女士/小姐原系我公司____________部門職員，在職時(shí)間為_(kāi)_____年______月______日至______年______月______日。現(xiàn)已辦理完所有離職手續(xù)。特此證明!
公司名稱__________________(加蓋公章)
____年__月__日
離職證明格式2茲有______(姓名)同志于______年______月______日至______年______月______日期間在我公司擔(dān)任______職務(wù)，在職期間，工作努力，無(wú)不良工作表現(xiàn)。現(xiàn)因__________________原因申請(qǐng)離職，并已正式辦理離職等相關(guān)手續(xù)。以后其一切相關(guān)事宜均與我司無(wú)關(guān)。
特此證明
公司名稱(加蓋公章)
____年__月__日
離職證明格式3茲證明_______先生/女士/小姐原系我公司市場(chǎng)開(kāi)發(fā)部職員，在職時(shí)間為20__年01月01日至20__年07月31日。現(xiàn)已辦理完所有離職手續(xù)。特此證明!
公司名稱(加蓋公章)
20__年__月__日
離職證明格式4茲證明__自__年__月__日入職我公司擔(dān)任__部門__崗位，至__年__月__日因__原因申請(qǐng)離職，在此工作期間無(wú)不良表現(xiàn)，工作良好，同事關(guān)系融洽，期間曾被授予“__”稱號(hào)(榮譽(yù))。經(jīng)公司慎重考慮準(zhǔn)予離職，已辦理交接手續(xù)。
因未簽訂相關(guān)保密協(xié)議，遵從擇業(yè)自由。
特此證明
公司蓋章
日期：________年________月________日
離職證明格式5某某先生/女士/小姐自2008年01月01日入職我公司擔(dān)任人力人事專員職務(wù)，至20__年06月31日因個(gè)人原因申請(qǐng)離職，在此間無(wú)不良表現(xiàn)，經(jīng)公司研究決定，同意其離職，已辦理離職手續(xù)。
因未簽訂相關(guān)保密協(xié)議，遵從擇業(yè)自由。
特此證明
公司名稱(加蓋公章)
____年__月__日
離職證明格式6___ 同志于 _年 _ 月_日至 _ 年_月_日任職于___公司，于_年_月_日正式與我公司解除勞動(dòng)關(guān)系，特此證明。
初婚一胎婚育證明格式模板一我村（居、單位）________同志，男（女），生于________年________月________日，該同志系獨(dú)生子女，于________年________月________日與________同志初婚，婚后于________年________月________日合法生育壹男（女）孩，該同志未辦理《獨(dú)生子女父母光榮證》，至今只生育一個(gè)子女，未再生育和抱養(yǎng)過(guò)子女。
特此證明。
村（居、單位）（公章）
20xx年xx月xx日
初婚一胎婚育證明格式模板二茲證明XXX（為我公司職員），女，民族漢，系XX省XX市人，身份證號(hào)碼：___________________。于20xx年1月19日與YYY依法結(jié)婚，YYY（男方）為廣東省佛山市順德區(qū)居民，身份證號(hào)碼：___________________。雙方均為初婚，婚前無(wú)違法生育行為，望給予辦理一胎生育登記卡。
特此證明。
（公章）
20xx年xx月xx日
初婚一胎婚育證明格式模板三姓名_________，性別_____，身份證號(hào)_________，于_________年_________月_________日登記結(jié)婚，系初婚，_________年_________月_________日領(lǐng)取第一個(gè)子女生育登記卡，于_________年_________月_________日生育第一個(gè)男（女）孩，無(wú)其他子女，未違反計(jì)劃生育政策。情況屬實(shí)，特此證明。
村（居、單位）（公章）
20xx年xx月xx日
初婚一胎婚育證明格式模板四茲有屬地居住人員________，性別：________，身份證號(hào)碼________________，婚育情況：________年________月________日計(jì)劃內(nèi)生育________個(gè)男/女孩，由________（女方或男方）撫養(yǎng)，________年________月________日與________（身份證號(hào)碼________________）登記結(jié)婚，系再婚，無(wú)領(lǐng)養(yǎng)，無(wú)違反國(guó)家計(jì)劃生育政策行為。
特此證明
買房收入證明格式范本一：茲證明________是我公司員工，在________部門任________職務(wù)。至今為止，一年以來(lái)總收入約為_(kāi)_________元。
特此證明。
房貸收入證明范本僅用于證明我公司員工的工作及在我公司的工資收入，不作為我公司對(duì)該員工任何形勢(shì)的擔(dān)保文件。
蓋 章：
日 期：______年___月___日
房貸收入證明范本二：致中國(guó)銀行XXXX行：
茲證明 先生/女士( 已婚 未婚 離婚)系我單位( 正式 臨時(shí) 兼職)在職員工，其現(xiàn)在我單位擔(dān)任 職務(wù)，職稱 ;已在我單位工作 年，我單位性質(zhì)為 。
其月均總收入為人民幣 萬(wàn) 仟 佰 拾 元整(小寫(xiě)￥ )。
身份證號(hào)為：
特此證明。
單位地址：
人事勞資部門聯(lián)系人：
聯(lián)系電話：
單位蓋章：
年 月 日
買房收入證明格式范本三：茲證明_________為本單位職工，已連續(xù)在我單位工作____年，學(xué)歷為_(kāi)_________畢業(yè)，目前在我
單位擔(dān)任________職務(wù)。近一年內(nèi)該職工在我單位平均年/月收入為(稅后) _______元，(大寫(xiě)：_______萬(wàn)______仟______佰______拾______元整)。
特此證明
單位名稱_______________________________________________
_______年_______月_______日
房貸收入證明范本四：本人在___ 之職，于 年 月 日入職至今，原工資每月底薪加提成加獎(jiǎng)金加用人單位應(yīng)承擔(dān)的社保費(fèi)用可拿到 元左右，承諾人要求公司將用人單位應(yīng)承擔(dān)的社保費(fèi)用已隨每月工資發(fā)放,自行已在個(gè)人窗納辦理社保。因購(gòu)房貸款需要特此更改收入證明工資為每月 元。本人承諾此證明只作為銀行貸款買房專用，不作其他用途。因AA有限公司出具《收入證明》產(chǎn)生的一切法律風(fēng)險(xiǎn),全部由承諾人本人直接承擔(dān)。
本承諾作出生效，不可撤銷!
單身證明范本一1、單身未婚證明格式：?jiǎn)紊碜C明(未婚)茲有我單位員工( )，身份證號(hào)( )，至今單身，單位單身證明范本。特此證明!年 月 日
2、單身離異證明格式：?jiǎn)紊碜C明(離異)茲有我單位員工( )，身份證號(hào)( )，于( )年( )月( )日(此日期以離婚證上日期為準(zhǔn))離異后至今單身。特此證明!年 月 日單身證明格式范本
姓名：
性別：
出生日期： 年 月 日
居民身份證編號(hào)：
家庭詳細(xì)住址：
據(jù)當(dāng)事人的申請(qǐng)及聲明，經(jīng)查詢我處婚姻登記機(jī)關(guān)從 年 月 日至今的婚姻登記檔案，未發(fā)現(xiàn)當(dāng)事人有結(jié)婚或離婚、喪偶后再婚的婚姻登記記錄。
此證明只表明當(dāng)事人在我婚姻登記處管轄范圍內(nèi)目前無(wú)婚姻登記記錄的證明。
出證機(jī)關(guān)： 年 月 日
單身證明范本二________(姓名),男/女,(身份證號(hào)__________________),是我轄區(qū)____________________居民,現(xiàn)一直為單身未婚.特此證明.
街道辦事處/派出所(章)
______年____月_____日
公司單身證明范本三XXX，男(女)，現(xiàn)年XX歲，身份證號(hào)XXXXXXXX，系我單位正式員工。該同志一直單身，未出現(xiàn)戀愛(ài)或有伴侶情況。
特此證明。
第一：開(kāi)收入證明要注意必須的格式。
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第二：開(kāi)收入證明必須要蓋“鮮章”，也就是收入證明復(fù)印是無(wú)效的。
第三：蓋的章必須是單位的財(cái)務(wù)章或則是單位的公章。而且必須是圓章。
標(biāo)準(zhǔn)的收入證明格式一般有如下幾種：
--------------------------------------------------------------------------------
工作證明
茲證明 同志現(xiàn)從事 工作，累計(jì)滿 年。
特此證明
單位名稱(公章)蓋章
經(jīng)辦人：
--------------------------------------------------------------------------------
茲證明________是我公司員工，在________部門任________職務(wù)。至今為止，一年以來(lái)總收入約為_(kāi)_________元。
特此證明。
本證明僅用于證明我公司員工的工作及在我公司的工資收入，不作為我公司對(duì)該員工任何形勢(shì)的擔(dān)保文件。
蓋 章：
日 期：______年___月___日
--------------------------------------------------------------------------------
收 入 證 明
銀行：
茲證明 先生(女士)是我單位職工，工作年限 年，在我單位工作 年，職務(wù)為，崗位為 ，工作性質(zhì)為(正式制 ;合同制 ;臨時(shí)制 ;其他 )，職稱為，該員工是否有違規(guī)違紀(jì)行為(有 ;無(wú) )。
其身份證號(hào)碼為：
其平均月收入為人民幣(大寫(xiě)) 元
填表人簽字： 證明單位(蓋公章)
申請(qǐng)信用卡的時(shí)候，收入證明材料是必備的，在筆者接觸辦卡的一段時(shí)間內(nèi)，接觸過(guò)很多開(kāi)單位收入證明材料的，很多證明開(kāi)的都不是很規(guī)范，不能夠使用。在此為大家詳細(xì)介紹開(kāi)單位收入證明的一些需要注意的事項(xiàng)。
第一：開(kāi)收入證明要注意必須的格式。
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銀行黃金白銀td開(kāi)戶指南
銀行黃金白銀模擬交易軟件
集金號(hào)桌面行情報(bào)價(jià)工具
-
第二：開(kāi)收入證明必須要蓋“鮮章”，也就是收入證明復(fù)印是無(wú)效的。
第三：蓋的章必須是單位的財(cái)務(wù)章或則是單位的公章。而且必須是圓章。
標(biāo)準(zhǔn)的收入證明格式一般有如下幾種：
--------------------------------------------------------------------------------
工作證明
茲證明 同志現(xiàn)從事 工作，累計(jì)滿 年。
特此證明
單位名稱(公章)蓋章
經(jīng)辦人：
--------------------------------------------------------------------------------
茲證明________是我公司員工，在________部門任________職務(wù)。至今為止，一年以來(lái)總收入約為_(kāi)_________元。
特此證明。
本證明僅用于證明我公司員工的工作及在我公司的工資收入，不作為我公司對(duì)該員工任何形勢(shì)的擔(dān)保文件。
蓋 章：
日 期：______年___月___日
--------------------------------------------------------------------------------
收 入 證 明
銀行：
茲證明 先生(女士)是我單位職工，工作年限 年，在我單位工作 年，職務(wù)為，崗位為 ，工作性質(zhì)為(正式制 ;合同制 ;臨時(shí)制 ;其他 )，職稱為，該員工是否有違規(guī)違紀(jì)行為(有 ;無(wú) )。
其身份證號(hào)碼為：
其平均月收入為人民幣(大寫(xiě)) 元
填表人簽字： 證明單位(蓋公章)
單位聯(lián)系電話：
單位營(yíng)業(yè)執(zhí)照編號(hào)：
單位辦公地址：
本單位承諾該職工的收入證明真實(shí)。
本收入證明僅限于該職工辦理貸記卡用途，我公司并不對(duì)該職工使用貸記卡可能造成的欠款承擔(dān)任何責(zé)任。
填表日期： 年 月
--------------------------------------------------------------------------------
招商銀行信用卡申請(qǐng)個(gè)人收入證明格式
個(gè)人收入證明
茲有我公司(xxxx公司)員工xxx，身份證號(hào)碼：xxxxxx，在我司工作xx年，任職xx部門xx經(jīng)理(職位)，年收入為人民幣xxxxx元。
特此證明!
xxxx公司(加蓋公章)
xxxx年x月x日
單位聯(lián)系電話：
單位營(yíng)業(yè)執(zhí)照編號(hào)：
單位辦公地址：
本單位承諾該職工的收入證明真實(shí)。
本收入證明僅限于該職工辦理貸記卡用途，我公司并不對(duì)該職工使用貸記卡可能造成的欠款承擔(dān)任何責(zé)任。
填表日期： 年 月
--------------------------------------------------------------------------------
招商銀行信用卡申請(qǐng)個(gè)人收入證明格式
個(gè)人收入證明
茲有我公司(xxxx公司)員工xxx，身份證號(hào)碼：xxxxxx，在我司工作xx年，任職xx部門xx經(jīng)理(職位)，年收入為人民幣xxxxx元。
特此證明!
什么是收入證明：
收入證明，是我國(guó)公民在日常生產(chǎn)生活經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，所需要的對(duì)經(jīng)濟(jì)收入的一種證明，一般在辦理簽證、銀行貸款，信用卡等會(huì)被要求由當(dāng)事人單位出具的對(duì)經(jīng)濟(jì)收入的證明。
用途：
在申請(qǐng)信用卡或者辦理其他銀行業(yè)務(wù)的時(shí)候，收入證明是必不可少的證明材料。
許多人在要求單位開(kāi)具收入證明的時(shí)候并不知道標(biāo)準(zhǔn)的收入證明是什么樣的格式，導(dǎo)致很多收入證明無(wú)法使用。 它是在信用卡審核時(shí)初始信用額度的主要參考內(nèi)容之一，直接反應(yīng)辦理人的還款能力。
收入證明范本：
1.信用卡范本
致 行：
茲證明先生/女士( 已婚 未婚 離婚)系我單位( 正式 臨時(shí) 兼職)在職員工，其現(xiàn)今我單位擔(dān)任 職務(wù)，職稱 ;已在我單位工作 年，我單位性質(zhì)為 。
其月均總收入為人民幣 萬(wàn) 仟 佰 拾 元整(小寫(xiě)￥ )。
身份證號(hào)為：
對(duì)以上所提供資）料的真實(shí)性我單位負(fù)法律責(zé)任。
特此。
單位地址：
人事勞資部門聯(lián)系人：
聯(lián)系電話：
收入證明
收入證明
單位蓋章：
年 月 日
2.個(gè)人范本
茲證明 為本單位職工，已連續(xù)在我單位工作 年，學(xué)歷為 畢業(yè)，當(dāng)前在我單位擔(dān)任 職務(wù)。近一年內(nèi)該職工在我單位平均年/月收入為(稅后) 元，(大寫(xiě)： 萬(wàn) 仟 佰 拾 元整)。
特此證明：
單位名稱
年 月 日
個(gè)人收入證明的內(nèi)涵 ： 包括工資(一般指年收入總額)、養(yǎng)老保險(xiǎn)繳費(fèi)復(fù)印件、自有房產(chǎn)證明、私家車輛證明、大額定期存折復(fù)印件、外匯、債券、黃金有價(jià)證券帳戶、大額人壽養(yǎng)老分紅保單等。
注意事項(xiàng)：
第一：開(kāi)收入證明要注意必須的格式。
第二：開(kāi)收入證明必須要蓋“鮮章”也就是收入證明復(fù)印是無(wú)效的。
工作證明和擔(dān)保書(shū)
工作證明
________________：
茲證明________是我公司員工，在________部門任________職務(wù)。至今為止，已在我單位工作 幾年。特此證明。本證明僅用于證明我公司員工的工作證明。
證明單位：(蓋 章)
日 期：______年___月___日
擔(dān) 保 書(shū)
茲證明_________(父母姓名)為擔(dān)保人，出生于__________________,于_______________,在_________________________公司任職，家庭住址__________________________,其子/女__________,出生于_______。
其子女自愿去法國(guó)學(xué)習(xí)，其在法國(guó)學(xué)習(xí)期間所需的一切費(fèi)用(包括：機(jī)票費(fèi)、學(xué)費(fèi)、生活費(fèi)等)，均由我本人負(fù)責(zé)。
工作證明怎么開(kāi)
先寫(xiě)好工作證明，找你所在的人事部，蓋章。
步驟：
1. 抬頭居中粗體寫(xiě)上“工作證明”。
企業(yè)員工工作證明格式和收入證明格式
茲有我公司員工鐘濤，身份證號(hào)碼：xxxxxxxxxxxxxxxxxx,在我公司網(wǎng)絡(luò)技術(shù)部任電子商務(wù)技術(shù)員，累計(jì)工作兩年。年總收入約為人民幣叁萬(wàn)元。
本證明僅用于證明我公司員工的工作及在我公司的工資收入，不作為我公司對(duì)該員工任何形式的擔(dān)保文件。
特此證明。
xx股份有限公司
xx年xx月xx日
關(guān)鍵詞：聲波方程；隱式差分；先驗(yàn)估計(jì)；代數(shù)多重網(wǎng)格
1 引言
波動(dòng)方程是一種主要描述聲波，水波和光波的波動(dòng)現(xiàn)象的雙曲型偏微分方程，到目前為止，已有不少人對(duì)一維和二維波動(dòng)方程做過(guò)系統(tǒng)的研究。但對(duì)三維波動(dòng)方程的研究的人相對(duì)較少，其主要采用的差分方法直接計(jì)算存在計(jì)算量大收斂速度慢的缺陷。文 中對(duì)三維聲波方程的采用有限差分法進(jìn)行差分離散，再采用數(shù)值頻散法對(duì)地震波進(jìn)行疊前和疊后數(shù)值模擬，文 中的精細(xì)積分法；文 的采用三維頻率空間域有限差分波場(chǎng)延拓算子以“逐步-累加”的方式實(shí)現(xiàn)了三維波動(dòng)方程基準(zhǔn)面校正 ；文 采用延拓法實(shí)現(xiàn)三維波動(dòng)方程正演，這些方法受到差分精度及網(wǎng)格剖分步長(zhǎng)的嚴(yán)重影響，要想得到比較準(zhǔn)確的數(shù)值結(jié)果須極小的剖分步長(zhǎng)和非常高精度的差分，從而導(dǎo)致計(jì)算時(shí)迭代緩慢，計(jì)算量巨大。
偏微分方程數(shù)值解一般有兩種離散方法，差分離散方法和有限元逼近方法。差分方法有多種格式，三點(diǎn)格式、五點(diǎn)格式、緊差分格式 等。有限元法則是電子計(jì)算機(jī)時(shí)代的產(chǎn)物，有多種專門的應(yīng)用軟件 ，在應(yīng)用范圍方面比差分方法更優(yōu)越。以上兩種方法離散和所得的方程，通常計(jì)算量巨大，即使用計(jì)算機(jī)處理也不是很簡(jiǎn)單，有些方程用巨型計(jì)算機(jī)處理都會(huì)造成單片CPU內(nèi)存不足的情況。
多重網(wǎng)格法是求解偏微分方程的高效快速算法，具有收斂速度快，精度高等優(yōu)點(diǎn)，其收斂速度和效率并不受差分步長(zhǎng)的影響，也就是說(shuō)當(dāng)離散更精細(xì)時(shí)，其收斂速度并不減慢，因此多重網(wǎng)格法可大大的減小計(jì)算量及占用的CPU內(nèi)存，加快運(yùn)算速度。文獻(xiàn) 用多重網(wǎng)格法對(duì)二維及三維理想化的波動(dòng)方程做過(guò)研究，但不能解決一般的三維波動(dòng)方程 ，因此筆者在本文中用多重網(wǎng)格法討論諸如文 中的波動(dòng)方程，即先采用緊差分格式將上述波動(dòng)方程的解離散，得到的差分方程組每個(gè)時(shí)間層上求解類似于求解三維橢圓問(wèn)題，再采用類似于文 中的多重網(wǎng)格法求解。并對(duì)三維波動(dòng)方程所采用的差分方法進(jìn)行了討論，根據(jù)文 中一維，二維差分格式解的誤差先驗(yàn)估計(jì)式，推導(dǎo)了三維差分格式及K維差分格式解的誤差先驗(yàn)估計(jì)式，并對(duì)其進(jìn)行了證明，利用三維格式格式解的誤差先驗(yàn)估計(jì)式，證明三維差分格式解的存在性和收斂性，及穩(wěn)定性。
1、聲波方程
在非均勻介質(zhì)中，三維聲波方程為
2、差分方法
以 為時(shí)間步長(zhǎng)，空間取等距離的立體網(wǎng)格，其邊長(zhǎng)為 ，網(wǎng)格點(diǎn)為 ， ， ， ， ， ， ，
這里對(duì) 項(xiàng)暫不討論，具體參見(jiàn)文 ，在文 中 ，則 。
可依次迭代求出式（10）各項(xiàng)的值。
3、差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式
首先引進(jìn)如下記號(hào)
以上前4個(gè)分別為無(wú)窮范數(shù)（一致范數(shù)），2范數(shù)，差商范數(shù)，和 范數(shù)。
定理1 設(shè) 為差分方程組
其中
證明 用 乘以（14）的兩邊，并對(duì) 求和，得到
根據(jù)文 中一維，二維二階雙曲型方程隱式差分格式解的誤差先驗(yàn)估計(jì)式及定理1我們可推導(dǎo)出K維二階雙曲型方程隱式差分格式解的誤差先驗(yàn)估計(jì)式。
定理2 對(duì)于K維的二階線性雙曲型方程
的隱式差分格式，設(shè) 為差分方程組
的解，則對(duì)任意步長(zhǎng)比 ，有
其中
4差分格式解的存在性，收斂性和穩(wěn)定性
存在性
5、多重網(wǎng)格法
多重網(wǎng)格法有V循環(huán)和W循環(huán)，其中常用的是V循環(huán)。通常包括3個(gè)要素，松算子、限制算子和插值算子。
令
5.1多重網(wǎng)格算法的實(shí)現(xiàn)
（1）利用定理1，和（25）式，估計(jì)在所要求的誤差范圍內(nèi) 和 的大致取值。
（2）對(duì)于第 個(gè)時(shí)間層，把得出 的值，作為細(xì)網(wǎng)格層， 作為粗網(wǎng)格層，由粗網(wǎng)格層開(kāi)始進(jìn)行差分。
（3）計(jì)算 時(shí)刻的誤差殘量，使用完全加權(quán)算子將其限制在相鄰的粗網(wǎng)格上。
（4）在粗網(wǎng)格層上用G-S迭代進(jìn)行一次誤差磨光，具體算法參見(jiàn) 。
（5）將粗網(wǎng)格層上的誤差校正結(jié)果用三線性插值算子返回到細(xì)網(wǎng)格層上。
（6）在細(xì)網(wǎng)格層上用G-S迭代進(jìn)行一次誤差磨光，具體算法參見(jiàn) 。
（7）令 ，即轉(zhuǎn)入下一個(gè)時(shí)刻的計(jì)算。
（8）重復(fù)（2）-（7），直到計(jì)算需要達(dá)到的時(shí)刻。
6、 數(shù)值算例
以上問(wèn)題的精確解為
通過(guò)對(duì)上述算例的計(jì)算，結(jié)果表明：，多重網(wǎng)格法比傳統(tǒng)的迭代法計(jì)算速度快，隨著 的減小，越明顯。
參 考 文 獻(xiàn)
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