時間：2023-06-05 10:16:52
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇垂徑定理，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
[關鍵詞] 垂徑定理;激疑引趣
垂徑定理是蘇教九年級上冊圓的對稱性這一節的重要內容，它是圓對稱的具化反映，是圓對稱性的延伸與拓展，揭示了圓的弦與直徑、弧與弧之間的幾何關系和代數關系. 通過垂徑定理的探究與運用，會向學生滲透“特殊―一般―特殊”的數學思想，培養學生觀察分析、歸納概括的能力.
聯系語文，激疑引趣
1. 語文課例：在初中語文八年級上冊中，同學們都學過“中國石拱橋”這一課文. 課文向同學們詳細介紹了位于河北境內現存最早的石拱橋――趙州橋. 大家還記得課文插圖中趙州橋的樣子嗎？現在為了對這座古老的橋梁進行進一步研究，需要對其進行測算.
2. 問題引入：如圖1所示，趙州橋是一座圓弧形拱橋，它橋拱的跨度為37.4 m，拱高7.2 m，問：橋拱的半徑是多少？（注：跨度即為橋拱所對應的弦長，拱高即弧的中點到弦的長度）
賞析？搖 以學生學習過的語文課文為引子，有兩點好處：其一，這是學生們熟悉的內容，根據心理學研究，學生在遇到自己熟悉的內容時往往會高度注意;其二，將語文與數學聯系起來，會引起學生的好奇心，更易投入到本課的學習中.
循序漸進，猜想定理
數學是一門猜想的學科，許多偉大的數學定理都是由數學猜想開始的. 為了使學生們能夠通過自我探究得到垂徑定理，本課學習由猜想開始.
1. 舊知回顧，承上啟下
觀察圖2和圖3，并通過模型實驗回答下列問題.
（1）在圖2中，弦AB將O分成了兩部分，說出每部分的名稱.
（2）移動圖2中的AB，使之過圓點（圖3），此時O被分成的兩部分各叫什么？它們存在什么樣的關系？若將O沿著AB對折（圖3），兩者能重合嗎？
賞析？搖 為了保證學生學習過程中的自我探究，教師可讓學生事先準備好幾張圓形紙片，并讓學生在回答問題前先動手實驗――將圓形紙片沿任意一條直徑對折，觀察能否重合. （有些老師喜歡再用電腦去演示，筆者認為這是多此一舉，因為學生通過親身體驗已經得到了最直觀的感受，況且電腦演示的直觀程度比實物的直觀程度低）通過學生的驗證，我們得到了有關圓的最基本性質――圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線均是它的對稱軸.
2. 運動變換，猜想結論
（1）變動中尋找規律
觀察圖4、圖5和圖6中弦AB的運動變化過程，分析圖形并回答下列問題.
①圖4中，AB和CD為O的兩條直徑，找出圓中相等的線段與弧.
②圖5中，直徑AB與CD相互垂直，圖中相等的線段與弧有哪些？
③圖6中，保持AB與CD的垂直關系，上下平移弦AB，圓中存在哪些相等的線段與弧？
④通過上面三幅圖的變換過程，你能否從中找到什么規律？
（2）猜想中歸納結論
根據上述三幅圖形的運動變化過程及探究得出的結論，我們可以大膽地做出如下猜測：
觀察圖6，AB為O上任意一條弦，CD為O的一條直徑，AB和CD的關系是相互垂直，發現在上下平移AB的過程中，無論AB處于何位置，都存在這樣的關系：AE=BE，=，=，因此，我們可以大膽地猜測這樣的結論：在O中，AB為圓的任意一條弦，CD為O的一條直徑，且ABCD，垂足為點E，則AE=BE，=，=.
賞析？搖 在教學過程中，直接拋出垂徑定理的命題讓學生運用已有知識去證明，這是以往大多數教師采用的方法――講授法，但這樣就缺失了學生們的自我探究過程. 教學設計中通過兩條直徑相交，到兩直徑垂直，再到直徑與非直徑的弦垂直，給予了學生探究的空間，讓學生有了足夠的思維時間，體現了學生探究性學習的動態性和發現性，契合了學生的認知規律.
逐步探究，證明定理
1. 引導證明，歸納定理
理論的猜想需要嚴格的說理論證才能被運用于現實，為了證明我們的猜想，可對上述猜想進行更嚴謹的理論說明. 上述猜想可以轉化成如下題設：
如圖7所示，AB是O的任意一條弦，CD為O的一條直徑，ABCD，垂足為E，求證：AE=BE，=，=.
分析？搖 要證明AE=BE，題設中已知ABCD，自然想到利用等腰三角形三線合一定理，因此需要構造三角形. 而弧相等可以考慮用圓心角所對應的弧相等或者用對稱性來完成.
證明？搖 ①連結AO，BO，則AO=BO.
AO=BOABCD？圯E為AB中點？圯AE=BE.
②由①知OC為∠AOB的平分線？圯∠AOC=∠BOC？圯=.
∠AOC=∠BOC∠COD=∠DOC？圯∠AOD=∠BOD？圯=.
通過上述證明過程，我們可以清晰地歸納出垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧. 數學符號表示為：CDAB，垂足為ECD是圓O的直徑，AB為圓O的弦？圯=AE=BE=
2. 鞏固定理，探究變式
仔細分析垂徑定理，可以發現它的構成包含五個要件：①CD為圓O的直徑;②ABCD;③AE=BE;④=;⑤=. 那么如果知曉其中任意兩個條件，能否確定其他三者呢？我們需要進一步探究.
探究1？搖 在圓O中，AB為弦（非直徑），CD為圓O的直徑，且CD過AB的中點E，求證：ABCD;=;=.
【可概括為平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧】
探究2？搖 在圓O中，CD為圓O的直徑，AB為圓O的弦，且AB與CD交于點E，=，求證：ABCD;AE=BE;=.
【可概括為平分弦所對劣弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的優弧】
探究3？搖 在圓O中，CD為圓O的直徑，AB為圓O的弦，且AB與CD交于點E，=，求證：ABCD;AE=BE;=.
【可概括為平分弦所對優弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的劣弧】
探究4？搖 在圓O中，CD和 AB均為圓O的弦，ABCD于點E，且AE=BE，求證：CD為圓O直徑;=;=.
【可概括為圓O的一條弦被另一條弦垂直平分，則此直線為直徑，并且此直徑平分弦所對的弧】
問：通過以上四個探究過程，你可以找到什么規律？
引導學生發現垂徑定理反映的是直徑、弦和弧之間的關系，引導學生認識到任意選擇垂徑定理構成要件中的兩個要件，均可以得出其他三個要件.
為了使學生明確垂徑定理的構成要件，鞏固所學知識，安排圖8至圖11四幅圖讓學生判斷能否使用垂徑定理或其推論.
再次向學生強調垂徑定理的運用需要兩個條件，缺一不可.
賞析？搖 所謂不憤不啟，不悱不發，在教學過程中，應力促學生達到憤悱的狀態，然后給予啟發，引導學生論證垂徑定理. 接著，通過變換垂徑定理的條件與結論，讓學生自行論證，總結出垂徑定理中的五個要件，且只要滿足兩個就可以得出其他三個這樣的規律. 讓學生完整無缺地經歷垂徑定理的知識探究過程，在探究的過程中提升思維的分析能力.
設置命題，運用定理
1. 聯系勾股定理，運用于計算
案例1？搖 如圖12所示，在圓O中，弦AB的長為24，點O到AB的距離為5，求圓O的半徑.
分析？搖 這是垂徑定理的使用，根據條件，點O到AB的距離為5，所以要作OCAB，滿足條件之一垂直;O為圓心，滿足條件之二，OC是過圓心的直線. 根據垂徑定理可知C為AB的中點，故BC=12. 要求半徑只需連結OB，利用勾股定理.
變式1？搖 如圖12所示，OB=5，OC=3，AC=BC，求AB的長.
分析？搖 這是垂徑定理推論的使用，根據題設知OC是過圓心的直線，C是AB的中點，滿足垂徑定理的兩個要件，因此可知OCAB，再使用勾股定理可以求解BC，進而求得AB.
思考？搖 圓的弦長為2a，圓心到弦的距離為b，圓的半徑為r，則a，b，r三者之間滿足什么樣的關系？
分析？搖 a，b，r三個字母分別代表半弦長、弦心距和半徑，此三條線段組成了一個直角三角形，因此三者滿足勾股定理，即a2+b2 = r2.
變式2？搖 如圖13所示，在圓O中，AB=16，OCAB于點E，CE=4，求圓O的半徑.
分析？搖 根據題設可知，題目條件滿足垂徑定理，BE=8，設圓的半徑為r，則OE=r-4. 根據勾股定理可得r2=（r-4）2+82，解得r=10.
問：現在你能解決趙州橋的半徑問題了嗎？（解略）
2. 聯系幾何知識，運用于證明
案例2？搖 如圖14所示，在同心圓中，直線分別交大圓與小圓于A，B，C，D四點，求證：AC=BD.
分析？搖 隱去大圓，弦CD是小圓的一個非直徑弦，過點O作OECD于點E，可以利用垂徑定理，證明CE=DE. 隱去小圓，弦AB為大圓的非直徑弦，A，B，C，D在同一直線上，又OEAB，利用垂徑定理可得AE=BE. 兩式相減可以得到AC=BD.
變式1？搖 圖14中隱去大圓或小圓，需要哪些條件才能證明AC=BD？
變式2？搖 如果是三個同心圓，你能證明哪些線段相等？
案例2的目的主要是讓學生明確這樣一個事實：過圓心作弦的垂線是解決這類問題常用的方法.
學情分析：本節課是在上節課的基礎上，根據學生已有的認知水平，通過學習，聯系上節課學習的有關知識，進一步提出問題，從上節課過渡到這節課的學習，既培養了學生勤于動腦、勤于思考的好習慣，又激發了學生學習和興趣和熱情。
本節課主要有兩方面的內容：（1）圓的對稱性。（2）垂徑定理及其推論。開始以趙州橋的問題引入課題，帶著問題進入學習，圓的軸對稱主要通過動手操作和動畫演示得出結論，圓是軸對稱圖形，根據軸對稱進一步研究圓中相等的弧、弦得出垂徑定理及其推論，利用此定理再去解決趙州橋問題。
教學目標：
知識與技能：（1） 通過觀察動畫演示、動手操作實驗，使學生理解圓的對稱性；（2） 掌握垂徑定理及其推論，理解其證明，并會用它解決的相關的證明與計算問題；（3） 掌握輔助線的作法――作弦心距。
過程與方法：（1） 經歷探索垂徑定理及其推論的過程，進一步培養學生觀察、分析、歸納概括的能力；（2） 向學生滲透“由特殊到一般”的基本思想方法。
情感、態度與價值觀：結合本課教學特點，在教學過程中培養學生的觀察能力、創新意識和良好的運用數學的習慣，培養學生猜想、探究的良好品質。激發學生的好奇心和求知欲，通過合作與交流、共同感受成功的喜悅。
教學重點：（1）理解圓的對稱性；（2）掌握垂徑定理、推論及其應用；（3）學會應用垂徑定理等結論解決一些有關的證明、計算和作圖問題。
教學難點：發現并證明垂徑定理。
教具準備：圓規、直尺、圓形紙片、等腰三角形紙片、多媒體課件
教學流程
一、設置情境，提出問題
播放趙州橋圖片，語音閱讀教材第80頁“問題”，學生觀察圖片并思考“問題”中的問題。
教師：要解這一問題，就要用到這節課所學的知識，我們大家一起來共同探究、尋求解決這個問題的數學方法。
二、導入新課，自主探究
（一）圓的軸對稱性
學生操作：（1）將一等腰三角形對折。（回憶等腰三角形是軸對稱圖形，復習軸對稱圖形的概念。）；（2）將你手中的圓形紙片沿圓心對折，你會發現圓是一個什么圖形？（學生動手操作，教師觀察操作結果）。
教師演示動畫（幾何畫板軟件）：（1）等腰三角形對折；（2）圓形紙片沿圓心對折。
提出問題：（1）你發現了什么？（2）由此你得出什么結論？
（教師引導學生通過“實驗――觀察――猜想”，等待學生表達自己發現的結論 ）
師生共同得出結論：（1）圓是軸對稱圖形；（2）經過圓心的每一條直線（注：不能說直徑）都是它的對稱軸；（3）圓的對稱軸有無數條；（4）圓也是中心對稱圖形。（教師要注意學生歸納結論時語言的準確性和簡潔性）。
教師強調：1、圓有無數條對稱軸；2、圓的對稱軸是直徑所在的直線。
（二）垂徑定理及其推論
1、垂徑定理
（1）學生操作：學生在自己準備的圓形紙片上作圖：①任意作一條弦 AB；②作直徑CD垂直弦AB垂足為E。將圓形紙片沿直徑CD對折，觀察重合部分后，發現有哪些線段相等、弧相等？（2）教師通過幾何畫板演示，在學生分析、觀察的基礎上，得出：在圓O中，CD是直徑，AB是弦，CD垂直AB于E。那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。（教師引導，學生通過觀察，思考，交流，發現結論。）；（3）在此基礎上讓學生自己歸納發現的結論：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
板書：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
提出問題：你能結合圖形用符號語言表達這個結論嗎？
（讓學生將文字語言轉變為符號語言，用幾何符號表達定理的邏輯關系）。
（4）驗證垂徑定理：
已知：如圖，在圓O中，CD是直徑，AB是弦，
CDAB于E。
求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
分析：如圖，連接OA、OB，OA=OB。可通過證明RtOAE ≌RtOBE，結合軸對稱證明。
（學生觀察圖形，結合圓的對稱性和相關知識進行思考，得出垂徑定理，再進行嚴密的幾何證明。）
2、垂徑定理的推論
如上圖，若直徑CD平分弦AB。
提出問題：（1）直徑CD是否垂直且平分弦所對的兩條弧？如何證明？（2）你能用一句話總結這個結論嗎？（即推論：平分弦的直徑也垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧）；（3）如果弦AB是直徑，以上結論還成立嗎？
教師引導、學生討論，并歸納得到：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。
提出問題：推論中“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。”為什么不是直徑？（教師用幾何畫板演示，讓學生明白為什么“不是直徑”的理由）
提出要求：如圖，請同學們寫出“垂徑定理定理“中的題設和結論：
① 直徑CD（過圓心）；② CDAB（垂直于弦）；③ AE=BE（平分弦）；④ 弧AC=弧BC（平分弦所對的優弧）；⑤ 弧AD=弧BD（平分弦所對的劣弧）；
教師指導學生明確定理中的題設和結論，初步理解“知二推三”口訣的含義。
（要求每位同學獨立寫出下列“知二推三”的“題設”和“結論”。）
考點1 圓的對稱性
例1 （2013年婁底卷）下列圖形，是中心對稱圖形的是（ ）.
解析：A、C、D不是中心對稱圖形，B是中心對稱圖形.選B.
溫馨小提示：圓是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，與其他圖形組合時，要考慮組合圖形的對稱性.
考點2 垂徑定理及其應用
例2 （2013年邵陽卷）如圖1所示，某窗戶由矩形和弓形組成.已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m.現計劃安裝玻璃，請幫工程師求出所在圓O的半徑.
解析：根據垂徑定理可知
由垂徑定理，得
答：所在圓O的半徑為.
溫馨小提示：在運用垂徑定理時，通常把弦長的一半、圓心到弦的距離、半徑三者放到同一個直角三角形中，利用勾股定理列方程來求解.
考點3 弧、弦、圓心角的關系以及圓周角定理的應用
溫馨小提示：解題時要充分利用各種關系，對角或長度進行轉化；當題目中出現直徑時，常常要根據直徑所對的圓周角是直角作輔助線，利用直角三角形的特點解題.
考點4 直線與圓的位置關系
例4 （2012年無錫卷）已知O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO=2，則直線l與O的位置關系是（ ）.
A.相切 B.相離 C.相離或相切 D.相切或相交
解析：當OP垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d=2=r，O與l相切；當OP不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d
溫馨小提示：比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關系，即可判定直線與圓的位置關系. 注意：這里PO的長不一定是圓心O到直線l的距離.
考點5 切線的性質
圓的切線垂直于過切點的半徑.
例5 （2013年咸寧卷）如圖3，在RtAOB中，OA=OB=3，O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作O的切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為 .
溫馨小提示：當POAB時，線段PQ最短.當條件中出現圓的切線時，連半徑得垂直是常用的輔助線.
考點6 切線的判定與切線長定理
過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；從圓外一點引圓的兩條切線，兩條切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
例6 （2013年珠海卷）如圖4，O經過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A.
（1）求證：BC為O的切線；
（2）求∠B的度數.
溫馨小提示：證明直線是圓的切線時，若已知直線與圓有公共點，通常連接過這點的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，簡述為：連半徑，證垂直；若沒有給出直線與圓的交點，通常過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于圓的半徑，簡述為：作垂線，證相等.
考點7 三角形的內切圓與外接圓
三角形內切圓的圓心（即三角形的內心）是三角形三條角平分線的交點，它到三邊的距離相等；三角形外接圓的圓心（即三角形的外心）是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等.
溫馨小提示：在解決角的計算問題時，要善于利用圓周角定理及其推論轉換角.
考點8 圓與圓的位置關系
設A、B的半徑分別為R和r（R>r），圓心距為d，則：兩圓外離?d>R+r；兩圓外切?d=R+r；兩圓相交?R-r
溫馨小提示：由于兩圓沒有公共點有外離和內含這兩種情況，所以要進行分類討論；由于P在直線l上運動，所以兩圓圓心距的最小值為OD的長.
考點9 正多邊形與圓
正n邊形的每個內角為，外角都等于.
溫馨小提示：由正多邊形的邊長的一半、外接圓半徑、內切圓半徑正好組成一個直角三角形.
那么,學生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻,產生解題的困惑呢?我們把它歸納為以下幾點:
⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解,發現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密,就因為缺乏對定理必要的理解,不會用符號語言表達,從而不能嚴謹推理,造成幾何定理無法具體運用到習題中去。
⑵找不到運用定理所需的條件,或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系,思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解,圖形稍作改變(或不是標準形),學生就難以思考。
⑶推理過程因果關系模糊不清。
針對以上的原因,我們在教學中采取了一些自救對策。
一、教學環節
對幾何定理的教學,我們在集中講授時分5個環節。第1、2 環節是理解定理的基本要求;第3 環節是基本推理模式,第4 環節是定理在推理過程中的呈現方式,提出了“模式+定理”的書寫方法;第5 環節是定理在解題分析時的導向作用,提出了“圖形+定理”的思考方法。程序圖設計如下:
基本要求 重新建立表象 推理模式 組合定理 聯想定理
二、操作分析和說明
⒈ 定理的基本要求
我們認為,能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫,因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟,讓學生盡快熟悉每一個定理的基本要求,并重新整理了初中階段的定理(見附頁,此只列出與本文有關的定理),集中展示給學生。
例如定理43:直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
一劃:就是找出定理的題設和結論,題設用直線,結論用波浪線,要求在劃時突出定理的本質部分。
如:“直角三角形”和“高線”、“相似”。
二畫:就是依據定理的內容,能畫出所對應的基本圖形。
如:
三寫:就是在分清題設和結論的基礎上,能用符號語言表達 ,允許采用等同條件。
如:ABC是Rt,CDAB于D(條件也可寫成:∠ACB=90°,∠CDB=90°等) ACD∽BCD∽ABC 。
學生在書寫時果然出現了一些問題:
①不理解每個定理的條件和結論。學生在書寫時往往漏掉條件(如定理19漏掉垂直,定理46漏掉高、中線等);對條件太簡單的不會寫(如定理3);或者把條件當成結論(如定理12把三線都當成結論)。
②還表現在思維偏差。我們的要求是會用定理,而有些學生把定理重新證明一遍(如定理5、6);或者在一個定理中出現 ××,又××,××的錯誤。
③更多的是沒有抓住本質。具體表現在把非本質的條件當成本質條件(如定理7出現 ∠1 和∠2是同位角,AB∥CD);條件重復(如定理49,結論∠APO=∠BPO已經包括過圓心O,學生在條件中還加以說明);圖形過于特殊(如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形);文字過多(一些定理譯不出符號語言,用文字代替)等。
⒉ 重新建立表象
從具體到抽象,由感性到理性已成為廣大數學教師傳授知識的重要原則。“表象”就是人們對過去感知過的客觀世界中的對象或對象在頭腦中留下來的可以再現出來的形象,具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個定理都對應著一個圖形,這給我們在教學中提供了一定的便利。我們要求學生對定理的表象不能只停留在實體的形象上,而是讓學生有意識的記圖形,想圖形,以形成和喚起表象。我們認為,這對于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。
教給學生想形象的基本方法后,我們接下去的步驟是用實例引導學生,下面是一段經整理后的課堂教學主要內容:
⑴ 問:聽了老師的介紹后,你怎樣回憶垂徑定理的形象?
答:垂徑定理我在想的時候,腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角”在一閃一閃的,以后看到弧相等或其他兩個條件之一,腦子里就會浮現出垂徑定理。
目的:建立單個定理的表象,要求能想到非標準圖形。
繼續問:看到弧相等,你們只想到了垂徑定理,其他的定理就沒有想起來嗎?
答:想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……
甚至有學生想到了兩條平行弦……
目的:通過表象,進行聯想,使學生理解定理間的聯系。
⑵ 問:從定理21開始,你能找出和它有聯系的定理嗎?
答:有定理22(擦短使平行直線變成線段),定理25(特殊化成菱形),定理27……
目的:一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉等變化,加深定理間的聯系。
⑶下面的步驟,我們讓學生自主思考。學生在不斷嘗試的過程中,通過比較、分析、判斷,進一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯系和區別。從學生思考的角度看,他們主要是在尋找基本圖形,由于定理之間有一定的聯系,在一個基本圖形中往往存在著另一個殘缺的基本圖形,所以學生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉等手段,也有通過特殊化、找同結論等途徑把不同的定理聯系起來。
下面摘錄的是學生自主思考后,得到的富有創意性的結論。
關鍵詞：數學教學； 質疑意識
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2013）02-008-002
“問渠哪得清如許，為有源頭活水來。”學生在學習數學的過程中，思維的積極參與是新課程教學目標有效達成的必然要求，因此如何調動學生學習思維，讓學生處于一種積極的學習狀態，是數學老師需“時刻準備著”的命題。問題是學生思維的引擎，問題是教學精彩的亮點，質疑是達成教學目標的生成點。那么，如何激發學生的質疑意識，活用質疑意識，使之成為教學中的亮點呢？
一、在“生活感知區”激發學生的質疑意識
數學知識源于生活，高于生活，應用于生活。教材知識對學生來講是無聲的、靜態的、理性的，每一個概念、定理、方法因抽象而讓學生覺得陌生。“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，對所學知識都通過學生的“躬行”來掌握是不現實的。“教育即生活”，“生活即教育”，要讓學生有效掌握知識，必須盡可能地依托學生生活的具體景象，把對知識的理解與領會還原到學生的“現實生活感知區”。
教學片段1
1：九年級上冊3.2節《圓的軸對稱性》，學習的重點是體現圓軸對稱性的垂徑定理，而垂徑定理也是這章的一個重點，但書本上才寥寥數行，看了讓同學感到很陌生和抽象、生硬，從心理上就和同學拉遠了距離。為了激發學生積極投入到探究垂徑定理的活動中去，我特意安排了一個體驗式探究活動：
情境1：上課伊始，教師就和同學們先聊對圓的認識，因為圓是同學們從小到大，最熟悉、最有感性的圖形之一，同學們很有發言權，“是圓的；有圓心、有半徑；會滾動的……”；說了很多，甚至有同學也提到了是中心對稱圖形、軸對稱圖形，看上去同學們都很輕松，自信，微笑浮在臉上。
師：隨手拿起一位同學桌上的飲料瓶，問：“這蓋子為什么做成圓的？”又看到另一位同學桌上有個不銹鋼杯子就問：“這杯蓋為什么也做成圓的？”
生：同學們先是一楞，心想怎么問這么簡單的問題，有的說圓漂亮、美觀；有的說加工方便；有的說能在地上滾動；等等，五花八門，但嘰嘰喳喳說不到要點。
師：又追問：“你想想，很多容器的蓋子也是圓的，那為什么呢？”“這其中有什么數學原理嗎？”
情境2：這下教室里像炸開了鍋，有幾個同學抓耳撓腮，臉漲得通紅，這么熟悉的東西卻答不好，教師的連續追問把同學們逼得恨死了自己，有口說不清，巴不得把心掏出來給你看，同時同學們的眼神里都流露出了強烈的求知欲，頭抬得老高，目光炯炯。
情境3：教師輕輕閉上眼睛，左手拿起一個飲料瓶，右手摸起一個瓶蓋，很自然地就把瓶蓋放到瓶口上，慢慢旋轉，轉緊，再睜開眼睛，此時教室里非常安靜。
師：頓了一下，一字一句地說：“蓋子做成圓的，最大原因是使用――方便！”
生：“方便！？”同學們有些詫異。
師：“對，方便，剛才老師閉眼都能完成，你們也能輕松完成，假如瓶蓋做成方的，那怎么樣？就比較麻煩了。”
生：恍然大悟狀
師：“那么這當中蘊含什么數學道理呢？你們看，圓繞它的圓心旋轉任何角度，都能跟原來這個圓怎么樣？”
生：“重合。”同學們齊聲回答到。
師：提高了聲音：“這個就是圓的旋轉不變性！圓繞它的圓心旋轉任何角度，都能跟原來這個圓重合，這是我們今天學習圓的第一條特性。”轉身用力在黑板上寫下了“旋轉不變性”五個字。
師：“那么我們熟悉的圓有沒有另外性質呢？”
通過這個體驗式質疑探究活動，同學們的思維被激活，一系列追問而無法回答，極大激發了他們探究的欲望，有幾個同學抓耳撓腮，臉漲得通紅；教師輕輕閉上眼睛，左手拿起一個飲料瓶，右手摸起一個瓶蓋，很自然地就把瓶蓋放到瓶口上，慢慢旋轉，轉緊，再睜開眼睛，此時教室里非常安靜，頓了一下，一字一句地說，提高了聲音等神態動作也強烈吸引了學生的目光，增加了學習興趣。至此，再安排學生進行垂徑定理的探究活動，同學們已經具備了高漲的熱情，學習的積極性、主動性充分展現出來。最后，同學們這堂課探究、學習下來，高效地達成了教學目標，抽象的垂徑定理在以后的學習實踐中也證明掌握得很不錯。
二、在書本的“知識生成區”激發學生的質疑意識
教材知識是螺旋式上升或波浪式行進的，在知識的發生發展過程中，知識有自身內在的自然生成地帶。在這一地帶有多少知識點，哪些是重點、難點、疑點，每個知識點在學科知識鏈上的作用，老師通過認真備課應先知先覺，其中重點、難點、疑點所在的位置就是筆者所指的“知識生成區”。
教學就是教師通過“教”的行為來指導學生完成“學”的任務。由于學生的認知能力有限，再加上現在的浙教版教材敘述比較簡略，學生難以“鉆進”教材，看不到知識主要生成區中所蘊涵的“敏感地帶”，也難以“跳出”教材，看不到知識主要生成區中可發展的“動感地帶”，需要充分發揮教師的教學智慧，教師根據教材的知識情景，依據教學內容向學生提出需要解決的問題，用問題吸引、集聚學生的思維。靜態的知識結論建立在動態的思考之上，抽象的知識建立在形象的感知之上，學生在感受知識的產生和發展中，教學重點得以突出，難點得以突破，疑點得以化解。
教學片段2
九年級上冊3.2節《圓的軸對稱性》的例3，問題情境較為復雜，是本節教學的難點，所以根據昨天生成的知識，先出示一道復習題，以作鋪墊。
（1）如圖1是一條排水管的截面圖，已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16。求截面圓心O到水面的距離。
生：作OCAB交于點C，由垂徑定理得：AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
師生：這類問題往往可作弦心距、連半徑，關鍵是通過垂徑定理構造直角三角形，利用勾股定理求解。
（2）例3、1300多年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋（如圖2）的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對是弦的長）為37.2m，拱高（弧的中點到弦的距離，也叫弓形高）為7.23m，求橋拱的半徑（精確到0.01m）
師：引導學生讀題，觀察圖片，對題中的一些專有名詞作解釋，并把圖形簡化成圖3；弧AB表示橋拱，C為弧AB的中點。
師：“憑圖3這個圖形能解決問題嗎？”“這個題與剛才復習題有相似之處嗎？”
生：“添輔助線，設橋拱所在的圓的圓心為O，連結OA、OB、OC，交AB于點D（圖4）”
師：“哪些線段的長是已知的？”
生：“CD和AB知道，也能算出AD。”
師：“AD長多少，為什么？”
生：“垂徑定理，AD=1/2AB=18.51。”
師：“垂徑定理往往能構造什么？”
生：“直角三角形OAD，AD知道，設半徑為R，OD――”
師：“OD的長能否用R來表示？”得到肯定回答后，追問：“怎么樣表示？”（OD的表示是個難點）生：OD=OC-DC=（R-7.23）
師：“怎么求R呢？”
生：“勾股定理呀！”
師：“對，利用方程思想，把勾股定理當等量關系，求出未知數R。”
師生：在RtOAD中，OA2=OD2+AD2，R2=18.512+（R-7.23）2 R≈27.31
（3）變式練習：如圖，破殘的輪片上，
1）弓形的半徑OA為10cm，高CD為4cm，求輪片的弦AB；
2）弓形的弦AB為4cm，高CD為1cm，求直徑和弦心距OD。
當新的知識生成后，同學們都比較輕松地完成了變式練習。
三、在“最近發展區”激發學生的質疑意識
日有所學，日有所進。教學在承前啟后、繼往開來的進程中會不斷生成學生的“最近發展區”。
教學片段3
在《二次函數的應用》教學時，教師出示了一道例題：
例：某企業信息部進行市場調研發現：
信息1：如果單獨投資A種產品，則所獲利潤yA（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數關系：yA=kx，并且當投資5萬元時，可獲利潤2萬元；
信息2：如果單獨投資B種產品，則所獲利潤yB（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數關系：yB=ax2+bx，并且當投資2萬元時，可獲利潤2.4萬元；當投資4萬元時，可獲利潤3.2萬元。
請分別求出上述的正比例函數解析式與二次函數解析式；如果企業同時對A、B兩種產品共投資10萬元，請你設計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少？
情境1：同學們閱讀理解了信息1和信息2后，根據已掌握的求函數解析式水平，通過待定系數法，順利地求出正比例函數解析式yA=0.4x，二次函數解析式yB=-0.2x2+1.6x，解第（2）題時，由于前段時間求二次函數最大、最小值練習較多，比較熟練，有些反應快的同學馬上形成一種解法。
生1：（師稱之為桂廠長，全班大笑，但很多人馬上躍躍欲試）
“先用二次函數頂點公式求得當x=4（萬元）時，yB有最大值3.2（萬元），本金余下6萬元投資A種產品，代入yA=0.4x，求得yA=2.4（萬元），即A、B兩種產品分別投資6萬元和4萬元，獲得最大利潤有5.6萬元。”
師：“桂廠長頭腦靈活，賺了5.6萬元，不少哇！”贏得了不少同學的掌聲。
師：“桂廠長B種產品投資4萬元，B種產品產生最大利潤2.4萬元，但A種產品這時是否也產生最大利潤？”
生：“yA=0.4x是正比例函數，好象沒有最大值。”有同學自言自語。
師：“我們要投資A、B兩種產品，是總投資的最大利潤吧。”
生2（很快）質疑：“桂廠長（笑）的投資方法，兩種投資不一定同時取到最大利潤。”
生3：（師稱之為羊總）把兩種利潤yA，yB相加，即
y=yA+yB=0.4x+（-0.2x2+1.6x）=-0.2x2+2x，當x=5（萬元）時，有最大利潤5萬元。
情境2：羊總立即遭到同學們的質疑，否定聲一片，兩種利潤yA，yB的自變量不一樣的，不都是x，而且比桂廠長少，同學們的爭論不息。
生4：（同學稱之為蔣董事長）
y=yA+yB=0.4（10-x）+（-0.2x2+1.6x）=-0.2x2+1.2x+4，當x=3（萬元）時，有y最大=5.8（萬元），即A、B兩種產品分別投資7萬元和3萬元，獲得最大利潤有5.8萬元。
生：蔣董事長最精明。
師：同學們不用急，只要認認真真做人，踏踏實實學習，都能大有作為。
生：一片沸騰，興高采烈。
學習就是為了更好地解決生活中存在的問題，更好地體驗生活。“桂廠長、羊總、蔣董事長”的稱呼，活躍了課堂氣氛，也感受了父母的不容易：“桂廠長B種產品投資4萬元，B種產品產生最大利潤2.4萬元，但A種產品這時是否也產生最大利潤？”“yA=0.4x是正比例函數，好象沒有最大值，有同學自言自語。”教師的巧妙設問，引起同學們的共鳴，產生質疑：“羊總立即遭到同學們的質疑，否定聲一片，兩種利潤yA，yB的自變量不一樣的，不都是x，而且比桂廠長少，同學們的爭論不息。”“一片沸騰，興高采烈”等等都為學生“最近發展區”的生成和升華奠定了基礎。在這個探究學習過程中，教師作為學習活動的組織者、合作者、引導者，積極組織學生質疑、思考、辯論，相互啟迪，通過交流、討論和評價，通過個人反思、同化或順應的方式，促進學生這個學習主體進一步梳理自己對知識的感知，使得對知識體驗得到進一步深入，使其掌握本質，理解本質，在質疑思考中，得到體驗內化，循序漸進，不斷形成新的知識發展區。
總之，數學教學目標的達成，離不開質疑意識的激發。提出有質量的具體問題是教師教學智慧之花的結晶，是質疑意識激發的第一步。有質量的問題只有在有質量地運用后，才能充分體現它的價值所在。“學貴有疑，思源于疑”，向最廣大的學生激發質疑意識，深入了解學生，順應學生認知發展的規律，把有效生成問題和有效運用問題結合起來，以所設問題為媒介，開展師生互動或生生互動，在師生思維互動中得到體驗，在質疑體驗中得到鞏固提高，使書本知識得以落實，學生綜合能力得以發展，新課程的教學目標才能得以達成。
參考文獻：
[1]裴光亞.教學的智慧，中學數學教學參考
[2]張琳齡.問題教學法對學生創造力的培養，選擇教育
關鍵詞：建立表象、組合定理、聯想定理
教師在教途上并不是一帆風順的，尤其在農村中學，有時由于教學上的需要，往往到了初三，也會出現面對陌生學生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學生會證的，卻不會書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結論，但講不出定理的內容；更多的學生面對幾何題在證明時憑感覺。面對著時間緊、任務重，怎么辦呢？經過一番苦思冥想，針對學生基礎差、底子薄，決定狠抓“定理教學”。通過一段時間的復習，學生普遍反映在證題和書寫時有了“依靠”，也發現了定理的價值，基本樹立了“用定理”的意識。
那么，學生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：
⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習題中去。
⑵找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標準形），學生就難以思考。
⑶推理過程因果關系模糊不清。
針對以上的原因，我們在教學中采取了一些自救對策。
一、教學環節
對幾何定理的教學，我們在集中講授時分5個環節。第1、2環節是理解定理的基本要求；第3環節是基本推理模式，第4環節是定理在推理過程中的呈現方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環節是定理在解題分析時的導向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設計如下：
基本要求重新建立表象推理模式組合定理聯想定理
二、操作分析和說明
⒈定理的基本要求
我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關的定理），集中展示給學生。
例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
一劃：就是找出定理的題設和結論，題設用直線，結論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質部分。
如：“直角三角形”和“高線”、“相似”。
二畫：就是依據定理的內容，能畫出所對應的基本圖形。
如：
三寫：就是在分清題設和結論的基礎上，能用符號語言表達，允許采用等同條件。
如：ABC是Rt，CDAB于D（條件也可寫成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)ACD∽BCD∽ABC。
學生在書寫時果然出現了一些問題：
①不理解每個定理的條件和結論。學生在書寫時往往漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）；對條件太簡單的不會寫（如定理3）；或者把條件當成結論（如定理12把三線都當成結論）。
②還表現在思維偏差。我們的要求是會用定理，而有些學生把定理重新證明一遍（如定理5、6）；或者在一個定理中出現××，又××，××的錯誤。
③更多的是沒有抓住本質。具體表現在把非本質的條件當成本質條件（如定理7出現∠1和∠2是同位角，AB∥CD）；條件重復（如定理49，結論∠APO＝∠BPO已經包括過圓心O，學生在條件中還加以說明）；圖形過于特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多（一些定理譯不出符號語言，用文字代替）等。
⒉重新建立表象
從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數學教師傳授知識的重要原則。“表象”就是人們對過去感知過的客觀世界中的對象或對象在頭腦中留下來的可以再現出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個定理都對應著一個圖形，這給我們在教學中提供了一定的便利。我們要求學生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認為，這對于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。
教給學生想形象的基本方法后，我們接下去的步驟是用實例引導學生，下面是一段經整理后的課堂教學主要內容：
⑴問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形象？
答：垂徑定理我在想的時候，腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角”在一閃一閃的，以后看到弧相等或其他兩個條件之一，腦子里就會浮現出垂徑定理。
目的：建立單個定理的表象，要求能想到非標準圖形。
繼續問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？
答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……
甚至有學生想到了兩條平行弦……
目的：通過表象，進行聯想，使學生理解定理間的聯系。
⑵問：從定理21開始，你能找出和它有聯系的定理嗎？
答：有定理22（擦短使平行直線變成線段），定理25（特殊化成菱形），定理27……
目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉等變化，加深定理間的聯系。
⑶下面的步驟，我們讓學生自主思考。學生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯系和區別。從學生思考的角度看，他們主要是在尋找基本圖形，由于定理之間有一定的聯系，在一個基本圖形中往往存在著另一個殘缺的基本圖形，所以學生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉等手段，也有通過特殊化、找同結論等途徑把不同的定理聯系起來。
下面摘錄的是學生自主思考后，得到的富有創意性的結論。
①定理16（延長中線成矩形）定理24（作矩形的外接圓）定理34。
②定理51（一線過圓心，且兩線垂直）定理36（一線平移成切線）定理47、48（繞切點旋轉）定理50。
③如下圖，把EF向下平移（或繞A點旋轉），使定理37和50聯系起來（有同結論∠α＝∠D）：
⒊推理模式
從學生各方面的反饋情況看，多數學生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復雜而又摸不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎上，經過歸納整理，總結了三種基本推理模式。
具體教學分三個步驟實施：
⑴精心設計三個簡單的例題，讓學生歸納出三種基本推理模式。
①條件結論新結論（結論推新結論式）
②新結論（多個結論推新結論式）
③新結論（結論和條件推新結論式）
⑵通過已詳細書寫證明過程的題目讓學生識別不同的推理模式。
⑶通過具體習題，學生有意識、有預見性地練習書寫。
這一環節我們的目的是讓學生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學生書寫的盲目性。但教學表明學生仍然出現不必要的跳步，這是什么原因呢？我們把它歸結為對推理的因果關系不明確、定理是推理的依據和單位不明白。因而我們根據需要，又設計了以下一個環節。
⒋組合定理
基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因而在這一環節，我們讓學生在證明的過程中找出單個定理的因果關系、多個定理的組合方式，然后由幾個定理組合后構造圖形，進一步強化學生“用定理”的意識。
下面通過一例來說明這一步驟的實施。
例1：已知如圖，四邊形ABCD外接O的半徑為5，對角線AC與BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求BAD的面積。（2001年嘉興市質量評估卷六）
證明：連結OB，連結OA交BD于F。
學生從每一個推測符號中找出所對應的定理和隱含的主要定理：
比例基本性質S/AS/證相似相似三角形性質垂徑定理勾股定理三角形面積公式
由于學生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實是由一個一個定理連結起來的，也讓學生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴密的推理過程。此時，可順勢布置以下的任務：給出勾股定理，你能再結合一個或多個定理，構造圖形，并編出證明題或計算題嗎？
實踐表明：經過“模式＋定理”書寫方法的熏陶后，學生基本具備了完整書寫的意識。
⒌聯想定理
分析圖形是證明的基礎，幾何問題給出的圖形有時是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構造出定理的基本圖形，為運用定理解決問題創造條件。圖形固然可以引發聯想（這也是教師分析幾何證明題、學生證題的基本方法之一），但對于識圖或想象力較差的學生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側面，即證明題的“已知、求證”上給學生以支招，即由命題的題設、結論聯想某些定理，以配合圖形想象。
例：如圖，O1和O2相交于B、C兩點，AB是O1的直徑，AB、AC的延長線分別交O2于D、E，過B作O1的切線交AE于F。求證：BF∥DE。
討論此題時，啟發學生由題設中的“AB是O的直徑”聯想定理“直徑所對的圓周角是90°”，因而連結BC；“過B作O的切線交AE于F”聯想定理“切線的性質”，得出∠ABF＝90°。從而構造出基本圖形②③。
由命題的結論“BF∥DE”聯想起“同位角相等，兩直線平行”定理，構造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④的性質結合在一起，學生就易于思考了。
這一環節我們的引導語有：“由已知中的哪一個條件，你能聯想起什么定理？”、“條件組合后能構成哪個定理？”、“有無對應的基本圖形？”、“能否構造出基本圖形？”等。目的是讓學生樹立起“圖形＋定理”的思考方法，把以前的無意識思考變成有目的、有意識的思考。
三、幾點認識
復習的效果最終要體現在學生身上，只有通過學生的自身實踐和領悟才是最佳復習途徑，因此在復習時，我們始終堅持主體性原則。在組織復習的各個環節中，充分調動學生學習的主動性和積極性：提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，方法和規律讓學生體會，創造性的解答共同完善。
“沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認為傳授方法或解答后讓學生進行反思、領悟是很好的方法，所以我們在教學時總留出足夠的時間來讓學生進行反思，使學生盡快形成一種解題思路、書寫方法。
集中講授能使學生對幾何定理的應用有一定的認識，但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅持了滲透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導、反復滲透。
參考資料：
①高三數學第二輪復習的理論和實踐孟祥東等《中學數學教與學》2001、3
②全國初中數學教育第十屆年會論文集P380、P470
附錄：初中數學幾何定理集錦（摘錄）
1。同角（或等角）的余角相等。
3。對頂角相等。
5。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和。
6。在同一平面內垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。
7。同位角相等，兩直線平行。
12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。
16。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
19。在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。
21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。
22。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
24。有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。
25。菱形性質：四條邊相等、對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。
27。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。
34。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那么它們所對應的其余各對量都相等。
36。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。
43。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
46。相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。
37．圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角等于它的內對角。
47。切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
48。切線的性質定理①經過圓心垂直于切線的直線必經過切點。②圓的切線垂直于經過切點的半徑。③經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。
49。切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結圓外一點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角。
大家常說“數學好的人聰明”這句話的逆命題是“聰明的人數學都好”可現實中這兩個事件都是隨機事件。那么那些不見得聰明的人又是怎樣學好數學的呢？原因是他們掌握了比較好的學習方法。下面給大家以下幾點建議：
一、找準“五點”，精心預習
在預習時要有目標，找到本節內容的“重點、難點、知識點、考點、銜接點”。預習中，學生通過閱讀教材結合配套練習自己定出本節內容的重點。例如：學習單項式這一部分，教材通過很多的實例得出，像這樣的式子就是單項式，并且練習也都是在判斷是否是單項式，因此本節的重點就可以定為單項式的概念；在預習中遇見的看不懂的語句、例題定為難點，也就是在預習中找到自學不懂的東西，記下來，第二天聽課時帶著問題聽課，有目標就有了聽課的動力；數學的大多數內容中都有新的概念、定理、性質、判定等，這些內容視為知識點.預習時對他們進行剖析，想一想這個概念中哪些字或者詞是關鍵的，它為什么關鍵。就算定錯了關鍵詞也不會是什么壞事。例如：單項式的定義：由數與字母的積組成的代數式叫做單項式，（單獨的一個數或一個字母也叫做單項式。）中有的學生就會認為關鍵的詞是“數”和“字母”而錯誤地認為只要有數字，有字母的代數式就是單項式，而在后面的閱讀例題過程中他又會發現，不是這么回事，最終確定出正確的關鍵詞“積”，學生從而體會成功的喜悅；預習過程中完成教材上設計的練習，思考練習的側重點是練的什么，如上面單項式這一節的練習就是判斷下列各式是否是單項式，那么這就是本節的考點。閱讀完教材再思考一下，這節內容和我們前面學的什么內容有聯系，或者在解決這節的練習中還要用到前面的哪些知識點，將這些定為“銜接點”。
二、把握方法，用心上課
上課時到底要注意什么呢？首先要聽，老師講解概念時，注意聽概念的關鍵點，前提條件，聽預習時似懂非懂的還存在疑惑的地方.例如一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數項的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程，老師會講到四個關鍵點：①只含有一個未知數②未知數項的最高次數是2③等號的左右兩邊必須是整式④前提條件它是方程，聽懂了這幾個關鍵點一元二次方程的定義及相關的練習就沒有什么問題了；老師講解例題時聽方法技巧，解題思路，數學思想。同時要聽同學的精彩回答，巧妙提問；例如證明圓周角和圓心角的關系時，通過老師的引導，學生可以畫圖得出它們的三種位置關系，證明時老師會重點講解其中的一種情況，其他的兩種情況老師會引導學生利用“化歸的數學思想”來解決，期間滲透“分類的數學思想”學生在聽課時注重聽這兩個思想方法，學會的就不是這一道題，而是這一類型的題目的解決方法；然后要看，看老師的解題格式、畫圖方法；同時，要多想，學會思考，與教師進行思想對話，使自己的思路跟著老師講課的思路走，在理解上下功夫，要注意把握知識的來龍去脈和“系統”線索；最后要寫，記下老師有代表性的補充例題，寫教師講授的重點，抄有價值的板書，跟著老師寫計算步驟，證明過程，把問題不要只停留在想和說要進行寫和算。會做不代表能做對，很多題目的易錯點只有在做后才會發現。很多丟分的題目往往是那些一看就會一坐就錯的“簡單題”例如在講解實際問題與二次函數一節的例題：某體育用品店購進一批滑板，每件進價100元，售價130元，每星期可賣出80件，商家決定降價促銷，根據市場調查，每降價5元，每星期可多賣出20件，（1）求商家降價前每星期的銷售利潤；（2）降價后，商家要是每星期的銷售利潤最大，應將售價定為多少？最大利潤是多少？首先要思考這是一個什么類型的問題，當看到問題是求銷售利潤時，確定利潤的等量關系式是利潤=售價-進價，總利潤=一件的利潤×件數，這時只有通過學生自己動手列式，才會發現“降價后的件數”如何表示是一個難點，在老師的講解時就會帶著問題聽課。
三、養成習慣， 有效練習
認真獨立完成，解題格式正確，步驟完整的前提下，新課的練習題，有針對性的寫上本題考察的知識點。例如二次函數y=a（x-h）2的性質的練習中有這樣一道題：拋物線y=-2x2向下平移2個單位得到拋物線________， 再向上平移3個單位得到拋物線____________； 若向左平移2個單位得到拋物線_____________，向右平移2個單位得到拋物線_______________.可以寫上“Y=ax2通過‘上加下減’可以得到Y=ax2+k形式，通過‘左加右減’可以得到y=a（x-h）2形式的，將‘上加下減，左加右減’結合起來可以得到y=a（x-h）2+k形式的二次函數。其中 ‘上下’移動的是k，‘左右’移動的是h.” .訂正時寫出自己的解題思路和正確的解題過程兩者一起比較找出自己的錯誤所在，總結出易錯點；做發散題時，盡可能多的寫出它的結果，培養一題多解、一題多變的能力。復習的練習，要總結歸納各種題型的解題思路，掌握一般的解題規律。再找一些課外的習題，以幫助拓展思維，提高自己的分析、解決問題能力。并且平時要養成步驟完整、驗算、規范作圖、數形結合的解題習慣。
四、課后復習，形成網絡
復習是對知識的識記、掌握、鞏固、深化、提高和遷移的過程。通過復習進行總結，歸納章節內容，列出知識之間的相互聯系，有助于知識的條理化、系統化，有助于學生邏輯思維能力及綜合能力的提高。在每個階段的學習中要進行整理和歸納總結，把知識的點、線、面結合起來交織成知識網絡，納入自己的知識體系。如在復習“垂徑定理時可以總結，垂徑定理及推論的四個應用：1.計算線段的長度：常利用半徑、弦長的一半、圓心到弦的距離構造直角三角形，結合勾股定理進行計算。2.證明線段相等：根據垂徑定理平分線段推導線段相等。3.證明等弧。4.證明垂直：根據垂徑定理的推論證明線段垂直。運用所學知識，不斷開拓創新。數學有很強的聯貫性，新舊知識之間并沒有不可逾越的鴻溝。如在復習“圖形的旋轉”時可以總結到目前為止，我們所學習的圖形變換有“平移、翻折、旋轉”對它們的相同點和不同點進一步區分。因此借書本知識，進行聯想，不但可以增強鉆研興趣，而且能培養創造性思維能力。
老師們常說“教有法而無定法”其實學習也一樣。每個學生的背景不同，基礎不同，課堂習慣不同，個體都有差異，因此需要根據具體情況找到適合自己的方法，適合的就是最好的學習方法。
1. 點與圓的位置關系有三種：點在圓外，點在圓上，點在圓內.
設圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點在圓外？圳d>r；點在圓上？圳d=r；點在圓內？圳d
2. 直線和圓的位置關系有三種：相交、相切、相離.
設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓相交？圳dr.
3. 圓與圓的位置關系
（1）同一平面內兩圓的位置關系：
①相離，如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離.
②若兩個圓心重合，半徑不同，則兩圓是同心圓.
③相切，如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切.
④相交，如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交.
（2）圓心距，兩圓圓心的距離叫圓心距.
（3）設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R和r，則
①兩圓外離？圳d>R+r；此時兩圓共有4條公切線；
②兩圓外切？圳d=R+r；此時兩圓共有3條公切線；
③兩圓相交？圳R-r
④兩圓內切？圳d=R-r（R>r）；此時兩圓共有1條公切線；
⑤兩圓內含？圳dr）；此時兩圓共有0條公切線.
注意：兩圓內含時，如果d為0，則兩圓為同心圓.
4. 切線的性質和判定
（1）切線的定義：直線和圓有唯一公共點稱直線和圓相切，此時這條直線叫做圓的切線.
（2）切線的性質：圓的切線垂直于過切點的直徑.
（3）切線的判定：經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.
弧長、扇形的面積和圓錐側面積
1. 弧長公式：l=·n（n為圓心角的度數，R為圓的半徑）
2. 扇形的面積公式S=（n為圓心角的度數，R為圓的半徑）.
3. 圓錐的側面積S=πRl，（l為母線長，R為底面圓的半徑），圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積.
1. 如圖1所示，O的直徑CDAB，∠AOC=50°，則∠CDB大小為（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
答案 A.
考點關鍵詞 本題目考查圓心角定理、圓周角定理以及垂徑定理. 由CDAB可知∠AOC=∠BOC=50°，所以∠CDB=25°.
2. 如圖2所示，已知AB為O的直徑，點C在O上，∠C=15°，則∠BOC的度數為（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
答案 B.
考點關鍵詞 本題目考查圓心角定理、圓周角定理以及等腰三角形的性質.由∠C=15°得∠A=15°，所以∠BOC=30°.
3. 已知圓O、圓O的半徑不相等，圓O的半徑為3，若圓O上的點A滿足AO=3，則圓O與圓O的位置關系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相切或相離
C. 相交或內含 D. 相切或內含
答案 A.
考點關鍵詞 本題目考查了圓與圓的位置關系，下面是4種關系，還有其他關系嗎？
4. 一個扇形的圓心角為90°，半徑為2，則這個扇形的弧長為________（結果保留π）.
答案 π.
考點關鍵詞 本題目考查了弧長公式.與圓有關的計算一直是中考考查的重要內容，主要考點有：弧長和扇形面積及其應用，扇形弧長可用公式l=求得，由于本題n=90°，r=2，因此這個扇形的弧長為π.
5. 如圖4所示，BD是O的直徑，OAOB，M是劣弧上一點，過點M點作O的切線MP交OA的延長線于P點，MD與OA交于N點.
（1）求證：PM=PN.
（2）若BD=4，PA=AO，過點B作BC∥MP交O于C點，求BC的長.
答案 （1）連結OM， 因為MP是O的切線，所以OMMP.所以∠OMD+∠DMP=90°. 因為OAOB，所以∠OND +∠ODM=90°. 又因為∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，所以∠DMP=∠MNP，所以PM=PN.
（2）設BC交OM于點E，BD=4，OA=OB=BD=2，所以PA=OA=3. 所以PO=5 . 因為BC∥MP，OMMP，所以OMBC，BE=BC. 因為∠BOM+∠MOP=90°，在RtOMP中，∠MPO+∠MOP=90°，所以∠BOM=∠MPO. 又因為∠BEO=∠OMP=90°. 所以OMP∽BEO. 所以=，進而=，所以BE=. 所以BC=.
考點關鍵詞 本題目主要考查了圓的切線、勾股定理、相似三角形.首先作輔助線OM，證明PM=PN，再利用勾股定理求出PO的長度，最后利用三角形相似列出比例關系即可求出BC的長.
6. 如圖5所示，O的半徑為1，點P是O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是上任一點（與端點A，B不重合），DEAB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作D，分別過點A，B作D的切線，兩條切線相交于點C.
（1）求弦AB的長.
（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由.
（3）記ABC的面積為S，若=4，求ABC的周長.
答案 （1）連結OA，取OP與AB的交點為F，則有OA=1. 因為弦AB垂直平分線段OP，所以OF=OP=，AF=BF. 在RtOAF中，因為AF===，所以AB=2AF=.
（2）∠ACB是定值. 由（1）易知，∠AOB=120°，因為點D為ABC的內心，所以，連結AD、BD，則∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，因為∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°，所以∠CAB+∠CBA=120°，所以∠ACB=60°.
關鍵詞：數學課堂，教材處理
我們備課、上課，都要對教和學的內容進行編排處理，不能照本宣科。教師要像導演，細心琢磨，使演員進入角色，創造性地發揮其表演才能。教師對課堂教學的組織，對教和學的內容的編排，就是要調動起每一個學生的熱情，使學生成為學習的主人。
1教材處理的目的和做法
教材處理常基于以下四個目的：啟發性、適應性、鞏固性、激發性，圍繞目的，確定處理方法。
1．1啟發性目的
教科書，適宜的敘述方式當然是直述式。而教師，不但要學生掌握知識，更重要的開發學生智力，培養學生的多種能力。為幫助學生尋找正確的思路，架設發現和獲取知識的階梯，這就是處理教材的啟發性目的。圍繞這一目的，通常是把一些直述式的知識設計成一個個富有啟發性的思考題，讓學生自己去發現知識。如垂徑定理的推論，教科書是直述的，而我們可以從分析垂徑定理入手，其題設和結論共涉及五條，其中兩條作題設，三條是結論，能不能用五條中的任意兩條作題設，都可推出其余三條結論呢？學生就忙著一個個地寫出命題，并逐個去論證。這就調動起了學生的思維，并積極參與教學，使他們感覺到是自己發現了這些推論，涌起一股成功的自豪感。
1.2適應性目的
教師的一個重要作用是為學生排“憂”解“難”，而備課中的備教材、備學生，就是把學生學習中的“難”預料在前，根據學生的認知規律，把教材編排得切合學生的學習能力，這就是適應性目的。圍繞這一目的，通常是把問題分解成層層遞進的幾個小問題，設置臺階，減小坡度，分散難點。如等腰三角形“性質的應用”練習設計：已知ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度數。本題有一定的難度，又沒給出分析，學生會感到困難。可先提出如下思考與練習：①等腰三角形的性質定理是什么？本題，由AB=AC，可得出什么結論，由BC=BD=AD呢？②∠C與∠A有什么關系？ABC各角之間有什么關系？③有了這種關系，能否確定各角的度數？如何求出？這樣就把題目分解成了一個個學生能解決的小題，然后讓學生通盤考慮整個題目，思路清晰，有了解題的路子。另外，形象的比喻、通俗的例子、直觀的教具，也是為實現適應性目的所常用的處理方法。
1.3鞏固性目的
每一個知識點，不能只讓學生孤立地進行學習，重要的是使學生弄清知識點的因由來源、概念的實質及與其它知識點的關聯性，該知識點在所學知識系統中的地位和作用，從而使學生透徹掌握，并逐漸獲得發展。這就是教材處理的鞏固性目的。圍繞這一目的，通常在得出概念或性質后，提出一些有關的思考題，以引導學生對該知識點作進一步的認識和理解。如“梯形”一節，引出概念后，提出：其兩底能否相等？為什么？（學生答：不能，若相等，就說明上底和下底同時滿足兩個條件：①平行；②相等，這就不是梯形了。）這就鞏固了梯形的概念，進一步明確了梯形與平行四邊形的聯系與區別：都有一組對邊平等，前者另一組對邊不平等，后者另一組對邊也平等，是后者就不再是前者。另外，設計辨誤練習、變式練習、題組練習，也是為實現這一目的所常用的方法。
1.4激發性目的
學生的思維靠老師去點撥，探究的熱情靠老師去觸發。將教材處理得使學生愛學，學得主動，注意力集中，隨著教師的引導去積極思維，這就是教材處理的激發性目的。圍繞這一目的，通常是在講授新課或重點內容之前，應用一些生動、有趣、通俗、形象、新穎的材料和問題，使學生對將要學的內容發生興趣。如講勾股定理，首先提出一個問題：當你向正東走30米，再折向正南走40米，這時你與出發點相距多少米？（畫出示意圖）這類問題我們暫時還不會解，需要掌握直角三角形有關的性質，而這一性質我國早在三千多年前就發現了，這比西方早一千多年，這就是我們今天要學習的“勾股定理”。這樣，從學生關注的實際問題出發，引出古代數學方面的卓越成果，使學生身處自豪感之中，迫切希望知道勾股定理的內容，自覺地投入到學習中去。
2教材處理應注意的幾個問題
教材處理除要依據大綱，把握教材，做到重點突出，目的明確之外，還應注意以下幾點：
2.1把主動權交給學生
教材處理的目的是為了有針對性地學習，上面提到的垂徑定理的推論的教學就是一例。又如講三角形的角平分線的概念，可讓學生畫出ABC中的∠A的平分線（射線）交BC于D，將線段AD描一下，或將三角形外的部分擦掉，提出線段AD就是ABC的角平分線，請同學們給三角形的角平分線下個定義。這樣，每個學生都動手、動腦，學得活，理解得深。
2．2要順其自然
教材處理既要遵循學生的認知規律，又要注意知識的前后聯系，還要依據教材的邏輯體系，順其自然地作出處理。如講平方差公式，先復習舊知，在此基礎上設計一組能用這一公式計算的題目讓學生去做，再引導看題目的結果，學生就感到驚奇，加以點撥，他們自己就會得出這個公式。這樣既鞏固了舊知，又使學生自然地發現了公式。
2.3要注意深入理解教材、挖掘教材
一、數學史在高中教學中的價值應用
針對于高中數學教育中的數學史的價值方面它主要分為兩個層次：人格教育層與認知教育層.從人格教育層面可以追溯數學史的起源發展，我國古代偉大的數學家層出不窮像祖沖之、張丘建等都在數學教學方面貢獻了自己的一份力量，在數學史上留下了濃墨重彩的一筆.我們從數學史的文化中不僅可以了解數學史的發展歷史還要從這些古代偉大的數學家身上學習到他們的對知識旺盛的求知欲及勇于探索的精神，就像平時高中數學學習方面難免遇到些困難，這時候不僅需要教師的耐心教導，更需要學生的動手實踐.
從認知教育層面，數學史是數學教學的指南，數學史不只是一個簡單的歷史典故，從概念、公式、定理的演變，高中生可以獲取相關知識，對于教師的教學來講應該重視知識發展過程中的教學，通過數學史帶出案例中相關的數學知識，更重要的是，將數學史中體現的數學思想方法教授給學生，學生掌握思想方法后，可以獨立進行探索研究.
二、滲透在教學案例中的數學史
1.國際象棋案例分析
國際象棋在數學史上有這樣一個故事，相傳一位印度國王，他有著至高的權利和巨額的財富，因此國王十分傲慢無理，有一位東方老人來到國王的皇宮，教國王下國際象棋.國王學成后為獎賞老人，允許老人提出任何請求，他一定會滿足老人的要求.
東方老人為了挫一下國王的傲氣，就用國際象棋棋盤提了一個請求.老人說“只要國王陛下，在64格棋盤的第一個格子放一粒米，第二個格子放兩粒米，第三個格子放四粒米，第四個格子放八粒米……以后每個格子放的米粒都是前一個格子放的米粒數的兩倍，直到第64個格子，就滿足了我的要求.”
國王哈哈大笑，心想不就是小小的棋盤裝滿米嘛.于是就叫人按老人說的做，結果發現就是將全國的米拿來裝都不能夠滿足老人的請求.
那到底需要多少米粒呢？這是道數學題，有一個計算公式，可以計算出來.公式如下：1+2+22+…+263=264-1.
通過這個等比數列我們可以看出這個算式的計算結果是一個天文數字，這個數字折合成米粒的重量，大約是2587噸.通過這個教學案例，不僅可以補充我們的歷史知識還學會了等差數學知識，和相關等差數列知識的求和計算，教師在教學當中也可以由此啟發學生對等比數列的探索，通過等差數列和等比數列作比較總結出它們之間的不同.
2.垂徑定理的教學案例分析
案例“圓壁埋材”是《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”
這一歷史問題，首先讓學生認識什么是垂徑定理，還可以了解到垂徑定理中的四條重要的線段分別是：弦長、圓半徑、弦心距，高.也使學生對于垂徑定理有了更加直觀的認識，不再抽象化，順便還鞏固了數形結合思想，可以讓學生增長歷史知識.通過數學史的簡單案例探究，教師就可以在寓教于樂中讓學生學習到數學知識，與此同時根據垂徑定理的相關內容可以延伸到圓的相關數學知識，因為在此之前我們已經了解了弦心距、圓半徑，借此可以補充圓心距、圓的周長公式、面積公式的計算算法，將知識加以拓寬整合，也方便高中生的理解.
三、數學史與高中數學問題的解決策略
數學史和數學問題解決在當今高中數學的教育中占據著重要地位，在研究數學史如何應用于數學教育的數學問題的解決中，要結合實際情況和條件進行了解分析.第一，數學史在數學問題教學應用中的切入點和解決問題的具體步驟.第二，數學史在高中數學問題解決中的應用原則.第三，列舉歷史典故和高中數學問題解決相結合的題目類型進行案例分析.
四、數學史在整合數學問題的解決策略
通過對文獻的查閱，我們可以從中看出，數學史和高中數學整合的解決設計僅有一些原則和建議的方法，具體的模式還沒有形成，這需要我們進行進一步的求知探索.但是有幾個中間的步驟是需要我們遵循的，數學史與高中數學教育的整合方面首先需要教材的設計部分和實驗部分，對于教材的設計部分分為準備階段（選擇數學主題-、分析教科書處理方式的不足、收集歷史資料、分析歷史資料）和設計階段（介紹整個數學分支的歷史、數學概念的引入、數學主題的展開、任務的選擇與解決）兩個部分.在教材的實驗部分為實施階段（實驗、評價、修改），只有這三個階段的整合才可使教材部分不斷得到完善.
五、數學史教育現狀的綜合分析與建議
1.數學史教育現狀的問題
高考是高中生必須面臨的問題，因此教師在課堂上講解的知識都是圍繞高考為核心，教師的課時本來就少，加上教學知識多，所以數學史在課堂上的講解是有限的，教師只是在上課時將數學史作為一個引子，來引出接下來教師要講的數學知識，甚至對于數學史的教學進行了直接的忽略.由此看來，學生學習數學史的時間也僅限于班會、數學角、數學史知識的選修課中得到了解.
2.數學史教育現狀的分析建議
一、培養興趣，引發學生進行探究活動的熱情
1．創設情境，激發學生的自主探究興趣
布魯納說過，學習的最好刺激是興趣，興趣是最好的老師，只有激發興趣，才能集中學生的注意力，激發學生的主動參與意識。教學中，我們應努力營造良好的探究氛圍，讓學生置身于一種探究問題的情境中，以激發學生的學習欲望，使學生樂于學習。
例如在進行“三角形的中位線”的教學時，我是這樣進行的：①讓學生動手。每位學生用事先準備好的一把剪刀和三角形進行如下操作：在只剪一刀的情況下，使剪成的兩張紙片拼成一個平行四邊形。（思考，動手操作）②展示成果。（請學生展示自己的成果）③說明過程（找到三角形的中間一剪，一拼就行了。）④幾何表示（用圖形來表示出來，D、E兩點位置有何特征？）。
教師再作簡要的補充強調，從而引出了“三角形的中位線”的概念。通過學生的動手實踐，認真討論，大家學習積極性很高，在輕松、愉快的活動中很容易的掌握了“三角形的中位線”的概念。
2．發散思維，發掘學生的自主探究潛能
我們的教學內容設計應盡量有探究性的，所采用的教學方法也要為學生提供探究的機會。教學過程應變先講后練為先嘗試再點撥，把學習的主動權交給學生。這樣，有利于學生主動再創造，有利于學生猜測與驗證。
例如在學習三角形全等后，我以此開放題為例如圖，在ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加一個條件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
因為此題可從識別ABD≌ACE或ABE≌ACD等著手，所填答案不唯一。
由此，學生可展開激烈的爭論，各有各的方法，這樣，在自主探究或合作探究中調動起學生的探索熱情，激發起學生的創新意識，有助于培養學生的發散思維，發掘學生的自主探究潛能。這樣，學生與學生之間自由探究，真正的把學習的主動權交給了學生。教師可適當引導，就可以充分發揮學生潛能。
3．鼓勵評價，讓學生體驗探究成功的快樂
教學中，教師應不斷給每一位學生創造成功的機會，對不同層次的學生在探究過程中的點滴成績，給予及時的表揚鼓勵。要正視學生之間的差異，實施有針對性的分層評價。如“你的想法很有價值；你很有創見，這非常可貴；你的思維真活躍，能從不同的角度來思考問題；你知道的真多！知識真豐富；你能用數學的眼光來看待問題，真不錯！”……使每個學生都能體驗到探究成功的喜悅，從而更能激發學生的主動學習欲望。
二、落實探究過程，學會探究性學習
探究性學習的方法主要有：
1.設疑――教師選擇學生已學過的數學知識為基礎，以日常生活、生產實際為背景，設置一定容量和開放度的問題，由教師和學生共同提出問題，引起矛盾，激發探究動機，明確探究目標。
2.探究――這是探究性學習的核心。教師有針對性地指導學生圍繞目標進行閱讀、觀察、實驗、思考、聯想、試探、驗證等探究活動，概括出原理、法則，尋求問題的答案。
3.交流――在教師的組織下，學生交流探究的成果、心得與體會，并對一些有疑義的問題展開深入討論，把學生初探的成果加以提煉，使它更具有科學性。
4.總結――通過師生之間、生生之間的多邊探究活動，將探究的結論歸納整理，使之系統化，讓學生掌握知識的內在聯系，從而解決問題。
5.應用――教師要引導學生將探究歸納出的新知識、新方法用于實踐，解決實際問題。
在教學中，教師要教育學生在學習上做有心人。
在提出問題方面，首先應培養學會觀察，善于思考，讓學生主動參與到學習活動中，能從學習及生活中發現問題，并做好記錄，便于及時提出問題。學生開始可能很少發現問題，但隨著教師的引導，學生認知水平的提高，他們會發現很多問題，找到比較有探究價值的問題。其次培養學生學會質疑，敢于想像，開發學生創造的潛能。陶行知先生說過：“發明千千萬，起點在一問。”因此，教師在課堂上應積極鼓勵學生大膽質疑，善于激發學生追本溯源的興趣，同時培養學生勤學好問的習慣，形成不懂就問、敢于提問的氛圍，使學生從一個被動的接受者轉變為一個主動的探究者。
在分析、解決問題的過程中，學生要解決數學問題，除了必須掌握基本知識(數學概念、定義、定理、定律、公式等)和運用正確的方法(分析、判斷、推理、歸納等)外，還要注意探究形式的應用、教師的適時點撥，以及加強反思等。我們應根據內容的不同，采取不同的組織形式。對概念、定理、例題等的探究，宜全班或分組討論；對數學知識的引申、應用探究，可分組討論；正確處理教師的“引”和學生的“探”的關系，應做到引中有探，探中有引，同時還要把握好“引”的度，步步深入地引導學生逼近結論。
關鍵詞： 初中數學課堂教學 導學關系 以導促學 以導引學 導學結合
課堂教學活動，其本質就是教師的“導”和學生的“學”相互配合、相互促進、相互碰撞的發展前進過程。教師“導”的效果，需要通過學生的“學”進行驗證和考量；學生的“學”，需要教師的“導”進行促進和提升。隨著以學習能力培養為核心價值觀的新課程改革的深入推進，初中數學課堂教學活動中，教師的“教”和學生的“學”之間關系的配置，成為一個亟須解決和深入研究的話題。但在實際教學過程中，常出現教師的“教”取代學生的“學”，或學生的“學”脫離教師的“教”等現象，導致教與學之間活動效能事倍功半。下面筆者就科學配置課堂教學中“導”與“學”之間的關系，從三個方面作論述。
一、以導促學，教師的“導”應成為促進學生積極“學”的“推手”
教師在教學活動中的一項重要任務，就是引導和促進學習對象主動學習、深入學習，融入課堂教學活動中，成為教學活動的重要“有生力量”。初中生在學習探知數學學科的進程中，既有著主動進取探索的積極一面，又有著畏懼退縮的消極一面，并且容易受內在和外在“環境因素”的制約，出現消極懈怠的不利局面。教師在課堂教學中不能忽視學習對象的學習情感狀態，不聯系教學實情，“自顧自”地實施講解活動。這就要求，初中數學教師要“揚長避短”，成為“醫治”初中生消極情緒的“理療師”，成為“促發”初中生積極情感的“激勵師”，借助于豐富多樣的教學資源，采用形式多樣的教學手段，通過語言激勵、積極評判、場景設置等形式，吸引初中生的有意注意，提高初中生的課堂參與度。如“一次函數的圖像和性質”一節課教學中，在新知導入環節，教師在與學生的談話交流中，發現部分初中生的學習欲望不強，積極性不高。針對這一實際，教師對該節課的預設內容進行適當調整，利用該節課教材所呈現的“生活應用”特點，通過設置情境“紅旗路小學準備購買銀杏和綠松兩種樹苗共500棵，用來美化校園，已知銀杏的價格為25元/棵，綠松的價格為30元/棵，通過詢問知道，銀杏、綠松成活率分別為95%和90%，如果購買樹苗用去了14000元，試問銀杏和綠松各買了多少棵？”，誘發初中生的有意注意，吸引初中生的眼球，讓初中生切身感受數學教材內容的內在美，從而在有效“導”的進程中，提振初中生主動“學”的精神，增強初中生深入“學”的意識。
二、以導引學，教師的“導”應成為促進學生深入“學”的“指南”
學生的數學學習活動，不是水到渠成的簡單活動，而是充滿困惑的艱辛“勞動”，經常會遇到“意想不到”的困苦和坎坷，從而影響阻礙“學”的進程和效能。教師作為學生學習活動的“引領者”，需要采用以導引學的方式，指引學生科學探究，認真思考，探析問題，從而逐步掌握和獲取數學知識的“精華”和解決問題的“精髓”，讓初中生對所獲所得既能夠“知其然”，更能夠“知其所以然”，將初中生學習活動引向深入。這就需要教師正確處理好“導”和“學”之間的關系，既不能以教師的指導取代學生的學習過程，又不能放手不管，讓學生自由發揮，脫離教師的可控范圍，應該做到“以教導學”、“以導引學”，推進初中生學習探知的進程。如在“如圖所示，已知有一個O，它的直徑長度為10厘米，弦AB的長度為8厘米，點P是弦AB上的一個動點，試求出OP的長度取值范圍”案例教學中，教師就利用教師主導地位的指導特性，采用以導引學的教學方式，組織初中生開展探究、解答該案例實踐活動。初中生探知問題條件內容，意識到該案例涉及“垂徑定理”、“勾股定理”等數學知識點，初步覺察出解答這一問題案例時，需要借助“圓的性質”、“垂徑定理”等數學內容。初中生結合問題解答要求，根據給予的問題條件，其分析過程為：根據問題條件可知，應該采用添加輔助線的方法進行重新構圖，根據題意，可以先過O的圓心O作OEAB，連接OB，根據垂徑定理內容，可以知道AE=BE=1/2AB，此時構建一個直角三角形，根據勾股定理，從而求出OE的長度，由此得出所需要解答的內容。教師根據初中生的分析過程，強調指出：“在此題解答中，要根據題意作出輔助線，構建出直角三角形。”
初中生在教師指點下開展解析問題活動，教師并有意識地要求初中生總結歸納這一問題的解答方法，初中生針對解析過程中的“構造直角三角形”這一關鍵環節，在教師的悉心指導下，得到其解題方法為“采用構圖法，添加輔助線，構造直角三角形”。
三、導學結合，“導”“學”活動應成為實現師生共進的“利器”
筆者認為，教師的“導”和學生的“學”是一個互補互進、共同發展的有機結合體。初中數學教師應深刻認識教師和學生這二者在課堂教學中的地位和作用，采用導學合一、導學相長的教學理念，將教師的“導”與學生的“學”有機結合，在指導中滲透學生的“學”，在學習中融入教師的“導”，在科學、高效指導下，促進學生深入、有效地學習。同時，以學生的有效學習展示和呈現教師的指導實效。
總之，有效教學活動的取得，需要教師的有效“教”和學生的高效“學”。教師只有科學配置教與學二者之間的內在關系，將教與學之間進行有效滲透，相輔相成，使教師的“教”成為學生主體高效學習、成長進步的科學“指南”，使學生的“學”成為展示有效課堂教學的“明鏡”。
參考文獻：
