時間：2022-06-06 04:04:45
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇雞兔同籠教學反思，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
教育是路，引領人類走向黎明。因為有教育，一切才都那么美好，因為有教育，人類才有無窮的希望。下面是小編給大家準備的小學四年級數學下冊《數學廣角--雞兔同籠》教案優秀范文，希望可以幫助到大家。
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小學四年級數學下冊《數學廣角--雞兔同籠》教案優秀范文一【教材分析】
“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，最早出現在《孫子算經》中。解決這類問題的方法包括：列表法、假設法、方程法等。教材把這一問題安排在四年級，學生還沒有學過方程，因此這里主要引導學生通過猜測、列表、假設等方法來解決問題，培養學生猜測、有序思考及邏輯推理的能力,體會假設法的一般性。在解決“雞兔同籠”問題時，學生選用哪種方法均可，不強求用某一種方法。
【學情分析】
“雞兔同籠”問題是我國古代著名數學趣題，容易激發學生的探究興趣。“列表法”是學生比較容易接受的，也就是通過有序猜測和計算得出結論，“假設法”對學生來說比較陌生，教學中要抓住其特點，講解算理，讓學生逐步掌握，根據具體問題引導學生分析理解，拓寬學生思維。
【教學建議】
1、教學中要注意滲透化繁為簡的思想。
2、引導學生探索解決問題的策略和方法。
3、介紹有關雞兔同籠問題的“趣解”，既激發學習的興趣，又可以拓寬學生的思路。
【教學目標】
1、了解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。
2、經歷自主探究解決問題的過程，了解列表法、假設法等解決問題的方法，在解決問題的過程中培養邏輯推理能力，增強應用意識和實踐能力。
3、了解
“雞兔同籠”問題解決的多種有趣方法，體驗問題解決方法多樣化。
【教學重點】經歷自主探究解決問題的過程，掌握運用列表法、假設法解決“雞兔同籠”問題。
【教學難點】理解掌握假設法，能運用假設法解決數學問題。
【教學過程】
一、情境導入。
今天老師想給同學們介紹一部1500年前的數學名著《孫子算經》，你們想了解嗎?里面記載著許多有趣的數學名題，其中有這樣一道題，請看屏幕：(課件出示以下情境圖)
師：你能說說這道題是什么意思嗎?(說明：雉指雞)讓學生說說題意，然后出示：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳，雞和兔各有幾只?這就是我們今天要研究的歷史趣題“雞兔同籠”問題。(板書課題)
有的同學已經在計算了，說說看雞有多少只?兔有多少只?
【設計意圖】結合課件呈現的情境圖談話引入，給數學課堂帶來了濃厚的文化氣息，讓我們的學生感受到我國數學文化的源遠流長，同時在學生猜測得不到正確結果的情況下，激發學生的探究興趣，為下一環節引導學生經歷“化繁為簡”的解題策略做好鋪墊。
二、新知探究。
(一)感受化繁為簡的必要性。
剛才大家猜了好幾組數據，但是我們驗證后發現都不對，為什么這么多人都沒有猜對呢?(數太大了)你們覺得什么情況下能夠猜對?(數小一些)
那咱們就換一道數小一些的。(課件出示例1)
籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有8個頭;從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只?
(二)自主嘗試解決問題。
我們共同閱讀在同一個籠子里的雞和兔給我們帶來了哪些數學信息?
找到題中信息：①雞和兔共8只。②雞和兔共有26條腿。 ③雞有2條腿。 ④兔有4條腿。
在猜測時要抓住哪個條件呢?(雞和兔一共是8只)那是不是抓住了這個條件就一定能猜對呢?
怎樣才能確定猜測的結果對不對?(把雞的腿和兔的腿加起來看是不是等于(把雞的腿和兔的腿加起來看等不等于26)
這回給你們一點時間，把你猜測的數據在練習本上列個表，算一算，想一想：你算的對嗎?(出示表格)
雞
兔
腳
這回給你們一點時間，把你猜測的數據在練習本上算一算，想一想：你算的對嗎?
(三)交流體會，掌握問題解決策略。
1、經歷列表法的形成過程。
(1)經過同學們的研究，現在知道雞和兔各有幾只?
都誰和他的結果一樣?你們有把握這次猜對了嗎?怎么驗證一下?
(2)說說你是怎樣得出正確答案的?(引導學生說說解決問題的思路)
預設學生思路：
從雞8只，兔0只開始推算。
從雞0只，兔8只開始推算。
前兩種情況可能做了充分預習，按照一定的順序，列舉出了所有情況，或者到得到正確答案為止。對這種有序思考的方法要給予肯定。
直接猜出雞有3只，兔有5只，驗證后發現腳數正好是26只。
這種情況屬于正好一下猜對了，教師提示不一定每次都能夠猜得這么準。
從雞有4只，兔有4只開始推算。
這種情況猜測的次數比較少，對于數據比較大的時候適用。
有的同學還可能發現了每增加一只兔，減少一只雞，腳就增加2只，這樣就可以一下子算出需要增加幾只兔，直接找到正確答案。這正是假設法的思路。如果有同學有這一發現，教師要及時引導學生表述準確，為后面的假設法學習做好鋪墊。
(3)小結收獲。從剛才的列表情況看，你覺得怎樣列表比較好?
(4)運用列表法解決情境圖中的雞兔同籠問題。
自主解決，交流方法并訂正結果。
如果沒有出現上面的第五種思路，教師小結可以提出。
小結：雞兔的總只數不變，多一只兔子就會少一只雞，增加兩只腳;多一只雞就會少一只兔子，減少兩只腳。運用這一規律正好是我們解決這一問題的另一種方法。
2、探究假設法。
(1)問題預設：剛才大家找到了“雞兔同籠”問題的解決辦法，討論中還發現了一種更簡單的方法，如果運用這種推理方法，怎么解決呢?
(2)引導學生交流：發現假設成都是雞或者都是兔，計算起來會更簡便。
交流時重點讓學生說說每一步的意思。
先假設成都是雞，著重說說推理的過程。
同樣，讓學生說說，如果假設成都是兔，是什么情況?
小結收獲。
(3)運用假設法解決情境圖中的“雞兔同籠”問題，再匯報交流。
【設計意圖】讓學生在自主嘗試中找到用列表法解決“雞兔同籠”問題的方法，引導學生有序思考，組織學生有層次地匯報和交流，讓學生在這一過程中體會到：根據表中總腳數與題中數據的差，來調整數據，對假設法的探究起到了鋪墊作用，同時對假設法的理解也更加深刻。
三、練習強化，深化認識。
針對性練習，完成做一做第一題。
獨立完成，再集體交流訂正。
四、閱讀資料，豐富認識。
同學們，你們知道古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題的嗎?閱讀105頁的資料。
古人真是很聰明啊!今人更了不起，又發現了很多關于“雞兔同籠”問題的趣解，你們想了解嗎?介紹幾種。
1、假設所有的雞和兔子都訓練有素，然后你拿著一個口哨，吹一下，所有動物收起一只腳，吹兩下，收起兩只腳，好了，現在雞一屁股坐在地上了，小兔都“作揖”了，也就是還有兩只腳站著，總腳數減去兩倍的頭的個數再除以二就是兔子的只數了。
2、假如雞的翅膀也著地，也有四只腳，那么總腳數就是總只數乘4，減去實際的腳數，就是翅膀的數，翅膀都是雞的，再除以2，就是雞的只數。
五、談話式小結。
同學們，今天你有什么收獲?每種方法都明白了嗎?你最喜歡哪種方法?
提示學生做題時要根據題目選擇合適的方法來解決問題。
【設計意圖】通過完成做一做的第一題，鞏固解決“雞兔同籠”問題的基本方法，了解古時候的解法，使學生對我國的古代文化產生濃厚的興趣，最后的小結梳理一下幾種方法，引導學生反思學過的方法，為以后的學習奠定基礎。
【板書設計】
雞兔同籠
列表法
雞
8
7
6
5
4
3
2
1
兔
1
2
3
4
5
6
7
8
腳
16
18
20
22
24
26
28
30
32
假設法
都是雞： 腳：8×2=16(只)
少了：26-16=10(只)
兔：10÷(4-2)=5(只)
雞：8-5=3(只)
都是兔： 腳：8×4=32(只)
多了：32-26=6(只)
雞：6÷(4-2)=3(只)
雞：8-3=5(只)
小學四年級數學下冊《數學廣角--雞兔同籠》教案優秀范文二【教學目標】
1.理解掌握并會運用列表法、假設法解決“雞兔同籠”問題。
2.經歷自主探究解決問題的過程，培養邏輯推理能力。
3.了解我國古代數學文化，增強民族自豪感。
【教學重點】滲透化繁為簡思想，體會用假設法的邏輯性和一般性。
【教學難點】 理解用假設法解決“雞兔同籠”問題的算理。
【教學具準備】課件
【教學過程】
一、課前活動
學生猜測老師的年齡。
學生根據老師的提示，調整自己的猜測，直到猜到正確的答案。
師：剛才大家在猜測老師年齡的過程中，經歷了猜測、驗證、調整的過程，不知不覺掌握了一種數學策略。
【設計意圖】通過課前的游戲活動，激發學生的參與熱情，并且滲透數學解題策略，為本節課的學習做好鋪設。
二、課中活動：
(一)創設情境，導入新課
生齊讀課題：雞兔同籠
出示表格
頭
3
5
雞
2
兔
1
2
腳
12
8
第一欄、第二欄都能夠解決。
師：如果告訴一共有5個頭，你們能確定一共有幾只腳?為什么?如果告訴一共有8只腳，能確定雞兔各幾只嗎?為什么?
師：如果告訴頭的數量和腳的數量，能確定雞兔各幾只嗎?這就是我們今天要研究的數學問題。
【設計意圖】經過前期學情了解，不少孩子對于雞和兔不清楚有幾只腳，所以在這個環節先了解學生基本常識。通過填寫表格，從易到難，引起學生對問題的深刻思考。
(二)猜測驗證，化繁為簡
1.出示《孫子算經》中的雞兔同籠問題。
師：能讀懂是什么意思嗎?
生：就是雞兔同籠，從上面數有35個頭，從下面數，有94只腳。雞、兔各幾只?
師：能猜猜雞兔各幾只嗎?
師：如何驗證自己猜的對不對?(既要考慮頭，也要考慮腳)
師：怎么辦呢?有沒有辦法解決這個問題?
師：為什么要改小?
生：改小一點好猜些。
【設計意圖】引導學生理解題意，幫學生初步理解“雞兔同籠”問題的結構特點，滲透化繁為簡的數學思想。
(三)嘗試猜想，發現規律
出示“雞兔同籠，從上面數有8個頭，從下面數有26只腳。雞兔各幾只?”
師：請再猜一猜。
師：看來有很多種情況，能不能按照一定的順序把所有情況列舉出來呢?想不想自己來嘗試一下?
學生自主填寫表格，教師巡視。
師：請你把你嘗試的過程與大家分享。
師：后面還要不要再嘗試下去?
師：腳少了，說明什么?增加誰的數量?
師：你為什么跳著猜測呢?
生：一個一個地試比較慢，就我隔一個試一次了。
生：腳少了，就增加兔子，增加一只兔就增加2只腳!增加2只兔就增加4只腳!
師：我沒明白，為什么增加1只兔不是增加4只腳呢?
學生陷入思考。
師：我們再來研究一下這個表格，把空格填完整，再看看數量間 有沒有什么數學規律。
學生觀察、討論、分享。
師：為什么是2只2只地變化呢?而不是4只4只地變化?
師：為了讓大家看得更加清楚，想得更加明白，我們借圖形朋友幫忙吧。
送教下鄉教學設計送教下鄉教學設計送教下鄉教學設計出示
理解：1只雞換成1只兔，腳就減少2只。
師：反過來呢?
引導發現：1只兔換成1只雞，腳減少2只。
【設計意圖】列表法雖然煩瑣，但這是一種重要的解決問題的策略和方法，是學習假設法的基礎，因此也是本課的重要教學內容之一。讓學生以填表的方式初步體驗雞兔同籠情況下隨著雞或兔只數的調整，腳的總數量的變化規律，為下面的學習做好鋪墊。
(四)數形結合理解假設法
1.假設全是雞。
出示表格：
雞
8
兔
8
腳
16
26
32
師：請再看表格左邊第一欄，8和0表示什么意思?
師：假設什么?這樣假設的結果會是什么呢?
師：腳實際是26只，為什么少了10只?少了誰的腳?
出示：換什么?換幾只?
學生獨立思考。
師:你們說得真好!你們能用算式表達出你們的想法嗎?
學生獨立寫算式，匯報。
師：10÷2=5，這里的“2”表示什么?是雞的腳嗎?
師：怎樣更清楚地表示2是相差的腳呢?
假設全部是兔子。
學生獨立解決。
3.比較兩種方法
師：你覺得列表法與假設法怎么樣?
【設計意圖】此環節是本課的重點，也是本課的難點，假設法的算理對于大部分學生來說，都是比較難以理解和掌握的。采用畫圖法，數形結合地引導學生根據圖較為完整、準確地說明算理，學會思考，學會解釋，可以讓學生更加直觀地感受假設法的優越性。
(五)建立模型，拓展應用
1.應用新知，解決問題。
師：如果讓你解決雞兔同籠，有35個頭，94只腳，雞兔各幾只?你會選擇什么方法?
2.雞兔同籠問題的發展
出示龜鶴問題。
師：與雞兔同籠問題有什么相似的地方?誰可以看成雞，誰看成兔?
3.出示歌謠
“一隊獵人一隊狗，兩隊并成一隊走。數頭一共是十二，數腳一共四十二。”
師：誰看成雞，誰看成兔?
師：研究雞兔同籠問題并不在于問題本身，而是用解決雞兔同籠問題的方法去解決生活中類似的問題。
【設計意圖】獨立解決《孫子算經》中原題，閱讀古人解決“雞兔同籠”問題的方法，了解中國古代人民的智慧，增強民族自豪感。列舉生活中的“雞兔同籠”問題模型，幫助學生建立模型思想，舉一反三，觸類旁通、提高解決問題能力。
小學四年級數學下冊《數學廣角--雞兔同籠》教案優秀范文三一、教材分析：
“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，它在培養學生邏輯推理能力的同時使學生體會代數方法的一般性。解決這類問題時，教材展示了學生逐步解決問題的過程。“假設法”有利于培養學生的邏輯推理能力，列方程則有助于學生體會代數方法的一般性。因此在解決“雞兔同籠”問題時，學生選用哪種方法均可，不強求用某一種方法。
二、學情分析：
(1)“雞兔同籠”問題是我國古代著名數學趣題，容易激發學生的探究興趣。
(2)列方程解答此類問題數量關系直觀易懂，要加以提倡。
(3)“假設法”對學生來說比較陌生，教學中要抓住其特點，講解算理，讓學生逐步掌握，根據具體問題引導學生分析理解，拓寬學生思維。
三、教學目標：
1.知識與技能
使學生了解“雞兔同籠”問題的結構特點，掌握用列表法和假設法解決問題，初步形成解決此類問題的一般性策略。
2.過程與方法
通過自主探索，合作交流，讓學生經歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問題的過程，使學生體會解題策略的多樣性，滲透化繁為簡的思想。
3.情感態度與價值觀
使學生感受古代數學問題的趣味性，體會到“雞兔同籠”問題在生活中的廣泛應用，提高學習數學的興趣。
四、教學重點：嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，體會用假設法解決問題的優越性。
五、教學難點：理解用假設法解決“雞兔同籠”問題的算理。
六、教學過程：
(一)創設情景，提出問題。
1.同學們今天老師將和大家一起來學習一道我國古代非常有名的數學趣題，“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何?”(PPT投影展示原題)這四句話是什么意思呢?
指生回答(籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有35個頭;從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只?
2.有誰知道這類題我們把它叫做什么問題嗎?(雞兔同籠)板書。
雞兔同籠問題是我國古代三大趣題之一，記載于《孫子算經》一書中，距今已有1500多年。
(二)探究交流，嘗試解決問題。
1.為了研究方便，我們把題目里的數字改小一點。
“籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有8個頭;從下面數，有26條腿。雞和兔各有幾只?”(說明：為了便于分析時敘述，把“26只腳”改成了“26條腿”課件出示)
2.我們共同閱讀被關在同一個籠子里的雞和兔給我們帶來了哪些數學信息?
讓學生理解：①雞和兔共8只。②雞和兔共有26條腿。 ③雞有2條腿。 ④兔有4條腿。(課件出示)
3.我們先來猜猜，籠子中可能會有幾只雞幾只兔呢?學生猜測，在猜測時要抓住哪個條件呢?(雞和兔一共是8只)那是不是抓住了這個條件就一定能猜對呢?
學生猜測，老師板書
4.怎樣才能確定你們猜測的結果對不對?(把雞的腿和兔的腿加起來看等不等于26。
)
①嘗試列表法
為了研究老師把所有的可能按順序列出來了，我們先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思?(就是有8只雞和0只兔，也就是假設籠子里全是雞，)那籠子里是不是全是雞呢?(不是)那就是把里面的兔也看成雞來計算了，那把一只4條腿的兔當成一只2條腿的雞來算會有什么結果呢?(就會少算兩條腿)(課件出示。)
②假設全是雞
8×2=16(條)(如果把兔全當成雞一共就有8×2=16條腿)
26-16=10(條)(把兔看成雞來算，4條腿兔有當成兩條腿的雞算，每只兔就少了兩條腿，10條腿是少算了兔的腿)
4-2=2(假設全是雞，是把4條腿的兔有當成兩條腿的雞。所以4-2表示是一只兔當成一只雞就要少算2條腿。)
10÷2=5(只)兔(那把多少只兔當成雞算就會少10條腿呢?就看10里面有幾個2就是把幾只兔當成了雞來算，所以10÷2=5就是兔的只數。)
8-5=3(只)雞(用雞兔的總只數減去兔的只數就是雞的只數，8-5=3只雞)
算出來后，我們還要檢驗算的對不對，誰愿意口頭檢驗。
生：3×2+5×4=26(只)，5+3=8(只)。
師：看來做對了，最后寫上答語。
③假設全是兔
我們再回到表格中，看看右起第一列中的0和8是什么意思?(籠子里全是兔)那是不是全都是兔呢?(不是)也就是假設籠子里全是兔。那把兔當了雞在算。那就是把里面的雞也當成兔來計算了，那把一只2條腿的雞當成一只4條腿的兔來算會有什么結果呢?(就會多算兩條腿)(課件出示：把一只雞當成一只兔算，就多了兩條腿)
先用假設全是雞的辦法解決了這個問題，現在假設全是兔又應該怎么分析和解決這個問題呢?同學們能自己解決嗎?如果有困難可以同桌邊或小組討論。
小結：剛才我們假設都是雞或都是兔，所以把這種方法叫做假設法。這種方法能化難為易，是解答雞兔同籠問題的一種基本方法。(板書：假設法)
小結：請同學們回憶一下，在解決雞兔同籠問題時，用到了哪些方法?(列表法、假設法)
好，讓我們一起再次回到1500年前的這道題目：(出示課件)，看看古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題的?
1.假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還有26÷2=13只腳。
2.這時每只雞一只腳，每只兔子兩只腳。
籠子里只要有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。
3.這時腳的總數與頭的總數之差13-8=5，就是兔子的只數。
(三)練習鞏固，反思提升。
1.課件出示“做一做”
生活中“雞兔同籠”的問題。
(1)龜鶴問題
有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜、鶴各有幾只?
集體反饋。
(2)新星小學“環保衛士”小分隊12人參加植樹活動。男生?a href='///yangsheng/kesou/' target='_blank'>咳嗽粵?棵樹，女生每人栽了2棵樹，一共栽了32棵樹。男、女生各有幾人?
(3)引導學生建立“雞兔同籠”問題的數學模型。
看來雞兔問題這類問題我們不只局限算雞和兔的只數問題上，只要能用“雞兔同籠”問題來解答的問題都可以統一叫做“雞兔同籠”問題。今后我們就用剛才學到的“雞兔同籠”方法，來幫我們解決生活中遇到的一些實際問題。
(四)總結。
本節課你有什么收獲?你們對自己這節課的表現滿意嗎?
(五)課外延伸與作業。
1.閱讀并思考：課本105頁的“閱讀資料”
2.完成練十六的1-3題
小學四年級數學下冊《數學廣角--雞兔同籠》教案優秀范文四教學目標：
1、對日常生活中的現象進行觀察和思考，引導學生從中發現特殊規律，使學生掌握用列表的方法來解決“雞兔同籠”的問題。
2、從不同的角度分析問題，掌握解題的策略與方法，從而感受到數學思想的運用和解決實際問題的聯系。
3、培養學生分析問題的能力，滲透假設的數學思想，在解題中數形結合，提高學生對數據的再認識，再分析，將列表的過程更優化。
教學重點：從不同的角度分析，掌握解題的策略與方法。
教學流程：
一、創設情境，明確目標
1、談話：“同學們，自我介紹一下，我姓周，你們可以稱呼我?今天需要我們共同配合，在這里上一節數學課，為了表達謝意，我為你們帶來了一些禮物，快來猜一猜，有多少?(5…)太少了?(50…)多了，(40…)少了(45…)差不多了，(46…)恭喜你，答對了，下課就由你發給同學們。
2、喜歡數學嗎?數學不但可以開闊我們的視野，增長我們的'知識，還可以鍛煉我們的思維。
在我國古代就有許多有趣的數學名題，你們了解嗎?今天，。老師就向你們推薦一種有趣的問題------雞兔同籠。
二、自主探索，合作交流
1 出示問題：“雞兔同籠，有5個頭，14條腿，雞兔各有幾只?”
(1)你從中獲取什么信息?……
(2)請你們猜一猜將雞、兔可能是幾只?(……)
(3)把你猜的過程給大家說一說
(4)板書學生的過程
雞 1 2 3
兔 4 3 2
腿 18 16 14
(4)評價：從嘗試簡單的開始，一個一個的試，最終找到了正確的答案，方法多么簡單啊?如果我們再橫豎加上幾條線，就成了美觀的表格。看來，列表來解決這類問題還確實簡單，如果現在將雞兔的數量增加，還能解決嗎?(重點引入列表)
2、出示：“雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞兔各幾只?”
(1)自己先想一想如何利用列表來解決?
(2)小組內交流一下自己的想法。
(3)獨立完成列表。
(4)匯報想法和過程
小組1：逐一列表------假設雞有1只，兔子有19只，那么就有78條腿，(腿多了，說明什么?兔子多了，怎么辦?)雞有2只，兔子有18只，那么就有76條腿，一只一只地試，學生把試的結果列成表格。
通過表格引導學生觀察：發現了什么?(每多一只雞，少一只兔子，相應減少2條腿，)
小組2：跳躍式列表------假設雞有1只，兔子有19只，那么就有78條腿，要比54條腿多的多，因此，兔子的只數也可能多了很多，但是雞的只數可以不用一只一只依次遞增，而是從猜一只到猜5只(或者其它幾只)，當腿的條數在50到60之間，(提出問題：兔子可能是幾只?到底是誰估計的更加接近呢?)
引導發現：這樣就減少舉例的次數。并通過數據的調整來優化解題策略。
小組3：取中列表------假設雞兔各有10只
小組4：方程
小組5;奧書班中學習過算術方法(讓孩子清楚表達出自己的想法)
三、適時反思，掌握策略(兩題任選其一)
“同學們，雞兔同籠”
1、觀察三種列表的方法，比較異同?
2、談一談;你們有什么感受?
四、深化練習，拓展延伸
1、課后練習1、2、3(比較不同-----答案是否唯一)
2、通過今天的學習，有什么收獲?
小學四年級數學下冊《數學廣角--雞兔同籠》教案優秀范文五教學目標：
1、了解雞兔同籠問題，掌握用列表法、假設法的方法解決雞兔同籠問題的解題思路。
并能用不同的方法解決與雞兔同籠有關的問題。
2、讓學生在自主探索、嘗試、合作學習的過程中，經歷用不同方法解決雞兔同籠問題的過程，使學生體會用方程解雞兔同籠問題的一般性。
3、了解我國古人解雞兔同籠問題的方法，感受其趣味性。
教學重點：
嘗試用不同的方法解決雞兔同籠問題，在嘗試中培養學生的思維能力。
教學難點：
在解決問題的過程中，培養學生的邏輯思維能力。
教法：分析、引導
學法：自主探究
課前準備：多媒體。
教學過程：
一、定向導學：2分鐘
1、師：同學們，你們知道嗎，大約在1500年前，我國古代的數學名著《孫子算經》中，記載著一道有趣的數學題：(課件出示，題略)你們知道這道題的意思嗎?
生：……(課件演示)
師：這就是有趣的“雞兔同籠”問題。(板書課題)今天我們就一起研究這一問題。
2、學習目標：
掌握用列表法、假設法或列方程的.方法解決雞兔同籠問題的解題思路。并能用不同的方法解決與雞兔同籠有關的問題。
二、自主探究：8分鐘
內容：課本p104例1的(1)
時間：5分鐘
方法：邊看書邊完成下面要求：
1、“雞兔同籠”這四個字是什么意思?
2、書上用了()種方法來解決這個問題。
3、我們共同閱讀被關在同一個籠子里的雞和兔給我們帶來了哪些信息?
生理解：
(1)雞和兔共8只;
(2)雞和兔共有26只腳;
(3)雞有2只腳;
(4)兔有4只腳;
(5)兔比雞多2只腳。(課件演示)
師：那問題是什么?
生：雞和兔各有多少只?
3、猜一猜：
師：請同學們猜一猜雞和兔可能各有多少只?(學生猜測)還有其它的猜測嗎?
4、介紹列表法：
師：你們猜出的結果雞和兔的總只數都是8只，但是你們猜想的結果都正確嗎?到底哪個是正確的呢?下面請同學們把你們的猜想整理到這張表格中，并進行調整，看看哪個結果才是共有26只腳。(學生活動)
學生匯報整理后的表格，教師板書學生整理后的表格。(邊板書，邊理解填表過程)
雞
兔
腳
5、觀察發現，列式計算
三、合作交流：5分鐘
假設全是兔，怎樣解決?試一試。
四、質疑探究：5分鐘
解決雞兔同籠這類問題，有幾種假設的方法?
五、小結檢測：20分鐘
1、小結方法：
同學們真了不起，剛才我們在解決雞兔同籠的問題時，用到了多種方法：列表法，假設法。
2、檢測：
a、問答：
(1)如果老師讓你們解決《孫子算經》中的原題，你會選哪種方法解決呢?
為什么不選擇列表法?難?為什么難?(要列舉的情況很多)有沒有好的辦法?(有沒有不用列舉那么多就能找到答案呢)
(2)如果一定要你用列表法解答你有什么辦法?學生討論。(教師引導列表折半調整。)
(注：如果前面出現了折半列表，就把這個環節提前講。)
(3)其實在我們生活當中類似于雞兔同籠的問題有很多的，這些問題都可以用不同的方法去解決，下面請同學們用自己喜歡的方法做一些題目?
b、解決問題
(1)有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共112條，龜和鶴各有多少只?
(2)全班一共有38人，共租了8條船，每條大船乘6人，每條小船乘4人，每條船都坐滿了。問大船和小船各多少條?
(3)新星小學”環保衛士”小分隊12人參加植樹活動。男同學每人栽了3棵樹，女同學每人栽了2棵樹，一共栽了32棵樹。男女同學各幾人?
作業：p106;1、2、3。
板書：
雞兔同籠
假設全是雞，就有腳8×2=16(只)
比實際少26—16=10(只)
一只雞比一只兔少4—2=2(只)
兔子：10÷2=5(只)
關鍵詞：數學語言；說數學；實踐探究
1981年英國“學校數學調查委員會”向政府提交的《Cockcroft報告》提出了“數學交流”。報告指出，教數學的主要理由在于“數學提供了有力的、簡潔的和準確無誤的交流信息的手段”。前蘇聯數學教育家斯托利亞爾在《數學教育學》一書中指出：“數學教學也就是數學語言的教學。”數學語言是數學思維的載體，交流是思維活動的重要環節，數學交流的形式有很多種，其中“說數學”是數學交流的重要形式之一。“說數學”是指個體用口頭表達自己對數學問題的具體認識、理解，解決數學問題的思路、思想和方法，以及數學學習的情感體會等數學學習活動。“說數學”有利于學生口頭表達能力的提高，有利于培養學生的邏輯思維能力，有利于學生表達解決問題的思考過程，有利于優化課堂氣氛，激發學生學習積極性，提高課堂教學效果。
一、“說數學”的案例探究
一般數學問題的解決“說數學”過程可概括為“說題意”“說思路”“說解法”“說體會”。“說題意”就是要求學生在審題時，用自己的話復述題意，加深對題意的理解。“說思路”就是要求學生在解答數學問題時，能夠用一定的術語有理、有據、有層次地表達解題的思維過程。“說解法”就是讓學生根據自己的思路列出解題過程，然后分步說出每道算式分別代表什么。“說體會”就是讓學生回顧反思自己解決問題的過程，說說自己的情感體會。下面就人教版第十一冊“雞兔同籠”問題的教學過程進行“說數學”的實踐探究。
1. 說題意——弄清題意
片段一：
課件出示主題圖和原題：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各有幾只？
師：你能說說這道題是什么意思嗎？
生：這道題的意思是——現在，雞和兔在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問雞和兔各有多少只？
師：是的，原題就是這個意思。這就是有趣的“雞兔同籠”問題。（板書課題）今天我們就一起研究這個問題。
師：數學家在研究一類問題時，往往會從簡單的開始。今天我們就從簡單的雞兔同籠開始。
（出示）籠子里有若干只雞兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳，雞和兔各有幾只？
師：題目告訴了我們什么？要我們求什么？
生：題目告訴了我們雞和兔的頭數共有8個，它們共有26只腳，求雞和兔各有多少只。
師：那么在計算這個題目之前，我們一起來猜一猜，你認為雞和兔各有幾只？
生1：我認為兔有5只，雞3只。
生2：兔有4只，雞有4只。
生3：兔有3只，雞有5只。
師：不管怎么猜，我們都應該抓住題中什么樣的條件來猜？
生：應該抓住頭數8個來猜。
師：是不是抓住這個條件，就一定可以猜對呢？
生：不是，還得考慮它們腳共有26只。
讓學生用簡潔的語言敘述題意或數量關系，可以加深學生對數量關系的理解，能培養學生良好的審題習慣，也能培養學生的概括能力。
2. 說思路——擬訂計劃
片段二：
師：下面誰愿意來交流一下自己的想法。
生1：我是用列方程的方法解，先設兔為x只，因為雞兔共有8只，所以雞就為（8-x）只，每只兔有4只腳，x只兔就有4x只腳，每只雞有2只腳，（8-x）只就有2（8-x）只腳了，然后根據它們共有26只腳，把兔的腳跟雞的腳加起來列一個方程，就可以解出x，也就是兔有幾只了，然后再根據兔的只數就可以算出雞的只數。
生2：我也是用列方程的方法解的，我先設雞為x只，然后兔就為（8-x）只，每只雞有2只腳，x只雞就有2x只腳，每只兔有4只腳，（8-x）只就有4（8-x）只腳了，然后也是根據它們共有26只腳，把雞的腳跟兔的腳加起來列一個方程，就可以解出x，也就是有幾只雞，然后再根據雞的只數再算出兔的只數。
師：真不錯，你們都是用列方程的方法解的，那么這道題有幾個未知數的量？
生：這道題有兩個未知數的量，一個是兔的只數，另一個是雞的只數。
師：我們在列方程的時候，抓的是什么跟什么相等？
生：兔的腳的只數加上雞的腳的只數就等于它們一共的腳的只數。
師：誰還有不同的方法？
生3：老師，我是用假設法解的，我先假設籠子里8只全是雞，
師：說的真好，下面請同學們根據剛才的思路，選擇自己喜歡的方法，然后將你的解題過程寫在練習本上。
有些學生雖然能把題目正確地解答出來，但不一定能把思考過程說得清清楚楚。讓學生說思路，能讓教師了解學生的分析、解決數學問題的能力水平，比較清楚地了解學生的語言障礙情況，有利于提高學生的元認知能力。
3. 說體會——回顧反思
片段四：
師：今天我們解決了一個什么問題？你有什么收獲？
生1：我學會了用方程解題，用方程解題思路清晰，只要弄清題目，列出一個等式就可以了。
生2：我學會了用假設法解題，我覺得用假設法解決“雞兔同籠”問題很簡單。
生3：老師，我掌握了列方程解“雞兔同籠”問題的一般步驟和方法。
生4：老師，起先我不懂，剛看了這幾位同學的解題過程，我終于明白了，現在我也會做了。
數學本身是一種語言，一種簡約的科學語言。許多學生難以學好數學的重要原因之一是數學語言障礙。“說數學”可以鍛煉學生的數學語言運用能力，它體現了學生在數學學習中的主體地位，是教學信息反饋的重要渠道，更是踐行過程性評價理念的良好體現。在數學教學過程中，教師應努力為學生創設“說數學”的機會，讓學生在交流中感受數學，體驗我們的生活離不開數學，萌發要學數學的心理需求。
參考文獻：
[1]鐘進均，朱維宗.從默會知識例析“說數學”[J].中學數學研究，2009（9）.
一、課前準備
為了讓學生能通過本節課的學習，能輕松利用二元一次方程組來解決一系列的古代應用題問題，培養他們熱愛我國古代文化，從而提高他們善于思考、勇于探索的精神，我在課前做了大量的準備工作。
1、收集了我國古代四大名著：《紅樓夢》、《西游記》、《水滸傳》、《三國演義》，并整理了我國古代有關數學的著作：《周髀算經》、《孫子算經》《五曹算經》、《張丘建算經》《九章算術》、《算法統宗》、《海島算經》 、《夏侯陽算經》等。
2、從古代數學著作中選取了一些能用二元一次方程組來解題的一些古代應用題。
3、制作了豐富多彩且具有古代特色和現代氣息的多媒體課件。
4、準備了一些教具和一些小品。
二、課堂操作
（一）課堂引入
教師導入：同學們知道我國文學史上的四大名著是哪些嗎？《紅樓夢》、《西游記》、《水滸傳》、《三國演義》；我們數學方面也有許多著作，比如：《周髀算經》、《孫子算經》《五曹算經》、《張丘建算經》《九章算術》、《算法統宗》《海島算經》 、《夏侯陽算經》等，在這些著作中也流傳著許多有趣的數學故事，例如大約早在1500年前《孫子算經》中記載著這樣一道有趣的數學題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？與此同時，教師用多媒體先展示我國四大名著的封面，再展示古代數學著作的封面，再從《孫子算經》這本書跳出雞兔同籠這個應用題。
這樣的設計，不光是讓學生穿越時光回到古代來認識我國的古代文化，更多的是讓學生體會我國古人不光是在古代文學中的造詣，更體現在數學文化領域，以此來培養學生熱愛數學、學好數學的目的。
（二）進入新課
1、對“雞兔同籠”應用題的處理
當《雞兔同籠》這個古代應用題出來以后，我首先請了一個同學將這一個問題翻譯成現在的數學應用題形式。然后拋出列方程解應用題的A、B、C分析法：
例1：我國《孫子算經》卷下著名的“雉兔同籠”：上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？
分析：題目大意是：
請你完成本題的標準解答
通過以上操作，同學們很快就能解決這“雞兔同籠”這個應用題。
2、對古代買東西問題應用題的處理
為了增加同學解古代應用題的興趣，在例如后面我設置了一個有關古代買東西問題的變式應用題：“今有牛五、羊二、直金十兩，牛二、羊五，直金八兩，牛、羊各直金幾何？”
為了更大限度地增加同學們的學習興趣和參與度，我將課堂文化與古代文化相結合，編寫了一個情況劇，請了班級一個小組的同學扮演了不同的角色來表演了古代交易市場，但要求表演中一定要體現出以上數量和等量的關系。通過表演，同學很直觀地感受到了這個古代應用題間的等量關系，數學問題游刃而解。通過表演，不僅提高了學生課堂的參與度，更極大地激了學生本節課的學習興趣，同時，也使課堂文化達到了第一個！
3、對“以繩測井”問題的處理
“以繩測井”問題又是古代一個比較著名和典型的一個應用題：
例2：以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長，井深各幾何？
在這個問題的處理中，首先我用多媒體展示了關于測井的圖片：
然后再用事先準備好的教具：燒杯的繩子，讓部分學生來演示“三折測之”和“四折測之”是如何進行測量的。
最后，我在黑板上畫出了兩種測量方法的，并讓同學們利用示意圖用多種方法來找等量關系，從而利用多種方法來解決這個問題。
通過以上操作，我們通過具體的情境和交流，讓學生對從實際問題抽象出數學問題，再從數學問題從來體味數學的文化價值的課堂文化，這樣的課堂，不僅讓學生學到了數學知識，還幫助了學生學會分析問題、解決問題的辦法。
3、敵狗應用問題的處理
最后，為了活躍一些課堂的氣氛，我設置了一道有趣的古代應用題：“一隊敵人一隊狗，兩隊并成一隊走，腦袋共有八十個，卻有二百條腿走，請君仔細數一數，多少敵軍多少狗？”
設計些題的目的三個：
（1）通過這個有趣的應用題活躍課堂的氣氛；
（2）增加數學文化的價值規律
（3）提醒學生雖然我們古代創造了燦爛的文明，當代盛事經濟高速發展，但我們的敵人卻無處不在，培養學生熱愛學習、熱愛祖國的美好情操。
這個題的比較簡單，在課堂中的處理，我主要是上每一組派一名成績較差的同學上黑板進行板書解答，并讓每組最好的同學上臺就他們的板書情況進行糾正和評價。
三、課后反思
這是一堂集古代文化、課堂文化和現實相融合的一堂數學課，這堂數學的價值已然超過了數學知識產權本身，對我的整個教學的觸動都很大，因此，在課后，就本堂課的教學我作了一點自己的感悟和反思。
1、大敢轉換情境，提高情境“關聯性”。
課堂教學中教師要創設學生喜聞樂見的教學情境，使學生始終處于一種良好的愉悅的氛圍中，從而調動學生學習數學的興趣，發展學生的思維能力。還要注重對學生進行引導，讓學生通過觀察、操作、討論、思考發現并掌握知識，時刻把學生推到學習的主體地位，在一個恰當的主題中學習數學，發展能力。基于這一點，本節課的內容在開始的時候設置主要以古代應用題為情景，從而引入本課題。再課件出示《孫子算經》及雞兔同籠問題，一石激起千層浪，雞兔怎能同籠？學生的探究欲望馬上調動起來，這時，又讓學生了解“經典”，感受 “經典”。
2、鼓勵參與，在合作中提高學習效率。
根據《新課程標準》在課程設置中強調學生是學習的主人，在學習過程中盡可能多的為學生提供探索和交流的空間，鼓勵學生自主探索與合作交流。本節課中，我主要通過小組表演、展示和交流，學生討論等，讓學生體會到用二元一次方程組解決古代實際問題的優點。
2、鼓勵學生參與反思與總結
課后，我看到學生余游未盡，我鼓勵學生不斷思考、善于總結，讓學生在本節課的余溫中回味學習的樂趣，感受數學文化和古代文化的無窮魅力。因些，我本節課給同學們布置了三個作業，以些讓學生思考更的數學文化的價值。
（1）能過本節課的學習，寫一個300字左右的課堂小結；
（2）收信更多的有關古代的數學試題；
關鍵詞：建模；經歷；過程；模型思想
如何引導學生經歷建模過程，形成模型思想呢？筆者認為應努力做好以下幾個方面：
一、把握知識本源，精選建模內容
在小學數學教學中，并不是所有內容都適合開展建模教學的。這就要求我們要不斷學習，努力增加專業知識的“寬度”和“厚度”，充分把握數學知識的本源，精心選擇適合建模教學的內容。用建模的思想解讀教材，認真思考生活中的這一現象可以提出什么樣的問題，這個問題可以抽象出一個什么模型，這個模型怎樣求解，用這個模型還可以解釋生活中的哪些現象？
例如：生活中存在“雞兔同籠”的問題，它的數學模型就是二元一次整數方程。在教學中我們要引導學生觀察這類問題的特征，即告知兩個未知量的和以及兩個未知量之間一定的量值關系，求未知量。再引導學生探索這種模型的解決方法，即“假設法”，并引導學生從畫圖、列舉、替換等不同的角度去理解“假設法”。我們還應明白，我們探索這一問題的解法，并不僅僅是為了解決雞兔同籠這個問題，而是為了解決符合“雞兔同籠”特征的這一類問題，例如：“龜鶴同游”問題、“強盜和狗”的問題、汽車和自行車的輪子問題、兩種面值的錢混放時錢的張數問題等等。使學生在經歷建模的學習過程中解決問題、發展思維、提升能力。
二、創設合理情境，誘發數學問題
教學素材的選用應當充分考慮學生的認知水平和生活經驗。這些素材應當在反映數學本質的前提下盡可能地貼近學生的生活現實、數學現實。情境的創設要能引發學生的數學思考，誘發學生提出數學問題，把生活中的“事理”上升為“數理”，從而經歷一個生活中的問題模型化的過程。
例如：在執教蘇教版四年級上冊“間隔排列找規律”時恰逢六十周年大慶，筆者先播放了人們歡度“國慶”的視頻，然后定格在太子山公園鮮花和盆景、彩旗和燈籠間隔排列的畫面上。由于太子山公園是孩子們最熟悉的本地公園，不少孩子剛過了“國慶節”。這一情境的創設，極大地激活了學生的生活經驗，調動了學生學習的積極性。筆者引導學生觀察思考：從圖中你能得到哪些數學信息，發現什么規律？你能提出什么數學問題？學生在觀察、討論、交流中發現問題、提出問題。這一“模型準備”過程，為進一步抽象出“一一對應”的數學模型做好了充分的認知準備和心理準備。
三、導學探究結合，構建數學模型
在學習過程中，為了既準確又簡便地解決所提出的問題，我們要從眾多因素中抓住幾個關鍵的因素，簡化抽象出問題的數學本質，用直觀的、形式化、符號化的圖形、方程、函數、不等式等“模型”來代替要研究的問題。教師要引導和激勵學生充分發揮學習的主觀能動性，主動參與操作、觀察、思考、討論、交流、匯報等數學思維活動過程，在這一過程中提升能力，增強自信心，體驗成功的快樂。
例如：在剛才的“間隔排列找規律”案例中，老師引導學生觀察太子山公園鮮花和盆景、彩旗和燈籠的排列有什么共同的特點？你能用自己喜歡的圖形、文字、符號把這種共同的特點表示出來嗎？請你先獨立試一試，再在小組內交流。老師引導學生展示匯報，說出自己的想法。老師統一用圓形代表一種物體，再用三角代替另一種物體，抽象出“”這樣的模型，再引導學生用一一對應的思想進行模型求解。在這個過程中，教師引導學生進行了充分的動手操作、合作交流和自主探究，經歷了構建數學模型的過程，并在此過程中提升了數學能力，發展了數W思維。
四、組織深入探究，引導模型求解
構建數學模型之后，教師要引導學生進一步深層探究，讓學生經歷模型求解的過程。模型求解是小學數學建模教學中的重要一環，將直接影響問題的解決和模型的推廣應用。因此，在教學中我們要讓學生充分經歷模型求解的過程。
一、嘗試運用策略，培養策略意識
學生已有的知識和生活經驗是形成策略的前提條件，在此基礎上，把這些解決問題的一般方法上升為數學思考，才能促進策略的形成。在教學“解決問題的策略”的時候，教師必須通過創設相應的問題情境，喚醒學生相關的生活經驗，激活相關的知識儲備，才能為形成解決問題的策略做好鋪墊。筆者在執教“解決問題的策略―――假設”一課時，考慮到學生已學習了“畫圖”“列表”“列舉”等基本策略，把教科書“練一練”第一題“雞兔同籠”問題作為學生課前預學的內容，并根據學生預學的情況，調整自己的教學思路。通過學生預學情況反饋，我發現，大部分學生能用畫圖或列舉的策略順利解決這個問題，有一定的策略意識。于是，課上，我讓學生充分交流解決“雞兔同籠”問題的想法，學生交流的同時又發現了每次列舉過程中雞和兔腳的變化規律，初步感知兩種方法中都蘊含著假設的策略和調整的方法。但同時又發現列舉時情況太多，花了很多時間調整到正確結果。有沒有更簡捷的方法呢？于是，我讓學生帶著這個問題繼續研究。
二、探究優化策略，體驗策略價值
因為“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行，心中悟出始知深”，所以教師應讓學生親自探究，形成自己的行為能力。在研究例2時，我讓學生按照下面的流程去感悟“假設”這一策略。
嘗試：在交流完學生預學作業后，我直接呈現了書本上的例2：全班42人去公園劃船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？
交流：放手讓學生自主解決問題，讓學生在自主解決問題以及交流過程中進一步感知假設的策略和運用假設策略解決問題的步驟（假設調整檢驗）。這個環節雖然學生對假設的策略有了更深的感悟，但在調整這個環節上還是存在著很大的難度，于是，我安排學生在同桌之間互相說一說調整的過程，進一步掌握調整的方法。
優化：在學生展示畫圖、列表列舉的方法后，教師進行引導：大船和小船的數量應該怎么調整呢？能不能猜測一種情況根據變化規律很快地或一步調到正確結果？于是，有的學生假設全部是大船，總人數增加了，需要將大船調整成小船，要調整幾只大船，也有的學生試著假設全是小船的情況進行調整。最后，我讓學生思考比較哪種方法更適合自己，鼓勵不同的學生用不同的方法來解決問題。
鞏固：出示練一練2，你準備借助什么方法來幫助你調整解決這個問題呢？學生會提出畫圖和列表兩種，這時可以讓學生選擇，并說說為什么你們都選擇列表或計算的方法，讓學生進一步體驗“假設”策略的價值、熟悉“假設”策略的使用方法。
三、回顧反思策略，提升策略能力
回顧反思是培養學生元認知能力和促進學生形成內化解題策略的最關鍵環節。因此，指導學生解決問題后，教師要指導學生學會進行回顧反思，在反思的過程中抽取策略。
一、在課堂中滲透數學基本思想
數學的精髓是什么？學習數學的價值是什么？這些都指向數學思想，這是新課程標準對數學教師所提出的基本理念。對數學基本思想的體會和感悟必須融入到數學知識、技能的學習之中，必須持續不斷、螺旋式地進行滲透。
1.經歷抽象，感悟思維之美
馮·諾依曼說過，數學思想方法一旦被構思出來，這門學科就開始經歷它本身所特有的生命。抽象的開始就是數學的產生，如概念、法則、公式等都是抽象的結果。抽象思想派生出分類思想、集合思想、數形結合思想等。如特級教師徐斌在教學“雞兔同籠”時，就采用了畫圖法，用“”表示頭、用“|”表示腳數，用“ ”表示雞；用“ ”表示兔。這些“符號畫”既是形象的圖畫，又是抽象的符號，讓學生在圖畫中了解“添腳法”和“去腳法”，這種數形結合的方法如同形象思維向抽象思維過渡的“腳手架”，把復雜的“雞兔同籠”問題演繹得如此簡單，學生不但掌握了基本的數學知識和技能，更深化了數學思想。數學學習必須讓學生品味數學抽象的價值與魅力，經歷數學抽象之旅，感受數學抽象思維的魅力。
2.重視推理，發展學生智慧
推理是指人們以反映客觀規律的理論或事實為依據，推測事物求知部分的思維方法，這是根據一個或幾個未知的命題推出一個新命題的思維形態。推理思想衍生出歸納思想、演繹思想、化歸思想、轉化思想等。如在推導“平行四邊形的面積”公式時，筆者讓學生自己研究如何轉化成已知的圖形來推導公式，學生很快就通過剪、拼、移，把平行四邊形轉化成長方形，推導出平行四邊形的面積公式：面積=底×高。此外，三角形的面積、梯形的面積、圓的面積、圓柱的體積、圓錐的體積等的學習都可以利用轉化思想來進行。轉化在計算領域也功不可沒，如小數的乘除法可以轉化成整數的乘除法。總之，教師不僅要重視學生思維的形成，還要培養他們的推理能力，尤其要精心提供推理的材料，重視推理的方法，發展學生的智慧。
3.構建模型，積累活動經驗
新課標指出，數學活動應體現“問題情境——建立模型——求解驗證”的過程，這個過程要有利于學生理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想、積累數學思維活動經驗，促進學生的全面發展。如在教學《植樹問題》一課時，筆者先引導學生從問題入手，數形結合，用畫圖或擺小棒的方法，尋找“點與間隔”的內在規律，然后再引導學生建立模型：總長÷間隔長=間隔數、間隔數+1=棵數（兩端都種），然后再進一步引導學生解釋與應用模型，讓學生的模型思想得到進一步鞏固，最后再進行模型的拓展，如探究“一端種一端不種”或“兩端都不種”的植樹問題。在這些訓練中，學生構建起“植樹問題”的數學模型，將復雜的問題簡化，同時積累數學活動經驗，學會數學思考。
二、在課堂中強化數學基本思想
關鍵詞：小學數學 愉快教學 探索
由于升學的壓力，數學成了學生的負擔，有的學生逐漸討厭數學、冷漠數學課。為此，教師不得不反思教學過程、研究教學策略，創造快樂數學課堂，使數學課不再枯燥下去。根據多年的教學實踐，筆者談談在新課程標準的指引下，如何讓小學數學課堂變成同學們快樂的學習圣地呢？
一、創設情境，創造活力
一堂課的開始，學生普遍存在著一種對未知的渴望，這種渴望情緒既強烈又短暫，教師應抓住這一良好契機，設法點燃學生心靈的火花，引起學生認知上的沖突，喚起求知欲望，變被動接受為主動索取。精心設計導語，在教學中能起到組織教學、激發興趣、啟迪思維的作用，同時它也能促使學生以旺盛的精力、積極的態度主動探索，實現由“要我學數學”到“我要學數學”、由“學會”到“會學”的轉變，使學生能輕松愉快地學。例如在上“求一個數的幾分之一是多少”一課時設計這樣的創設這樣的情境。
師：有4只小兔在樹林里玩耍。兔媽媽帶來了它們最喜歡吃的胡蘿卜（課件凸顯主題場景中的一盤胡蘿卜，上面有遮蓋，能看出是胡蘿卜，但看不出幾根）。
師：提出問題：要把這一盤胡蘿卜平均分給4只小兔，每只小兔可以分得這盤胡蘿卜的幾分之幾？（這樣就可以充分的調動學生的學習欲望而且是一種非常高興的心態來學習本節課的內容）
師：兔媽媽還帶來了一盤青菜和一盤蘑菇（課件出示遮蓋著的一盤青菜和一盤蘑菇）。
師：提出問題：把這盤青菜和這盤蘑菇也平均分給4只小兔，每只小兔可以分得這盤青菜的幾分之幾？分得這盤蘑菇的幾分之幾？
生：這盤青菜的1/4，這盤蘑菇的1/4。
師：為什么小兔分得的胡蘿卜、青菜和蘑菇都是一盤的1/4呢？
（把一盤胡蘿卜、一盤青菜、一盤蘑菇分別看作一個整體，各自平均分成4份，其中的1份都是這個整體的四分之一。）
二、動手操作，鼓舞學生
《新課標》指出：“有效的數學學習活動不是單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”。教學要成功就必須激發學生的學習興趣和求知欲望，讓學生積極主動地參與學習過程，使學習成為他們迫切的需要。興趣是一種力求認識、探索事物奧秘的心理傾向，這種心理和一定的情感體驗相聯系，人們一旦對某一事物發生興趣，就會產生一種尋求知識、探索真理的精神力量，甚至可以達到樂此不疲，廢寢忘食的地步。在教學中，可利用學生“好動、好奇”的心理，恰當地進行動手操作，在操作中有所發現，激起學習興趣，是他們主動地投入到學習過程中去。如教學“長方體和正方體的認識”時，教師則要求學生兩人為一小組，用學具制作一個長方體模型和一個正方體模型。學生在制作過程中一定會遇到不少問題，而這些問題正是由長方體和正方體具有的特征所造成的。因而在觀察自制模型討論長方體和正方體的特征時，學生借助形象思維很容易找出結論。而在學習了“長方形、正方形、三角形等圖形”認識后，教師又安排學生利用這些圖形的學具進行拼圖游戲。學生的積極性特別高，非常認真地拼，最后拼成了各種不同的圖案，如房子、機器人、小動物等。學生們爭先恐后地交流，情緒高昂，興趣盎然，他們體驗到數學的魅力，更加熱愛數學學科。
這樣，通過搭一搭、拉一拉、做一做、拼一拼等動手操作活動，不僅激發了學生的學習興趣，還使他們主動地從不同的角度去領會、感知、理解并逐步加深對所學知識的認識。
三、風趣語言，活躍氣氛
數學教師要把抽象的理論、課本的死知識講活，具有吸引力，使學生興致濃厚，就必須廣采百家語言之長，要向哲學學習語言的深刻；向邏輯學學習語言的嚴謹；向語言學學習語言的規范；還要學習語言的幽默，如果數學教師具備深厚的語言功底，既吃透教材精神，又掌握形象豐富的素材，那么，數學課一定會具有吸引力、感染力和說服力。例如有位教師在奧賽輔導中講雞兔同籠應用題“今有雞兔同籠，共有45個頭，116只腳，問雞兔各幾何？”此時，同學們議論紛紛，口算筆算并用而無法得出結果。這時老師下令：“全體兔子立正！提起兩只前足！”頓時全班同學開懷大笑。之后，老師又說：“現在兔子和雞落地的腳一樣了吧！雞兔共有多少只腳落地？”同學們順利的答出了2×45=90（只）。“少了多少？”同學們又答：“26只。”此時很多學生很快就發現了這26只就是兔子提起來的前足，因此，兔子有26÷2=13（只），雞有45-13=32（只）。
四、利用游戲，激發樂趣
游戲是兒童喜愛的娛樂活動，將游戲引課堂既可增加樂趣，使課堂生動活潑，又可以使學生在歡樂中學到知識。但在教學中要根據不同學科和不同教學內容，選用與教學內容有關的游戲活動。例如，有位老師編做了這樣一個游戲：“由老師提出10個較簡單的數學問題，請班上一個小組的同學集體回答，每個問題只準一個同學回答一次。答對一題得紅花10朵，答錯一題，不但不得花，還要從已得的花中扣回5朵。”當學生答對一題得到10朵紅花時，該組學生興高采烈，其余學生鼓掌祝賀。當學生答錯一題被老師收回5朵花時，該組學生很不服氣，其余學生開懷大笑。游戲做完后該組學生共得55朵花。最后，老師公布游戲結果，并要求學生將這個游戲編成一道應用題，計算該組學生共答對了幾題。通過這個游戲，既使學生復習了舊知識，鞏固了新知識，又使學生寓學習于游戲之中，真是一舉多得。
五、創造成功、給予激勵
【關鍵詞】 滲透；數學；思想
《數學課程標準》（修訂稿）明確把數學思想方法列入數學教學的培養目標. 若把數學知識比喻為金子，那么數學思想方法就是“點金術. ”數學思想方法已越來越被廣大數學教育工作者所關注. 縱觀現在數學課堂，課堂很活躍，但“活”偏離思維的本質，忽略了數學思想方法的滲透，也忽略學生思維的訓練. 如何構建富有思想，充滿智慧的數學課堂，需要教師深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數學思想方法滲透的各種因素，精心設計的教學過程，做到自然滲透、有機結合、潛移默化.
一、在導入中，滲透數學思想方法
教學中教師應抓住新舊知識之間的聯結點，創設情境，讓學生初步感悟數學的思想方法，為學生搭建有意建構的橋梁，讓學生運用轉化類比的數學思想方法進行合理的正遷移. 如：第十一冊“雞兔同籠”問題，對學生尤其是基礎不好的學生來說有一定的難度. 教學時我借助古代課堂的情境對《孫子算經》中記載的“雞兔同籠”原題“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”進行介紹，并通過學生冥思苦想該問題的畫面激發學生解決該類問題的興趣. 由于原題的數據比較在大，不便于學生探究，解決時會一定的困難. 導入時可引導學生從簡單的問題著手，讓學生初步體驗化繁為簡的數學思想方法的優越性，自然而然的滲透數學思想方法，又為新課的教學做了很好的鋪墊.
又如教學四年級上冊――對策論（田忌賽馬），在上新課之前我跟學生玩撲克牌比大小游戲，引出課題：“對策問題”. 接著通過講田忌賽馬故事讓學生感受田忌賽馬中的對策問題，引出探究的內容，提高了學生的學習興趣. 學生不由自主的進入了探索“最佳對策”的思索中，從學生已有的生活經驗出發，讓學生感到親切易懂. 同時，也使學生在輕松的氛圍中初步體驗對策論的方法在實際中的應用.
二、在探究中，領悟數學思想方法
探究新知是課堂教學中的主要環節，這也是學生數學知識發生、形成、發展的過程，更是數學思想方法產生、應用的過程. 在此過程中，向學生提供豐富的、典型的、正確的直觀背景材料，采取“問題情境――建立模型――解釋、應用與拓展”的模式，通過實際問題的研究，了解數學知識產生的背景，再現數學形成的過程，揭示知識發展的前景，滲透數學思想，使學生在掌握數學知識技能的同時，真正領略數學的精髓――數學思想方法.
如在教學五年上冊《平形四邊形面積》，我通過兩個層次的教學，引導學生主動探究，領悟數學思想方法.
第一層次：
1. 讓學生猜測. 先讓學生大膽地猜一猜，平行四邊形面積的大小跟哪些條件有關. 再讓學生猜一猜，平行四邊形的面積跟底和高有什么關系.
2. 自主探究，經歷知識的形成過程. 請學生拿出手中的平行四邊形紙片，利用手中的工具，采用你喜歡的方式探究平行四邊形面積的計算方法，驗證自己的猜想，并填寫實驗報告單.
3. 交流提升，初步感受轉化的數學思想方法. 學生可能用是用數方格的方法來驗證的. 也可能用剪、拼的方法驗證猜想的. 最后通過同學們的兩次驗證說明剛才多數同學的猜測是正確的. 剪、移、拼的方法實際上是一種轉化的數學思想，這種思想在以后的學習中會經常用到.
此層次的教學，教師重視學生直覺思維的培養和轉化思想的滲透，讓學生經歷猜想、操作、驗證、發現，感受知識的形成，讓的數學思想方法的滲透達到潤物細無聲的境界，
第二層次：
在動手探索出平行四邊形面積公式之后，可以這樣引導學生反思過程，感悟“轉化”的作用.
師：這個公式是怎樣得來的？
生：將平行四邊形轉化為長方形.
師：你覺得“轉化”在其中起到了一個什么作用？
生1：它把一個不能解決的問題變成了我們能夠解決的問題.
生2：通過轉化，我們用舊知識解決了新問題.
師：（總結）雖然采用的具體方法不同，但體現了一致的數學思想：都是將“新”問題轉化成“舊”問題.
此片斷教學中，教師不滿足于獲得公式，在熱鬧的動手操作之后啟動學生的理性思考，靜悟“方法”的作用，將轉化由“方法”的層面上升到“思想”的層面.
三、 在練習中，拓展數學思想方法
數學知識的鞏固，技能的形成智力的開發能力的培養等需要適量的練習才能實現. 練習是形成技能向能力的轉化，提高學生運用知識解決實際問題的能力，發展學生的思維能力，因此教師在練習中不僅要有具體知識技能訓練的要求，而且要有明確的數學思想方法教學要求.
如在教學平等四邊形的面積后我設計了如下的練習：
師：平行四邊形拉動可以變成長方形，那么長方形拉動就可變成平行四邊形. 現在有一個長10厘米、寬6厘米的長方形，拉動它，它會變成怎樣的平行四邊形？
學生猜測高是5，4，3……
根據學生回答，教師用幾何畫板演示動態的變化過程，并在高是5.1厘米、3.9厘米、2.5厘米、1.1厘米時停頓.
師：你有什么想說的？
生：平行四邊形越扁，面積就越小.
師：越扁就是說高？面積？（讓學生體會，底不變，高在不斷變小，面積也在不斷變小，）
反過來將平行四邊形再拉成長方形，再次感受變化過程. 師：拉的過程中，圖形的面積變了，高也在變，什么沒變？
生：底沒有變. 周長也沒有變. （讓學生體會，底不變，高在不斷變大，面積也在不斷變大）
關鍵詞：初中數學；學講方式； 素質教育
隨著人類社會突飛猛進的發展和教育事業大跨步的前進，怎樣培養出全面發展的高素質的人才成為我們各個教育者的神圣重任。在這樣的背景下，一大波教育者在長期的教學過程中不斷探索，不斷嘗試新的教學模式和教學方式，“學講方式”就是在這樣的形式下產生的。作為“學講教學”的踐行者之一，我總結了一些“學講方式”在初中數學教學中的一些作用。
一、促進教師的智慧轉型
（一）教師要統一認識，回歸到教學本真
“學講方式”的推崇和實施，促進了教師教學方式和教學行為的變革，表面上看起來是針對教師而言，其實和羅杰斯的“學生中心”、陶行知的“教學合一”的宗旨是一樣，都是以提高課堂教學效率、學生的主體地位為主，這是課堂改革的方向和必然趨勢。只有充分認識到實施“學講方式”的根本性，才能更有效的提高教師本身的教學素養和教學水平，在教學過程中遵循教育規律，回歸到教育的本真。
（二）教師要解放思想，集思廣益
我曾在講解“二元一次方程組與解決實際問題”中“雞兔同籠”時，思路解法較多。思路一假使雞抬一只腳 兔抬兩只腳；思路二假使雞和兔都抬兩只腳；思路三假使雞抬一只腳……這樣一來，學生再遇到類似于“雞兔同籠”的題目時，就知道怎么解題了，提高了學生課堂學習的效率。在這樣的基礎下，我學習到了羅杰斯的“學生中心”理論、艾賓浩斯的“遺忘曲線”理論、馬斯洛的“需要層次”理論、等等，將這些理論與實踐教學相結合，教學效果更佳。
二、凸顯了學生的主體地位
（一）讓學生參與課堂設計，豐富多彩
新課改的基本理念是把課堂還給學生，讓學生的主體地位回歸，這就要求教學要情境化，教師在教學過程中要盡可能的創造機會，讓學生主動參與到教學活動中，這樣不僅能激發學生的積極性，而且還能提高課堂教學效率。在教學實踐中讓學生參與到課堂設計中，學生發揮自己的想象力和創造力，課堂氣氛呈現出空前活躍，徹底實現了學生從被動學習到主動學習的轉化。比如：做游戲。我們都知道，游戲是用來放松心情、緩解壓力的，在教學過程中適當加入些游戲，可以讓學生適當的緩解一些壓力，還能活躍課堂氣氛，對學生良好的學習心境的形成有很大作用。比如在講解隨機事件與概率時，我讓學生設計了抽獎的游戲，一個小箱子里面分別放了7個白球、5個紅球、3個藍球、4個黃球、1個黑球，然后讓學生隨意抽取，大家想一想，抽到黑球的概率有多大？有的同學說是5%，有的同學說是20%，也有的同學說是50%，甚至有的同學說100%――其實啊，抽中黑球的概率可以是5%，也可以是20%，更可以是100%，主要是看你是第幾抽輪到你抽的時候還有多少個球！營造這樣的課堂氣氛，不僅達到了預期的效果，還在一定程度上提高了教學效率。
做科學實驗。數學教學要體現數學抽象化的特征。激發學生主動學習的有效手段之一就是讓學生質疑和驚奇。例如，面對一些帶有判斷性問題的時候，用不同的語調問學生“你確定嘛？”、“是這樣嗎？”，有時候體驗直觀判斷不一定正確，所以，在上課前我準備了一些小道具。摸象直觀是最容易看清事物本質的，它是人們后來經過經驗總結加工而成的。我用兩個量杯分別裝了水和油，使量杯里的水和油的高度保持在同一水平面，然后讓學生去觀察和比較，看看是油更多還是水更多，通過對比發現水和油是一樣的，實物直觀很容易模糊事物的本質特征，直觀體驗后做出的判斷不一定正確，從而嘗試從別的角度應用所學知識去論證。學生從的反應從一開始的質疑到后來的驚奇，然后他們為了驗證答案，會積極的反思和探索。
（二）教師要做學生的榜樣
榜樣的力量是無窮的，教師在教學過程中的主要任務是“教”，教師的主要作用是引導。很多時候我們可以通過教師自己的特色和教學藝術去感染、帶動學生。如我國著名特級教師魏書生，他是一個很優秀的老師，各方面都很有優秀，他的學生也很優秀。很多學生會有這樣的意識，我們的老師這么優秀，能做他的學生真是三生有幸，要配得上做他的學生自己也要相應的變得更優秀。
（三）學生與學生之間的合作探究
如何培養學生的探究能力是數學教師在教學過程中很重要的教學目標和內容。在日常的教學活動中，教師應當創造盡量多的機會和條件，有意識有目標的去培養學生的探究能力。如在講解“幾何圖形”時，讓學生準備一下圖形或者隨意畫一些幾何圖案，然后讓學生分組觀察，歸納和總結各個圖形的特征，最后再由教師和全體同學一起探究歸類，得出正方形、三角形、菱形、圓形等幾何圖形的概念。學生通過自己的觀察，加深了對教材內容的理解，與其他同學討論的時候，相互交流自己的想法，既滿足了學生的求知欲，又增進了同學情。
【關鍵詞】 感悟策略；體會策略；方法優化
蘇教版數學教材從四年級開始每一學期都安排一個《解決問題的策略》單元教學內容。解決問題策略的學習，不可能脫離解決問題的過程，必須和解決問題緊密結合在一起。也就是說，解決問題策略的學習是基于解決問題、為了解決問題的。解決問題，首先是作為學生感受、體會、反思解決問題策略的手段，其次是讓學生運用所學策略解決新的問題。《小學數學課程標準》中對“解決問題的策略”提出了明確要求：形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性。為了將這一教學目標落到實處，我們教師必須先落實：怎樣幫助學生形成解決問題的一些基本策略，并體驗解決問題策略的多樣性？
在執教過程中有許多成功經驗，也有許多迷茫，偏頗之處，不能不引起我們的反思和討論。
一、教授具體的解題方法不等同于傳授策略
蘇教版第十一冊“解決問題的策略――替換”例1一課，教材是以和倍問題呈現的，通過學習學生體會到用今天學到的策略可以解決有兩個未知量的題目。在聽課中有的教師把教學設計成和差、和倍問題的練習課，把新授課的重點解發生的偏移，使課堂失去生命力。實質上第十一冊第一單元就已學習了用方程來解決此類問題，教師如果把教學定位在對解題技巧上的一種訓練，那只是對教學內容的簡單重復。學生的思維仍停留于機械式的去解題，沒有提升到教材要讓學生所達的應有的策略的高度。不能形成更抽象的數學思維。新授時，教師可讓學生根據題中的條件和問題結合自己已有的知識經驗嘗試解決問題，獲得一定的經驗；然后教師引導學生總結回顧解決問題的思路，概括解決問題的策略，并通過小組討論交流，將解決問題的策略“化隱為顯”。在討論交流的過程中，學生可能會根據自己的經驗和理解，提出不同的解題策略，教師應聯系解決的過程引導學生對方法進行提煉，選出最優化的策略。
二、解決問題的策略是連貫的而不是獨立的
在解決問題策略的新授教學時，學生嘗試中會應用已有的解題方法進行。學生在學習新策略的過程中，不是小猴子掰玉米，喜新棄舊，而是在不斷整合、應用不同策略的過程中，豐富自己解決問題的經驗，并在新的問題中主動、綜合、靈活應用各種策略解決問題。以六年級替換的策略例題2為例，它是一個綜合運用多種策略解決實際問題，所以學生思考的空間大了，難度高了。教學這一節內容，通過以下步驟展開教學，讓學生逐步感悟“假設”的解題策略。①“畫圖”入手：在教學例題：“雞兔同籠，8頭20腳，雞兔幾何？”時，可以用8個圓圈表示雞的“頭數”，然后在圓下添腳。發現少了4只腳，要把其中兩個圓圈分別再加了2只腳變成了兔，所以兔有2只。也可以用8個圓圈表示兔的“頭數”，同樣的方法求出雞有6。在直觀的畫圖中讓學生體會方法，學會方法。②“一一”列舉：用“列舉”的方法解決問題，學生在五年級時就學過，所以本課就先有意識地讓學生列舉，這樣學生的空間大，出現了好多種形式的列舉方法，有隨意列舉的，有從兩頭列舉的，也有從中間列舉的。在此基礎上，便讓學生對比各自的列舉方法，讓大家找出認為最佳的列舉方法，進行全班推廣。③數量關系：五年級就學過用方程解決簡單的問題，學生很容易懂，但解題過程學生還沒有學很多不會，所以未作重點。④公式法：讓學生記住：腳數÷2-頭數=兔，頭數-兔=雞。此公式有其一定的局限性，只能解決2腳和4腳的“雞兔”同籠類問題，有一些假設的題目不好運用。
當然，方法終歸是死的，同是“假設”類型的問題，有時用“畫圖”法好，有時用“列舉”法好，還有的時候用“算術”法解好，更有人喜歡用“方程”。教科書中介紹的畫圖假設，列表假設等等方法，在教學中我們不必強求學生面面俱到，各種方法都去掌握，可以選擇學生自己認為最合適的方法。書中介紹的兩種假設方法比較直觀，學生比較容易掌握，但學生的思維不能一直停留在直觀的畫圖列表等具體方法，我們讓學生的思維不斷從直觀上升到抽象，要力求用計算的方法來體現假設的思維過程。
三、解決問題的策略應回歸生活
解決問題的策略是學生初學的內容，有些學生不能很快接受，所以在學生的眼里它是難以理解的，是高深莫測的。實際并不可怕，在學生的實際生活中常用到這個或那個策略來解決問題，這就需要我們教師在平時的教學中適時灌輸，如果教師教學時適當從學生的實際出發，以生動有趣的故事情境引入，更能激發學生學習的欲望。
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“百分數的意義”教學實錄與反思
“歪打正著”與“奇思妙解”
“讀統計圖表”教學設計
從“剪圓柱”到“做圓柱”——“圓柱的認識”一課的再思考與再教學
老師，小棒有誤差——“三角形邊的關系”課堂教學寫真與反思
讓“生成”走向“有效”——“方程的意義”案例與反思
小數點還能繼續搬家嗎？——由“小數點搬家”一課引發的思考
巧用“方中圓、圓中方”的規律解題
《小學教學》，心靈的燈塔
有效的課堂 思維的課堂——“分數除法（一）”教學思考
把握“軸對稱圖形”的實質
《外國中小學教育雜志》2014年第七期
一、比較的結果與分析
（一）教學目標的比較日本“二元一次方程組的應用”這節課的教學目標是：（1）能夠用二元一次方程組解決問題，理解二元一次方程組解決問題的優越性；（2）能夠將問題中的數量關系表示成二元一次方程組，正確、有效地求解問題，并能依據題意，驗證解的正確性（；3）能夠考察孫子算經、龜兔算（我國的雞兔同籠問題）、一元一次方程、二元一次方程組等解法的聯系性和二元一次方程組解法的優越性；（4）能夠積極運用表、圖和式子等多種方法，依靠自己的力量把握問題中的數量關系，解決問題。我國這節課的教學目標是（：1）能夠找出實際問題中的已知數和未知數，分析它們之間的數量關系，列出方程組（；2）經歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，增強應用意識（；3）使學生經歷從實際問題中建立二元一次方程組、求解、驗證解的正確性與合理性的過程，提高運用方程組解決問題的能力；（4）體會二元一次方程組的應用價值，感受數學與現實生活的緊密聯系。兩國教學目標的相同點是：使學生能夠根據問題中的數量關系，列出方程組；并能求解、驗證解的正確性。不同點是：我國的目標強調方程組是刻畫現實世界的一個有效的數學模型，通過二元一次方程組的學習，使學生感受到數學與現實生活的緊密聯系，增強應用意識，提高運用方程組解決問題的能力。而日本的目標則強調算數、一元一次方程以及二元一次方程組之間的聯系性，通過二元一次方程組的學習，使學生能夠積極主動地運用表、圖和式子探索問題的不同解法，從中體會二元一次方程組解法的優越性。
（二）教學過程的比較為了清晰地展現中日兩國“二元一次方程組的應用”這節課的教學過程和各教學環節，列表如下：由以上兩表可以看出，兩國的教學過程基本相同：即提出問題——解決問題——鞏固練習——總結反思。但具體環節上存在差異，日本教學設計的重點是探究同一問題的不同解法；我國教學設計的重點是探究運用二元一次方程組解決實際問題的過程；日本學生有足夠的討論和提問時間，教師可進行單獨指導（教師個別指導10人/次），我國學生討論的時間少，獨立練習的時間多，保證了課堂教學的高效率和知識技能目標的達成。
（三）教學方式方法的比較將兩節數學課，按照課堂教學活動的分類進行編碼和匯總，中日兩國在各類活動中所花時間的百分比如圖1所示。上圖表明，兩國教師都能充分地利用課堂教學時間進行數學教學，用于“總結”和“數學無關”的時間基本相同，而在“練習”、“指令性”和“探究性”上存在較大差異。日本用于探究的時間（59%）多于中國（31%），日本教師用較多的時間引導學生探究問題解決的不同方法，從中體會各種解法的區別和聯系，感受二元一次方程組解法的優越性；中國教師用于講解的時間（28%）多于日本（18%），主要強調運用二元一次方程組解決問題的步驟、方法以及檢驗等問題，關注學生掌握知識技能的扎實性；同時，中國用于練習的時間（30%）多于日本（10.8%），教師注重通過練習，讓學生掌握運用二元一次方程組解決問題的步驟和方法，提高學生運用方程組解決實際問題的能力。
（四）數學問題的比較從問題的復雜程度看，日本的兩個數學問題都屬于“雞兔同籠”問題，較容易，復雜性較低。我國有4個數學問題，其中“足球問題”較容易；而教材中的“養牛場”問題，涉及到“估算與精確計算的比較”，較復雜；兩道練習題中的“高校餐廳”問題有兩個分問題、“船順水航行”問題包含物理知識，都很復雜。由此可見，中國課堂教學中的數學問題多，且復雜性高，具有挑戰性。從數學問題之間的關系看，兩國課堂中的數學問題都是主題相關的問題，但日本的兩個數學問題是重復性問題，而我國的數學問題無重復性。(五)課堂交流的比較課堂交流是課堂教學活動的主要形式，主要有共同交流和個別交流兩種形式。共同交流是指教師或學生（一個或多個）對所有學生表達自己的看法，而個別交流則包括教師課堂巡視，個別指導學生、和學生討論問題以及小組內部學生之間進行的交流。從時間上看，我國課堂共同交流占80%，個別僅占20%，充分體現了教師的主導作用，缺乏必要的師生、生生之間的個別交流；日本共同交流占56%，個別交流占44%，教師可以給有困難的學生提供更多的幫助及個別指導，學生可以有充足時間理解問題、提出問題。
二、結論與啟示
（一）結論從上面的比較，不難看出，中日兩國的初中數學課堂教學既有共性，也有差異。其中主要的共性是（：1）課堂教學目標明確（；2）教學過程基本相同（；3）能有效利用課堂教學時間（；4）重視對學習內容的總結和反思；（5）強調問題之間的內在聯系。兩國數學課堂教學的差異表現在：（1）日本用于探究討論的時間多，中國用于講解和練習的時間多；（2）日本課堂練習的問題復雜性較低，中國課堂練習的問題多、且復雜性較高；（3）日本課堂教學中的個別交流多，中國課堂教學中的共同交流多。
（二）啟示1、關注學生的個性差異目前，世界各國在反思評價傳統的教育時，都認為過去的教育過于劃一和僵化，忽視了學生的個人需要。日本為了照顧學生的個性差異，在數學課堂教學中，每個學生(不僅僅是成績好的學生)都有機會表達自己的看法或觀點；教師通過課堂巡視，以及和學生的個別交流，及時地把握學生的基本情況，給需要幫助的學生提供及時的指導，并把學生的興趣點和疑問點進行歸類，為學生營造了一個寬松、民主和充滿個性化的教學環境。我國新課程改革也強調教育要面向有差異的每一個“個體”，根據不同學生的實際，使每個學生在自己原有的基礎上獲得盡可能大的發展。但在我國現實中的一些數學課堂教學中，師生之間和學生之間個別交流的時間和機會少，不能給有困難的學生提供有效的幫助和指導，可見課程改革的實現最終發生在課堂變革的命題是值得我們每一位教育工作者深思的。2、給學生更多感悟數學的時間上面的研究和一些課堂觀察表明，在我國數學課堂教學中，教師教的活動多于學生學的活動。教師為了使學生深刻地理解數學知識，形成良好的認知結構，保證課堂教學的高效性，面向全體學生講解的時間多，給學生自己思考數學、感悟數學、消化數學的時間少。而日本的數學課堂為學生提供了更多的思考時間，教師不急于讓學生得出結論，也不急于否定學生的結論，而是給予學生較多的時間進行思考及討論，使學生有更多時間理解數學，獲取知識。數學課堂教學是教師教與學生學的統一，學生是數學學習的主體，數學課堂活動的實踐者；教師則是數學活動的組織者、學生學習的引導者、探究活動的合作者。課堂教學的最終目標是通教師的驅動作用，使學生經過自己的獨立思考，獲得對知識的理解，進而發展能力，獲得情感的體驗。如果教師什么都想告訴學生，學生就將失去自主探索、深入思考和及時反省的機會。而這些機會對于激發學生的學習熱情、養成獨立思考的習慣非常重要。因此，我國的數學教師應建立新的數學教學觀，從學生的實際情況出發，為學生提供更多的‘自由空間’和各種可能，使他們有足夠的時間和機會，在教師的啟發下，經過自己的努力和同伴的協助，理解知識，掌握技能，感悟數學思想方法，獲得豐富的數學活動經驗。3、提高探究學習的有效性我國新課程實施以來，廣大一線教師在數學教學中，積極創設問題情景，讓學生在合作探究中發現數學、學習數學，中小學數學課堂發生了重大變化。但也有部分教師簡單、機械地理解探究學習，為探究而探究，不需要探究的問題也探究，探究活動流于形式，沒有取得探究學習的效果。探究學習是在教學中創設一種問題情景，通過學生自主獨立地發現問題、實驗與操作、調查與信息處理、表達與交流等活動，獲得知識、技能、進情感與態度的發展，特別是創新能力發展的學習方式和學習過程。因此，在課堂教學中實施探究學習，首先，探究的問題要有價值，即問題要具有一定的障礙性、探索性和開放性，學生只有通過獨立思考、合作交流、積極探究才能得到結論；其次，探究的過程要有價值，在探究的過程中，學生不僅能獲得知識和技能，積累數學活動經驗，還能學會思考、學會發現，體會到了成功的愉悅。這樣，才能使數學探究活動成為有利于促進學生主動獲取新知、感悟數學思想、發展數學思維、激發創新意識的有效活動。
作者：李淑文李清單位：東北師范大學數學與統計學院教授
