時間：2023-05-30 10:18:24
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇一元一次方程組，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)》七年級第二章“一元一次方程”和第八章“二元一次方程組”在編排上體現(xiàn)創(chuàng)新理念，改變傳統(tǒng)的先集中安排代數(shù)式作為預(yù)備知識、再安排方程的解法、最后安排應(yīng)用問題的模式，代之以問題為線索，以方程為重點(diǎn)，將列方程(組)、解方程(組)及有關(guān)預(yù)備知識等有機(jī)地融入在分析、解決實(shí)際問題的過程中. 這樣的編寫充分體現(xiàn)了從具體的問題情境出發(fā)，使用各種數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，獲得合理的解答、理解并掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識與技能的有意義的學(xué)習(xí)過程；凸現(xiàn)了將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并利用數(shù)學(xué)問題解決實(shí)際問題的模型化思想；更突出了知識的形成與應(yīng)用過程，有助于教師進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué). 很明顯,課本的編寫者是頗費(fèi)了一番心血和汗水的，這為新課程的教與學(xué)指明了較好的方向. 對于編者的意圖，我們教師是心領(lǐng)神會的. 筆者在此提出一個問題：這兩章教材編寫方式基本相同，但為什么我們在實(shí)際使用過程中收到的卻是大相徑庭的效果？下面就具體談?wù)勥@個問題.
1 關(guān)于“一元一次方程”
本章把對實(shí)際問題的討論作為貫穿于全章前后的一條主線. 對一元一次方程解法的討論始終是結(jié)合解決實(shí)際問題進(jìn)行的，即先列出方程，然后討論如何解方程，圍繞合并、移項(xiàng)、去括號、去分母幾大步驟依次展開，最后歸納出解一元一次方程的一般步驟，以此引導(dǎo)學(xué)生提高對一元一次方程解法的認(rèn)識. 編者認(rèn)為這樣的處理既符合人們對方程的認(rèn)識過程，可以加強(qiáng)該章內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系，突出“列方程”在本章的地位，并且有助于消除部分學(xué)生對列方程的畏難情緒；也符合新課標(biāo)的要求――“學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容是現(xiàn)實(shí)的，有意義的，富有挑戰(zhàn)性的”. 可是，這一問題的本身就需要學(xué)生具有比較扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這樣才能在較短的時間內(nèi)列出方程，然后進(jìn)入一元一次方程的學(xué)習(xí). 編者明明知道“列方程”是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而這樣的編寫明擺著學(xué)生必須具有一定的列方程的能力，才能學(xué)習(xí)并掌握一元一次方程的解法. 如此，學(xué)生一上來就面臨著本章的難點(diǎn). 由于上一學(xué)段只要求學(xué)生“會用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系”，因此大部分學(xué)生列方程的能力都比較弱，故教師就得用較多的時間來進(jìn)行問題情境的引入，這樣用于解方程教學(xué)的時間自然就少了. 而學(xué)生既要學(xué)“列方程”，又要學(xué)“解方程”，一心兩用，結(jié)果是一樣都學(xué)不好.
以往的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，對于一元一次方程的解法，學(xué)生掌握起來其實(shí)并不感覺有特別困難. 除了在移項(xiàng)或去括號時造成符號錯誤、去分母中漏乘等問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)中并沒有遇到多大的阻力. 就連一些原來基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生也能很快學(xué)會解一元一次方程. 而對于用一元一次方程去解決實(shí)際問題倒是學(xué)生最感頭疼的. 如何理解問題情境，理清問題中的基本數(shù)量，找出相等關(guān)系列出方程，每一步都令學(xué)生不知從何下手. 這樣，教師在教學(xué)中必須首先解決這些學(xué)生感到最困難的問題后，方能進(jìn)入方程的學(xué)習(xí). 但這就違背了先易后難、循序漸進(jìn)的認(rèn)知規(guī)律，到頭來學(xué)生就連基本的一元一次方程的解法都難以掌握. 可能編者認(rèn)為現(xiàn)在這種編排是突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，使學(xué)生有較多機(jī)會接觸列方程，有助于解決列方程難的問題. 而教學(xué)實(shí)際的結(jié)果表明,本屆學(xué)生對一元一次方程解法的掌握程度雖不如往屆，但差距還不是很大；而碰到用一元一次方程解決實(shí)際問題時，大多數(shù)學(xué)生都表示難以理解和把握，解題時思路不夠清晰，對不同問題不知道如何區(qū)別對待. 由于學(xué)生剛邁入初中，各方面都在適應(yīng)之中，而本章又安排在上半學(xué)期，因而出現(xiàn)這種現(xiàn)象是必然的. 這種編排把學(xué)生的頭都搞昏了，還談什么課堂效果？這肯定有悖于編者的初衷. 調(diào)查統(tǒng)計(jì)表明,學(xué)生能正確解一元一次方程的占65%，會列方程解應(yīng)用題的占50%，對2.4節(jié)探究題只有30%的人會做. 面對這樣的實(shí)際，教師只能安排課余時間補(bǔ)習(xí)舊教材中的有關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生慢慢地適應(yīng)并逐步達(dá)到本章的教學(xué)要求，這才是真正加重了學(xué)生和老師的負(fù)擔(dān).
2 關(guān)于“二元一次方程組”
本章同第二章“一元一次方程”一樣，在各個階段都選擇了一些比較典型的實(shí)際問題作為知識發(fā)生、發(fā)展的背景材料，可以說實(shí)際問題始終貫穿于全章. 對二元一次方程組及其相關(guān)概念的引入和對二元一次方程組解法的討論，是在建立和運(yùn)用方程組這種數(shù)學(xué)模型的過程中進(jìn)行的. 雖然本章也是在“列方程組”基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，但由于列一元一次方程時要綜合考慮問題中的各等量關(guān)系，對剛進(jìn)入七年級的學(xué)生來說，的確有一定的難度. 而列二元一次方程組時可以分別考慮兩個等量關(guān)系，分別列出兩個方程. 很明顯，這比將同一個問題列成一個一元一次方程容易. 而且，學(xué)生已有前面“列方程”的經(jīng)歷這一基礎(chǔ)，因此我們在教學(xué)中既可以通過問題情境復(fù)習(xí)“列方程”這一重點(diǎn)，又可以引導(dǎo)學(xué)生對所列方程組的解法進(jìn)行研討，起到一箭雙雕的作用. 又因?yàn)榍懊嬉褜W(xué)過一元一次方程的內(nèi)容，學(xué)生對方程有一定的感性認(rèn)識，基本上會解一元一次方程，這就為進(jìn)一步學(xué)元一次方程組奠定了基礎(chǔ). 8.2節(jié)的標(biāo)題“消元”已點(diǎn)出了解方程組的核心. 因此在有關(guān)方程組解法的討論中，學(xué)生只要理解了消元的基本思想和方法，方程組就迎刃而解了.
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)僅僅是單純的知識傳授，更應(yīng)注重對其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的提煉和總結(jié)，使之逐步為學(xué)生所掌握并對他們的學(xué)習(xí)發(fā)揮指導(dǎo)作用. 本章教材將實(shí)際問題情境貫穿于全章，對方程組解法的討論也是在解決實(shí)際問題的過程中進(jìn)行的. 這樣的編寫充分體現(xiàn)了解方程組的化歸思想和將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，反過來又利用數(shù)學(xué)問題解決實(shí)際問題的模型化思想. 列方程組中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)建模思想和解方程組中蘊(yùn)涵的化歸思想，是本章始終滲透的主要數(shù)學(xué)思想. 教學(xué)中不能僅著眼于具體題目、具體解題過程，更應(yīng)加深對上述思想方法的領(lǐng)會，從整體上認(rèn)識問題的本質(zhì). 筆者在本章教學(xué)后的反思中曾作過調(diào)查，95%的學(xué)生學(xué)會了解二元一次方程組，出現(xiàn)錯誤的地方主要是方程組化簡中的去括號或去分母，83%的學(xué)生會列方程組解應(yīng)用題. 不過，對8.3節(jié)中的探究題只有42%的學(xué)生能夠完成. 究其原因，主要是對題意理解不清，有些問題情境學(xué)生也的確難以理解. 但不管怎樣，教學(xué)效果明顯優(yōu)于第二章，這是不容置疑的.
綜上所述，一樣的編寫模式，不一樣的教學(xué)效果. 我們每一個問題情境的創(chuàng)建，每一個教學(xué)模式的設(shè)計(jì)，是否具有科學(xué)性和有效性，是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是否適于學(xué)生的心理特征，這些都只能在實(shí)踐中作進(jìn)一步的檢驗(yàn)、探索與研究. 數(shù)學(xué)教師在使用一本新的教材之時，要了解和摸清教材的特點(diǎn)和不足，要針對不同環(huán)境、不同基礎(chǔ)、不同素質(zhì)學(xué)生的實(shí)際，對教材的編排和所提供的材料重新組織加工，使之符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，這樣才能提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量. 同時也希望教材編寫者多多征求第一線數(shù)學(xué)教師的意見，不斷對教材進(jìn)行改進(jìn)和完善. 沒有最好，但可以更好！
本課通過摸球游戲，使學(xué)生經(jīng)歷二元一次方程模型的形成過程。學(xué)生在探究的過程中相互交流討論，在游戲與活動中主動探索，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)帶來的快樂，同時將模型進(jìn)行了內(nèi)化，通過展示、交流成果，在提高了口頭表達(dá)能力，強(qiáng)化了自我展示的欲望，增強(qiáng)了運(yùn)用方程模型的應(yīng)用意識與能力。
二元一次方程的學(xué)習(xí)是一元一次方程的延伸與深化，也是一次函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。本節(jié)課是研究二元一次方程組的導(dǎo)入，它對進(jìn)一步學(xué)元一次方程組的有關(guān)知識起到了鋪墊作用。學(xué)生已學(xué)習(xí)了一元一次方程及解法，能初步了解方程這種解決的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，并能運(yùn)用一元一次方程這一模型解決簡單的實(shí)際問題。學(xué)生對于用設(shè)二元未知數(shù)解決問題的數(shù)學(xué)模型還不曾接觸，這是本節(jié)課的重點(diǎn)，對如何處理兩個及兩個以上變量的變化即二元一次方程的解的不確定性無法感知，這是本節(jié)課的一個難點(diǎn)。
教學(xué)流程如下：創(chuàng)建情境（體驗(yàn)一元方程無法解決，必須學(xué)元方程的必要性） 活動 1：嘗試采用二元一次方程的模型解決問題（實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型化表達(dá)） 活動2：歸納得出二元一次方程的概念及解的意義（初步歸納出二元一次方程這一數(shù)學(xué)模型的特征） 活動3：二元一次方程知識的深化與鞏固 （加深對模型的認(rèn)識，體驗(yàn)不確定性解及特殊解含義） 活動4 ：（主動用數(shù)學(xué)模型去解釋實(shí)際問題，作出決策）。
教學(xué)片段一：創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課
摸球游戲：盒子里面有若干個紅球和藍(lán)球，得分規(guī)則：摸出一個紅球得2分，摸出一個藍(lán)球得1分。（1）老師摸出2個紅球3個藍(lán)球，請同學(xué)們算算得了多少分？ （2）一同學(xué)任意摸出若干個球，同小組同學(xué)算出得分多少？ （3）如果共摸出5個球，思考共得了多少分？
提問：怎么思考的？
生：分類討論。
用表格可以表示為：
提問：最多和最少可得多少分？
（4）如果共得了20分，一共摸出多少紅球與藍(lán)球？
提問：怎么思考的？
生甲：枚舉法：全是紅球，共10個……用表格表示為：
師：有沒有其它的方法呢？可不可以用一元一次方程解呢 ？
生討論：設(shè)x個紅球，無法列方程解決。
師：如果設(shè)兩個未知數(shù)呢？設(shè)x個紅球，y個藍(lán)球，怎樣列方程呢？
討論：找相等關(guān)系：紅球得分+藍(lán)球得分=20分。方程為2x+y=20.
師：你能列出所有可能的情況嗎？
學(xué)生填表完成后思考。
師：如果得分是350分，問分別摸出了多少個紅球和藍(lán)球？
生：列表太多了，可以列方程： 2x+y=350.
師：若規(guī)則改為摸出紅球得2分，摸出藍(lán)球得3分，共得了350分，又應(yīng)該怎樣解答呢？ 生：2x+3y=350.
設(shè)計(jì)說明：經(jīng)歷變化過程，感受解的不確定性，體驗(yàn)多個變量問題，一元方程無法求解，運(yùn)用二元一次方程求解的必要性及簡便性。
教學(xué)片段二：自主探索，歸納新知
師：觀察2x+y=20與2x+3y=350這兩個方程，它們有哪些共同的特點(diǎn)？與一元一次方程有何不同？ 學(xué)生討論得出結(jié)論：（1）含有兩個未知數(shù)； （2）未知數(shù)的次數(shù)都是1.
師：像這樣，含有兩個未知數(shù)，并且所含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。適合二元一次方程的一對未知數(shù)的值稱為這個二元一次方程的一個解。
師：思考兩個未知數(shù)值的關(guān)系？與一元一次方程有何不同？
生：同時成立，缺一不可；一元一次方程只有一個未知數(shù)，而二元一次方程有兩個未知數(shù)。
一、學(xué)情分析
1、 學(xué)生初學(xué)到方程解應(yīng)用題時，往往弄不清解題步驟，不設(shè)未知數(shù)就直接進(jìn)行列方程或直接進(jìn)行列方程或在設(shè)未知數(shù)時又單位卻又忘記寫等。
2 、學(xué)生在用一元一次方程解應(yīng)用題時，可能存在分析問題時思路不同，列出方程也不同，這樣部分學(xué)生可能會懷疑自己的解法存在錯誤。實(shí)際不是，作為老師應(yīng)該鼓勵學(xué)生開拓思路，在將例題時就貫穿其中，讓學(xué)生明白只要思路正確，所列方程合理，都是正確的。這樣學(xué)生在做題時就會選擇合理的思路，使得方程盡可能簡單明了。
3 、學(xué)生在用一元一次方程組解應(yīng)用題時，抓不準(zhǔn)相等關(guān)系或找出相等關(guān)系后不會列方程，甚至部分學(xué)生列出方程后不會解方程。
4 、學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能習(xí)慣于用算術(shù)方法分析問題對于用代數(shù)方法分析應(yīng)用題不適應(yīng)，以至于較為復(fù)雜的應(yīng)用題無法找到等量關(guān)系，隨便列式解答。
5 、學(xué)生在學(xué)習(xí)中習(xí)慣于套題型，找解題模式，而不重視分析等量關(guān)系。
二、簡單分析解一元一次方程應(yīng)用題
至于解一元一次方程應(yīng)用題呢？關(guān)鍵是找出代表題目全部含義的等量關(guān)系。每到應(yīng)用題都包含事物的情節(jié)和數(shù)量兩個方面。都由已知條件和問題兩部分構(gòu)成。同學(xué)們只有對情節(jié)和數(shù)量關(guān)系理解和掌握了，才能將數(shù)量關(guān)系概括為抽象為數(shù)學(xué)問題，正確列出方程，這就需要同學(xué)們抓住關(guān)鍵語句理清解題思路，另外，把應(yīng)用題的條件和問題通過線段圖表示出來，可以使抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，直觀化，便于理解題意，找出已知數(shù)更好的列出一元一次方程解應(yīng)用題。
在一個應(yīng)用題中，有時可以找出兩個或兩個以上的等式，而我們列一元一次方程能以以個代數(shù)式為依據(jù)來列方程組。這時就需要我們確定出一個既包含題目的已知數(shù)量又要能直接或間接的包含未知量的代式。確定好等式后，再分析等式左右兩邊的已知量和未知量與所求問題關(guān)系，若能通過此未知量求出所求問題，則確定此未知量為X。若出現(xiàn)兩個或兩個以上未知量，這時需要根據(jù)題目中其它等式找出這些未知量的關(guān)系，結(jié)合所求問題確定其中一個為X然后再用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其它未知量。最后再根據(jù)等量關(guān)系列出方程組。
綜上所述，列方程解應(yīng)用題的一般步驟為：
（1）弄清題意，找出已知條件和所述問題；
（2）根據(jù)題意確定等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)X
（3）根據(jù)等量關(guān)系列出方程；
（4）列方程
（5）檢驗(yàn)，寫出答案
下面來看幾道例題：
例1 已知又甲，乙、丙、丁 四個數(shù)，甲比乙多3，丙比甲的2倍多7，丁比乙的2倍多5，四個數(shù)的總和為45，求這四個數(shù)各為多少?
分析：題目中已知的有: 甲=乙+3
丁=乙*2+5 丙=甲*2+7 甲+乙+丙+丁=45
未知：甲乙丙丁四個數(shù)
通過分析我們可以看出能夠包含全部題意的等式是甲+乙+丙+丁=45
右邊為45，左邊四個數(shù)均為未知數(shù)，因?yàn)橹荒茉O(shè)其中一個為x，所以分析四個數(shù)之間的關(guān)系，
故設(shè)乙為x，則甲= x+3，丁=2x+5，丙=2（x+3）+7，代入甲+乙+丙+丁=45，
可得方程：(x+3)+(2x+5)+[2(x+3)+7]=45
解出x后，便可求出甲乙丙丁四個數(shù).
解：設(shè)乙數(shù)為X則：（略）
當(dāng)然，我們平時遇到列方程組解應(yīng)用題時，還可通過畫圖，列表等幫助分析，但不管用什么形式分析，都離不開尋找等量關(guān)系。
例2 天平的兩個盤內(nèi)分別盛有51g和45g的鹽，問應(yīng)該從盤A內(nèi)拿出多少鹽放到盤B內(nèi)；才能使兩者所盛鹽的質(zhì)量相等？
分析：（圖略）設(shè)應(yīng)從盤A內(nèi)拿出Xg鹽，列出下表
解：設(shè)應(yīng)從盤A內(nèi)拿出鹽Xg放到B盤內(nèi)，則根據(jù)題意得，51-x=45+X
解之得：X=3
符合題意。
答：應(yīng)從A盤中拿出3g鹽放到B內(nèi)。
同學(xué)們在掌握了用一元一次方程解應(yīng)用題的方法后，應(yīng)多做一些不同層次，不同形式的列席，如模仿性的練習(xí)，發(fā)展性的練習(xí)……逐漸學(xué)會觀察比較，分析綜合的學(xué)習(xí)方法，聯(lián)系實(shí)際學(xué)會抽象，概括學(xué)會思考的方法，促進(jìn)思維的提高，提高自主學(xué)習(xí)能力。
三、一元一次方程應(yīng)用題的歸納。
用一元一次方程解答實(shí)際問題，關(guān)鍵在抓住問題中有關(guān)數(shù)量的相等關(guān)系，列出方程，求的方程的解后，經(jīng)過檢驗(yàn)，就可得到實(shí)際問題的解答。
這一過程可以簡單的表述為：
其中分析和抽象的過程通常包括：
（1） 弄清題意和其中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)。
(1)知識結(jié)構(gòu)
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：本小節(jié)的重點(diǎn)是使學(xué)生學(xué)會用加減法解二元一次方程組.這也是一種全新的知識，與在一元一次方程兩邊都加上、減去同一個數(shù)或同一個整式，或者都乘以、除以同一個非零數(shù)的情況是不一樣的，但運(yùn)用這項(xiàng)知識(這里也表現(xiàn)為一種方法)，有時可以簡捷地求出二元一次方程組的解，因此學(xué)生同樣會表現(xiàn)出一種極大的興趣.必須充分利用學(xué)生學(xué)會這種方法的積極性.加減(消元)法是解二元一次方程組的基本方法之一，因此要讓學(xué)生學(xué)會，并能靈活運(yùn)用.這種方法同樣是解三元一次方程組和某些二元二次方程組的基本方法，在教學(xué)中必須引起足夠重視.
難點(diǎn)：靈活運(yùn)用加減法的技巧，以便將方程變形為比較簡單和計(jì)算比較簡便，這也要通過一定數(shù)量的練習(xí)來解決.
2.教法建議
(1)本節(jié)是通過一個引例，介紹了加減法解方程組的基本思想和解題過程.教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生觀察這個方程組中未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn).通過觀察讓學(xué)生說出，在兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)或在兩個方程中x的系數(shù)相等，讓學(xué)生自己動腦想一想，怎么消元比較簡便，然后引出加減消元法.
(2)講完加減法后，課本通過三個例題加以鞏固，這三個例題是由淺入深的，講解時也要先讓學(xué)生觀察每個方程組未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，然后讓學(xué)生說出每個方程組的解法，例題1老師自己板書，剩下的兩個例題讓學(xué)生上黑板板書，然后老師點(diǎn)評.
(3)講解完本節(jié)后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生比較代入法與加減法這兩種方法，這兩種方法雖有不同，但實(shí)質(zhì)都是消元，即通過消去一個未知數(shù)，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”.也就是說：
這時學(xué)生對解題方法比較熟悉，但還沒有上升到理論的高度，這時教師應(yīng)及時點(diǎn)撥、滲透化歸轉(zhuǎn)化的思想，并指出這是具有普遍意義的分析問題、解決問題的思想方法.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
(第一課時)
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
(一)知識教學(xué)點(diǎn)
1.使學(xué)生掌握用加減法解二元一次方程組的步驟.
2.能運(yùn)用加減法解二元一次方程組.
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
1.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
2.訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算技巧.
(三)德育滲透點(diǎn)
消元，化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想.
(四)美育滲透點(diǎn)
滲透化歸的數(shù)學(xué)美.
二、學(xué)法引導(dǎo)
1.教學(xué)方法：談話法、討論法.
2.學(xué)生學(xué)法：觀察各未知量前面系數(shù)的特征，只要將相同未知量前的系數(shù)化為絕對值相等的值后即可利用加減法進(jìn)行消元，同時在運(yùn)算中注意歸納解題的技巧和解題的方法.
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法
(-)重點(diǎn)
使學(xué)生學(xué)會用加減法解二元一次方程組.
(二)難點(diǎn)
靈活運(yùn)用加減消元法的技巧.
(三)疑點(diǎn)
如何“消元”，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”.
(四)解決辦法
只要將相同未知量前的系數(shù)化為絕對值相等的值即可利用加減法進(jìn)行消元.
四、課時安排
一課時.
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片.
六、師生互動活動設(shè)計(jì)
1.教師通過復(fù)習(xí)上節(jié)課代入法解二元一次方程組的方法及其解題思想，引入除了消元法還有其他方法嗎?從而導(dǎo)入新課即加減法解二元一次方程組.
2.通過引例進(jìn)一步讓學(xué)生探究是用代入法還是用加減法解方程組更簡單，讓學(xué)生進(jìn)一步明確用加減法解題的優(yōu)越性.
3.通過反復(fù)的訓(xùn)練、歸納、再訓(xùn)練、再歸納，從而積累用加減法解方程組的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而上升到理論.
七、教學(xué)步驟
(-)明確目標(biāo)
本節(jié)課通過復(fù)習(xí)代入法從而引入另一種消元的辦法，即加減法解二元一次方程組.
(二)整體感知
加減法解二元一次方程組的關(guān)鍵在于將相同字母的系數(shù)化為絕對值相等的值，即可使用加減法消元.故在教學(xué)中應(yīng)反復(fù)教會學(xué)生觀察并抓住解題的特征及辦法從而方便解題.
(三)教學(xué)過程
1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入
(1)用代入法解二元一次方程組的基本思想是什么?
(2)用代入法解下列方程組，并檢驗(yàn)所得結(jié)果是否正確.
學(xué)生活動：口答第(1)題，在練習(xí)本上完成第(2)題，一個同學(xué)說出結(jié)果.
上面的方程組中，我們用代入法消去了一個未知數(shù)，將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，從而得到了方程組的解.對于二元一次方程組，是否存在其他方法，也可以消去一個未知數(shù)，達(dá)到化“二元”為“一元”的目的呢?這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
【教法說明】由練習(xí)導(dǎo)入新課，既復(fù)習(xí)了舊知識，又引出了新課題，教學(xué)過程中還可以進(jìn)行代入法和加減法的對比，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)題目的特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}.
2.探索新知，講授新課
第(2)題的兩個方程中，未知數(shù)的系數(shù)有什么特點(diǎn)?(互為相反數(shù))根據(jù)等式的性質(zhì)，如果把這兩個方程的左邊與左邊相加，右邊與右邊相加，就可以消掉，得到一個一元一次方程，進(jìn)而求得二元一次方程組的解.
解：①+②，得
把代入①，得
學(xué)生活動：比較用這種方法得到的、值是否與用代入法得到的相同.(相同)
上面方程組的兩個方程中，因?yàn)榈南禂?shù)互為相反數(shù)，所以我們把兩個方程相加，就消去了.觀察一下，的系數(shù)有何特點(diǎn)?(相等)方程①和方程②經(jīng)過怎樣的變化可以消去?(相減)
學(xué)生活動：觀察、思考，嘗試用①-②消元，解方程組，比較結(jié)果是否與用①+②得到的結(jié)果相同.(相同)
我們將原方程組的兩個方程相加或相減，把“二元”化成了“一元”，從而得到了方程組的解.像這種解二元一次方程組的方法叫加減消元法，簡稱“加減法”.
提問：①比較上面解二元一次方程組的方法，是用代入法簡單，還是用加減法簡單?(加減法)
②在什么條件下可以用加減法進(jìn)行消元?(某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù))
③什么條件下用加法、什么條件下用減法?(某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時用加法，系數(shù)相等時用減法)
【教法說明】這幾個問題，可使學(xué)生明確使用加減法的條件，體會在某些條件下使用加減法的優(yōu)越性.
例1解方程組
哪個未知數(shù)的系數(shù)有特點(diǎn)?(的系數(shù)相等)把這兩個方程怎樣變化可以消去?(相減)
學(xué)生活動：回答問題后，獨(dú)立完成例1，一個學(xué)生板演.
解：①-②，得
把代入②，得
(1)檢驗(yàn)一下，所得結(jié)果是否正確?
(2)用②-①可以消掉嗎?(可以)是用①-②，還是用②-①計(jì)算比較簡單?(①-②簡單)
(3)把代入①，的值是多少?()，是代入①計(jì)算簡單還是代入②計(jì)算簡單?(代入系數(shù)較簡單的方程)
練習(xí)：P23l.(l)(2)(3)，分組練習(xí)，并把學(xué)生的解題過程在投影儀上顯示.
小結(jié)：用加減法解二元一次方程組的條件是某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等.
例2解方程組
(1)上面的方程組是否符合用加減法消元的條件?(不符合)
(2)如何轉(zhuǎn)化可使某個未知數(shù)
系數(shù)的絕對值相等?(①×2或②×3)
歸納：如果兩個方程中，未知數(shù)系數(shù)的絕對值都不相等，可以在方程兩邊部乘以同一個適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個方程中有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，然后再加減消元.
學(xué)生活動：獨(dú)立解題，并把一名學(xué)生解題過程在投影儀上顯示.
學(xué)生活動：總結(jié)用加減法解二元一次方程組的步驟.
①變形，使某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等.
②加減消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一個未知數(shù)的值，從而得方程組的解.
3.嘗試反饋，鞏固知識
練習(xí)：P231.(4)(5).
【教法說明】通過練習(xí)，使學(xué)生熟練地用加減法解二元一次方程組并能在練習(xí)中摸索運(yùn)算技巧，培養(yǎng)能力.
4.變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力
(1)選擇：二元一次方程組的解是()
A.B.C.D.
(2)已知，求、的值.
學(xué)生活動：第(1)題口答，第(2)題在練習(xí)本上完成.
【教法說明】第(1)題可以用解方程組的方法得解，也可以把四組值分別代入原方程組中，利用檢驗(yàn)的方法解，這道題能訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性;第(2)題通過分析，學(xué)生可得方程組從而求得、的值.此題可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的綜合能力.
(四)總結(jié)、擴(kuò)展
1.用加減法解二元一次方程組的思想：
2.用加減法解二元一次方程組的條件：某一未知數(shù)系數(shù)絕對值相等.
3.用加減法解二元一次方程組的步驟：
八、布置作業(yè)
(一)必做題：P241.
(二)選做題：P25B組1.
(三)預(yù)習(xí)：下節(jié)課內(nèi)容.
參考答案
摘 要： 方程作為初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，以一元一次方程作為基礎(chǔ)，能正確求解一元一次方程顯得尤為關(guān)鍵。本文以例指出學(xué)生解方程時常見錯誤，并進(jìn)行成因分析，以幫助學(xué)生提高成績。
關(guān)鍵詞： 一元一次方程 常見錯誤 成因分析
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一般喜歡贊美成功，不喜歡學(xué)生的錯誤。教師往往對學(xué)生出現(xiàn)的錯誤缺乏深入的分析與研究，對學(xué)生常見的錯誤沒有從新舊知識的銜接、學(xué)生的心理狀況等方面進(jìn)行細(xì)致的成因分析，導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在困擾。德國哲學(xué)家黑格爾曾說：錯誤本身是達(dá)到真理的一個必然的環(huán)節(jié)，由于錯誤，真理才會被發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中對學(xué)生的錯誤進(jìn)行成因探析，可以了解學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的缺陷，及時了解學(xué)生對新知識的理解、掌握情況，真正了解學(xué)生內(nèi)心的想法，使新舊知識有效銜接，學(xué)生可以在教師的幫助下完善自己的原有認(rèn)知，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。
1.解一元一次方程常見錯因分析
方程是表示現(xiàn)實(shí)世界中一類具有等量關(guān)系問題的重要數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的重要工具之一，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本運(yùn)算工具。它作為初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，分為一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程。一元一次方程更是最基礎(chǔ)的方程，是求解其他方程的必備條件，一元一次方程的解法是有理數(shù)與整式運(yùn)算的綜合運(yùn)用，也是今后學(xué)元一次方程組、一元一次不等式（組）及一元二次方程的基礎(chǔ)。而且許多方程最終都要化為一元一次方程求解，因此熟練地求解一元一次方程就顯得特別重要。但是學(xué)生學(xué)習(xí)解一元一次方程時由于粗心或?qū)σ恍┻\(yùn)算法則、概念理解不透徹，時常會出現(xiàn)許多錯誤，如移項(xiàng)忘變號、去括號出錯、去分母出錯、解含有絕對值的一元一次方程漏解。以下筆者就列舉幾個學(xué)生在作業(yè)中最容易出錯的例子，與同仁們共享，以求減少學(xué)生的錯誤。
1.1去括號錯誤。
括號前是“-”，學(xué)生去括號時沒變號導(dǎo)致出錯。去括號錯誤是初中學(xué)生經(jīng)常出錯的地方，由于七年級學(xué)生剛從小學(xué)升入初中，數(shù)學(xué)教學(xué)中引入負(fù)數(shù)，對學(xué)生來說是一個難點(diǎn)，讓初學(xué)者一下子接受很困難。根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，學(xué)生的原認(rèn)知還停留在正數(shù)（比零大的數(shù)）上，此時新舊知識發(fā)生激烈碰撞，學(xué)生就疑惑，負(fù)數(shù)的引入自然成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而且馬上要進(jìn)行負(fù)數(shù)的運(yùn)算，符號的變換使得學(xué)生產(chǎn)生困惑，因此去括號時就會出錯。教師在教學(xué)時要深入挖掘?qū)W生原有認(rèn)知水平，在此基礎(chǔ)上啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生獲得新知識。教學(xué)要走在學(xué)生發(fā)展的前面，教學(xué)要依托學(xué)生的原有認(rèn)知及心理發(fā)展水平，如果教師不進(jìn)行學(xué)情分析，盲目講授新知識的，學(xué)生就會產(chǎn)生困惑。如教師講授去括號時可以先講授括號外面是“+”號的情況，同時強(qiáng)調(diào)、復(fù)習(xí)乘法分配律，復(fù)習(xí)鞏固整式的運(yùn)算（合并同類項(xiàng)，去括號、添括號），在此基礎(chǔ)上將括號前的“+”變成“-”，說明負(fù)負(fù)得正，教師黑板演示，學(xué)生觀察、對比符號的變化。在此基礎(chǔ)上提高學(xué)生的原有認(rèn)知水平，很自然過渡到括號前面是“-”的情況，教學(xué)效果可能會更好。
另外出錯原因在于學(xué)生由于看到大量括號，心里首先產(chǎn)生畏懼，對乘法分配律的運(yùn)用不熟練而導(dǎo)致出錯。根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，教學(xué)要走在發(fā)展的前面，因此教師教學(xué)時首先要分析學(xué)生可能出錯的地方及出錯的原因，大膽揣測學(xué)生的心理活動。對于此種題目，由于括號多形式看上去復(fù)雜，學(xué)生往往不知如何入手，運(yùn)用分配律求解時容易出錯。鑒于此，教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生渡過這個難關(guān)，鼓勵學(xué)生解題時認(rèn)真、仔細(xì)，對于這種題目，求解時往往有兩種思路：一種是從里面到外面去括號；另一種是從外面到里面去括號。采取“層層剝”的方式，直到去掉所有括號，化為最簡形式，這樣學(xué)生求解化簡時才會得心應(yīng)手，減少錯誤。
成因分析：例3的錯誤在于混淆等式的基本性質(zhì)2（給一個等式每一項(xiàng)都乘以或除以同一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍然是等式）和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（給分?jǐn)?shù)的分子分母同時乘以同一個數(shù)，結(jié)果和原分?jǐn)?shù)相等）。學(xué)生解題時由于記著去分母要給每一項(xiàng)都乘同一個數(shù)，但這不是去分母，僅僅是將分母的小數(shù)化為整數(shù)，沒有弄明白這兩者從而導(dǎo)致出錯。鑒于此種錯誤的原認(rèn)知，教師教學(xué)時應(yīng)該幫助學(xué)生首先回顧分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及等式基本性質(zhì)，使學(xué)生的原認(rèn)知水平得到糾正，在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生建立新知識，幫助學(xué)生解決疑惑，避免此種錯誤再現(xiàn)。
（作者系天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院15級研究生）
1、第一章有理數(shù)：正數(shù)和負(fù)數(shù)、數(shù)軸、有理數(shù)的大小、有理數(shù)的加減、有理數(shù)的乘除、有理數(shù)的乘方、近似數(shù)。
2、第二章整式加減：用字母表示數(shù)、代數(shù)式、整式加減。
3、第三章一次方程與方程組：一元一次方程及其解法、二元一次方程組、消元解方程組、用一次方程（組）解決問題。
4、第四章直線與角：多彩的幾何圖形、線段、射線、直線、線段的比較、角的度量、作線段與角。
5、第五章數(shù)據(jù)的收集與整理：數(shù)據(jù)的收集、數(shù)據(jù)的整理、統(tǒng)計(jì)圖的選擇、從圖表中獲取信息。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
關(guān)鍵詞：自主性學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)教學(xué)；實(shí)踐
轉(zhuǎn)變他主性、被動性的學(xué)習(xí)狀態(tài)，把學(xué)習(xí)變成人的主體性、能動性、獨(dú)立性，不斷生成張揚(yáng)、發(fā)展、提高的過程，是自主性學(xué)習(xí)的基本學(xué)習(xí)觀。凸顯學(xué)習(xí)過程中的發(fā)現(xiàn)、探索、研究，使學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程。
一、自主性學(xué)習(xí)在教學(xué)中的實(shí)踐
自主性學(xué)習(xí)的基本程序是：確定學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)生自學(xué)自學(xué)檢查集體討論教師講解練習(xí)鞏固課堂小結(jié)。教無定法，此模式流程可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求及教育對象進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和組合。
1.導(dǎo)讀――發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、確定學(xué)習(xí)目標(biāo)
在知識的導(dǎo)入階段，有時通過對舊知識的復(fù)習(xí)和鞏固可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中存在的問題，或者關(guān)聯(lián)的知識從而引出新
知；有時需要創(chuàng)設(shè)問題情境，有趣故事的引入，生活問題的介入，使學(xué)生感到好奇，激發(fā)學(xué)生對探求新知的欲望。
例如，在《解一元一次方程》教學(xué)中，設(shè)置兩道練習(xí)題來復(fù)習(xí)去括號和求解不含括號的一元一次方程：
（1）去括號3（x-2）+1= ；
x-（2x-1）= ；
（2）解方程3x-5=x-2x+1
再提問：3（x-2）+1=x-（2x-1）這類方程如何求解？
2.自讀、自查、集體討論――分析問題、解決問題
在確定學(xué)習(xí)目標(biāo)之后，通過學(xué)生的自讀、分析、弄清知識的內(nèi)在關(guān)系，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動性、創(chuàng)造性和獨(dú)立性。自讀之后，教師通過設(shè)問質(zhì)疑以及問題的呈現(xiàn)，讓學(xué)生自己檢查自學(xué)的效果，檢查對新知識的認(rèn)識是否全面、深刻。教學(xué)過程中鼓勵學(xué)生互相交流意見和看法、互相質(zhì)疑、互相補(bǔ)充回答，從而在對教材內(nèi)容的理解分析中優(yōu)化產(chǎn)生共識。
例如，在《二元一次方程組的解法》的教學(xué)中，通過學(xué)生自讀，分析弄清知識的內(nèi)在聯(lián)系。之后通過設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生解決問題。
解方程組：x=3y+2――①
x+3y=8――②
讓學(xué)生求解，解完方程組后互相探討、交流意見，之后請同學(xué)來講解。
學(xué)生1：因?yàn)榉匠挞僦衳=3y+2，可用3y+2代方程②中的x，從而把二元一次方程組化為已學(xué)過的一元一次方程組，可求出y值，代入方程①便可求出x的值。
學(xué)生2：可由方程②變形為x=8-3y，再與方程①結(jié)合便可得3y+2=8-3y，從而求出y值。
學(xué)生3：可以由方程①變形為y=（x-2）/3，再把它代入方程②，轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元一次方程。
學(xué)生4：可以由方程①變形為3y=x-2，再由x-2代入方程②中的3y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元一次方程。
3.知識總結(jié)，鞏固和深化
學(xué)生在前面環(huán)節(jié)中獲得的知識是一種點(diǎn)型知識或線型知識，必須把這種點(diǎn)型知識或線型知識上升到面型知識，或者說認(rèn)識要經(jīng)過從個別到一般的過程，這就要求進(jìn)行必要的小結(jié)。學(xué)生進(jìn)行自我總結(jié)是自主性學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。知識的深化是知識的轉(zhuǎn)化、遷移過程，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散，能力的提高。
就以上《二元一次方程組的解法》的教學(xué)案例，可以根據(jù)學(xué)生的討論結(jié)果進(jìn)行設(shè)問：以上哪幾種解法是正確的，哪幾種解法是錯誤的？解二元一次方程組的一般步驟是什么？
二、自主性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)應(yīng)處理兩個關(guān)系
1.各種教學(xué)方式之間的關(guān)系
教學(xué)方式的選擇要適應(yīng)教學(xué)目標(biāo)。或是講授知識、或是組織引導(dǎo)學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)問題，都應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容來確定，由于教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容是多層和多樣化的，課堂教學(xué)中不同的教學(xué)方式是相互交織的，這就有利于不同教學(xué)方式的優(yōu)勢互補(bǔ)。對于那些獨(dú)立而簡單的問題，教學(xué)的基本目的是知識的理解，可以采用講授式教學(xué)。此外，學(xué)生的心理準(zhǔn)備不足，或?qū)W生缺乏一定的認(rèn)知水平和技能技巧，教學(xué)方式的選擇也應(yīng)以講授為主。對于那些精妙的概念原理、知識的聯(lián)系、抽象的空間以及與數(shù)的關(guān)系、觀察與實(shí)驗(yàn)等教學(xué)內(nèi)容，由于這些內(nèi)容學(xué)生易于誤解或需要探究和檢驗(yàn)，教學(xué)中可以采用教師指導(dǎo)下的自主性學(xué)習(xí)進(jìn)行，這
有利于學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，更有利于讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，
掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。
2.學(xué)生自主性學(xué)習(xí)與教師指導(dǎo)的關(guān)系
所謂“系統(tǒng)思維”就是把認(rèn)識對象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系、相互作用中綜合地考察認(rèn)識對象的一種思維方法。
初中數(shù)學(xué)中，數(shù)、式及其運(yùn)算，方程與不等式，一次函數(shù)、二次函數(shù)，三角形、四邊形等等，都是一個系統(tǒng)。但考慮到學(xué)生發(fā)展的水平層次需要，教材也是將各部分錯落安排在了三年的不同階段中。也只有當(dāng)教師進(jìn)行中考總復(fù)習(xí)時，才會將各個板塊整合在一個系統(tǒng)下來看待，以強(qiáng)調(diào)其中的關(guān)聯(lián)性。那我們能否可以在平常的教學(xué)活動中就讓學(xué)生不斷地體會感悟數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系系呢，比如概念課。結(jié)合區(qū)里開展的“預(yù)學(xué)先行，小組合作”教學(xué)模式，我作了以下嘗試。
二、教材內(nèi)容分析
浙教版數(shù)學(xué)八下2.1《一元二次方程》是一節(jié)概念課，又是這一章的起始課，教材的處理方式是用兩個來源于生活和生產(chǎn)實(shí)際中的問題作為情境，由學(xué)生列出兩個一元二次方程，感受一元二次方程的產(chǎn)生過程，并從而得出一元二次方程的定義。
如果只從教材教的角度分析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，就容易忽視各種類型方程之間的關(guān)系。對于學(xué)生來說，一元二次方程已經(jīng)不是一個獨(dú)立的新的知識，只是一元一次方程向多元高次方程的一個延續(xù)。所以，應(yīng)該順著方程學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，在系統(tǒng)的思維下審視這堂概念課，對課程資源進(jìn)行有效整合，改變教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和順序，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的整體性。這種基于系統(tǒng)思維下的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)，我把它理解為：舊經(jīng)驗(yàn)，類比遷，其義見，新知建，整體聯(lián)，橫縱延。
三、課前自學(xué)預(yù)案設(shè)計(jì)說明
1.你能任意寫一個一元一次方程嗎？你還記得一元一次方程是如何定義的嗎？
設(shè)計(jì)說明：這樣設(shè)計(jì)，由簡入手，并讓學(xué)生回憶所學(xué)，為類比一元二次方程的定義做鋪墊。
2.請你在下列五個代數(shù)式中選取兩個，用等號連接，構(gòu)建盡可能多的方程。
2x+1，4，x2，y，x3
（1）請指出你所寫的方程中哪些是我們學(xué)過的，哪些是我們沒學(xué)過的？
（2）你所寫的方程中哪些是一元一次方程？
（3）你能類比一元一次方程的概念給一元二次方程下個定義嗎？
（4）你所寫的方程中哪些是一元二次方程？
（5）為了方便學(xué)習(xí)一元二次方程，預(yù)習(xí)書本后你能寫出它的一般形式嗎？
（6）你能給其他方程命名嗎？
設(shè)計(jì)說明：第2題的一連串問題是基于以下的考慮，在學(xué)生構(gòu)建方程（這里針對的是整式方程）的過程中，勢必跌宕起伏，有些方程熟悉，有些方程陌生，便會心生疑惑，而我們正是要解學(xué)生這一惑，在學(xué)生已有的方程知識基礎(chǔ)上（一元一次方程）類比遷移出一元二次方程的概念，而同時對“元”――未知數(shù)的個數(shù)和“次”――未知數(shù)的最高次數(shù)這兩個概念更進(jìn)一步深入了解，以達(dá)到可以對高次多元方程進(jìn)行命名而不陌生的目的，在系統(tǒng)內(nèi)對方程這個大家族有一個更深刻的認(rèn)識。
3.學(xué)習(xí)一元一次方程時我們從哪幾方面入手？你覺得我們可以學(xué)習(xí)一元二次方程的哪些方面？
設(shè)計(jì)說明：這一問題的設(shè)置，也是建立在學(xué)生已有的方程學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上，方程的概念，方程解的概念，方程的解法，方程的應(yīng)用等等，也是可以遷移到一元二次方程身上來的。讓學(xué)生明白方程的學(xué)習(xí)可以建立在系統(tǒng)的思維下，也更能深刻地理解知識都是有聯(lián)系和傳承的，學(xué)習(xí)是有經(jīng)驗(yàn)的。結(jié)合之前所提到的高次多元方程，雖然我們暫時不接觸類似方程，但如果學(xué)到也可以類比基礎(chǔ)方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。
四、課中研學(xué)學(xué)案設(shè)計(jì)說明
1.概念認(rèn)知。同桌合作，寫出兩個方程，使方程①不是一元二次方程，并寫出不是的原因；使方程②是一元二次方程，并指出其一般形式，二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。
設(shè)計(jì)說明：活動的目的是為了更好得辨識一元二次方程一般形式。同桌對學(xué)，學(xué)生自主編題，教師挑選優(yōu)秀自編方程板演到黑板，由其他小組同學(xué)回答相關(guān)問題。這一過程可發(fā)揮學(xué)生的自主能動性和創(chuàng)造力，讓學(xué)生站在命題者的高度去思考問題。恰恰也就是這些出自于學(xué)生之手的方程，是很多老師上課舉例講解的例題或是習(xí)題，而且形式各樣，并且具有代表性，學(xué)生的想象力，創(chuàng)造力和模仿能力超過預(yù)期。
2.解法探究。獨(dú)學(xué)完成：①已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值。
②已知一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根為x1=3和x2=-1，求這個方程。
設(shè)計(jì)說明：學(xué)生之前提及了一元一次方程和二元一次方程組的解的概念，再次熟悉方程學(xué)習(xí)的思維架構(gòu)。設(shè)置一元二次方程的解（或根）的應(yīng)用，習(xí)題難度設(shè)置具有梯度性。學(xué)生投影展示講解，增強(qiáng)語言組織能力，表達(dá)分析能力。
3.顆粒歸倉。設(shè)計(jì)說明：學(xué)生自主小結(jié)，回味系統(tǒng)思維下的方程觀，以及所學(xué)的一元二次方程。讓學(xué)生明白一元二次方程從哪里來，到哪里去，是怎樣去的，并感悟數(shù)學(xué)知識是有機(jī)并相互聯(lián)系的。
五、系統(tǒng)思維教學(xué)感悟
一、轉(zhuǎn)化思想
二元一次方程組的解法的實(shí)質(zhì)就是借助“消元”（加減消元和代入消元是兩種最常見的消元方法）的方法將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”.“轉(zhuǎn)化”思想就是將復(fù)雜的、陌生的問題遷移為簡單的、熟悉的問題進(jìn)行求解，這是學(xué)習(xí)新知識、研究新問題的一種基本方法.
例1 已知2a2m-nb3與[-12ab12m+n]是同類項(xiàng)，求m、n的值.
【分析】同類項(xiàng)要求相同字母的指數(shù)相同，故有[2m-n=1，12m+n=3.]解得[m=85，n=115.]
【點(diǎn)評】本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想.第一，根據(jù)同類項(xiàng)的定義，將求解m、n的問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于m、n的二元一次方程組的問題；第二，運(yùn)用“消元”的方法，將解二元一次方程組問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程問題.當(dāng)然本題還運(yùn)用了方程的思想.
二、整體思想
整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，對問題進(jìn)行整體處理的解題方法.從整體上去認(rèn)識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養(yǎng)同學(xué)們思維的靈活性、敏捷性.
例2 解方程M[2x+3y-2=0， ①2x+3y+57-2y=9. ②]
【分析】方程①②中均含有2x+3y，可用整體思想求解.
由①得2x+3y=2，③
把③代入②得[2+57]-2y=9，解得y=-4，
再把y=-4代入①，得x=7，
所以方程組的解為[x=7，y=-4.]
【點(diǎn)評】我們在解題過程中經(jīng)常使用整體思想，整體思想使用得恰當(dāng)，能提高解題效率和能力，減少不必要的計(jì)算，少走彎路.
三、換元思想
換元法在初中代數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，它通過用一個字母表示一個整體進(jìn)行變量替換，將形式簡化，從而達(dá)到化繁為簡，化隱為顯，化難為易的目的.
例3 解方程組[4x+y-3x-y=14，x+y2+x-y3=6.]
【分析】把方程組中的x+y與x-y進(jìn)行整體換元，簡化方程組.
設(shè)[x+y2]=u，[x-y3]=v，則原方程組變?yōu)閇8u-9v=14， ①u+v=6. ②]
由①+②×9得17u=68，u=4. 將u=4代入②中得v=2.[x+y=8，x-y=6.]解得[x=7，y=1.]
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)類比思想 有效課堂教學(xué) 探析
回顧基礎(chǔ)教育改革所走過的十個年頭，期間出現(xiàn)過許多標(biāo)新立異的教學(xué)模式。其中，有不少因?yàn)橹蛔⒅卣n堂熱鬧形式，而輕視教學(xué)實(shí)質(zhì)的教學(xué)模式，現(xiàn)已成為過去。正如教無定法，貴在得法。如何把初中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)上得扎扎實(shí)實(shí)，真正實(shí)現(xiàn)有效課堂教學(xué)呢？筆者在二十多年的教學(xué)實(shí)踐中，堅(jiān)持對不同的學(xué)生和不同的教學(xué)內(nèi)容選擇不同的教學(xué)模式。其中，在數(shù)學(xué)概念、法則和性質(zhì)等新授課的課堂教學(xué)中，經(jīng)常采用的是數(shù)學(xué)類比模式開展課堂教學(xué)。對此，筆者做了一些探究與嘗試。
一、對數(shù)學(xué)類比思想的認(rèn)識
正如著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“類比就是一種相似。”數(shù)學(xué)類比就是將兩類相似的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行比較，根據(jù)兩者相似的本質(zhì)屬性，把已知的數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一種未知的數(shù)學(xué)對象之中。類比思想是聯(lián)系新舊知識的紐帶，有利于幫助學(xué)生開拓?cái)?shù)學(xué)思路，找到解決問題的途徑和方法。在初中數(shù)學(xué)的教材中，有很多的概念、性質(zhì)、判定和解題方法都可以采用類比模式進(jìn)行教學(xué)。恰當(dāng)運(yùn)用類比方法，甚至還能解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。在運(yùn)用類比時，應(yīng)找準(zhǔn)被類比的數(shù)學(xué)對象。被類比的數(shù)學(xué)對象，應(yīng)該是學(xué)生最熟識、最常見和最具體的。
二、數(shù)學(xué)概念的類比
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)之魂，是建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系的奠基石。數(shù)學(xué)概念非常多，如果靠死記硬背去記憶概念，學(xué)生必然難以應(yīng)付，自然會產(chǎn)生厭學(xué)情緒。其實(shí)，有很多數(shù)學(xué)概念是非常相似的，如果將它們進(jìn)行類比，從中找出它們的共同點(diǎn)，辨別出它們的差異。這樣，學(xué)生既強(qiáng)化了對原有概念的認(rèn)識，掌握了新知識，又建構(gòu)了全面和牢固的概念體系。
案例分析1.在講授二元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、二元一次不等式和一元二次不等式等數(shù)學(xué)概念，都可以一元一次方程概念作為已知對象進(jìn)行類比獲取新的認(rèn)知。如將一元一次方程中前面的“一”改為“二”， 就可以得出二元一次方程概念；將其后面的“一”改為“二”， 就可以得出一元二次方程概念；再將“等式”改為“不等式”就可以分別得出一元一次不等式、二元一次不等式和一元二次不等式等四個概念。
這樣，以一元一次方程概念為對象，通過橫向與縱向的類比，就建構(gòu)出方程與不等式的概念體系。
三、數(shù)學(xué)性質(zhì)、判定和法則的類比
數(shù)學(xué)的性質(zhì)、判定和法則是解決同類數(shù)學(xué)問題的一般規(guī)律，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)性質(zhì)、判定或法則時，應(yīng)找到一個與它相似的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行類比，通過觀察、比較、分析和聯(lián)想，甚至猜想，從而推導(dǎo)出新的數(shù)學(xué)對象所具有的本質(zhì)屬性。
案例分析2.異分母的分式加減法則既是分式的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。筆者在教學(xué)中是通過以下的類比模式來完成教學(xué)的：
教師：請同學(xué)們回顧——異分母的分?jǐn)?shù)加減法則。
學(xué)生：算一算：■+■=？ ■-■=？
師生：一般地，異分母的分?jǐn)?shù)相加減，先通分，化為同分母的分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行加減運(yùn)算。
教師：猜一猜——異分母的分式如何加減運(yùn)算呢？
學(xué)生：試一試：■+■=？ ■+■=？
師生：通過運(yùn)算、類比和猜想，得到異分母的分式加減法則：
文字語言：一般地，異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，再進(jìn)行加減運(yùn)算。
數(shù)學(xué)符合：■±■=■±■=■
這樣，以分?jǐn)?shù)加減法則為類比對象，通過訓(xùn)練、分析、觀察、類比和猜想，從而推導(dǎo)出異分母的分式加減法則。這樣，學(xué)生不但鞏固了分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算法則，掌握了新的異分母的分式加減法則，而且學(xué)生的思維能力、觀察能力和創(chuàng)新意識都能得到培養(yǎng)與提高。
四、解題方法的類比
在解決數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常會遇到一題多解和多題一解的情況。運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想，很多同類的數(shù)學(xué)問題，甚至是復(fù)雜的、尚未學(xué)到的數(shù)學(xué)問題，都可以得到解決。
案例分析3. 解決可化為一元二次方程的分式方程，可以類比用可化為一元一次方程的分式方程的方法和步驟。通過去分母和化簡，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解決。同樣，解決二元二次方程組，可以類比用解二元一次方程組的方法，通過消元、降次，把二元二次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程或一元一次方程。
例：解分式方程■+■+■=1
解：去分母，得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2）
移項(xiàng)合并整理，得x2-3x+2=0
解 得x1=1 x2=2
檢 驗(yàn)：把x1=1代入（x+2）（x-2）≠0
把x2=2代入（x+2）（x-2）=0
所以x=2是原方程的增根，x=1是原方程的根
將解可化為一元一次方程的分式方程的方法，可以類比到解可化為一元二次方程的分式方程；將解二元一次方程組的方法，可以類比到解二元二次方程組，確實(shí)有觸類旁通、異曲同工之效。
案例分析4.運(yùn)用直接開平方法解方程x2=4（解為x=±2）的方法，可以拓展運(yùn)用到解以下四個類型的方程①x2-4=0②2x2-8=0③（x+2）2=4④2（x+2）2-8=0。解將一元二次方程進(jìn)行配方，實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為是直接開平方法。
案例分析5.應(yīng)用因式分解法（十字相乘法）解方程x2-5x+6=0。
（（x-2）（x-3）=0？圯x-2=0 x-3=0？圯x=2 x=3）的方法，可以運(yùn)用到解以下比較復(fù)雜的四個方程：①（x-2）2-5（x-2）+6=0②x4-5x2+6=0③■2-■+6=0 ④x-5■+8=0。
上述兩個案例都是以一道題目作為切入點(diǎn)，將它的解題思路和方法，通過舉一反三引用到解決同類型的題目。
五、類比在中考中的應(yīng)用
閱讀理解題和觀察分析題是近幾年中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)題型。要解決這類題型，關(guān)鍵是根據(jù)題目所提供的信息，發(fā)掘其隱含的條件，通過分析、推理、聯(lián)想與猜想，從而找到解題的思路和方法。
案例分析6.（2012年廣東省中考題）觀察下列等式：
第1個等式：a1=■=■×1-■；
第2個等式：a2=■=■×■-■：
第3個等式：a3=■=■×■-■；
第4個等式：a4=■=■×■-■；
………………………………
請解答下列問題：
①按以上規(guī)律列出第5個等式：a5 =____
=_____；
②用含n的代數(shù)式表示第個n等式：an =___
=_____；（n為正整數(shù)）
③求a1+a2+a3+a4…+a100的值。
通過對四個等式橫向和縱向的比較，不難發(fā)現(xiàn)它們的相同點(diǎn)都含有數(shù)字■和一樣的結(jié)構(gòu)特征，相關(guān)的數(shù)字都跟第n個等式的值有關(guān)，其他分母都是含有與有關(guān)的兩個連續(xù)奇數(shù)2n-1和2n+1。
其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，還有很多教學(xué)內(nèi)容可以運(yùn)用類比模式。例如，二次函數(shù)圖象之間的類比，n邊形內(nèi)角和=（n-2）×180與三角形內(nèi)角和180的類比，矩形、正方形和菱形與平行四邊形的類比，梯形中位線與三角形中位線的類比，相似三角形與全等三角形的類比……當(dāng)然，選擇類比的數(shù)學(xué)對象應(yīng)恰當(dāng)，要防止生搬硬套的類比。
正如波利亞所說：“類比是一個偉大的引路人。”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用類比，具有承前啟后和事半功倍之效，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維和解決問題的思路能豁然開朗。為此，我們確實(shí)要用數(shù)學(xué)類比思想建構(gòu)數(shù)學(xué)有效課堂教學(xué)，確實(shí)做好學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的“引路人”。
參考文獻(xiàn)：
[1]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)七、八、九年級.人民教育出版社，2001（2）.
[2]何小亞.數(shù)學(xué)-學(xué)與教的心理學(xué).廣州：華南理工大學(xué)出版社，2011（8）.
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；懸念；欲望
提倡素質(zhì)教育、創(chuàng)新教育的今天，傳統(tǒng)教材的內(nèi)容與設(shè)計(jì)思路已越來越不能適應(yīng)。新課程的出現(xiàn)，像一場及時的春雨，煥發(fā)出勃勃的生機(jī)與活力，為廣大教師提供了學(xué)習(xí)、改革和發(fā)展的機(jī)會，同時也提出了挑戰(zhàn)。課堂教學(xué)依然是數(shù)學(xué)教學(xué)的主渠道，以講授法為主的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方法已經(jīng)不能完全滿足新課程的需要。
一、從問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探索新知
教師在精心研究教材的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一系列問題，讓學(xué)生在思考、解決這些問題中獲取新的知識，使學(xué)生既能體驗(yàn)探索新知的過程，又能體會成功的喜悅。如，在《多邊形的內(nèi)角和》的教學(xué)中，多邊形的定義及其相關(guān)概念學(xué)生很快就能接受。但是多邊形的內(nèi)角和=（n-2）180°，需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)。實(shí)踐中我是這樣做的：
請同學(xué)們先畫圖，再觀察，回答下列問題，并記入下表。
1.四邊形、五邊形、六邊形分別從一個頂點(diǎn)出發(fā)能引幾條對角線？這些對角線分別把四邊形、五邊形、六邊形分成多少個三角形？四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和分別是多少度？
2.從1中的結(jié)果中你能分析、總結(jié)出n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)能引幾條對角線？這些對角線把n邊形分成多少個三角形？n邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？
第1問學(xué)生很快可以解決，第2問讓學(xué)生先自己考慮5分鐘，然后讓學(xué)生分組討論，再派代表發(fā)言。教師最后總結(jié)。這樣整個公式的得出都是學(xué)生自己的勞動成果，從中還體會到多邊形的問題往往要轉(zhuǎn)化三角形來解決數(shù)學(xué)思想方法。比老師一味的講解后，再讓學(xué)生記住效果自然好得多。
二、從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探索新知
讓學(xué)生先通過實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論，獲得感性認(rèn)識，再引導(dǎo)學(xué)生解釋得到的結(jié)論。讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識也是來源于實(shí)踐，最終還運(yùn)用到實(shí)踐中去的道理。
如，在《用相同的正多邊形拼地板》的教學(xué)中，讓學(xué)生拿出預(yù)先準(zhǔn)備好的若干張正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形。先用正三角形拼圖，你能拼出既不留空隙，又不重復(fù)的平面圖形？再依次用正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形試一試，哪些可以，哪些不可以，通過學(xué)生實(shí)驗(yàn)很容易找到答案。然后引導(dǎo)學(xué)生思考為什么正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形能拼出既不留空隙，又不重復(fù)的平面圖形？而正八邊形不能？再讓學(xué)生分組討論，最后派代表發(fā)言。教師最后總結(jié)。這樣學(xué)到的知識學(xué)生就掌握得很牢固，讓學(xué)生思考任意相同的三角形、四邊形能拼出既不留空隙，又不重復(fù)的平面圖形嗎？為什么？對這個問題的回答也可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識的能力。
三、設(shè)計(jì)懸念，激發(fā)學(xué)生的自學(xué)欲望
有些內(nèi)容，教師可以通過創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)懸念，激發(fā)學(xué)生的自學(xué)欲望。既讓學(xué)生“學(xué)會”，又要培養(yǎng)學(xué)生“會學(xué)”的能力。
如，在《二元一次方程組的解法》的教學(xué)中，告訴學(xué)生解二元一次方程組的方法是：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解的。轉(zhuǎn)化的過程就是消元的過程，即把二元一次方程組中的兩個未知數(shù)消去一個未知數(shù)轉(zhuǎn)化成一元一次方程的過程。而一元一次方程我們已經(jīng)掌握了，那么怎樣來消元呢？請學(xué)生看書自學(xué)。10分鐘后讓學(xué)生做練習(xí)，教師在下面巡視，把發(fā)現(xiàn)的錯誤都寫在黑板上，讓學(xué)生找錯誤并改正。教師最后總結(jié)，這樣學(xué)生不僅題會做了，而且做題中容易犯的錯誤也得到了解決。
四、寓學(xué)習(xí)方法于教學(xué)之中
教學(xué)生學(xué)會知識的同時，如果能滲透學(xué)習(xí)方法于教學(xué)中，使學(xué)生做一題，通一類，既能拓寬學(xué)生的解題思路，還能起到事半功倍的作用。
如，在講解習(xí)題：已知，如圖，在ABC中∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度數(shù)。
此題學(xué)生很容易解決，如能引導(dǎo)學(xué)生將條件∠ABC=80°，∠ACB=50°，做如下變化：
（1）∠ABC+∠ACB=130°
（2）∠BAC=50°
這樣將此題進(jìn)一步變式，就深化了通過做此題學(xué)生還會總結(jié)出∠BPC與∠BAC的關(guān)系：∠BPC=■∠BAC+90°，已知∠BPC與∠BAC中的一個，可以求另一個。這樣講解例題，既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能教會學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)，還能更深層次地掌握此題。
一、轉(zhuǎn)化思想
轉(zhuǎn)化正是在數(shù)學(xué)解題過程中經(jīng)常用到的一種重要思維方法，通過轉(zhuǎn)化將那些生疏的問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的，把那些抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的。比如，在二元一次方程組解題過程當(dāng)中我們常常用到的消元法，其核心的思想就是把學(xué)生們剛剛接觸到的二元一次方程組這樣的新知識轉(zhuǎn)化為他們以前較為熟悉的一元一次方程來解決問題。這就體現(xiàn)了在轉(zhuǎn)化過程中把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，把較難的問題轉(zhuǎn)化為相對容易的問題來解決。如何運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，就需要老師在課堂中通過一個個教學(xué)案例來傳授給學(xué)生這種數(shù)學(xué)思想，最終實(shí)現(xiàn)舉一反三，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，提高他們解決實(shí)際問題的能力。
例1： 解方程組6x-3y=15 ①3x-y=13 ②
解：②×2-①得，y=11
把y=11代入①，得x=8
方程組解為x=8y=11
例1的二元一次方程式的解題過程中所利用加減消元法，把剛剛接觸到的二元一次方程組轉(zhuǎn)化成同學(xué)們以前較為熟知的一元一次方程來求解。當(dāng)然，例1實(shí)際也可以通過代入消元法來最終求得x、y值，其實(shí)，這種代入消元法所體現(xiàn)的思想也是一種轉(zhuǎn)化思想，即將二元一次轉(zhuǎn)化為一元一次來求解。
二、整體思想
整體思想也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是指把問題看成是一個個完整的整體，注重對這些問題的整體結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)改造最終實(shí)現(xiàn)問題解決的一種思維過程，運(yùn)用整體思想來解決二元一次方程組題解往往會起到改進(jìn)和優(yōu)化整個解題的過程，使許多常規(guī)思維下難以解決或者繁瑣的解題過程變得異常得簡單、便捷。
例2：若方程組x+y=6 ①3x-5y=-2②，則3（x+y）-（3x-5y）的值是多少？
其實(shí)，這就是一道考察二元一次方程組的題解問題。可以將x+y看成一個整體A；3x-5y看成是一個整體B，那么3（x+y）-（3x-5y），實(shí)際就變成為了3A-B的求解過程，即3×6-（-2）=20，而并不需要先解出x值是多少，y值又是多少，讓整個解題過程變得簡化。
三、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中始終都能體現(xiàn)出來，這種思想的本質(zhì)其實(shí)就是運(yùn)用好數(shù)與形的各自特點(diǎn)，把需要解決的問題通過數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來進(jìn)行分析的一種解決問題的思想。具體在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)來看，數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在：一是建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型來解決有關(guān)方程；二是與函數(shù)相關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題；三是以圖形的方式呈現(xiàn)出來的一種實(shí)際應(yīng)用性問題。巧妙地運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合來解決問題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，往往讓實(shí)際中難以解決的問題剎那間迎刃而解，取得事半功倍的效果。這一點(diǎn)，在二元一次方程的解題中表現(xiàn)得尤為突出。
例3：a、b、c三位學(xué)生來解120道數(shù)學(xué)題，其中，a、b、c每人都正確地解出了其中的90道題，如果把只有一學(xué)生解出的題叫做“難題”，把三個學(xué)生都解出的題目叫“容易題”。那么，是“難題”多？還是“容易題”多？多多少？
乍一看，這是一道比較難解的題，但轉(zhuǎn)念一想，我們是不是可以運(yùn)用圖形結(jié)合的思想來解這道題呢。假設(shè)a、b、c三位同學(xué)都解出的“容易題”為x道，只有一位學(xué)生解出題目為“難題”，分別為y1、y2、y3個，那么難題總數(shù)為y=y1+y2+y3.由上圖我們可以很容易得出下列方程式：
x+y1+a+b=90 ①
x+y2+a+c=90 ②
x+y3+b+c=90 ③
x+y+（a+b+c）=120 ④
①+②+③，得3x+y+2（a+b+c）=270 ⑤
由④×2得2x+2y+2（a+b+c）=240 ⑥
⑤-⑥得x-y=30。
答：“容易題”要比“難題”多，多30道。
本題并不要求解出a、b、c三位同學(xué)具體求解了多少道題，通過題目所給出的材料來看，一味地去追求具體有多少道“難題”、“容易題”也不是簡單就能求解出結(jié)果的。這時，引入圖形結(jié)合思想，既一目了然，也使整個解題思路豁然開朗起來，整個解題過程也就需要短短的幾分鐘就可以解決。
四、分類討論思想
二元一次方程組中使用到的分類討論思想，其本質(zhì)就是按一定的標(biāo)準(zhǔn)將題目中的素材分成若干類，然后對每一類再進(jìn)行逐一解決，從而實(shí)現(xiàn)最終解決整個問題的效果。不過在引入分類討論思想時需要秉持三個基本原則，即同標(biāo)準(zhǔn)、不重復(fù)、無遺漏。分類討論的步驟一般是：一明確整個對象全體；二是合理分類；三是逐類討論；四是歸納、得出結(jié)論。
例4：某彩票銷售商計(jì)劃用45000元購進(jìn)20捆彩票，每捆有1000張彩票。彩票共有a、b、c三種不同的面值，其中a款是每張1.5元，b款是每張2元，c款是每張2.5元。現(xiàn)在若該銷售商購進(jìn)2種不同面額的彩票20捆，用去45000元，請問共有幾種方案？
分析：本題主要考查的是要從a、b、c三種不同面值的彩票中選出2款，因此，共有三種組合，即a，b；a，c或者b，c。
因此，可以設(shè)購a款彩票有x張，b款彩票的有y張。那么：
x+y=1000×20①1.5x+2y=45000②，解出的結(jié)果是x
設(shè)購進(jìn)a款彩票有x張，c款彩票的有z張。那么：
x+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的結(jié)果是x=10000①z=15000②，
設(shè)購進(jìn)b款彩票有y張，c款彩票的有z張。那么：
